О некоторых краевых, спектральных и начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейной формой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Якубова Алие Рустемовна

• Якубова Алие Рустемовна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Якубова Алие Рустемовна

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Формула Грина для тройки гильбертовых пространств и полуто-ралинейных форм

1.2. Основные обозначения и определения

Глава 2. Исследование задач в случае одной области

2.1. Краевые задачи, порожденные полуторалинейной несимметрической формой на основе оператора Лапласа

2.2. Спектральные задачи, порожденные полуторалинейной формой

2.3. О начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейной формой и порождающих спектральные проблемы

2.4. Выводы ко второй главе

Глава 3. Исследование задач в случае двух областей

3.1. Краевые задачи, порожденные полуторалинейной несимметрической формой на основе оператора Лапласа

3.2. Смешанные спектральные задачи сопряжения, порожденные полуторалинейной формой в случае двух областей

3.3. Начально-краевые задачи сопряжения

3.4. Выводы к третьей главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых краевых, спектральных и начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейной формой»

Введение

Актуальность темы. Исследование задач, порожденных абстрактной формулой Грина, является достаточно новым. Французский математик Ж. -П. Обэн1 представил первые результаты, связанные с получением абстрактной формулы Грина. Позже эта формула была предложена С. Г. Крей-ном2. Р. Е. Шоуволтер3 использовал абстрактную формулу Грина в виде, предложенном Ж.-П. Обэном. Дальнейшее продвижение в этом направлении принадлежит Н. Д. Копачевскому4, М. С. Аграновичу, Т. Я. Азизову, В. И. Вой-тицкому, П. А. Старкову, О. А. Андроновой, К. А. Радомирской.

Глубокие результаты исследования смешанных краевых задач в липши-цевых областях для сильно эллиптических систем второго порядка, а также соответствующих спектральных задач, получены в работах М. С. Аграновича5, 6, 7.

Представляемая работа посвящена изучению слабых решений краевых задач, соответствующих несамосопряженных спектральных задач, а также начально-краевых проблем в случае одной области на основе формулы Грина для

1 Обэн Ж.-П., Приближенное решение эллиптических краевых задач [Текст] / Ж. П. Обэн.—Москва : Мир, 1977.—384 с.

2 Крейн С. Г., О колебаниях вязкой жидкости в сосуде [Текст] / С. Г. Крейн // ДАН СССР.—1964.—Т. 159, № 2.—С. 262-265.

3 ShowalterR. E., Hilbert space methods for partial differential equations [Text] / R. E. Showalter. — Electronic J. Differ. Equ, 1994.—220 p.

4 Копачевский Н.Д., Об абстрактной формуле грина для смешанных краевых задач и ее приложениях [Текст] / Н. Д. Копачевский // Spectral and Evolutional Problems: Proc. of 21th Crimean Autumn Math. School-Symf. — 2011.—Т. 21, № 1.—С. 2-39.

5 Агранович М.С., Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей [Текст] / М. С. Агранович // Успехи математических наук. — 2002. — Т. 57. — С. 3-78.

6 AgranovichM.S., Remarks on potential and besov spaces in a lipschits domain and on whitney arrays on its boundary [Text] / M. S. Agranovich // Russian Journal of Math. Physics.—2008.—Vol. 15, no. 2.—P. 146-155.

7 AgranovichM.S., Katsenelenbaum B. Z, Sivov A. N., Voitovich N. N., Generalized Method of Eigenoscillations in Diffraction Theory [Text] / M. S. Agranovich, B. Z. Katsenelenbaum, A. N. Sivov, N. N. Voitovich. — Berlin : Wiley-VCH, 1999.—378 p.

полуторалинейной формы (для оператора Лапласа). На этой базе исследованы смешанные краевые, спектральные и начально-краевые задачи, порожденные полуторалинейной формой для двух областей. В диссертации применяются новые подходы к исследованию несамосопряженных краевых задач, а также задач сопряжения, основанные на применении полуторалинейных равномерно аккре-тивных форм.

Цели и задачи диссертационной работы. Ранее краевые, спектральные и начально-краевые задачи рассматривались на основе симметрической полуторалинейной формы (т^,и)н = Подобными исследованиями

занимались, например, М. С. Агранович, Н. Д. Копачевский, В. И. Войтицкий, П. А. Старков, К. А. Радомирская. Копачевский Н. Д. предложил исследовать задачи для одной и двух областей в возмущенном (г = 0) несимметрическом случае, когда вместо скалярного произведения (ц,и)н!(п) = Ф0имеется по-луторалинейная несимметрическая форма Фе(г],и), определенная на пространстве Н 1(^), ограниченная на нем и являющаяся равномерно аккретивной.

Таким образом, главной целью данной работы является исследование задач в несимметрическом случае. Параметр £ € К введен для удобства рассмотрений, причем все изучаемые задачи при £ ^ 0 переходят в проблемы, отвечающие соответствующим невозмущенным задачам.

Основными задачами исследования являются:

— получение теорем о слабых решениях краевых задач в одной области;

— изучение поведения спектра возмущенных и невозмущенных спектральных задач, свойств корневых функций, получение теорем о структуре спектра в одной области;

— исследование начально-краевых задач и вывод теорем о существовании и единственности сильных по времени решений задач Коши в одной области;

— получение теоремы о слабом решении смешанной возмущенной задачи в случае двух областей;

— исследование структуры и локализации спектра, свойств корневых функ-

ций смешанных возмущенных и невозмущенных спектральных проблем при первом и втором условиях сопряжения. Получение теорем о свойствах решений спектральных задач в случае, когда в пучке Ь(\,ц) один параметр является спектральным, другой — фиксированным, и наоборот;

— исследование вопросов разрешимости задач Коши при первом и втором условиях сопряжения в двух областях.

