О голоморфном и плюригармоническом продолжении функций и распределений, заданных на гиперповерхности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Мысливец, Максим Сергеевич

• Мысливец, Максим Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мысливец, Максим Сергеевич

1. Общая характеристика работы

2. Содержание диссертации

Глава 1. Предварительные сведения и обозначения

1. Функциональные пространства

2. Теоремы о голоморфном продолжении, Ci^-функции

3. Теоремы о плюригармоническом продолжении

Глава 2. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли

1. Производные потенциала простого слоя

2. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли

3. C-R-распределения и критерий для них

4. Теорема о скачке ^-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли

Глава 3. Плюригармоническое продолжение функций с границы области

1. Задача Дирихле для плюригармонических функций

2. Задача Неймана

3. Описание пространства 77агто(1))

4. Случай шара

5. Плюригармоническое продолжение гладких функций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О голоморфном и плюригармоническом продолжении функций и распределений, заданных на гиперповерхности»

1. Общая характеристика работы Актуальность темы. В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со (^ связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой обла, сти.С.Бохнер и Е.Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [26]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали CRфунщиями.Эта теорема доказана для различных классов функций.Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных от (0.1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное продолжение функции f в Q.Локальные условия голоморфного продолжения также даются в терминах СЛ-функций и свойств гиперповерхности, связанных с формой Леви (см. [30], а также [21]). В работах Л.А.Айзенберга и А.М.Кытманова [2, 3] рассмотрена задача о голоморфном продолжении функций с гиперповерхности в фиксированную область. Получены условия такого продолжения в терминах продолжения интеграла Бохнера-Мартинелли и Коши-Фантаппье, В работах А.М.Кытманова, И.А.Цих [11, 12] рассмотрены вопросы одностороннего голоморфного продолжения СЛ-гиперфункций в фиксированную область. Для гладких функций аналогичные результаты получены в [10].Гораздо меньше известно результатов о плюригармоническом продолжении функций. Дифференциальные условия (локальные и глобальные) достаточные для плюригармонического продолжения даны в работах [24, 25, 22, 23, 15], а их обобп^ения получены В.К.Велошапкой [4]. Интегральные условия плюригармонического продолжения для гладких и непрерывных функций сформулированы Г.Фикерой [27, 28, 29], а доказаны А.Перотти [32]. В работе [33] даны условия разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций, гладких вплоть до границы.Цель диссертации. Нахождение условий голоморфного продолжения распределений, заданых на гиперповерхностях, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Исследование разрешимости задачи Дирихле и Неймана для плюригармонических функций конечного порядка роста вблизи границы области.Методика исследования. Используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнений математической физики.Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации следующие: - даны условия на распределения, заданные на гиперповерхности, эквивалентные касательным условиям Коши-Римана, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Как следствие получены условия голоморфного продолжения таких распределений с гиперповерхности в фиксированную область; - даны условия разрешимости задач Дирихле и Неймана для плюригармонических функций, конечного порядка роста вблизи границы области. Как следствие, получены условия разрешимости некоторых типов 9-задачи; - получены новые дифференциальные условия плюригармонического продолжения гладких функций с границы области.Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[48], из них в соавторстве [40, 41]. Теоремы 2.1, 2.2 получены в соавторстве. Остальные утверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.По материалам диссертации делались доклады на международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999, 2001); на V международном семинаресовещании "Кубатурные формулы и их приложения"(Красноярск, 1999); на IV Сибирском конгрессе ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000); на международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Уфа, 2000); на международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001, 2002); на международной конференции по многомерному комплексному анализу (Красноярск, 2002); на международной конференции по геометрическому анализу (Волгоград, 2004); на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (1999-2004).Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и 12 параграфов. Список литературы содержит 48 наименований.2. Содерлсание диссертации В первой главе приведены известные определения и результаты, используемые в диссертации.