О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Томашевская, Елена Брониславовна

• Томашевская, Елена Брониславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Томашевская, Елена Брониславовна

1 Введение

1.1 Современное состояние проблемы диофантовых приближений значений логарифмической функции.

1.2 Результаты диссертации.

1.3 Используемые результаты.

2 Диофантовы приближения числа 7г числами из поля Q(\/3)

2.1 Арифметические свойства коэффициентов линейной формы.

2.2 Уточнение знаменателей коэффициентов линейной формы.

2.3 Асимптотические оценки линейной формы и знаменателей.

3 Оценка меры иррациональности числа log 5 + —

4 Диофантовы приближения значений логарифмической функции

4.1 Оценка меры иррациональности значений функции log ж

4.2 Оценка меры иррациональности линейной комбинации чисел log 2 и arctan \.

4.3 Оценка меры иррациональности значений функции arctan х

4.4 Оценка меры иррациональности числа arctan i.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций»

1.1 Современное состояние проблемы диофантовых приближений значений логарифмической функции

Одним из направлений теории диофантовых приближений является получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций.

Мерой иррациональности /¿(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань чисел /л таких, что для любого е > 0 существует положительное число которое удовлетворяет следующему условию: неравенство V

7 - -Ч выполняется для всех целых чисел р, д, где д >

Известно, что мера иррациональности любого иррационального числа ^ > 2. К настоящему времени установлено достаточно много оценок мер иррациональности значений аналитических функций.

Остановимся подробнее на приближении рациональными числами

7г классических констант тт и —!=■. 3

В 1953 г. К. Малер [36] показал, что справедлива оценка

-42 г Р 7г-Я я для любых целых чисел р, д, где д > 2. К. Малер также указал, что показатель 42 заменяется на 30 при д > до- Позже данная оценка была улучшена до 20 М. Миньотом [37]. Эти результаты основаны на использовании интеграла Эрмита для показательной и логарифмической функции.

М. Хата [28], используя асимптотические оценки Г.В. Чудновского [25] для комплексного интеграла

I \к г). 1 \

1 П п\ 4 *

2т 7 — 1)-.- (г — п) в где п оо, улучшает оценку меры иррациональности числа тт до 13, 394 .

До недавнего времени наилучшей оценкой снизу для приближения константы 7г рациональными числами считался результат М. Хата [31]: тг) < 8,0161.

Для получения этой оценки М. Хата рассматривает комплексный интеграл

I (1а2, а3; (1.1) г х - аО2 (г - а2)2 (г - а3)2 где а2, сьз] г) = -§- с различными, не рав

З' ными нулю, комплексными параметрами аа, а2, ^з- В частности, выбирая значения параметров интеграла (1.1) равными соответственно а 1 = 1, а2 — 2, аз = 1 + г, можно получить оценки Р тт-5 7

-8,0161.

1.2)

7Г р к^2 д -8,0161. У ) где р, qeN, д> д0.

Для нахождения асимптотики интеграла М. Хата использует метод седловых точек (метод перевала), описанный еще в работах Римана. Согласно метода перевала, выбирая специальным образом контур интегрирования Г, асимптотику интеграла (1.1) можно вычислить через максимальное значение модуля подынтегральной функции.

В 2008 г. В.Х. Салихов [12] получил новую оценку меры иррациональности числа 7г: Р

ТТ-Я д~7М-.

Этот результат на данный момент является лучшим для константы тт.

Отметим, что в цитированной выше работе [31] М. Хата получил луч

7Г шую на сегодняшний день оценку для меры иррациональности числа п Р > -4,6015.

VI я -ч

1.3)

Эта оцрнка получается на следующем наборе параметров интеграла (1.1):

1 + л/Зг 3 + >/Зг

21 = 1, а2 =---, а3 =---. тт ^

Другой подход в получении оценок для числа —р= заключается в приуЗ менении полиномов Лежандра ([4], [21], [26], [30], [38]). Так, используя полиномы Лежандра, К. Аллади и М. Л. Робинсон [21] получили оценку 8,3099.

Позже этим методом результат был улучшен до 5, 516. в работе [4] А.К. Дубицкаса.

