О комплексе де Рама над весовыми пространствами Гельдера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гагельганс Ксения Владимировна

• Гагельганс Ксения Владимировна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Гагельганс Ксения Владимировна

2.1 Изотропный случай

2.2 Анизотропный случай для д =

2.3 Анизотропный случай для д = |

3 Комплекс де Рама над весовыми пространствами Гельдера

3.1 Изотропный случай

3.2 Анизотропный случай для д =

3.3 Анизотропный случай для д = |

4 Когомологии комплекса де Рама над весовыми пространствами Гельдера

4.1 Изотропный случай

4.2 Анизотропный случай для д =

4.3 Анизотропный случай для д = |

4.4 Некоторые приложения

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О комплексе де Рама над весовыми пространствами Гельдера»

ВВЕДЕНИЕ

В 1843 году Уильям Гамильтон [52] ввел понятие обобщенного комплексного числа, а именно — кватерниона t + ix + jy + kz, где i2 = j2 = k2 = ijk = —1. Чисто числовую часть t он назвал скалярной частью кватерниона, а направленную часть ix + jy + kz — векторной частью. Благодаря этому появилась возможность построения символических операторов из частных производных по координатам точки поля. Наиболее важным из них является оператор «на-бла»: V = idx + jщ + k~q~z. Формальные операции производятся над V так, как если бы он был вектором. При применении этой операции к полю сразу получаются важнейшее понятия. Если t — скаляр, то

_ dt dt , dt Vt = i— + j — + k— = grad t, dx dy dz

таким образом мы получаем вектор-градиент скаляра t. Если же оператор V

применить к вектору iu + jv + kw, то получим

/ du dv dw \ dx dy dz . /dw dv\ . /du dw\ /dv du\ \ dy dz / j \ dz dx / \ dx dy /

Скаляр данного кватерниона является дивергенцией поля iu+jv + kw, а вектор

— его ротором.

Полученные таким образом дифференциальные операторы grad, div и rot имеют огромное значение для математической физики, в частности, для гидродинамики, электродинамики, теории поля и т.д., см. [67]. Например, уже в работе Гельмгольца [5] приводится система уравнений, описывающая движение капельной жидкости, где, пусть и неявным образом, используются данные операторы и их свойства. А именно, утверждается, что для существования потенциала скоростей — функции ф такой, что u = дх v = dy w = д^, необходимо выполнение условий

du dv dv dw dw du

---= 0,---= 0,---= 0.

dy dx dz dy dx dz

V(iu + jv + kw) = — ( d^ + dv + d^ +

Фактически это означает, что для существования градиента функции ф необходимо, чтобы ротор функции ф был равен нулю. Кроме того, с помощью стандартных алгебраических действий, операторы grad и порождают также оператор Лапласа А = div •У. Также эти операторы возникли и в уравнениях Максвелла в электродинамике [19]. Данные примеры дают нам физическую мотивацию для изучения свойств таких операторов.

Далее можно заметить, что градиент, ротор и дивергенция — это не что иное, как частные случаи дифференциалов комплекса де Рама на трехмерным многообразии. Классический комплекс де Рама хорошо изучен: нам известна лемма Пуанкаре о тривиальности когомологий де Рама над звездными областями, теорема Стокса, выражающая двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов, а также теорема, доказанная самим де Рамом, утверждающая существование изоморфизма между когомологиями де Рама и группой сингулярных когомологий на гладких многообразиях [44].

Конечно, начиная с трудов Эйлера и Бернулли, развивалась также общая теория дифференциальных уравнений, а именно исследовалась разрешимость начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Пространства бесконечно гладких функций оказались не совсем подходящими для решения данных задач, поскольку данные, продиктованные физическими соображениями, не всегда являлись бесконечно гладкими, и более того, могли даже не являться дифференцируемыми функциями. Таким образом, возникла необходимость построения таких функциональных пространств, которые были бы удобны для решения задач математической физики. А именно, с начала ХХ-го столетия начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений (в том числе, в частных производных) систематически решались в пространствах распределений, пространствах Лебега, в пространствах соболевского и гельдеровского типов, что привело к развитию более общей теории функциональных пространств Банаха и Гильберта. С учетом требований естественных наук, одними из центральных понятий в теории дифференциальных уравнений

стали корректность по Адамару, см. [51], и ее обобщение — фредгольмовость (нетеровость) соответствующих задач, см., например, [2], [22], [74] для эллиптических линейных задач и [79] для нелинейных.

Далее можно заметить, что всякая система линейных дифференциальных уравнений может быть отождествлена с коротким дифференциальным комплексом банаховых пространств, где в качестве дифференциала рассматривается матричный дифференциальный оператор. Тогда свойство фредгольмовости дифференциального оператора данной системы — это не что иное, как конечномерность когмологий полученного комплекса. Так, естественным образом, возникла потребность изучения абстрактных комплексов банаховых пространств, где в качестве дифференциалов выступают линейные (чаще всего, ограниченные или замкнутые) операторы. Для комплекса де Рама в данном контексте можно отметить серию работ [7], [8], [10], [12], [14], [15], [16], [47], [48] Гольдштей-на, Кузьминова, Шведова и их учеников в пространствах Лебега на многообразиях, для некоторых более абстрактных ситуаций см., например, [32], [35], [38], [39], [43], [65], [73], [82], для комплекса Дольбо — [46], [54], [56], для производных комплексов — в работах [25], [57], [69], а также монографию Н. Тарханова [24] и библиографию к ней. Важным наблюдением во всех этих работах является связь свойств рассматриваемого комплекса и его когомологий с фредгольмово-стью или нормальной разрешимостью операторных уравнений, ассоциированных с входящими в него дифференциальных операторов.