Объект исследования. Краевые, спектральные и начально-краевые задачи, порожденные несимметрической полуторалинейной формой в случае одной и двух областей.

Предмет исследования. Слабая разрешимость возмущенных краевых задач в случае одной и двух областей. Свойства решений возмущенных спектральных задач при первом и втором условиях сопряжения. Сильная разрешимость задач Коши для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений первого порядка.

Научная новизна. Все результаты диссертационного исследования являются новыми, получены автором с помощью научного руководителя. Впервые исследованы возмущенные краевые, спектральные и начально-краевые задачи, порожденные несимметрической полуторалинейной формой в случае одной и двух областей. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач. Подробно изучены смешанные спектральные задачи сопряжения, порожденные полуторалинейной формой. Установлено, что исходные проблемы приводятся к исследованию операторного пучка, который зависит от двух комплексных параметров, один из которых считается фиксированным, а другой — спектральным. Изучены свойства решений возмущенных и невозмущенных спектральных задач при первом и втором условиях сопряжения. Исследованы смешанные возмущенные начально - краевые задачи при первом и втором условиях сопряжения. Доказаны теоремы о сильной разрешимости этих задач.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теорети-

ческое значение. Ее результаты могут быть использованы в задачах математической физики, гидродинамики, теории упругости, теории колебаний вязкой жидкости в сосуде, теории дифракции, а также при исследовании аналогичных абстрактных проблем, порожденных абстрактной формулой Грина для полуто-ралинейных форм. Результаты исследований дополняют и развивают теорию абстрактной формулы Грина и дифференциальных уравнений, могут быть полезны как специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений и математической физики, так и в исследованиях прикладного характера.

Методология и методы исследования. В работе все построения опираются на так называемую обобщенную формулу Грина для оператора Лапласа, являющуюся частным случаем абстрактной формулы для тройки гильбертовых пространств и оператора следа. При изучении краевых задач в диссертации используются в основном методы функционального анализа и теории операторов в гильбертовом пространстве. Исследование спектральных проблем проводится методами теории самосопряженных и несамосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, методами общей теории абстрактной формулы Грина для полуторалинейных форм и спектральной теории операторных пучков. При этом основным методом исследования является метод сведения спектральной задачи к операторному пучку известного вида. Для изучения начально-краевых задач, порождающих спектральные, использованы операторные методы математической физики в областях с липшицевыми границами, с помощью которых изучаемые задачи приводятся к задачам Коши для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. На этой основе доказываются теоремы о сильной разрешимости соответствующих начально-краевых задач. При изучении задач сопряжения использован принцип суперпозиции, позволяющий представить решение исходной неоднородной задачи в виде суммы решений вспомогательных краевых задач, содержащих неоднородность либо в уравнении, либо в одном из краевых условий.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие

результаты автора:

1. Теорема о слабых решениях полной краевой задачи Неймана-Ньютона в одной области. Теоремы о структуре спектра, свойствах корневых функций, о локализации спектра в комплексной плоскости для несамосопряженных спектральных проблем, близких к классическим задачам Дирихле, Неймана-Ньютона, Стеклова, Стефана. Теоремы о структуре спектра в возмущенных задачах С. Г. Крейна, М. С. Аграновича, И. Д. Чуешова.

2. Теоремы о существовании и единственности сильных по времени решений задач Коши, порождающих рассматриваемые в работе спектральные проблемы в одной области.

3. Теорема о слабом решении смешанной возмущенной краевой задачи в случае двух областей. Теоремы о структуре спектра, свойствах корневых функций, о локализации спектра в комплексной плоскости для невозмущенных (г = 0) и возмущенных (г = 0) спектральных проблем при первом и втором условиях сопряжения. Теоремы о свойствах решений смешанных спектральных задач в случае, когда в пучке Ь(\,^) один параметр является спектральным, другой — фиксированным, и наоборот.

4. Теоремы о существовании и единственности сильных по времени решений задач Коши при первом и втором условиях сопряжения в двух областях.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации являются достоверными, сопровождаются подробными доказательствами и прошли апробацию. Результаты исследований шесть раз докладывались автором на ХХУ1-ХХХ1 Крымских Осенних Математических Школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам: КРОМШ-2015-2020, Ласпи-Батилиман, Республика Крым, Россия, сентябрь 2015-2020 гг. (см. [34, 36, 55, 60, 61, 63]); на ХХ1У Международной конференции "Математика. Экономика. Образование", Абрау Дюрсо, Россия, 2016 г. (см. [33]); на Международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - VII", Ростов-на-Дону, 2017 г. (см. [35]); на

научных конференциях студентов и молодых специалистов по математике и информатике, КФУ им. В.И. Вернадского, Симферополь, 2014, 2016 гг. (см. [54, 57]); на научных конференциях профессорско-преподавательского состава "Дни науки КФУ", КФУ им. В. И. Вернадского, 2015, 2017 гг. (см. [56, 58, 59]); на семинарах кафедры математического анализа КФУ им. В. И. Вернадского под руководством профессора Н. Д. Копачевского, Симферополь, 2014-2020 гг.

Публикации. Результаты исследований опубликованы в 17 научных работах, четыре из которых в рецензируемых журналах из списка, рекомендованного диссертационным советом ЮФУ01.06 при ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» (см. [62, 64, 65, 76]), остальные в материалах и сборниках тезисов конференций (см. [33-36, 54-61, 63]).

Три научные статьи [62, 64, 65] индексированы в РИНЦ.

Одна научная статья [76] опубликована в журнале, которая входит в международную наукометрическую базу данных Scopus.

Личный вклад автора.

Работа [76], опубликована в соавторстве. В работе [76] автору диссертации принадлежат Теоремы 2.1-2.4, Теоремы 3.1-3.11, Леммы 3.1-3.2, Теоремы 4.1-4.6, Леммы 4.1-4.2. Из работы [76] в диссертационную работу включены только те результаты, которые получены лично автором диссертации.

