О следах дифференцируемых функций на группах Карно тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Пупышев, Илья Михайлович

• Пупышев, Илья Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пупышев, Илья Михайлович

Введение

История вопроса.

Содержание диссертации.

1 Обозначения и предварительные сведения 18 ® 1.1 Группы Карно и функциональные пространства

1.2 О следах функций из пространств Соболева па группах Карно

1.3 Интегральные неравенства.

1.4 Интерполяционные теоремы.

2 Теоремы типа Уитни о продолжении дифференцируемых функций

2.1 Формула Тейлора на группах Карно

2.1.1 Свойства дифференциальных операторов.

2.1.2 Формула Тейлора.

2.2 Теоремы типа Уитни для пространств Липшица

2.2.1 Пространства Липшица.

2.2.2 Свойства многочленов тейлоровского тина на группах

Карно.

2.2.3 Декомпозиция Уитни.

2.2.4 Оператор продолжения.

2.2.5 Доказательство теоремы о продолжении.

2.2.6 Теорема о продолжении для пространства Липшица с модулем непрерывности более общего вида.

2.3 Обобщение классической теоремы Уитни ф на группах Карно.

3 О граничных значениях дифференцируемых функций

3.1 Пространства и Н^П).

3.1.1 Внутренние метрики

3.1.2 Эквивалентные нормировки.

3.2 Граничные значения дифференцируемых функций.

3.2.1 Пополнение метрических пространств

3.2.2 Существование оператора следа.

3.2.3 Существование оператора продолжения

3.3 Продолжение дифференцируемых функций за границу области определения.

4 Следы функций из пространств Соболева на множествах Альфорса групп Карно

4.1 О (¿-мерах Альфорса.

4.2 Ядро Бесселя и бесселевы потенциалы.

4.3 Теорема о следах.

4.4 Теорема о продолжении.

4.4.1 Декомпозиция Уитни и оператор продолжения.

4.4.2 Леммы

4.4.3 Доказательство теоремы о продолжении.

4.5 Продолжение функций классов за границу области.

4.5.1 Леммы

4.5.2 Оператор продолжения.

4.5.3 Аппроксимация С°°-гладкими функциями.

4.6 Граничные значения функций классов \Ур(И).

5 Краевая задача для полисубгармонического уравнения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О следах дифференцируемых функций на группах Карно»

История вопроса

В конце 30-х годов прошлого века в широко известной серии работ С. Л. Соболев определил понятие обобщенной производной и исследовал классы функций, имеющих обобщенные производные класса Ьр до заданного порядка. Для этих классов, получивших названия пространств Соболева \У1р, он установил теоремы вложения, которые нашли многочисленные применения в теории дифференциальных уравнений и других областях математики. В дальнейшем в работах С. М. Никольского, О. В. Бесова, II. Стейиа и других математиков была развита теория вложения классов функций.

Необходимость введения пространств с обобщенным дифференцированием была продиктована задачами теории уравнений в частных производных. Постановка красных задач для дифференциальных уравнений приводит к необходимости интерпретировать граничные значения или следы функций на множествах меньшей размерности.

Существует несколько различных подходов к определению следов. Один из них основан на теореме Лебега о дифференцировании. В этом случае след функции па множестве ненулевой емкости определяется как предел средних значении функции по шарам, радиусы которых стремятся к нулю. Другой способ определения следов, впервые предложенный 15 работе Н. Ароншайна, Ф. Муллы и П. Шеитыцкого [48|, основан на интегральных представлениях функций. Ещё один подход использует приближение функций из рассматриваемых пространств гладкими функциями. В этом случае следом функции называется предел последовательности следов гладких функций, сходящихся к данной функции в норме исходного пространства.

Вопрос корректной постановки краевой задачи приводит к задаче описания пространства следов для данного функционального пространства. При этом желательно иметь обратимую характеристику следов.

Вопросы вложения функциональных пространств разных измерений изучались еще С. Л. Соболевым [37] (см. также монографию |38|). Он доказал теоремы вложения пространств ТКр(Кп) в Ьч{Ш.т). Дополнения к теоремам вложения Соболева были получены в работах В. И. Кондрашова, В. П. Ильина и Э. Гальярдо. Эти результаты были точными в шкале Ьч, однако не были обратимыми.

