О некоторых самосопряженных и несамосопряженных смешанных задачах математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Исмати Мухаммаджон

• Исмати Мухаммаджон
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Исмати Мухаммаджон

ВВЕДЕНИЕ.:.

глава i абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов

§ 1. Фундаментальная матрица решений параболической системы.

§2. Матрица Грина первой смешанной задачи.

§3. Оценки для матрицы Грина первой смешанной задачи.

§4. О матрицах Грина второй, третьей и других смешанных задач.

§5. Окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор функциям оператора теории упругости.

5.1.1. О классах Соболева С.Л-Слободецкого JI.H.

5. 1.2. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой однородной краевой задачи для оператора теории упругости в строго внутренней подобласти.

5.2. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям второй однородной краевой задачи для оператора теории упругости в строго внутренней подобласти.

5.3. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой однородной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области.

5.4. Окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой основной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области.

5.5. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям второй и третьей однородных краевых задач для оператора теории упругости во всей замкнутой области.

5.6. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям оператора теории упругости с граничным оператором псевдонапряжения.

§6. О равномерной сходимости разложений по собственным функциям ковариации случайной функции.

глава ii абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов в случае непрерывного спектра

§1. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти.

§2. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенного интеграла Фурье соответствующее первому однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой области.

§3. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье соответствующие второму внешнему однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой об-. ласти.

глава iii обоснование метода фурье и корректная разрешимость некоторых самосопряженных смешанных задач матматической физики

§1. Обоснование метода Фурье для обобщенного решения первой смешанной задачи теории упругости.

§2. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости.

§3. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре.

§4. О разрешимости первой основной смешанной задачи динамики трехмерного, упругого тела.

§5. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в терминах пространства

Соболева C.JI. - Слободецкого JI.H.

§6. О корректной разрешимости первой основной смешанной задачи теории упругости.

§7. Обоснование метода Фурье для классического решения второй смешанной задачи теории упругости в ограниченном цилиндре

§8. Обоснование метода Фурье для классического решения второй внешней смешанной задачи теории упругости.

§9. О разрешимости смешанных задач теории упругости.

§ 10. О корректной разрешимости второй и третьей смешанных задач теории упругости.

§11. О разрешимости смешанной задачи теории упругости с граничным оператором псевдонапряжения.

§12. О корректной постановке некоторых смешанных задач для дифференциального уравнения порядка 2т.

§13. Смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных 2т -го порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых самосопряженных и несамосопряженных смешанных задачах математической физики»

Актуальность темы. Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов давно привлекает внимание как отечественных, так и зарубежных математиков и физиков.

Если проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов посвящено достаточно много работ (см. Например [5, 15-25, 73-76, 82-87, 92-93, 106-107, 111, 118, 125, 133-138, 4*,6*,8*-10*, 27*, 30*-32*]), то, наоборот, исследованию этих проблем для несамосопряженных дифференциальных операторов посвящено сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряженных операторов. Хотя в последние четыре десятилетия и относительно этой проблемы также появилось достаточно много работ (см. [11, 27-31, 72, 95, 105, 113, Г, 2*, 5*, 7*, 22*, 23*, 25*, 28*, 33*] и имеющуюся там библиографию).

При исследовании сходимости рядов Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов следует существенно различать случай абсолютной и неабсолютной сходимости. Здесь и всюду далее в этой работе мы будем рассматривать только абсолютную и равномерную сходимость рядов Фурье. Относительно более тонкого вопроса о неабсолютной сходимости рядов Фурье мы лишь отметим работы Э.Ч. Титмарша и С. Минакшисундерама (Их изложение см. работе [125], Б.М. Левитана [93], В.А. Ильина [17, 18, 21, 23-25]). Среди вышеупомянутых авторов самые точные и окончательные условия равномерной сходимости рядов Фурье установлены В.А. Ильиным.

