О голоморфном продолжении гиперфункций и распределений, заданных на гиперповерхности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Якименко, Мариам Шамилевна

• Якименко, Мариам Шамилевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Якименко, Мариам Шамилевна

Введение

1. Актуальность темы.

2. Цель диссертации.

3. Методика исследования

4. Научная новизна

5. Публикации и апробация работы

6. Структура и объем работы

7. Содержание работы.

1. Предварительные сведения.

1.1. Определение гиперфункции.

1.2. СЯ-гиперфункции на гиперповерхности

1.3. Теорема двойственности Гротендика

1.4. Строгие граничные значения

2. Голоморфное продолжение гиперфункций, заданных на границе области

2.1. Потенциал простого слоя.

2.2. Представление Пуассона.

2.3. Граничное значение гармонической функции

2.4. Теоремы о скачке

2.5. Однородная <Э-задача Неймана

2.6. Преобразование Бохнера-Мартинелли.

3. Голоморфное продолжение распределений, заданных на границе области

3.1. Основное утверждение

3.2. Доказательство вспомогательных результатов.

4. Аналог задачи с косой производной для гармонических функций

4.1. Постановка задачи.

4.2. Основной результат

4.3. Вспомогательные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О голоморфном продолжении гиперфункций и распределений, заданных на гиперповерхности»

1. Актуальность темы

В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой области.

Бохнер и Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [20], а так же [17]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали СК-функциями.

Известная теорема Гартогса-Бохнера (см., например, [16]) утверждает что для того чтобы функция /, заданная на границе ограниченной области О в Ст(т > 1) со связным дополнением, имела голоморфное продолжение в необходимо и достаточно, чтобы / была СЯ-функцией на 12, то есть г для всех внешних дифференциальных форм типа (п,п — 2) с коэффициентами класса С°° в окрестности границы.

Эта теорема доказана для различных классов функций.

Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных

1) от (1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное продолжение функции / в а.

Так в работах Л.А.Айзенберга, А.М.Аронова, А.М.Кытманова, А.В.Романова, Г.Фолланда, Дж.Кона был и сследован вопрос о функциях, представимых в области О, интегралом Бохнера-Мартинелли. Ими была доказана голоморфность таких функций различных классов гладкости (несмотря на неголоморфность ядра Бохнера-Мартинелли). Эти же утверждения можно формулировать в терминах ортогональности функции ядрам Бохнера-Мартинелли. Поэтому данные теоремы служат обобщениями теоремы Гартогса-Бохнера.

В работе Г.Фолланда и Дж.Кона [23] было дано утверждение, эквивалентное представимости функции класса С°°(0) интегралом Бохнера-Мартинелли. В работе А.М.Аронова, А.М.Кытманова [4] рассмотрены функции класса С1(П). У Л.А.Айзенберга, А.М.Кытманова [2] — непрерывные функции, а у А.В.Романова — интегрируемые [11].

В работах А.М.Кытманова, И.А.Цих [8], [19] рассмотрены вопросы одностороннего голоморфного продолжения С7?-функций в фиксированную область.

В работах Стаута [33], Росея и Стаута [30] изучены граничные значения дифференциальных уравнений. Эти граничные значения являются гиперфункциями, если на граничное поведение решений не накладывается дополнительных условий.

2. Цель диссертации

Исследование голоморфности функций, представимых интегральными формулами с неголоморфными ядрами (Бохнера-Мартинелли, Коши-Фантапье определенного вида), граничные значения этих голоморфных функций являются гиперфункциями или распределениями.

Обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на гиперфункции и распределения, ортогональные ядрам интегральных представлений при интегрировании по целой границе области.

3. Методика исследования

Используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнений математической физики.

4. Научная новизна

Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации следующие:

- показано, что гармонические функции (не имеющие ограничений на порядок роста вблизи границы ограниченной области), представимые в этой области £7 интегралом Бохнера-Мартинелли голоморфны в этой области;

- дано обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на случай гиперфункций и распределений, ортогональных ядру Бохнера-Мартинелли при интегрировании по границе области;

- показано, что решениями однородной ^-задачи Неймана являются только голоморфные функции;

- дан критерий голоморфного продолжения функций и распределений в С2 в терминах аналога задачи с косой производной.

5. Публикации и апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35-41], из них в соавторстве [35-36]. Теоремы 2.1, 4.1 получены в соавторстве. Остальные утверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.

По материалам диссертации делались доклады на международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999); на V Международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (Красноярск, 1999); на IV Сибирском конгрессе ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000).

6. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и 15 параграфов. Список литературы содержит 41 наименование отечественной и зарубежной литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Якименко, Мариам Шамилевна, 2000 год

1. Айзенберг J1.A., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. Новосибирск: Наука, 1975.

2. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О голоморфности функций, представимых интегралом Мартинелли-Бохнера. Изв. АН АрмССР. Сер. мат. 1978. Т.13, № 2. С.158-169.

3. Айрапетян P.A., Хенкин Г.М. Интегральные представления дифференциальных форм на многообразиях Коши-Римана и теория СЯ-функций // Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, вып. 3. С. 39-106.