Впервые полное описание следов функций из пространств Соболева \Ур(С), где (7 — область в К" с достаточно гладкой границей, было получено при р = 2 Н. Арон-шайном [47] и независимо от него В. М. Бабичем и Л. Н. Слободецким ¡1], Л. II. Сло-бодецким [39]. В работе Э. Гальярдо [61] получены обратимые характеристики следок для пространства \¥р((?), 1 ^ р < со, в области С с лишшщсвой границей.

Описанию следов функций из пространств 11^(МП), / > 0 — целое, 1 < р < оо, на линейных подпространствах Мт, где 0 < т < п — целое, посвящены работы многих математиков: II. Ароншайна, Л. Н. Слободецкого, Э. Гальярдо, П. И. Лизоркина [25[, С. В. Успенского [43] и др. В окончательном виде задача решена в работах О. В. Бесова [2,3|, и результат можно записать в виде

Мп)к- = В^р(Шт), где /3 = I — (п — т)/р > 0.

Пространства были определены в работах О. В. Бесова и получили название пространств Бесова.

Задача описания следов функций из пространств Бесова Вр(](Шп), 1 ^ р, д ^ оо, а > 0, в окончательном виде была решена О. В. Бесовым [3]. Этой работе предшествовали работы многих математиков, содержащие частные результаты: О. В. Бесова, С. М. Никольского (для д = оо — см., например, книгу [31, гл. 0|), М. Тейблсона [71], В. II. Буренкова [50] и других. Результат кратко можно записать в виде

В;Л{Кп)|г» = В^(Шт), где р = а-{п- т)/р > 0.

Эти результаты были обобщены на случай анизотропных пространств С. М. Никольским (для q = оо, [32]) и О. В. Бесовым ( [2], см. также книгу С. М. Никольского [31, гл. б[).

Аналогичным образом описываются следы функций из пространств \Ур(С), В1р ч(С7) и #¿(6?) = В'^О) на неплоских подмножествах (7, где С7 — область в М™ с гладкой границей. Наиболее важен случай, когда рассматриваются следы функций на границе ОС области С. В различных случаях при 1 < р < оо такие результаты для многообразий Гт гладкости не меньшей I установлены Э. Гальярдо, Н. Ароншайном, В. М. Бабичем и Л. Н. Слободецким, О. В. Бесовым, С. М. Никольским [32] (для //£(£)), Л. Н. Слободецким [40] (для т = п~ 1), С. В. Успенским [43| (для

ИДО, 1-{п- т)/р € (0, оо) \ N и для I, I - {п - тп)/р е (0, оо) \ М). В работах В. П. Ильина [22], В. В. Шанькова [44], А. Ионссона [64] рассмотрены многообразия меньшей гладкости г > I — (п — т)/р > 0. В этих случаях следы также характеризуются в терминах пространств Бесова:

У1(С)= В^р(Тт), |р. = В^(Тт), где (5 = I - (п - тп)/р > 0.

Шкала пространств Соболева вкладывается в шкалу пространств бесселевых потенциалов Ьр(Е"), где а > 0 — действительное число, 1 < р < оо. Задача описания следов бссселевых потенциалов па К"1, где 0 < гп < п — целое, решена в работах II. Стейна [70], П. И. Лизоркина [26], Н. Ароншайна, Ф. Муллы и П. Шептыцко-го [48]. Результат состоит в том, что

1Г)[Кт = В^р{Жт), где Р = а-(п- т)/р > 0.

Основой для этих результатов послужили работы Э. Гальярдо [61] и Н. Ароншайна и К. Смита [49]. Обобщение на анизотропные классы получено П. И. Лизоркиным [27] (подробнее см. в книге С. М. Никольского [31, гл. 9[).

Для областей С С М™, границы которых содержат углы, изучение подобных вопросов было начато С. М. Никольским [33] для пространств Н1р и продолжено Г. Н. Яковлевым [45] (для плоской области), В. Г. Мазьей, С. В. Поборчим, М. К). Ва-сильчиком, В. И. Буренковым и другими математиками.

