О комбинаторной структуре непримитивных параллелоэдров первого типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Большакова, Елена Алексеевна

• Большакова, Елена Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Большакова, Елена Алексеевна

Введение

1 Различные определения DV- области и L-разбиения: по Г.Ф. Вороному, Б.А. Венкову, Б.Н. Делоне

1.1 Основные разбиения, связанные с ПКФ.

1.2 1Ж-разбиения

1.3 L-разбиения.

1.4 Дуальность.

1.5 L-типы.

2 Установление комбинаторной структуры непримитивного параллелоэдра первого типа по его символу

2.1 Первый тип параллелоэдров и его символ.

2.2 О расположении в n-мерном пространстве параллелоэдров, соответствующих правильным квадратичным формам ранга к < п.

2.3 Суммы Минковского отрезков (зоноэдры).

2.4 Ранг символа.

2.5 Вырезы и остатки в символах.

2.6 Зоны граней.

2.7 Отдельные грани.

2.8 Инцидентность граней.

2.9 Примеры

3 Критерий комбинаторной эквивалентности параллелоэдров первого типа, заданных символами

3.1 Определения, формулировка основной теоремы.

3.2 Из комбинаторной эквивалентности парал л елоэдров следует циклическая неразличимость символов

3.3 Из циклической неразличимости символов следует целочисленная унимодулярная эквивалентность квадратичных форм.

3.4 Согласованная ориентация двух символов.

3.5 Основная теорема без ограничения рассмотрения только "эталонными" квадратичными формами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О комбинаторной структуре непримитивных параллелоэдров первого типа»

Параллелоэдром п измерений называется n-мерный ограниченный выпуклый многогранник, параллельными копиями которого можно без пропусков и перекрытий по внутренним точкам замостить все п-мерное евклидово пространство Еп.

В XIX веке в классических работах Е.С. Федорова [1, 2] и Минков-ского [3] были заложены начала теории параллелоэдров. Особо значительное продвижение в этой теории совершил в начале XX века Г.Ф.Вороной [4].

Большой класс параллелоэдров составляют так называемые области Дирихле-Вороного точечных решеток. Вопрос о том, исчерпываются ли ими все параллелоэдры, до сих пор открыт. Вороной показал, что аффинно эквивалентны DV-областям все примитивные параллелоэдры [4], Житомирский несколько расширил этот класс [8], Делоне дал доказательство для всех n-мерных параллелоэдров при п < 4 [6].

Одной из основных задач, связанных с параллелоэдрами, является перечисление всех их разновидностей. Полное описание трехмерных параллелоэдров дал Федоров [2], все четырехмерные параллелоэдры перечислил Делоне [9].

Чаще всего параллелоэдры классифицируют по L-типам. Первоначально это понятие определил Вороной. В дальнейшем оказалось, что удобно различать геометрический и арифметический L-типы па-раллелоэдра.

Перечисление L-типов пятимерных примитивных параллелоэдров выполнили Рышков и Барановский [10,11], а также, независимо, швейцарский геометр П. Энгель [15]. Результаты этих двух исследований не совсем совпадали (221 и 223 типа примитивных пятимерных параллелоэдров соответственно), сравнение предпринял В.П. Гришухин [16]. Итогом стало уточнение: существует ровно 222 типа примитивных пятимерных параллелоэдров.

В последнее время изучение .DV-областей решеток сведено к изучению сумм Минковского конечного для каждого п числа так называемых коренных параллелоэдров благодаря теореме о коренных парал-лелоэдрах, сформулированной Рышковым [25, 26, 27]. Окончательные формулировки и подробные доказательства этой теоремы даны в [28].

Тем не менее, найти общий конструктивных подход ко всем па-рал л елоэдрам затруднительно. Поэтому изучаются и отдельные классы параллелоэдров. В частности, интерес вызывают параллелоэдры, являющиеся зоноэдрами (зоноэдральные параллелоэдры).

Исследованиями условий, необходимых или достаточных для того, чтобы зоноэдр был параллелоэдром, занимались H.S.M. Coxeter [13], П. Макмаллен [23], G.C. Shephard [22]. Зоноэдральные параллелоэдры тесно связаны с дайсингами [19, 20, 21], кроме того, существует соответствие между стандартными системами зонных векторов зоно-эдральных параллелоэдров и регулярными матроидами [24].

В настоящее время исследованиями по перечислению комбинаторных типов зоноэдральных параллелоэдров занимается Энгель [17, 18]. Это перечисление выполняется в результате компьютерных расчетов. В настоящее время расчеты проведены вплоть до размерности 8.