Установлению абсолютной сходимости посвящены связанные с обоснованием метода Фурье работы [82-84] O.A. Ладыженской, которые явились первыми в этом направлении. В этих работах абсолютная и равномерная сходимость рядов Фурье устанавливается в классах С.Л. Соболева W2l (с целыми /) и затем применяются теоремы вложения. Сюда же относятся использующая метод дробных степеней операторов работа [76] М.А. Красносельского и Е.И. Пустылника (см. также работу [77]) и работы [19, 20] В.А. Ильина, в которых в терминах абсолютной сходимости даются некоторые обобщения истокообразно представимой функции, изучается случай областей с «плохими» границами и строятся примеры, определяющие нижнюю границу условий на разлагаемую функцию.

Более точные, чем у всех перечисленных авторов (и в определенном смысле окончательные в классах W ■f (с нецелыми а) условия абсолютной сходимости установлены в работах [73-75] ученика В.А. Ильина (в работах [73, 74] рассмотрен самосопряженный эллиптический оператор второго порядка, а в [75] -порядка 2т).

Теперь остановимся на вопросах обоснования метода Фурье. Одним из важных приложений теорем о сходимости рядов Фурье по собственным функциям является проблема обоснования метода Фурье решения смешанных задач. Здесь мы остановимся на работах, относящихся к обоснованию метода Фурье решения смешанной задачи для гиперболического уравнения и а - Lu ~f(x, t) в QT=nx[0<t<T], ^ и(х,0)=<р(х), щ(х,0)-ф(х), и\г=0.

Здесь L-самосопряженный эллиптический оператор второго порядка с переменными коэффициентами, Q -произвольная N -мерная область с границей S, r=Sx[0, Т] -боковая поверхность цилиндра Qj.

Конечно задачу (1) можно решать разными методами (например, метод обобщенных функций, метод преобразования Фурье и Лапласа, энергетический метод, метод конечных разностей, метод функциональных уравнений и т.д.), но метод Фурье приведет к установлению наиболее точных условий существования классического решения. Методу Фурье для задачи (1) и для задачи с Ь=Д. за последние четыре десятилетия посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы X.JI. Смолицкого [119], O.A. Ладыженской [82-84], и В.А. Ильина [16] и [22]. Наиболее точные условия существования классического решения смешанной задачи (1) установил В.А.

Ильин [22]. Им доказано, что метод Фурье дает классическое решение смешанной задачи (1) для произвольной нормальной1 области Q.

При этом начальные функции (р(х) и ф(х) и правую часть уравнения f(x,t)

B.А. Ильин подчиняет требованиям гладкости, совпадающим с теми, которые

C.JI. Соболев нашел для соответствующей задачи Коши, а коэффициенты оператора L (для случая звездной области) даже менее жестким требованиям гладкости, чем те, которые C.JI. Соболев установил для соответствующей задачи Коши.

В более ранних работах O.A. Ладыженской (см. [84] и [90]) были установлены точные условия сходимости формально полученного методом Фурье ряда в метрике соболевского пространства W-1 для любого целого /, но на таком пути классическое решение задачи (1) получается лишь при завышенных требованиях гладкости на границу S, неограниченно растущих с увеличением числа измерений.

Весьма интересным и трудным вопросом является исследование смешанной задачи для гиперболических систем и уравнений высших порядков. До 60-х годов 20-го столетия для гиперболических систем при числе независимых переменных больше двух не были доказаны даже теоремы единственности решения смешанных задач.

Следовательно, вышеупомянутые проблемы являются актуальными.

Проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям различных самосопряженных и несамосопряженных смешанных задач математической физики, обоснованию метода Фурье и корректной разрешимости таких задач посвящена настоящая диссертационная работа. цель и задачи исследования. Установление точных и окончательных условий абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов в частных производных и доказа

1 Области С! называется нормальной, если для этой области разрешима задачи Дирихле для урав нения Лапласа при любой непрерывной граничной функции тельство существования классического и обобщенного решения рассматриваемых смешанных задач при минимальных требованиях налагаемых на границу рассматриваемой области и на разлагаемых исходных данных является основной це^ данной работы.

Методы исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов, метод Фурье или метод разделения переменных, метод априорных оценок и современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики.

