О собственных функциях операторов Эйлера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Байчорова, Фатима Хасановна

• Байчорова, Фатима Хасановна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Байчорова, Фатима Хасановна

Оглавление

Введение

§1. Теория Фукса

§2. Преобразования Дарбу

§3. Коммутативные кольца

§4. Операторная пара Диксмье

1 Уравнения Бесселя третьего порядка

§1. Собственные функции

§2. Условия обрыва

§3. Задача об общей собственной функции

2 Коммутативные кольца ранга 2

§1. Приведение операторов к каноническому виду

§2. Коммутирующие дифференциальные операторы порядков

4 и 6

3 Приложения теории дробных степеней дифференциальных операторов

§1. Формулы Шура

§2. Централизатор

§3. Эволюционные дифференцирования

§4. Симметрии

§5. Уравнения типа КдФ

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О собственных функциях операторов Эйлера»

Введение

Актуальность темы. Взаимосвязь теории коммутативных колец дифференциальных операторов и аналитической теории дифференциальных уравнений представляет интерес с различных точек зрения. Несмотря на значительные успехи и обнаруженные новые приложения первой из этих теорий, связь коммутативных колец с аналитическими вопросами дифференциальных уравнений использует в основном вторую часть классического учебника Айнса [1]. Тематика появившихся недавно монографий [2], [3] тяготеет в сторону аналитической теории и не охватывает интересующие нас приложения. В диссертации взаимосвязь между этими двумя теориями исследуется на примере задачи о собственных функциях операторов следующего вида

Здесь а(О) и Ь(О) многочлены с постоянными коэффициентами от I) = (1)1, ...,£>*), а а: и (3 произвольные векторы в N. Собственные функции этих операторов при N = 1 являются обобщением функций Бесселя, а условие коммутирования операторов (0.1) записывается в виде довольно простого функционального уравнения

А = еа'х -а(Л), В = е?'х-Ъ(р).

(0.1)

а

(И + /3)Ъ{Б) = а(И)Ь[р + а); а, /3 е См

(0.2)

на многочлены a(D) и b(D). Например, при N = 2 условием коммутирования операторов

А = exP(Dx, Dy), В = eyQ(Dx, Dy),

где Р и Q многочлены с постоянными коэффициентами от Dx = Dy = г] является алгебраическое соотношение (см. [4], [5]):

В одномерном случае операторы (0.1) мы называем операторами Эйлера. Их удобно записывать в следующем факторизованном виде

А = ent{Dt + ai)(Dt + а2) ■ • • (Dt + ап), а3 6 С. (0.3)

Основные результаты, развиваемые в теории Главах 1, 2, формулируются в виде сравнения по модулю целого числа п, равного порядку оператора А, двух неупорядоченных наборов чисел

(аь ..., а„) = (ft, ...,рп) (mod п). (0.4)

Это условие позволяет связать цепочкой преобразований Дарбу оператор (0.3) с другим оператором порядка п такого же вида:

B^ent(Dt + ^)...(Dt + pn). (0.5)

Перед тем как изложить основные, используемые в диссертации, факты из современной теории преобразований Дарбу, мы хотим кратко напомнить, следуя [1], §§15 — 16, теорию Фукса регулярных особых точек линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

¡1. Теория Фукса

Рассмотрим линейное однородное уравнение

dnw

. .dn lw . .dw . .

dxn Г + ••• +Pn^)Tz+pn{x)W = 0,

(0.6)

коэффициенты которого аналитичны в проколотой окрестности нуля. Согласно теории Фукса точка х = 0 является регулярной особой точкой уравнения (0.6) в том и только в том случае, если выполнено условие

рг{х) = ^-Рг(х), г = 1,2,3...,п, хг

где функции Рг (^-аналитические в нуле. Характер поведения решений в этом случае определяется собственными значениями Sj, j = 1, 2,..., n матрицы, связывающей две матрицы Вронского

W

(

w\

W1

W2

Wc>

Wn

\

\wi

n—1 л,,П-1

wn

w,

n-1 n

(0.7)

/

до и после обхода особой точки х — 0. Эти собственные значения я/с, к — 1,2,... ,п не зависят от конкретного выбора фундаментальной системы решений гиг, и>2,..., и]п рассматриваемого уравнения и их проще всего найти при помощи оператора Эйлера

ai пп-1 , а2 пп-2 , , ап n _ А а. е с

dx1 3 '

А = Dn + -Dn~l + + ... + —, D =

< - ■ (0-8)

коэффициенты которого а^ ■= Pj(0) задают главную часть соответствующих коэффициентов уравнения (0.6). Ядро кег А дифференциального оператора (0.8), в случае общего положения состоит из хак, к ~ 1,..., п и = ак-

Важную роль в дальнейшем играет следующее утверждение Лемма 0.1 (ср. [3]) Замена независимой переменной

х = -е"', Вх = е* А, Д = -хВх (0.9)

переводит оператор (0.3) порядка п с "корнями" оц, г = 1,...,п, в оператор Эйлера (0.8) следующего вида:

А = хВх - ах)... (хИх - ап). (0.10)

сс

Частным случаем этой леммы является формула

[^хО^хОх - 1)(з:Дс - 2)... [хОх - п + 1).

(0.11)

Отметим еще, что

1х7 —

(0.12)

ж7(1па;)т -» х^ [7(1пж)т + тОпя;)™-1] . Пример 0.1. В случае общего положения в окрестности регулярной особой точки х = 0 линейное дифференциальное уравнение третьего порядка:

т РгЫ) н Р2{х) ' Рз(х) п и) + -А^ги + -А^Ю = 0 (0.13)

/у» /->■» ¿и /Т10 '

«АУ ОУ

имеет три решения следующего вида

ф = ж®(с0 + С1Ж + с2ж2 + ...) = 0, с0 ^ 0, (0.14)

которые образуют фундаментальную систему. Дифференцируя ряд (0.14) получаем

ф' = зсих3-1 + {з + 1)С1х5 + (з + 2)с2Х3+1 + .. . + (з + к)скх3+к~1 + ... (0.15)