Изученные задачи поставлены профессором Н. Д. Копачевским. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 165 страниц, из них 155 страниц текста, включая 1 рисунок. Библиография включает 81 наименование на 10 страницах.

Благодарности

Искреннюю признательность и благодарность автор выражает своему научному руководителю профессору Копачевскому Николаю Дмитриевичу за постановку задач и помощь на всех этапах выполнения диссертации. Автор также выражает огромную благодарность своему научному руководителю Закоре Дмитрию Александровичу за ценные советы, постоянное внимание и поддержку, комментарии и замечания.

Работа выполнена при поддержке Регионального научно-образовательного математического центра ЮФУ, соглашение Минобрнауки России № 075-02-2021-1386.

Обзор литературы

История изучения задач, порожденных абстрактной формулой Грина, берет свое начало в 70-х годах прошлого столетия. Французский математик Ж.-П. Обэн (1970 г., см. главу 6 из [47]) представил первые результаты, связанные с получением абстрактной формулы Грина. Дальнейшее применение и продвижение этой теории принадлежит С. Г. Крейну, Н. Д. Копачевскому и М. С. Аграновичу (см., например, [12, 16, 20-22, 25, 27-29, 31, 32, 37-39, 49, 78, 79, 81]). Н. Д. Копачевский исследовал смешанные краевые задачи, получаемые в произвольных ограниченных областях с липшицевой границей, спектральные задачи, находящие широкие приложение в проблемах прикладной математики, а также абстрактные задачи сопряжения. В работе [25] рассматриваются задачи, связанные с выводом абстрактной формулы Грина. А именно, приводится вывод абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств и абстрактного оператора следа, соответствующей абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач, и абстрактной формулы Грина для равномерно аккретивных полуторалинейных форм. Частными случаями таких формул Грина являются обобщенные формулы Грина для оператора Лапласа и близкие к ним (скалярный случай), соответствующие обобщенные формулы Грина для векторных полей (гидродинамика, теория упругости), а также для равномерно эллиптических уравнений и систем таких уравнений.

Приведем формулировки задач, которые рассматриваются на основе перечисленных абстрактных формул Грина. Отметим, что эти задачи исследуются на основе соответствующих формул Грина с уже выбранным дифференциальным выражением Ьи (см., например, [40]). Используемые ниже операторы и пространства Е, Е, С, описаны в параграфе 1.1. К абстрактным краевым задачам относятся следующие проблемы. 1. Неоднородная задача Неймана для уравнения Пуассона:

Ьи = / (в Е), ди = -ф (в С).

2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона:

Ьи = / (в Е), 7и = (р (в С).

3. Третья краевая задача (задача Неймана-Ньютона):

Ьи = / (в Е), ди + а^и = г^ (в С), где а : С+ ^ (£+)* — неотрицательный оператор, то есть

^ 0 V <р е С+.

В случае симметрической формы, то есть скалярного произведения в пространстве Ь, формула Грина для смешанных краевых задач имеет вид (1.20). В случае несимметрической формы Ф(г],и) формула Грина имеет вид (см. [25])

Ф(г},и) = ц,Ьи)Е + V11, и е Ьо. (1)

к=1

С помощью этой формулы исследуются абстрактные смешанные краевые задачи в случае, когда на разных частях границы задаются различные краевые условия типа Дирихле, Неймана-Ньютона или Неймана. Отметим, что в смешанных краевых задачах выбор пространства, в котором ищется слабое решение, определяется исходя из краевых условий, заданных на различных частях границы.

На основе формул Грина (1.13) и (1.20) изучаются спектральные проблемы, возникающие в приложениях.

1. Задача Дирихле: Ьи = Хи (в Е), 7и = 0 (в С).

2. Задача Неймана: Ьи = Хи (в Е), ди = 0 (в С).

3. Задача Ньютона: Ьи = Хи (в Е), ди + а^и = 0 (в С).

4. Задача Стеклова: Ьи) = 0 (в Е), ди) + а^и) = Х^и) (в С).

5. Задача Стефана: Ьи = Хи (в Е), ди + а^и = Х^и (в С).

6. Задача М. С. Аграновича:

Ьи + Хи = 0 (в Е), ди + а^и = ц^и (в С). (2)

В этой проблеме один из параметров Л, д является фиксированным, а другой — спектральным.

7. Задача С. Г. Крейна: Ьи = Хи (в Е), Х(ди + а^и) = 7и (в С).

8. Задача И. Д. Чуешова: Ьи + Х2и = 0 (в Е), ди + а^и = ц^и (в С).

Кратко сформулируем спектральную задачу сопряжения. Пусть для трой-

ки пространств Е), Е3, , и операторов следа , ] = 1,д, имеет место абстрактная формула Грина (1.1)

(т^ = ,Ь3щ)Е. + щ,д3щ)с. V ч,и] е Е3, 2 = 1,Я.

Также полагаем, что каждое граничное пространство является ортогональной суммой пространств = Фк1^¿кI, при этом имеет место оснащение пространства :

(0+)3к1 ^ С]к1 ^ (С+)*Ы.

При перестановке индексов к и ] местами оснащения совпадают.

С учетом перечисленных обозначений спектральная задача сопряжения формулируется в следующем виде. Требуется найти набор и = (щ,... ,щ) элементов и3 е Fj из уравнений

Ь3 и3 + Хи3 = 0 (в Е3), 2 = 1, Я

и краевых условий сопряжения.

Выясняется, что в этом случае также можно доказать существование формулы Грина применительно к некоторому подпространству Е0 пространства Е = Фчк=1 Е^, с учетом "главных" (с вариационной точки зрения) краевых условий. Таким образом, задачу можно снова свести к проблеме вида (2) и исследовать уже известными методами.

