О базисах алгебры Стинрода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Емельянов, Данила Юрьевич

• Емельянов, Данила Юрьевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Емельянов, Данила Юрьевич

Содержание

Введение 2

1 Предварительные сведения 15

2 ЖУ-базис 20

3 О редукции элементов алгебры Ар относительно порядка <д 31

4 Треугольные базисы в алгебре Ар 36 Заключение 55 Список литературы 56

Введение

Алгебра Стинрода Ap — это алгебра стабильных когомологических операций в когомологиях с коэффициентами в Z/p.

В наиболее общем определении стабильная когомологическая операция — это последовательность {^>n} гомоморфизмов : Hn(X; П) ^ Hn+q(X; G), где П и G — абелевы группы, естественных по X и перестановочных с изоморфизмом надстройки Е. Множество всех таких операций образует абелеву группу, обозначим её OS(q, n,G).

Тривиальный пример когомологической операции представляет тождественное отображение. Бокштейном в статье [16] был описан связывающий гомоморфизм ß в длинной точной когомологической последовательности, соответствующей короткой точной последовательности коэффициентов

0 ^ Z/p ^ Z/p2 ^ Z/p ^ 0.

Таким образом, ß £ OS(1,n,G). Примерно в тоже время Л. С. Понтря-гиным в статье [17] рассматривалась операция х позволяющая описать с точностью до гомотопии всевозможные отображения трехмерной сферы в n-мерный комплекс с тривиальной фундаментальной группой. Общая конструкция таких операций была предложена Н. Стинродом в работе [18], где были описаны операции Sqq £ OS(q, Z/2, Z/2). В последствии в литературе операции Sq* стали называться квадратами Стинрода, тогда как аналогичные операции Pг £ OS(q, Z/p, Z/p), гдеp > 2 —простое число, стали называть степенями Понтрягина.

Структура кольца в ф О5(д, О, С) задаётся при помощи композиции опе-

ч

раций: в качестве произведения операций р' Е О5 (д^ О, О) и р'' Е О5(д2, О, О) берётся их композиция р'о р'', которая также является стабильной операцией р' о р'' е О5(д1 + д2, П,О). Введённое умножение ассоциативно и не коммутативно. Таким образом ф О5(д,О,О) является градуированной алгеброй.

ч

Среди произведений квадратов Стинрода фиксированной степени имеются соотношения. Они были найдены У [9, 10], и доказаны Адемом [7, 8].

Теорема (Адем [7, 8]). Имеют место следующие соотношения

[а/2]

( Ь

а — 2г

при а < 2Ь: Бда8дъ = ^ ( Ь _ 1 ) £да+Ъ—; (1)

¿=0

при а < рЬ: РаРъ = Хр|(-1)а+г((Р 1)(_Ь ^ Ра+Ъ—¿Р\

¿=0 V а - рг )

(2)

и

[а/р]

(-1)а+^ (р -

а — рг

а < рЬ: РавРЪ = У(—1)а+М (Р 1)(Ь— гЧвРа+Ъ—¿Рг+

при а < рЬ: РавРЪ = ¿(—1)а+г[(

¿=0 ^

[(а—1)/р] /(

+ ^ (-1)а+г+м (

п— п V

(3)

¿=0

а+%+1 ((р — 1)(Ь — г) — ^Л ра+Ъ—г^Рг

а рг 1 ¿=0 4 1

Важную роль в описании структуры алгебры ф О5(д, П, О) играет сле-

ч

дующее утверждение.

Факт. Группа стабильных когомологических операций OS (q, П, G) изоморфна обратному пределу последовательности групп Hn+q(K(П, n); G) и гомоморфизмов f*, индуцированных отображением

fn :EK(П,n) ^ K(П,n + 1).

Ж.-П. Серром в работе [11] было проведено вычисление когомологий пространств K(П,п). В частности было показано, что образующие в когомоло-гиях H*(K(Z/p, n); Z/p) при p = 2 выражаются при помощи итерированных произведений Sqir Sqir-1 • • • Sqi0 квадратов Стинрода. Прежде чем сформулировать теорему дадим необходимые определения.

Определение. Последовательность I = (ir, ¿r—i,..., ¿о) называется допустимой, если ¿/ > 2i1-1. Произведение квадратов Стинрода Sqir Sqir-1 • • • Sqi0, соответствующее допустимой последовательности, будем также называть допустимым. Избыточностью e(1) допустимой последовательности I будем на-

r

зывать следующую величину е(1) = ^(¿/ — 2i/-1).

j=i

Теорема (Серр [11]). Алгебра H*(K(Z/2,n); Z/2) является алгеброй полиномов от образующих SqirSqir-1 ••• Sqi0¿n, где in £ Hn(K(П, n); G) — фундаментальный класс и I = (ir, ir—1,... , i0) — произвольная допустимая последовательность такая, что e(1) < n. Отметим, что в левой части соотношений Адема стоят недопустимые произведения, тогда как в правых частях — допустимые. Далее, легко можно показать, что применением соотношений Адема произвольное произведение квадратов Стинрода может быть представлено в виде суммы допустимых

произведений. Таким образом, получаем, что алгебра стабильных когомологических операций (J) OS(q, Z/p, Z/p) при p =2 мультипликативно порож-

q

дается квадратами Стинрода Sqi, соотношения Адема образуют полную систему соотношений, и базисом алгебры как векторного пространства над Z/p служит множество допустимых мономов.

В случае p > 2 аналогичная теорема была доказана А. Картаном [12], однако способ доказательства отличается от предложенного Серром. Доказательство основанное на тех же идеях, что и доказательство Серра, было дано М. М. Постниковым в [13]. Мультипликативными образующими алгебры ф OS(q, Z/p, Z/p) в этом случае являются степени Понтрягина Рг и ß. q

В описанных случаях алгебра стабильных когомологических операций в когомологиях с коэффициентами в группе Z/p, где p — простое число, обозначается Ap и называется алгеброй Стинрода.

