Новые возможности метода плоского одностороннего зонда для определения анизотропных функций распределения заряженных частиц в плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Страхова Анастасия Андреевна

• Страхова Анастасия Андреевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Страхова Анастасия Андреевна

Введение

Глава 1. Обзор литературы по теме диссертации

Введение

1.1 Краткий обзор работ по методам определения изотропных ФРЭ в газоразрядной плазме

1.2 Обзор работ по зондовым методам определения анизотропных ФРЭ и ФРИ

Выводы к Главе

Глава 2. Развитие метода плоского одностороннего зонда для определения ФРИ в виде ряда по полиномам Лежандра

Введение

2.1 Исследование влияния изменения собирающей поверхности плоского одностороннего зонда при увеличении его потенциала на результаты измерений ФРИ

2.1.1 Получение соотношений для толщины возмущенного слоя

2.1.2 Оценка влияния изменения собирающей поверхности зонда на вторую производную зондового тока при положительных потенциалах зонда в рассматриваемых условиях

2.1.3 Обсуждение полученных результатов

2.2 Исследование специфических систематических ошибок метода плоского одностороннего зонда при измерении анизотропных ФР

2.2.1 Зависимость необходимого количества ориентаций зонда от параметров плазмы для измерения ФРИ

2.2.2 Применение теории сплайнов для уменьшения числа ориентаций зонда при сохранении точности определения ФР. Газоразрядная плазма с зеркальной симметрией

2.2.3 Обсуждение полученных результатов

Выводы к Главе

Глава 3. Исследование возможностей измерения ФР заряженных частиц в виде пучка с узким распределением по энергии и произвольным угловым распределением

Введение

3.1 Экспериментальное определение углового распределения ФР заряженных частиц для моноэнергетического пучка

3.1.1 Получение основных соотношений для коэффициентов Лежандра

3.1.2 Прямое измерение ФР без разложения в ряд по полиномам Лежандра с учетом аппаратной функции зондового метода

3.1.3 Обсуждение полученных результатов

3.2 Анализ возможности экспериментального определения ФР без представления в виде ряда по полиномам Лежандра при произвольной степени анизотропии для немоноэнергетических пучков

3.2.1 Получение основных соотношений

3.2.2 Обсуждение полученных результатов

Выводы к Главе

Глава 4. Исследование ФРЭ в НИР в пролетном режиме

Введение

4.1 Аналитическая теория для расчета ФРЭ в пролетном режиме

4.1.1 Физическая модель формирования ФРЭ в условиях НИР

4.1.2 Решение уравнения Больцмана для условий пролетного режима и сравнение результатов аналитической теории с расчетами методом Монте-Карло

4.1.3 Восстановление ФРЭ в условиях НПР без применения разложения в ряд по полиномам Лежандра

4.2 Способ оценки индикатрисы упругого рассеяния электрона на атоме из данных о ФРЭ в пролетном режиме НИР

4.3 Обсуждение полученных результатов

Выводы к Главе

Заключение

Список литературы

Приложение

Приложение

Приложение

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые возможности метода плоского одностороннего зонда для определения анизотропных функций распределения заряженных частиц в плазме»

Актуальность работы

Зондовый метод диагностики плазмы является одним из основных инструментов исследования низкотемпературной плазмы. Большинство сведений об ее электронной компоненте к настоящему времени получено именно зондовым методом. Несмотря на то, что со времени пионерских работ Лэнгмюра прошло более 90 лет, многие аспекты этого способа исследования плазмы требуют дальнейшего развития.

До восьмидесятых годов прошлого столетия зондовые методы использовались, в основном, для определения изотропных функций распределения электронов (ФРЭ). Затем был разработан и зондовый метод определения анизотропных ФРЭ и впоследствии - аналогичный метод для функций распределения ионов (ФРИ) с помощью плоского одностороннего зонда. Практическая реализация данных методов связана с измерениями второй производной тока зонда при различных его ориентациях относительно вектора электрического поля (число ориентаций зонда определяет угловое разрешение измерительного оборудования). Это позволило экспериментально исследовать большой класс газовых разрядов (например, так называемых, низковольтных пучковых), которые широко применяются в различных областях науки и техники.