Спектральные задачи со спектральным параметром в уравнении и краевых условиях начали изучаться с середины ХХ века. Д. Гильберт первым исследовал спектральную задачу со спектральным параметром в краевом условии для оператора Лапласа и нормальной производной (см. [75]). Близкой механической

задачей, в которой возникает спектральный параметр в уравнении и краевом условии, является задача о малых колебаниях балки с грузом на конце. Так, задача Стеклова, возникающая при исследовании колебаний идеальной жидкости в открытом сосуде (см., например, [30]), считается первой гидродинамической задачей со спектральным параметром в краевом условии.

Глубокие результаты исследования задач сопряжения со спектральным параметром в уравнениях и краевых условиях получены в работах М. С. Аграновича с его учениками и коллегами (см., например, [2-6, 66, 67, 73]). В работах рассматривались уравнения, задачи сопряжения и сильно эллиптические системы в липшицевых (негладких) областях. Подобные задачи возникают в теории упругости и теории дифракции. Труды П. А. Старкова (см. [51-53]) посвящены изучению задач сопряжения для уравнения Гельмгольца и их абстрактным обобщениям. Исследованию абстрактных задач сопряжения со спектральным параметром в уравнении и краевых условиях, полученных на основе абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач, выведенной Н. Д. Копа-чевским, посвящены работы В. И. Войтицкого (см. [11, 12, 22]). Спектральная задача И. Д. Чуешова возникла при исследовании систем с поверхностной диссипацией энергии (см. [70, 71]).

При изучении гидродинамических задач также возникают спектральные задачи со спектральным параметром в краевых условиях (см., например, [30, 77, 78]). Так, С. Г. Крейном и соавторами при рассмотрении задачи о малых движениях вязкой жидкости в открытом сосуде было установлено, что соответствующая задача содержит спектральный параметр в уравнении и краевом условии. Эта задача сводится к исследованию пучка С. Г. Крейна I—ХА — Х-1 В (см. [37]). Начиная с 60-х годов прошлого века, эта оператор-функция изучалась в работах Н. Д. Копачевского, С. Г. Крейна, Т. Я. Азизова и многих других авторов (см., например, [7, 18, 19, 30, 68]). В диссертации возникают и исследуются возмущенные и невозмущенные пучки С. Г. Крейна.

Изучение пучка С. Г. Крейна послужило одной из основ для развития

спектральной теории оператор-функций. По-видимому, первым, кто начал разрабатывать эту теорию, был М. В. Келдыш (см., например, [17]). Дальнейшее развитие спектральной теории операторных пучков принадлежит С. Г. Крейну, М. Г. Крейну, Г. К. Лангеру, А. С. Маркусу, В. И. Мацаеву, А. Г. Костючен-ко, А. А. Шкаликову, Г. В. Радзиевскому, М. Б. Оразову, Н. Д. Копачевскому, В. Б. Лидскому, Г. И. Руссу, Ю. А. Паланту, М. Шинброту, Е. З. Могульскому, Дж. А. Аллахвердиеву и многим другим авторам. М. Г. Крейн и Г. К. Лан-гер развили теорию квадратичных операторных пучков с применением методов факторизации. Важную роль в диссертационном исследовании играют результаты работ А. С. Маркуса и В. И. Мацаева (см., например, [41]), в которых доказаны теоремы о полноте и базисности систем корневых элементов операторных функций, а также теоремы об асимптотическом поведении ветвей собственных значений.

15

Глава 1

Предварительные сведения

Все построения в диссертационной работе проводятся на основании так называемой обобщенной формулы Грина для оператора Лапласа, являющейся частным случаем абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств и оператора следа. Приведем необходимые теоретические сведения, доказательства которых можно найти, например, в [24, 27, 30, 77, 78].

1.1. Формула Грина для тройки гильбертовых пространств и полуторалинейных форм

1.1.1. Формула Грина для тройки гильбертовых пространств

Пусть Ь и Е — гильбертовы пространства со скалярными произведениями (•, и (•, •)е соответственно, причем Ь ограниченно вложено в Е (Е ^ Е), т.е. Е — плотное линейное подмножество в Е и существует константа а > 0 такая, что

1МЫ ^ V и е Е.

Говорят, что пространства Е и Е с указанными свойствами образуют гильбертову пару (Е; Е).

По любой паре (Е; Е) единственным образом определяется порождающий оператор А гильбертовой пары, который обладает следующими свойствами:

(и, V)р = (А1/2и, А1/2ю)Е = (и, Аю)е V и,у е Е.

Здесь (и,Аи)в — значение функционала Аи е Е* на элементе и е Е, причем V(A) = Е, П(А) = Е*.

Пусть теперь {Е, (•, •)е}, {Е, (•, •)е}, {С, (•, — сепарабельные гильбертовы пространства с введенными в них скалярными произведениями. Будем

считать, что для этой тройки пространств выполнены следующие условия. 1°. Ограниченность вложения: пространство Ь плотно в Е и

!М1 е ^ V и е Ь.

2°. На пространстве Ь задан оператор 7, называемый оператором следа, действующий из Ь в С, причем ^(7) =: С+ ^ С. В частности, существует константа Ь > 0 такая, что

||7м11с ^ Vи е Ь.

3°. Ядро оператора 7, то есть Кег 7 =: N, ограничено вложено в Е. То есть пространство N плотно в Е и существует такая константа с > 0, что

\\п\\е ^ V и е N.

Типичным примером, когда выполнены условия 1°-3°, является тройка пространств Е = Ь2(П), Ь = Н1 (П), С = Ь2(Г), Г := дП, где П с — область с липшицевой границей. При этом

уи := м|г V и е Н 1(П), Кег 7 = Н^(П) =: N.