Из сказанного выше получаем, что алгебра Стинрода абстрактно может быть задана с помощью набора мультипликативных образующих {Рг} и ß и соотношений (2), (3), и {Sqi}, (1) в случае p = 2.

Связь действия алгебры Стинрода Ap с кольцевой структурой в когомо-логиях устанавливается следующей формулой:

Sqk(ab) = ^ Sqi(a)Sqj(b)

i+j=k

для a,b E H*(X; Z/2). Она была получена А. Картаном в [14] и носит его имя. Милнором [3] было замечено, что отображение

Sqk = ^ Sqi <g> Sqj

г+j=k

может быть взято в качестве коумножения, а отображение

= ^ )

как антиподальное отображение, в результате чего в Ар вводится структура алгебры Хопфа. Результатом указанной работы стало полное описание структуры двойственной алгебры Ар. В частности, было показано, что Ар = Ж/р&] < Л[т,], где deg(&) = 2(рг - 1) и deg(т.;) = 2(р - 1) + 1. Элемент в Ар, двойственный к т1°т[1 • • • т^" < ^Г"1 • • • С" в Ар, обозначается О11 • • • О^ТР(г1, г2,... , гп). Данные элементы называются элементами Милнора. Множество элементов Милнора образует базис в Ар. Далее, в статье была предъявлена явная формула для умножения, позволяющая представить явным образом произведение двух элементов базиса Милнора в виде линейной комбинации элементов этого же базиса, см. ниже формулу (4), стр. 15. Подобная формула известна лишь для элементов Милнора. К примеру, произведение двух произвольных допустимых мономов, вообще говоря, уже не является допустимым мономом. Для того, чтобы представить получившийся моном в виде суммы допустимых, к нему необходимо несколько раз применить редукцию с помощью соотношений Адема.

Таким образом, базис допустимых мономов и базис Милнора являются первыми построенными базисами в алгебре Стинрода для всех простых р.

Несложное рассуждение [2, Лемма 4.2] показывает, что вместо всех образующих г достаточно рассматривать только элементы вида 5д2г (соответственно Рр1 в случае р > 2). В частности, можно строить новые аддитивные базисы пользуясь этим набором образующих. Так для р = 2 в работах Арно-

на и Уолла [1, 4] были построены так называемые 2 и X-базисы. Кроме того, Арноном в [1] был построен так называемый С-базис, Вудом в работе [15] были построены так называемый WY и WZ-базис — элементы этих базисов записываются в образующих Бдг. Ещё одним набором мультипликативных образующих является множество элементов Милнора вида Р(0,0,... ,ра, 0,...). Примером базиса, строящегося с помощью таких мультипликативных образующих, является Р/-базис, описанный Марголисом в [19, гл. 15].

В работе Монкса [6] исследовался вопрос, в каких случаях при р =2 матрица перехода от одного аддитивного базиса к другому имеет треугольный вид. Важность этого вопроса основывается, в частности, на том, что в явном виде формула для разложения произведения двух базисных мономов по тому же базису известна лишь для базиса Милнора. Кроме того, в работе [6] исследовался вопрос возможности рекуррентного вычисления столбцов матрицы перехода по предшествующим столбцам.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О базисах алгебры Стинрода»

Структура работы

Диссертация состоит из введения, и трёх глав списка литературы.

Во введении формулируется цель работы, кратко излагаются её результаты и содержание.

Первая глава содержит необходимые определения и известные результаты.

В главе 2 строится новый WY-базис. Назовём WY-мономом произведение

Zno0• • • , где последовательность пар I = ((к0,п0), ..., (кг, пг)) удовлетворяет условиям

1. (кг,п) <ь • • • <ь (^1,п1) <ь (^О, пО);

2. если в последовательности I есть подпоследовательность одинаковых пар:

(к,п) <ь (^¿+1, П+1 ) = • • • = (к+8,П+8) <ь (к+8+1,П+8+1), то й < р для любой такой подпоследовательности. Теорема 1. Множество WY-мономов образует базис в Ар, р > 2.

В главе 3 доказываются предложения 1 и 2, которые играют важную роль в доказательстве того, что X и 2-мономы образуют аддитивные базисы алгебры Ар.

Предложение 1. Для любых п > к произведение

2ПРрП е А

может быть выражено в виде линейной комбинации слагаемых, меньших данного произведения в правом лексикографическом порядке.

Предложение 2. Для любых п ^ к произведение РрП 2П+1 может быть представлено в виде линейной комбинации мономов, меньших данного произведения в правом лексикографическом порядке.

Важно отметить, что эти предложения применяются не так, как это обычно делается в теории базисов Гребнера. А именно, сначала мы доказываем, что любой элемент алгебры Ар при помощи некоторых процедур (среди которых содержатся эти два предложения) сводятся к линейной комбинации 2-мономов. Затем доказывается, что в каждой градуировке подпространство, порождённое 2-мономами, имеет размерность не большую, чем размерность соответствующей градуировочной компоненты Ар (Шашоп-лемма при этом получается как следствие).

Глава 4 посвящена исследованию треугольности некоторых базисов друг по отношению к другу в алгебре Ар. Будем называть базисы В1 и В2 треугольными друг по отношению к другу, если существуют линейные порядки на них, такие что относительно этих порядков матрица перехода от одного базиса к другому треугольна. Глава содержит следующие результаты.

Построены контрпримеры для пар базисов не являющихся, треугольными друг по отношению к другу, в частности, показано, что 2-базис не является треугольным по отношению к базису Милнора,

2 и Ж 2 базисы. Элементы 2-базиса — это мономы вида • • • ,

где = РркРрк+1 ••• Рр". При этом на последовательность пар индексов ((п0, ко),..., (пг, кг)) наложены условия: (пг, кг) • • • (п1, к1) (п0, к0); и, если в последовательности I есть подпоследовательность одинаковых пар

(п, к^ <ь (пт,кт) = • • • = (п*+8,к*+8) <ь (п^+8+1,к^+8+1),

то й < р для любой такой подпоследовательности. Мономы, составленные из элементов Zn = Ррк +рк+1+-+рП с теми же условиями на последовательность пар индексов называются WZ мономами.

