О решении некоторых задач динамики океана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Друца, Алексей Валерьевич

• Друца, Алексей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Друца, Алексей Валерьевич

Введение

1 Существование «в целом» решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразии

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Основные обозначения.

1.1.2 Система уравнений и краевые условия в инвариантной (тензорной) форме.

1.1.3 Система уравнений и краевые условия в координатной (тензорной) форме.

1.2 Подготовительные утверждения.

1.2.1 Утверждения дифференциальной геометрии.

1.2.2 Утверждения функционального анализа.

1.3 Априорные оценки.

1.3.1 Оценки для скорости, давления и плотности.

1.3.2 Оценки для производных скорости и плотности по вертикали

1.3.3 Оценки для производных скорости и плотности по времени

1.3.4 Итоговые априорные оценки

1.4 Существование и единственность решения системы.

1.4.1 Определение обобщенного решения.

1.4.2 Единственность решения

1.4.3 Существование решения «в целом».

1.5 Выводы.

2 Существование «в целом» и единственность решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Построение системы уравнений для неровного дна

2.1.2 Используемые обозначения.

2.1.3 Система уравнений с краевыми и начальными условиями

2.2 Априорные оценки.

2.2.1 Основные используемые утверждения.

2.2.2 Оценки для скорости, давления и плотности.

2.2.3 Оценки для производных скорости и плотности но вертикали

2.2.4 Оценки для производных скорости и плотности по времени

2.2.5 Итоговые априорные оценки

2.3 Существование и единственность решения системы.

2.3.1 Определение обобщенного решения.

2.3.2 Единственность решения

2.3.3 Существование решения «в целом».

2.4 Выводы.

Сходимость разностных схем для уравнений крупномасштабной динамики океана

3.1 Сетка, сеточные функции и операторы

3.1.1 Сетки

3.1.2 Сеточные функции и пространства.

3.1.3 Сеточные операторы.

3.1.4 Необходимые свойства операторов.

3.2 Разностная схема.

3.2.1 Система уравнений крупномасштабной динамики океана

3.2.2 Система уравнений разностной задачи.

3.2.3 Аппроксимация.

3.3 Априорные оценки.

3.4 Существование и единственность решения разностной схемы

3.5 Сходимость.

3.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О решении некоторых задач динамики океана»

Мировой океан является одним из основных факторов, влияющих на климат Земли. Для изучения такого влияния проводятся математические и физические исследования трехмерных моделей циркуляции океана. Данные исследования относятся к наиболее крупным и важным задачам математического моделирования геофизических процессов. Модели океана, наравне с моделями атмосферы, составляют основу изучения и решения задач краткосрочного прогноза погоды, долгосрочного изменения климата, а также моделирования развития катастроф как природного характера (цунами и др.), так и техногенного характера (разлив нефти и нефтепродуктов и др.)

Общепринято считать, что океан является слабо сжимаемой жидкостью, на которую действует сила Кориолиса. Основными величинами, описывающими движение и состояние океана, являются поле скоростей, температура, соленость, давление и плотность воды. Полная система уравнений, описывающая поведение данных величин, состоит из основных уравнений сжимаемой жидкости, на которую действует сила Кориолиса. Однако такая модель является чрезвычайно сложной как с точки зрения математического изучения, так и с вычислительной точки зрения. Как правило, во всех теоретических и практических исследованиях реальных физических систем всегда стараются сделать упрощающие предположения для передачи сути явления. Модель, описывающая крупномасштабную динамику океана, получается из трехмерной системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости путем упрощения уравнения для вертикальной компоненты скорости и введения уравнения для плотности (уравнений для температуры и солености). Это упрощение (называемое гидростатическим приближением) делается в силу того, что в масштабе океана вертикальные и горизонтальные характерные линейные размеры существенно отличаются друг от друга (десятки километров против тысяч километров). Система таких уравнений получила название система примитивных уравнений (англ. Primitive Equations, РЕ).

Исследование этой модели ведется не один десяток лет. За это время было доказано существование решения «в малом»: было показано, что для любого коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных условий существует интервал времени, на котором существует решение, причем интервал времени зависит от исходных данных задачи (см. работы Р. Темама и др. [?, 23]). Помимо этого, Ж.Л. Лион и Р. Темам [18] доказали существование решения «в целом» (для произвольного отрезка времени [О, Т]) при дополнительных предположениях о пространственной области. Однако получить окончательное обоснование корректности системы примитивных уравнений долгое время не удавалось. За последнее десятилетие в этом направлении математических исследований наиболее значимым шагом вперед стала работа Г.М. Кобелькова [13], в которой было доказано существование «в целом» и единственность обобщенного решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана в цилиндре над евклидовой плоской областью без специальных предположений о малости исходных данных задачи.

