О промежутках единственности решений многоточечных краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Аль-Джоуфи Салах Али Салех

• Аль-Джоуфи Салах Али Салех
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аль-Джоуфи Салах Али Салех

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА I. Законы распределения нулей решений уравнения L[x\ = 0 в терминах докритических промежутков краевых задач

Валле-Пуссена

§ 1.1. О нетривиальных решениях краевых задач

§ 1.2. Вспомогательные леммы

§ 1.3. Теоремы о соотношениях между докритическими

промежутками краевых задач

§ 1.4. Теоремы об условных соотношениях между

докритическими промежутками

ГЛАВА И. Законы распределения нулей решений и их

производных уравнения L[x] = 0

§ 2.1. Предварительные леммы

§ 2.2. Теоремы о соотношениях между докритическими

промежутками краевых задач неваллепуссеновского типа

ГЛАВА III. Оценки промежутков единственности решений

краевых задач

§ 3.1. Связь между краевыми задачами и интегральными

уравнениями

§ 3.2. Функция Грина трехточечной краевой задачи

§ 3.3. Однозначная разрешимость краевых задач с

фиксированными точками

§ 3.4. Оценки собственных значений трехточечных

краевых задач

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О промежутках единственности решений многоточечных краевых задач»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена законам распределения нулей решений линейного однородного дифференциального уравнения пятого порядка в терминах докритиче-ских промежутков многоточечных краевых задач Валле-Пуссена и задач невалле-пуссеновскош типа.

Краевые задачи

¿5[х]=х Xlv-g3(t)xm-g2(t)x''-gl(t)x' (0.0.1)

= х\Ц = х"(?]) = х""(?|) = х(^ ) = 0? а<ь<г2, (0.0.2)

= Х&2 = Х'(/2) = ХЧГ2) = ^2) = 0, я < < ¿2, (0.0.3)

= хк(?1) = х(?2) = х'«2) = 0, (0.0.4)

х{ц = Х(?2 ) = Х'^2 ) = х"(?2 ) = 0, а<и < г2, (0.0.5)

= Х% = х"^) = х(*2) = х(*3) = 0 , а<Ь<12<и, (0.0.6)

= х(/2 = х(?з) = х'(?з) = х"(Г3 ) = 0, а<и<Ь<Ь, (0.0.7)

х(?1 = х'(г2) = х"(г2) = *0з) = 0> (0.0.8)

х{Ц = Х\Ч = х(/2) = х'(*2) = *('з) = 0> а<и<Ь<Н (0.0.9)

х{Ц = х\Ц = х(^2) = х(?з) = х'(?з) = 0, а<и<12<и, (0.0.10)

= Х(?2 = х'((2 ) = хЦъ ) = х\Ц ) = 0, а<и<г2<и, (0.0.11)

х{Ц = х'(Ц = х(г2) = х(г3) = х(?4) = 0, а<1}<Ь<Ц<и, (0.0.12)

х{Ц = х(*2 = х'(?2) = х(г3) = х(?4) = 0, а<11<Ь<13<и, (0.0.13)

= х(/2 = х(?з ) = х'(^з ) = х(/4 ) = 0, (0.0.14)

= Х(?2 = х(/3 ) = х(Г4 ) = х'(?4 ) = о, а<и<12<и<и, (0.0.15)

= Х^2 = х(?з ) = х(Г4 ) = х(?5 ) = 0, а<Ь<Ь<г3<и<Ъ (0.0.16)

где в краевых условиях заданы значения функции и последовательных её производных, называются краевыми задачами Балле - Пуссена в отличие от краевых задач для уравнения (0.0.1) с краевыми условиями

хЦх) = х'(!х) = х\^) = хт(ц) = х'Ц2) = 0, а<Ь<Ь (0.0.17)

= хУ2) = х"«2) = хж(Г2) = 0, а<и < г2, (0.0.18)

— ) =ЛЧ)-- = х(*2) = --0, (0.0.19)

= х(/2) = --х'(Ь)-- = *'(*2) = = х'(/3) = 0, (0.0.20)

= *С2) = х'«2) = х\Ь) = *('з) = 0, а<и<Ь<Ц, (0.0.21)

~-х%) = =0, а<и<12<13, (0.0.22)

= *('2) = --Х'(!2) = = *'('з) = = 0, а<Ц<Ь<Ь, (0.0.23)

= *(*2> = х'Ы = *('з) = = *'Сз) = = 0, а<Ц<Ъ<1* (0.0.24)

= х((2) = 0, (0.0.25)

= *С2) = =х'(;2) = = х(^) = х'(/4) = = 0, Я (0.0.26)

= х(*2) = = х(г3) = Х%) = х'(и) = =0, а<11<г2<Ц<и (0.0.27)

