О многомерных три-тканях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Аракелян, Г.С.

• Аракелян, Г.С.
• 1983

Оглавление диссертации Аракелян, Г.С.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ТРИ-ТКАНИ

§ I' Главные расслоения.

§ I. Три-ткани

§ 2. Реализация в проективном пространстве р.

§ 3. Три-ткани У'Ыя-гМд]

§ Реализация три-ткани "\л7Т,ь(Я-'0,с1,ъ] в Р .64

§ 5. Три-ткани Лл7"СР,Я,СЯ-^>Р

§ 6. Реализация три-ткани "\лЯР,Ч, Сс|-г>р] в ^.

ГЛАВА II. ОСОБЫЕ ТРИ-ТКАНИ

§ I. Три-ткани \\ПЧ,1,Р]

§ 2. Реализация в проективном пространстве

ГЛАВА III. ПОДТКАНИ

§ I. Подткани: три-ткани ^ТРД^РИ.ъ].

§ 2. Подткани: три-ткани УТъСч-О^,*] .П

§ 3. Подткани: три-ткани \\/ТР,Ч, (ч-чУР]

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О многомерных три-тканях»

Настоящая работа относится к геометрии тканей и их реализации б многомерном проективном пространстве с точностью до проективного преобразования.

Начало развития геометрии тканей можно отнести к концу 20-х годов нашего века. Первые работы в этом направлении были сделаны немецким геометром В.Бляшке и его учениками [8], [9] .

В последнее десятилетие интенсивная разработка теории тканей ведется в работах советских геометров. Начало этой работе было положено в статьях М.А.Акивиса [2], [з] , [Ч] , [5]. Многомерная ткань - это многообразие ТКХ. , на котором заданы несколько слоений, вообще говоря разных размерностей. В частности п ткань дает многообразие "Щ. с несколькими регулярными субмер-сиями на многообразия ( ) (слоение образованы прообразами точек И^)* в этом смысле, изучение многомерных тканей оказывается тесно связанным с изучением всевозможных гладких алгебраических систем. Например, наиболее изучаемая теория 3-тканей размерности п на 2п- мерном многообразии, эквивалентна локальной теории квазигрупп и луп [з] , [4], [э]. Из работ, посвященных многомерным тканям других типов, отметим следующее. Ю.И.Михайлов исследовал теорию 2-ткани (локальная теория бинарных отношений). Более полно им изучались случаи тканей размерности 1п и п в многообразии размерностей т + п+тп [20], [21], [22]. Е.И.Индрупская изучала геометрию 3-тканей размерности п на 2п+ I - мерном многообразии при некоторых дополнительных условиях (неголономные 3-ткани) [23], [24].

Многие геометры сводят вопросы теории дифференциальных уравнений, по существу, к рассмотрению тканей. Например, изучение обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков на плоскости (см.например, работы Н.В .Степанова [16], [17]) эквивалентно исследованию 2-ткани из одномерного и п -мерного слоения на П.+ 2-мерном многообразии. Ткани из двух п.-1-мерных и одного одномерного слоения рассматриваются Ю.А.Апресяном [6], [7] , в 'основном, для П. =3,4. Это эквивалентно изучению на плоскости (ос , у ) дифференциальных уравнений порядка П -I с точностью до замены переменных а: = , у ~ ЧЧУ") • Геометрия многообразия с обобщенным абсолютный параллелизмом, которая рассматривается В.Г.Ивановым [25] , [26] , эквивалентна геометрии специальной 3-ткани из слоений размерностей 1 , п. , Н.-1 на 2 п. - I - мерном многообразии.

В настоящей работе рассматриваются 3-ткани размерностей р , р+я

9 , г на р+Я - мерном многообразии "Щ. при условии, что ъ<Я и слои третьего семейства принадлежат слоям второго семейства.

Глобальный вариант таких тканей дается коммутативной диаграммой различных субмерсий многообразий. жч*Х1р —^— где и 1Г2 - канонические проекции.

Как видно из содержания диссертации, соотношения такого рода естественно возникают в геометрии.