В настоящей работе будет рассмотрен более узкий класс комплексов банаховых пространств, наиболее подходящий для решения дифференциальных уравнений и начально-краевых задач для них. В качестве дифференциалов комплекса мы остановимся на дифференциалах де Рама в функциональных пространствах над неограниченными областями, поскольку они порождают целый класс задач, широко распространенных в математической физике. И, наконец, поскольку мы хотим, чтобы банаховы пространства подходили для решения в том числе и нелинейных уравнений, мы будем рассматривать пространства Гельде-

ра, так как в них операторы с дифференциально-полиномиальными нелиней-ностями могут действовать непрерывно.

Как мы отметили выше, свойства когомологий комплекса де Рама над банаховыми пространствами непосредственно зависят от того, являются ли дифференциалы данного комплекса фредгольмовыми или нормально разрешимыми линейными операторами в выбранных пространствах. Тема фредгольмовости операторов более изучена в случае, когда операторы действуют в пространствах Лебега, Соболева или Гельдера. При этом, в отличие от задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, в пространствах гладких функций конечной гладкости краевые задачи для операторов в частных производных, как правило, не являются фредгольмовыми.

В идейном плане для нашего исследования чрезвычайно важна работа Ни-ренберга и Волкера 1973 года [72], где рассматриваются эллиптические операторы вида

__да __да

Аи(х) = ^ аа + Ьа (х) дха(°.°Л)

|а|=т |а|^т

действующие в пространствах Соболева, и доказывается, что если коэффициенты Ьа(х) определенным образом убывают на бесконечности, то ядро рассматриваемого оператора конечномерно. Здесь важно отметить техническую деталь, которая прослеживается в данной работе (и, на самом деле, во многих других работах, касающихся этой тематики): доказательству фредгольмовости дифференциального оператора предшествует доказательство некоторой априорной оценки.

Примерно, в это же время, и даже несколько ранее, В. Кондратьев [11], занимаясь решением краевых задач для параболических уравнений, разрабатывает эффективную технику работы с весовыми пространствами, где вес вводится в окрестности некоторой особой точки области, вблизи которой рассматриваются уравнения. Примечательно, что дифференциальная задача, рассматриваемая в весовых пространствах, эквивалентна задаче в пространствах без веса,

но с требованием определенного убывания коэффициентов дифференциального оператора около особой точки (данная эквивалентность устанавливается путем простой замены переменных).

Другой работой, повлиявшей на выбор темы диссертационного исследования, стала статья М. Кантора [42], написанная в 1975 году, где рассматривается оператор Лапласа, действующий в пространствах Соболева над весовых в бесконечно удаленной точке, и доказывается, что он является изоморфизмом, но только при небольших весах. В 1979 году Мак Оуэн [66] дополняет результаты Кантора и доказывает фредгольмовость оператора Лапласа в весовых пространствах Соболева при всех весах, за исключением некоторого дискретного множества, что достаточно типично для псевдо-дифференциальных уравнений на многообразиях с особенностями, ср., например, [22], [34]. Более того, Мак Оуэн описывает образ данного оператора через пространства гармонических многочленов и доказывает его замкнутость. Впоследствии, эти результаты были частично распространены и на весовые пространствах пространства Гельдера, см. [63]. Наконец, в 1985г. появляется работа [62], написанная Локхар-том и Мак Оуэном. В первой ее части рассматриваются весовые пространства Соболева над многообразиями с конической особенностью и описываются достаточные условия фредгольмовости оператора (0.0.1) в них. Во второй части вводятся понятия замкнутости и козамкнутости для дифференциальных форм с коэффициентами из пространства Ь2. И наконец, при условии фредгольмово-сти оператора Лапласа доказывается теорема об изоморфизме ядер оператора Лапласа и оператора (1, 1*), на шкале весовых пространств Соболева, где 1 — дифференциал де Рама, а 1* — формально сопряженный к нему оператор. Однако когогомологии комплекса де Рама на выбранной шкале пространств в статье [62] исследованы не были.

Часть результатов данного диссертационного исследования являются логическим продолжением перечисленных выше работ [42], [62], [66], а именно, будут доказаны теоремы о фредгольмовости или нормальной разрешимости операто-

ра ((, (*), действующего в пространствах форм, коэффициенты которых являются функциями из весовых пространств Гельдера. И на основе этих результатов будут получены теоремы об описании групп когомологий де Рама над изотропными весовыми пространствами Гельдера. В целом, методика нашего исследования вписывается в общую устоявшуюся схему анализа операторных уравнений в весовых пространствах на многообразиях с особенностями, см., например, [21], [37], [55], [64], [70], [71], [76]. Тем не менее, существенно то, что, во-первых, оператор ((,(*), в отличие от оператора Лапласа, является переопределенным, что осложняет исследование фредгольмовости, во-вторых, пространства Гельдера (даже и не-весовые) значительно разнятся по своим свойствам с пространствами Соболева - они не сепарабельны, и их элементы не приближаются гладкими функциями, см., например, [59]. Для не-весовых пространств вопрос о приближаемости гельдеровских функций бесконечно гладкими хорошо изучен, см., например, [29] для функций на отрезке или [80, §1.3] для сечений расслоений на многообразии. Однако для весовых (и, особенно, анизотропных) пространств в диссертации потребовалось отдельно точно описать сепарабельные подпространства выбранных нами пространств Гельдера, в которых гладкие функции с компактным носителем плотны.

Кроме того, идеи приведенных выше работ [42], [62], [66] концентрировались исключительно вокруг эллиптических операторов, однако наиболее важные модели современного естествознания (начиная уже с упомянутых ранее работ Гельмгольца [5] и Максвелла [19]) связаны скорее с параболическими и гиперболическими уравнениями. С учетом работ Кондратьева [11] и Берндта [34], посвященных сильно параболическим операторам и задаче Коши для них в весовых анизотропных пространствах Соболева на многообразиях с конической особенностью, мы исследуем комплекс де Рама на специально введенных анизотропных весовых пространствах Гельдера. Более точно, в работе изучены как аппроксимационные теоремы, так и вопросы фредгольмовости оператора ((,(*) для выбранных пространств. В частности, это позволяет получить тео-

ремы о разрешимости задачи Коши для сильно параболических операторов, ассоциированных с лапласианами комплекса де Рама в анизотропных весовых пространствах Гельдера.

