О численном решении электро- и теплофизических задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Соловьев, Сергей Александрович

• Соловьев, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловьев, Сергей Александрович

Введение

Глава 1. Алгоритмы решения двух электрофизических задач

§1.1 Методы решения задачи индукционного каротажа.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Конечнообъемная аппроксимация

1.1.3 Сходимость сеточных решений.

1.1.4 Итерационные алгоритмы.

1.1.5 Численные исследования

§1.2 Численное решение трехмерной задачи магнитостатики в области с ферромагнетиками

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Конечнообъемная аппроксимация

1.2.3 Численная реализация формулы Био-Савара-Лапласа

1.2.4 Аппроксимация табличной функции магнитной индукции эрмитовым сплайном.

1.2.5 Итерационные алгоритмы решения нелинейной системы

1.2.6 Численные исследования

Глава 2. Численное решение системы трехмерных уравнений электростатических и тепловых задач

§2.1 Постановка задачи.

§2.2 Конечнообъемная аппроксимация

§2.3 Итерационные алгоритмы.

§2.4 Сходимость итерационного процесса.

§2.5 Примеры вычислительных экспериментов.

Глава 3. Комплексное моделирование электромагнитных и тепловых полрй алюминиевого электролизера

§3.1 Физическая модель электролизера

§3.2 Решение задачи о совместном распределении электрических полей в электролизере и ошиновке.

§3.3 Вычислительная схема комплексного моделирования.

§3.4 Результаты численных расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О численном решении электро- и теплофизических задач»

В последние 5-10 лет резко возросла производительность ЭВМ. Известно, что при необходимости рядовой пользователь может обзавестись компьютером с частотой до 3400Мгц, а оперативной памятью до 3Гб, размеры жестких дисков для хранения данных и результатов расчета достигают порядка 200Гб. Благодаря этому стало возможным проводить более серьезные численные расчеты на персональных компьютерах: не ограничиваясь памятью и временными рамками, подтверждать теоретические предпосылки и теоремы о сходимости численного решения при сгущении расчетной сетки, при наличии аналитического решения проверять сходимость к таковому, а при отсутствии аналитики говорить о гарантированной точности численных экспериментов. Появились широкие возможности по подтверждению и (или) опровержению теоретических результатов о сходимости итерационных методов, сравнению этих методов между собой. Наконец, повышение производительности ЭВМ играет большую роль в уходе от многих одномерных и двумерных задач математической физики, переходе на качественно новый уровень решения трехмерных задач, в комплексном моделировании взаимосвязанных физических полей.

Несмотря на большой прогресс в развитии вычислительной техники, остается открытым вопрос о создании комплексов программ, позволяющих эффективно моделировать различные физические процессы, возникают все новые и новые требования к таким программам.

Цель диссертации: используя эффективные методы решения краевой задачи Пуассона создать и программно реализовать алгоритмы, структуры данных для решения задачи индукционного каротажа, комплексного решения нелинейных трехмерных задач магнитостатики, электростатики и теплопроводности; применить разработанные методы и программы для комплексных расчетов физических полей в алюминиевом электролизере.

В процессе работы над диссертацией создан также алгоритм совместного решения дифференциальной задачи электропроводности в трехмерной расчетной области и уравнений Кирхгофа для электрических цепей, соединенных непосредственно с этой областью и влияющих на общее распределение электрического тока. Разработаны алгоритмы обработки численных результатов с их представлением в виде изолиний, силовых линий, векторных полей и т.д.

Индукционный каротаж (ИК) является одним из способов исследования верхнего слоя земной коры, толщиной до нескольких километров, основанный на использовании переменного тока. Существует множество геофизических методов изучения свойств земной коры [3],[20],[64],[65],[66],[70]. Часть из них основана на электрометрии скважин, другие являются ядерными, акустическими, сейсмическими методами исследования.