Обратимая характеристика наборов следов функций вместе с их производными из пространств \VjXG) и В1 (й) на линшицевых многообразиях Гт, где 1—(п—т)/р € (0, оо)\М, предложена О. В. Бесовым [4,5] (случай I = 1 был исследован ранее Э. Гальярдо [61]). Она приводится в терминах многочленов типа многочленов Тейлора. Подобные многочлены использовались еще X. Уитни [74] при характеризации следа I раз непрерывно дифференцируемой функции на произвольном замкнутом множестве (см. также книгу И. М. Стейна [41]).

В работах [65—67] А. Йонссон и X. Валлин комбинируют подход X. Уитни с подходом О. В. Бесова. Они изучили следы функций из пространств бесселевых потенциалов Ьр, 1 < р < оо, и Бесова Вс*л, 1 < р, <7 < оо, /? = а—(п—(1)/р Е (0, оо), заданных во всем пространстве Е", на замкнутых множествах Г^ С К™ хаусдорфовой размерности (1, 0 < (1 < п, с некоторыми условиями регулярности (в современной литературе; такие множества называются множествами Альфорса). Они определили обобщенные пространства Бесова (Р*), в терминах которых описали следы функций при /3 ^ N. В случае ¡3 £ N описание следов было приведено через аппроксимационную характеристику. Для построения оператора продолжения авторы модифицировали подход Уитни [74] (см. также [41]).

Существует много частных результатов для пространств Соболева, заданных в области с кусочно-гладкой нелиншицевой границей. Предполагается, что граница области представляет собой кусочно-гладкую, нерегулярную поверхность с нулевыми углами (пики или гребни). В этом случае описание граничного поведения функции существенно зависит от геометрии области. В работах Г. Н. Яковлева [46|, В. Г. Ма-зьи [28], В. Г. Мазьи и С. В. Поборчего [29,30], М. 10. Васильчика были получены результаты для пространства 1 < р < оо, заданного в плоской области, на границе этой области. М. 10. Васильчик получил описание следов функций из 11^(6') вместе с производными для I ^ 1,1 < р < оо и плоской области (7, имеющей внешний или внутренний пик (нулевой угол) па границе [7,8], а также исследовал некоторые случаи областей в К™ при п ^ 3 с пулевыми углами на границе, в частности, случай вершины внешнего пика и некоторые виды гребней при I = 1, 1 < р < оо [6[.

С. К. Водопьянов использовал модифицированный подход Уитни для описания граничных значений функций из пространств Соболева IV^(С) и Никольского 11^(0), заданных в произвольной области евклидова пространства [9-11,72,73]. Преимущество этого метода состоит в том, что он применим к любой области независимо от гладкости ее границы.

Однако, многие вопросы в теории вложения функционал!,пых пространств остаются открытыми. Одно из направлений для исследований — изучение пространств в областях с нерегулярными границами. Другое направление — более сложные геометрии, отличные от евклидова пространства. Важный класс таких геометрий представляют пространства Карно — Каратеодори и, в частности, группы Карно.

Сумма квадратов горизонтальных векторных полей алгебры Ли группы Карно представляет собой субэллинтический оператор. Субэллиптические операторы удовлетворяют условиям гипоэллиптичиости Л. Хёрмандера [63] и, следовательно, обладают тем важным свойством, что обобщенное решение краевых задач с гладкой правой частью для такого оператора представляет собой гладкую функцию. В настоящее время теория субэллингических уравнений интенсивно развивается. Многие задачи, решение которых известно для уравнений эллиптического типа, все еще остаются открытыми в субэллиитической теории.

Проблемы корректной постановки краевых задач для субэллингических уравнений приводят нас к задаче описания следов пространств Соболева на группах Карно.

Обобщение классических результатов на случай более общих геометрий сопряжено с определенными трудностями. Многие фундаментальные теоремы анализа, справедливые в евклидовом пространстве, либо не выполняются на группах Карно, либо их доказательство требует новых методов.