= хЦ2) = *('з) = = х(и) = х'(и) = = 0, (0.0.28)

= Х(!2) = х(^) = = Х%) = = 0, а<и<Ь<Ц< и, (0.0.29)

= х(*2) = Х%) = х(Ь)-~ = х(*4) = = 0, (0.0.30)

= х(*2) = = *('з) = х(и) = х'(15) = 0, а<Ь<Ь<Ь<и< Ц, (0.0.31)

= *('2) = ) = х(*5) = 0, ¿5,(0.0.32)

где в одной из крайних точек (слева или справа) задано только значение первой производной функции. Такие краевые задачи условно называются задачами неваллепуссеновского типа. Коэффициенты gcit), g¡(f), g2(t)) g£t), g4(t) считаем непрерывными в промежутке [а, +оо).

Вопрос о законах распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения соприкасается со многими исследованиями по теории и практике дифференциальных уравнений. В частности, таковыми являются: Исследования по дифференциальным и интегральным неравенствам,которые в свою очередь приводят к теоремам об оценках решений дифференциальных уравнений, позволяющим строить эффективные методы приближенного решения дифференциальных уравнений и краевых задач;Оценки промежутков единственности решений краевых задач (промежуток применимости теорем о дифференциальных неравенствах),

оценки функций Грина различных многоточечных краевых задач; Исследования по вопросу колеблемости решений дифференциальных уравнений.

Теоремы, аналогичные классической теореме Штурма 1 о разделении нулей решений уравнения второго порядка, для некоторых уравнений высших порядков начали появляться сравнительно недавно.

Минусинским Я. [60] для уравнения х(п) + = 0, где функция непрерывна и положительна, получен следующий аналог теоремы Штурма:

Если решения м(/) и у(/) уравнения х(п) + £(ф: = 0 удовлетворяют условиям и(а) = и'{а) = ... = и{"-2\а) = 0, и{"-Х)(а) = \, и(/3) = 0,

у(;к) = уХг) = ...= ^-2)(г) = 05 v("-1)(r) = 1, ос <у<Р, то решение у(У) не имеет нулей в (у, /3\.

Кондратьев А.К. [22], рассматривая то же самое уравнение х(п) + = 0 для значений п = 3 и п - 4 при знакопостоянном коэффициенте g(t) доказал следующие теоремы о чередовании нулей решений:

1) если и = 3, то между двумя последовательными нулями одного решения лежит не более двух нулей другого;

2) если п = 4 и g{t) > 0, то между двумя последовательными нулями одного решения лежит не более четырех нулей другого, причем четыре нуля лежать могут;

3) если п = 4 и < 0, то между двумя последовательными нулями одного решения лежат не более трех нулей другого.

Ахундов А.М. и Тораев А.Т. [12] нашли обобщение результата Кондратьева А.К. для уравнениях" + gx (?)х' + g] = 0, где g|(t) < 0, g^t) знакопостоянна.

Левин А.Ю [28] показал, что теорема Кондратьева А.К. справедлива и для уравнений вида хт + gl (/)х" + (0х' = 0 и + ОКО*')' = 0.

Таким образом, можно было придти к выводу о том, что возможность более глобального исследования проблемы распределения нулей решений дифференци-

1 Если (2 — последовательные нули решения х\(() уравнения второго порядка с непре-

рывными коэффициентами х" + gQ(¿)х' + g| (?)х — 0, то всякое другое линейно независимое решение Х2(1) имеет ровно один нуль между Ц и

альных уравнений ограничена рамками классического метода, в котором объектом исследования однозначно являлось только дифференциальное уравнение.

В 60 —х годах прошлого столетия законы распределения нулей решений начали изучать в одном пакете с вопросом исследования промежутка применимости теорем о дифференциальных неравенствах, рассматривая не одно дифференциальное уравнение, а многоточечные краевые задачи для данного уравнения. Оказалось, что рамки исследования проблемы распределения нулей решений значительно расширяются, если связать этот вопрос с исследованием промежутка однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для данного уравнения.

После публикации работы [3], где для линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка общего вида при п = 3 в терминах докри-тических промежутков краевых задач установлены законы распределения нулей решений, появилось большое число работ [6—10,18,64], в которых с той или иной степенью полноты исследовалась проблема распределения нулей решений уравнений п-то порядка при п > 4 не только с непрерывными, но и с суммируемыми коэффициентами.

Из теоремы Валле-Пуссена [39] следует, что для каждой фиксированной точки ае[а, +оо) существует ненулевой промежуток [а, /?),в котором любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1) имеет не более четырех нулей с учетом их кратностей.Такой промежуток называется промежутком неосцилляции этого уравнения. Максимальный из промежутков неосцилляции с общими началами в а обозначим [а, г (а)).