Сущность индукционного каротажа состоит в измерении и анализе вторичного индукционного магнитного поля, созданного в горной породе под действием первичного переменного тока, а также в решении обратной задачи ИК. Обратная задача заключается в идентификации геометрических и материальных параметров модели по измеренным магнитным полям. Задача ИК широко используется в нефтеразведке [22]. Для решения обратной задачи [25] требуются многочисленные расчеты прямых задач ИК, т.е. моделирование электромагнитного поля по заданным свойствам среды. Впервые приближенная теория индукционного каротажа была предложена Г.Г.Доллем [74]. Теория ИК, методы решения прямой задачи, задачи ИК с различным числом зондов подробно описаны в работах А.А.Кауфмана [33],[34], М.И.Эпова, Л.А.Табаровского [3],[37],[58],[69] и других зарубежных авторов [92], [93].

Если в горизонтальном и вертикальном зондировании можно ограничиться одномерным [36] и двумерным математическим моделированием [37], то в наклонном зондировании перспективным является трехмерное моделирование [72],[75],[88]. Предложено множество различных методов для решения задач электромагнитной индукции, например [58],[92],[93]. Одним из методов для решения трехмерных задач геоэлектрики является метод вторичных источников, предложенным О.В.Тозони [60],[61],[62]. Этот метод сводится к методу интегральных уравнений [4],[16],[71], который в свою очередь основывается на понижении размерности задачи. Однако, матрица, полученная в результате аппроксимации этим методом, является плотной, тем самым необходимо больше места для хранения ее элементов. К примеру, в трехмерном случае, при использования методов конечных элементов или конечных объемов, число неизвестных 0(h~3), число ненулевых элементов матрицы О (/г-3). При использовании интегральных методов число неизвестных сокращается до 0(h~2), однако число ненулевых элементов в матрице возрастает до 0(h~l). В результате, из-за большой ресурсоем-кости (по памяти, скорости расчетов) этот метод редко используется. В последнее время для решения трехмерных задач ИК широко используются методы конечных элементов (МКЭ), а также векторные МКЭ, предложенные в работах Э.П.Шуриной [68|,[89] и Ю.Г.Соловейчика [49],[50|,[51|,[52].

Большое внимание при моделировании магнитных полей уделяется двумерным задачам [83]. Эти задачи возникают в области с осесимметричными свойствами среды, а также кольцеобразными токами (например, катушки), возбуждающими магнитное поле. Методы расчета магнитного ноля в ускорителях заряженных частиц с использованием треугольных сеток описаны в работах С.Б.Ворожцова [15],[13],[12],[14].

В осесимметричных моделях задача о нахождении напряженности ноля сводится к поиску скалярного потенциала <р [21]. В общем случае необходимо рассматривать трехмерную математическую модель. В трехмерном случае, помимо постановки задач со скалярным потенциалом, широко применяется смешанный метод, в котором искомыми функциями являются потенциал <р и поток j [86] ,[85], [84]. При невозможности использования скалярного потенциала, для вектора магнитной индукции В задают векторный потенциал А,~Й = rot А [91].

В однородной среде, в которой всюду магнитная проницаемость ц = const, распределение магнитного ноля описывается законом Био-Савара-Лапласа. Области, в которых распространяются магнитные поля, по типу (1 разделяются на парамагнетики ц < 1, диамагнетики ji > 1 и ферромагнетики с нелинейной зависимостью функции магнитной проницаемости /1 = ц{Н). Функция //(//) может задаваться как аналитически, так и как сплайн табличной функции, построенной на основании опытных данных [28].

Двумерные и трехмерные постановки нелинейных задач магнитостатики широко используются при электролизе алюминия [1],[2]. Вопрос постановок таких задач и моделирование магнитных полей исследуются в работах Н.И.Дойникова [23],[24]. Сложность нелинейных задач заключается в том, что их нельзя свести к линейной алгебраической системе. Одним из наиболее эффективных методов решения этих задач является метод, основанный на использовании двух потенциалов [1],[67]. При этом в области с ферромагнитными свойствами материалов напряженность магнитного по—* —+ —» —* ля имеет вид Н = —Vip, а в остальной области Н — —V<£> + Щ. Вектор Щ является напряженностью магнитного поля в однородной среде, вычисленного по формуле Био-Савара-Лапласа. Другой подход для решения таких задач основывается на использовании векторной постановки [91]. Если ввести векторный потенциал А, то напряженность магнитного поля выражается через него следующим образом: Н ~ hrotA. В области с постоянными магнитами, обладающими ферромагнитными и анизотропными свойствами, необходима более сложная постановка задачи магнитостатики [48].

