О некоторых комбинаторных инвариантах узлов и зацеплений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Карев, Максим Владимирович

• Карев, Максим Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карев, Максим Владимирович

1 Введение

1.1 История вопроса.

1.2 Основные результаты.

1.3 Краткое описание диссертации.

1.4 Благодарности.

2 Различение ориентации двукомпонентных струнных зацеплений с помощью инвариантов конечного типа

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Сведение к хордовым диаграммам.

2.3 Первое доказательство теоремы

2.4 Сведение к диаграммам Якоби.

2.5 Второе доказательство теоремы

2.6 Переход к неоснащенному случаю.

2.7 Конструкция необратимого зацепления и инварианта, различающего ориентацию.

3 Гомологии Флоера зацеплений с одной незаузленной и неза-цепленной с остальными компонентой

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Определения.

3.3 Комплекс Флоера С(-) для расширенного зацепления

3.4 Вычисление гомологий комплекса F\.

4 Косы и эпиморфизмы групп зацеплений

4.1 Предварительные сведения.

4.2 Группа кос и ее связь с зацеплениями.

4.3 Эпиморфизмы групп зацеплений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых комбинаторных инвариантах узлов и зацеплений»

1.1 История вопроса Эта работа посвящена теории инвариантов узлов и зацеплений, чье развитие в последние годы было весьма динамично. Интерес, который люди испытывают к этой теории, связан с тем, что в, казалось бы, чисто топологической задаче находят свое применение и теория алгебр Ли, и аппарат гомологической алгебры, и уравнение Янга-Бакстера, и аппарат фейимановского интегрирования, и многие другие алгебраические, геометрические и аналитические методы. Это дает надежду, что исследования в этой области помогут найти какие-нибудь глубокие закономерности в математике.Считается, что родоначальником теории узлов был К. Ф. Гаусс, который нашел замечательную интегральную формулу для индекса зацепления двух кривых в пространстве. В его дневниках, впоследствии, были также найдены несколько рисунков заузленных кривых, хотя и без какихлибо комментариев. Позже, в XIX веке, У. Томпсон (лорд Кельвин) предложил гипотезу об устройстве атомов в виде заузленных трубочек с циркулирующим в них эфиром. Однако Дж. Максвелл, исследовав эту гипотезу, доказал, что она ошибочна. Но тем не менее, начало теории узлов было положено: один из учеников Томпсона составил первую таблицу альтернированных узлов вплоть до 9 перекрестков.В двадцатом веке теория узлов занимала умы таких людей как К. Рейдемейстер (который доказал теорему, позволяющую говорить об узлах в терминах их плоских диаграмм), Дж. Александер (нашедший первый полиномиальный инвариант узлов и показавший связь между зацеплениями и косами), Дж. Конвей (показавший, что полином Александера может быть определен аксиоматически), В. Джонс (неожиданным образом связавший теорию узлов с теорией представлений), В. Васильев и М. Гусаров (независимо предложившие понятие инварианта конечного типа), М. Кон2 цевич (построивший универсальный инвариант конечного типа) и многих других исследователей.Пусть Si — дизъюнктное объединение I пронумерованных экземпляров ориентированной окружности, Ж} — дизъюнктное объединение I пронумерованых экземпляров ориентированной вещественной прямой, а 1\ — дизъюнктное объединение / пронумерованных ориентированных отрезков [0,1].Определение. • Назовем I-компонентным замкнутым зацеплением гладкое вложение S\ в ориентированную трехмерную сферу S3, рассматриваемое с точностью до изотопии, сохраняющей компоненты.Иными словами, I-компонентным замкнутым зацеплением называется класс гладких вложений Sf в ориентированную S3 относительно эквивалентности, заданой коммутативной диаграммой:

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карев, Максим Владимирович, 2009 год

1. J.W.Alexander A lemma on systems of knotted curves. — // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 19 (1923), pp. 93-95.

2. E. Artin Theory of braids. — // Annals of Mathematics (2) 48 (1947), pp. 101-126.

3. D. Bar-Natan On the Vassiliev knot invariants. — // Topology 34 (1995), pp. 423-472.

4. D. Bar-Natan Vassiliev Homotopy String Link Invariants. — // Journal of Knot Theory and its Ramifications 4-1 (1995), pp. 13-32.