ф" = (в - 1 )зс0х8~2 + ф + 1)сю;5~1 + (й + 1)^ + 2)с2х3 + ... +

+(з + к) (б Л-к - 1)скх3+к-2 + .... (0.16)

ф"' = (5_2)(5-1)3с0а;5-3+(5-1)з(5+1)с1а;5-2+5(5+1)(5+2)с2а:^1 + ... +

+(5 + к - 2 )(5 + к- 1)(й + к)скх*+к+ ... (0.17)

Так как Р\{х), Рз(х)~ функции, голоморфные в окрестности точки х = 0, то коэффициенты уравнения (0.13) разлагаются в степенные ряды

Рх(ж) = «о + + .. - + акхк + ..., (0.18)

Р2(ж) = Д, + № 4-... + /Зкхк + ..., (0.19)

ЛгМ = 70 + 71Я + • • • + 1кХк + ■ • ■ • (0.20)

Подставляя разложения (0.15)-(0.20), в рассматриваемое уравнение:

Л'" + ж2Рх(я;)ги" + жР2(ж)и/ + Р3(ж)ги = 0, (0.21)

и выписывая коэффициенты при соответствующих степенях х, мы получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов

С0,С1, . . .

/

с0[(5 - 1 )(й - 2)б + а0(в - 1)в + /Зов + то] = О,

С\[(в - + 1) + аоф + 1) + /За(5 + 1) + 7о] + со^в - 1)в+

+/315 + 71) = 0,

<

с*[(в + к - 2)(в + к - 1)(в + А;) + а0(я + к - 1)(з + к) + /30(в + к) + 7о] +

+сА;_1[а1(5 + к — 2)(б + к- 1) + /^(я + к - 1) + 71] + ... + +со[ак(Б - + (Зкв + 7к] = 0.

которое определяет величину показателя 5 в разложении (0.14). Нетрудно проверить, что эти корни определяют факторизацию (0.3) соответствующего оператора Эйлера (0.8). Как уже говорилось, этому же кубическому уравнению удовлетворяют собственные числа матрицы, связывающей две матрицы Вронского (до и после обхода особой точки).

Пример 0.2. Рассмотрим уравнение Бесселя целого порядка, которое в наших обозначениях примет вид

(0.22)

Так как со ф 0, то получаем кубическое уравнение

(5 - 2)(5 - 1)5 + 0:0(5 - 1)5 + Д,* + 70 = 0,

(0.23)

(жДе — п){хОх + п)ф = х2ф.

(0.24)

При п = 0 одно решения будем искать вида

со

Л=1

где а2п = а второе - в виде

ф2 = 1п(ж)у?1(ж) + <р2(х)

где (р\(х),(р2{х)— аналитические в нуле функции.

Сначала найдем функцию (ж) при логарифме. Пусть (ж) = 1 + ак%к- Из формулы

(:хВх)2 : хп 1п(ж) п2хп 1п(ж) + 2пхп

находим, что коэффициенты с нечетными номерами равны нулю, а с четными удовлетворяют рекуррентному соотношению 1

а2гс = ~Гг) ^2гг—2- (0-25)

(2 п)г

Откуда,

1

&2 п

(п!)2(2)2п" Для члена без логарифма, положим

00

у2(х) = 1 + ^Ъкхк. к=1

Из формулы

{хИх)2 : хп п2хп аналогично получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов Ь^ :

ь 1

Ч п

, 1

02п-2--«271-2

П

(2п)2 тГт-л\ ' (0'26)

Это неоднородное уравнение совпадает с дифференциальным неоднородным уравнением первого порядка у + д(х)у = д(х), методом решения которого является метод вариации произвольной постоянной.

Общее решение уравнения (0.26) равно частному решению однородного уравнения (0.25), умноженного на постоянную С.

Согласно метода вариации произвольной постоянной, решение уравнения (0.26) будем искать в виде:

¿>2п = Я2п ■ С2п, (0.27)

10

где С2п~ неизвестная функция переменной п.

Подставляя (0.27) и &2п-2 = а2п-2 • С2п-2 в уравнение (0.26)

«2п • С2п

(2 п

1 1 1

2^-2 ■ С2п-2 - ~Щ2а1п-2

или, учитывая (0.25)

<3-2п • С2П — &2п • С2п-2--<¿2п

п

С-2п = С2п-2--,

п

где с2п_2 = со - ПРИ п 00 > с2п с + 1п(п), где с =

0,577216...— так называемая постоянная Эйлера1.

Итак,

1

Пп

7г!)2(2)

и

Ф

00

£

2 п

1

гг 1 Л=1 .

1

(„1)2(2)2* ^ к

п

Е1

Т'

П > 1

(п!)222гг'

-ж

2п

1

ж

2гг

тг=2

к=2

_п=О

(ср. [1], стр. 544).

Определение 0.1. ([2],с. 231.) Регулярная особая точка х — 0 называется нерезонансной, если

- ^ £ г, V г, э

Замечание 0.1. Общий ответ в задаче об операторах Эйлера (0.3) порядка п, собственные функции которых демонстрируют логарифмическое поведение формулируется, по-видимому, в терминах кратности корней сравнений типа (0.4) по модулю целого числа п. Соответствующие дифференциальные уравнения можно было бы назвать высшими аналогами уравнений Бесселя с целым показателем.

1Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, с. 25

§2. Преобразования Дарбу

Пусть (и]1,и)2, ■ •■, и)п) обозначает определитель матрицы Вронского (0.7). В основе излагаемой теории преобразований лежит следующая теорема Теорема 0.1. Пусть А - дифференциальный оператор п— го порядка с единичным старшим коэффициентом и функции </?1,..., образуют базис в кег А. Тогда

Л = (£-/„)...(/)-/!), Л = £>1п<Р1, /З. = тп ^-^з) •>1

(0.28)

Доказательство. Формула

= Мф

(<Ри-,<Рп)

определяет действие на функцию ф некоторого линейного дифференциального оператора М порядка п с единичным старшим коэффициентом. Очевидно, что М(ф) = 0 при совпадении функции ф с одной из функций ..., <рп, и, следовательно, эти функции образуют базис в кег М. Рассматривая оператор А — А — М, который имеет меньший порядок, мы приходим к выводу, что А = М. Далее нужно воспользоваться следующей леммой Дарбу:

Лемма 0.2. Для вронскиана < ф\,... :фт > -с1е!= 1,...,т от произвольных т > 2 гладких функций Фз{х) имеет место следующая формула

УЧ

<Фи...,Фт>=Ф1 < Ф2, ...,'0т>, Фj = Ф - / = £>1(^1.