Вместе с тем, современные зондовые методы исследования анизотропных ФРЭ и ФРИ, которые и определяют большинство физических свойств газового разряда, обладают рядом принципиальных недостатков. Основным из них является, на наш взгляд, то, что заранее не ясно при скольких ориентациях зонда необходимо проводить измерения для определения реальной угловой зависимости функции распределения в плазме. Как будет видно из дальнейшего, уменьшение числа ориентаций зонда приводит к существенным систематическим ошибкам, а чрезмерное увеличение - к техническому усложнению оборудования, а иногда и к невозможности реализации таких требований к угловому разрешению.

Одним из специфических недостатков метода плоского одностороннего зонда для определения ФРИ является то, что, несмотря на первые попытки его применения, в литературе отсутствует физическое обоснование корректности предлагаемой процедуры измерения ФРИ.

Наконец, функция распределения (ФР) заряженных частиц в некоторых перспективных для создания приборов плазменной электроники типах разрядов (например, низковольтный пучковый разряд (НИР) в легких инертных газах) обладает столь высокой анизотропией, что существующие зондовые методы непригодны для ее исследования.

Так как измерение анизотропных ФРЭ и ФРИ - основная задача при исследованиях любого плазменного объекта, то можно утверждать, что преодоление вышеперечисленных недостатков является актуальной проблемой.

Цель настоящей работы - развитие метода плоского одностороннего зонда для измерения анизотропных ФРЭ и ФРИ, уменьшение систематических ошибок и расширение класса плазменных объектов, где этот метод можно корректно применять. Для достижения цели необходимо решить ряд задач:

1) разработать физическое обоснование возможности использования отталкивательной для ионов части зондовой характеристики для определения ФРИ и нахождения условий в плазме, при которых это использование корректно;

2) найти алгоритм оценки необходимого числа ориентаций плоского одностороннего зонда, в зависимости от условий в плазме, для адекватного описания реальной ФРИ;

3) разработать методику обработки экспериментальных данных с целью уменьшения систематических ошибок метода плоского одностороннего зонда при определении анизотропных ФР заряженных частиц в плазме;

4) разработать методические основы зондовых измерений ФР заряженных частиц в сильно анизотропной плазме НИР с узким распределением частиц по энергии;

5) разработать теорию для расчета ФРЭ в пролетном режиме НИР в области энергии начального пучка и провести ее экспериментальную проверку в плазме гелия для подтверждения результатов по п. 4).

Научная новизна состоит в том, что:

• впервые обоснован зондовый метод определения анизотропных ФРИ и найдена область его применимости;

• разработаны алгоритмы уменьшения систематических ошибок существующих методов измерения анизотропных ФР заряженных частиц;

• разработан и экспериментально апробирован зондовый метод определения ФР заряженных частиц в пучковых разрядах с произвольной анизотропией и узким распределением по энергиям;

• разработана аналитическая теория для расчета ФРЭ в пролетном режиме низковольтного пучкового разряда в области энергии начального пучка;

• предложен способ оценки индикатрисы упругого рассеяния электрона на атоме из измерений ФРЭ в низковольтном пучковом разряде. Способ экспериментально апробирован на примере низковольтного пучкового разряда в гелии. Практическая значимость результатов исследования

Разработанные методы расчета и экспериментальные методики измерений открывают новые возможности исследования плазмы газового разряда в условиях сильной анизотропии

ФР, ранее недоступной для экспериментального изучения зондовыми методами. Это, в свою очередь, позволяет:

• создавать новые приборы плазменной энергетики, исследовать их электрокинетические

характеристики;

• совершенствовать методы диагностики анизотропной плазмы, повышать их точность и

надежность.

Выполненные исследования и созданные методы диагностики анизотропной плазмы вносят вклад не только в разработку новых приборов и методов экспериментальной физики, но и в развитие новых направлений в плазменной электронике и физике плазмы.

Личный вклад автора

Все основные результаты диссертации получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, Списка литературы и Приложений. Полный объём диссертации составляет 127 страниц с 63 рисунками. Список литературы содержит 104 наименования.

В первой главе представлен краткий обзор работ по теме диссертации. Наиболее подробно рассмотрен способ определения анизотропных ФРЭ и ФРИ с помощью плоского одностороннего зонда. Сформулированы основные недостатки метода и проблемы, требующие решения.