В настоящей диссертации изучается один класс зоноэдральных параллелоэдров, а именно, параллелоэдры (в том числе и непримитивные) первого типа. Найден конструктивный подход к таким паралле-лоэдрам любой размерности.

В дальнейшем во введении теоремы и утверждения снабжены теми номерами, которые они имеют в основном тексте.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Большакова, Елена Алексеевна, 2006 год

1. Е.С. Федоров Начала учения о фигурах // Петербург, 1885; М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1953. 410 с. (сер. "Классики науки")

2. Е.С. Федоров Правильное деление плоскости и пространства // Л., "Наука", 1979, 272 с. оригинал см. E.S.Fedorov Regulare Plan- und Raumteilung, Abhandlungen der K.Bayer, Akademie der Wissenschaften, II CL, Bd. XX, II Abt., Miinchen, 1899.

3. G. Minkowski Algemeine Lehrsatze uber die konvexen Polyeder // Nachrichten von der K.Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Mathem.-physikalische Klasse, 1897, S.198.

4. Г.Ф. Вороной Исследования о примитивных параллелоэдрах // Собр. соч., т. 2, Киев, Изд-во АН УССР, 1952, с. 239-368; (Оригинал в J. reine und angew. Math., 1908, т. 134, с. 198-287, 1909, т. 136, с. 67-179).

5. В. Delaunay B.N. Delone] Sur la sphere vide // Proc. Internat. Congr. Math. (Toronto, 1924), Univ. of Toronto Press, 695-700 (1928).

6. B. Delaunay B.N. Delone] Sur la partition reguliere I'espace a 4 dimensions // Известия АН СССР, Отд. Физ.-Мат. Наук. 1929. - №1 - С.79-110, - №2 - С.147-164.

7. Б.А. Венков 0 проектировании параллелоэдров // Избранные труды, Ленинград, "Наука", Ленинградское отделение 1981, с. 362-379 (Оригинал в Мат. сб., 1959, т. 49, вып. 2, с. 207-224).

8. R.M. Erdahl Zonotopes, dicings, and Voronoi's conjecture on parallelohedra // Europ. J. Combinatorics 20 (1999), 527-549.

9. G.C. Shephard Space-filling zonotopes // Mathematika, 21 (1974), 261-269.

10. P. McMullen Space tiling zonotopes // Mathematika 22 (1975), 202211.

11. V. Danilov, V. Grishukhin Maximal unimodular system of vectors // Europ. J. Combinatorics 20 (1999), 507-526.

12. C.C. Рышков О структуре примитивного параллелоэдра и о последней проблеме Вороного // УМН, 1998, т.53, вып. 2(320), с. 161-162.

13. С.С. Рышков Прямое геометрическое описание произвольного п-мерного параллелоэдра второго типа Вороного // Успехи матем. наук, 1999. - т. 54, вып. 2. - с. 18-19.

14. С.С. Рышков, Е.А. Большакова К теории коренных параллелоэдров // Известия РАН сер. матем., т. 69, №6, 2005, с. 187 210.

15. Ф. Харари Теория графов 11 М. Мир, 1973.

16. С.С. Рышков К теории конуса положительности и теории совершенных полиэдров П(п) и цп(т) // Чебышевский сборник 2002г., т. 3 вып. 1(3), с. 84 96.

17. P. McMullen On zonotopes // Trans. Amer. Math. Soc., 159 (1971), 91-110.

18. A.A. Зыков Основы теории графов. М. Вузовская книга, 2004.

19. H. Whitney On the classification of graphs // Amer. J. Math., 55(1933), № 2, 236-244.

20. H. Whitney 2-isomorphic graphs // Amer. J. Math., 55(1933), № 2, 245-254.Публикации автора по теме диссертации

21. Е.А. Большакова DV-разбиение и L-разбиение по Г. Ф. Вороному, Б.Н. Делоне и В.А. Венкову // Чебышевский сборник 2004г. т.5 вып. 2(10), с.30-41.

22. Е.А. Большакова О параллелоэдрах, связанных с некоторыми графами // Тезисы докладов 6-ой международной конференции по геометрии и топологии, Черкассы, 2005, с. 10-11.

23. Е.А. Большакова Непримитивные n-мерные параллелоэдры первого типа: комбинаторика и символы // Успехи математических наук, т. 61, вып. 3, 2006г., стр. 167-168.