Отметим, что наш метод исследования краевых задач охватывает как дискретный так и непрерывный спектры.

Научная новизна. В диссертационной работе установлены следующие новые результаты:

1. Для произвольной трехмерной области,ограниченной замкнутой поверхностью типа Ляпунова, получены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор-функциям) оператора теории упругости, соответствующее первому основному однородному краевому условию в строго внутренней подобласти П' основной области О в терминах пространства С.Л. Соболева ¡У" , где а - целое или нецелое число.

2. Для произвольной трехмерной области О, ограниченной замкнутой поверхностью типа Ляпунова 5, установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор-функциям) оператора теории упругости, соответствующее второму основному однородному краевому условию во всей замкнутой области Ои8 в терминах пространства IV 2 (с нецелыми а) при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

3. Для произвольной трехмерной области О,ограниченной замкнутой поверхностью 5 типа Ляпунова, найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье нефинитных вектор-функции {(х) в классах С.Л. Соболева с целыми а, по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие второму однородному граничному условию во всей замкнутой области Пиб.

4. Для произвольной трехмерной области О уограниченной замкнутой поверхностью Б типа Ляпунова, установлены окончательные условия обсо-лютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие первому краевому условию во всей замкнутой области ПШ> в терминах пространства ¡V 2а (где а > — ) при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

5. Установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям первой, второй и третьей однородных краевых задач теории упругости во всей замкнутой области в компонентах тензоров деформации и напряжения.

6. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие однородному граничному оператору псевдонапряжения.

7. Найдены близкие к окончательному условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти О' основной области 0=Ез\(£2и6>) соответствующей нулевым краевым условиям первых трех родов теории упругости.

8. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье,соответствующие первому внешнему однородному краевому условию теории упругости во всей замкнутой области БиБ в компонентах тензоров деформации и напряжения.

9. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье, соответствующие второму внешнему однородному краевому условию теории упругости во всей замкнутой области ЭиБ при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

10. Исследованы необходимые и достаточные условия равномерной сходимости разложений в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям ковариации случайной функции.

11. Дано обоснование метода Фурье для обобщенного и классического решения первой смешанной задачи теории упругости. При этом условия,наложенные на разлагаемые начальные вектор-функции (р (х), ф(х) и на правую часть уравнения движения изотропной однородной упругой среды /(*,/) являются окончательными в классах С.Л. Соболева Ж2а с целыми и нецелыми а. При этом поверхность Б является поверхностью типа Ляпунова.

12. При тех же условиях что в пункте 11 на функции (р (х), ф(х), /(*,/) и на граничную поверхность Б дано обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре Qт=!(DUS)x[0,T].

13. Найдены окончательные условия существования и единственности классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в терминах пространства С.Л. Соболева с целыми и нецелыми а.

14. Найдены окончательные условия корректной разрешимости классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в компонентах тензоров деформации и напряжений.

15. Дано обоснование метода Фурье и тем самым установлены окончательные условия существования классических решений второй внутренней и внешней смешанных задач теории упругости при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.

16. Найдены окончательные условия существования классического решения третьей (в частности второй) смешанной задачи теории упругости и соответствующей смешанной задачи с граничным оператором «псевдонапряжения» в терминах пространства С.Л. Соболева УУ " с целыми и нецелыми а.

17. Найдены окончательные условия корректной разрешимости классических решений второй и третьей смешанных задач теории упругости в классах с нецелыми а в компонентах тензоров напряжения и деформации.

18. Найдены окончательные условия корректной разрешимости некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных порядка 2т специального вида.

19. Найдены окончательные условия корректной разрешимости смешанных задач для самосопряженного эллиптического оператора любого порядка 2т с переменными коэффициентами в терминах пространства (с нецелыми а) с финитными начальными функциями и финитной правой частью

20. Доказано существование в целом обобщенного решения первой смешанной задачи для нелинейной системы уравнений Власова в неограниченной области.

21. Доказано существование и единственность классического решения смешанной задачи для одного уравнения (неклассического), неразрешенного относительно старшей производной по времени в (N+1) — мерном параллелепипеде.