Во второй главе приводится обоснование зондового метода измерения анизотропных ФРИ. Найдены условия применимости данного метода в зависимости от параметров плазмы, размеров и потенциала зонда. Здесь же получены оценки систематических ошибок метода измерения анизотропных ФР заряженных частиц, вызванных различными причинами и предложены алгоритмы их уменьшения.

Третья глава посвящена разработке новой разновидности метода измерения сильно анизотропных ФР в пучковых разрядах, когда разброс частиц по энергии сосредоточен в узком по сравнению с самой энергией диапазоне.

В четвертой главе на примере низковольтного пучкового разряда в гелии проверена разработанная в Гл. 3 методика измерения ФР в пучковых разрядах. Разработана аналитическая теория для расчета ФРЭ в пролетном режиме низковольтного пучкового разряда в области энергии начального пучка. Здесь же разработана методика определения индикатрисы упругого рассеяния электрона на атоме из зондовых измерений. Методика успешно апробирована на примере рассеяния электрона на атоме гелия.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Обоснование применимости метода плоского одностороннего зонда для определения анизотропных ФРИ.

2. Методы уменьшения систематических ошибок при зондовых измерениях анизотропных ФР заряженных частиц.

3. Зондовый метод определения сильно анизотропных ФР заряженных частиц в пучковых разрядах с узким распределением частиц по энергиям.

4. Метод определения индикатрисы упругого рассеяния электрона на атоме из результатов измерения рассеянной части ФРЭ в низковольтном пучковом разряде и результаты его апробации в плазме гелиевого НПР.

Основные результаты работы были доложены и опубликованы в трудах международных конференций:

1. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. Cylindrical probe in nonequilibrium plasma - new possibilities. // Contr. paper of 55th Meeting of the APS Division of Plasma Physics. 2013. Vol. 58. Р 39. Denver, CO, USA.

2. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Kaganovich I., Demidov V., Strahova A.A. Distant diagnostics of nonequilibrium plasmas. // Contr. paper of 41st IEEE International Conference on Plasma Science (ICOPS-2014). 2014. Vol. 1P-64. Р 43. Washington, DC. USA.

3. Мустафаев А.С., Грабовский А.Ю., Страхова А.А. Метод цилиндрического зонда -новые возможности привычного инструмента. // Труды XLI Международной конференции по физике плазмы и УТС. 2014. Т.1. С.162. Звенигород, Россия.

4. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. 3D Diagnostics of nonequilibrium plasmas. // Contr. paper of 41th European Physics Society Conference on Plasma Physics. 2014. Vol. 39E. Р 5.168. Berlin, Germany.

5. Мустафаев А.С., Грабовский А.Ю., Страхова А.А., Булахова К.Я. К вопросу о точности диагностики неравновесной плазмы цилиндрическими зондами. // Труды 51 Международной научной конференции. 2014. С.8. Новосибирск, Россия.

6. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. 3D Diagnostics of plasma interactions with surface. // Contr. paper of 56th Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics. 2014. Vol. 59. Р 8.57. New Orleans, Louisiana, USA.

7. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. Diagnostics of nonlocal plasmas: advanced techniques. // Contr. paper of 67th Annual Gaseous Elect ronics Conference. 2014. Vol. 59. Р 1.26. Raleigh, North Carolina, USA.

8. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strakhova A.A. 3D probe diagnostics of plasmas. // Contr. paper of 42nd European Physical Society Conference on Plasma. 2015. Vol. 39E. Р 5.168. Lisboan, Portugal.

9. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Soukhomlinov V. S., Strahova A.A. 3D Diagnostics of Plasma - Surface Interactions. // Contr. paper of 57th Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics. 2015. Vol. 59. Р 5.168. Savannah, Georgia USA.

10. Мустафаев А.С., Грабовский А.Ю., Аинов М.А., Страхова А.А. 3D диагностика анизотропных функций распределения электронов и ионов в плазме. Труды XLII Международной конференции по физике плазмы и УТС. 2015. T.1. С.256. Звенигород, Россия.

11. Мустафаев А.С., Страхова А.А., Грабовский А. Новые методы контактной и дистанционной диагностики неравновесной плазмы. // Труды Международной конференции - конкурс молодых физиков. Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН. Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана. 2015. Т.21. С.37. Москва, Россия.