Целью диссертации является изучение комплексов де Рама над весовыми изотропными и анизотропными пространствами Гельдера, описание кого-мологий данных комплексов и условий разрешимости операторных уравнений, порожденных дифференциалами де Рама. Задачи диссертации:

1. Описать замыкание гладких финитных функций в весовых изотропных и анизотропных пространствах Гельдера, используя методы работы в функциональных пространствах на многообразиях с конической особенностью.

2. Получить критерии разрешимости операторных уравнений, порожденных дифференциалами де Рама в пространствах дифференциальных форм, коэффициенты которых принадлежат банаховым весовым изотропным и анизотропным пространствам Гельдера.

3. Описать группы когомологий дифференциальных комплексов де Рама над весовыми пространствами Гельдера.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Получено описание замыкания гладких финитных функций в весовых пространствах Гель-дера, описаны условия разрешимости операторных уравнений, порожденных дифференциалами де Рама в пространствах форм с коэффициентами из весовых пространств Гельдера, а также описаны когомологии комплексов де Рама над весовыми изотропными и анизотропными пространствами Гельдера.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Они могут быть применимы при изучении решений эллиптических и параболических уравнений в весовых пространствах

Гельдера, например, стационарных и эволюционных систем Стокса из гидродинамики, описанных, например, в [61], [81].

Методология и методы исследования. В диссертации, в основном, используются методы вещественного и функционального анализа, в частности, метод интегральных представлений (метод фундаментальных решений, метод параметрикса), методы теории банаховых пространств, метод априорных оценок, методы глобального анализа на многообразиях с особенностями. Кроме того, задействованы стандартные методы гомологической алгебры.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная научная студенческая конференция МНСК-2019, 2019 г., г. Новосибирск.

2. Международная конференция по геометрическому анализу в честь 90-летия академика Ю.Г. Решетняка, 2019 г., г. Новосибирск.

3. Конференция молодых ученых «Проспект Свободный» в 2020, 2021 и 2022 гг., г. Красноярск.

4. Красноярский городской семинар по многомерному комплексному анализу и алгебраической геометрии, 2022 г., г. Красноярск.

5. Всероссийская с международным участием научно-методическая конференция «Информационные технологии в математике и математическом образовании», 2022 г., г. Красноярск.

6. Международная конференция по геометрическому анализу, посвященная памяти академика Ю. Г. Решетняка, 2022 г., г. Новосибирск.

7. Конференция «Комплексный анализ и его приложения», 2023 г. г. Красноярск.

8. Третья конференция математических центров России, 2023 г., г. Майкоп.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 работах [83]—[90], из которых 4 работы ([87]-[90]) опубликованы в журналах из списка ВАК (квартиль К1), в том числе, они индексируются в наукометрических базах Web Of Science и Scopus (квартили Q2-Q3). Результаты работы [88] получены автором самостоятельно. Вклад соискателя в совместные работы составляет не менее 50% . В доказательство соответствующих результатов об аппроксимации элементов весовых пространств Гельдера бесконечно гладкими функциями с компактными носителями вклад соискателя является решающим. Положения, выносимые на защиту.

1. Теорема 2.1.2 об описании замыкания множества гладких финитных функций в изотропных весовых пространствах Гельдера.

2. Теоремы 2.2.1 и 2.3.1 об описании замыкания в весовых анизотропных пространствах Гельдера множества Сж ([0,T], D(Rn)) отображений отрезка [0,T] в пространство гладких финитных функций.

3. Теоремы 3.1.1, 3.2.2 и 3.3.8 о разложении Ходжа для комплекса де Рама над весовыми изотропными и анизотропными пространствами Гельдера.

4. Теоремы 4.1.2, 4.2.2 и 4.3.2 об описании когомологий комплекса де Рама над весовых изотропными и анизотропными пространствами Гельдера.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 91 страницу. Список литературы содержит 90 наименований.

В первой главе настоящей диссертации приводятся известные сведения о пространствах дифференциальных форм, а именно, вводится понятие дифференциальной формы и понятие дифференциала формы. Также дается определение комплекса де Рама, и более общего объекта — комплекса де Рама над банаховыми пространствами. Формулируются известные теоремы, такие как лемма

Пуанкаре о точности замкнутых форм на звездных областях. Также здесь вводится понятие весовых изотропных С|'Л и анизотропных с25'5'^ пространств Гельдера и описываются некоторые их основные свойства такие, как, например, теоремы вложения, см., например, [87].

Во второй главе данного диссертационного исследования мы определяем , и 2 соответственно как подмножества пространств , С6 и С6 .

Элементы множества определяются следующими условиями:

1) для любого £ > 0 найдется такое 7е > 0, что для всех х,у € таких,

/ \х~'у| ^

что х = у, и удовлетворяющих условию ' ( ) < 7е, справедливо, что

w

&*(u(x) - u(y)) (х, y)-■--Г-< е; (2.1.2)

|х - у! 2)

Ит ||иУс-,л^п\вд) = 0. (2.1.3)

Элементы множества С2в'5'Л'0 определяются следующими условиями: 1) для любого £ > 0 существует такое 7е > 0, не зависящее от £, что для всех х,у € таких, что х = у и удовлетворяющих условию 1 а(~У) < 7е,

л+ да$1 (и(х,£) - и(у,*))

^+|а|+Л(х, у)-(--Л-< £ (2.2.1)

|х - у!