22. Для уравнения,описывающего распространение звука в вязком газе, доказано существование и единственность классического решения первой смешанной задачи в прямоугольнике Qf=[0,l]x[0,T]).

23. Найдены окончательные условия существования и единственности классического решения смешанных задач для операторов Ьи = ^-±аи = / в N+1 - мерном параллелепипеде.

24. Найдены окончательные условия существования и единственность классического решения смешанных задач для уравнения С.Л. Соболева (уравнения малых колебаний вращающейся жидкости) и уравнений типа С.Л. Соболева в (N+1) -мерном параллелепипеде.

25. По обратным задачам теории рассеяния в теории упругости доказано, что асимптотическим поведением амплитуды рассеяния рассеивающий объект (препятствия) определяется единственным образом.

26. Исследована асимптотика энергии классического и обобщенного решения первой внешней смешанной задачи для системы уравнений Ляме при больших временах.

27. Исследована асимптотика энергии случайных источников колебаний при больших временах в теории упругости.

28. Изучен метод нахождения характеристических значений и собственных функции ядра ковариации случайной функции.

29. Для двухмерного (по пространственным координатам х,у) уравнения теплопроводности доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной задачи,у которой имеется бесконечное число собственных и присоединенных функций. Решение этой задачи получено в виде биортогонального разложения по полученной биортогональной системе функций. Доказано, что эта система образует базис Рисса в Ь2([0,1]х[0,1]).

30. Доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной смешанной задачи для уравнения вынужденных колебаний струны. Задача является несамосопряженной в силу нелокального граничнсгоусловиия.

31. Доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной задачи для трехмерного оператора теплопроводности (по пространственным координатам х,у,г). Построен последовательность всех собственных и присоединенных функций данной и сопряженной к нему задачи на собственные значения. Показано, что построенная система собственных и присоединенных функций образуют базисы Рисса в Ь2([0,1]х[0,1]х[0,1]).

Практическая и научная ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты полученные в работе,являются новыми. Они могут быть использованы для дальнейшего изучения аналогичных задач теории самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных операторов теоретической и математической физики. Их можно использовать в гидродинамике, теории поля, теории упругости, теория рассеяния, в обратных задачах квантовой теории рассеяния при изучении задач физики плазмы и в теории кратных ортогональных рядов и интегралов Фурье.

Исследования автора также имеют большое прикладное значение в математической физике, так как они могут быть использованы для обоснования метода разделения переменных при решении краевых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре профессора В.П. Михайлова (МИАН, СССР, Москва, 1970), на всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, посвященной 75-летию со дня рождения академика И.Г. Петровского (МГУ, 1978г.), на научном семинаре под руководством академика В.А. Ильина, профессора Ш.А. Алимова, профессора A.A. Арсеньева (МГУ, 1980), на республиканской научной конференции по уравнениям математической физики, Душанбе, 27-28 сентября 1983г., на всесоюзной школе молодых ученных «Функциональные методы в прикладной математике и математической физике», Ташкент, 11-17 мая 1988г., на республиканской научной конференции, посвященной памяти Т. Собирова «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений», Душанбе, 1990г., на Международной конференции «Некорректно поставленные задачи в естественных науках», Москва, 19-25 августа 1991 г., на ежегодных апрельских научно-практических конференциях ТГУ, 1970-1992г.г., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения», Санкт-петербург, 12-17 июня 2000 г., на ежегодных научно-практических конференциях ИПС, 1992-2003 годов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 61 работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа изложена на 305 страницах машинописного текста. Библиографии насчитывает 173 наименований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Исмати Мухаммаджон, 2003 год

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации.-М., 1965, -407с.

2. Арсеньев. A.A. //Журнал вычисл. матем. и мат. физики, -1970. т 10, №4, -с. 1037-1041.

3. Арсеньев.A.A. //Журнал вычисл. матем. и мат. физики, -1975, т 15, №4, -с. 1062-1066.

4. Арсеньев.А.А. О существовании обобщенных и стационарных статистических решений системы уравнений Власова в ограниченной области. -М., Препринт. ИПМ. 1976, .№107.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. -"Hayкова думка", Киев. 1965, -798с.