Теорема 1.1. (см. [27]). Пусть для тройки пространств Е,Ь, С (с введенными на них скалярными произведениями) и для оператора следа 7 выполнены условия 1°-3°. Тогда существуют абстрактное дифференциальное выражение и абстрактная производная по внешней нормали такие, что имеет место абстрактная формула Грина (аналог первой формулы Грина для оператора Лапласа)

(г},и)р = {г},Ьи)в + (71,9и)с V г}, и е Ь. (1.1)

При этом ди е (С+)* по элементам и е Ь и Ьи е Ь* определяются однозначно.

Замечание 1.1. В приложениях дифференциальное выражение, как правило, определено из физического смысла задачи, а тогда и производная по внешней нормали также определена однозначно. Обсуждение этой проблемы см. в [80], а также в [27].

Замечание 1.2. Классическим примером, когда в качестве дифференциального выражения выбрано Ьи := и—Аи, и е Н 1(О), является обобщенная формула Грина для оператора Лапласа (О С — область с липшицевой границей):

/ди

(щ + Щ • Чй) ¿О = (г),и — Аи)Ь2{п) + (щ, — )ь2(р)

п

V е Н1(О), и — Аи е (Н1 (О))*, ^ е Н12(Г), ^ = ди е Н—1/2(Г),

Су I и

где Н1/2(Г), Н—1/2(Г) = (Н1/2(Г))* — пространства Соболева-Слободецкого с дробным индексом (см. [4, глава 3]).

1.1.2. Полуторалинейные ограниченные формы

Приведем необходимые определения и теоремы из теории полуторалиней-ных форм (см. [25]).

В приложениях иногда встречается ситуация (несимметрический случай), когда вместо скалярного произведения в пространстве Ь стоит полуторалиней-ная форма Ф(г],и), Г),и е Ь, которая является ограниченной и равномерно аккретивной в пространстве Ь. Оказывается, что для этого случая также существует абстрактная формула Грина, при этом вместо скалярного произведения (г],и)р имеется соответствующая полуторалинейная форма Ф(г],и).

Функцию Ф(-, •) : Ь х Ь ^ С, где Ь — комплексное гильбертово пространство, называют полуторалинейной формой, если она линейна по ц и антилиней-на по и (см. [25]):

Ф(С1ГЦ + С2Г12,и) = С1Ф(щ,и) + С2Ф(щ,и),

Ф(^, С1 щ + С2М2) = с_1Ф(^,М1) + с2Ф(^, щ).

Простейшим примером полуторалинейной формы на Ь является скалярное произведение (т^,и)р.

Полуторалинейная форма называется ограниченной на Е, если существует такая константа с1 > 0, что

|Ф(^,м)| < с1 \\ ц\\р • V Г!,и е Ь. (1.2)

Будем далее считать, что имеется гильбертова пара пространств (Ь; Е), а потому имеет место и оснащение Ь ^ Е ^ Ь*. Каждой ограниченной форме Ф(г],и) однозначно отвечает линейный ограниченный оператор А : Ь ^ Ь*, с помощью которого форма допускает представление

ф(г},и) = (гп,Аи)Е V г},и е Ь, \\А\\цР,р*) < С1.

Форма

Ф*(ц,и) := Ф(и,ц)

называется сопряженной к форме Ф(г],и) (см. [25]). Если выполнено условие

Ф*(ц,и) = Ф(г!,и),

то форма Ф(г],и) называется эрмитовой или симметрической.

Сопряженной форме Ф*(г],и) однозначно отвечает сопряженный ограниченный оператор А* : Ь ^ Ь* :

е V г/, и е Ь.

Эрмитовой (симметрической) форме отвечает самосопряженный оператор, действующий из Ь на Ь* :

Ф(^, и) = (г!, Аи)Е = Ф*(^, и) = Ф(и, ц) = (и, Ац)е V Г!,и е Ь. (1.3)

Для простейшего примера ограниченной полуторалинейной формы Ф0(г!,и) = (г!,и)р получаем, что оператором этой формы является оператор А

гильбертовой пары (Ь; Е), который самосопряжен в смысле определения (1.3), причем норма этого оператора равна единице.

Форма Ф(т],и) и отвечающий ей оператор А называются равномерно аккре-тивными (сильно коэрцитивными) (см. [25]) в пространстве Е, если существует с2 > 0 такая, что

Ие Ф(и, и) = Ие (и, Аи)р ^ с2||и||^ V и е Е.

(1.4)

Это соотношение иногда называют также усиленным неравенством Гординга. Равномерно аккретивная форма является ограниченной снизу:

1Ф(и,и)1 ^ С2||и||^ V и е Е.

Лемма 1.1. (Лакс, Мильграм, см., например, [80] ). Ограниченный на Е равномерно аккретивный оператор А : Е ^ Е*, отвечающий форме Ф(г],и), имеет ограниченный обратный оператор А-1 : Е* ^ Е :

А

1

\С(Р *,Г)

^ с—1.

Пусть ограниченная и равномерно аккретивная форма Ф(г],и) является несимметрической:

ф(т], и) = ф*(т], и). Введем в рассмотрение симметрические формы:

фК(Г],и) := 2

ф1 ^,и) :=21

ф(г) ,и) + ф*(г) ,и)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Якубова Алие Рустемовна, 2022 год

Список литературы

1. Агранович, М. С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей / М. С. Агранович // Успехи математических наук. — 2002. — Т. 57. — С. 3-78.

2. Агранович, М. С. Смешанные задачи в липшицевой области для сильно эллиптических систем 2-го порядка / М. С. Агранович // Функциональный анализ и его приложения. — 2011. — Т. 45(2). — С. 1-22.

3. Агранович, М. С. Спектральные задачи в липшицевых областях / М. С. Агранович // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2011. — Т. 39. — С. 11-35.

4. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. — Москва: МЦМНО, 2013.

5. Агранович, М. С. Спектральные задачи для системы Ламе в гладких и негладких областях со спектральным параметром в краевом условии / М. С. Агранович, Б. А. Амосов, М. Левитин // Российский журнал ма-тем. физ. — 1999. — Т. 6, № 3. — С. 247-281.

6. Агранович, М. С. Спектральные задачи для уравнения Гельмгольца со спектральным параметром в граничных условиях на негладкой поверхности / М. С. Агранович, Р. Менникен // Матем. сборник. — 1999.— Т. 190, № 1.— С. 29-68.

7. Азизов, Т. Я. Абстрактная формула Грина и её приложения: специальный курс / Т. Я. Азизов, Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ФЛП "Бондаренко О.А.", 2011.

8. Аскеров, Н. К. Задача о колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения / Н. К. Аскеров, С. Г. Крейн, Г. И. Лаптев // Функциональный анализ и его приложения. — 1968. — Т. 2, № 2. — С. 21-32.

9. Бирман, М. Ш. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений /

М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк // Изв. АН СССР Сер. мат.— 1974.— Т. 38, № 6. — С. 1362-1392.

10. Бирман, М. Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк. — Ленинград: ЛГУ, 1980.

11. Войтицкий, В. И. Абстрактная спектральная задача Стефана / В. И. Вой-тицкий // Ученые записки ТНУ им. В. И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Иеформатика и кибернетика". — 2006. — Т. 19(58), № 2. — С. 20-28.

12. Войтицкий, В. И. Многокомпонентные задачи сопряжения и вспомогательные абстрактные краевые задачи / В. И. Войтицкий, Н. Д. Копачевский, П. А. Старков // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2009. — Т. 34. — С. 5-44.

13. Вулис, И. Л. Спектральная асимптотика вырождающейся задачи Стекло-ва / И. Л. Вулис, М. З. Соломяк // Вестник ЛГУ.— 1973.— № 19.— С. 148-150.

14. Голдстейн, Д. Полугруппы линейных операторов и их приложения / Д. Гол-дстейн. — Киев: Высшая шк., 1989.

15. Горбачук, В. И. Диссипативные граничные задачи для эллиптических дифференциальных уравнений / В. И. Горбачук // Функциональные и численные методы математической физики. Ин-т матем. и механики: сб. на-учн. трудов (редкол.: Скрыпник И. В. и др.). — 1998.— С. 60-63.

16. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн.— Москва: Наука, 1965.

17. Келдыш, М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов / М. В. Келдыш // Успехи матем. наук. — 1971. — Т. 4(160), № 24. — С. 15-41.

18. Копачевский, Н. Д. О свойствах базисности системы собственных и при-

соединенных векторов самосопряженного операторного пучка I — ХА — Х-1 В / Н. Д. Копачевский // Функциональный анализ и его приложения. —

1981.— Т. 15, № 2. — С. 77-78.

19. Копачевский, Н. Д. О p-базисности системы корневых векторов самосопряженного операторного пучка I — ХА — Х-1 В / Н. Д. Копачевский // Сборник научных трудов "Функциональный анализ и прикл. математика".—

1982. — С. 43-55.

20. Копачевский, Н. Д. Абстрактная формула Грина и задача Стокса / Н. Д. Копачевский // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. — 2004. — С. 137-141.

21. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и ее приложениях к задаче Стокса / Н. Д. Копачевский // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). — 2004.— Т. 2. — С. 52-80.

22. Копачевский, Н. Д. Абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач / Н. Д. Копачевский // Ученые записки ТНУ им. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". — 2007. — Т. 20, № 2. — С. 3-12.

23. Копачевский, Н. Д. Операторные методы математической физики / Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ООО "ФОРМА", 2008.

24. Копачевский, Н. Д. Спектральная теория операторных пучков / Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ООО "ФОРМА", 2009.

25. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для смешанных краевых задач и ее приложениях / Н. Д. Копачевский // Spectral and Evolutional Problems: Proc. of 21th Crimean Autumn Math. School-Symf. — 2011.— Т. 21, № 1. — С. 2-39.

26. Копачевский, Н. Д. Интегродифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве / Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ФЛП

"Бондаренко О. А.", 2012.

27. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и полуторалинейных форм / Н. Д. Копачевский // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2015.— Т. 57.— С. 71-107.

28. Копачевский, Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые её приложения / Н. Д. Копачевский. — Симферополь: ООО "ФОРМА", 2016.

29. Копачевский, Н. Д. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств, абстрактные краевые и спектральные задачи / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн // Украинский матем. вестник. — 2004.— Т. 1, № 1.— С. 69-97.

30. Копачевский, Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные спектральные задачи / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Н. З. Кан.— Москва: Наука, 1989.

31. Копачевский, Н. Д. Абстрактные смешанные краевые и спектральные задачи сопряжения / Н. Д. Копачевский, К. А. Радомирская // Ученые записки Таврического национального ун-та им. В. И. Вернадского. Серия физ.-мат. науки. — 2014. — Т. 27(66), № 1. — С. 58-64.

32. Копачевский, Н. Д. Абстрактные смешанные краевые и спектральные задачи сопряжения и их приложения / Н. Д. Копачевский, К. А. Радо-мирская // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2016. — Т. 61. — С. 67-102.

33. Копачевский, Н. Д. О краевых, спектральных и начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейными формами / Н. Д. Копачевский, А. Р. Якубова // XXIV Междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование"; IX Междунар. симпоз. "Ряды Фурье и их прилож"; Междунар. конф. по стохастич. мет. (Труды).— 2016.— С. 57-64. http: //conf-symp.sfedu.ru/2016tMoryak.pdf.