Помимо учета различных свойств среды, в задачах математической физики одной из проблем является задание краевых условий для ограниченных областей, а также для областей с бесконечноудаленной границей. Граничными условиями для магнитной задачи в основном является условие тт — симметрии поля = 0, а также условие Зомерфельда lira \Н\ =0, озна чающее убывание на бесконечности поля Н до нуля. Учет последнего условия является отдельным вопросом [27],[26].

Среди численных методов для решения электромагнитных задач со сложной геометрией, граничными условиями, трехмерной расчетной областью, в последнее время широко используют метод конечных элементов [35],[57], векторный МКЭ, а также метод конечных объемов [29]. Различные аспекты моделирования электромагнитных полей подробно описаны в книге Bossavit А.[73].

Зачастую различные физические поля взаимосвязаны между собой. Например, задача расчета электротеплового баланса возникает во многих приложениях, в которых процесс теплообмена тесно связан с протекающим током посредством джоулевого нагрева (компьютерные микропроцессоры, алюминиевые электролизеры). Взаимосвязанные поля являются основой комплексного моделирования и, как следствие, систем дифференциальных уравнений в частных производных. Комплексные модели находят свое применение в таких энергоемких производствах, как получение черных и цветных металлов. Одним из перспективных направлений по использованию таких моделей является алюминиевая промышленность.

Производство алюминия осуществляется в электролизерах различного типа иод действием электрического тока, протекающего через расплав в электролизной ванне, и сопровождается разнообразными физико-химическими процессами [11]. Значительную часть всех электролизеров в нашей стране составляют электролизеры с самообжигающимся анодом серии С-8БМ. Основные составные части электролизера этой серии — ванна, рабочее пространство, анодное устройство. Все электролизеры в электролизном корпусе соединены последовательно в электрическую цепь с помощью стояков, анодной и катодной ошиновок. Значение тока, протекающего по этой цепи, достигает нескольких сотен килоампер, и его распределение в электролизере значительно влияет на экономические показатели. Особое внимание изучению токораспределения в электролизере уделяется в работах Мин-циса М.Я. [39],[40]. На протекающие токи влияют множество факторов. В аноде сильное влияние оказывает схема расстановки по уровням анодных штырей, по которым втекает электрический ток. Анодные штыри — это стальные стержни, закрепленные сверху на ошиновке и входящие в анод на разную глубину. По мере сгорания анода расстояние между подошвой анода и штырями сокращается, влияя на распределение общего тока между штырями с течением времени. При этом по достижении некоторого минимального расстояния штыри поднимают на верхний уровень. Тем самым резко изменяется токораспределение не только в рассматриваемом электролизере, но и в соседних с ним по цени.

В рабочем пространстве, состоящем из алюминия, сверху которого расположен слой электролита (криолито-глиноземный состав), влияние на токи оказывает их толщина, химический состав и форма рабочего пространства (ФРП). Другими свойствами, существенно влияющими на процесс электролиза, являются вязкость и поверхностное натяжение расплавленного алюминия и электролита. От вязкости зависят скорость диффузии компонентов электролита, полнота отделения от него металла, удаление анодных газов и другие процессы. От поверхностного натяжения зависит смачиваемость, качество контакта различных сред на границах. Большой интерес представляет поверхностное натяжение на границах: расплав - газ, металл - газ, расплав - металл, а также смачиваемость твердых углеродистых материалов криолито-глиноземным расплавом и металлом.

Следует также отметить миогофазность процесса электролиза. К примеру, анодная масса, находящаяся сверху анода, практически не проводит электрический ток, однако по мере сгорания анода она спекается и становится твердым токопроводящим материалом. Криолитово-глиноземный состав, при температуре ~ 938° переходит из твердого в жидкое состояние, меняя тем самым свои электропроводящие и теплопроводящие свойства. Охлаждаясь и затвердевая на графитовой подине, этот состав образует настыль, изменяя при этом ФРП. Также форма настыля значительно влияет на распределение теплового поля в электролизере и ее моделирование является одним из основных вопросов (задача Стефана).