5. D. Bar-Natan Some Computations Related to Vassiliev Invariants. — j j Web document http: //www.math. toronto. edu/~drorbn/papers, (1996).

6. D. Bar-Natan Khovanov's homology for tangles and cobordisms. // Geom. Topol. 9(2005), pp. 1443-1499. Online at arXiv:math/0410495.

7. J. A. Baldwin, W. D. Gillam Computations of Heegaard-Floer Knot Homology. — Preprint. — Online at arXiv:math.GT/061067.

8. J.Birman Braids, Links and Mapping Class Groups. — Princeton University Press, 1975.

9. С.Дужин Программы и файлы данных, относящиеся к вычислению весовых систем ср и яр. — Web document http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/dataprog/OrLinks/,(2005).

10. P. R. Cromwell Embedding Knots and Links in an Open Book. I. Basic Properties. — // Topology Appl., 64(1995), no.l, pp. 37-58.

11. R. H. Crowell, R. H. Fox Introduction to Knot Theory. — Graduate text 57. — Springer-Verlag. — New York, 1977.

12. S. Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy CDBook. Introduction to Vassiliev Knot invariants. — Draft. — Online at http://www.pdmi.ras.ru/~duzhin/papers/.

13. I. Dynnikov Arc Presentation of Links: Monotonic Simplification.- // Fund. Math., 190(2006), pp. 29-67. Online at arXiv:math.GT/0208153.

14. T. Fiedler Isotopy invariants for closed braids and almost closed braids via loops in stratified spaces. — Preprint. — arxiv:/math.GT/0606443.

15. A. Kawauchi The invertibility problem on amphicheiral excellent knots. — // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 55 (1979), no. 10, pp. 399-402.

16. A. Kawauchi Topological imitations. — // "Lectures at KNOTS '96 (Tokyo)". Ser. Knots Everything 15. - World Sci. Publ. - River Edge, NJ (1997), pp. 19-37.

17. M. Kontsevich Vassiliev's knot invariants. — // Adv. in Soviet Math., 16 Part 2 (1993), pp. 137-150.

18. M. Khovanov A categorification of the Jones polynomial. — // Duke Math. J., 101(2000), no. 3, pp. 359-426. Online at arXiv:math/9908171.

19. X.-S. Lin Finite type link invariants and the invertibility of links.- 11 Math. Res. Letters 3 (1996), no. 3, pp. 405-417. Online at arXiv:q-alg/9601019.

20. X.-S. Lin Finite type link-homotopy invariants. — // FEnseignement Mathematique 47 (2001), pp. 315-327. — Online at arXiv:math. GT/0012095.

21. T. Q.T.Le, J.Murakami The universal Vassiliev-Kontsevich invariant for framed oriented links. — // Compositio Math. 102 (1996), pp. 41-64.

22. В. О. Мантуров Теория узлов. — Изд. РХД. — М.-Ижевск, 2005.

23. P. Vogel Algebraic structures on modules of diagrams. — Institut de Mathematiques de Jussieu, Prepublication 32, August 1995, Revised in 1997. — Online at http://www.math.jussieu.fr/~vogel/.

24. Г. Вейль Классические группы, их инварианты и представления. М. - ИЛ, 1947.Публикации автора по теме диссертацииСтатьи в журналах, рекомендованных ВАК:

25. С.В.Дужин, М. В. Карев Определение ориентациии струнных зацеплений при помощи инвариантов конечного типа. — j j Функ. анализ и его прил., 2007, 41:3, стр. 48-59.Другие публикации:

26. M.V. Karev Гомологии Хегора-Флоера для зацеплений с тривиальной компонентой. — // Зап. научн. сем. ПОМИ, 344, 2007, стр. 37-55.

27. М. V. Karev Heegaard-Floer homology of a link with trivial component added. — Abstract. — // International conference "The algebra and geometry around knots and braids", St.-Petersburg, 2007.

28. M. В. Карев Группа кос и эпиморфизмы групп зацеплений. — Препринты ПОМИ, н. 7 (2009).