Пусть / е £'(Т)- Функцию F = 2"-Ч"(/^,М(С,^)) назовем преобразованием Бохнера-Мартинели. Функция F является гармонической в Г2 вне носителя / .Вначале ищутся производные потенциала простого слоя с помощью касательных векторных полей д д Lmk = Pk-K7 Рт^г к,т = 1...п.Для этого доказывается следующая лемма.Критерий для CR-распределений дает Теорема 2.2 Для того чтобы f £ Х>'(Г) являлось CRраспределением, необходимо и дост^аточно, чтобы [dFs]^ = [dFs]Q 1^0. Vs для всех s = 1,2,...Голоморфное продолжение распределения / означает, что существует голоморфная функция F в области Г^"*" конечного порядка роста, обобщенные граничные значения которой на Г совпадают с / .Таким образом, условия голоморфного продолжения распределений / в фиксированную область можно записать только в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли.Следующим рассматривается вопрос о скачке (9-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли. Ответ на него дает теорема Теорема 2.6 Пусть f € Z^(5Q), р ^ 1. Скачок д-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли равен нулю, т.е. lim / \dnF{z+) - dnF(z-)\''da{z) = 0.Кроме того, если z G 5Q — точка Лебега функции f, то lim {dnF{z+) - d^F[z-)) = 0.Теорема обобщает на случай интегрируемых функций теорему Айзенберга-Кытманова о скачке ^-нормальной производной для непрерывных функций.Как следствие дается условие голоморфного продолжения / с границы области в область.Следствие 2.4 Пусть f G £^(5Г2) и F{z) = О для точек z ^ Q, тогда интеграл F{z) для точек z Е Q дает голоморфное продолснсение f с границы области в саму область.В третьей главе рассматриваются условия плюригармонического продолжения функций с границы области.Вначале решается задача Дирихле для плюригармонических функций. Обобщаются результаты Перотти и Фикеры. Решение этой задачи дают следующие две теоремы.Теорема 3.1 Пусть область D — односвязна (т.е. первая группа гомологии области D тривиальна). Предположим, что U вещественная плюригармоническая функция конечного порядка роста в D, [С/^ ]о ее граничное значение. Тогда ([[/]о,5„Я) = О, где И = A-j-iB, А, В вещественные гармонические функции на замыкании D такие, что ImdnH = О наТ. Теорема 3.1 в случае плюригармонических функций С/, гладких вплоть до Г, была доказана в Перотти.Далее решается задача Дирихле для Соболевских пространств.Теорема 3.3 Пусть D — строго псевдовыпуклая область, если {и,дпН) — О, где и G Р'(Г) и вещественное, а Н любая функция, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1, то существует плюригармоническая функция U конечного порядка роста вблизи Г такая, что [Що = и.Введем подпространство Harmi{D) = {Н е Harm^[D) : [д^Щ^ действительно на 5-D}, здесь [дпЩй означает следующее распределение: [4^0=Eg; Следующий рассматриваемый вопрос это задача Неймана для плюригармонических функций. Ответ дают следующие теоремы.Теорема 3.4 Пусть H^(D,R) = О и dD е С^, (^ е £'{dD) — действительное. Тогда существует U G Harm^{D) такая, что = (р на dD тогда и только тогда, когда о {LP, Hi + гЩ) = О, Рко dv где Hi, Н2 любые такие, что Hi, Я2 6 HarrriQ^ и Hi + гН2 — действительная.Далее мы рассмотрим 5-задачу для форм типа (0,1) на D с граничными условиями. Пусть / это ^-замкнутая форма типа (0,1) с коэффициентами конечного порядка роста в D и пусть д это действительное распределение на dD. Мы ищем функцию и непрерывную и конечного порядка роста такую, что ди f ъ D m^Qu = д пд. dD.Предлож:ение 3.1 Пусть F G Harm^{D), [F]o — граничное значение F. Тогда [dnF]o — действительное тогда и только тогда, когда lmMF = lmF в D.Пусть N это действительный линейный оператор определенный для F £ Harm^{D) таким соотношением N(F) = Re(F) + iIm(MF).Следствие 3.1 Нагт^{В) это есть мноэюество Fix(iV) = {F ^ Harm^ : N{F) = F} Далее как частный случай рассматривается случай шара. Пусть В = В{0,1) — единичный шар в С" с центром в О, радиуса 1. Сфера S — 5(0,1) — его граница.Рассмотрим оператор NQ : Ps,t-^——Ps,t ^ > 0 , Ps,ut = 0 nycTbFixNo = {f:Nof = f}.Теорема 3.6 Вещественное распределение [U\Q G Harm^{S) имеет плюригармоническое продолж.ение в В тогда и только тогда, если оно ортогонально пространствам Vs,t в Нагт^ для любых s > О, t > 0.Дадим описание Nof в шаре.Теорема 3.7 Пусть п > 1, / — гармоническая конечного порядка роста в В, тогда . = 1 ' ^ ^ ^ где \z\ Перейдем от интегро-дифференциальных условий описания NQ К дифференциальным.Теорема 3.8 Пусть F разлагается по гармоническим многочленам F = Y^ Pg^f F G Fix(iVo) тогда и только тогда, когда s,t s,t>0 s,t>0 Как следствие дадим условие плюригармонического продолжения распределений.Следствие 3.2 Пусть и G S'{S) вещественнозначное, U — гармоническое продолоюение в В. U — плюригармоническая функция тогда и только тогда, если [дпдпЩо = 0 на S.Приведем, также, следствие теоремы 3.5 в шаре.Теорема 3.9 Пусть F G Harm?(О,) и вещественное. F — плюригармонична в Г2 тогда и только тогда, если {pF Л ^ddF)\^ = 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мысливец, Максим Сергеевич, 2004 год

