О бескоалиционных играх с "союзниками" и "противниками" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Житенева, Юлия Николаевна

• Житенева, Юлия Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Житенева, Юлия Николаевна

Введение.

Глава 1. Гарантированные равновесия статический вариант игры)

§ 1. Гарантированные равновесия по Вальду.

§ 2. Равновесие по Гурвицу

§3. Гарантированные MKL-равновесия.

§ 4. Одна линейно-квадратичная игра при неопределенности

§ 5. Модель функционирования двух фирм на конкурентном рынке

Глава 2. Дифференциальная линейно-квадратичная игра

§ 6. Равновесие по Вальду

§ 7. Применение принципа' Гурв.ица в дифференциальной

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О бескоалиционных играх с "союзниками" и "противниками"»

Любой вид человеческой деятельности тесно связан с восприятием, передачей, обработкой, поиском и хранением информации [13,70]. Обмен информацией является необходимым условием организации производственной, научной и общественной жизни человека [45].

В современном мире информация является важным ресурсом, а информационная деятельность становится приоритетной в процессе развития цивилизации. Поэтому необходимо всестороннее фундаментальное исследование понятия информации, процессов ее представления, обработки, хранения и передачи. В связи с чем особое значение приобретают задачи нахождения эффективных алгоритмов обработки и анализа информации, принятия на их основе оптимальных решений, генерации новых знаний. Основой решения этих задач следует считать математические методы и достижения важнейшего из научных направлений - кибернетики.

Проблема принятия решений имеет особое значение, поскольку любая деятельность - это в конечном итоге цепочка принятия решений. При этом естественно стремление принимать те решения, которые способствуют достижению поставленной цели в наибольшей степени (будем называть их оптимальными). Если ситуация проста, то не требуется привлекать научные методы, поскольку решение находится с помощью опыта, навыков, интуиции. Но картина резко меняется, если речь идет о сложных ситуациях. Научные постановки вопроса о выборе оптимальных решений встречались и встречаются в различных областях науки и техники.

Особое место среди условий, в которых приходится принимать решение, занимают конфликты. В этом случае принимающему решение приходится считаться не только со своими собственными целями, но также с целями, которые ставят перед собой его партнеры. Помимо этого, он должен учитывать наличие неопределенностей (помех, возмущений, ошибок измерения и т. д.) - факторов, для которых не удается полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние. Изучением конфликтов в настоящее время занимаются исследование операций, логика, биология, социология, психология. При этом можно выделить два подхода к исследованию конфликтных ситуаций: нормативный (математический) и психологический. Теория игр изучает нормативные аспекты конфликтов, и является теорией математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов [14].

В последнее время наблюдается повышение интереса к теории игр.

Теоретико-игровой подход применяется к изучению различных экономических, политических и социальных вопросов, а также в биологии, экологии, военном деле и во многих других отраслях. Это связано, прежде всего, со сложностью, неопределенностью, многокритериальностью современных социально-экономических явлений.

Между тем теория игр принадлежит к числу наиболее молодых математических дисциплин. Ее возникновение как самостоятельного направления математики естественно отнести к 1944 г., когда вышла в свет монография Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение" [58]. Эта монография заложила фундамент теории игр и обосновала возможность анализа многих социально-экономических вопросов. За прошедшее немногим более полувека с момента появления этой книги теория игр преодолела различные этапы своего развития и пережила несколько волн интереса к ней. Примерно сорок лет тому назад казалось, что теория игр дает чрезвычайно большие обещания экономике, но, как выяснилось впоследствии, эти обещания во многом оказались лишь обещаниями, хотя в это время был получен ряд глубоких матема-тичеких результатов. За последние пятнадцать-двадцать лет произошел значительный шаг вперед, что привело (как уже отмечалось) к широкому применению основных концепций теории игр в различных прикладных и теоретических дисциплинах.

Теория игр включает два направления: теория бескоалиционных игр и теория кооперативных игр. В теории кооперативных игр основная единица анализа - это, как правило, группа участников или коалиция. В этой теории решаются фактически три вопроса: как могут образовываться коалиции, какие решения им стоит использовать и каким образом коалиции будут распределять те исходы, которые они достигнут. В противоположность этому, в бескоалиционной теории основной единицей анализа является индивидуальный участник, который (в соответствии с определенными правилами и возможностями) преследует только свои интересы.