6. Бурчуладзе Т.В., Рухадзе Piß. //Дифференц. уравнения,-Минск, 1974. Т. 10, №10,-С.1849-1865.

7. Векуа И.Н. // Докл. АН CCP.-I95I. Т.80, №3- с.341-343.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, -М., Наука, 1971.-512с

9. Гальперн С.А. //Сибирский матем. журнал,-1963, №4, -с.758-774Ю. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории диффе-ренц.уравнений. -М. .-физматгиз, 1958.

10. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных не самосопряженных операторов. -М.: Наука, -1965,- 448с.

11. Денчев Р. //ДАН СССР. -1959, т 126, №2, -с.229-262.

12. Зеленяк Т.М //ДАН СССР, -1965, т 164, .№6,-с.1225-1228.

13. Зеленяк Т.М. //Сиб. мат.журнал. -1968, т 9, №5 -с.1075 -1092

14. Ильин В. А. //ДАН СССР, -1955.t. 105, №2,-с. 210-213.

15. Ильин В.А.//Успехи мат. наук, -1957, т. 12. в.4 (76), -с. 289-296.17.- Ильин В.А. //ДАН СССР,-1957, т.114, №4, -с.698-701.

16. Ильин В.А. //ДАН СССР,-1957, т.115,№4, -с.650-652

17. Ильин В. А. О равномерной сходимости разложений по собственным функциям во всей замкнутой области. //Матем. Сб.,-1958, т.45,№2, -с. 195-232

18. Ильин В. А. Достаточные условия разложимости функции в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям//Матем. сб.-1958, т.46, №1, -с. 3-26

19. Ильин В.А. //УМН.-1958, В.13, №1,-с.87-180.

20. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параб.-го уравнений.//Успехи мат. наук, -1960, т. 15. в.2, -с. 97-154.

21. Ильин В. А. //ДАН СССР.-1966, т. 170, .№2. -с. 257-260.

22. Ильин В.А. //ДАН СССР.-1967, т.177, №2. -с.258-260.

23. Ильин В.А. //УШ.-1968, В.23, №2, -с.61-120.

24. Ильин В. А. Позняк ЭГ. Основы мат. анализа. -М: Наука, 1973 ч.2.

25. Ильин В.А. //ДАН СССР. -1976.-Т. 227, №4, -с.796-799.

26. Ильин В. А. //ДАН СССР, -1983,-т. 273, .№5,-с. 1048-1053.

27. Ильин В. А. //Дифференциальные уравнения,-1986, т. 22, .№12, с. 20592071

28. Ионкин Н.И. //Дифференциальные уравнения, -1977, т. 13, .№2, -с.294-304

29. Ионкин Н.И. //Дифференциальные уравнения, -1979, Т.15,№7, с.1279-1283

30. Исматов М. Достаточные условия абсолютной сходимости ряда Фурье по собственным функциям оператора теории упругости //Докл. АН Тадж.ССР.-1970 г. т. XIII № 5,- стр. 7-9.

31. Исматов М. Обоснование метода Фурье и достаточные условия существования классического решения для системы уравнений теории упругости. //Докл. АН Тадж.ССР. -1970, г. т. XIII, № 10,- стр. 6-9.

32. Исматов М. Обоснование метода Фурье и достаточные условия существования классического решения для системы уравнений теории упругости. //Материалы III Юб. конф.молодых ученных Тадж.ССР. посвященной 100-летию со дня рождения В.И.Ленина.-1970, -стр.114.

33. Исматов М. Разложение по собственным функциям оператора теории упругости. //Всесоюзный журнал "Дифференц. уравнения" -Минск, 1972, т.8, №4. -стр.659-670.

34. Исматов М. Разложение по собственным функциям оператора теории упругости в неограниченной области и обоснование метода Фурье для системы уравнений теории упругости. //ДАН Тадж. ССР.-1972. т. 15,№3, -с. 7-10.