(0.29)

Доказательство леммы. Разложив определители < ф\,..., фт > и

уЧ -Л,

т > по элементам последнего столбца и, учитывая, что фт — (В — /)(фт) мы получаем два выражения в виде дифференциального оператора порядка т — 1, действующего на функцию фт:

Л(фт) = (ао^""1 + + ■ ■ ■ + От-Жфт) И

Л(фгп) = (а0Вт~2 + а!Л—3 + • • • + ат_2)(Я - ¡)(фт)

Легко видеть, что нуль-пространства кег А и кегА содержат функции -01,..., фт-1 и, следовательно, совпадают. Остается заметить, что необходимое нам равенство ао = ф\ао эквивалентно доказательству формулы

✓ч /Ч

(0.29): < ф\,..., фт-1 >=< ф\ф2, ■ - •, Фт-1 >? но с заменой т на т — 1. Для завершения доказательства можно сослаться на индукцию по т,

т.к. при т = 2 мы имеем < ф\^ф2 >= Ф1Ф2 — Ф2Ф1 — Ф\(В — ЛФ2 — Ф\Ф2-►

Представление оператора А в виде

А = а0(В - /п)(В - /„_!)... (В - /0 (0.30)

называется его факторизацией. Грубо говоря интересующие нас преобразования заключаются в перестановке сомножителей в факторизационной формуле (0.30)

А = (В-/1)А(В-/1)~1 (П-^В-^В-^) • ■ • (Я-/2). (0.31) Пример 0.3. Классический пример применения такого рода преоб-

разования связан с именем Дирака:

(0.32)

ядру этого оператора. С другой стороны в силу (0.32):

<рп+1 = {Б - х)(рп, А(рп = \прп А(рп+1 = (Л„ - 2)рп+1. (0.33)

Первая из этой цепочки формул определяет, таким образом, серию собственных значений и собственных функций оператора А.

Аналогично, из двух различных факторизаций оператора (0.3) второго порядка получаем

и, таким образом, эта композиция преобразований переводит оператор Ап в операторы Лп_ 1 и Ап+1, в зависимости от порядка сомножителей в факторизации оператора Ап. Отметим еще, что Лемма 0.1 позволяет переписывать приведенные операторные соотношения в терминах соответствующих операторов Эйлера, используя формулы

ть

А + п = п — хБХ) Их--= еь о (А + п).

(А - п)е2'(А + п) = е2*(А + 2 - п)(А + п) (А + п)е2<(А - п) = е2'(А + 2 + п)(А - га).

Дополнительное преобразование дает

е4 о А* о = е2'

(А-п + 1)(А + п-1) (Д + га+1)(Д-га-1)

ж

Вторая из этих формул "объясняет" необходимость дополнительной подкрутки для операторов А*.

Задача о факторизации (0.30) эквивалентна построению базиса в пространстве кег А и частным случаем Теоремы 0.1. является следующее утверждение:

Теорема 0.2. Дифференциальный оператор А порядка п > 0 делится справа на оператор первого порядка А\ = И — / в том и только в том случае, если / = у? е кег А.

<4 Из формулы

п п— 1

А = ^,ч(х)]У = ВВ = / = (106^ (0.34)

о о

следует, что А(</?) = 0, т.к. (£) — /)(<£>) = 0. Замена искомой функции у = у приводит нас к оператору А с нулевым последним коэффициентом ап = 0. Делимость полученного многочлена на И эквивалентна делимости исходного оператора на I) — /. ►

Обобщением приведенного выше Примера 0.3 является

Лемма 0.3. Пусть А = В о (Г) — факторизованный оператор и Л= (£>-Л)о£. Тогда

Аф = \ф, ф=(П-/г)ф-+ Аф = Хф Аф = Xф, ф = Вф Аф = Хф

Доказательство. Имеем

А = (№ - /х) о Б) ф = ((£> - Л) о В о (Л - /1)) ф =

= ((£> - /0 о А)ф = Х(0-Ыф = Хф

Аналогично проверяется вторая из выше приведенных импликаций. ►

Идея использовать перестановку сомножителей в формуле (0.28) при классификации дифференциальных операторов произвольного порядка приводит к следующему определению [б]:

Определение 0.2. Дифференциальный оператор В называется оператором преобразования В : А —» Л, если в кольце дифференциальных многочленов выполняется уравнение

Определение 0.3. Будем говорить, что операторы А и Ао порядка т > 1 связаны двусторонним преобразованием Дарбу (или ДПД), если существуют два дифференциальных оператора Т и Я ненулевого порядка такие, что

Операторы Т и Я называются соответственно, левым и правым операторами Дарбу по отношению к оператору А. Порядком ДПД называется сумма т' = огй огй Т порядков Т и Я. Двустороннее преобразование Дарбу называется вырожденным, если его порядок га' < тп = оп! А.

Из формулы (0.35) находим, что

ТоАоН = АпоТЯ = Т11оАо ЯоАс\оТ = Ао ЯТ = КГ о А

В • А = А • В.

ТоА = А0оТ, АоЯ = ЯоА0.

(0.35)

и, следовательно,

тя е С(А0), ят е С(А)

(0.36)

где централизатор С (А) обозначает кольцо дифференциальных операторов, коммутирующих с оператором А:

С (А) = {А1 : [А\ А] = А' о А - А о А' = 0} . (0.37)

Если кольцо С (Л) содержит элементы, отличные от многочленов по степеням А с постоянными коэффициентами, централизатор называется нетривиальным. Нас интересуют случаи, когда нетривиальны оба централизатора С(Ао) и С {А). Пример 0.4.