Предметом исследования настоящей работы являются бескоалиционные игры, в которых у каждого участника есть "союзники" и "противники". Возникновение игр такого вида связано со следующими обстоятельствами: в настоящее время в большинстве экономических задач становится неэффективным, да и практически невозможным, "действовать в одиночку", не обращая внимание на деятельность остальных участников рынка. У каждого отдельного ЛПР (лица, принимающего решение) возникает необходимость каким-то образом влиять на своих экономических партнеров, уменьшая по возможности прибыль одних и помогая другим. Примером может служить задача конкуренции. Необходимость учета симпатий и антипатий участников конфликта возникает не только в сфере экономики. Такой подход может быть использован при изучении различных социальных, политических, экологических и других явлений. Заметим, что единственная известная нам публикация, близкая к данной тематике, посвящена игре преследования трех лиц [82].

Наличие неопределенности занимает особое место в конфликтных ситуациях. Это связано, в первую очередь, с практической важностью, ибо помехи, возмущения, запаздывания в каналах передачи информации и другого вида неопределенности возникают в подавляющем большинстве задач, в которых необходимо принимать решение. Вместе с тем важно стремиться найти оптимальное решение поставленной задачи, что возможно при наилучшем использовании имеющейся информации относительно сложившейся ситуации.

Неопределенности возникают в силу разнообразных причин [17,35,39]. Формально выделяются [17] стохастические и нестохастические неопределенности. К первым относятся неизвестные факторы, являющиеся случайными величинами с известным классом возможных законов распределения. В случае нестохастической неопределенности известна лишь область ее изменения. В предлагаемой работе ограничились неопределенностями второго типа.

В теории принятия решений для однокритериальных задач существуют различные принципы построения оптимальных решений в задачах с (нестохастической) неопределенностью. К ним относятся: принцип гарантированного результата (принцип Вальда), принцип минимаксного сожаления (принцип Сэвиджа), принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица), максимаксный принцип и др. Подчеркнем еще раз, что все они были предложены для однокритериальных (скалярных) задач при неопределенности [47]. Однако почти всякая сложная практическая задача принятия решения является многокритериальной. В связи с этим особое значение приобретает активно развивающееся направление теории принятия решений, получившее название "многокритериальные задачи при неопределенности" . Основные исследования таких задач ведутся в рамках принципа гарантированного результата. Такой выбор объясняется прежде всего тем, что решения, являющиеся оптимальными по принципу Вальда, позволяют принимающему решение рассчитывать на определенные гарантии и полностью исключают какой бы то ни было риск. Подход к принятию решений в многокритериальных задачах при неопределенности, основанный на этом принципе, получил название "векторного максимина" и в настоящее время активно разрабатывается в России В. И. Жуковским [34-37,87] и его учениками [31,52,73]. Независимо от них аналогичные исследования ведутся в Японии [83], Италии [77,78], США [74-76]. Такой подход представляет собой обобщение понятий максимина и седловой точки антагонистической игры на векторный случай.

Модификация принципа Сэвиджа на многокритериальный случай была предложена А. Е. Бардиным в работах [3,4], принцип Гурвица - Л. В. Смирновой в [6,71].

Бескоалиционные игры при неопределенности с конечным числом участников привлекли внимание буквально в последние годы. Впервые попытка обозначить теоретические основы бескоалиционных игр при неопределенности предпринята в четвертой главе монографии [39]. Впоследствии была опубликована еще одна монография [32], посвященная этой тематике. Основой для представленных там исследований был выбран аналог векторного максимина из [87]. Отметим, что обе эти работы выполнены в русле теории дифференциальных бескоалиционных игр, которая начала развиваться во второй половине XX века [19,64] и базируется на основных положениях и результатах теории дифференциальных антагонистических игр [44]. Особенностью этих задач является требование динамической устойчивости, введенное профессором JI. А. Петросяном [61] (хотя возникло уже в [43] при выявлении структуры равновесных по Нэшу ситуаций в дифференциальных играх).

В публикации [40], посвященной бескоалиционным дифференциальным играм при наличии динамической неопределенности, для формализации решения использовался скалярный вариант принципа гарантированного результата (в отличии от [39]). Возможное понятие решения в бескоалиционных играх при неопределенности, основанное на векторном аналоге принципа Сэвиджа, было предложено в [5]. Исследование игровых задач при неопределенности "с позиций" принципа Гурвица проведено в [71].