4. Аронов A.M., Кытманов A.M. О голоморфности функций, представимых интегралом Мартинелли-Бохнера. Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т.9, №3. С.83-84.

5. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1972.

6. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 30. С. 1-262.

7. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992.

8. Кытманов A.M., Цих И.А. О голоморфном продолжении C-ß-гиперфункций в фиксированную область // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, №6. С. 1319-1334.

9. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Ин. лит., 1957.

10. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

11. Романов A.B. Сходимость итераций оператора Мартинелли-Бохнера и уравнение Коши-Римана //Докл. АН СССР. 1978. Т.242, №4. С.780-783.

12. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С1. М: Мир, 1984.

13. Хенкин Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 7. С. 23-124.

14. Хенкин Г.М., Чирка Е.М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких переменных. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 4. С. 13-142.

15. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986.

16. Чирка Е.М. Потоки и некоторые их применения // Харви Р. Голоморфные цепи и их границы. М.: Мир, 1979. С.122-158.

17. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.

18. Шапира П. Теория гиперфункций. М.: Мир, 1972.

19. Цих И.А. О голоморфном продолжении СД-гиперфункций, заданных на гиперповерхностях или порождающих многообразиях. Дис. канд. ф.-м.наук. Красноярск. 1997.

20. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula // Ann. Math. 1943. V.44. P. 652-673.

21. Chirka E.M., Stout E.L. Removable singularities in the boundary // Aspects of Mathematics. 1994. V. E26. P. 43-105.

22. Duff G.F,D., Spencer P.C. Harmonic tensors on Riemann manifolds with boundary// Ann. Math. 1952. V.56. №1. P.128-159.

23. Folland G.B., Kohn J.J. The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex. Ann. Math.Stud. Princeton, 1972. V.75.

24. Grauert H. On Levi's problem and the embedding of real analytic manifolds. // Ann. Math. 1958. V. 68, №2. P. 460-472.

25. Harvey F.R., Lawson H.B. Boundaries of complex analytic varieties. I // Ann. Math. 1975. V. 102. P. 233-290.

26. Komatsu H. Microlocal analysis in Gervey classes and in complex domains // Lecture Notes in Mathematics. 1989. № 1495. P. 160-236.

27. Kytmanov A.M. The Bochner-Martinelli integral and its applications. Basel: Birkhauser Verlag, 1995.

28. Levi H. On the local character of the solution of an atypical liner differential equation in three variables and a related theorem for regular functions of two complex variables // Ann. Math. 1956. V. 64. P. 514-522.

29. Polking J.C., Wells R.O. Jr. Boundary values of Dolbeault cohomology classes and a generalized Bochner-Hartogs theorem // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1978. V. 47. P. 3-24.

30. Rosay J.-P., Stout E.L. Strong boundary values, analytic functionals and nonlinear Paley- Wiener theorey// Preprint Univ. Washington, 1999. 61 pp.

31. Sato M., Kawai Т., Kashiwara M. Microfunctions and pseudodifferential equations, Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations // Lecture Notes in Math. 1973. №287. P. 265-529.

32. Straube E.J. Harmonic and analitic functions admitting a distribution boundary value// Ann. Scuola Norm. Pisa CI. Sci. (4) 1984. V. 11, N 4. P. 559-591.

33. Stout E.L. Harmonic duality, hyperfunctions and removable singularities // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59, №6. С. 133-170.

34. Trepreau J.-M. Sur le prolongment holomorphe des fonctions CR definies sur une hypersurface reele de classe C2 dans C71 // C.R.Acad. Sc. Paris. Ser. 1. 1985. V. 301, №3. P. 61-63.

35. Кытманов A.M., Якименко М.Ш. О голоморфном продолжении гиперфункций // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34, №6. С. 113-122.

36. Кытманов А.М.Якименко М.Ш. О Об одном критерии существования голоморфного продолжения функций в С2 // Известия вузов. Математика. 1994. №8. С. 39-45.

37. Якименко М.Ш. О гиперфункциях, удовлетворяющих касательным уравнениям Коши-Римана на границе области // Тезисы международной конференции по математическим моделям и методам их исследований. КрасГУ, Красноярск, 1999, С.42-43.

38. Якименко М.Ш. О распределениях, удовлетворяющих уравнениям Коши-Римана на границе области // Тезисы V международного семинара-совещания по кубатурным формулам и их приложениям.КрасГТУ, Красноярск, 1999, С.217.

39. Якименко М.Ш. Об условиях голоморфного продолжения гиперфункций, заданных на границе области //Сб. "Комплексный анализ и дифференциальные операторы". КрасГУ, Красноярск, 2000. С. 189-193.

40. Якименко М.Ш. О граничных значениях гармонических функций // Сб. "Вопросы математического анализа". КрасГТУ, Красноярск, 2000. В.4. С. 151155.

41. Якименко М.Ш. О СЯ-гиперфункциях, заданных на границе области // Тезисы ИНПРИМ-2000, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2000. 4.1. С.161-162.