Теорема 4. Пусть ZI — произвольный Z-моном, заданный набором индексов I = ((п0, к0),..., (пг, кг)). Тогда для WZ-монома ZI выполняется равенство

ГуПо гуП1 7Пг _ гуПо гуП1 гуПг , Г

^ко • • • = ^ко • • • + Ь,

где Ь — линейная комбинация мономов, которые меньше ZI в

смысле правого лексикографического порядка.

Следствие 1. Множество WZ-мономов образует базис в Ар.

Кроме того, базисы WZ и Z треугольны друг по отношению к

другу.

Семейство Р/-базисов. В алгебре Ар имеются элементы

Р/ = Р (0,..., 0,р3,0,...),

где ра стоит на месте с номером £, degР/ = 2рв^ — 1). Произведение вида (Р//)т1... (Р/Йк)тк, где все Р^ попарно различны и 0 < т < р называется Р/-мономом. В каждом конечном наборе троек целых чисел {(sj,tj, mj) : ] = 1,..., к, 0 < mj < р, Sj > 0, tj > 0} зафиксируем линейный порядок и именно в этом порядке будем перемножать (Р^ )т. Заметим, что таких базисов бесконечно много, поскольку в каждом Р/-мономе порядок атомарных сомножителей (Р/5 )т, хоть и фиксирован, однако может быть выбран произвольным

образом. Зафиксируем базис BP и построим биекцию y : BMi/ ^ BP. Для милноровского элемента P (Я) = P (r1,r2,...) рассмотрим p-адическое разложение каждого rj = (rj)pk и рассмотрим набор троек целых чисел, построенный по последовательности Я:

M(Я) = {(s,t,as(rt)) : если as(rt) > 0}.

Положим y(P(Я)) равным произведению элементов (Pts)as(rt) в том порядке, который зафиксирован для набора M(Я). Для элемента P(Я) положим

e(P (R)) = Е rj.

Определение. Для P(R),P(S) £ BMi/ будем писать P(Я) E P(S), если e(P(Я)) < e(P(S)), или e(P(Я)) = e(P(S)) и P(Я) P(S).

Теорема 5. Для любого в £ BP имеет место равенство

(в)мй = а(%—1(в) + ^ мг,

где б(Дг) < e(Y—1 (в)) и коэффициент а(в) £ Z/p отличен от 0. Следствие 3. Pts-базис треугольный по отношению к базису Милнора.

X-базис. Определение порядка <l и биекции y : bm«/ ^ bx для случая X-базиса достаточно громоздко, подробности см. в разделе 4.

Теорема 6. Пусть в — произвольный X-моном. Тогда его разложение (в)м«/ по базису Милнора имеет вид

(в)м«/ = Y—1(в) + £ П«,

i

где 7 1(0) <ь п для всех г.

Следствие 4. X-базис треугольный по отношению к базису Мил-нора.

Известные результаты о треугольности могут быть кратко представлены в виде таблицы:

А((т X С WZ Z

МП + + + — —

Z — — — +

Библиография сдержит 23 наименования. Текст диссертации изложен на 58 страницах.

Список основных результатов, выносимых на защиту

Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построен WY-базис для случая алгебры Ар (Теорема 1).

2. Доказан ряд утверждений о редукции элементов алгебры Стинрода к Z-мономам (предложения 1 и 2).

3. Результаты о треугольности базисов:

3.1. Теорема 4 о треугольности WZ-базиса по отношению к Z-базису.

Следующие утверждения устанавливают треугольность по отношению к базису Милнора:

3.2. Теорема 5 — для семейств Р/-базисов.

3.3. Теорема 6 — для X-базиса.

Методы исследования

В диссертации применяются методы топологии и алгебры. Использовались системы компьютерной алгебры.

Апробация работы

Результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях:

• семинар «Некоммутативная геометрия и топология» под руководством профессора А. С. Мищенко, профессора В. М. Мануйлова, профессора И. К. Бабенко, доцента А. А. Ирматова;

• семинар «Дифференциальная геометрия и приложения» под руководством академика А. Т. Фоменко;

• Пятая школа-конференция по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых математиков России (САФУ, г. Коряжма, 2015).

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [Mon], [CheBs] и [Wd], все — в журналах из перечня ВАК.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность Фёдору Юрьевичу Попеленскому за постановку задачи, поддержку и внимание к работе, а также академику Анатолию Тимофеевичу Фоменко и профессору Александру Сергеевичу Мищенко за полезные замечания и обсуждения.

1 Предварительные сведения

Мы будем рассматривать алгебру Ар для простого p > 3, порождённую элементами Pj, где j > 0, deg(Pj) = 2(p — 1)j, и соотношениями P0 = 1,

papb = yp](_1)a+i (p — 1)(b — i) — Л pa+b—ipi

¿0 V a— pf / '

Алгебра — это подалгебра элементов чётной степени в (полной) алгебре Стинрода mod p. Нас будут интересовать базисы в этой алгебре как в линейном пространстве над Z/p. Случай полной алгебры Стинрода будет рассмотрен в другой работе, он требует дополнительного анализа из-за наличия дополнительной образующей ß степени 1.

Определение 1. Допустимым мономом в алгебре называется моном

pii р^ 2... pt m, где ti+1 > pti.