12. Страхова А.А., Мустафаев А.С., Грабовский А.Ю. Функция распределения электронов в плазме с произвольной степенью симметрии. // Труды Международной конференции -конкурс молодых физиков. Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН. Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана. 2016. Т.22. С.22. Москва, Россия.

13. Грабовский А.Ю., Страхова А.А. Flat probe method for anisotropic assymetrical plasma. // Труды 54 Международной научной конференции. 2016. Т. Физика сплошных сред. С.5. Новосибирск, Россия.

14. Mustafaev A.S., Soukhomlinov V. S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. How to apply flat probe in asymmetrical plasma? // Contr. paper of 43 rd IEEE International Conference on Plasma Science (ICOPS-2016). Banff, Alberta, Canada.

15. Soukhomlinov V., Mustafaev A., Strahova A., Kaganovich I. Improvement in the flat probe diagnostics for arbitrary degree of anisotropy // Contr. paper of 44th IEEE International Conference on Plasma Science ( ICOPS -2017). Atlantic City, NJ,USA.

16. Soukhomlinov V., Mustafaev A., Strahova A., Filiasova Yu. Accuracy enhancement in probe registration of anisotropic charged particles distribution functions in plasma: analysis of systematic errors // Contr. paper of 44th IEEE International Conference on Plasma Science ( ICOPS -2017). Atlantic City, NJ,USA.

17. Страхова А.А., Мурильо О. Новые возможности зондовой регистрации анизотропных функций распределения электронов и ионов по скоростям в плазме. // Труды 55 Международной научной конференции. 2017. Т. Физика сплошных сред. Новосибирск, Россия.

18. Страхова А.А., Мурильо О., Петров П.А. Метод регистрации индикатрисы упругого рассеяния электронного пучка на атомах в плазме. // Труды 55 Международной научной конференции. 2017. Т. Физика сплошных сред. Новосибирск, Россия.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. Cylindrical probe in nonequilibrium plasma - new possibilities. // Bulletin of the American Physical Society. 2013. Vol.58, №16. P.354.

2. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. Diagnostics of nonlocal plasmas: advanced techniques. // Bulletin of the American Physical Society. 2014. Vol.59, №15. GT1.00026.

3. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. 3D Diagnostics of Plasma Interactions with Surface. // Bulletin of the American Physical Society. 2014. Vol.59, №14. YP8.00057.

4. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Kaganovich I., Demidov V., Strakhova A.A. Distant diagnostics of nonequilibrium plasmas.// Washington, DC. USA. Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc. 2015. Vol. 41. P. 7012293.

5. Mustafaev A.S., Grabovskiy A.Y., Strahova A.A. 3D probe diagnostics of plasmas. // Lisboan, Portugal. Euro physics conference abstracts. (EPS-2015). ISBN 2-914771-98-3. Vol. 39E. Р5.177. http://ocs.ciemat.es/EPS2015PAP/html/author.html.

6. Мустафаев А.С., Грабовский А.Ю., Страхова А.А. Новые методы контактной и дистанционной диагностики неравновесной плазмы. // Физическое образование в вузах. 2015. Т. 21. № 1. С. 37.

7. Мустафаев А.С., Грабовский А.Ю., Страхова А.А. Функция распределения электронов в плазме с произвольной степенью симметрии. // Физическое образование в вузах. 2016. Т. 22. № 1. С. 22.

8. Мустафаев А.С., Страхова А.А. 3D диагностика функции распределения электронов в плазме // Записки Горного института. 2017. Т.224.

9. Мустафаев А.С., Грабовский А.Ю., Страхова А.А., Аинов М.А. Способ стабилизации высоковольтного напряжения на базе разряда с сужением плазменного канала. Патент RU № 2584691. C1. Бюллетень изобретений №14. 2016.

Глава 1. Обзор литературы по теме диссертации

Введение

В данной главе рассмотрены имеющиеся к настоящему времени теоретические и экспериментальные результаты по тематике диссертации. Поскольку зондовым методам посвящено огромное количество работ, включая десятки обзоров и монографий (см. ниже), то сначала приведем краткий обзор по зондовому методу измерения изотропных ФРЭ и далее сосредоточим основное внимание на зондовом способе определения анизотропных ФРЭ. Главным образом, будем обсуждать использование метода плоского одностороннего зонда, который, как следует из ниже сказанного, имеет неоспоримые преимущества перед методом цилиндрического зонда. Затем кратко рассмотрим применение данной методики для определения анизотропной функции распределения ионов (ФРИ). После этого сформулируем основные выводы, которые следуют из проделанного анализа существующих работ по зондовым методам измерения анизотропных ФРЭ и ФРИ.