35. Исматов М. Об условиях абсолютной сходимости разложений по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье. //ДАН Тадж. ССР, 1973, т. 16, № 7, с. 3-6.

36. Исматов М. О сходимости рядов и обобщенных интегралов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости. //Известия АН Тадж ССР, 1974,4(53), с. 15-27

37. Исматов М. Разложение по собственным функциям второй краевой задачи теории упругости и обоснование метода Фурье. //Всесоюзный журнал «Диф. уравнения». Минск, 1975, т.И, № 2, с. 2220-2230

38. Исматов М. Об абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье и обоснование метода Фурье. //ДАН Тадж. ССР, 1975, т.18, №10, с.3-6.

39. Исматов М. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье. //Всесоюзный журнал «Диф. уравнения». Минск, 1976, т. 12, № 10. с. 1824-1831.

40. Исматов М. О разрешимости первой основной смешанной задачи динамики трехмерного упругого тела. //Всесоюзный журнал «Диф. Уравнения». Минск, 1976, т.12, № 12, с. 2223-2232.

41. Исматов М. О разрешимости смешанных задач теории упругости. //ДАН Тадж. ССР, 1977, т.20, №3, с. 7-10.

42. Исмати М.(Исматов М.). О некоторых несамосопряженных смешанных задачах математической физики. // Проблемы математики и информатики, ИПС, «Сохибкор» 2001, с.17-30. СХОДИМОС№

43. Исматов М. Абсолютная и равномерная/обобщенных интегралов Фурье В сборнике «Исследования по математике», Душанбе, Ротапринт, 1977, с. 44-58.

44. Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье. //Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными. Изд-во МГУ, 1978, с.319-320.

45. Исматов М. О существовании в целом обобщенного решения системы уравнений Власова для неограниченной области. //Жур. «Диф. Уравнения», //Минск, 1982, т.18, № 3, с.530-533.

46. Исматов М. О разрешимости некоторых неклассических смешанных задач. //ДАН Тадж. ССР, 1982, т.ХХХУ, № 9, с.519-522.

47. Исматов М. О корректной постановке некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений порядка 2т. //Изв. Тадж. ССР, Душанбе, 1983, №21, с.3-10.

48. Исматов М. О поведении энергии решения системы уравненийтеории упругости при больших временах. //Тезисы республ. конф. по уравн. мат. физ.-Душанбе 1983.-е. 32-35.

49. Исматов М. О смешанной задаче для одного уравнения, не разрешенного относительно старшей производной по времени. //ДАН Тадж.ССР.-1984,т.ХХХУ1, №3, -с. 121-125. г0

50. Исматов М. Об одной смешанной задаче для уравнения, описываюшёТГраспространение звука в вязком газе.//Все союзный журнал "Диф. уравнения",-Минск, 1984 т. 20, .№6,-с.1023-1036.

51. Исматов М. Решение одной смешанной задачи с неклассическим краевым условием.//ДАН Тадж. ССР,-1985, т. XXVI И, №8, -с. 427-430.

52. Исматов М. Об одной несамосопряженной задаче.//ДАН Тадж.ССР, Душан-бе.-1985, Т.ХХУ1П, №11, -с. 619-622.

53. Исматов М. О разрешимости неклассических смешанных задач. //Изв АН Тадж. ССР, -Душанбе, 1986, №3, с. 3-10.

54. Исматов М. Смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных ¡2ш-го порядка. //Тезисы Всесоюзной школы молодых учен^йых "Функ. методы в прик. математики и матем. физике", ч.1,-Ташкент,1988. с.32-33.

55. Исматов М. Обратная задача рассеяния в теории упругости. //Всесоюзный журнал "Диф. уравнения -Минск, 1988.т. 24,№9,- с. 1586-1591.

56. Исматов М. Смешанные задачи для дифференциальных уравнения в частных производных 2т-го порядка. //ДАН Тадж.ССР, -1989. т.ХХХП, №3, -с. 159-162.

57. Исматов М. Об асимптотике энергии обобщенного решения системы урав-• нений теории упругости при больших временах. //Всесоюзный журналДиф.уравнения",-Минск, 1992. т.28, №6, с. 1038 - 1044.