Замечание 0.0.1. Известно [27], что для любой точки а, являющейся левым (правым) концом промежутка неосцилляции [а, /3) {{/л, а]) можно ввести понятие сопряженной справа (слева) точки а, (а) как зиргетит (Ьфтит) тех (3 (/и), при которых [а, а), ((а,ос]) является промежутком неосцилляции. Очевидно, что а< /3< а, а< /л < а. В отличие от промежутка неосцилляции [а, г (а))

назовем промежуток (а, а\ сопряженным промежутком неосцилляции и обозначим этот промежуток (г(а),а].

Промежуток [а, г}), в котором при любых Ь, к, Не[а, ф данная краевая задача имеет единственное решение, назовем докритическим промежутком этой задачи.

Каждая многоточечная краевая задача Вале - Пуссена (неваллепуссе-новского типа) определяется числом т— точек задания краевых условий и числом р{ (<7,-) - краевых условий в точках ^ (7 = 1, 2, 3, 4, 5; 2<т<5,р] + ... + рт = 5). Поэтому в каждом конкретном случае будем говорить о «(р/, р2, ..., рт) - задаче» («(р;, р2, рт-ь Г) - задаче» или «(1 \р2> рт) - задаче)»). Штрих над единицей указывает на задание значения первой производной функции в данных (крайних) точках.

Максимальный из докритических промежутков «(р/, р2, ..., рт) - задаче» с общим началом а обозначим [а, г (<^)), а сопряженный докрити-

г 1 • • * г т

ческий промежуток (г Рт(а),а]. Например, задача (0.0.1), (0.0.2) есть

двухточечная краевая задача, где в точке ^ заданы четыре условия (значение функции и значения трех последовательных производных, начиная с первой), в точке ¿2 задано одно условие - значение функции. Имеем «(4, 1) - задачу». Значит,[а, г^\{а)) {{г^\{ос),а\) — максимальный из докритических промежутков (сопряженных докритических промежутков) «(4, 1) - задачи» с общим началом а. Аналогично обозначаются максимальные докритические промежутки остальных краевых задач:[о; г32(«)) - максимальный докритический промежуток двухточечной задачи (0.0.1), (0.0.4) или «(3,2) - задачи»; [а, Г\2\](а)) - максимальный докритический промежуток четырехточечной задачи (0.0.1), (0.0.13) или «(1,2,1,1,) - задачи», и т.д.

Расшифруем определения максимальных докритических промежутков некоторых краевых задач.

В промежутке [а, гп21(а))любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее пару последовательных простых нулей (и < ?2) и дву-

кратный нуль > не может иметь справа от более нулей.

В промежутке (/212(^)5^] любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее простой нуль ¿2 и двукратный нуль ¿3 < ¿з), не может иметь слева ^ кратных нулей.

Аналогично определяются докритические промежутки «(р;, р2, ..., рт-1, Г) - задачи» и «(Г, р2, ..., /?т) - задачи» соответственно:

Например,

Промежутком [а, г22у((х)) называется такой промежуток, в котором любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее двух последовательных двукратных нулей (¿1 < Ь), не может иметь справа от нуля производной.

В промежутке [а, Гух2\(аУ)любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее нуля производной t\, простого нуля ¿2 и двукратного нуля /3 (¿1 < ¿2 < Н), не может иметь справа от более нулей.

Алиев Р.Г. в работах [6-10] в терминологии докритического промежутка дает сравнительно полную картину распределения нулей решений однородного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка Ьь[х\ = 0.

Ниже приводим некоторые результаты Алиева Р.Г.

Теорема 1.2. В промежутке [а, г2\\{а)) нетривиальное решение уравнения Х4[х] = 0, имеющее трехкратный нуль t\, не может иметь справа от ^ более нулей, т.е. г2\\(а)<гзх(а).

Теорема 1.3. Пусть До) = тт[г]3(а), г2ц(а)]. Тогда г22(0:) > fX.cc), т.е. в промежутке [а, Д«)) нетривиальное решение уравнения ¿4[х] = 0 не может иметь двух кратных нулей.

Теорема 1.4. Пусть Да) = тт[гЪ\{а), г22(<2)]. Тогда г2\\(а) > р(а), т.е. в промежутке [а, р(а)) нетривиальное решение уравнения ЬА[х] = 0 с кратным нулем £ может иметь справа от £ не более одного нуля.

Первая глава нашей диссертации посвящена распределению нулей нетривиальных решений линейного однородного уравнения пятого порядка в терминах до-критических промежутков краевых задач Валле-Пуссена. Отметим, что используемый нами метод доказательства основных теорем существенно отличается от метода, при помощи которого установлены законы распределения нулей решений в диссертации Алиева Р.Г. Суть нашего метода заключается в том, что мы сначала доказываем вырождение нетривиальных решений ¿-точечных задач в нетривиальные решения двух или трехточечных задач (к = 3, 4, 5). А затем устанавливаем предельные соотношения между длинами докритических промежутков краевых задач.