Отдельным видам решений бескоалиционных игр при неопределенности посвящены следующие публикации: равновесию по Нэшу - [49], по Бер-жу - [10], равновесию угроз и контругроз - [8]. Здесь все исследования основываются на модификации принципа Вальда.

Целью настоящей работы является формализация и исследование свойств решений бескоалиционной игры N лиц с "союзниками" и "противниками" и с "информированной" неопределенностью. При этом предполагается, что о неопределенных факторах известна лишь область значений, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. На примере линейно-квадратичной игры двух лиц сравниваются условия применимости решений указанной игры, введенных на основе принципов Вальда и Гурвица. Рассмотрено приложение к математической модели поведения двух фирм на конкурентном рынке при учете неопределенных факторов.

Объектом исследования является теория бескоалиционных игр.

Предмет исследования - бескоалиционные игры N лиц с "информированной" неопределенностью, в которых для каждого игрока учитываются его "симпатии" и "антипатии".

Проблема заключается в определении понятий решения бескоалиционной игры N лиц с "союзниками" и "противниками" и при учете неопределенных факторов, исследовании свойств таких решений и способов их построения.

В основу исследования положена следующая гипотеза: на основе векторных аналогов принципов Вальда и Гурвица можно определить понятия гарантированных решений для бескоалиционных игр с " союзниками" и "противниками" и с "информированной" неопределенностью, получить условия их существования.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

- формализовать понятие бескоалиционной игры N лиц с "союзниками" и "противниками" и с "информированной" неопределенностью;

- определить решение указанной бескоалиционной игры на основе модификации принципа максиминной полезности (принципа Вальда), исследовать его свойства и условия существования;

- формализовать решение данной игры на основе модификации принципа пессимизма-оптимизма (принципа Гурвица), исследовать его свойства, условия существования;

- для дифференциальной позиционной линейно-квадратичной бескоалиционной игры N лиц с "симпатиями" игроков и с "информированной" неопределенностью ввести понятия решений, используя модификации принципов Вальда и Гурвица, выявить коэффициентные условия существования таких решений и построить их явный вид;

- рассмотреть возможные приложения к конкретным экономическим задачам и линейно-квадратичным играм.

Методологическую основу составляют современные методы и подходы теории многокритериальных задач, теории игр, выпуклого анализа, динамического программирования, теории дифференциальных игр, теории принятия решения.

Научная новизна. Отличие данной работы состоит в том, что в ней впервые исследуется бескоалиционная игра с "информированной" неопределенностью, в которой проводится учет "симпатий" и "антипатий" каждого ее участника. Формализация понятия решения данной игры основывается на векторных аналогах принципов Вальда и Гурвица, при этом используются "аналог векторной седловой точки" и понятие "векторная гарантия" из теории многокритериальных задач при неопределенности [87]. В обоих случаях исследованы свойства, а также установлены условия существования решений. Сравниваются условия применимости введенных решений на примере линейно-квадратичной игры двух лиц. Такие же решения найдены в дифференциальной позиционной линейно-квадратичной игре, установлены "коэффициентные" критерии их существования и, при выполнении этих критериев, найден явный вид этих решений.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть применены к различным прикладным задачам: экономическим, экологическим, политическим и т.д. Разработка на их основе математических моделей позволит получить эффективные решения в сфере планирования и управления в различных видах деятельности. В качестве приложения в работе исследована одна математическая модель поведения двух конкурирующих фирм на рынке бесконечноделимого товара.

Основные положения, выносимые на защиту:

- для бескоалиционной игры N лиц с "информированной" неопределенностью, в которой учитываются "симпатии" и "антипатии" каждого игрока, формализованы два вида решений: на основе модификации принципа Вальда и с использованием векторного аналога принципа Гурвица; установлено существование указанных решений в чистых и смешанных стратегиях при обычных в теории игр ограничениях;

- для линейно-квадратичной игры двух лиц найден явный вид ситуаций, реализующих указанные выше решения, проведено сравнение коэффициентных условий их существования (а также отсутствия);

- для дифференциальной линейно-квадратичной позиционной бескоали-ционой игры с "союзниками" и "противниками" и с "информированной" неопределенностью формализованы понятия решений на основе модификаций принципов Вальда и Гурвица; с помощью динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова, найден явный вид ситуаций, реализующих указанные решения.