58. Исматов М. Об асимптотике энергии обобщенного решения системы уравнений теории упругости при больших временах. //Материалы Респуб-лик.конф.посвященной памяти Т.Собирова. -Душанбе, 1990, с.54-57.

59. Исматов М. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний теории упру гости.//Вестник ТГУ.-1990. Душанбе, №5, с.21-24.

60. Исматов М. О корректной разрешимости первой основной смешанной задачи в теории упругости //ДАН Тадж.ССР.-1992, т.ХХХУ, №1,-с. 10-14.

61. Исматов М. О корректной разрешимости второй и третьей смешанных задач теории упругости. //Материалы Респуб. научн. практич. конференции. -Душанбе, ИБО,-1993, -с.196-197.

62. Исматов М. О разрешимости смешанной задачи теории упругости с граничным оператором псевдонапряжения. //Социально-экономические проблемы перехода к рыночным отношениям. Тезисы докл. респ.научно-практич.конф.-Душанбе. ИБО, 1994,-с.119-120.

63. Исматов М. Решения одной не самосопряженной задачи теории теплопро-водности.//Тезисы докл. Респ. научно-прак. конференц. ИПС, Душанбе, 1996. -с.163-168.

64. Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти. //Материалы республиканской научно-практической конференции."Проблемахои тараккиети иктисодй ва ичтимоии Точикистон", ИПС, Душанбе-1997 .-с.222 225.

65. Исматов М. О матрицах Грина второй и третьей смешанных задач теории упругости //Тезисы докладов научно- практической конференции. ИПС, Душанбе, 1998, -с.77-79.

66. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений.//ДАН СССР,-1951. т.77, №1, -с. 11-14.

67. Кенджаев И.К. //ДАН Тадж.ССР.-1967,т. 10, № 12,-с.12-17

68. Кенджаев И.К. //ДАН Тадж.ССР,-1968, т.11, №1.,-с.10-15

69. Кенджаев И.К.//ДАН СССР,-1968,-т. 181,№6,-с. 1317-1319.

70. Красносельский М.А., Пустыльник Е.И. //ДАН СССР,-1958.-т.122, .№6, -с. 978-981.

71. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. -М. : Наука,-1966, -с.499.

72. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. ГТТИ, -1950.

73. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости,-М., 1963.

74. Купрадзе В.Д. Гегелиа Т.Г., Башелешвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. -М:, Наука,-1976,-с. 663.

75. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.: мир.-1964

76. Ладыженская O.A. //ДАН СССР,-1950,-т.74, №3.-с. 417-420.

77. Ладыженская O.A. //ДАН CCCP.-I950.-T.75, .№6,-с. 763-768.

78. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения.-М., 1953,-с. 279

79. Ладыженская O.A. //ДАН CCCP.-I954.-T.97, №63.-С. 395-398.

80. Ладыженская О.А.//ДАН СССР, -1955,-т. 102, .№2,-с. 207-210.

81. Ладыженская O.A. //Матем. сб.-1958, т. 45 (87), №62.-С.123-158.

82. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа,-М.,Наука,-1967

83. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа,-М., Наука,-1973,-576с.

84. Ладыженская O.A. Докторская диссертация. -МГУ. 1953.

85. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния.-М., 1971.

86. Левитан Б.М. Разложения по собственным функциям. ГИТТЛ. Москва-Ленинград,-! 950,-с. 159.

87. Левитан Б.М. //ДАН СССР,-1955, т. 102, №6, -с.1073-1076.

88. Лежнев В.А. //Дифференц. уравнения. -1973, т. 9, №3.с.511-526.

89. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. Труды Московского матем. об-ва.} -1962. -с.3-35.

90. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-Мир, 1972

91. Лопатинский Б.Я. //Укр. матем. журнал,-1951, т5., №2

92. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. -М.: Мир, 1957

93. Михайлов В.П. //ДАН СССР,-i960,-т. 132, №2,-с. 291-294.

94. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных, -М.: Наука,-1976.-391с.

95. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. -ПТТИ, -1952.