Множество всех допустимых мономов образует базис в Др, см. [2]. Теперь обратимся к базису Милнора, подробности см. [3]. Произвольный элемент этого базиса имеет вид P(t1,t2,...), где (t1,t2,...) — произвольная последовательность неотрицательных целых чисел, в которой лишь конечное число элементов отлично от нуля; степень такого элемента равна

deg(P(ti,t2, ...)) = ^ 2ti(pi — 1).

i

Важным свойством базиса Милнора является то, что имеется явная формула для произведения двух милноровских элементов P(r1, r2,...) и P(s1, s2,...):

P(Г1, Г2, . . .)P(S1, S2, ... ) = ^ c(X)P(t1, t2, . . .), (4)

X

где суммирование ведётся по всем матрицам X = (жгз-), г, ^ > 0, удовлетворяющим условиям:

^Ж? = ^^ =0, (5)

г

Жг^" = Гг,г = 0, (6)

3

£Н = жгз, (7)

г+3=Н

а с(Х) является произведением мультиномиальных коэффициентов

с(Х) = ]^[(жно,жн-1д,... ,жон). (8)

н

Будем называть такие матрицы X допустимыми.

Определение 2. С-мономом в алгебре Ар называется моном Р^Р^-1 • • • Р*°, где индексы удовлетворяют следующим двум условиям:

1) £¿+1 < Р^г,

2) £г | Рг.

Множество всех С -мономов образует базис в Ар.

Определение 3. Левый лексикографический порядок на множестве конечных последовательностях целых чисел зададим следующим образом: для I = (г1,..., гп) и J = (^,..., ^то) положим I J, если выполнено одно из условий:

1) I — пусто, а J — нет;

2) множества I и J непусты, ¿1 < ^

3) множества I и J непусты, ¿1 = ^ и (¿2,... ¿п) <ь (?2,... ^т)-

Правый лексикографической порядок <д определяется аналогично. Положим ^ = РркРрк+1 • • • Рр" и ХП = Рр"• • • Ррк, где п > к > 0.

Определение 4. Определим ^-моном как произведение

^I _ ^П0

ко кг '

и X -моном как произведение

XI_х Пг X по

кг ко '

где I — произвольная последовательность пар ((п0, ко),... , (пг, кг)), удовлетворяющая условиям

1) (пг, кг) <ь • • • <ь (п1, к1) <ь (по, ко);

2) если в последовательности I есть подпоследовательность одинаковых пар:

(п, <ь (п^+1, к^+1) = • • • = (п*+8, к^) <ь (п^+8+1, к^+а+х),

то в < р для любой такой подпоследовательности.

В работе [Моп] показано, что Х-мономы и ^-мономы образуют аддитивный базис Др.

Определение 5. Два базиса М' и М'' называются треугольными друг по отношению к другу, если существуют линейные порядки на М' и М" такие, что матрица перехода от одного базиса к другому треугольна относительно этих порядков.

При доказательстве треугольности некоторого базиса М к базису Милно-ра мы будем пользоваться следующим рассуждением.

Множество элементов базиса М будем обозначать Вм, аналогично, Вмгг — множество элементов базиса Милнора. Предположим, что нам удалось найти:

1) линейный порядок <м«г на множестве Вмгг,

2) биекцию 7 : Вмгг ^ Вм, сохраняющую степень, с помощью которой индуцируется порядок <м на Вм,

такие что для любого в Е Вм выполняются соотношения

(в)м*г = 7-1(в) + ^ М*,

г

где (в)мгг — разложение в по базису Милнора, Е Вмгг и <мгг 7-1(в) для всех г.

Тогда матрица перехода от базиса Милнора к базису М имеет треугольный вид по отношению к порядкам <м и <мгг.

Далее символом (соответственно, £д(а)) будем обозначать произ-

вольную линейную комбинацию мономов, строго меньших а в смысле левого (правого) лексикографического порядка, а символом (соответственно

Ай(а)) — произвольную линейную комбинацию мономов, которые меньше или равны а.

Для вычислений в алгебре нам понадобится следующее хорошо известное (например, см. [2]) утверждение. Пуст а — целое неотрицательное число. Будем записывать его р-адическое представление в виде

а = аг(а)рг.

г

Лемма 1. Пусть а и Ь — два целых неотрицательных числа, тогда

(а) - п (:;а))(- р).

2 WY-базис

Введение и основное утверждение

В работе Вуда [15] для A2 (алгебры Стинрода mod 2) были построены так называемый WdY-базис и WdZ-базис. В этой части работы приводится обобщение WdY-базиса на случай p > 3.

Рассмотрим степени Понтрягина вида ZJ! = Ppk +pk+1+-.+p".

Определение 1. Назовём ЖУ-мономом произведение —П0°—п1''' , где последовательность пар I = ((к0, п0),..., (кг, пг)) удовлетворяет условиям

1. (кг) <ь ■ ■ ■ <ь (к1,П1) <ь (ко, по);

2. если в последовательности I есть подпоследовательность одинаковых пар:

(к,п) <ь (к+1 ,п+1) = ■ ■ ■ = (к+*,п+*) <ь (к+8+1,п+8+1),

то й < р для любой такой подпоследовательности.

Основной результат этого раздела составляет следующее утверждение. Теорема 1. Множество ЖУ-мономов образует базис в р > 2.

Вспомогательные утверждения

Доказательство теоремы 1 опирается на следующий четыре леммы.

Лемма 2. Пусть т < п и

а = рт + рт-1 + ... + 1,

Ь = рп + рп-1 + ... + 1. Тогда имеет место соотношение

рарЬ ^ —1)а+с+1ра+6-ере

где суммирование осуществляется по всем с = рг + рг 1 +... +1, при 0 < г < т.

~>а г}Ь _ \ -| \а+с /(р - 1)(Ь - с) - 1\

р а+Ь-ср с

ч а - рс

с=0 4

Доказательство. К произведению рарЬ применимо соотношение Адема

рарЬ = 1)а+Ч (

с=о

Пусть аг — это разряды р-адического представления с, то есть

с = а^р1.

I

От противного предположим,что р-адическое разложение с имеет вид отличный от указанного в формулировке. Тогда имеются две возможности: (1) о^ = 0, = ... = ак+1 = 1 и ак > 1 для некоторых ] > к + 1; (2) каждый разряд ог равен 0 или 1 и о^+1 = 1, о^- = 0 для некоторого ] > 0.