Под влиянием мощных магнитных полей, возбуждаемых протекаемыми токами, на токи в жидком алюминии и электролите, возникает трехмерное силовое поле. Его следствием являются перекос ФРП и-стоячие волны, влияющие на качество контакта электролита с подошвой анода. Возникает циркуляция расплавленного алюминия, электролита. Для моделирования процессов циркуляции магнито-гидродинамические модели (МГД) [19],[9},[45]. Моделированию магнитных полей также уделяется особое внимание. Магнитное поле возбуждается токами, протекающими в электроли зере, ошиновках, стояках, а также токами соседних электролизеров. При этом большое влияние на магнитное поле оказывает множество ферромагнитных конструкций — металлический корпус, блюмсы, анодные штыри [1],[2],[59]. Большое внимание моделированию электромагнитных процессов в электролизерах уделяется в работах Альчикова В.В. и Быкова В.Р1.[1],[2]. Кроме геометрических параметров конструкции, воздействия магнитных полей и движения алюминия с электролитом, большое влияние на токо-распределение оказывает тепловое поле [43],[44]. Значение удельного электросопротивления р у большинства используемых материалов зависит от температуры. У некоторых материалов, таких как алюминий, сталь, оно увеличивается при увеличении температуры. В графите, используемого в подовых блоках, аноде, электросопротивление уменьшается. Моделирование и оптимизация процесса нагрева подовых блоков исследуются в работах Б.М.Багаева и В.С.Злобина [5],[6),[7],[8].

Тепловой баланс электролизера тесно связан с электрическим полем не только зависимостью р и теплопроводности А от температуры, но также посредством джоулевого нагрева [44] ,[54]. Тепловое поле оказывает значительное влияние на прочностные характеристики конструкции электролизера [46]. Подовые блоки, находящиеся в ванне, и металлические блюмсы, расположенные в них, внутри имеют разные тепловые коэффициенты расширения. Наряду с неравномерностью распределения теплового поля это является одной из причин разрушения подины со временем. Аналогичные термоупругие разрушения возникают в аноде, бортах ванны.

В заключении обзора задач математического моделирования в алюминиевом электролизере отметим, что недостаточно рассмотрения электролизера как конструкции, замкнутой относительно взаимосвязанных физических полей. Это физико-химический "организм", в котором при получении алюминия происходит множество необходимых и побочных химических реакций [76].

Большую роль в математическом моделировании играют вычислительно-информационные технологии, включающие в себя вопросы геометрического моделирования, вопросы автоматизации вычислительного процесса, создание проблемно-ориентированного интерфейса.

Поскольку любые предметы описываются в первую очередь геометрическими параметрами, геометрическому моделированию уделяется немало внимания. С развитием в последнее время компьютерной техники стал возможным переход от двумерного (плоского) к трехмерному (объемному) моделированию. Объемное моделирование развивается в двух направлениях [10]. Первое — поверхностное моделирование, второе — твердотельное. В поверхностном моделировании, например в программных продуктах Cimatron,Mastercam, основными инструментами являются поверхности, а базовыми операциями моделирования на их основе — продление, обрезка и соединение. Таким образом, конструктору предлагается описать изделие семейством поверхностей. При твердотельном способе, используемом в программах CATIA,Solid\Vorks,Unigraphics, основными инструментами являются тела, ограниченные поверхностями, а главными операциями — булевы объединение, дополнение, пересечение. В этом случае конструктор должен представить изделие семейством простых (шар, тор, цилиндр, пирамида и т.п.) и более сложных тел. Каждый их этих методов имеет свои достоинства и недостатки. Поверхностное моделирование популярно в первую очередь в инструментальном производстве, а твердотельное — в машиностроении.

С вопросами геометрического моделирования тесно связанны задачи автоматизации обработки входных данных (препроцессинг) и вычислительного процесса, визуализация промежуточных результатов и полученных решений (постпроцессинг), создание проблемно-ориентированного интерфейса.