Помимо доказательства важного математического результата, работа [13] несет в себе и методологическую ценность. В данном труде доказательство существования «в целом» и единственности решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана ведется широко известным методом, суть которого заключается в получении некоторых априорных оценок решения дифференциальных уравнений (аналогичный метод был применен в работе Е.С. Тити [3]). Большая часть данных оценок получается из так называемых энергетических тождеств. В то же время обойтись только стандартными методами, применяемыми в линейных уравнениях, не удается. Так, в случае трехмерных уравнений Навье-Стокса, из которых получаются уравнения крупномасштабной циркуляции океана, вопрос корректности до сих пор остается одной из главных открытых проблем математики XX века. Однако, в отличие от уравнений Навье-Стокса, примитивные уравнения имеют более простую структуру в вертикальном направлении. Данным фактом пользуется Г.М. Кобельков в своей работе [13], где ему удается получить дополнительные оценки для производных решения в вертикальном направлении. Кроме того, для доказательства априорной оценки давления данный факт позволил применить новую технику, ранее не применяемую для получения подобных результатов. Одной из основных целей настоящей диссертации является изучение, применение и развитие методологии и техники работы [13].

В работах [3, 12, 13, 14] исследовались примитивные уравнения, которые описывают циркуляцию океана, расположенного над плоскостью. В то же время Мировой океан имеет непостоянную глубину и располагается на Земном шаре, а все уравнения, описывающие его динамику, рассматриваются на этой поверхности. Поэтому с практической точки зрения более важным является изучение модели крупномасштабной динамики океана на таких поверхностях. Обобщение результатов работы [13] на случай более широкого класса областей являлось центральной задачей диссертации. В результате данная задача в целом решена: удалось получить положительные результаты для уравнений описывающих, крупномасштабную динамику океана как в области, являющейся цилиндром над двумерным многообразием, так и в евклидовой области с неровным дном. Следует отметить, что параллельно с результатами данной диссертации расширение класса областей на случай неровного дна было также рассмотрено в работе И. Кукавитцы [15]. Однако в работе [15] на боковой границе области рассматривались граничные условия непротекания и прилипания, в то время как в работе [13], равно как и в данной диссертации, исследовались краевые условия непротекания и свободного скольжения.

В работе [13] доказательство априорных оценок, как упоминалось ранее, существенно опирается иа простую структуру примитивных уравнений в вертикальном направлении, кроме того, также существенно используется простота области в вертикальном направлении: область определения уравнений является цилиндром над двумерной плоской областью с некоторыми условиями регулярности. Это означает, что вопрос существования «в целом» и единственности решения уравнений крупномасштабной динамики океана в областях другого вида не является очевидным. Так, при исследовании этой задачи в области с неровным дном не удается доказать теорему существования и единственности, используя впрямую эту технику. Поэтому потребовалось несколько изменить постановку задачи. А именно, в системе уравнений делается замена вертикальной переменной так, чтобы в новых координатах (так называемой а-системе координат, см. работу В.Б. Залесного [9]) пространственная область имела вид цилиндра (данная операция оправдана также с точки зрения численного решения задачи). В результате модифицируются исходные уравнения и, в частности, в присутствующем в них операторе диффузии появляются смешанные производные. Их наличие существенно препятствует как получению результатов о существовании решения системы, так и построению численных методов решения задачи. Поскольку с точки зрения геофизики данные слагаемые не оказывают значимого влияния на соответствие модели реальным природным явлениям, в итоговой модели, описывающей динамику океана в области с неровным дном, смешанные производные отсутствуют [9]. Такая модель реализована в настоящее время на ЭВМ в ИВМ РАН [19, 9]. Кроме того, описанное изменение модели показывает, что обобщение результатов работы [13] на случай областей более общего вида не является очевидной процедурой, что является мотивацией для исследования модели, описывающей крупномасштабную динамику океана в цилиндре над двумерным многообразием, где техника [13] с небольшими изменениями дала положительный результат.