для всякого t G [0,T]; 2)

lim un D ч=0. (2.2.2)

Элементы множества 2 определяются следующими условиями:

1) для любого е > 0 существует такое 7е > 0, не зависящее от t, что для всех x,y G Rn, х = y, удовлетворяющих условию уу < 7е, справедливо, что

дadj (u(x,t) - u(y,t))

Iх - y|

w-11 d;|+A(x, y)-A-< е (2.3.1)

для всякого t G [0,T];

2) для любого е > 0 существует такое % > 0, что для всех |t — т| < %

даu(x,t) — u(x,T)) с00

wJ+|a|+A(x)--s-^ < е (2.3.2)

|t — т | =

при любом значении x G R;

3)

lim un D ч=0. (2.3.3)

Для построенных множеств доказываем следующие три утверждения, обобщающие теоремы об аппроксимации [29], [80] для невесовых пространств Гельдера:

Теорема 2.1.2. [87] Пусть 0 < Л < 1, s, s' G Z+ и 5' > 5. Если 0 < Л' < 1,

s ^ s' и s + Л < s' + Л', то замыкания множеств Cs5,'A и D(Rn) в пространстве C|'A совпадают с Css,A.

Теорема 2.2.1. [89] Пусть 0 < Л < 1, s, s' G Z+ и 5' >5. Если 0 < Л' < 1,

s ^ s' и s + Л < s' + Л', то замыкания множеств C2 ,s 'A '0 и Cc ([0, T], D(Rn)) в пространстве C2§SyS'A',Q совпадают с C^'^'0.

Следствие 2.3.1. [89] Пусть 0 < Л < 1, в, в' е и 5' >5. Если 0 < Л' < 1,

в ^ в' и в + Л < в' + Л', то замыкания множеств С' 'Л '2 и Сто([0,Т], в пространстве С25%'%Л'2 совпадают с .

Здесь — это пространство гладких финитных функций над Rn, а

([0,Т], — его аналог в случае анизотропных пространств.

Таким образом, полностью описано замыкание гладких финитных функций в весовых пространствах Гельдера.

В первом параграфе третьей главы диссертации мы рассматриваем ограниченные операторы

Ц, : Сй'Л ^ С5+1,Л1+1 П 8(14+1 ф С^нЛп 8^-2, (3.1.2)

Ц, (;-1) : ^ П 8(4+1 Ф сДл,-1 П <%2, (3.1.3)

где и — пространства дифференциальных д-форм, коэффициен-

ты которых лежат соответственно в пространствах и , а о^ — ядро

оператора . Для данных операторов мы доказываем следующую теорему, являющуюся аналогом результатов [63], [66] для оператора Лапласа на весовых пространствах Соболева и Гельдера:

Теорема 3.1.1. [87] Пусть п ^ 2, 5 € 0 < Л < 1. Если 5 > 0 и 5 + 1 - п €

Ъ;, то операторы (3.1.2) и (3.1.3) являются фредгольмовыми. Более того,

1) (3.1.2) и (3.1.3) суть изоморфизмы, если 0 < 5 < п — 1;

2) (3.1.2) и (3.1.3) суть инъекции с замкнутым образом, если п — 1 + т < 5 < п + т при т € Ъ+; более точно, образ л^ел?-1 состоит из всех пар

п^, д € О;*,

п , удовлетворяющих

я!1т, (тад + М^—= 0 (3л'4)

для всех Н € , а образ л^ол^ состоит из всех пар / € £^+1. л? П

д € С^+-1,Л9-1 П , удовлетворяющих (3.1.4).

Здесь

,л«+1еЛ9-1 и ^^+-1,Л9+1еЛ9-1 это соответственно образы операто ров (3.1.2) и (3.1.3), а Н^т;1,л<г обозначает пространство дифференциальных д-форм, коэффициенты которых — гармонические многочлены степени не выше т + 1.

Во втором параграфе третьей главы диссертации мы также рассматриваем ограниченные линейные операторы

, 1): к;1'в'Л'0 ^ О;;,^;? п ^ е О;;,^ п , к € ъ+, (3.2.1) , 1): ^ £2Йк£+Л10 п 5 е с2^т1кЛЛ-01 п ^, к € (3.2.2)

но действующие в пространствах форм, коэффициенты лежат уже в анизотропных весовых пространствах Гельдера, с показателем гельдеровости по переменной £ равным 0.

Мы распространяем Теорему 3.1.1 на рассматриваемый случай. Таким образом, получаем следующее утверждение.

Следствие 3.2.2.[89] Пусть п ^ 2, в е 0 < Л < 1. Если 5 > 0 и 5 + 1 -п е

то операторы (3.2.1) и (3.2.2) являются нормально разрешимыми. Более того,

1) (3.2.1) и (3.2.2) суть изоморфизмы, если 0 < 5 < п — 1;

2) (3.2.1) и (3.2.2) суть инъекции с замкнутым образом, если п — 1 + т < 5 < п + т при т е Z+; более точно, образ состоит из всех пар / е С2++^+Л1'0 П8(, д е С2++кЛ4-Л1° П 8(*, удовлетворяющих

((/О,^)^ (В(0,Д)) + Ы^),«)^-!(В(0,Д))) = 0 (3.2.3)

для всех £ е [0,Т] и Н е Н^т+1, а образ ^^Л^фл^ состоит из всех пар / е П8(, д е П 8(*, удовлетворяющих (3.2.3).

Здесь л4+1фА4-1 и А4+1фЛ4-1 соответственно являются образами операторов (3.2.1) и (3.2.2).

В третьем параграфе третьей главы рассмотрено пространство Г2sЛlqk,s,Л, 2, которое введено как график оператора (Л, Л*).

Далее мы рассматриваем оператор

(Л Л*) : г2в+к,в,Л,2 _¡. г2в+к,в,Л,2 (3 3 2)

(«,а ) : 1 ^ г ¿+1,Л4+1фЛ9-1. (3.3.2)

Для него мы также доказываем аналогичную теорему. Теорема 3.3.8. [88] Пусть п ^ 2, в е 0 < Л < 1. Если 5> 0 и 5 + 1 — п е Ъ+, то оператор (3.3.2) является нормально разрешимым. Более того,

1) (3.3.2) есть изоморфизм, если 0 < 5 < п — 1;

2) (3.3.2) есть инъекция с замкнутым образом, если п — 1+ т<5 <п + т при т е Ъ+; более точно, образ оператора (3.3.2) — это множество форм (/, д) е Г^+^'^фЛ?-:1, для которых справедливы условия (3.3.4) и (3.3.5)

Здесь (3.3.4) и (3.3.5) обозначают следующие условия

/ (ж, ¿) = 0, Л*д(ж, ¿) = 0, (3.3.4)

Шп ((/до,*)) + (дММ*Н)ьЛ,-1 (Д(0,Д))) = 0, (3.3.5)

где (3.3.5) верно при любом Н из Я^т+1. где условие ортогональности верно при любом Н из Я<т+1,л.