Рассмотрим первый случай. Прежде всего заметим, что аа(а - рс) = аа-1(Ь - с), где 1 < в < к (в действительности это верно при в < т). Пусть ] > к + 1. Разряды с ] по к числа (Ь - с) имеют вид:

0 (р - 1) ••• (р - 1) (р - ак + е), 21

где е равно 0 или 1. Пусть 7 — остаток от деления (Ь - с) на р 1. Рассмотрим выражение

(р - 1)((р - 1)р-1 + 7) = (р - 2)р + р-1 + (р - 1)7.

Так как 7 < р-1, то верна оценка р-1 + (р - 1)7 < р. Откуда получим ((р - 1)(Ь - с)) = (р - 2). Очевидно, вычитание единицы никак не повлияет на значение в разряде ]. В итоге, о^- ((р - 1)(Ь - с) - 1) = (р - 2) и о^(а - рс) = а^_1(Ь - с) = (р - 1). По лемме 1 получаем, что соответствующий биномиальный коэффициент в соотношении Адема равен 0.

Пусть ] = к + 1. Теперь ак+1(Ь - с) = 0. Положим в = ак(Ь - с) и пусть 7 — остаток от деления (Ь - с) на рк. Легко видеть, что в > 1. Рассмотрим выражение

(р - 1)(врк + 7) = врк+1 - врк + (р - 1)7.

В случае -врк + (р -1)7 < 0 получим ак+1((р - 1)(врк+7)) = в -1, а остаток от деления (р - 1)(врк + 7) на рк+1 равен (р - в)рк + (р - 1)7 — очевидно, он отличен от 0. Поэтому вычитание единицы из (р - 1)(врк + 7) никак не повлияет на значение разряда к + 1 и тогда

ак+1((р - 1)(врк + 7) - 1) = ак+1((р - 1)(врк + 7)) = в - 1,

Получаем, что ак+1 ((р - 1)(Ь - с) - 1) = в - 1 и ак+1(а - рс) = ак(Ь - с) = в, откуда по лемме 1 биномиальный коэффициент, соответствующий такому с, равен 0.

Теперь рассмотрим случай, когда

-врк + (р - 1)7 = р7 - врк - 7 > 0. 22

Покажем, что на самом деле имеет место строгое неравенство. Так как ак-1(7) > в > 0, получаем 7 > 0. Из 7 < р' следует, что р' { 7 и р' { (р — 1)7. Но тогда (р — 1)7 — врк не делится на р', откуда

Ок ((р — 1)7 — вр' — 1) = Ок ((р — 1)7 — вр'). Из 7 < рк, следует, что (р — 1)7 < рк+1, тем самым,

а' ((р — 1)7 — вр' ) = ((р — 1)7) — в.

Заметим, что ак((р — 1)7) < ак—1(7), откуда

а'((р — 1)7 — вр') < а'—1(7) — в,

и

а' ((р — 1)(Ь — с) — 1) =

= а' ((р — 1)7 — вр' — 1) =

= а'((р — 1)7 — вр') < а*_1(7) — в.

Как и ранее,

а' (а — рс) = а^—1 (Ь — р) = а*—^).

Так как в > 1, для к-х разрядов выражений ((р — 1)(Ь — с) — 1) и (а — рс) получим

а'((р — 1)(Ь — с) — 1) < а^—1(7) — в < а*—^) = а^(а — рс),

откуда по лемме 1 биномиальный коэффициент, соответствующий такому с, равен 0.

Рассмотрим теперь вторую возможность: каждый разряд а равен 0 или 1 и 03+1 = 1, а = 0 для некоторого ] > 0. Получаем «3+1(6 — с) = 0. Пусть 7 — остаток от деления (6—с) на р+1. Так как 7 < р + р—1 +... + р +1 = —1, то (р — 1)7 < Р+1 — 1. Получаем, что 03+1((р — 1)(6 — с)) = 0. Из условия 03 = 0 следует, что 7 > 0, отсюда а3-+1((р — 1)(6 — с) — 1) = а3-+1((р — 1)(6 — с)) = 0. По доказанному выше р-адическое разложение с состоит из 0 и 1. Из условия 03 = 0 получаем 03 (6 — с) = 1 и а3-+1(а — рс) = 03 (6 — с) = 1. По лемме 1 для таких с биномиальные коэффициенты равны 0.

Пусть теперь с имеет вид с = рг + рг—1 +... + 1 при 0 < г < т. Рассмотрим биномиальный коэффициент

((р — 1)(6 — с) — 1\ = \ а — рс у

=шчо/^е'—')■ ■■('—1)(р т1)-

разряд г

Очевидно, он равен (—1). Таким образом, коэффициент при слагаемом ра+Ь—срс в соотношении Адема с учётом знака (—1)а+с имеет вид

( — 1)а+с+1 = ( —1)т+г+1

□

Для монома т = Р4Р■ -Р%п обозначим |т| = ^очевидно, что deg(m) = 2(р — 1)|т|.

Лемма 3. Рассмотрим Ра Е а4р, где р { а. Тогда

1) Ра можно представить в виде

Ра = ^ Мг,

г

где для любого Мг верно следующее: если в Мг входит сомножитель Р-7 и ^ не делится на р, то ] = р' + р'—1 +... + 1 для некоторого к;

2) если а > 1, и в обозначениях пункта 1) Р7 — крайний правый сомножитель в Мг, для которого р { ], то есть Мг = тР7т, где р | I для любого сомножителя Рг в т, тогда |т| > 0.

Доказательство. Будем вести доказательство по индукции. При а =1 искомое представление совпадает с Р1.

Пусть а > 1. Рассмотрим р-адическое представление а:

а = ^^ аг(а)рг,

г=о

где (а) = 0. В случае, когда аг(а) = 1 для всех г, искомое разложение найдено. Теперь пусть это не так, положим

{р' + р'—1 + ... + 1 при а > р' + р'—1 + ... + 1, р'—1 + р'—2 + ... + 1 если верно обратное.