1. Айзенберг A.M., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1975. - 114 с.

2. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функции, определенной на связном куске ее границы// Матем. сб. 1991. - Т. 182. - №4. - С. 467-483.

3. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функции, определенной на связном куске ее границы, II// Матем. сб. 1993. - Т. 184. - Ж. - С. 3-14.

4. Велошапка В.К. Функции, плюригармонические на многообразии // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. - Т. 42, № 3. - С. 475-483.

5. Волков Е.А. О границах подобластей, весовых классах Гельдера и решений в этих классах уравнений Пуассона // Тр. МИАН. М.: Наука, 1972. - Т. 117. - С. 75-99.

6. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления). М.: ВИНИТИ. - 1988. - Т. 30. - 264с.

7. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992. - 240 с.

8. Шабат В.В. Введение в комплексный анализ. Т.2. М.: Наука, 1977.

9. Кытманов А.М., Ходос О.В. Об условиях голоморфного продолжения гладких C-R-функций в фиксированную область // Известия вузов. Математика.- 1999. № 6. - С. 37-40.

10. Кытманов А.М., Цих И. А. О голоморфном продолжении СЛ-гиперфункций в фиксированную область // Сиб. матем. журн. 1997. - Т. 38, №6. - С. 13191334.

11. Кытманов А.М., Цих И.А. Об устранении особенностей СД-гиперфункций, заданных на гиперповерхности // Фундамент, прикладн. мат. 2000. - Т. 6, N 2. - С. 441-454.

12. Ландкоф И.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. -516 с.

13. Романов А.В Спектральный анализ оператора Бохнера-Мартинелли в шаре Сп и его применения// Функц. анал. и прил. 1978. Т. 12, №4. - С. 86-87.

14. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп. М.: Мир, 1984. - 455 с.

15. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. -М.: Мир, 1976.

16. Хейнман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

17. Хенкин Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. - 1985. - Т. 7. - С. 23-124.

18. Чирка Е.М. Аналитическое представление CR-функций// Матем. сб. 1975.- Т. 98. №4. - С. 591-623.

19. Чирка Е.М. Потоки и некоторые их применения // Харви Р. Голоморфные цепи и их границы. М.: Мир, 1979. - С.122-158.

20. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.

21. Audibert T. Opérateurs différentielles sur de С" caracterizant les restrictions des fonctions pluriharmoniques // Thesis. Univ. de Provence. 1977.

22. Audibert T. Caracterization locale par des opérateurs différentielles des restrictions a la sphere de Cn des fonctions pluriharmoniques // C.R. Acad. Sci. Paris. 1977. - T. 284. - S. 1029-1031.