При создании проблемно-ориентированного интерфейса необходимо основываться как на общих принципах (дружелюбность, простота), так и учитывать индивидульные особенности пользователя (терминология, взятая из предметной области). Также немаловажным аспектом является много-платформенность интерфейса, предназначенного для работы на различных операционных системах (к примеру Windows, Unix и т.д.).

Предлагаемая работа построена следующим образом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловьев, Сергей Александрович, 2004 год

1. Альчиков В.В., Быков В.И. Численное моделирование стационарных электрических и магнитных полей в алюминиевых электролизерах. // Математическое моделирование физических полей в алюминиевых электролизерах.— Красноярск:ИПЦ КГТУ, 2002, с.6-75.

2. Альчиков В.В., Бикмурзин Р.В., Быков В.И. Численное моделирование магнитного поля алюминиевого электролизера. // Сиб.ЖИМ. — 2002.- т. V, N 2, с. 7-22.

3. Антонов Ю.Н., Соколов В.П., Табаровский JI.A. Электромагнитные методы исследования скважин // Электромагнитные методы исследования скважин. Тр. ИГиГ СО АН СССР, Вып. 442, Новосибирск, Наука, 1979, с. 34-51.

4. Барашков И.С., Дмитриев В.И. Обратная задача глубинного зондирования квазислоистых сред // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. — М.,1990.— с. 142-153.

5. Багаев Б.М., Злобин B.C. Моделирование обжига подины алюминиевого электролизера. // Ж.Цветные металлы. 1990. - №11. - с. 60-63.

6. Багаев Б.М., Злобин B.C. Оптимизация нагрева подины алюминиевого электролизера топочными газами. // Ж.Цветные металлы. 1997. №9.- с. 27-30.

7. Багаев Б.М., Злобин B.C. Моделирование углеграфитового блока алюминиевого электролизера // Ж.Цветные металлы. 1998. - JVH. - с. 41-46.

8. Багаев Б.М., Пушкин С.В. Моделирование горения факела при обжиге электролизера // Труды Международной конференции RDAMM-2001: Спец. выпуск. 2001. - Т.6. - 4.2. - с. 87-89.

9. Бояревич В.В., Калис Х.Э., Миллере Р.П., Погодкина Н.Э. Математическая модель МГД-процессов в алюминиевом электролизере. // Магнитная гидродинамика. 1987. - №1. - с. 107-115.

10. Быков А. Желаемое и действительное в геометрическом моделировании «САПР и графика». 2002. - №1.

11. Ветюков М.М., Цыплаков A.M., Школьников С.Н. Электрометаллургия алюминия и хмагния. // Учебник для вузов. М.: Металлургия, 1987. 320 с.

12. Ворожцов С.Б. Методы расчета магнитостатических полей. // Труды Международной школы молодых ученых по проблемам ускорителей заряженных частиц (Дубна, 11-20 сентября 1984) ОИЯИ, Д9-84 817. -Дубна, 1984. с. 120-129.

13. Ворожцов С.Б., Дударева Т.Н., Заплатин H.JI. Расчет полей токовых обмоток для изохронного циклотрона. У-120М. ОИЯИ, В1-9-10998, Дубна, 1977.

14. Ворожцов С.Б., Закамская JI.T., Заплатин H.JI. Расчет двумерных магнитных полей с использованием нерегулярной треугольной сетки. ОИЯИ, Р9-5013, 1970.

15. Ворожцов С.Б. и др. POISSON — система программ по расчету, анализу и оптимизации магнитостатических и электростатических полей. ОИЯИ, В1-11-12070, Дубна, 1978.

16. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике: Справочник геофизика / Под.ред.В.И.Дмитриева — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Недра, 1990. 498с.

17. Голосов И.С., Горбенко Н.И., Гурьева Я.Л., Соловьев С.А. и др. Пакет программ БАЗИС-А для моделирования технологических процессов в алюминиевом электролизере. // Труды международной конференции "Алюминий Сибири-2002", Красноярск, 2002. с. 187-194.

18. Горбачев Е.В. Физическое моделирование МГД-процессов в алюминиевых электрорлизерах. // Цветные металлы. 1988. - jY51.