Произведение Р^Р6 не является допустимым: в первом случае рЬ > а, откуда а — Ь < рЬ; во втором получаем, что а < р' + р'—1 + ... + 1 < рЬ + 1 или а < рЬ, но р { а и равенства быть не может, откуда а<рЬ и а — Ь< рЬ.

Рассмотрим соотношение Адема

[ а — Ь [ р

Р^Р6 = (—1)а—6со Ра + ^^¿Р^Р*. (*)

¿=1

Биномиальный коэффициент со имеет вид

/(р — 1)Ь — 1\ = /р — 1\ _ /р — 1\/ р — 2 \

V а — Ь у V * / V * / \ао (а — Ь)/ ,

Так как ао(Ь) = 1, а ао(а) > 1, получаем, что ао(а — Ь) < р — 1, откуда со = 0. Таким образом, исходный элемент Ра по указанному соотношению может быть представлен в виде суммы мономов. Остаётся применить предположение индукции к каждому Рг, где р { I, входящему в мономы соотношения (*).

Второе утверждение леммы будем доказывать также по индукции. При а = 2 достаточно воспользоваться соотношением Р2 = 1Р1Р1. Пусть а > 2. Предположим, что утверждение верно для всех Рс, где р { с и с < а. Тогда для левой части соотношения (*) утверждение верно, а к степеням, с индексами не делящимися на р, входящим в мономы из суммы правой части (*), применимо предположение индукции. □

Лемма 4. Пусть моном М содержит степень Ра, где р { а. Тогда он может быть представлен в виде:

М = ^ МаРСа ,

для некоторых са = р'а + р'0^1 + ... + 1.

Доказательство. По лемме 3(а) без ограничения общности можно считать, что М содержит в качестве множителей Ра, где а = р' + р'—1 + ... + 1 для

некоторого к. Более того предположим, что Ра — крайняя справа степень указанного вида, то есть моном М может быть представлен в виде М = Мт при т = РаР6т, где р { а и р | 6, и индекс каждой степени из т делится на р. Такой подмоном т будем называть минимальным правым подмономом монома М. Доказательство будем вести индукцией по | т| . При | т| = 1 получаем т = Р1, и утверждение леммы тривиально. Пусть утверждение верно для всех мономов М' таких, что |т'| < |т|, где т' — минимальный правый подмоном М'. Пусть произведение РаР6 является допустимым. Легко проверить, что произведение Рр6Ра-(р-1)6 недопустимо. Запишем соотношение

6—1

РР&Ра—(р—1)6 ^ —1)р6+гс Ра+6—¿Рг + ( —1)(Р+1)6^РаРб

¿=0

где коэффициент с6 равен

((р — 1)(а — (р — 1)6 — 6) — 1\ ((р — 1)(а — р6) — 1 \ р6 — р6 у \ 0

Заменим произведение РаР6 с помощью этого соотношения. Произведение Рр6Ра-(р-1)6, стоящее в мономе М = МРаР6т, даст слагаемое МРр6Ра-(р-1)6т, где индексы всех степеней из т делятся на р, и р { (а — (р — 1)6), так как р { а и р | 6, откуда его минимальный правый подмоном Ра-(р-1)6т. Ясно, что

(а — (р — 1)6) + |т| < а + 6 + |т| = |т|,

поэтому к МРр6Ра-(р-1)6т применимо предположение индукции.

Аналогичное рассуждение верно для всех слагаемых вида Ра+6-гР¿, где р { г, входящих в соотношение, где р { г.

Рассмотрим слагаемые Ра+6-гР¿, где р | г, им соответствуют мономы

МРа+6 «р«т. Так как р { а + Ь — г степени Ра+6 « применима лемма 3(а):

Р а+б_« = ^ м7 .

Произведение РаР6 — допустимо, то есть а > рЬ, по предположению

а + Ь = р1 + р1—1 + ... + 1

ни для какого /. То же верно для суммы а + Ь — г, так как г < Ь — 1. Далее а + Ь — г > а + 1 и по утверждению (Ь) леммы (3) каждый моном М- может быть записан в виде М- = т-Рр 3 +р 3 +...+1М-, для некоторого а- и подмоно-мов М- такого, что индекс каждой входящей в него степени делится на р, и т-такого, что 177?-1 > 0. Последнее означает, что для минимального правого под-монома монома Мт-Рр°3 +р°3 1+...+1М-т верно |Рр°3 +р°3 1+-+1 ММ-т| < |т|, и к указанным мономам также применимо предположение индукции.

В случае, когда произведение РаР6 не является допустимым, применим к нему соотношение Адема, далее рассуждение аналогично. □

Лемма 5.

ррп+...+ркра(рп+...+рк) ^ (а + 1)р(а+1)(рп+...+рк) + (ррп—1+...+рк—1+1)

В частности, в случае а = р — 1 получим

ррп+...+рк ра(рп+...+рк) ^ (ррп—1+...+рк—1+1)

Доказательство. Ключевым моментом доказательства является вычисление биномиального коэффициента В при первом слагаемом в соотношении Аде-ма:

ррп+...+ркра(рп+...+рк) = (_ 1)рп+...+ркв . р(а+1)(рп+...+рк) + (ррп—1+...+рк—1+1)

По лемме 1

/(р — 1)а(рп + ... + рк) — 1\ _ /арп+1 — арк — 1\ _ \ рп + ... + рк ) \ рп + ... + рк )

а — 1Д (р — 1Д /р — 1\ /р — 1 — а\/р — А /р — 1\ _

'Л 1 Д 1 Л 0 У л 0 ) =

4-V-'

к-й разряд

= (р — 1)п-к(р — 1 — а) = (—1)п-к+1(а + 1) р.

□

Доказательство основного утверждения

По лемме 8, размерность данной градуировки Ар совпадает с количеством У-мономов в ней. для данной градуировки её размерность совпадает с количеством У-мономов в ней. Покажем, что произвольный моном Р1 = Рг0Рг_ ■ ■ ■ Ргг может быть представлен в виде суммы У-мономов.