А = е®+ 5) = Дга(6>) = В2--В, Я = (Д + 1)(А + 3)

ж

= к2ф, ф = (^ЯЧЗЬ+З)^**, / - ^ = 1 1 1

ж2 — За; + 3 ' о; + а ее + а'

ж а;2 (а; + а)2 (х + о;)2 Оператор после сопряжения принимает вид

о х2 = В2 - - -——.г^ - -—а + а = -3, аа = 3. аг аг (х + а)"1 (ж 4- а)1

Все 4 особых точки уравнения Аф = Хф являются регулярными. Коммутирующих операторов порядка 3 нет. Минимальный порядок в централизаторе этого оператора равен 5.

Отметим, завершая этот раздел, что сопряжение с оператором умножения на функцию а(х) определяется похожей формулой:

А -> А = а"1 • А о а = еаА о е_а, а = а{х) = е""а(х). (0.38)

Легко видеть, что операция сопряжения обратима и коммутирует с преобразованиями Дарбу.

§3. Коммутативные кольца

Умножение в кольце дифференциальных операторов общего вида

А = ^ ааВ\ В = ЪрВ\ Ва = В*1 - ■ • Ваы"

определяется формулами Лейбница, которые позволяют менять местами операторы дифференцирования и умножения:

(чу)' = и'у + иу' -—гВа о £ = ]Г Л^Шт^ =

а ! ~—' 7 ! р !

+7=а

(0.39)

В частности,

Ваое*х = е^А+^Г '"" + « = Й,.. .Ы € М). (0.40)

Из формулы (0.39) следует также, что

[«2аВ<*, ЬрВ?} = аа(В + д)а(Ьр)В0 - Ь/з(В + д)Р(аа)Ва =

n

= ]Г (чаад^Ьр) - А-Ь/ф(а„)) Ва+^ + ...

¿=1

Здесь = (...,0,1,0,...) обозначает вектор с 1 на j—oм месте, а многоточие- дифференциальный оператор, порядок которого не превосходит |о;|+|/3|—2. Собирая старшие члены в коммутаторе, мы убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Коммутатор дифференциальных операторов А и В порядков т и п является оператором порядка не выше п + т — 1 и в главной части соответствующего многочлена от В степени п + т — 1 мы имеем:

[Л, В}0 = [А0, В0}0 = А\-В1- В\ • А°х. (0.41)

В последней формуле функции А°(х,£) и В°(х,£):

а°(х,о = £ ^ = Е (о-42)

получены заменой И = (В\,..., Ду) на £ = (£1, • • • а нижние

индексы используются для обозначения частных производных. Формула (0.41) показывает (ср. [7], [4]), что главная часть коммутатора [А, В] совпадает со скобкой Пуассона многочленов

и В .

Очевидно, что равенство этого выражения нулю является необходимым условием равенства нулю коммутутатора [А, В] — 0 рассматриваемых операторов.

Пример 0.5. При N = 1 формула Лейбница дает

АВ = (ооТТЧахГР-Ч... НЬ0£>т+&1£>т-1+. = с*£>п+т-*, В =

к> 0

где со = ао&о и с\ = аф\ + а\Ьо + паоЬ^х. Поэтому

и, В] - ао&о т^Ц Вп+т~1 + 0{Вп+т~2)

\ »о ао )

и операторы А = аоБ71 + ... и В = 6о^т + • • ■ коммутируют в главном, тогда и только тогда, когда существует функция /(ж) такая, что

а0(ж) = С1/П(ж), Ъ0(х) = с2/т(гс), ц е К.

При N — 1 теория коммутативных колец дифференциальных операторов восходит к работе И. Шура, 1905 года, в которой была обобщена формула, связывающая старшие коэффициенты коммутирующих операторов и доказано, что при заданном операторе А порядка п, коэффициенты операторов с ним коммутирующих, можно найти алгебраически. Достаточно для этого, не решая дифференциальных уравнений,

научиться решать алгебраическое уравнение

Л? = Д А! = г^В + г0 + пГГ1 + г21Г2 + ... . (0.43)

Полезно отметить, что две формулы

Вх о а = аВх + ах и £>п£>т = Вп+т (0.44)

однозначно определяют ассоциативное умножение как в кольце дифференциальных операторов, так и в его расширении, состоящем из формальных степенных рядов по обратным степеням символа В:

В = ЬиВп+ЬхВп-1 + - ■ ■+ЪпВ0-{-Ъп+1В-1+Ьп+2В-2+..., 6о ф о. (0.45)

Максимальную степень Вп мы называем порядком огйВ = п этого ряда. С абстрактной точки зрения, в рассматриваемой алгебре формальных рядов нет разницы между положительными и отрицательными степенями ВК Исходным объектом здесь может быть также любая область целостности 71 , из которой выбираются элементы бесконечной последовательности коэффициентов 2 —*

Ь = (боА,...,^-,...), Ь3еп,

представляющей рассматриваемый формальный ряд. Для того, чтобы

обеспечить взаимную однозначность, необходимо приписывать последо-

_

вательности ¿>, соответствующей ряду (0.45), его порядок п £ Z. Тогда единичной последовательности е = (1, 0,...) отвечают, в зависимости от выбора п, различные мономы Вп, а случай п = 0 соответствует ряду играющему роль нейтрального элемента относительно операции

2в нашем случае элементами Л являются гладкие функции, определенные в окрестности некоторой точки хц € К

умножения (0.44), (0.47). Легко проверить, что ряд (0.45) имеет обратный В~1( В • В~1 = В~1 • В — 1) в кольце формальных рядов от Б в том и только в том случае, если его старший коэффициент Ьо обратим в исходном кольце И.

Замечание 0.2. Ассоциативность умножения (ср. [8], [9]) играет важную роль в рассматриваемой теории и сводится к следующему тождеству

К/»)© Ст'мэ с: •--,') <««>

для биномиальных коэффициентов

п

п(п — 1) • - • (п — 7 + 1)

з-

Действительно, в соответствии с (0.44) при всех п Е Z мы имеем

00

п \ , п

п—к

\

\D\ayD

к=о \ к I \ к

/

п(п — 1)...(гг — к + 1)

1-2 ---к { ' '

и, сравнив коэффициенты при Вр+Ч~п, п > 0 в формуле

(£>ра£>9) о Ь = о (а£®Ь) (0.48)

мы получаем

(£>*аО») о 6 -)• ¿) (А + (0.49)

Справедливость "исходного" тождества (0.46) следует из ассоциативности умножения дифференциальных многочленов от .О, так как формула (0.48) выполняется для композиции дифференциальных операторов.