Перейдем к краткому содержанию диссертации, которая состоит из двух глав, разбитых на 7 параграфов. В первой главе (§ §1 — 5) исследуется бескоалиционная "статическая" игра N лиц с "союзниками" и "противниками" и с "информированной" неопределенностью.

Именно, в §1, основываясь на принципе Вальда и понятии векторной гарантии, для бескоалиционной (статической) игры N лиц (в которой у каждого игрока имеются "союзники" и "противники") формализуется понятие гарантированного MKL-равновесия по Вальду, проведена классификация, выявлены свойства и установлено существование таких решений при обычных (для теории игр) ограничениях.

В §2 на основе соответствующей модификации принципа Гурвица определяется другое понятие решения указанной игры (в которой учитываются симпатии игроков), именно, i^L-равновесная по Гурвицу ситуация. Выявлены свойства этого решения, исследованы условия существования.

§3 посвящен дополнительному (к принципу Гурвица) критерию, введено понятие гарантированного MKL-равновесия, исследованы некоторые свойства и условия существования.

В §4 получены достаточные условия существования и отсутствия гарантированного SKL-равновесия по Вальду и i^L-равновесной по Гурвицу ситуации в бескоалиционной линейно-квадратичной игре двух лиц, соперничающих друг с другом.

Наконец, в §5 представлена модель конкуренции двух товаропроизводителей на рынке бесконечноделимого продукта, найдены указанные решения.

Содержание второй главы (§ §6 — 7) составляет исследование дифференциальной позиционной линейно-квадратичной бескоалиционной игры с "союзниками" и "противниками" и с "информированной" неопределенностью.

В §6 на основании векторного аналога принципа Вальда (из §1) формализуются гарантированные MifL-равновесия по Вальду, выявлен ряд свойств и взаимосвязь между равновесиями, находится явный вид решений для случая игры 2-х лиц.

В заключительном §7 проведена формализация ^Ь-равновесной по Гурвицу ситуации дифференциальной линейно-квадратичной игры (на основе модификации принципа Гурвица из §2), указан явный вид решений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2630,33,72,84-86].

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Житенева, Юлия Николаевна

Основные результаты

- на основе принципа гарантированного результата введено понятие гарантированного МКL-равновесия по Вальду бескоалиционной игры с "союзниками" и "противниками" и с "информированной" неопределенностью, показана полнота данного решения, установлено его существование в чистых и смешанных стратегиях;

- на основе модификации принципа Гурвица формализовано понятие KL-равновесной по Гурвицу ситуации для бескоалиционной игры, в которой у каждого игрока имеются "союзники" и "противники", установлена полнота введенного решениия, выявлены условия существования этого решения;

- для бескоалиционной линейно-квадратичной игры 2-х лиц при неопределенности с информационной дискриминацией игроков найден явный вид ситуаций, реализующих указанные выше решения, получены коэффициентные условия их существования (а также отсутствия);

- на основе динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова, для дифференциальной позиционной линейно-квадратичной бескоалиционной игры с "союзниками" и "противника

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для современных сложных управляемых систем (особенно в экономике) характерны следующие две особенности:

- каждый ЛПР не только преследует свою цель, но и стремится повлиять на своих экономических партнеров, уменьшая, по возможности, достижения одних и помогая другим;

- необходимость учета неопределенных факторов, о которых известна лишь область возможных значений (помехи, возмущения, ошибки измерений и другого вида неопределенности).

Подобные задачи можно исследовать в рамках бескоалиционных игр с "союзниками" и "противниками" и при неопределенности, которым и посвящена настоящая работа. В диссертации предложено два подхода к исследованию таких игр, основанные на подходящих модификациях принципов максиминной полезности и пессимизма-оптимизма. Разумеется, наряду с этими подходами возможно применение других принципов оптимальности из теории принятия решения при неопределенности [12]. На наш взгляд, бескоалиционные игры с "союзниками" и "противниками" и при неопределенности более адекватно описывают реальные задачи экономики, нежели классическая теория.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Житенева, Юлия Николаевна, 2002 год

1. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

2. Алексеев А.В., Просина B.C. Типы неопределенности информации в системах поддержки принятия решений//Нечеткие системы: модели и прогр. средства: Сб. научн. тр. Тверь: Тверской гос. ун-т. 1991. С.193-111.