Краткое содержание диссертации

Пусть на гладком многообразии заданы семейства поверхностей (З^ { , и Ч^М^ь] соответственно размерностей р , ^ , 1 , для которых поверхности семейства Э являются подповерхностями семейства (^(.кО и Р + Я = п Эти семейства образуют три-ткань, которую будем обозначать ЛлГГР'Я»^] . Присоединяется к каждой точкеМеЖ семейство всех касательных к реперов {И, е^} , 1 = 1,2, • ••> п. ;

А= ; сс= » п таких, что е1 касаются поверхности ех вместе с е^ - поверхности »а - поверхности Эти семейства образуют расслоенное многообразие реперов с базой расслоения ЭД^ • Каждому реперу е. е ,е!соот * V * X* Си* ветствует корепер сопряженных форм { из", иОХ, и)0" ^ . Слои три-ткани на многообразии определяются следующими системами уравнений Пфаффа; а. иЭ = О иОХ =0 л. Л иО =0 I ио =0

В силу полной интегрируемости этих систем, получаем основные структурные уравнения три-ткани г г к I X с1и> - и) л иО + ий ДиЗ к л х л. Н- х V а. с1иО ^иОи.ли) + а.п иО ли)

Г^ и» а. а. & с| иО - и)^ л и) где образуют геометрический объект, называемый тензором него. голономности типа (2,1), . Мы можем рассматривать ранг матрицы II а4п , как II сО\, II ас х», II аа где индексы типа ЦсО , (*) и определяют номер строки; отдельный индекс - номер столбца в матрицах. Требуя чтобы эти матрицы были квадратными и имели максимальный ранг, получаем некоторые условия для размерности многообразий » на которых можно определить эти три-ткани. С каждой три-тканью связываются линейные геометрические объекты (тензоры).

Рассматриваются ткани, для которых важнейшие из этих тензоров обращаются в нуль, выясняется, что во многих случаях эти ткани однозначно реализуются в многомерном проективном пространстве как многообразия пар, состоящих из точки и не содержащей ее плоскости некоторой размерности.

В первой главе диссертации подробно рассматриваются в отдельности все эти случаи и устанавливается^как они реализуются. Вначале рассматривается случай, когда тензор неголономности имеет максимальный ранг ^ || П х \\ = ч-Сп-<0 , тогда на п ^ и со многообразии эти семейства определяют три-ткань \ч/'[ р^ ъСл-^ъ"] • После введения двойного индекса Л-*(ЛсО и при помощи выбора базиса, тензор неголономностипринимаетвид(Х.к6 =• = » а структурные уравнения три-ткани приводятся к г сх. следующему виду:

1 I к ъО. ь е л, I кй.?, с1ьС) = и>, лиЭ * и) Л1Л) +11 „ Ю лиО + 11 в иО л и} + к а. ка.С. кй.,& г ко. ее.

О. Ои & с1и) - 15 Л и) ь 1а. г й. I а, гл. к& 2. с|ю =и)ли) 4- иУ, л и) +и)ли5 + и. . о иО Аи) + к Ъ к\ь /о

ХЛ. к& с. ьа. к& ее а^и» + ам>гси> лю г ъ г га. гО. г.0» где коэффициенты Ц 11 11 „ &,„„&„ & „ я разбитые на группы следующим образом: to. 1 Г itt. T f ift. let 1 f л i»11- . i» 1 ( ift- „Л 1

4«! {} ;{ <4W• <W11V.^„ VЛ*, 1

I'll1 iT CL^* \ являются компонентами тензоров.

X, tCL

Если "Ц в о » 01 =■ О , где У объединяет инка.,D ка.О дексы всех трех видов: i , а., (Лоо, три-ткань называется почти-плоской. Реализация почти-плоской три-ткани в проективном пространстве р> осуществляется следующим образом. В проективр ном пространстве р берется р -мерная поверхность Р

SncP и рассматривается многообразие Щ. элементов р * 1+р точка И0 и - плоскость", где Псе £р , аР^П&р-ф. На многообразии ffc определяется три-ткань слои которой образуются следующим образом:

I. Фиксировано пространство р , а точка движется по поверхности ёр . П. Фиксировано пространство р = <Р , И » 81 пространство

Р^ движется в нем. Ш. Фиксирована точка М0 , р пробегает все множество пространств, не пересекающихся с касательной плоскостью в точке Ие .

После этого строится отображение многообразия со структурой почти-плоской три-ткани, на многообразие Щ. со структурой три-ткани "Wt » и справедлива

Теорема: Почти плоскую три-ткань можно локально реализогч# вать в проективном пространстве р , как многообразие Ш р элементов "точка Мс и пространство р ", где пробегает Р -мерную поверхность {эр ,Prii>i>i не пересекается с касательной плоскостью Т поверхности £ . Такая реа

Нв г г лизация однозначна с точностью до проективного преобразования.