Другим направлением исследований по теме диссертации являлось обоснование корректности разностных схем для уравнений динамики океана. Вопрос сходимости решений разностной задачи к решению дифференциальной является одним из ключевых в обосновании корректности исследуемой разностной схемы. Несмотря на то, что для многих задач математической физики вопрос сходимости аппроксимирующих их разностных схем детально изучен и соответствующая техника исследований разработана, для уравнений крупномасштабной динамики океана эта проблема оставалась открытой на протяжении нескольких десятков лет. При этом численные методы активно применялись при решении практических задач моделирования динамики океана. Следует отметить, что в литературе имеется единственная [10] подобная попытка обоснования корректности разностных схем, но для уравнений динамики атмосферы, которые близки по своей структуре к примитивным уравнениям, при этом накладывались дополнительные условия на решение. Трудность исследования сходимости разностных схем для задачи динамики океана заключалась, прежде всего, в отсутствии соответствующих оценок решения как разностной схемы, так и исходной дифференциальной задачи. Отметим, что данная проблема распространяется также и на многие другие методы дискретизации примитивных уравнений, в частности, на конечно-элементные схемы.

Как упоминалось ранее, в публикациях последних лет [3, 13, 14] были получены априорные оценки для примитивных уравнений, а также было доказано существование решения «в целом». Это обстоятельство позволило сдвинуть дело с мертвой точки. В настоящей работе была исследована конечно-разностная схема, которая аппроксимирует примитивные уравнения со вторым порядком по пространственным переменным. Для решений данного типа схем была доказана сходимость к решению дифференциальной задачи при естественном предположении гладкости решения исходной задачи. Немаловажно отметить, что при доказательстве сходимости использовалась техника, заложенная в фундаментальных работах Г.М.Кобелькова [13, 14], а также примененная в настоящей работе при изучении систем уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразиях и в областях с неровным дном.

Результаты диссертации представлены в трёх главах и одном приложении. Первая глава диссертации посвящена исследованию системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области, представляющей собой «цилиндр» над произвольным двумерным гладким ориентированным римано-вым многообразием. В частности, данная задача моделирует движение океана, расположенного на таких поверхностях, как сфера и эллипсоид, являющихся приближениями Земного шара. Постановка системы уравнений с краевыми условиями приведена как в инвариантной тензорной форме, так и в координатной записи в натуральном базисе некоторой карты многообразия. Наличие двух разных постановок задачи позволяет использовать выписанные уравнения как при проведении теоретических исследований, так и при практическом применении численных методов. С использованием методики работы [13] выводятся ниже перечисленные априорные оценки решения данной задачи, в предположении его существования и достаточной гладкости:

0™ (ІИІ4 + НІ4 + HI + \\d2w\\ + ИЭДЦ + ІІЗД4 + ll^u||4 + \\Pt\\ + \Ы\ + ИVp|| + ||Vu||) ^ С, т

J (\\v3p2\\2 + ||uV3u||2 + \\p\\\ + \\udzw\\2 + IlVs^ll2 + IIV3CUII2 0 ||^uV3^u||2 + HVsaII2 + HVsUill2) di ^ c, где константы зависят от исходных данных задачи, || • ||и|| • |І4 — нормы в пространствах Lzfä) и соответственно, V3 — градиент по всем пространственным переменным, а V — градиент по горизонтальным пространственным переменным. Далее в главе формулируется определение обобщенного решения примитивных уравнений. С использованием приведенных выше априорных оценок доказывается теорема существования «в целом» и единственности решения. А именно, доказывается, что для произвольного проме- • жутка времени [О, Т] в трехмерной области Q = Q' х [—h, 0], где h = const, а Q' — компактно вкладывающаяся область двумерного многообразия Л4, для любых коэффициентов вязкости /і, і/, V\ > 0 и любых начальных условий Ґ iio Є W^fi), / divuodz = 0, ро Є Wf(^) существует единственное обоб

J-h щенное решение, dz\i Є W\(QT)> dzp Є W£(QT) и нормы ||u||wi(n), ||p||wi(n) непрерывны по t.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном. Данная система моделирует океан, который расположен иа плоскости и имеет непостоянную глубину. Вначале рассматриваются стандартные примитивные уравнения, в которых делается замена неременных, выравнивающих дно области. Далее, по аналогии с первой главой, выводятся априорные оценки решения примитивных уравнений, которые лежат в основе доказательств существования и единственности. Среди данных оценок (аналогичных тем, что получены в первой главе) наиболее важными являются оценки норм ||р||ь4(п)5 тахг ||ü||L4(n), max* ||üs||L2(n), max( H/oJj^n), maxt ||й4||ь2(п), max* \\рі\\ь2(п), где s — вертикальная переменная. Их доказательство занимает значительную часть всей главы. При наличии указанных оценок доказательство существования и единственности проводится относительно стандартными методами. Таким образом, доказано, что для произвольного промежутка времени [О, Т], любых коэффициентов вязкости ь>,ь>1 > 0, любой глубины Н € С2(Г2'), Н ^

Но > 0 и любых начальных условий йо = (^1,^2) £ / (д\(Нщ) +

Яг^)) ¿в = 0, ро 6 IV2 (О,) существует единственное обобщенное решение, й5 е W 1{Ят), Ра е \VHQt) и нормы ||Уй||ьа(п) |^р|иа(п) непрерывны по где й — вертикальная переменная.