34. Копачевский, Н. Д. О некоторых спектральных и начально-краевых за-

дачах, порожденных полуторалинейными формами / Н. Д. Копачевский, А. Р. Якубова // Междунар. конф. "XXVII Крымская осенняя матем. школа-симпоз. по спектральным и эволюционным задачам". (КРОМШ-2016) // Сборн. материалов.— 2016.— С. 21. http://kromsh. info/files/abstracts/abstracts-2016.pdf.

35. Копачевский, Н. Д. О некоторых спектральных и начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейной формой для оператора Лапласа / Н. Д. Копачевский, А. Р. Якубова // Modern methods, problème and applications of operator theory and harmonie analysis - VII. // Материалы докладов межд. конф. — 2017.— С. 98-99. http://www.otha.sfedu.ru/ conf2017.

36. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для полуторалиней-ных форм и ее приложениях / Н. Д. Копачевский, А. Р. Якубова // Междунар. конф. "XXVIII Крымская осенняя матем. школа-симпоз. по спектральным и эволюционным задачам"(КРОМШ - 2017) // Сборн. материалов.— 2017.— С. 36-37. http://kromsh.info/files/abstracts/ abstracts-2017-p1.pdf.

37. Крейн, С. Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде / С. Г. Крейн // ДАН СССР. — 1964. — Т. 159, № 2. — С. 262-265.

38. Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. — Москва: Наука, 1967.

39. Крейн, С. Г. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде / С. Г. Крейн, Г. И. Лаптев // Функциональный анализ и его приложения. — 1968. — Т. 1, № 2. — С. 40-50.

40. Лионс, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионс, Э. Манженес. — Москва: Мир, 1971.

41. Маркус, А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / А. С. Маркус. — Кишинев: Штиинца, 1986.

42. Маркус, А. С. Теоремы о сравнении спектров линейных операторов и спек-

тральные асимптотики / А. С. Маркус, В. И. Мацаев // Труды Московского матем. об-ва. — 1982. — Т. 45. — С. 133-1381.

43. Маркус, А. С. Теоремы о сравнении спектров линейных операторов и спектральные асимптотики для пучков Келдыша / А. С. Маркус, В. И. Мацаев // Матем. сборник. — 1984. — Т. 123(165), № 3. — С. 391-406.

44. Маркус, А. С. О базисности некоторой части собственных и присоединённых векторов самосопряжённого операторного пучка / А. С. Маркус, В. И. Мацаев // Матем. сборник. — 1987.— Т. 133(175), № 3(7).— С. 293-313.

45. Михлин, С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала / С. Г. Михлин. — М. - Л.: Гостехиздат, 1952.

46. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин.— Москва: Наука, 1970.

47. Обэн, Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж.-П. Обэн. — Москва: Мир, 1977.

48. Понтрягин, Л.-С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой / Л.-С. Понтрягин // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1944.— Т. 8, № 6. — С. 243-280.

49. Радомирская, К. А. О некоторых начально-краевых задачах сопряжения / К. А. Радомирская // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). — 2017. — Т. 2. — С. 72-96.

50. Розенблюм, Г. В. Спектральная теория дифференциальных операторов / Г. В. Розенблюм, М. З. Соломяк, М. А. Шубин // Докл. НАН Украины. — 1996. — № 3. — С. 15-20.

51. Старков, П. А. Операторный подход к задачам сопряжения / П. А. Старков // Ученые записки Таврического национального ун-та им. В. И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". — 2002. — Т. 15(54), № 1. —С. 58-62.

52. Старков, П. А. Случай общего положения для операторного пучка, воз-

никающего при исследовании задач сопряжения / П. А. Старков // Ученые записки Таврического национального ун-та им. В. И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". — 2002. — Т. 15(54), № 2. — С. 82-88.

53. Старков, П. А. Операторный подход к задачам сопряжения: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / П. А. Старков. — Симферополь, 2004.

54. Якубова, А. Р. Абстрактная формула Грина для полуторалинейных форм / А. Р. Якубова // Материалы Таврической научной конференции студентов и молодых специалистов по математике и информатике. — 2014. — С. 70-77. http://fmiconf.cfuv.ru/pdf/FMIC0NF2014.pdf.

55. Якубова, А. Р. Об одной спектральной задаче, порожденной несимметрической полуторалинейной формой / А. Р. Якубова // Спектральные и эволюционные задачи: сб. трудов XXVI Крымской Осенней матем. школы-симпозиума. — 2015.— С. 29. http://kromsh.info/files/abstracts/ abstracts-2015-p1.pdf.

56. Якубова, А. Р. Об одной спектральной задаче, порожденной полуторалинейной формой / А. Р. Якубова // Сборник тезисов участников I научной конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов, студентов и молодых ученых "Дни науки КФУ им. В.И. Вернадского ". — 2015.— С. 298-299. http://science.cfuv.ru/wp-content/uploads/2016/ 12/TA1.pdf.

57. Якубова, А. Р. Эволюционные и спектральные задачи, порожденные несимметрическими полуторалинейными формами / А. Р. Якубова // Материалы Таврической научной конференции студентов и молодых специалистов по математике и информатике. — 2016.— С. 102-106. http: //fmiconf.cfuv.ru/pdf/doklad-2016.pdf.

58. Якубова, А. Р. О некоторых спектральных и начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейной формой для оператора Лапласа / А. Р. Якубова // Всероссийская научно-практическая конф. "Матема-

тика, Информатика, Компьютерные науки, Моделирование, Образование". MICME-2017. // Сборник научных трудов МИКМО-2017. — 2017. — С. 89-90. http://mics.su/files/theses/2017.pdf.