1.1 Краткий обзор работ по методам определения изотропных ФРЭ в газоразрядной

плазме

Одним из основных методов контактной диагностики газоразрядной плазмы является зондовый метод. Считается, что он был предложен в 1923 г. в работах Лэнгмюра с сотрудниками [1 - 4] и в дальнейшем развивался ими в более поздних работах [5 - 8] вплоть до 1932 г. Как отмечал сам Лэнгмюр [6], идея использовать зонд для исследования плазмы принадлежала не ему. По-видимому, впервые это предложил сделать Stark в работе [9] для измерения пространственного распределения потенциала в дуговом разряде. Однако эта попытка была неудачной, поскольку автор, используя зонд при плавающем потенциале, не учел влияния столкновений ионов вблизи зонда и пренебрег влиянием пространственного заряда в возмущенном зондом слое плазмы [3]. Кроме Лэнгмюра, практически одновременно этот метод начали использовать и другие авторы [10]. В модификации, предложенной Лэнгмюром [1 - 8], метод был применим, строго говоря, для сильно разреженной плазмы, когда размер возмущенной зондом области в плазме меньше длины свободного пробега электронов и ионов. Метод использовался, в основном, для нахождения распределения потенциала в плазме,

измерения величины электрического поля, концентрации заряженных частиц и оценки средней энергии электронов.

В 1930 г. [11] Дрювистейн предложил использовать зонды для определения ФРЭ в газоразрядной плазме в условиях, когда анизотропией этой функции можно пренебречь.

Важным этапом развития зондового метода явилась работа Бома [12], где он предложил уточнение формулы Лэнгмюра для плотности ионного тока на зонд при его потенциале ниже плазменного. Это позволило существенно понизить систематическую ошибку зондовых измерений концентрации заряженных частиц в плазме.

Для диагностики плазмы в случаях, когда в ней отсутствует опорный электрод с постоянным потенциалом (например, в распадающейся плазме, плазме высокочастотного разряда и т.п.) была предложена методика двойного зонда [13, 14], которая широко применяется для определения температуры электронов.

С 30-тых по 80-ые годы прошлого века предложенный Дрювистейном метод определения изотропных ФРЭ был обобщен и дополнен [15 - 22]. В [23] впервые была рассмотрена диффузионная теория. Авторы вычислили зондовый ток с учетом ионизации. При этом они считали, что в квазинейтральной плазме имеет место диффузионное движение частиц, а в призондовом слое столкновения отсутствуют. Далее была построена теория, связывающая зондовый ток (его первую и вторую производные) с изотропной частью ФРЭ при повышенных давлениях, когда не выполняется предположение о малости зоны возмущения зондом плазмы по сравнению с длинами пробега электрона и иона [24 - 26]. Была рассмотрена сильно ионизованная дуговая плазма для давлений вплоть до атмосферных [27, 28]. Особенности применения электрических зондов для диагностики газоразрядной плазмы в присутствии магнитного поля были рассмотрены авторами работ [29 - 32]. Влияние на результаты зондовых измерений при наличии массовой скорости в плазме, актуальные в связи с исследованиями космической плазмы на околоземных орбитах, впервые исследовалось в работах [33-35]. Особенности использования зондов в газоразрядной плазме при наличии отрицательных ионов рассматривались автором [36], а при наличии нескольких сортов положительных ионов -авторами [15, 37]. Большое внимание исследователей было уделено вопросам уменьшения случайных ошибок и погрешностей метода. Учтены особенности получения информации о первой и второй производных зондового тока по потенциалу [38, 39], аппаратные функции различных модификаций зондового метода [40], систематические ошибки, связанные с возможными загрязнениями поверхности зонда, с отражением электронов, вторичной электронной эмиссией и т.п. [40, 41].