Наши основные результаты по распределению нулей решений в терминах докритических промежутков задач Валле-Пуссена:

Теорема 1.3.1. Справедливы следующие утверждения:

1. В промежутке [а, г12\ (яг)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа ¿1 более нулей, Т.е. 7*221 («) ^ '41 («)•

2. В промежутке [а, г31, (а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа более нулей, т.е. гъи (а) < г41 (а).

3. В промежутке [с1, 7*13] (#)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа Г) более нулей, т.е. гт{а)<г4Х{а).

4. В промежутке \ос, г2111(а))любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа t\ более нулей, т.е. г2П\(а) < г4](а).

Теорема 1.3.2. Справедливы следующие утверждения:

1. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке {гХ22{ос),а\ четырехкратный нуль г, не может иметь слева г более нулей, т.е. Ги{а) < Г\22{сс_).

2. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке О1211 (#),#] четырехкратный нуль г, не может иметь слева т более нулей, т.е. ги(а) < гШ\(а).

Теорема 1.4.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Если г2Ъ{а) <г32(а), то в промежутке [а, Г2п{ос)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее двукратный нуль t\, не может иметь справа от ^ нуля выше второй кратности, т.е. г2x2(0) < г2з(а).

2. Если г32 (а) < г21 {а), то в промежутке [а, г2\2(а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее трехкратный нуль не может иметь справа от t^ кратного нуля, т.е. г2\2(&) < гЪ2(а).

Теорема 1.4.2. Справедливы следующие утверждения:

Если гт\{а)<Г22\{а),то г12и(а)<гзи(а).

Если гцш(а) < Г2\и(а), то гхпи(а) <гХ2\\(а).

Если гпп(а) > г212(а), то гш х (а) > гХ22{а).

Если ги21(а)>г]22(а), то ги21(а)>гш(а).

Во второй главе мы исследуем законы распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков так называемых задач неваллепуссеновского типа. При этом получены следующие результаты: Теорема 2.2.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть р(а) = тт[г2ъ{а),гуъх(ау\. Тогда гУЛ{рс)> р(а), т.е. в промежутке \сс,р(аУ) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее нуль производной в точке ¿1, не может иметь справа ¿1 четырехкратного нуля.

2. Пустьр(а) = min[r32(а),г^31,(а)]. Тогда r4Y(a) > р(а), т.е. в промежутке [iа,р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа t\ нуля производной.

3. r3iv{a)> p{a) = mm[rAV{a), г32(а)], т.е. в промежутке [а, р (а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее трехкратный нуль t\ и простой нуль t2 > t\, не может иметь справа t2 нуля производной.

4. rYn(a)> р{а) = тт[гхч{а), г23(ог)], т.е. в промежутке [а, р (а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее нуль производной в точке t\ и простой нуль t2 > t\, не может иметь справа /2 нуля выше второй кратности.

5. Пусть p{a) = mm[r22V{a),r2U{a))JIoTj\dL в [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее двукратный нуль t\ и два простых t2 и /3 справа от t\, не может иметь справа от /3 нуля производной, т.е. г2!,,,(а) > mm[r22r (а),г2П(а)].

6. Пусть р(а) = min[rli22(ar), г212(г*)).Тогда в [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее имеющее нуль производной в точке t\ и два простых t2 и i3 справа от /ь не может иметь справа от i3 кратного нуля, т.е rru2(a) > р{а) = тт[гп2(а),г2п(а)].

7. rU2V{a)>p{a) = mm[rl2iv{a), r22V{a)\, т.е. в промежутке [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее последовательные нули t\, t2 и двукратный нуль i3 (t\ < t2< i3), не может иметь справа от f3 нуля производной.

Теорема 2.2.2. Справедливы следующие утверждения:

1. r4y(a)>rl3y(a), т.е. в промежутке [<х,г13,-(«)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа t] нуля производной.

2. г41,(ос) > гзп,(ос), т.е. в промежутке [а,гзи,(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа ^ нуля производной.

3. г41, (ос) > г22Х (ос), т.е. в промежутке [сх,г22Х(ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа ^ нуля производной.

4. г4Г(сс) > г2ПГ(ос), т.е. в промежутке [ос,г2ПУ(ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не мо-

ят.лг^ - - - » . лгтмппл I" 1Г1Л ГГЛЛ11ППЛТТ1ГЛ»1

/Л.С1 имею сираоа I] прш иритоидпип.

5. г4х,(ос) > г1211,(ос), т.е. в промежутке [ос,г|211,(а)) любое нетривиал-ное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа нуля производной.