В работе [56] Д. Даниелли, Н. Гарофало и Д. М. Нхеу изучают следы пространства 1 < р < оо, где П — область в пространстве Карно — Каратеодори, на множествах Альфорса. Авторы доказывают теоремы о следах и продолжении, а также приводят примеры множеств Альфорса на группах Карно, определяя соответствующую меру Альфорса. Так, множеством Альфорса будет граница области О класса С2 двухступенчатой группы Карно, если рассмотреть на ней определенную специальным образом периметрическую меру. В качестве следствия авторы получают теорему о граничных значениях функций пространства Соболева (11), где П — ограниченная область класса С2 двухступенчатой группы Карно. В работе [54] доказано, что это утверждение верно и для областей класса С1'1.

По-прежнему остаются актуальными и вопросы продолжения для гладких и лии-шнцевых функций при различных условиях. В серии недавних работ Ч. Феффер-мана [57) получены некоторые обобщения классической теоремы Уитни. В работах А. А. Клячина и В. М. Миюпокова [23,24] была рассмотрена задача продолжения функций с ограничениями на градиент. В этом случае задача может быть сведена к проблеме продолжения липшицевых функций в псевдометрическом пространстве. Полученные авторами результаты были применены к проблемам разрешимости краевых задач для уравнений с частными производными.

Содержание диссертации

Диссертация содержит 152 страниц и состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 74 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пупышев, Илья Михайлович, 2006 год

1. М., Слободецкий Л. Н. Об ограниченности интеграла Дирихле // Докл. АН СССР. - 1956. - Т. 100, № 4. - С. 001-007.

2. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения // ДАН СССР. 1959. - Т. 120. - С. 1103-1105.

3. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения // Тр. МИЛН СССР. — 1901. — Т. 00. С. 42-81.

4. Бесов О. В. Поведение дифференцируемых функций на негладкой поверхности // Тр. МИ АН СССР. 1972. - Т. 117. - С. 3-10.5| Бесов О. В. О следах на негладкой поверхности классов дифференцируемых функций // Тр. МИАН СССР. 1972. - Т. 117. - С. 11-21.

5. Васильчик М. 10. О следах функций из пространств Соболева 1Vх, определенных в областях с иелиишицевой границей // Тр. Ин-та Математики / РАН. Сиб. отд-ние. — 1989. — Т. 14: Совеременные проблемы геометрии и анализа. — С. 9—45.

6. Васильчик М. 10. Граничные свойства функций из пространства Соболева, определенных в плоской области с угловыми точками // Сиб. мат. жури. — 1995. — Т. 30, т. С. 787-804.

7. Водопьянов С. К. Формула Тейлора и функциональные пространства: Учеб. пособие / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 1988. — 96 с.

8. Водопьянов С. К. Изонериметрические соотношения и условия продолжения дифференцируемых функций // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 292, № 1. -С. 11-15.

9. Водопьянов С. К. Внутренние геометрии и пространства дифференцируемых функций / Функциональный анализ и математическая физика. — Новосибирск, 1987. С. 18-38.

10. Водопьянов С. К. ¿р-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах / Современные проблемы геометрии и анализа. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1989. С. 45-89.

11. Водопьянов С. К., Кудрявцева Н. А. Нелинейная теория потенциала для пространств Соболева на группах Карно // Сиб. маг. журн. (в печати).

12. Водопьянов С. К., Гольдштейп В. М., Латфуллип Т. Г. Критерий продолжения функций класса Ь\ из неограниченных плоских областей // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 2. - С. 410-419.

13. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. О продолжении функций ограниченной средней осцилляции на пространствах однородного типа с внутренней метрикой // Сиб. мат. журнал. 1995. - Т. 30, № 5. - С. 1015-1048.

14. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Теоремы типаУитни о продолжении функций на группах Карно // Докл. АН. 2000. - Т. 400, № 5. - С. 580-590.

15. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Теоремы тина Уитни о продолжении функций на группах Карно // Сиб. мат. журнал. — 2000. — Т. 47, № 4. С. 731-752.

16. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. О граничных значениях дифференцируемых функций, заданных в произвольной области группы Карно // Докл. АН. — 2000. Т. 408, Л* 3. - С. 1-5.

17. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. О граничных значениях дифференцируемых функций, заданных в произвольной области группы Карно // Мат. труды. — 2006. Т. 9, № 2. - С. 1-24.

18. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Следы пространств Соболева на множествах Альфорса групп Карно. — Новосибирск, 2000. — 65 с. — (Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Нн-т математики; Л"2 172).

19. Грешнов А. В. Продолжение дифференцируемых функций за границу области на группах Карно // Тр. Ип-та математики / РАН. Сиб. отд-ние. 1996. Т. 31. С. 161-186.

20. Ильин В. II. Свойства некоторых классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных в п-мерной области // Тр. МИАН СССР. — 1962. — Т. 66.- С. 227-363.

21. Клячин А. А., Миклюков В. М. Пространственноподобные гиперповерхности и задача о продолжении функций с ограничениями на градиент // ДАН СССР. — 1991. Т. 320, № 4. - С. 781-784.

22. Клячин А. А., Миклюков В. М. Следы функций с нростраиствеппоподобными графиками и задача о продолжении при ограничениях па градиент // Матем. сб. 1992. - Т. 183, № 7. - С. 49-64.

23. Лизоркин П. И. Граничные свойства функций из «весовых» классов // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 132, Л"2 3. - С. 514-517.

24. Лизоркин П. И. Характеристика граничных значений функций из Ьтр(Еп) па гиперплоскостях // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 150, № 5. - С. 984-986.

25. Лизоркин П. И. Неизотропные бесселевы потенциалы. Теоремы вложения для пространства Соболева Ь'р1. с дробными производными // Докл. АН СССР.- 1966. Т. 170, № 3. - С. 508-511.

26. Мазья В. Г. О функциях с конечным интегралом Дирихле в области с вершиной пика на границе // Зап. научи, семинаров ЛОМИ. — 1983. — Т. 126. — С. 117-137.

27. Мазья В. Г., Поборчий С. В. О следах функций с суммируемым градиентом в области с вершиной пика па границе // Матем. заметки,— 1989. — Т. 45, №1. — С. 57-65.

28. Мазья В. Г., Поборчий С. В. Следы функций из пространств Соболева на границе области с пиком // Современные проблемы геометрии и анализа. Новосибирск: Наука, 1989. С. 9-45.

29. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Изд-во «Наука», Главная редакция Физико-математической литературы, 1969. 480 с.

30. Никольский С. М. Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях // Мат. сб. — 1953. — Т. 33 (75), Л"2 2. — С. 261-326.

31. Никольский С. М. Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми точками // Мат. сб. I. - 1956. - Т. 40(82), № 3. - С. 303 318; II. -1957. - Т. 44(86), Л"« 1. - С. 127-144; III. - 1958. - Т. 45(87), № 2. - С. 181-194.

32. Пунышев И. М. Продолжение функций классов Соболева за границу области на группах Карпо. — Новосибирск, 2006. — 23 с. — (Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; Л*2 173).

33. Романовский II. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга // Докл. АН. — 2002. — Т. 382, Ко 4. — С. 456-459.

34. Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Матем. сб. — 1938. Т. 4, № 3. - С. 471-497.

35. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. — 255 с.

36. Слободецкий JI. Н. Пространства С. Л. Соболева дробного порядка и их приложения для дифференциального уравнения в частных производных // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 118, № 2. - С. 243-246.

37. Слободецкий Л. Н. Оценки в Ьр решений эллиптических систем // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 120, № 3. - С. 616-619.

38. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — пер. с. англ. М.: Изд-во «Мир», 1973. — 342 с.

39. Стейн И. М., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — пер. с. англ. — М.: Изд-во «Мир», 1974. — 331 с.

40. У< ;пенский С. В. Свойства классов W* с дробной производной на дифференцируемых многообразиях // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 132, JV« 1. - С. 60-62.

41. Шаньков В. В. Оператор усреднения с переменным радиусом и обратная теорема о следах // Сиб. мат. журн. 1985. - Т. 26, № 6. - С. 141-152.