Третья глава диссертации содержит исследование неявной линеаризованной разностной схемы, которая аппроксимирует систему уравнений крупномасштабной динамики океана в единичном кубе со вторым порядком по пространственным переменным на сетках, аналогичных сеткам Лебедева [17], которые используются в практических расчетах. При помощи техники работы [13] для данной схемы получены априорные оценки решения, а также доказана корректность задачи. В частности, доказана сходимость решений дискретных задач к решению дифференциальной задачи. А именно, в предположении достаточной гладкости решения доказано, что имеет место сходимость к точному решению дифференциальной задачи с порядком 0(/г3/2+т) в м .ч1/2 сеточной норме ( тах ||г/т)|2 + т 11и™112 ) 5 здесь ит = и(тт) = (^1,^2) О^т^М тп=0 ' горизонтальная компонента вектора скорости на сетке на временном слое I = тт, а Ц^Ц — сеточная норма Ъч градиента V.

В приложении А приводится подробное описание проведенных автором численных экспериментов, результаты которых полностью согласуются с доказанным утверждением о сходимости. Более того, ряд численных экспериментов показал, что, по-видимому, порядок сходимости нельзя улучшить, несмотря на то, что разность в приведенных порядках аппроксимации и сходимости по пространственным переменным равна 1/2.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на международных конференциях молодых ученых «Ломоносов» 2009, 2010 и 2011 годов, на международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» в 2010 году, а также на 5-ой международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» в 2011 году. Помимо этого, результаты неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, института вычислительной математики РАН в 2008-2011 годах.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Георгию Михайловичу Кобелькову, за постановки задач, за помощь и поддержку на протяжении всей научно-исследовательской деятельности, приведшей к получению результатов, изложенных в настоящей диссертации. Автор также выражает глубокую благодарность академику РАН Валентину Павловичу Дымникову за постановку задачи о сходимости разностных схем для примитивных уравнений и плодотворные обсуждения получаемых результатов. Кроме того, автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику Института вычислительной математики РАН Владимиру Борисовичу Залесному за постановку задачи о примитивных уравнениях в области с неровным дном и на сфере, плодотворные консультации и обсуждения результатов. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, в особенности Арушаняну И.О., Арушаняну О.Б., Богачёву К.Ю., Валединскому В.Д., Григорьеву И.С., Корневу A.A., Лапшину Е.А., Ольшанскому М.А., Попову A.B., Староверову В.М., Чижонко-ву Е.А., в прекрасном коллективе которых сформировалось его профессиональное видение проблематики современной науки и методики её преподавания в университете.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Друца, Алексей Валерьевич

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

Доказана теорема существования «в целом» и единственности решения для системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области, представляющей собой «цилиндр» над произвольным двумерным гладким ориентированным римановым многообразием. Получены априорные оценки для решения данной системы.

Доказана теорема существования «в целом» и единственности решения для системы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном. Получены априорные оценки для решения данной системы.

Для решений разностных схем, аппроксимирующих уравнения крупномасштабной динамики океана в единичном кубе со вторым порядком по пространственным переменным, доказана сходимость к решению дифференциальной задачи с порядком О (г + /г3/2). Проведены численные эксперименты, результаты которых согласуются с данным теоретическим результатом.

Заключение

Изучение влияния Мирового океана на климат Земли ведется не один десяток лет в различных областях науки и техники. В частности интенсивно строились, развивались и изучались разнообразные модели динамики океана и атмосферы [8]. В последние годы проводилось множество практических вычислительных исследований математических моделей крупномасштабной динамики океана. Одной из основных таких моделей принято считать так называемые Примитивные уравнения. Для обоснования применимости (корректности) данной системы уравнений сначала были доказаны теоремы существования «в малом» и теоремы существования при некоторых предположениях малости исходных данных. Несколько лет назад в работе [13] была доказана теорема существования «в целом» и единственности решения на произвольном промежутке по времени. Данный результат был получен в области, представляющей собой цилиндр над евклидовой плоской областью. Но к этому времени вычислительные комплексы и системы позволяли проводить исследования примитивных уравнений уже в областях, форма которых соответствует реальным бассейнам Мирового океана. Таким образом, встал вопрос о корректности примитивных уравнений в областях тех форм, которые реально используются в практических расчетах. Его решение представляет собой основную часть диссертации.