Отметим еще, что при п > 0 сумма в формуле (0.47) является конечной, так как биномиальные коэффициенты обращаются в нуль при к > п. При п < 0 сумма здесь заменяется бесконечным рядом и, таким образом:

о а — аИ'1 - ахО~2 + аххВ~3 - ахххВ~А + ...

£>~2 о а = аВ"2 - 2ахВ~3 + 3аххВ~А - АахххВ~ъ + ...

Рассматривая классификацию дифференциальных операторов А, можно исходить из структуры их централизатора С(А). Из транзитивности отношения коммутативности (Следствие 1 леммы Шура) следует, что в случае одной независимой переменной дифференциальные операторы, входящие в централизатор С{А), ог(1А > 0 перестановочны и образуют, таким образом, коммутативное кольцо, которое нельзя пополнить. Более того, любое такое максимальное коммутативное кольцо совпадает с централизатором любого из, входящих в него, дифференциальных операторов ненулевого порядка и различные максимальные коммутативные кольца могут пересекаться только по операторам "нулевого"порядка, т.е. константам. Обозначим через га минимальный ненулевой порядок операторов, входящих в данное максимальное коммутативное кольцо 71 и назовем соответствующий оператор Ат 6 огйАт = т > 0 минимальным оператором этого кольца.

Если га — 1, то минимальный оператор Ат е огйАт = 1 эквивалентен И и максимальное кольцо 71 — Со(Ат), где Со(А) обозначает множество многочленов с постоянными коэффициентами от А. Кольца Со (А) с одной образующей интереса не представляют и мы называем их тривиальными. В нетривиальном максимальном коммутативном кольце 71 существует оператор /1тп ог<1Ат1 = т\ > га, который является в

свою очередь минимальным в множестве операторов В £ И, огй В > ш, удовлетворяющих условию ог(1 В ф 0, тос! т. Напомним, что старшие коэффициенты коммутирующих операторов одинакового порядка пропорциональны в силу формулы

Ьо,х а[),х

т-г- — п— Оо а0

связывающей старшие коэффициенты ао и &о коммутирующих дифференциальных операторов порядков тип. Поэтому, оператор В е 71, огй В = кт можно всегда заменить оператором (В — аА^г) Е 71 меньшего порядка.

Если 772 = 2, то нетривиальное максимальное коммутативное кольцо 71 = Со(Ат, Ат1), т.е. является кольцом с двумя образующими Ат, т = 2 и Атг, 777.1 > 2. Действительно, число т1 нечетно по определению и при п < 7771, 71 Э В, огд, В = п В € Со(-<4т), а ПРИ п > тп\ порядок соответствующего оператора В можно понизить вычитанием Аили в зависимости от четности или нечетности порядка п. Полное описание максимальных коммутативных колец 71 = Со(Ат,Ат1) сводится в определенном смысле к, записанным в виде нелинейных дифференциальных уравнений, условиям коммутирования образующих [Ат,Ат1] = 0. Структура этих уравнений полностью определяется парой целых чисел (777,7771).

При взаимно простых порядках (777,77) операторное соотношение, связывающее коммутирующие операторы Эйлера А, огй А = т и В, огй В = п, записывается в виде уравнения плоской алгебраической кривой, совпадающей, при отсутствии младших членов, с уравнением Вт = Ап. При 777 = 3 число образующих максимального коммутативного кольца как правило, равно трем и так далее (см. Примеры в главе

(0.51)

2, И).

Задача об условиях коммутирования данной пары дифференциальных операторов [Л, В] = 0 порядков тип приводит3, вообще говоря, к п + 7п уравнениям для п + т + 2 коэффициентов этих операторов. Эти уравнения соответствуют занулению коэффициентов при Д, ] = 0, 1,..., п + т + 1 в коммутаторе [А, В]. Для того, чтобы уравнять число уравнений с числом неизвестных в этой задаче можно использовать два "элементарных" преобразования. Первое из этих преобразований есть сопряжение с оператором умножения на функцию р = р(х) :

А-^р^оАор, (0.52)

а второе связано с заменой независимой переменной х — х(х):

йх = а(х)с1х, -тг = —т-г-г- <=> 0 - аГ): Ь — ЬБ\ аЬ = 1, а(х) = а(х). ах а(х) ах

(0.53)

Легко видеть, что замена (0.53) с Ь — и последующее сопряжение (0.52) приводит дифференциальный оператор

А = + дя1»"1 + • • • + + /т

к виду с /о = 1, Л = 0:

Л = = Вт + + ■ • • + /т (0.54)

и уменьшает, соответственно, число неизвестных в рассматриваемой задаче о коммутирующей паре дифференциальных операторов.

коэффициент при Оп+т сокращается автоматически

Пример 0.6. Условие коммутирования дифференциальных операторов

A = emta(Dt), В = entb{Dt), А = (0.55)

где a(Bt) и b(Bt) многочлены от Bt с постоянными коэффициентами степени т и п соответственно, записывается в виде следующего функционального уравнения на эти многочлены

a(z + n)b{z) = a(z)b(z + m), (0.56)

так как

АВ = emta(Bt) о ent о b(Bt) = e(m+n)ia(A + n)b(Dt), В А = entb(Bt) о emt о a(Bt) = e{m+n)tb(Bt + m)a(Bt).