В четвертой главе настоящей диссертации мы определяем следующие комплексы де Рама над весовыми пространствами Гельдера:

0 4 СЛ 4 СЙЛ 4 . ■ ■ —4 С&л- П 54. 4 0, (4.1.1)

0 4 С£,Л0 4 С^+1,Л1 4 ... > С^+(к-1),Лк-1 ^ 4 0.

(4.2.1)

0 4 Г ¿,Л0 4 Г ¿+1Д1 4 ... ^ Г ¿+(п-1),т1«_1 ^ Г ¿+п,Л" 4 0

(4.3.1)

Для данных комплексов банаховых пространств доказаны следующие теоремы, которые являются естественными аналогами в весовом случае для классической леммы Пуанкаре (см. [3], [44]) и ее обобщений для Ьр-когомологий (см. [10], [43], [47], [48]).

Теорема 4.1.2. [88] Пусть п ^ 2, й е Ъ+, 0 <А< 1 и п + т — 1 < ^ < п + т. Тогда группы когомологий комплекса (4.1.1) конечномерны и изоморфны образу оператора а(Ф — Фт), действующего из л9+1 в л9+1 . Теорема 4.2.2. [88] Пусть п ^ 2, й е 0 <А< 1 и п + т — 1 <^< п+т. Тогда группы когомологий комплекса (4.2.1) изоморфны образу оператора а(Ф — Фт), действующего из Л^Д'0 в Л^Д'0.

Теорема 4.3.2. [88] Пусть п ^ 2, й е 0 <А< 1 и п + т — 1 <^< п+т. Тогда группы когомологий комплекса (4.3.1) изоморфны образу оператора а (Ф — Фт), действующего из л9+1 2 в л9+1 2.

О гув'Л л72в+к'в'Л'0 Л72в+к'в'Л' | г

Здесь Лд, Ц и Лд 2 обозначают пространства замкнутых д-форм с коэффициентами из соответствующих весовых пространств Гельдера. Также для комплексов (4.2.1) и (4.3.1) выписан общий вид элемента из пространства когомологий.

Наконец, в завершающем параграфе приведены теоремы о разрешимости задачи Коши для сильно параболических операторов в весовых анизотропных пространствах Гельдера, порожденных лапласианами де Рама, и формулы для ее решения.

1 Предварительные сведения

1.1 Пространства дифференциальных форм и комплекс де Рама

Пусть ж1,..., жп — координаты в Кп. Следуя Ботту [3], определим алгебру П^, как алгебру над К, порожденную символами Лж1,..., Лжп и операцией внешнего умножения «Л» со свойствами

Лж^ Л Лж^ = 0, Лж^ Л Лх = — Лж^- Л Лж^, при г = ^

Будем говорить, что -гладкие дифференциальные формы на Кп — это элементы алгебры

П^(КП) = СТО(КП) П^,

где СТО(КП) обозначает пространство бесконечно гладких функций над Кп. Таким образом, если и является такой формой, то и представима в виде

и (ж) = ^^ (ж) Лжт, (1.1.1)

IIИ

где а/(ж) — функции класса СТО(КП), I = (г1,..., ) — мультииндекс, а Лж/ = Лж^ Л ... Л Лж^.

Внешнее произведение и Л V дифференциальных форм и (ж) = ^ а/(ж) Лжт

|/И

и -и(ж) = ^ (ж) определяется следующим образом |7 |=р

и Л V = ^^ ^^ (ж) (ж) Лжт Л . |/ИII И

Алгебра П (Кп) = ф^П9(Кп) имеет естественную градуировку, в которой каждое слагаемое П9(Кп) состоит из Сто-гладких д-форм на Кп. Определим оператор дифференцирования

^ : П(Кп) ^ П9+1(КП) (1.1.2)

следующим образом:

да/(ж)

а9и(ж) = -"ж^ Л ажт. (1.1.3)

|/И ¿=1 ж

Заметим, что в случае К3 операторы Л0, Л1 и Л2 — это в точности градиент, ротор и дивергенция. Отметим основные свойства оператора :

(и Л V) = Л V + (—1)ёе®™и Л V,

о ^ = 0.

Комплекс П^(КП) вместе с оператором дифференцирования Л называется комплексом де Рама на пространстве Кп. Ядро £9(Кп) оператора составляют замкнутые формы, а образ В4(Кп) оператора 1 — точные формы. Тогда д-ми когомологиями де Рама пространства Кп назовем векторное пространство

Я^Д(КП) = £9 (Кп)/В9 (Кп).

Для когомологий комплекса де Рама справедливо следующее утверждение:

!К, при п = 0, 0, при п = 0.

Этот результат называется леммой Пуанкаре [3], [44].

Комплекс де Рама является классическим примером дифференциального комплекса. В данной работе будут также рассмотрены другие комплексы линейных непрерывных операторов над шкалами банаховых пространств, а именно, комплексы де Рама на шкале весовых пространств Гельдера над Кп.

Более точно, пусть {Мв}— упорядоченный набор банаховых пространств над Кп. Будем говорить, что дифференциальная форма и задана на шкале пространств {Мв}, если и является элементом следующего множества:

м = Ф^М^ = ф^=0 (М5 П). Тогда д-формой на пространстве Мв будем называть элемент из МЛ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гагельганс Ксения Владимировна, 2024 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

[1] Агранович М. С. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида / М.С. Агранович, М.И. Вишик // Успехи мат. наук. — 1964. — Т. 19, №3(117). — С. 53-161.

[2] Агранович М. С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях / М. С. Агранович // Совеременные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 1990. — Т. 63. — С. 5-129.