6. г4У(сс) > гП21, (ос), т.е. в промежутке [ос, г1121, (ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа t^ нуля производной.

Теорема 2.2.3. Справедливы следующие утверждения:

1. Если г12]\'(ос)<г2211(ос), то г^и^сс) <гЪХу{а).

2. Если П121'(а)<г212(а), то гП2Г(а) <г22Г{а).

3. Если г2Ш'(а)<г31Г(а), то г2П\(а)< г22У{ а).

Таким образом, в нашей диссертации мы частично обобщаем результаты Алиева Р.Г. по распределению нулей нетривиальных решений однородного уравнения в терминах докритических промежутков задач Валле-Пуссена, полученные им для уравнения четвертого порядка, на уравнения пятого порядка. А в основном нами получены новые результаты (теоремы: 1.3.1,1.3.2 , 1.4.1,1.4.2). Для задач не-валлепуссеновукого типа нами доказаны теоремы (2.2.1,2.2.2,2.2.3).

Третья глава нашей диссертации посвящена оценкам промежутков единственности решений трехточечных краевых задач с фиксированными точками.

Здесь также рассматривается вопрос об оценках собственных значений краевых задач.

В параграфе 3.2 построена функция Грина трехточечной краевой задачи для уравнения L[x] = х(п) = fit) (см. задача (3.2.3 - 3.2.4)). В параграфе 3.3 получены оценки промежутков единственности решений задачи

L[x\ = xv -g(t)x = 0, (3.3.1)

x(0) = x'(0) = ...= x(Pl-1)(0) = 0,

x({) = x'(4) = ... = x^-l\i) = 0, (3.3.2)

v(h\ = y'(h\ = =

.j -v v. .j ..........v

0 < h, pi + p2 + рз = 5, функция g(t) - непрерывна на отрезке [0, h].

Положим max | g(t) | = M, % = Sh, 0 < 8 < 1.

0 <t<h

Теорема 3.3.1. Промежуток [О, К) является докритическим задачи (3.3.1), (3.3.2), если

h < min <

0<£<1

мі

(3.3.3)

где

5!105

= [р\ +Р2+ (Р\ + Ръ)$ + НУ

-1)4 А +Рі) +

+ (-1)/_1 (Р2 + 5)* + <р{3)]Рі [з + Рз - Срх +р3)8 + (-І)1""1 ф{3)\', (3.3.4) [2, £<ґ</г,

Используя эту теорему, получены оценки промежутков единственности решений задач («2,2,1) - задача», «2,1,2) - задача», (3.1,1) - задача») с фиксированной промежуточной точкой £є(0, /г).

В параграфе 3.4 получены оценки наименьших по абсолютной величине собственных значений краевых задач для уравнения

Цх] = ху - рЦ)х = О с краевыми условиями (3.3.2) при р\ = 3,р2 = \,ръ = \\р\ - 2,р2 = 2,ръ = 1; Р\=2,р2 = \,рз = 2.

Теорема 3.4.1. Справедливы следующие оценки:

| ^2,(3,1,1) | > тах<

(£ - - ОII3 (Л - О3 - -ь3 - о31 р{і) | ^

4!А3(А-£)

і» V їд" V \ гу; \ —

£

(3.4.8)

| Я, (2,2,1) |>тах

4!£3А2(А-£У

о

4!А2(А -

и

(3.4.9)

где

^; £ А) Н А2 - О2 С» + 1)д2 {і, *; £ А) |.

4!£2А3(А-£)2

| ^(2,1,2) | > тах<

2 (А - О2 Я, (?; А) | р(01 ¿Й

4!А3(А-£)2

(3.4.10)

|Г(А-03#2(Г;£,А)ір(0ІЙ?Г

где

Я! (ґ;А) Н /г3(^ - О3 + (^ - О2Яі ^;- А(А - £)(А - ';£ А) I,

Н2(/;£ А) Н (А - Оя,(ґ,і;£, А) - 4А(А - \

Цель работы. Установление законов распределения нулей нетривиальных решений уравнения (0.0.1) в терминах докритических промежутков многоточечных краевых задач Валле-Пуссена, установление законов распределения нулей решений и их первых производных уравнения (0.0.1) в терминах докритических промежутков так называемых задач неваплепуссеновского типа, опи-саниие поведения оценки промежутков единственности решений трехточечных краевых задач с фиксированными точками, изучение вопроса об оценках собственных значений краевых задач, построение функции Грина трехточечной краевой задачи для уравнения Ь[х] = х(п> изучение оценки наименьших по абсолютной величине собственных значений краевых задач для линейного однородного уравнения пятого порядка с краевыми условиями.

Научная новизна.Все результаты, полученные нами и включенные в диссертацию, являются новыми. Ниже перечислены наиболее значимые из них.