Доказательство будем вести индукцией по размерности. Предположим, что теорема верна для градуировок не выше г — 1. Докажем для г.

Пусть р | для каждого к. Применим к данному моному делящий гомо-

I 50 «г

морфизм, получим моном Рр = Р р Р р ■ ■ ■ Р р. По предположению индукции разложим получившийся моном по У-базису: Рр = ^ Р". Поднимем резуль-

г

тат обратно: домножим каждый из индексов набора которым задаётся моном Р", на р для всех г. Получившуюся в результате сумму (допустимых) мономов обозначим Р". Далее, найдём разложение Р1 и Р " по базису допустимых мономов (Р1 )^т. и (Р"Если разность получившихся разложений (Р1 )^т. — (Р"равна нулю — разложение найдено. В противном

случае данная разность — это совокупность мономов, в каждом из которых есть степень Понтрягина, индекс которой не делится на р. Таким образом остаётся рассмотреть случай, когда моном М имеет степень г и содержит Р-для ] не делящегося на р.

Пусть М моном указанного вида. По лемме (4) М может быть разложен в виде:

ппа +рПа— 1+ +1

М = ^ Ма РрП

К подмономам Ма применимо предположение индукции. По предположению индукции разложим подмоном Ма по У-базису:

Ма = ^ ^ ,

в

где Кав — мультииндекс. Рассмотрим произведение 2КавРрПа +рПа 1+...+1. Пусть последний У-элемент в мономе 2К задаётся индексами (п, к), то есть 2"Кав = 2«. При к > 0 или п > па, указанное произведение является У-мономом. В случае к = 0 и п < па применим к произведению 2ПРр"а +р"° 1+-+1 лемму (2), таким образом представим его в виде суммы мономов вида тРр'+р! 1+...+1, где I < па. Затем применим индукцию по I. Пусть к = 0 и п = па. Предположим, что элемент 2^ входит в моном 2Кав в степени с. Если с +1 < р, то моном 2^РрПа +рПа 1+...+1 является У-мономом. Если же с + 1 = р, то по лемме 5 рассуждение может быть сведено к совокупности мономов меньших в смысле правого лексикографического порядка.

3 О редукции элементов алгебры Ap относительно порядка <R

Основными результатами данной главы являются предложения 1 и 2, которые используются в доказательстве следующих утверждений.

Теорема 2. Множество всех Z-мономов образует аддитивный базис алгебры Ap.

Теорема 3. Множество всех X-мономов образует аддитивный базис алгебры Ap. Полные доказательства приведены в статье [Mon]. Предложение 1. Для любых n > k произведение

znPpn G Ap

может быть выражено в виде линейной комбинации слагаемых, меньших данного произведения в правом лексикографическом порядке.

Доказательство. Запишем соотношение (17):

Z«pp" = ppn+...+pk ppn + ^^ (ppn-1 )ppn

Произведение ppn+-+pfcppn не является допустимым, поэтому имеет место соотношение

ppn+...+pkppn _ (_i)pn+...+pk (— 1)рП — 1 j p2pn+pn-1+...+pk + a _ +... + P / '

где А — линейная комбинация элементов меньших или равных

'(р_1)р"_: - рп+...+рк

р2рп рк 1 рРп 4...+pk 1. Биномиальный коэффициент ^ равен

' —')■ .("¡ч с г)-

n-я цифра k-я цифра

- (—1)n—k(p - 2) - (—1)n—k+12 mod ". (10) Применим к недопустимому произведению Ppnppn+-+pk соотношение Аде-

ма:

ppnppn+...+pk _ (_1)Р^(" — 1)(рП + ... + Рк) — ^Л p2pn+pn-1+...+pk + в

" ( ) V "n У '

здесь B — линейная комбинация элементов, меньших или равных р 2pn+pn-1+...+pk —pn-1 рpn-1

Биномиальный коэффициент ((p—1)(p +n"+p ^ равен

(V)(" — ')■ ■(V)(" —1) '■('—1) - "— - —1 mod "■

n-я цифра k-я цифра

Учитывая, что оба элемента A и B имеют вид Lr(ZnPpn), получаем Zn PPn = ppn+...+Pk ppn+Lr (ppn-1 )ppn = 2P 2pn+pn-1+...+pk +a+Lr (ppn-1 )ppn =

^n ^^n , „n-1 , i ^k _ ^ , ^ / --jpn— 1\ ^„n

= 2Ppn ppn+pn-1+...+pk — 2B + A + LR (Pp )PP' = 2Ppn Zkn + 2Ppn LR(Ppn-1) — 2B + A + LR(Ppn-1 )Ppn = Lr (ZknPpn).

□

Предложение 2. Для любых п ^ к произведение Рр" 2П+1 может быть представлено в виде линейной комбинации мономов,

меньших данного произведения в правом лексикографическом порядке.

Доказательство. По лемме 6 имеет место равенство

РРп = РРп ^П"РРП+_ = РРП РРП+...РЙ ррп+_ + ррп (ррп-_ )ррп+_ (11) Применим соотношение Адема к произведению РрП ррП+...рй:

ррпррп+...+рй ■ (—1)р^(р — 1)(рП + ... + рк) — ^р2рп+рп-_...+рй + а (12)

где А — сумма мономов, меньших или равных р2рп+-+рА:-рп _ррп _ в правом лексикографическом порядке. При к < п коэффициент при первом слагаемом равен

(-1„ С"-+;■+-1) ■-егх;)- (;) ■ 1 - р

п-я цифра

и в случае к = п:

<-«' ("'- ;г-1) ■-^о-- о ■ 2 - р

п-я цифра

Откуда получаем соотношение

ррпррп+...+/ ■ ар2рп+...+рй + а, (13)

где а =1, при к < п, и а = 2, при к = п. Подставляя левую часть в соотношение (11), получаем

ррп^п+1 ■ аР2рп+...+рйррп+_ + а ■ ррп+_ + ррп(ррп-_)ррп+_ (14)

Произведение р2рП+...+р ррП не является допустимым, тем самым:

р2рп+...+ркрр"+1 _ (_1)2рп+...+р^(р _ 1)рП+1 _ А рр"+1+2р"+...+рк + в

_ V 2рп + ... + р' / ,

где В — линейная комбинация мономов, меньших или равных ррп+1+2рп+...+рк_(2рП 1+...+рк 1)р2рП 1+...+рк 1 в смысле правого лексикографического порядка. Вычислим биномиальный коэффициент:

( —1)2pn+...+P' = ( —1)

..W(" — 1)"n+1 — Л = 2"n + ... + "k /

-ч"""—1 ■■■"V)"—У"—1

n-я цифра k-я цифра

^ (" — 1>(" — 2) ^ "(" — 3)+2 ^ ! mod ".