Функциональное уравнение (0.56) существенно упрощает задачу о классификации коммутирующих пар операторов вида (0.55). С другой стороны, нетрудно проверить, что замена независимой переменной:

я = -е"4, Вх = elDu Dt = -хВх (0.57)

приводит эти операторы к виду с единичным старшим коэффициентом. В частности, мы находим, что

e2t(Bt+a{]{Bt+a2) = -^хВ^а^хВ.-а,) = B2x+l ~ ^ ~ ^Вх+^.

rpiJ /V* /у» ¿i

JU \XJ JU

(0.58)

Заметим, что замена (0.57) переводит операторы (0.55), полуинвариантные относительно группы сдвигов t —> t + const в операторы инвариантные относительно группы растяжений х —> х\ и, что задача о собственных функциях оператора (0.58) сводится к функциям Бесселя. Нулевое собственное значение приводит нас здесь к простейшему решению

а = —2х 2 уравнения

а'" + 6 аа' = а'

и перестановочной паре операторов (0.55), соответствующих многочленам

a(z) = {z-2)(z + l), b(z) = {z - 2) z (z + 2). §4. Операторная пара Диксмье.

Более сложным является случай gcd(m, п) ф 1, интерес к которому в последнее время заметно усилился. В основном речь идет о коммутирующих дифференциальных операторах с полиномиальными коэффициентами, обобщающими известный пример Диксмье [10] (обзор соответствующей литературы можно найти в [11]). В дополнение к интересным обобщениям примера Диксмье [10], построенным в работах [12], [11], рассмотрим кратко вопрос о роли свободного параметра, входящего во все эти примеры. Имея в виду общую формулу

[Лп, В] = Ап~1С + Ап~2СА + Ап~ъСА2 + • • • + САп~\ С Ш [А, В]

полагаем в случае операторов порядков 4 и б, что:

А = А% + а(х), В = + Ь(х) о А0 + А0 о Ь(х)\ А0 = D2 + и(х),

Ах = А + 2XAq + А2, Вх = В + ЗА2 Л + А(3 А20 + 2 Ъ) + А3. Тогда

[ВХ,АХ] = [0,4+А2 (3[Л, А] + 4[Мо])+2А[£,Л)]+А[ЗЛ2+2М] = 0.

Таким образом, если 46 = За, то из равенства [В, А] = 0 следует, что [ва,ла] = 0.

Операторное уравнение [В, А] = 0 при условии 4Ь = За позволяет найти вид функций и(х) и а(а;). Действительно,

4[В, А] = АЪАх+А^Ъ^АаА^оЩаоА^А^а), А1 = [Л0, а] = 2а'В+а".

Соберем здесь коэффициенты при различных степенях В. Коэффициенты при Вь и ВА сокращаются в силу условия 4Ъ = За, а равенство нулю коэффициента при В3 дает уравнение а'" = 0. При этом, коэффициент при В2 обращается в нуль, а коэффициент при В и свободный член дают:

Соответствующие решения уравнения За"и' + а'и" — 3аа! имеют вид

Целью данной работы является исследование взаимосвязи теории коммутативных колец и аналитической теории дифференциальных уравнений на примере задачи о собственных функциях операторов следующего вида

где а(А), Ъ{В¿)— многочлены с постоянными коэффициентами от Вь =

А йг

Методы исследования. В диссертации применяются методы аналитической теории дифференциальных уравнений (теория Фукса), тео-

3(а о А\ + Д о а) = 4(3а"и' + аи")В + 2(4а"и" + а!у!") или

(ср. [12]):

А = е^а(А), В =

рии преобразований Дарбу-Лапласа, формулы И. Шура из теории дробных степеней дифференциальных операторов.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Исследован вопрос о критериях разрешимости дифференциального уравнения (0.6) в элементарных функциях и связи этого вопроса с коммутативными кольцами.

2. Показано, что задача об общей собственной функции коммутативного кольца ранга 2 сводится к уравнению Бесселя с произвольным индексом. Установлены, в частности, условия существования логарифмической особенности у общей собственной функции операторов из кольца.

3. Указан алгоритм, позволяющий за конечное число шагов найти точную формулу для вычисления коэффициентов формального ряда Л?(£>) при любом п, где А1 = В + аВ~1 + /В~2 + дЭ^ + КВ~А + ...

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут иметь применения в развитии теории высших аналогов функций Бесселя.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех

глав.

Во введении обосновываются актуальность темы, цель, методы исследования, научная новизна и практическая значимость исследования, расматриваются элементы теории Фукса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Байчорова, Фатима Хасановна, 2014 год

Литература

[1] Ince E.L. Ordinary differential equations. Longman, Green and Co., London, 1926. (Перевод с англ. под редакцией Эфроса A.M. Харьков, 1939)

[2] Ильяшенко Ю.С.,Яковенко С.Ю. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Москва, 2013.

[3] Saito М., Sturmfels В., Takayama N. Grobner Deformations of Hypergeometric Differential Equations, 2000.

[4] Акбашева M.C., Шабат A.B. Теорема о коммутировании в главном.// Уфимский математический журнал.- 2011.- Т. 3 №4,- С. 3-7.

[5] Шабат A.B., Эльканова З.С. О коммутирующих дифференциальных операторах в двумерии. // Уфимский математический журнал.-

2011,- Т. 3 №2.- С. 91-99.

[6] Шабат A.B., Эльканова З.С. и Урусова A.B. Двусторонние преобразования Дарбу. // Теоретическая математическая физика.- 2012.- Т. 173 №2.- С. 207-218.

[7] Габиев P.A., Шабат A.B. О дифференциальных операторах коммутирующих в главном. // Теоретическая математическая физика.-

2012. - Т. 171 №1.- С. 18-25.

[8] Паршин А.Н.О кольце формальных псевдодифференциальных операторов.// Труды МИАН.- 1999. -Т. 224.- С. 291-305.

[9] Ore О.Theory of Non-Commutative Polynomials. // Ann. Math.- 1933.-Vol. 34 т.- P. 480-508.

[10] Dixmier J. Sur les algebres de Weyl.// Bull. Soc. Math. France.-1968. -Vol. 96. -P. 209-242.

[11] Mokhov O.I. Commuting ordinary differential operators of arbitrary genus and arbitrary rank with polynomial coefficients./MathCA.-2013.~ arXiv: 1303. 4263. [электронный ресурс]- Режим доступа.- URL: http://arxiv.org/pdf/1303.4263.pdf (дата обращения октябрь 2013).

[12] Миронов А.Е. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга 2.// Сиб. электр. матем. известия. -2009. -Т. 6.- С. 533-536.