1. Вырождение нетривиальных решений т-точечных задач в нетривиальные решения «--точечных задач (3<га<5, 2<£<4, к<т).

2. Соотношения между докритическими промежутками многоточечных краевых задач Валле-Пуссена .

3. Рассмотрены так называемые сопряженные докритические промежутки и установлены соотношения между ними.

4. Распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков задач неваплепуссеновского типа.

5. Построение функции Грина трехточечных краевых задач и оценки промежутков единственности решений этих задач .

6. Описание исследований краевых задач с фиксированными точками.

Метод исследования. Наши исследования проведены методом предельного перехода, который существенно отличается от метода, при помощи которого Алиев Р.Г. проводил аналогичные исследования для уравнения четвертого порядка.

Теоретическая и практическая значимость. Работа в основном носит теоретический характер. Однако полученные результаты могут быть использованы при решении конкретных практических задач.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на Международной конференции «Мухтаровские чтения», «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы», Дагестанский государственный технический университет», Махачкала, 2012; V- Всероссийской научно-практической конференции «Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов Российских вузов», Томск, 25-27 апреля 2012 г.; IV- Международной научно-практической конференции «Модернизация системы непрерывного образования», Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, 29 июня-1 июля 2012 г.

Публикации по диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 11 работах, из которых 4 работы соответствуют списку ВАК РФ. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы из 73 наименований. Общий объем диссертации 135 страниц.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Алиеву Р.Г. за постоянное внимание к работе при выполнении диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аль-Джоуфи Салах Али Салех, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Н.В. Азбелев, З.Б. Цалюк.Замечание о границах применимости теоремы о дифференциальных неравенствах. // Ученые записки УДГПИ, вып. 12,1958, с.

2. Н.В. Азбелев, З.Б. Цалюк. Заметки о неосцилляции решений дифференциального уравнения п-го порядка. // Ученые записки УДГПИ, вып. 12, 1958, с.

3. Н.В. Азбелев, З.Б. Цалюк. К вопросу распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. // Матеем. сб. 1960, т. 51,№4,С.475^86.

4. Н.В. Азбелев. К вопросу об оценке числа нулей решений уравнения ут + р(х)у" + q(x)y = 0. //НДВШ, физ.-мат. науки. 1958. №3. С. 5-7.

5. Н.В. Азбелев. Элементарное доказательство одного интегрального неравенства. //Труды ТИХМа. 1968. Вып. 2, Тамбов, С. 8-10.

6. Р.Г. Алиев. Кандидатская диссертация. Казань. 1963.

7. Р.Г. Алиев. К вопросу о распределении нулей решений линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. //Итоговая научн. асп. конфер. за 1962 г. Казанский гос. университет.

8. Р.Г. Алиев. Законы распределения нулей решений однородного дифференциального уравнения третьего порядка и знак функции Грина краевой задачи. // Учен, записки Даг. Гос. пед. института. 1966. Том 5, Дагучпедгиз, С. 28-35.

9. Р.Г. Алиев. О знаке функции Грина краевой задачи для линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. //Изв. ВУЗов. Математика. 1964. №6 (43), С. 3-9.

10. Р.Г. Алиев. О некоторых свойствах решений обыкновенного уравнения четвертого порядка. // Изв. ВУЗов. Математика. 1965. №2 (45), С. 3-6.

11. Р.Г. Алиев. К вопросу о некоторых критериях для оценок длин докрити-ческих промежутков. //Итоговая конфер. КГУ за 1963 г., секция матем. наук.

12. A.M. Ахундов., А. Тораев. О решениях дифференциального уравнения. //Изв. АН Туркм. ССР, сер. физм.-техн., хим. и геол. наук. 1964. №1, С. 21-23.

13. B.C. Бездомников., И.Н. Иноземцева . К вопросу об оценке промежутка неосцилляции линейного дифференциального уравнения третьего порядка. //Дифф. уравнения. 1966. Т.2, №11.

14. B.C. Бездомников., Ю.В. Комленко. К вопросу об оценке промежутка применимости теоремы Чаплигина. //Дифф. Уравнения. 1966. Т. 2, №9.

15. А.Б.Бессмертных., А.Ю.Левин. О некоторых оценках дифференцируемых функций одной переменной. //ДАН. 1962. Т. 144, №3, С. 471^174.

16. Г.С .Зайцева. О многоточечной краевой задаче. //ДАН. 1967. Т. 176, № 4, С. 763-765.

17. И.Н. Иноземцева. К вопросу об оценках докритических променжутков задач Вале Пуссена. //Труды ТИХМа. 1967. Вып. 1, Тамбов.

18. И.Н. Иноземцева. О распределении нулей решений линейного дифференциального уравнения п-то порядка. //Труды ТИХМа, 1968, вып. 2, Тамбов, С.27-29.