[3] Ботт Р. Дифференциальные формы в алгебраической топологии : монография / Р. Ботт, Л. В. Ту. — Москва : Платон, 1997. — 336 с.

[4] Водопьянов С. К. Пространства дифференциальных форм и отображения с контролируемым искажением / С. К. Водопьянов // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2010. — Т. 74, №4. — С. 5-32.

[5] Гельмгольц Г. Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям / Г. Гельмгольц // Нелинейная динам. — 2006. — Т. 2, №4. — С. 473-507.

[6] Гилбарг Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка : монография / Д. Гилбарг, Н. Трудингер ; Пер. с англ. Л. П. Купцова; Под ред. А. К. Гущина. — Москва : Наука, 1989. — 464 с.

[7] Гольдштейн В. М. Ненулевые элементы ^р -когомологий искривленных произведений, В.М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. ма-тем. журн. — 1992. — Т. 33, №6. — С. 14-30.

[8] Гольдштейн В. М. Об аппроксимации точных и замкнутых дифференциальных форм финитными / В.М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. матем. журн. — 1992. — Т. 33, №2. — С. 49-65.

[9] Гольдштейн В.М. Об интегрировании дифференциальных форм классов Жр^ / В.М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. матем. журн. — 1982. — Т. 23, №5. — С. 63-79.

[10] Гольдштейн В.М. Ьр-когомологии искривленных цилиндров /В.М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. матем. журн. — 1990. — Т. 31, №6. — С. 1179-1187.

[11] Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях / В. А. Кондратьев // Тр. ММО. — 1966. — Т. 15. — С. 400-451.

[12] Копылов Я. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на поверхности вращения / Я. А. Копылов // Сиб. матем. журн. — 1997. — Т. 38, №6. — С. 1300-1307.

[13] Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера : монография / Н.В. Крылов. — Новосибирск : Научная книга, 1998. — 178 с.

[14] Кузьминов В. И. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов / В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. матем. журн. — 1999. — Т. 40, №4. — С. 893-904.

[15] Кузьминов В. И. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре / В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. матем. журн. — 1993. — Т. 34, №1. — С. 85-95.

[16] Кузьминов В. И. Об операторе внешнего дифференцирования на рима-новых многообразиях с цилиндрическими концами / В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. матем. журн. — 2007. — Т. 48, №3. — С. 621-630.

[17] Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа : монография / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — Москва : Наука, 1973. — 576 с.

[18] Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости : монография / О. А. Ладыженская. — Москва : Наука, 1970. — 287 с.

[19] Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля : монография / Дж. К. Максвелл. — Москва : ГИТТЛ, 1952. — 687 с.

[20] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных : монография / В. П. Михайлов. — Москва : Наука, 1976. — 391 с.

[21] Назайкинский В. Е. Об индексе эллиптических операторов на многообразиях с ребрами / В. Е. Назайкинский, А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин, Б.-

B. Шульце // Матем. сб. — 2005. — Т. 196, №9. — С. 23-58.

[22] Пламеневский Б. А. Алгебры псевдодифференциальных операторов : монография / Б. А. Пламеневский. — Москва : Наука, 1986. — 256 с.

[23] Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул : монография /

C. Л. Соболев. — Москва : Наука, 1974. — 808 с.

[24] Тарханов Н. Н. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов : монография / Н.Н. Тарханов. — Новосибирск : Наука, 1990. — 248 с.

[25] Файнштейн А. С. О фредгольмовых комплексах банаховых пространств / А. С. Файнштейн, В. С. Шульман // Функц. анализ и его прил. — 1980. — Т. 14, №4. — С. 87-88.

[26] Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа : монография / А. Фридман ; Пер. с англ. Л. А. Гусарова; Под ред. В. А. Ильина. — Москва: Мир, 1968. — 428 с.

[27] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными : монография / Л. Хермандер ; Теория распределений и анализ Фурье (Том 1); Пер. с англ. под ред. М.А. Шубина. — Москва : Мир, 1986. — 464 с.

[28] Шлапунов А. А. О задаче Коши для уравнения Лапласа / А. А. Шлапунов // Сибирский математ. журнал. — 1992. — T. 33. №3. — C. 205-215.

[29] Шлапунов А. А. О замыкании гладких функций в пространствах Гельдера / А. А. Шлапунов // Уравнения математической физики и теория функций.

— 1991. — Красноярск: Изд-во КрасГУ, — С. 121-123.

[30] Agmon S. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. P. 1 / S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg // Comm. Pure Appl. Math. — 1959. — V. 12. — P. 623-727.

[31] Albin P. Hodge theory on Cheeger spaces / P. Albin, E. Leichtnam, R. Mazzeo, P. Piazza // Journal fiir die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). — 2018. — Vol. 744. — P. 29-102.

[32] Andre Y. De Rham Cohomology of Differential Modules on Algebraic Varieties : monograph / Y. Andre, F. Baldassarri, M. Cailotto ; Progress in Mathematics.

— Basel : Birkhauser Cham, 2020. — 189 p. — ISBN 978-3030397180.

[33] Atiyah M. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras / M. Atiyah // Analyse et topologie. Asterisque. — 1976. — V. 32/33. — P. 43-72.

[34] Behrndt T. On the Cauchy problem for the heat equation on Riemannian manifolds with conical singularities / T. Behrndt // The Quarterly Journal of Math. — 2011. — V. 64, №4. — P. 981-1007.

[35] Bei F. L^-Cohomology, Heat Semigroup and Stratified Spaces / F. Bei // The Journal of Geometric Analysis. — 2018. — Vol. 33, №381.

[36] Bertozzi, A. Vorticity and Incompressible Flows : monograph / A. Bertozzi, A. Majda ; 1st edition. — Cambridge : Cambridge University Press, 2001. — 560 p. — ISBN 978-0521639484.

[37] Borsuk M. Elliptic Boundary Value Problems of Second Order in Piecewise Smooth Domains : monograph / M. Borsuk, V. Kondrat'ev. — Amsterdam — London : Elsevier Science, 2006. — 538 p. — ISBN 978-0444521095.