При реализации плоских три-тканей поверхность £>р переходит в р -мерную плоскость 1Рр = < , » а Р^.^где не пересекается с плоскостью Рр (р пТР^^ф).

Если Rg || GLCilJi = »i-Сч-О ío на многообразии yr" получаем три-ткань, которая обозначается Wt^-O , R» . По аналогии с первым случаем, после введения замены а. —> тензор неголономности имеет вид (X* (k>) = 8к-SÍ » a структурные

I Vf-/ 1 Г" уравнения три-ткани приводятся к следующему виду: i i- i- ^ ~ ^ о! lO = üb, Л иО + iO л tO к а. \ X / Л > dtD = ли) 4-Ю.мО

Г" к

X X»*au). - U^AUX * U^uX где

Л Хк Як Хк Хк Хк „ Хк Л Хк

II. -tL^EUL 0=о; EH. -Е1Д =OiEll + ~0 „ Хк „ Хк

Здесь , n^f в группе являются компонентами тензора, a {tl*^} ~ компонентами самостоятельного тензора.

Если t|Xk - о , три-ткань называется почти-плоской. ОкаЛ Хк зывается, что при q> i , с\-а>1 тензор Ц. имеет следующее строение: - где EH* =0 . Такие три-ткани реализуются в проективном пространстве р следующим Я образом. Рассмотрим многообразие Грассмана Gin всех t t

-мерных плоскостей в "Р (¿lim Giq lU-^ + i-")^ . Уравнение 0%Н1 Gi выделяет на Gi« , некоторое подмногообразие к кЛ. л> комплекс) размерности i-i^-n.) (oltmК. в T-(vO) . Определяется многообразие - пар (М0 ,Ра » где плоскость р^ принадлежит комплексу , а точка Н0 не лежит в этой плоскости (И0ФТЕ^1) • На многообразии YÍI определяется^ три-ткань, слои которой образуются следующим образом.

I. Точка М фиксирована, а плоскость Р пробегает комп

О Чг 1 леке К •

П. Пространство р^ фиксировано, а точка пробегает пространство Р о ТР Ш. Пространство ]р фиксировано, а точка £1 пробегает все пространство р (кроме р , т.е.Р\Р ). 1 Ч ^ £ ^

Далее рассматривается отображение многообразия Ж со структурой почти-плоской три-ткани на многообразие ЮГС со струкV турой три-ткани . После применения теоремы Картана получается следующая

Теорема: Почти-плоские три-ткани \Т[п.(<]-ъ), я> т.] при Ц>1 можно локально реализовать в проективном пространстве как многообразие УК пар ( М0 , ТЕ^ £ ) ГД0 М0Ф1Е^1 а Р принадлежит /1(01-1)- мерному комплексу К. из грассманова многообразия Сп • ^'акая реализация однозначна с точностью

Я»1-1 до проективного преобразования.

Если Н. =0 »то почти-плоская три-ткань превращается в плоскую три-ткань, и при реализации комплекс К состоит из всех -мерных плоскостей, принадлежащих одной гиперплоскости.

Далее в первой главе рассматривается три-ткань, у которой тензор неголономности имеет максимальный ранг (X. (х)|\ = = (п-ЯНЯ-гОи обозначается ЛлГ[р>Я .рСЯ-О]. Структурные уравнения три-ткани Ал/ТР.Я'Р^-чОЗ после замены индекса имеют следующий вид:

I (X. -О. & аю = из^ л иэ X ^ х ос!иО = и)и Л иО + и) А 1>0 р- и. "X х V- \ & * лл Э 1е

Ли) = и) л и) + и) л и) 4-ий ли) + А и) лиЭ + о. р- а, й- а А iD л lO +R uD Л и) + и) л и) л Хъ> . , , х . х Хь где г -г! • 2 А, =о А^ -о, 2г| -о