42. Яковлев Г. Н. Граничные свойства функций класса па областях с угловыми точками // Докл. АН СССР.- 1961. Т. 140, М. - С. 73-76.

43. Aronszajn N., Mulla F., Szeptycki P. On spaces of potentials connected with Lp spaces // Ann. Inst. Fourier. 1963. - V. 13. - P. 211-306.49| Aronszajn N., Smith К. T. Theory of Bessel potentials. I // Анн. Inst. Fourier. — 1961. V. 11. - P. 385-475.

44. Burenkov V. I. Imbedding and continuation for classes of differentiable functions of several variables defined on the whole space. — Progress in Math. — New York, Plenum Press. 1968. - V. 2. - P. 73-161.

45. Calderón A. P. Intermediate spaces and interpolaton, the complex method // Studia Math. 1964. - V. 24. - P. 113-190.

46. Capogna L., Garofalo N. Boundary behavior of non-negative solutions of subelliptic equations in NTA domains for Carnot-Carathéodory metrics // Journal of Fourier Anal, and Appl. 1998. - V. 4, № 4-5. - P. 403-432.

47. Capogna L., Garofalo N. Ahlfors regularity of the perimeter measure for minimally smooth hypersurfaces in Carnot-Carathéodory spates. — Preprint, 2002.

48. Capogna L., Garofalo N. Ahlfors regularity in Carnot-Carathéodory spaces (to appear).

49. Capogna L., Garofalo N., Nhieu D.-M. Properties of sub-elliptic harmonic measures. Part II: General Hormander type operators. — Preprint, 2001.

50. Danielli D., Garofalo N., Nhieu D.-M. Non-doubling Ahlfors measures, perimeter measures, and the characterization of the trace spaces of Sobolev functions in Carnot-Carathéodory spaces. — Purdue University, preprint, 2002. — 102 p.

51. Fefferman C. A sharp form of Whitney's extension theorem. // Annals of Math. — 2005. V. 161, № 1. - P. 509-577.

52. Folland G. B. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups // Ark. Math. 1975. - V. 13. - P. 161-207.

53. Folland G. B., Stein E. M. Hardy spaces oil homogeneous groups. — Princeton, New Jersey, 1982. 284 p.

54. Franchi B., Serapioni II., Serra Cassano F. Rectifiability and perimeter in the Heisenberg group // Math. Arm. 2001. - V. 321, № 3. - P. 479-531.

55. Gagliardo E. Caratterizzazione delle trace sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili // Rend. Sem. Matem. univ. di Padova. — 1957. — V. 27. — P. 284-305.

56. Garofalo N., Nhieu D.-M. Lipschitz continuity, global smooth approximations and extension theorems for Sobolev functions in Carnot-Carathéodory spaces // J. Anal. Math. 1998. - V. 74. - P. 67-97.

57. Hörmander L. Hypoelliptic second-order differential equations // Acra Math. — 19G7.- V. 119. P. 147-171.

58. Johnsson A. Besov spaces on submanifolds of R™ // Analysis. — 1988. — V. 8. — P. 225-269.

59. Johnsson A. The trace of potentials on general sets // Ark. Mat. — 1979. — V. 17.- P. 118.

60. Johnsson A., Wallin II. A Whitney extension theorem in Lp and Besov spaces // Ann. Inst. Fourier. 1978. -V. 28. - P. 139-192.

61. Johnsson A., Wallin H. Function Spaces on Subsets of R". Mathematical Reports, 1984, V. 2. P. 1-221.

62. Jones P. W. Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces // Acta Math. 1981. - V. 147. - P. 71-88.

63. Monti R., Morbidelli D. Regular domains in homogeneous groups. — Preprint, 2001.

64. Stein E. M. The characterization of functions arizing as potentials, II // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. - V. 68. - P. 577-582.

65. Taibleson M. H. On the theory of Lipschitz spaces of distributions on Euclidean n-space, I // J. Math. Mech. 1964. - V. 13. - P. 407-480.

66. Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. - V. 36. - P. 63-89.