19. Э. Камке. Справочнок по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М:. 1965. «Наука».

20. К.Г. Керимов. Теоремы о предельных соотношениях между длинами докритических проежутков задач Вале-Пуссена. //Сб. научных сообщений (по естественным и техническим наукам), ДГУ, 1970, ч.2, Махачкала, С. 102-112.

21. Л. Коллатц. Задачи на собственные значения. -М:. 1968. «Наука».

22. В.А.Кондратьев. О колеблемости решений уравнения у(п) + р(х)у = 0. Труды Моск. матем. о-ва, 10, 1961, С. 419^136.

23. В.А. Кондратьев. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвертого порядка. //Труды Моск. матем. о-ва, 8, 1959, С. 259-281.

24. М.Г. Крейн., Г. Финкелыптейн. О вполне неотрицательных функциях Грина обыкновенных дифференциальных операторов. //ДАН,т. 24, №3, 1939.

25. М.Г. Крейн. О несимметричных осцилляционных функциях Грина обыкновенных дифференциальных операторов. //ДАН, т. 25, №;8, 1939, С. 643-646.

26. М.Г.Крейн. Осцилляционные теоремы для обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка. //ДАН. 1939. Т.29, №9, С.717-720.

27. А.Ю.Левин. Некоторые вопросы осцилляции решений линейных дифференциальных уравнений. //ДАН. 1963. Т. 148, №3, С. 512-515.

28. А.Ю.Левин. О распределении нулей решений линейного дифференциального уравнения. //ДАН. 1964. Т. 156, №6, С.1281-1284.

29. А.Ю.Левин. Оценки для функции с монотонно расположенными нулями последовательны производных. //Матем. сб. 1964. Т. 64, №3, С. 396^109.

30. А.Ю.Левин. Уравнение Фредгольма с гладким ядром и краевые задачи для линейного дифференциального уравнения.//ДАН. 1964. Т. 159, №1,

С. 13-16.

31. А.Ю.Левин. Неосцилляция решений уравнения х^ + (фс*-"-1-' + +...+ рп(г)х = 0. //Успехи матем. наук. 1969. Т. 24, №2, С. 43^6.

32. П.И. Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений (с дополнительными главами анализа). -М::, 1981. «Наука».

33. М.А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. -М: Наука, 1969, С. 36-45.

34. И.П. Натансон. Теория функций вещественной переменной. -М: 1974. «Наука».

35. В.В. Остроумов. О дифференциальном неравенстве для краевой задачи. //Дифф. уравнения. 1965. Т. 1, №5, С. 625-650.

36. Ю.В. Покорный. О функции Грина многоточечной краевой зада-чи.//Дифф. уравнения. 1978. Т. 14, №4, С. 760-761.

37. Ю.В. Покорный. О нулях функции Грина задачи Вале Пуссена. //Матеем. сб. 2008. Т. 109, №6, С. 105-136^

38. Ю.В. Покорный., К.П. Лазарев. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечной задачи. //Дифф. уравнения, 1987. Т. 23, №4, С. 658-670.

39. Дж. Сансоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1. - М: 1953. ИЛ.

40. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. -М., JI. 1950. Гос. издат. техн.-теор. лит.

41. A.J1. Тептин. О неосцилляции решений и знаке функции Грина. //Дифф. уравнения. 1984. №6(20), С. 995-1005.

42. A.JI. Тептин. К вопросу об осцилляционности спектра многоточечной краевой задачи. //Изв. вузов. Математика. 1999. №4(443), С. 44-53.

43. A.J1. Тептин. О знаке функции Грина краевой задачи с периодическими и штурмовскими краевыми условиями. //Вестник Удмуртского университета. Математика. 2008. Вып. 2, С. 150-151.

44. П.С. Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. -М: 1961. Гостехиздат.

45. Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. - М: 1968. «Наука», т. 1.

46. Е.С. Чичкин. Об одной неосцилляционной теореме для самосопряженного дифференциального уравнения 4-го порядков. //Изв. вузов. Математика. 1960. №4, С. 206-209.

47. Е.С. Чичкин. Теорема о дифференциальном неравенстве для многоточечных краевых задач. //Изв. вузов. Математика. 1962. №2, С. 170-172.

48. В.А. Чуриков. О двухточечной краевой задаче. //Изв. вузов. Математика. 1971. №9(112), С. 94-106.

49. JI.E. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления. -М:. 1965. «Наука».

50. С. А. Аль-Джоуфи. О знаке функции Грина краевой задачи для дифференциального уравнения пятого порядка / А. X .Катхим .,

С. А. Аль-Джоуфи. //Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (материалы V Международной научной конференции, посвященной 80 - летию ДГУ, 26-29 сентября 2011 г.). Махачкала, 2011, С.156-162.