[38] Bourdon M. Non-vanishing for group L^-cohomology of solvable and semisimple Lie groups / M. Bourdon, B. Remy // Journal de l'Ecole polytechnique — Mathtematiques. — 2023. — Vol. 10. — P. 771-814.

[39] Bourdon M. Quasi-isometric invariance of continuous group L^-cohomology, and first applications to vanishings / M. Bourdon, B. Remy // Annales Henri Lebesgue. — 2020. — Vol. 3. — P. 1291-1326.

[40] Browder F. E. Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems / F. E. Browder // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 1959. — Vol. 45. — P. 365-372.

[41] Burenkov V.I. Sobolev Spaces on Domains : monograph / V.I. Burenkov ; Teubner-Texte zur Mathematik. — Wiesbaden : Vieweg+Teubner Verlag, 1998. — 312 p. — ISBN 978-3815420683.

[42] Cantor M. Spaces of functions with asymptotic conditions on Rn / M. Cantor // Indiana Univ. Math. J. — 1975. — Vol. 24, №9. — P. 897-902.

[43] Cheeger J. L2-cohomology and intersection homology of singular algebraic-varieties / J. Cheeger, M. Goresky, R. MacPherson // Seminar on Differential Geometry, Annals of Mathematics Studies. — Princeton : Princeton University Press, 1982. — Vol. 102. — P. 303-340.

[44] De Rham G. Varietes Differentiables: formes, courants, formes harmoniques : monograph / G. de Rham. — Paris : Hermann&C, Éditeurs, 1955. — 196 p.

[45] Égorov Yu. Completeness of eigenfunctions of an elliptic operator on a manifold with conical points / Yu. Égorov, V. Kondratiev, B. W. Schulze // Russ. J. Math. Phys. — 2001. — Vol. 8, №3. — P. 267-274.

[46] Folland G. The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex : monograph / G. Folland, J. Kohn ; Annals of Mathematics Studies (Vol. 75). — Princeton : Princeton University Press, 1972. — 156 p. — ISBN 978-0691081205.

[47] Gol'dshtein V. A short proof of the Holder-Poincare duality for L'-cohomology / V. Gol'dshtein, M. Troyanov // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. — 2018. — Vol. 124. — P. 179-184.

[48] Gol'dstein V. The Sobolev-Poincare inequality and the Lqp-cohomology of twisted cylinders / V. Gol'dstein, Ya. A. Kopylov // Сиб. электрон. матем. изв. — 2020. — Vol. 17. — P. 566-584.

[49] Gournay A. Vanishing of /p-cohomology and transportation cost / A. Gournay // Bull. Lond. Math. Soc. — 2014. — Vol. 46, №3. — P. 481-490.

[50] Grisvard P. Elliptic Problems in Non-Smooth Domains : monograph / P. Gris-vard ; Monographs and studies in mathematics (Vol. 24). — Boston : Pitman Advanced Pub. Program, 1985. — 410 p. — ISBN 0273086472.

[51] Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux deriv'ees partielles lin'eares hyperboliques : monograph / J. Hadamard. — Paris : Gauthier-Villars, 1932. — 542 p.

[52] Hamilton W. Elements of quaternions : monograph / W. Hamilton. — Cambridge : Cambridge University Press, 2010. — ISBN 978-0511707162.

[53] Hormander L. Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary value problems / L. Hormander // Ann. Math. — 1966. — Vol. 83, №1. — P. 129-209.

[54] Hormander L. L2-estimates and existence theorems for the d-operator / L. Hormander // Acta Math. — 1965. — Vol. 113. — P. 89-152.

[55] Khalil S. Calculus on a Manifold with Edge and Boundary / S. Khalil, B.W. Schulze // Complex Analysis and Operator Theory. — 2019. — Vol. 13. — P. 2627-2670.

[56] Kohn J.J. Boundary regularity of d / J.J. Kohn // Ann. Math. Stud. — 1981. — Vol. 100. — P. 243-260.

[57] Kohn J. J. Differential complexes : monograph / J. J. Kohn. — Montreal: Presses de l'Universite de Montreal, 1972. — 88 p. — ISBN 978-0840502025.

[58] Kohn J. J. Non-coercive boundary value problems / J. J. Kohn, L. Nirenberg // Comm. Pure Appl. Math. — 1965. — Vol. 18. — P. 443-492.

[59] Krantz S. Intrinsic Lipschitz classes on manifolds with applications to complex function theory and estimates for the d and equations / S. Krantz // Manuscripta Mathematica. — 1978. — Vol. 24, №4. — P. 351-378.

[60] Ladyzhenskaya, O.A. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type : monograph / O.A. Ladyzhenskaya, V.A. Solonnikov, N.N. Ural'tseva. — Moscow : Nauka, 1967. — 648 p.

[61] Lions J.-L. Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineare : monograph / J.-L. Lions. — Paris : Dunod, 1969. — 554 p.

[62] Lockhart R.B. Elliptic differential operators on noncompact manifolds / R. B. Lockhart, R. C. Mc Owen // Annali Della Scuola Normale Superiore Di Pisa-classe Di Scienze. — 1985. — Vol. 12, №3. — P. 409-447.

[63] Marshall S.P. Deformations of special Lagrangian submanifolds : PhD thesis / S. P. Marshall ; University of Oxford. — Oxford, 2002. — 141 p.

[64] Mazya V. Schauder estimates for solutions to boundary value problems for second order elliptic systems in polyhedral domains / V. Mazya, J. Rossmann // Applicable Analysis. — 2004. — Vol. 83, №1. — P. 271-308.

[65] Mazzeo R. L2-Cohomology and complete Hamiltonian manifolds / R. Mazzeo, A. Pelayo, T. Ratiu // Journal of Geometry and Physics. — 2014. — Vol. 87. — P. 305-313.

[66] McOwen R. Behavior of the Laplacian on weighted Sobolev spaces / R. McOwen // Comm. Pure Appl. Math. — 1979. — Vol. 32. — P. 783-795.