Как известно, наряду с зондами сферической и цилиндрической форм часто применяется и плоский зонд. Важной с нашей точки зрения проблеме постоянства собирающей поверхности такого зонда при измерениях концентрации ионов (то есть, при отрицательных потенциалах зонда порядка нескольких средних энергий электронов) посвящены работы [42 - 44]. Показано, что при увеличении модуля отрицательного потенциала за счет краевых эффектов собирающая поверхность плоского зонда существенно увеличивается. Неучет этого эффекта может приводить к погрешностям определения концентрации ионов до двух раз.

Таким образом, можно констатировать, что зондовый метод определения изотропной ФРЭ и таких характеристик плазмы, как концентрация заряженных частиц, средняя энергия электронов и т.п. в настоящее время достаточно хорошо развит и проверен экспериментально для широкого диапазона параметров плазмы и в различных типах газового разряда.

1.2 Обзор работ по зондовым методам определения анизотропных ФРЭ и ФРИ

Во всех процитированных выше работах предметом исследований служил зондовый метод измерения изотропных ФРЭ в газоразрядной плазме. Это является принципиальной особенностью модификации зондового метода, предложенной Дрювистейном. В то же время известно, что зачастую в разрядах различного типа ФРЭ может иметь заметную анизотропию. Примером могут служить низковольтные пучковые разряды [45 - 48]. Кроме того, при наличии поглощающих поверхностей или анизотропных источников электронов на расстоянии порядка длины пробега электрона относительно упругих столкновений от них и менее, ФРЭ также анизотропна.

К одним из первых попыток экспериментального определения анизотропной ФРЭ в газоразрядной плазме можно отнести работы [49, 50], хотя в них не использовалась техника электрических зондов, а применялся анализатор, действующий по принципу тормозящего поля. В результате авторам не удалось определить угловую зависимость ФРЭ, а лишь зависимость от энергии некоторого ее функционала. До этого, в основном, анизотропные ФРЭ вычислялись теоретически (см., например, [51]).

В [52 - 54] был предложен, а в [55 - 67] развит и апробирован метод определения анизотропных ФРЭ с произвольной степенью анизотропии с использованием плоского и цилиндрического зондов. Суть метода заключалась в использовании известной связи ФРЭ со второй производной зондового тока по потенциалу /" на плоский односторонний (или

цилиндрический) зонд [51]. Проводя измерения зависимости /" при различных его ориентациях относительно электрического поля в плазме, можно было найти ФРЭ в виде конечного ряда по полиномам Лежандра. При этом использование цилиндрического зонда позволяет определять лишь четные, а плоского одностороннего - любые коэффициенты такого ряда, которые зависели от потенциала зонда, а аргумент полиномов Лежандра - от угла между скоростью электрона и вектором электрического поля в плазме. Было показано что, с точки зрения объема информации об анизотропной ФРЭ, плоский зонд предпочтительней цилиндрического. Как следует из вышесказанного, коэффициенты разложения ФРЭ в ряд по полиномам Лежандра являются ее угловыми моментами и, следовательно, определяют такие важные физические характеристики, как концентрацию электронов, их дрейфовую скорость, электронный ток, тензор плотности потока импульса электронов, константы скоростей ионизации, возбуждения и компоненты интеграла электронных столкновений.

Рассмотрим несколько подробнее результаты, полученные в работах [52 - 69]. Автор [52] впервые выдвинул основную идею метода (см. выше) для цилиндрического, плоского одностороннего и двухстороннего зондов. В [53] эти идеи были реализованы экспериментально для цилиндрического зонда в прикатодной области дугового разряда в гелии. В результате были найдены два коэффициента, соответствующие полиномам Лежандра нулевой и второй степени. Авторы [54] развили результаты работы [53] и, используя кинетическое уравнение Больцмана, нашли коэффициент в разложении ФРЭ при полиноме Лежандра первой степени. В работе [55] для нахождения первых трех коэффициентов в разложении ФРЭ по полиномам Лежандра использовался плоский односторонний зонд. Из этих данных авторы, используя кинетическое уравнение Больцмана, нашли интеграл столкновений для электронов. Метод определения ФРЭ с использованием плоского одностороннего зонда получил дальнейшее экспериментальное развитие в работах авторов [56 - 58]. В статье [59] впервые было получено выражение для резольвенты интегрального уравнения Вольтерра, которое связывало коэффициенты ряда Лежандра для второй производной зондового тока и ФРЭ. Авторы [60] обсудили систематические ошибки, возникающие при реализации метода плоского одностороннего зонда, предложенного в [52]. Б. К1১е и А. Ьипк [61] сравнили результаты, полученные обсуждаемым методом при трех и пяти ориентациях зонда, при этом для обоих случаев получили систему необходимых уравнений и их решения в явном виде. Б. К1১е [62] использовал три ориентации плоского одностороннего зонда при исследовании анизотропии ФРЭ в ВЧ - разряде на частоте 27 МГц. В [63] автор предпринял попытку решения аналогичной [62] задачи, но с использованием первой производной зондового тока по потенциалу зонда. Работа [64] посвящена дальнейшему развитию и экспериментальной проверке полученных в