OL^.C. ' X ' X ХО.,0. ' X ctx.c т,ха. ха. л?, ХЬ

2К л +ZK =0- - ZK — О cl о. ' х сих,-> CUJ.X

Получены необходимые условия, при которых такие три-ткани можно локально реализовать в проективном пространстве х X xfc йсли А =0 А =о Х| =о три-ткань называется почти-плоской. В дальнейшем рассматриваются почти-плоские три--ткани, которые реализуются в проективном пространстве ТРр+ч-гг следующим образом. Рассматривается расслоение, образованное семейством поверхностей {б} размерности . Определяется многообразие "fift пар (М0,ТРр )» где точка М0 произвольна (в области Чг ♦ где определено расслоение поверхностями $ ) и на этом многообразии три-ткань \J » слои которой образуются следующим образом:

I. Точка М0 фиксирована, р - плоскость Рр , проходящая через Ме , любая, ( Рр П ТПоСЙ) П. Точка П0 пробегает одну из поверхностей £ семейства, а

Рр - плоскость произвольна. Ш. Плоскость Рр фиксирована, а точка пробегает плоскость

ТРрйотом строится погружение ? многообразия Щ. со струк

V. турой почти-плоской три-ткани на многообразие Vtt со структурой три-ткани Wj и после применения теоремы Картана приходим к следующему результату:

Теорема: Почти-плоскую три-ткань W[P,q, PC Я-О] при P>i, можно локально реализовать в проективном пространстве TPp+CJ я как многообразие fft пар }~р ) , где точка М0 произвольна, а ТРр - из нормального расслоения. Такая реализация однозначна с точностью до проективного преобразования. тп л * . Х ~ -г

Ьсли Д =0 Д =0,^ =0"и = О , то почти-плоская три-ткань называется плоской.

Если рассматривать плоские три-ткани, то они тоже реализуются в проективном пространстве "р и для плоских три--тканей имеет место.

Теорема: Плоскую три-ткань при Р>1 > я-ъ>1 можно локально реализовать в проективном пространстве Рр + С1гь как многообразие у^ пар (М0 , "Р^ » где Н0 ^ Рр ^ Рр из нормального расслоения, а семейство поверхностей состоит из Я-»г - мерных плоскостей, проходящих через фиксированную Я-1-1 -мерную плоскость.

Во второй главе диссертации изучены некоторые классы три--тканей, которые являются исключением из общего, т.е. когда в тензоре неголономности ц. один из индексов г , X , а. принимает одно значение, а матрица II ОЦ И имеет максимальный ранг. Для этих три-тканей теоремы,полученные в общем случае, не проходят. Оказывается, когда индекс г - принимает одно значение, изучение таких три-тканей эквивалентно изучению на многообразии п.

Ш, геометрии с обобщенным абсолютным параллелизмом, которое рассмотрено В.Г.Ивановым [25],[26], а когда индекс а. - принимает одно значение, то такие структуры изучались в геометрии путей поэтому здесь они не рассматривались. Для случая, когда индекс я. - принимает одно значение, в работе по аналогии с общим случаем выделяются некоторые частные случаи три-тканей и найдены необходимые и достаточные условия при которых их реализация осуществляется в проективном пространстве ТРр+^ • В этом пространстве рассматривается расслоение, образованное р - параметрическими семействами кривых. Определяется многообразие Щ. пар(М Рв) , где точка М - произвольна, а

О У р ^ ^о

Рр=<м0,иа>.

На этом многообразии определим три-ткань V* слои которой образуются следующим образом:

I. Точка М0 - фиксирована,.а "Рр - плоскость, проходящая че

Р03 Мс » любая, не содержащая касательную. П. Точка Н0 пробегает одну из кривых - семейства, а

- плоскость произвольна. Ш. Плоскость рр - фиксирована, а точка К0 пробегает плоскость рр , ^

Рассматривается отображение многообразия ТЖ. со структурой три-ткани Лл7'[г1,,ч-1,Р] на многообразие ^Т. со структурой три-ткани V

В работе получены более сложные необходимые и достаточные условия, дающие возможность реализации в проективном пространстве.

Рассматривается еще реализация таких тканей при помощи семейства прямых, т.е. когда семейство кривых {$} переходит в семейство прямых, и получаются те необходимые и достаточные условия, при которых такая реализация возможна.

Найдены также условия, при которых все прямые семейства {$} проходят через фиксированную точку М. .

В третьей главе диссертации рассматриваются плоские подтка-ни максимального ранга три-ткани. Рассмотрим подмногообразие

П.