[67] Mironov V. L. Spatio-temporal sedeons and their applications in Relativi-stic Quantum Mechaics and Field Theory : monograph / V. L. Mironov, S.V. Mironov ; Institute for Physics of Microstructures RAS. — Nizhny Novgorod, 2014. — URL: http://vixra.org/abs/1407.0068

[68] Mitrinovic D.S. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives : monograph / D. S. Mitrinovic, J. E. Pecaric, A. M. Fink ; Mathematics and its Applications (Vol. 13) 1991st Edition. — Dordrecht : Springer, 1991. — 603 p. — ISBN 978-0792313304.

[69] Nacinovich M. Complex analysis and complexes of differential operators / M .Nacinovich // Complex Analysis. Lecture Notes in Mathematics. — 1982. — Vol. 950. — P. 105-195. — ISBN 978-3540115960.

[70] Nazaikinskii V. E. Elliptic Theory on Singular Manifolds : monograph / V. E. Nazaikinskii, A.Yu. Savin, B.-W. Schulze, B.Yu. Sternin ; 1st Edition. — New York : Chapman and Hall/CRC, 2005. — 376 p. — ISBN 978-0429141423.

[71] Nazarov S. A. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries : monograph / S.A. Nazarov, B. A.Plamenevskii ; De Gruyter Expositions in Mathematics (Vol. 13). — Berlin : Walter de Gruyter, 2011. — 532 p. — ISBN 978-3110848915.

[72] Nirenberg L. The null spaces of elliptic partial differential operators in Rn / L. Nirenberg, H. Walker //J. Math. Anal. and Appl. — 1973. — Vol. 42. — P. 271-301.

[73] Pansu P. Cohomologie L et pincement / P. Pansu // Comment. Math. Helv. — 2008. — Vol. 83, №2. — P. 327-357.

[74] Rempel S. Index theory of elliptic boundary problems : monograph / S. Rempel, B.-W. Shulze. — Berlin : Akademie-Verlag, 1982. — 393 p.

[75] Savin A.Yu. Index of Sobolev problems on manifolds with many-dimensional singularities / A.Yu. Savin, B.Yu. Sternin // Diff Equat. — 2014. — Vol. 50. — P. 232-245.

[76] Schulze B.-W. Green integrals on manifolds with cracks / B.-W. Schulze, A. A. Shlapunov, N. Tarkhanov // Annals of Global Analysis and Geometry. — 2003. — Vol. 24. — P. 131-160.

[77] Shlapunov A. An Open Mapping Theorem for the Navier-Stokes Equations / A. Shlapunov, N. Tarkhanov // Advances and Applications in Fluid Mechanics. — 2018. — Vol. 21, №2. — P. 127-246.

[78] Shlapunov A. A. An open mapping theorem for the Navier-Stokes type equations associated with the de Rham complex over Rn / A. A. Shlapunov, N. Tarkhanov // Siberian Electronic Math. Reports. — 2021. — Vol. 18, №2. — P. 1433-1466.

[79] Smale S. An infinite dimensional version of Sard's theorem / S. Smale // Amer. J. Math. — 1965. — Vol. 87, №4. — P. 861-866.

[80] Tarkhanov N. The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations : monograph / N. Tarkhanov. — Berlin : Wiley VCH, 1995. — 479 p. — ISBN 9783055016639.

[81] Temam R. Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis : monograph / R. Temam. — 2nd edition — Amsterdam : North Holland Publ. Comp., 1979. — 519 p. — ISBN 978-0444853080.

[82] Valette G. Poincare duality for L cohomology on subanalytic singular spaces / G. Valette // Mathematische Annalen. — 2021. — Vol. 380. — P. 789-823.

Работы автора по теме диссертации

[83] Гагельганс К. В. О замыкании множества гладких финитных функций в весовых пространствах Гельдера и дифференциалах де Рама на нем / К. В. Гагельганс // Материалы 57-й Международной научной студенческой конференции / Новосибирский государственный университет. — Новосибирск, 2019. — С. 16-17.

[84] Гагельганс К. В. О когомологиях комплекса де Рама в весовых пространствах Гельдера / К. В. Гагельганс // Материалы XI Всероссийской с международным участием научно-методической конференции, посвященной 90-летию КГПУ им. В.П. Астафьева / Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева. — Красноярск, 2022. — С. 23-24.

[85] Гагельганс К. В. О когомологиях комплекса де Рама над весовыми пространствами Гельдера / К. В. Гагельганс // Материалы XVII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, "Проспект Свободный - 2021" / Сибирский федеральный университет. — Красноярск, 2021. — С. 1705-1706.

[86] Гагельганс К. В. О комплексе де Рама на одной шкале анизотропных весовых пространств Гельдера / К. В. Гагельганс // Материалы XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной году памяти и славы (75-летию Победы в Великой Отечественной войне 1941-1945 годов) "Проспект Свободный - 2020" / Сибирский федеральный университет. — Красноярск, 2020. — С. 897-899.

[87] Сидорова (Гагельганс) К. В. О замыкании гладких финитных функций в весовых пространствах Гельдера / К. В. Сидорова (Гагельганс), А. А. Шла-пунов // Математические Заметки. — 2019. — Т. 105, №4. — С. 616-631.

[88] Gagelgans K.V. On the cohomologies of the de Rham complex over weighted isotropic and anisotropic Holder spaces / K. V. Gagelgans // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2023. — Vol. 68, №3. — P. 498-512.

[89] Gagelgans K.V. On the de Rham complex on a scale of anisotropic weighted Holder spaces / K. V. Gagelgans, A. A. Shlapunov // Сибирские электронные математические известия. — 2020. — Vol. 17, №4. — P. 428-444.

[90] Gagelgans K.V. The Fredholm Navier-Stokes Type Equations for the de Rham Complex over Weighted Holder Spaces / K. V. Gagelgans, A. A. Shlapunov // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2023. — Vol. 16, №3.