3. Бардин А.Е. Векторный риск: Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1993. 14 с.

4. Бардин А.Е., Салуквадзе М.Е. Векторный риск в многокритериальных задачах / Препринт. Тбилиси: АН Грузии, Ин-т систем управления, 1992. 28 с.

5. Бардин А.Е., Смирнова Е.Б. Решение Нэша-Сэвиджа-Слейтера бескоалиционной игры N лиц при неопределенности // Сложные управляемые системы. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1996. С. 3-8.

6. Бардин А.Е., Смирнова JI.B. Принцип Гурвица для многокритериальной задачи при неопределенности // Сложные управляемые системы. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1996. С. 34-37.

7. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: Физматгиз, 1961. 126 с.

8. Бирюкова J1.B. Равновесие угроз и контругроз при неопределенности: Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1996. 14с.

9. Бондарева О.Н. О теоретико-игровых моделях в экономике. Ленинград: ЛГУ, 1974. 40 с.

10. Вайсман К.С. Равновесие по Бержу: Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1995. 15 с.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстермальных задач. М.: Наука, 1988. 549 с.м

12. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. 256 с.

13. Власов В.К., Сотников А.Н., Королев J1.H. Элементы информатики. М.: Наука, 1988. 317 с.

14. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984. 495 с.

15. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. 271 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1954. 496 с.

17. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 с.

18. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. 475 с.

19. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. 145 с.

20. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. М.: Машиностроение, 1986. 288 с.

21. Давыдов Э.Г. Исследование операций. М.: Высшая школа, 1990. 384 с.

22. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1968-1983 гг./Под ред. В.И. Жуковского и

23. Д.Т. Дочева. Болгария, Русс: Центр по математике, 1985. 114 с.

24. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1984-1988 гг./Под ред. В.И. Жуковского и В.Н. Ушакова. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. 139 с.

25. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1988-1994 гг./Под ред. В.И. Жуковского и

26. B.И. Ухоботова. Челябинский ун-т, 1995. 123 с.

27. Ж^итенева Ю.Н. Равновесие по Гурвицу в игре с "симпатиями"//Системный анализ, информатика и оптимизация. Сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1999. С. 154-159.

28. Ж!итенева Ю.Н. О бескоалиционной игре с "симпатиями" игро-kob//VI Междунар. конф. "Математика. Компьютер. Образование": Тез. докл. Пущино, 1999. С. 111.

29. Житенева Ю.Н. Об одном равновесии по Сэвиджу//УП Междунар. конф. "Математика. Компьютер. Образование.": Тез. докл. Дубна, 2000. С. 124.

30. Ж^итомирский Г.И. Конфликтные динамические системы: Авто-реф. дис. канд. физ.-матем. наук. ЛГУ, 1989. 16 с.

31. Ж^уковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 461 с.

32. Жуковский В.И., Житенева Ю.Н. Об одной бескоалиционной игре//Проблемы управления и информатики. Киев, 1998. N1. С. 5461.

33. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1988. 132 с.

34. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: Международный НИИ проблем управления, 1990. 112 с.

35. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Многокритериальные задачи управления в условиях неопределенности. Тбилиси: Мецниереба, 1991. 128 с.

36. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления. Тбилиси: Мецниереба, 1996. 475 с.

37. Жуковский В.И., Тынянский Н.Т. Равновесные управления многокритериальных динамических систем. М.: МГУ, 1984. 224 с.

38. Ж^уковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1994. 320 с.

39. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 543 с.

41. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.

42. Кононенко А.Ф. О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических дифференциальных играх.//Докл. АН СССР. 1976. 231, N2. С. 285-288.

43. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 455 с.

44. Куликовский Л.Ф. Элементы теории информатизационных процессов. Куйбышев: Авиац. ин-т., 1979. 29 с.

45. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574 с.

46. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: Иностр. лит-ра, 1961. 642 с.

47. Люстерник А.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1969. 312 с.

48. Макаркина Т.В. Равновесие по Нэшу при неопределенности: Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук. Российский Ун-т Дружбы Народов, 1997. 16 с.

49. Макаров В.А., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесие. М.: Наука, 1973. 185 с.