Кроме того, применяемые на практике численные методы не имели строго математического обоснования корректности, поскольку данный факт не был установлен в дифференциальном случае. С получением доказательства фундаментального факта [13] ситуация изменилась, и встал вопрос корректности методов, используемых при вычислениях. Начало изучения данной проблемы является другой частью диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Друца, Алексей Валерьевич, 2011 год

1. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков, Численные методы, "Бином. Лаборатория знаний", Москва, 2003.

2. К.Ю. Богачев, Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ, "Изд. ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ", Москва, 1999.

3. С. Cao, E.S. Titi, Global well-posedness of the three-dimensional viscous primitive equations of large scale ocean and atmosphere dynamics, Annals of Mathematics, 2007, 166(1), pp. 245-267.

4. A.V. Drutsa, Existence 'in large' of a solution to primitive equations in a domain with uneven bottom. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2009, vol.24, No.6, pp. 515-542.

5. A.B. Друца, Существование «в целом» решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразии. Мат. сборник, 2011, т. 202, вып. 10, стр. 55-86.

6. А.В. Друца, Г.М. Кобельков, О сходимости разностных схем для уравнений крупномасштабной динамики океана. ДАН, 2011, т. 440, №6, стр. 727-730.

7. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия: Методы и приближения, "Эдиториал УРСС", Москва, 1998.

8. В.П. Дымников, Устойчивость и предсказуемость крупномасштабных атмосферных процессов, "ИВМ РАН", Москва, 2007.

9. V.B. Zalesny, Mathematical model of sea dynamics in a a-coordinate system, Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2005, V. 20, N. 1, pp. 97-113.

10. В.Jl. Зотов, Об одной разностной схеме для системы уравнений динамики атмосферы, Вестник Моск.Университета. Серия: Вычислительная математика и кибернетика, 1988, с. 14-22.

11. А.А. Киселев, О.А. Ладыженская, О существовании и единственности решения нестационарной задачи для вязкой несжимаемой жидкости , Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:5, 655-680.

12. Г.М. Кобельков, Существование решения «в целом» для уравнений динамики океана, ДАН, 2006, т.407, 4, с.457-459.

13. G.M. Kobelkov, Existence of a solution "in the large" for ocean dynamics equations, J. math, fluid mech., 2007, 9, pp. 588-610.

14. G.M. Kobelkov, Existence of a solution "in the large" for the 3D large-scale ocean dynamics equations, C.R. Acad. Sci. Paris, 2006, Ser. I 343, pp. 283286.

15. I. Kukavica, M. Ziane, On the regularity of the primitive equations of the ocean, Nonlinearity, 2007, 20, pp. 2739-2753.

16. O.A. Ладыженская, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, "Наука", Москва, 1970.

17. В.И. Лебедев, Метод конечных сеток для уравнений типа С.Л. Соболева, ДАН СССР, 1957, т. 114, №6, с.1166-1169.

18. J.L. Lions, R. Temam, S. Wang, On the equations of the large-scale ocean, Nonlinearity, 1992, 5, pp. 1007-1053.

19. G.I. Marchuk, A.S. Rusakov, V.B. Zalesny, and N.A Diansky, Splitting Numerical Technique with Application to the High Resolution Simulation of the Indian Ocean Circulation, Pure appl. Geophys., 2005, V. 162, pp. 14071429, DOI 10.1007/s00024-005-2677-8.

20. G.I. Marchuk, A.S. Sarkisyan eds., Mathematical models of ocean circulation, Novosibirsk, Nauka, 1980.

21. C.A. Назаров, Б.А. Пламеневский, Эллиптическе задачи в областях с кусочно гладкой границей, "Наука", Москва, 1991.

22. C.JI. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, "Наука", Москва, 1988.

23. R. Temam, М. Ziane, Some mathematical problems in geophysical fluid dynamics, Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, vol. 3, S. Frielander and D. Serr Eds, Elsevier, pp. 535-658, 2004.

24. Ф. Уорнер, Основы теории гладких многообразий и групп Ли, "Мир", Москва, 1987.

25. Д.К. Фадеев, В.Н. Фадеева, Вычислительные методы линейной алгебры, "Физматлит", Москва, 1960.