19. Горбачев Ю.И. Геофизические исследования скважин. — М., Недра, -1990.

20. Гурьева Я.Л., Ильин А.В., Ильин В.П. Моделирование осесимметрич-ных магнитных полей // Автометрия. 2000. - №2. - с.15-35.

21. Дворецкий П.И., Ярмахов И.Г. Электромагнитные и гидродинамические методы при освоении нефтегазовых месторождений. — М.: Недра, 1998. 318 с.

22. Дойников Н.И. Постановка задач численного анализа полей нелинейных магнитных систем. НИИЭФА, Обзор ОБ-8, Л., 1976.

23. Дойников Н.И. Результаты математического моделирования полей и оптимизации параметров магнитных систем. НИИЭФА, Обзор ОБ-42, Л., 1981.

24. Друскин В.Л., Щедрина С.В. Оптимизация методов типа простой итерации, используемых при решении геофизических обратных задач (на примере электрокаротажа). // Геология и геофизика. 1991. — JV2 8. — с. 115-121.

25. Егоров А.В., Жидков Е.П., Хоромский Б.Н. Альтернирующие процессы численного решения краевых задач магнитостатики в случае трех пространственных переменных. ОИЯИ, Р11-85-371. Дубна. 1985. - 16 с.

26. Жидков Е.П., Мазуркевич Г.Е., Хоромский Б.Н. Экономический численный метод учета краевого условия на бесконечности при решении пространственных задач магнитостатики на основе скалярного потенциала. ОИЯИ, Р11-86-230. Дубна, 1986. - 17 с.

27. Золотарев Н.А., Хрипков А.Н. Аппроксимация характеристик намагничивания кубическими сплайнами на ЦВМ // Электромеханика. -1982. No.l. - с. 16-19.

28. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. — Новосибирск: Изд. ИВМиМГ, 2001. 318 с.

29. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. — М.:Наука, 1995. 288 с.

30. Ильин В.П., Минцис М.Я., Пинаев А.Ф., Соловьев С.А. Моделирование токораспределения в электролизере. // Труды 9-й международной конференции "Алюминий Сибири 2003". - Красноярск, 2003. - с. 171177.

31. Ильин В.П., Соловьев С.А. О решении двумерной краевой задачи индукционного каротажа. // Тр. междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования". Красноярск, 2001. - с. 272-277.

32. Кауфман А.А. Теория индукционного каротажа. — Новосибирск: Наука, 1965. 236 с.

33. Кауфман А.А. Введение в теорию геофизических методов. Часть 2. Электромагнитные поля: Пер. с англ. Ю.А. Дашевского. — М.: ООО "Недра-Бизнесцентр", 2000. — 483 с.

34. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). Новосибирск: Новосиб.гос.ун-т, 1999. - 166 с.

35. Мартаков С.В. Численное решение одномерной обратной задачи в нестационарном диэлектрическом каротаже // Тр. междунар. семинара "Обратные задачи в геофизике". Новосибирск, ВЦ СО РАН, 1996. -с. 126-129.

36. Мартаков С.В., Эпов М.И. Прямые двумерные задачи электромагнитного каротажа. / С.В. Мартаков, М.И.Эпов // Геология и геофизика. -1999. т.40. - Ж. - с.250-255

37. Мартынов Н. Введение в MATLAB 6. М.: Кудиц-Образ, 2002. - 352с.

38. Минцис М.Я. Распределение тока в алюминиевых электролизерах. — Новокузнецк: СибГИУ, 2001.

39. Минцис М.Я., Поляков П.В., Сиразутдинов Г.А. Электрометаллургия алюминия. — Новосибирск: Наука, 2001. 368 с.

40. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. -Уч. Пособие. М.: Наука, 1973. - 607 с.

41. Дж.Ортега Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем / Пер. с англ. — М.:Мир, 1991. 367с.

42. Тепловые процессы в электролизерах и миксерах алюминиевого производства / Е.Н. Панов, Г.Н. Васильченко, С.В. Даниленко, А. Я. Кар-вацкий, И. JI. Шилович, М. Ф. Боженко; Под общ. ред. Б.С. Громова. М.: Издательский дом "Руда и металлы", 1998. - с.