23. Bedford E. The Dirichlet problem for some overdetermined systems on the unit baH in Cn // Pacific J. Math. 1974. - V. 51. - P. 19-25.

24. Bedford E., Federbush P. Pluriharmonic boundary values // Tohoku Math. J. -1974. V. 26. - P. 505-511.

25. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula // Ann. Math. 1943. - V.44. - P. 652-673.

26. Fichera G. Boundary values of analytic functions of several complex variables. Complex Analysis and Aplications (Varna, 1981), Bulgar. Acad. Sci., Sofia. -1984. P. 167-177.

27. Fichera G. Boundary problems for pluriharmonic functions. Proceedings of the Conference held in Honor of the 80th Anniversary of the Birth of Renato Calapso (Messina-Taormina, 1981), Veschi, Rome. 1981. - P. 127-152.

28. Fichera G. Boundary value problem for pluriharmonic functions. Mathematics today (Luxembourg, 1981), Gauthier-Villars, Paris. 1982. - P. 139-151.

29. Levi H. On the local character of the solution of an atypical liner differential equation in three variables and a related theorem for regular functions of two complex variables // Ann. Math. 1956. - V. 64. - P. 514-522.

30. Nag el A. and Rudin W. Moebius-invariant function spaces on balls and spheres// Duke Math. J. 1976. - V. 43. - P. 841-865.

31. Perotti A. Dirichlet problem for pluriharmonic function of several complex variables // Commun. Part. Diff. Equat. 1999. - V. 24, №3&4. - P. 707-717.

32. Perotti A. Some application of the trace condition for pluriharmonic functions in Cn // Publications Matematiques. 2000. - V. 44. - P. 449-456.

33. Straube E.J. Harmonic and analitic functions admitting a distribution boundary value // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa CL Sci. 1984,- V. 11. №4. - P. 559-591.

34. Мысливец М. С. Производные преобразования Бохнсра-Мархчшсллн. //' Тезисы международной конференции "Математические модели и методы их исследования." -Красноярск: КрасГУ, 1999. С. 155-156.

35. Мысливец М.С. О голоморфном продолжении распределений в фиксированную область // Тезисы V международного семинара-совещания "Кубатурные формулы и го: приложения". Красноярск: КрасГТУ, 1999. С. 37-38.

36. Мысливец М.С. О голоморфном продолжении гладких функций с гиперповерхности // Сборник "Комплексный алализ и дифференциальные операторы". Красноярск: КрасГУ, 2000. С. 93-96.

37. Мысливец М. С. Граничные значения шпоригармонических функций конечного порядка роста. // Тезисы IV сибирского конгресса ИНПРИМ-2000. Новосибирск: Институт математики тт. С.Л.Соболева СО РАН, 2000. С. 155-156.

38. Мысливец М. С. О плюригармоническом продолжении функций с границы области // Сборник "Вопросы математического анализа". Выпуск 4. - Красноярск: КрасГТУ, 2001. С. 85-90.

39. Кытманов A.M., Мысливец М.С. О CR—распределениях, заданных на гиперповерхности /./' Известия вузов. Математика. 2001. - № 10. - С. 47-52.

40. Мыслгюец М.С. О плюригармоническом продолжении функций с границы области // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. - С. 110-113.

41. Мысливец М.С. Об условиях плюригармонического цродолжения распределений с границы области // Сборник "Многомерный комплексный анализ". Красноярск: КрасГУ, 2002. - С. 139-149.

42. Мысливец М. С. Условия плюригармонического продолжения гладких функций с границы области// Материалы Межд. студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. - Новосибирск: НГУ, 2003. - С. 44.

43. Мысливец М. С. О разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций // Тезисы межд. конференции "Многомерный комплексный анализ". Красноярск: КрасГУ, 2002. - С. 33-34.

44. Мысливец М.С. Об условиях разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. наук. 2003. - Вып. 1. - С. 32-34.

45. Мысливец М.С. О скачке ¿^-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли // Тезисы межд. школы-конференции "Геометрический анализ и его приложения". Волгоград, 2004. - С. 135-136.

46. Мысливец М.С. О скачке д-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. наук. 2004. - Вып. 1. -С. 129-132.