[13] Шабат А.В., Эльканова З.С. О коммутирующих дифференциальных операторах.// Теоретическая математическая физика.- 2010.- Т. 162. т.- С. 334-344.

[14] Жибер А.В., Муртазина Р.Д., Хабибуллин И.Т. , Шабат А.Б. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения.-Москва-Ижевск, 2012. (ISBN 978-5-4344-0092-3; 376 стр).

[15] Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Дробные степени операторов и гамиль-тоновы системы. // Функциональный анализ и его приложения.-1976.- Т.10. -С. 13-39.

[16] Hilbert D. Theory of algebraic invariants. 1897

[17] Шабат А. Б. Лекции по теории солитонов. //Учеб. пособие. Карачаевок: КЧГУ,- 2008.- 60 с.

[18] Schur I. Uber vertauschbare lineare Differentialausdrucke. // Sitzungsber. Berliner Math. Gen.-1905. -Bd.4. -P. 2-8.

[19] Жибер А. В. , Шабат А. Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой. // ДАН СССР. -1979.- Т. 247. №35.

[20] Муртазина Р. Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли. // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2007. - Т. 13. - № 4. - С. 102 - 117.

[21] Ибрагимов Н. X., Шабат А. Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли - Беклунда.// Функцио анализ и его приложения.- 1980. -Т. 14.М.- С. 25 - 36.

[22] Sanders J., Wang J.P. On the integrability of homogeneous scalar evolution equations.// Journal of Diff. Eq-s.- 1998. -Vol. 147. №4.- P. 10 - 34.

[23] Olver P., Sokolov V. Integrable Evol. Eq. on Assoc. Alg.// Commun. in Math. Phys.-1998.- Vol. 193. №2,- P 45 - 68.

[24] Байчорова Ф.Х., Эльканова З.С. Коммутирующие дифференциальные операторы порядков 4-6. // Уфимский математический журнал.-2013.- Т. 5 №3.- С. 12-20.

[25] Burchnall J.L., Chaundy T.W. Commutative ordinary differential operators, II. The identity Pn = Qm.// Proc. Roy. Soc. London.-1932. -ser. A, №134. -P. 471-485.

[26] Olver P.J. Applications of Lie groups to Differential Equations. 2nd Ed.// Graduate Texts in Mathematics Springer-Verlag, New York.-1993.- vol. 107.

[27] Соколов В. Примеры коммутирующих колец дифференциальных операторов.// Функциональный анализ.- 1978.- Т. 12 №1. -С. 82-83.

[28] Шабат А.Б. Симметрические многочлены и законы сохранения.// Владикавказский математический журнал. -2012.- Т. 14. №4.- С.83-94.

[29] Odesskii A., Sokolov V. Integrable pseudopotentials related to generalized hypergeometric functions.// Sel. Math. New Ser.-2010.- Vol. 16. т.- P. 145-172; arXiv:0803.0086.

[30] Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Новые эволюционные уравнения, обладающие (L,A) - парой.// Труды семинара C.JI. Соболева, Инст. матем. Новосибирск. -1981- Т. 2. -С. 5-9.

[31] Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Уравнения типа Кортевега - де Фриза и простые алгебры Ли// Докл. Акад. наук СССР.- 1981.- Т. 258 т.- С. 11 -16 [ Drinfel'd V.G., Sokolov V.V. Equations of Korteweg-de Vries type and simple Lie algebras// Sov. Math., Dokl.- 1981.- Vol. 23. -P. 457 - 462].

[32] Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега- де Фриза. // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж.-1984.- Т. 24.- С. 81 - 180.

[33] Жибер А.В., Муртазина Р.Д. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 2008. - С. 118 - 122

[34] Shabat А.В. On the Laplace-Darboux theory of transformations. //Theor.Mat.Fiz.-1995. -Vol. 103. №1. -P. 170-175.

[35] Burchnall J.L., Chaundy I.W. Commutative ordinary differential operators.// Proc. London Math. Society.- 1923.- ser. 2. №21,- P. 420 - 440.

[36] Burchnall J.L., Chaundy I.W . Commutative ordinary differential operators.// Proc. Royal Soc. London.-1928.- ser. A. №118.- P. 557 -583.

[37] Burchnall J.L., Chaundy I.W. Commutative ordinary differential operators.// Proc. Royal Soc. London.-1931. -ser. A. №134. -P. 471 -485.

[38] Джумадильдаев А.С. Дифференцирования и центральные расширения алгебры Ли формальных псевдодифференциальных операторов// Алгебра и анализ. -1994.- Т.6.- С. 140 - 158.

[39] Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях.- М.: Мир, 1988.

[40] Mokhov O.I. On commutative subalgebras of the Weyl algebra that are related to commuting operators of arbitrary rank and genus.//MathPH.-2012.- arXiv: 1201. 5979. [электронный ресурс]- Режим доступа.- URL: http://arxiv.org/pdf/1201.5979.pdf (дата обращения сентябрь 2013).

[41] Mironov А.Е. Self-adjoint commuting differential operators and commutative subalgebras of the Weyl algebra.// MathPH.-2012.-

arXiv: 1107. 3356. [электронный ресурс]- Режим доступа.- URL: http://arxiv.org/pdf/1107.3356.pdf (дата обращения 2013).

[42] Mironov А.Е. Periodic and rapid decay rank two self-adjoint commuting differential operators.// MathPH.-2013.- arXiv: 1302. 5735. [электронный ресурс]- Режим доступа.- URL: http://arxiv.org/pdf/1302.5735.pdf (дата обращения 2013).

[43] Baker H.F. Note on [6].// Proc. Royal Soc. London. -1928.- ser. A. №118.- P. 584-593.

[44] Кричевер И. M. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии.// Функциональный анализ и его приложения.- 1977- Т. 11. №1.- С. 15 - 31; English translation in Functional Anal. Appl.-1977. -Vol. И. №1.- P. 12 - 26.

[45] Кричевер И. M. Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторов.// Функциональный анализ и его приложения.- 1978.- Т. 12. №3.- С. 20 - 31; English translation in Functional Anal. Appl-1978.- Vol. 12. №3. -P.175-185.