М. Хата [29], применяя полиномы Лежандра вида

5 п+тп , \ / | ■ г^ n-srm\(nJrJ — Ь ll-rilL , iww = х-у - *rm)(n) =

71 ■ О-П V

X3. 7 / V п J=0 к J / \ где S — ^ е (0,1), а, Ъ G N, получил оценки мер иррациональности некоторых чисел, содержащих константу 7г. Так, были получены результаты: fj, ^ ± \/S log (2 + < 6,1382 ., (1.4)

1 ± log 3^ < 4, 5586 . (1.5)

Для получения оценок мер иррациональности значений функций arctanz и log а; многими авторами ([2], [11], [21], [24], [29], [30], [32], [33], [35], [38]) эти функции рассматривались как частные случаи гипергеометрической функции Гаусса. Отметим также, что получению оценок снизу абсолютных величин лииейных форм от обобщенных гипергеометрических функций Гаусса уделено большое внимание в работах П.Л. Иванкова ([6],

И)

Пусть

Г(а + п) [а)п Г(а) ' где Г(г) — гамма-функция Эйлера. То есть, а)о = 1, (а)„ = а(а + 1). (а + п - l),n = 1, 2, 3, ---

Если с ф О, —1, —2, .то функция

F (а, Ь; с; г) ее2 Я (а, Ь; с; г) = £ (1.6) п=0 \с)пП. называется гипергеометрическим рядом от переменной z с параметрами а, 6, с (гипергеометрической функцией Гаусса) [1, с.69].

Если Re{c) > Re(b) > 0, то для функции (1.6) имеет место формула Эйлера rv , \ Г (с) }tb-\l~tY-b-1 1

6; С; = ВДГМ) У (l-te)a ^ о где 2GC, И < 1 .

Элементарные функции arctana; и logo;, для которых получены оценки мер иррациональности, выражаются следующим образом через функцию Гаусса [1, с. 110]: arctanz = zF(^, 1; -z2), log(z + 1) = zF(l, 1; 2; -г),

В 1987 г. М. Хуттнер в работе [34] доказал общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса вида г. /1.1/*

Л и +1 /к хк где £ = ±1, к > 2, 0 < а; < 1, Хуттнером получены оценки снизу мер иррациональности различных значений функций arctan а; и log х. В частности, получена оценка arctan < 7,70. о

Но условие теоремы М. Хуттнера не позволяет получить соответствующие оценки значений функции arctan -j- для четных к, например, оценку гС 1 для числа arctan

В 1993 г. А. Хеймонен, Т. Матала-Ахо, К. Ваананен [33] используя, как и М. Хуттнер в работах 1986-1987 гг. [34], [35], аппроксимации Па-де для гипсргеометрической функции Гаусса, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел. В этой же работе приведен достаточно большой список конкретных результатов, улучшающих более ранние оценки М. Хуттнера. В частности, представлены оценки ц < 9,7551., /i ^ 3,3317. Позже этими авторами были получены новые оценки [32]: ц (^/7 arctan — 4,0298.,

1 ^log 2 + arctan ^ < 3, 6073. и другие. Улучшение результатов происходит, в основном, за счет применения методики сокращения простых чисел в знаменателях коэффициентов линейных форм. Отметим также, что в 1987 г. Е.А. Рухадзе [11] была получена оценка показателя иррациональности числа log 2, являющаяся наилучшей на данный момент: /i (log 2) < 3,891.

Интерес в данной области исследований представляют работы Е.М. Матвеева ([8], [9], [10]), в которых получена явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел с рациональными коэффициентами.

Рассмотрим теперь совместные приближения значений некоторых элементарных функций. Так, известны оценки nlog2 + r27r) < 8,0161. и (n log 2 + r2 log 3) < 5,125., (1.7) где ri, Г2 € Q, (п, 7*2) ф (0,0), полученные соответственно М. Хата [31] и В.Х. Салиховым [13].

В.Х. Салихов использовал для доказательства оценки (1.7) симмет-ризованный вещественный интеграл, что позволило ему улучшить результаты Дж. Рина [38]. Отметим, что Дж. Рин [38] при получении оценки меры иррациональности ¿¿(log3) < 8,616. применял не гипергеометрический интеграл, а специальным образом подбирал подынтегральные функции, чтобы получаемые линейные формы обладали "хорошими" арифметическими свойствами. Идея Дж. Рина получить оценку линейной комбинации соответствующих чисел состояла в выборе различных путей интегрирования от одной и той же подынтегральной функции.

В данной диссертации ряд существующих результатов удалось улучшить, используя различные модификации симметризованного интеграла, введенного в 2007-2008 гг. В.Х. Салиховым [12], [13].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Томашевская, Елена Брониславовна, 2009 год

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973. —296 с.

2. Василенко О. Н. Об иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса // Вестник МГУ. Серия1. Математика, механика, 1985.-^3.-0. 15-18.

3. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. —152 с.7г

4. Дубицкас А.К. Приближение —рациональными дробями // Вестникл/3МГУ. Серия 1. Математика, механика, 1987. — №6.— С. 73-76.

5. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Физ-матгиз, 1962.-С. 62-68.

6. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами // Математические заметки, 1992.-Т. 52, Вып. 6.-С. 25-31.

7. Иванков П.Л. Уточнение оценок некоторых неоднородных линейных форм // Математические заметки, 2005. —Т. 77, Вып. 4.—С. 515-521.

8. Матвеев Е.М. Диофантовы приближения в логарифмических пространствах // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — М.: Московский государственный текстильный университет им. А.Н. Косыгина, 2003.

9. Матвеев Е.М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел // Известия РАН. Сер. матем., 1998.-Т. 62, №4.-С. 81-136.

10. Матвеев Е.М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. II // Известия РАН. Сер. матем., 2000.-Т. 64, №6 — С. 125-180.

11. Рухадзе Е. А. Оценка снизу приближения In 2 рациональными числами // Вестник МГУ, 1987. — Серия1. Математика, механика, №6.— С. 25-29.

12. Салихов В. X. О мере иррациональности числа п // Успехи математических наук, 2008. Т. 63, №3. - С. 163-164.

13. Салихов В. X. О мере иррациональности log3 // Доклады РАН, 2007. — Т. 417, №6.-С. 753-755.

14. Салихов В.Х., Сальникова Е.С. Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения" // Вестник Брянского государственного технического университета, 2007.—№1, —С. 111-119.

15. Сальникова Е.С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки, 2008. —Т. 83, Вып. 3—С. 426-436.

16. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.—М.: Физматлит, 2004 — 336 с.

17. Томашевская Е.Б. О диофантовых приближениях числа 7Г числами из поля Q(a/3) // Математические заметки, 2008.— Т. 83, Вып. 6.— С. 912-922.7г

18. Томашевская Е.Б. О мере иррациональности числа log 5 4- — и некотоЛрых других чисел // Чебышевский сборник, 2007.— Том 8, Вып. 2.— С. 97-108.1

19. Томашевская Е.Б. Совместное приближение log 2 и arctan // Вестник Брянского государственного технического университета, 2006. — №4. — С. 126-130.

20. Федорюк М.В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. —369 с.

21. Alladi К., Robinson M.L. Legendre polynomials and irrationality //J. Reine Angew. Math., 1980.-Vol. 318.-P. 137-155.

22. Amoroso F., Viola С. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scoula normale superiore. Pisa, 2001. —Serie IV, Vol. XXX.-P. 225-249.

23. Baker A. Transcendental number theory. — London: Cambridge univercity press, 1975.

24. Beukers F., Matala-Aho T., Vâànànen К. Remarks on the arithmetic properties of the values of hypergeometric functions // Acta Arith., 1983. — Vol. XLII.-P. 281-289.

25. Chudnovsky G.V. Hermite-Padé approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of 7г // Lecture Notes in Math. 925. Springer. Berlin, 1982.-P. 299-322.

26. Chudnovsky G.V. Recurrences, Padé approximations and their applications // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 92. Dekker, New York, 1984.— P. 215-238.

27. Dieudonné J. Calcul infinitésimal. — Hermann, Paris, 1968.

28. Hata M. A lower bound for rational approximations to 7Г // J. Number Theory, 1993.

29. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith., 1992.-Vol. LX.-P. 335-347.

30. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math., 1990. No. 407. - P.99-125.

31. Hata M. Rational approximations to тг and some other numbers // Acta Arith., 1993. LXIII, Vol. 4. - R 335-349.

32. Heimonen A., Matala-Aho T., Vàànànen К. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc., 1994. — Vol. 50, no. 2. — P. 225-243.

33. Heimonen A., Matala-Aho T., Vàanânen К. On irrationality measures of the values of Gauss hypergcometric function // Manuscripta Math., 1993.-Vol. 81.-P. 183-202.

34. Huttncr M. Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriques // J. Number Theory, 1987. Vol. 26. - P. 166-178.

35. Huttner M. Problème de Riemann et irrationalité d'un quotient de deux fonctions hypergéométriques de Gauss // C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I 302, 1986.-P. 603-606.

36. Mahler К. On the approximation of 7г // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 56, 1953.-P. 30-42.

37. Mignotte M. Approximations rationnelles de ir et quelques autres nombres // Bull. Soc. Math. France Mém, 1974.-Vol. 37.-P. 121-132.Литература ( 99

38. Rhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité // Progr. in Math. Birkhäuser, 1987.-Vol. 71.-P. 155-164.

39. Rhin G., Viola C. On a permutation group related to £(2) // Acta Arith., 1996.-Vol. 77. — P.23-56.Брянский государственный технический университет