51. С. А. Аль-Джоуфи. Законы распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения 5-го порядка / С. А. Аль-Джоуфи., А. X . Катхим //Вестник ДГУ. вып. 1, 2012,, С. 79-86.

52. С. А. Апь-Джоуфи. О нетривиальных решениях многоточечной однородной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. // Вестник ДГУ. Вып. 1, 2012, С. 87-92.

53. С. А. Аль-Джоуфи. О соотношениях между промежутками единственности решений краевых задач для уравнения пятого порядка / С. А. Аль-Джоуфи., А.Х. Катхим //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, ДГТУ, С. 19-23.

54. С. А. Аль-Джоуфи. О свойствах одной нелинейной системы / А.Х. Катхим., С. А. Аль-Джоуфи., М.Д. Джасим. А.Р. Эфендиев //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, ДГТУ, С. 100-104.

55. С. А. Аль-Джоуфи. Законы распределения нулей решений краевой задачи Валле Пуссена для линейного дифференциального уравнения пятого порядка / С. А. Аль-Джоуфи., М.Д. Джасим., А.Х. Катхим //Современные методы краевых задач (материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXIII»). Воронеж, 2012, С. 6-9.

56. С. А. Аль-Джоуфи. О вырождении нетривиальных решений многоточечных краевых задач в нетривиальные решения двухточечных задач в случае линейного дифференциального уравнения пятого порядка. // Вестник ДГУ. Вып. 6, 2012, С.119-126.

57. С. А. Аль-Джоуфи. Предельные соотношения между докритическими промежутками многоточечных краевых задач для линейного дифференциального уравнения пятого порядка // Вестник ДГУ. Вып.6 , 2012, С. 61-66.

58. С. А. Аль-Джоуфи. О нулях решений линейного дифференциального уравнения пятого порядка. //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, С. 23-26.

59. С. А. Аль-Джоуфи. О распределении нулей решений и их первых производных линейного дифференциального уравнения пятого порядка. //V Всероссийская научно-практическая конференция. «Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов Российских вузов», 25-27 апреля 2012 г. Сб. докладов .Т. 1, Томск, 2012, С. 316-318.

60. С. А. Аль-Джоуфи. Функции Грина трехточечной краевой задачи / С. А. Аль-Джоуфи., К.Г. Керимов. // Модернизация системы непрерывного образования. IV Международная научно-практическая конференция . Махачкала, 2012, С. 278-283.

61. О. Агаша. Problema bilocala si teorema inegalitatilor differeniale cu noduri confundate a lui S.A. Ciaplighin, pentru ecuttii differentiale lineare di ordinal doi, Studii mat. accad. RPR, №2, 1966.

62. P.R. Bessack. On the Creens functionale n-point boundary valul problem, Pacif I. Math., t. 12, №3, 1962, 801- 812.

63. I. Mikusinski, Sur lequation X(n) + A(t)X - 0, Ann. Polon. Math., t.l, №26 1955,207-221.

64. A.C. Peterson, A theorem of Aliev, Proc. Amer. Math. Soc. 23, №2, 1969, 364-366.

65. A.C. Peterson, On the ordering of multi-point boundary Valul functions, Canad. Math. Bull. Vol. 13, №4, 1970, 507-513.

66. T.L. Sherman, On solutions of nth order linear differential equations with n zeros, Bull. Amer. Math., Soc. 74, №5, 1968, 923 - 925.

67. T.L. Sherman, Conjugate points and simple zeros for ordinary linear differential equations, Trans. Amer. Math. Soc., 146, Dec. 397 - 411, 1969.

68. Г.Д. Степанов. Многоточечные краевые задачи с функциями Грина, приводимыми к знакорегулярному виду. Деп. Вв ВИНИТИ 09.06. 1988, №3044-В88, ЯрГУ, Ярославль, 1988, 25 с.

69. Т.Д. Степанов. Эффективные критерии сильной знакорегулярности и ос-цилляционное свойство функций Грина двухточечных краевых задач. Матем. сб., 188.11 (1997). 121-159.

70. В.Я. Дерр. Неосцилляция решений линейного дифференциального уравнения. Известия Института математики и информатики. УдГУ, Ижевск, 1999. №1(16). 3-105.

71. P. Hartman ., "Principal solutions of disconjugate n-th order linear differential equations", Amer. J. Math., 91:2 (1969), 306-362 .

72. P. Hartman ., "Difference equations: disconjugacy, principal solutions, Green's functions, complete monotonicity", Trans. Amer. Math. Soc., 246 (1978),1-30.

73. J. R. Ridenhour ., "On the zeros of solutions of Nth order linear differential equations", J. of Differential Equations, 6 (1974), 45-71.