Ш Ш. где По < П . На подмногообразии ХК. ° определяются семейства поверхностей = { = VI4 П ШП°; ,

V "К = V • , « ^П ШП°; ^ Ч а} и требуется чтобы эти семейства на подмногообразии определили три-ткань , которую будем называть подтканью три

-тканв "ЫЧР'Я'^З.

Рассматривая для каждой три-ткани ее подткани и требуя, чтобы по всем направлениям можно было провести плоские подткани "ШРо.ЯоЛоТД^о^Д^^Р получаем некоторые условия, которым должны удовлетворять линейные геометрические объекты ткани.

Опишем каждый случай в отдельности. Подткани три-ткани VIР»1Сп-<0,'г] обозначаются через ЛлГ[ * где

Яо<Я и • Касательные плоскости к слоям подткани являются подпространствами соответствующих касательных плоскостей к слоям ткани, откуда получается связь между формами три--ткани и подткани. Требуя, чтобы по всем направлениям касательных к слоям три-ткани "\л7[р> гСп-яХ т.] можно было провести плоские подткани Ал/Чр©,гв3 » получаем некоторые условия, которым должны удовлетворять геометрические объекты.

Имеет место

Теорема: Пусть ч0 и ро натуральные числа С10>Р0€1М) удовлетворяющие следующим неравенствам: L<Ъ0<tl-L и 1< < ?0 < Р-1 • Воли по всем -мерным и ^ -мерным направлениям, касательным соответственно к ч -мерным и р -мирным слоям можно провести плоскую подткань, то сама твань является плоской.

Во втором случае плоские подткани обозначаются где Ч0<% , < 6 и 4 = Я-ъ . Здесь вводится понятие вполне плоской подткани и требуется, чтобы по всем направлениям, касательным к слоям ткани можно было провести вполне плоскую подткань. Получается следующий результат.

Теорема: Пусть ^в>60б1М и удовлетворяют неравенствам 1. < 1С <. 1 ~ 1 , 1 < 60 < 6 -1 . Если по всем -мерным и 4С --мерным направлениям, касательным соответственно к п, -мерным и -6 -мерным слоям можно провести вполне плоскую подткань, то сама ткань является почти-плоской.

Далее в третьей главе диссертации рассматриваются плоские подткани максимального ранга три-ткани "\л7'[Р>с1» Р-(Я-*0] которые обозначаются р,,,^] . Касательные плоскости подткани являются подпространствами касательных плоскостей к слоям ткани, на основе этого формы ткани выражаются через формы подткани, и в эти выражения входят новые линейные геометрические объекты (тензоры), при помощи которых характеризуется подткань. Вводится понятие вполне плоской подткани и требуя, чтобы по всем направлениям, касательным к слоям ткани можно было провести вполне плоскую подткань, получается условие на тензоры, характеризующие три-ткань. В этом случае имеет место

Теорема: Пусть Л^Р^еТМ и удовлетворяют неравенствам 1<60<6-1 , 1<Р0<.Р-1 • Если по всем 6а -мерным и Рс «мерным направлениям, касательным соответственно к 6 -мерным и р -мерным слоям можно провести вполне плоскую ткань, то сама ткань является плоской.

Автор выражает искреннюю признательность профессору А,{¿.Васильеву за помощь, оказанную в написании этой работы.

Список литературы диссертационного исследования Аракелян, Г.С., 1983 год

1. Азизова Н.Х. О тканях кривых и поверхностей.В сб. "Вопросы диф.геом." ученые записки №374, МИШ им.В.И. Ленина, Москва 1970, 7-17.

2. Акивис М.А. О три-тканях многомерных поверхностей. Труды ге-ом.сем.ВИНИТИ, т.2, 1969, 7-31.

3. Акивис М.А. О канонических разложениях уравнения локальной аналитической квазигруппы. Докл. АН СССР, 1969, 188, №5, 967-970.

4. Акивис М.А. О локальной дифференцируемой квазигруппе и три-ткани, которые определяются тройкой гиперповерхностей. Сиб. матем. ж., т.14, №3, 1973, 467-474.

5. Акивис М.А., Шолохов A.M. О локальных дифференцируемых квазигруппах и связностях, присоединенных к три-ткани многомерных поверхностей. Сиб.матем., т.12, №6, 1971, II8I-II9I.

6. Апресян Ю.А. О многомерных три-тканях, образованных двумя семействами гиперповерхностейи одним семейством кривых. Изв.вузов.матем., №4 (179), 1977, с.132-135.