50. Малафеев О.А. Равновесие по Курно-Нэшу в дифференциальных бескоалиционных играх со счетными числом участников/ /Дифференциальные уравнения: Тез. докл. IV междун. конф. София, 1989. С. 86.

51. Матвеев В.А. Многокритериальная позиционная задача для параболической системы: Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук. Екате-ренбург, УрГУ, 1992. 16 с.

52. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

53. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высш. школа, 1986. 288 с.

54. Мохонько Е.З. Управление информационными потоками в неантагонистических динамических играх. М.: ВЦ РАН, 1992. 46 с.

55. Мохонько Е.З. Динамика информационных процессов в неантагонистических играх: Дис. докт. физ.-матем. наук. М.: ВЦ РАН, 1997. 24 с.

56. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир, 1990. 206 с.

57. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708 с.

58. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 518 с.

59. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. 230 с.

60. Петросян JI.A. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками//Вестник ЛГУ. 1977. N11. С. 46-52.

61. Петросян Д.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. Ленинград: ЛГУ, 1987. 253 с.

62. Петросян JI.A., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998. 304 с.

63. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Изд-во ЛГУ, 1982. 187 с.

64. Печерский С.Л., Соболев А.И. Проблема оптимального распределения в социально-экономических задачах и кооперативные игры. Ленинград: Наука, 1983. 176 с.

65. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254 с.

66. Пономарев Ю.П. Игровые модели: математические методы, психологический анализ. М.: Наука, 1991. 160 с.

67. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1961. 212 с.

68. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 372 с.

69. Решетников В.И., Сотников А.Н. Информатика что это? М.; Радио и связь, 1989. 110 с.

70. Смирнова JI.B. Принцип Гурвица в сложных управляемых системах: Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук. МПГУ, 1998. 13 с.

71. Смирнова JI.B., Житенева Ю.Н. Об одном равновесии по Гурвицу./ /Управление сложными системами. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1999. С. 34-38.

72. Чернявский И.В. Гарантии в многокритериальных задачах: Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук. МГУ, 1988. 13 с.

73. Chan W.L., Lau W.T. Vector Saddle-Point and Distributed Parameter Differential Games//Comput. and Math. Appl.1989. 18, N1-3. P. 195-207.

74. Chen G.Y. A Generalized Section Theorem and Minimax Inequality for a Vector-Valued Mapping//Optimization. 1991. 22. P. 745-754.

75. Chen G.Y., Quan Z. Minimax Methods for open-loop Equilibra in N-person Differential Games. Part II: Duality and Penalty Theory//

76. J. Comput. Math. 1992. 10, N4. P. 305-320.

77. Ferro F. Minimax Theorem for Vector-Valued Functions//J. Optimiz. Theory and Appl. 1989. 60. P. 19-31.

78. Ferro F. A Minimax Theorem for Vector-Valued Functions. Pt. 2// J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68, N1. P. 35-48.

79. Glicksberg I.L. A Further Generalization of the Kakutani Fixed Point Theorem, with Application to Nash Equilibrium Points//Proc. of the American Mathem. Soc. 1952. 3, N1. P. 170-174.

80. Hurwicz L. Optimality Criteria for Decision Making under Ignorance, Cowles Commission Descussion Paper, Statistcs, 1951. 370 c.

81. Nash J.F. Non-Cooperative Games//Annals of Math. 1951. 54. P. 286295.

82. Petrosjan L.A. Solution of 3-Person "LineLine" Game of Pursuit with Use of "Preference Index"//Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty: Abstracts. The IV-th Inter. Workshop. Orekhovo-Zuevo. Russia. 1996. P. 91.

83. Tanaka T. Two Types of Minimax Theorems for Vector-Valued Functions//J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68,N2. P. 321-334.

84. Zhiteneva J.N. About One Solution of Differential Game with "Allies" and "Opponents".//VII междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1999. С. 229.

85. Zhiteneva J.N., Smirnova L.V. Savege's Principle for One Differential Game//ll-th IFAC International Workshop "Control Applications of Optimization": Abstracts Saint-Petersburg, Russia, 2000. P. 291-292.

86. Zhiteneva J.N., Zhukovskiy V.I. Noncooperative Games with "Allies" and "Opponents".//IX Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Spectral and Evolutionary Problems. Simferopol, 1999. P. 203-208.

87. Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The Vector-Valued Maximin. New York ets.: Academic Press, 1994. 404 p.