2 2 F

Тем самым,

p 2pn+...+pk ppn+1 — ppn+1+2pn+...+pk + B (15)

Теперь рассмотрим произведение Ppn+1 P2pn+...+pk, которое тоже не является допустимым:

ppn+1 p2pn+...+pk — ( — 1)pn+1 (" — 1)(2"П + ... + "k) — ^ ppn+1+2pn+...+pk + с

"

где С — линейная комбинация мономов, меньших или равных РрП+1 +рП+...+ркррП в смысле правого лексикографического порядка. Вычислим биномиальный

коэффициент

( -Прп+_ ((р — 1)(2рп + рп-1 + ... + рк) — 1) _ ( —1) ^ рП+1 ) ■

(рп+1 + (р — 2)рп + (р — 1)(рп-1 + ... + рк) — 1\

рп+(1 ) ( ) ( ) ■

(О (¡) ' (0) mod р.

(п+1)-я цифра

Откуда получим

ррп+_ р 2рп+...+рй = — ррп+_+2рп+рп-_...+рй + с (16)

Учитывая соотношения (14), (15), (16) можем заключить, что

ррп^П+1 ■ ар2рп+...+рйррп+_ + а ■ рр + ррпЬд(рРп _)РР

а(ррп+_+2рп+...+рй + в) + А ■ ррп+_ + ррпЬд(рРп _)ррп+_

а(—ррп+_р2рп+...+рй + с + в) + А ■ ррп+_ + ррпЬд(ррп _)ррп+_

Теперь остаётся заметить, что все слагаемые в правой части строго меньше, чем РРп ^п+1. □

4 Треугольные базисы в алгебре А

Контрпримеры

Для произвольного простого р несложно видеть, что подпространство элементов градуировки 2(р — 1)(р + 2) в Ар — двумерно, и в этой размерности Z-базис содержит два элемента 21° и ^^о^. Простое вычисление показывает, что

= Р (1,1) + 2Р (р + 2)

^(^О = 2Р (1,1) + 2Р (р + 2).

Отсюда следует, что при любом выборе линейных порядков на Z-мономах и на базисе Милнора матрица перехода не будет треугольной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Емельянов, Данила Юрьевич, 2017 год

Список литературы

[1] D. Arnon, "Monomial bases in the Steenrod algebr", J. Pure Appl. Algebra, 96 (1994), 215-223.

[2] Н. Стинрод, Д. Эпстейн, "Когомологические операции", М.: Наука, 1983.

[3] J. Milnor, "The Steenrod algebra and its dual", Annals of Mathematics, (1958), 150-171.

[4] C. T. C. Wall, "Generators and relations for the Steenrod algebra", Ann. of Math., 72:2 (1960), 429-444.

[5] D. Kraines, "On excess in the Milnor basis", Bull. London Math. Soc., 3 (1971), 363-365.

[6] K. G. Monks, "Change of basis, monomial relations, and P^ bases for the Steenrod algebra", Journal of Pure and Applied Algebra, 125:1 (1998), 235-260.

[7] J. Adem, The iteration of Steenrod squares in algebraic topology, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952) 720-726.512

[8] J. Adem, The relations in Steenrod powers of cohomology classes, Algebraic geometry and topology, Symposium in honour of S. Lefschetz (Princeton University Press, 1957).

[9] W-T. Wu, Classes caracteristiques et carres de Steenrod, C. R. Acad. Sci. Paris 230 (1950) 508-511.

[10] W-T. Wu, Sur les puissances de Steenrod, Colloq. Toplogie Strasbourg (Publ. Math. Inst. Univ.)

[11] J.-P. Serre, Cohomologie modulo 2 des complexes d'Eilenberg-MacLane, Comment. Math. Helv. 27 (1953) 198-231

[12] Н. Cartan, Algebres d'Eilenberg — Maclane et homotopie, Seminaire H. Cartan r . ENS, 7e annee, 1954/55 (русский перевод: А. Картан, Алгебры когомологий пространств Эйленберга — Маклейна; сб. перев. «Математика» 3:5 (1959); 3:6 (1959)).

[13] М. М. Постников, "К теореме Картана", УМН, 21:4(130) (1966), 35-46

[14] H. Cartan, Une theorie axiomatique des carres de Steenrod, C. R. Acad. Sci. Paris 230 (1950) 425-427.

[15] R. M. W. Wood, 'A note on bases and relations in the Steenrod algebra', Bull. London Math. Soc. 27 (1995) 380-386

[16] Bockstein, M. A complete system of fields of coefficients for the V-homological dimension. C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.) 38, (1943). 187-189.

[17] Понтрягин Л. С, Отображение трехмерной сферы в и-мерный комплекс, Доклады Ак. Наук СССР, XXXIV, No 2 (1942), 39-41.

[18] Steenrod N. Е., Products of cocycles and extensions of mappings, Ann. of Math., 48 (1947), 290-320.

[19] H. Margolis, Spectra and the Steenrod algebra, North-Holland Math. Library 29 (Elsevier, Amsterdam, 1983)

[20] McCleary, J., User's Guide to Spectral Sequences, Publish or Perish, Wilmington, 1985