43. Панов Е.Н., Тепляков Ф.К., Никифоров С.А., Кукшин А.П. Исследование температурных режимов обжига катодных устройств алюминиевых электролизеров. // Цветные металлы. 1987. №8. - с. 40-43.

44. Пингин В.В., Проворова О.Г. Магнитогидродинамические явления в электролизере. Математическое моделирование физических полей в алюминиевом электролизерах: Монография. Красноярск: ИПЦ КГ-ТУ, 2002. - с. 75-98.

45. Потылицын Г.А., Злобин B.C., Геращенко Н.П. Механизм разрушения подины при обжиге электролизера // Цветные металлы. 1983. - №5, -с. 42-44

46. Проворова О.Г., Пингин В.В., Овчинников В.В. и др. Математические модели физических полей в электролизере Содерберга. // Магнитная гидродинамика. 1998.

47. Рапацевич Е.А., Урванцев A.JI. Численное моделирование систем с постоянными магнитами. (Ротапринт ВЦ СО АН СССР). Новосибирск, 1986. - 25 с.

48. Рояк М.Э., Рояк С.Х., Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М. Конечноэле-ментное моделирование трехмерных гармонических электромагнитныхполей в задачах аэроэлектроразведки кимберлитовых трубок, j j Сиб. ЖИМ. 1998. - Т.1. - Ш - с. 154-168.

49. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Васильев А.В. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки // Физика Земли. -1997. т. - с. 67-71.

50. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов //Физика Земли. 1998. — .Ys10, - с. 78-84.

51. Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М., Чернышев А.В., Рояк М.Э. Об одном подходе к решению трехмерной обратной задачи электромагнитного зондирования Земли становлением поля // Сиб. ЖИМ. 2003.Т.6. №1(13). - с. 138-153.

52. Соловьев С.А. Двухуровневые итерационные процессы для задачи индукционного каротажа. // Тр. конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. 2002. - с. 149-156.

53. Соловьев С.А. О численном решении трехмерной комплексной задачи расчета электрических и тепловых полей. // Сиб.ЖИМ. 2003. т.4. - N 2. с. 126-136.

54. Соловьев С.А. Численное решение нелинейной системы уравнений электропроводности и теплопроводности. // Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. 2003. - с. 108-117.

55. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. / Пер. с англ. Б.И. Квасова; Под ред. Н.Н. Яненко. М.: Мир, 1980. - 512с.

56. Табаровский JI.А., Эпов М.И. Электромагнитные поля гармонических источников в слоистых анизотропных средах. // Геология и геофизика. 1977. - №1. - с. 101-109.

57. Тимофеев В.Н. Анализ электромагнитного поля методом дискретизации свойств сред. Математическое моделирование физических полей в алюминиевом электролизерах (Монография). Красноярск: ИПЦ КГ-ТУ, 2002. - с. 99-129.

58. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975.

59. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Киев: Техшка, 1967.

60. Тозони О.В. Расчет магнитного поля в шихтованном стальном сердечнике // Изв. Вузов. Электромеханика. — 1975. — №3. с. 246-249.

61. Уэйт Дж.Р. Геоэлектромагнетизм. М.:Недра, 1972.

62. Справочник геофизика. — М.: Недра, 1990.

63. Хмелевской В.К. Геофизические методы исследования земной коры. — Дубна. Изд-во Ун-та Дубна, 1997.

64. Шаповал Н.В., Поляков Е.Е. Компьютеризированное определение удельного электрического сопротивления пластов в терригенных разрезах Западной Сибири. // Геофизика. 1997. - №4.

65. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Решение трехмерных нелинейных магнитостатистических задач с использованием двух потенциалов Новосибирск, 1996. - 26с:ил. (Препринт/ВЦ СО РАН; 1070).

66. Электроразведка. Справочник геофизика в двух книгах. — М.: Недра, 1989.

67. Электромагнитная индукция в неоднородных тонких слоях. / Б.Ш.Зингер, Э.Б.Файнберг. М.: ИЗМИРАН, 1985 г. - 234с.