96. Михлин С.Г. Курс математической физики. -М.: Наука, 1968.-е. 575.

97. Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики. СМБ-М.: Наука,-1964. -с. 368.

98. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.— М.,1970.

99. Наймарк М.А. Линейные дифф. операторы. -М.: Наука,-1969. -с. 526.

100. Петрашень Г. И. //ДАН СССР. -1945,-т. 47, №3,-с. 177-181.

101. Петрашень Г.И.//Уч.зан. ЛГУ, сер-мат. наук,-1950. вып. 21,-с. 24-70.

102. Петровский 'ИТ. Лекции об уравнениях с частными производными -М. :1961.-с.400.

103. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений -М.: 1965.

104. Пиранишвили З.А. Асланиди Н.П.//Сообщ. АН Груз. ССР, -1977,-т. 86, №2.-С. 267-271.

105. Повзнер А.Я.//Мат. сб.-1953.Т.32(74),№1. с. 109-156.

106. Повзнер А.Я. //ДАН СССР, -1955.-T. 104, -с. 306-363.

107. Рамм А.Г. Разложение по собственным функциям несамосопряженного оператора Шредингера.//ДАН СССР,-1970. т.191, №1, -с. 50-53.

108. Расулов М.Л.//Дифференц. уравнения, -1970, т. 6, №9.

109. Рухадзе Р.В. Разрешимости первой основной задачи динамики трехмерного упруго тела.//Сообщ. АН Груз. ССР, -I974.-T.73 ,№2-с. 289-292.

110. Рухадзе Р. В. О разрешимости второй основной и некоторых других смешанных трехмерных задач динамики теории упругости.//Сообщ. АН Груз. ССР,-1974,-т.74.№1.

111. Слободецкий Л.Н. Обобщенные прост-ва Соболева С. Л. и их приложения к краевым задачам в частных производных //Уч. зап. Ленингр.пед.ин-та им А.И Герцена. -1958.-т. 197.-c.54-l 12.

112. Смирнов В.М. Курс высшей математики. -М.: ГМФМИ, 1959, Т.5, -с. 655; -1957, т.4, с. -812;

113. Смолицкий Х.Л. Докторская диссертация, -ЛГУ, 1949.

114. Соболев С.Л.//ДАН СССР, -1951,-т. 81. №6,-с. 1007-1009.

115. Соболев С.Л. //Изв.АН СССР, серия математич.,-1954, т. 18, № 1,-с. 3-50.

116. Соболев С.Л. //Прикладн. матем. и технич. физика, -I960, №3. -с. 20-55.

117. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -М.:Наука, 1988. -с.336.

118. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида. Труды МИАН, т. 83. (1965)

119. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям связанные с дифференциальными уравнениями второго пордка. т.1, ИЛ., Москва,- I960; т.2. ИЛ.,М.,-1961,-с.555.

120. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, -М., Наука, 1972

121. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа .М.: Мир, 1968.-423с.

122. Эйдельман С.Д. Параболические системы,-М.: Наука, 1964,-с.445,

123. Эйдельман С.Д. Ивасишен С.Д//ДАН СССР,-1967,-т. 172, .№6,-с.1262-1265.

124. Эйдус Д.М. Принцип предельного поглашения в теории упруго-сти//Вестник Ленингр. ун-та,-1963, №7.-с.141-154

125. Agmon S //Comm. Pure Appl. Math.,-1962, v. 15, .№2.-p. 119-147.

126. Arima R //-J. Math. Kyoto Univ, 1964, v.4., -p. 207-244.

127. Friedrichs.K. On the boundary-valye problems of the theory of elesticity and Korn's inequality. //Ann.Math., -1947, V. 48„№2

128. Ikebe T //Jap. J. Math.-1967, v.36, -p. 33-55.

129. Kotake K, Narasimhan M.S. //Bull. Soc. Math. France,-1962. v.90 -p. 449-471.

130. Shizuta Y.//Proc. Japan Acad.-1963,V.39, P. 656-660.

131. Shenk N.A.//Arc. for Rat. mech. and analysis.-1966.V.21, №3