[46] Кричевер И. M., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над ри-мановыми поверхностями и уравнение КадомцеваЦПетвиашвили (КП).// Функциональный анализ и его приложения.-1978. -Т. 12. №4.-С. 41 - 52; English translation in Functional Anal. Appl.- 1978. -Vol. 12. №4. -P. 276 - 286.

[47] Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения и нелинейные уравнения. Конечнозонные решеиия ранга 2. // Докл. Акад. наук СССР. -1979.- Т. 247. №1.- С. 33 - 37.

[48] Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. // Успехи математических наук. 1980. Т. 35. №6(216). С. 47 - 68; English translation in Russian Math. Surveys. 1980. Vol. 35. №6. P. 53 - 79.

[49] Гриневич П. Г. Рациональные решения уравнений коммутации дифференциальных операторов.// Функциональный анализ и его приложения. -1982.- Т. 16. №1. -С. 19 - 24; English translation in Functional Anal. Appl.- 1982. -Vol. 6. №1.- P. 15 - 19.

[50] Новиков С. П., Гриневич П. Г. О спектральной теории коммутирующих операторов ранга 2 с периодическими коэффициентами. //Функциональный анализ и его приложения.- 1982. -Т. 16. №1,-С. 25 - 26; English translation in Functional Anal. Appl.-1982.- Vol. 16. №1,- P. 19 - 20.

[51] Мохов О. И. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 3 и нелинейные уравнения.// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1989.-Т.53.- С. 1291 - 1315; English translation in Math. USSR, Izvestiya.-

1990.- Vol. 35. №3.- P. 629 - 655.

[52] Мохов О. И. Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 3, отвечающие эллиптической кривой.// Успехи математических наук.- 1982. -Т. 37. №4(226).- С. 169 - 170; English translation in Russian Math. Surveys.- 1982.- Vol. 37. №4.- P. 129 - 130.

[53] Mokhov O.I. On commutative subalgebras of Weyl algebra, which are associated with an elliptic curve. //International Conference on Algebra in Memory of A.I.Shirshov (1921-1981). Barnaul, USSR, 20-25 August

1991. Reports on theory of rings, algebras and modules. -1991.- P. 85.

[54] Mokhov O.I. On the commutative subalgebras of Weyl algebra, which are generated by the Chebyshev polynomials. Third International Conference on Algebra in Memory of M.I.Kargapolov (1928 1976). Krasnoyarsk, Russia, 23 - 28 August 1993. Krasnoyarsk: Inoprof.- 1993.-R 421.

[55] Миронов A. E. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2, отвечающие кривой рода 2. // Функциональный анализ и его приложения.- 2005.- Т. 39. №3.- С. 91 - 94; English translation in Functional Anal. Appl.-2005.- Vol. 39 №3.- P. 240 - 243.

[56] Миронов A. E. Об одном кольце коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, отвечающем кривой рода два.// Математический сборник.- 2004.- Т. 195. №5.- С. 103 - 114; English translation in Sbornik Mathematics.- 2004.- Vol. 195 №5.- P. 711 - 722.

[57] Mironov A.E. Commuting higher rank ordinary differential operators. //MathPH.-2012.- arXiv: 1204. 2092. [электронный ресурс]- Режим доступа.- URL: http://http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/1204.2092.pdf. (дата обращения 2013).

[58] Мохов О. И. Каноническое гамильтоново представление уравнения Кричевера - Новикова.// Математические заметки.- 1991.- Т. 50. №3,- С. 87 - 96; English translation in Mathematical Notes.- 1991,- Vol. 50. №3.- P. 939 - 945.

[59] Grunbaum F. Commuting pairs of linear ordinary differential operators of orders four and six.// Phys. D.- 1988.- Vol. 31. №3.- P. 424 - 433.

[60] Mumford D. An algebro-geometric constructions of commuting operators and of solutions to the Toda lattice equations, Korteweg-de Vries equations and related non-linear equations. //In Proc. Internat. Symp. on Alg. Georn., Kyoto.- 1977, Kinokuniya Publ- 1978.- P. 115 - 153.

[61] Latham G.A. The computational approach to commuting ordinary differential operators of orders six and nine. // The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied Mathematics. -1994,- Vol. 35. №4,- P. 399 - 419.

[62] Latham G.A., Previato E.. Darboux transformations for higher-rank Kadomtsev- Petviashvili and Krichever-Novikov equations. //Acta Applicandae Mathematica. -1995.- Vol. 39. №1-3.- P. 405 - 433.

[63] Zuo D. Commuting Differential Operators of Rank 3 Associated to a Curve of Genus 2.// SIGMA. -2012. -Vol. 8:044 11 pp. arXiv: 1105.5774.

[64] Уиттекер ЭТ., Ватсон Дж. H. Курс современного анализа. Ч.2.- М.: Физматлит, 1963.

[65] Соколов В.В. Примеры коммутирующих колец дифференциальных операторов. // Функциональный анализ.- 1978.- Т. 12 №1.- С. 82 - 83.

[66] Darboux G. Sur une proposition relative aux equation lineaires // Compt Rend.- 1882.- Vol. 94.- P. 1456 - 1459.

[67] Matveev V.B., Salle M.A. Darbpux Transformation and Solitons. Berlin, Heidelberg, 1991.

[68] Юров А.В. Преобразование Дарбу в квантовой механике. Учебное пособие / Калининградский университет. Калининград, 1998.

[69] Никифиров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.- 344 с.

[70] Байчорова Ф.Х., Яикбаева А.К. Формула И. Шура и уравнения П. Лакса . // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании": Сборник трудов. Т.1. Математика. Научные статьи. Уфа: РИД БашГУ.-2011.- С. 29 - 34.

[71] Байчорова Ф.Х. Об аналогах функций Бесселя третьего порядка. // Уфимский математический журнал.-2014.-Т.1 №1.-С.12 - 17.

[72] Байчорова Ф.Х. Об уравнении Бесселя третьего порядка // XII Международная заочная научно-практическая конференция "Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии". Сборник статей. Москва, Изд. "Международный центр науки и образования".- 2013. - №12(12). - С.7 -И.