68. Avdeev D. В., Kuvshinov А. V., Pankratov О. V., and Newman G. А. Three-dimensional induction logging problems, Part 1: An integral equation solution and model comparisons. // Geophysics. 2002. - Vol. 67. - No. 2.- p.413-426.

69. Bossavit. A., Computational Electromagnetism: Academic Press. 1998.- 1st edition, 352 p.

70. Doll H.G. Introduction to induction logging and application to logging of wells drilled with oil base mud. // J. of petroleum Technology. 1946. -VI.

71. Guo-zhong Gao, Sheng Fang, Carlos Torres-Verdin. A New Approximation for 3D Electromagnetic Scattering in the Presence of Anisotropic Conductive Media. 2003 - 3DEMIII Workshop. - Adelaide, 10 pp.

72. Grjotheim K., Kvande H. Understanding the Hall-Heroult Process for Production of Aluminium. // Aluminium-Verlag. Duselldorf, 1986. - p.

73. Gurieva Y.L., Il'in V.P. Finite volume approaches for 2-D BVPs: algoritms, data structures, software and experiments. // Report № 9715, 1997, University of Nijemegen. The Netherlands. 24 p.

74. Kuznetsov S.B. A Method of Domain Decomposition in 3-D Problems of Magnetostatics E.D.F. // Bulletin de la direction des etudes et recherchesserie с mathematiques, informatique. 1991. - No. - pp. 17-22.j

75. IF in V.P., and Itskovich E.A. Two explicit incomplete factorization methods. // Bulletin of the NCC, series: Num.Anal. 2002. No.ll. - pp.5362.

76. Manuel F. Catedra, Rafael F. Torres, Jose Basterrechea, Emilio Gago. The CG-FFT Method: Application of Signal Processing Techniques to Electromagnetics. Boston: Artech House Publishers; 1995 (ISBN: 0-89006634-5) 361 pp

77. Meunier G., Coulomb J.L., Salon S.J., Krahenbul L. Hibrid Finite Element Boundary Element Solutions for three Dimensional Scalar Potential Problems IEEE Transactions. - 1986. - Vol.MAG-22. - No.5. --pp. 10401042.

78. Salon S.J., Peng J.P. A Hibrid Finite Element Boundary Element Formulation of Poisson's Equations For Axisymmetric Vector Potential Problems. // J.Appl. Physics 53(11), November 1982, p.8420-8422.

79. Salon S.J., Schneider J.M. A Finite Element Boundary Integral Formulationof Poisson's Equation IEEE Transactions, Vol.MAG-17. No.6, p.2574-2576.

80. Scherbinin S.A., Pingin V.V., Polyakov P.V. 3D thermo-elastic field modeling tool and its application for energy regime simulations in aluminium reduction cells. // Light Metals. 2000. - pp. 323-329.

81. Sheng Fang, Guo-zhong Gao, Carlos Torres-Verdin Efficient 3-D Electromagnetic Modeling in the Presence of Anisotropic Conductive Media Using Integral Equations- 3DEMIII Workshop. Adelaide, 2003.

82. E.P.Shurina, A.V.Gelber Mathematical modeling of 3D non-stationary electromagnatic fields using vector finite element method //Bull.Nov.Comp.Center,Num.Anal. 2003. - №12. - P.65-77.

83. Sonneveld, P. CGS: A Fast Lanczos-Type Solver for Nonsymmetric Linear Systems. 1989. SIAM J. Sci. Statist. Comput. 10, - pp. 36-52.

84. Toshiya Morisue. A new formulation of the magnetic vector potential method for three dimensional magnetostatic field problems. IEEE Transactions, Vol.MAG-21. No.6,1985, pp.2192-2195.

85. J. T. Weaver. Mathematical Methods for Geo-Electromagnetic Induction (Applied and Engineering Mathematics Series. Research Studies Press Ltd; February 1994; 330 p.

86. Williams, J. H., Lapham, W. W., and Barringer, Т. H. Application of electromagnetic logging to contamination investigations in glacial sand-and-gravel aquifers. 1993. - Ground Water Monitoring and Remediation Review, vol. 13, No. 3. - p.129-138