59. Якубова, А. Р. Об абстрактной формуле Грина для полуторалинейных форм и ее приложениях / А. Р. Якубова // Сборник тезисов участников III научно-практической конференции "Дни науки КФУ им. В.И. Вернадского". The collection of theses of the participants of the III scientific and practical conference "Days of Science of the KFU named after V.I. Vernadsky". — 2017.— С. 547-548. http://www.academia.edu.

60. Якубова, А. Р. О некоторых задачах, порожденных полуторалинейной формой / А. Р. Якубова // Междунар. конф. "XXIX Крымская осенняя матем. школа-симпоз. по спектральным и эволюционным задачам". (КРОМШ -2018) // Сборн. материалов.— 2018.— С. 95-96. http://kromsh.info/ files/abstracts/abstracts-2018-p1.pdf.

61. Якубова, А. Р. О некоторых смешанных краевых и спектральных задачах, порожденных полуторалинейной формой / А. Р. Якубова // Междунар. конф. "XXX Крымская осенняя матем. школа-симпоз. по спектральным и эволюционным задачам". (КРОМШ - 2019) // Сборн. материалов.— 2019. — С. 82-83. http://www.elibrary.ru/item.asp?id=41315743.

62. Якубова, А. Р. Возмущенные начально-краевые задачи сопряжения / А. Р. Якубова // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). — 2020.— № 4(49).— С. 109-120. http://elibrary.ru/item.asp? id=46298677.

63. Якубова, А. Р. О начально-краевых задачах, порожденных полуторалинейной формой / А. Р. Якубова // Междунар. конф. "XXXI Крымская осенняя матем. школа-симпоз. по спектральным и эволюционным задачам". (КРОМШ - 2020) // Сборн. материалов. — 2020. — С. 199-200. http: //drive.google.com/file/d/1g45dpPd_HaH6SBCS6Yzk4QfZS8bl411U/edit.

64. Якубова, А. Р. О свойствах решений некоторых смешанных спектральных

задач / А. Р. Якубова // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). — 2020. — № 2 (47). — С. 88-110. http://tvim.info/node/1011.

65. Якубова, А. Р. О спектральных и эволюционных задачах, порожденных полуторалинейной формой / А. Р. Якубова // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2020.— Т. 66, № 2.— С. 335-371. http: //elibrary.ru/item.asp?id=43868700.

66. Agranovich, M. S. Strongly Elliptic Second Order Systems with Spectral Parameter in Transmission Conditions on a Nonclosed surface / M. S. Agranovich. — 2006. —Vol. 164. — Pp. 1-21.

67. Agranovich, M. S. Remarks on potential and Besov Spaces in a Lipschits Domain and on Whitney Arrays on its boundary / M. S. Agranovich // Russian Journal of Math. Physics. — 2008. — Vol. 15, no. 2. — Pp. 146-155.

68. Azizov, T. Y. On the problem of small motions and normal oscillations of a viscous fluid in a partially filled container / T. Y. Azizov, V. Hardt, N. Kopachevsky, R. Mennicken // Math. Nachr. — 2003.— Vol. 248-249.— Pp. 3-39.

69. Birman, M. Spectral Theory of Self-Adjoint Operators in Hilbert Space / M. Birman, M. Solomjak. — Dordrecht: D.Reidel Publishing Company, 1987.

70. Chueshov, I. Finite dimensionslity of the attractor for a semilinear wave equation with nonlinear boundary dissipations / I. Chueshov, M. Eller, I. Lasieska // Comm. Part. Diff. Eq-s. — 2004. — Vol. 29, no. 11-12.

71. Chueshov, I. Global attractors for von Karman evolutions with a nonlinear boundary dissipations / I. Chueshov, I. Lasieska // Diff. Eq-s. — 2004. — Vol. 198. — Pp. 196-231.

72. Gagliardo, E. Caratterizazioni delle trace sullo frontiera relative ad alcune classi de funzioni variabili / E. Gagliardo // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova. — 1957. — Vol. 27. — Pp. 284-305.

73. Generalized Method of Eigenoscillations in Diffraction Theory / M. S. Agranovich, B. Z. Katsenelenbaum, A. N. Sivov, N. N. Voitovich. — Berlin: Wi-

ley-VCH, 1999.

74. Gohberg, I. Basic Operator Theory / I. Gohberg, S. Goldberg.— Boston: Birkhaser, 1980.

75. Hilbert, D. Grundxuge einer allgemeinen Theoris der Integralgleichungen / D. Hilbert. —Chelsea, 1953.

76. Kopachevskii, N. D. On some problems generated by a sesquilin-ear form / N. D. Kopachevskii, A. R. Yakubova // Journal of Mathematical Sciences.— 2020.— Vol. 250, no. 4.— Pp. 622-659. http://link.springer.com/article/10.1007.

Русская версия: Копачевский, Н. Д. О некоторых задачах, порожденных полуторалинейной формой/ Н. Д. Копачевский, А. Р. Якубова// Современная математика. Фундаментальные направления. - 2017. -Т. 63, вып. 2. - С. 278-315. http://mi.mathnet.ru/cmfd321.

77. Kopachevsky, N. D. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics / N. D. Kopachevsky, S. G. Krein. — Basel-Boston-Berlin: Voll: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid-Birkhauser Verlag, 2001. — Vol. 1.

78. Kopachevsky, N. D. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics / N. D. Kopachevsky, S. G. Krein. — Basel-Boston-Berlin: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid-Birkhauser Verlag, 2003. — Vol. 2.

79. Koval, K. A. Mixed boundary transmission problems for the linear theory of elasticity / K. A. Koval // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2021.— no. 42. — Pp. 931—941.

80. McLean, W. Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations / W. McLean. — Cambridge University Press, 2000.

81. Radomirskaya, K. A. Spectral and initial-boundary conjugation problems / K. A. Radomirskaya // Journal of Mathematical Sciences. — 2020. — no. 250. — Pp. 660—682.