7. Апресян Ю.А. Три-ткани из кривых и гиперповерхностей и семейства диффеоморфизмов одномерных многообразий. Межвуз.те-мат.сб. Диф.геом. Калинин, 1977, 10-22.

8. Бляшке В. Введение в геометрию тканей. Гос.изд. физ.-мат. лит. Москва, 1959, 144.

9. Бляшке В., Боль.Г. ( BPo^cke V. GOGieome-b^ie Onewe&e. TopotogUche. Рга-^еи сh u|^ei.eniiai.je.ow»et»vie . Ibe%£iv\ , "эр »tiv^ei. iOS&j 539.

10. Васильев А.М. Общие инвариантные методы в дифференциальной геометрии. Докл. АН СССР, 1951, 79, М, 5-7.

11. Васильев А.М. Системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и двух независимых переменных. (Локальная теория).Мат. сб., 1966, 70 (112), №4, 457-4-80.

12. Васильева М.В. Бесконечные группы Ли и их геометрические приложения. МГПН им. В.И.Ленина, 1975, 260

13. Картана Э. Пространство аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962, 209.14. Картан Э. (. CcLiioun Е.)1.b 4ou$ gaeupei Jttt, pe* eoniiniM oleгл* *> a/tiow*. Oeuvitó &owp£eie*. TWfcle. I 1Н>С 2.TW* , GitwibU/i. VitÍM,* 195 Ъ, 4b0-4k5,

14. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия. Изд. МГУ, 1963, 366.

15. Степанов Н.В. Существование фундаментально-групповой связности, инвариантно присоединенной к уравнению ^ С.эс,Ч, у',., Изв.вузов, матем., 1973, №0, (136), 61-69.

16. Степанов Н.В. Дифференциально-геометрическая теория уравнения у1П> =?(.*-» У , У*, • • •, ytn"° ) . Проблемы геом. ВИНИТИ, т.8, 1977, .47-66.

17. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. Труды геом.сем.»ВИНИТИ, т.1, 139-190.

18. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Труды Моск.матем. общества, 1953, №2, 275-382.

19. Михайлов Ю.И. О некоторых многомерных два-тканях типа Т Труды геом. сем. ВИНИТИ, т.2, 1974, 335-344.

20. Михайлов Ю.И. Об одном классе многомерных два-тканей. Изв. вузов. Матем., 1975, №7,(158), 64-75.

21. Михайлов Ю.И. О структуре почти грассмановых многообразий. Изв.вузов. Матем. 1978, №2 (189), 62-72.

22. Индрупская В.И. Неголономные три-ткани максимального ранга В сб. Геометрия погруженных многообразий. Изд-во Моск.Гос. пед. ин-та им.В.И.Ленина,1979, с.57-61.

23. Иванов В.Г. Пространство с обобщенным параллелизмом. Сб. Геометрия погруженных многообразий. М., 1978, с.47-54.

24. Иванов В.Г. Раслоенные обобщенные параллелизмы. Тезисы докл. седьмой Всесоюзной конференции по Современным проблемам геометрии Минск, 1979, с.73.

25. Назиров Т.1. 0 три-тканях кривых. Вестник Моск.ун-та, Н, 1965, 37-51.

26. Назиров Т.1. О максимальном ранге три-тканей кривых в пространстве. Вестник Моск. ун-та №5, 1965, 27-34.

27. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М-Л, 1976, 432.

28. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. Издательство "Мир", 1970. Ц{2.

29. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. Изд-во "Иностр.лит." Москеэ, i960, 559.

30. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л., 1947, 432.

31. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. Изд. "Мир", Москва, 1975, 348.

32. Годбиион К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. Изд."Мир", 1973, 188.

33. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. Изд.МГУ, 1980, 439.

34. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Москва "Наука", 1979, 759.

35. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М., 1966.ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

36. Аракелян Г.С. Три-ткани (р , q , г ), 1 < Я максимального ранга и их подткани. Тезисы докл.седьмой Всесоюзной конференции по современным проблемам геонетрии, Минск, 1979, с.14.

37. Аракелян Г.С. Некоторые классы многомерных три-тканей, у которых поверхности одного из семейстЕ принадлежат поверхностям другого семейства. Вест. Моск.ун-та № 2, 1981, 3-7.

38. Аракелян Г.С. Подткани многомерных три-тканей максимального ранга.