[63] результатов. М.А. Мальков в [65] при нарушении предположения о тонком призондовом слое рассмотрел случай применения цилиндрического зонда для определения анизотропных ФРЭ и получил в явном виде аналитические результаты для нулевого и второго коэффициентов при полиномах Лежандра. Работа [66] посвящена проверке полученных в [63] результатов путем точного численного решения задачи. В статье [67] плоский односторонний зонд использовался для исследования анизотропных ФРЭ в низковольтном пучковом разряде в бесстолкновительном режиме, а в [68] - и в переходном и столкновительном режимах. При этом выяснилось, что ФРЭ в бесстолкновительном и переходном режиме низковольтного пучкового разряда в области первоначальной энергии пучка электронов обладает столь высокой анизотропией, что для ее описания требуется такое большое количество членов ряда по полиномам Лежандра, что его трудно реализовать в эксперименте. Таким образом, существующие модификации метода плоского одностороннего зонда не позволяют измерять сильно анизотропные ФРЭ с резкой угловой зависимостью.

Авторы [69] теоретически рассмотрели случаи, как наличия осевой симметрии в плазме, так и наиболее общий случай отсутствия любого типа симметрии. В этом случае автор [70] предложил разлагать анизотропную ФРЭ и вторую производную зондового тока в ряд по шаровым функциям. Были получены аналитические результаты, связывающие между собой коэффициенты разложения ФРЭ и экспериментально измеренные вторые производные зондового тока для плоского (одностороннего и двустороннего) и цилиндрического зондов. Кроме того, аналогичные результаты были получены автором для варианта зондового метода с использованием экспериментально измеренной первой производной зондового тока. Оказалось, что для случая отсутствия симметрии для определения коэффициентов ряда необходимо провести измерения зависимости второй производной (или, в другой модификации, первой производной) от потенциала зонда при его ориентациях. Это сильно ограничивает возможности обсуждаемого метода, поскольку требует слишком высокого углового разрешения при зондовых измерениях по определению ФРЭ, для адекватного описания которых необходимо определять порядка десяти коэффициентов ряда по полиномам Лежандра.

Методика измерения анизотропных функций распределения ионов методом плоского одностороннего зонда была предложена в [71]. Исследования выполнены в условиях сильных электрических полей в плазме собственного газа для Н д+ в парах Нд. Затем в работе [72] - при умеренных полях для Не+в Не и Аг+в Аг. В работах [71] и [73] была разработана теория расчета ФРИ в сильных и произвольных полях, соответственно. Сравнение экспериментальных данных с расчетными показало их хорошее соответствие. Аналогичное сравнение эксперимента [72], но с расчетами методом Монте-Карло, проведено в [74]. При определении зондовым

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Страхова Анастасия Андреевна, 2017 год

- - - 2

.......3

—!-.-1-.-1-.-1-.-1-.-1-.-1-.-1-.-1-.-1-.-1

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

К

Рис. 2.13. Зависимость толщины слоя хв а от параметра к; 1 - ?70 = 0 .0 5 ; 2 - ?7 0 = 0 . 1 ; 3 - ?7 0 = 0 .2 .

0

На рис. 2.14 приведены результаты расчета функции /V (?7 0 , хс) в приближении сильной анизотропии ФРИ для максвелловской ФРЭ (случай дрювистейновской ФРЭ отличается незначительно) при параметрах плазмы, соответствующих условиям работ [71] и [72], где зондовым методом определялась ФРИ для ионов Яд"1" в Яд и Я е+ в Я е, А г + в А г, соответственно.

Ло

Рис. 2.14. Зависимость поправки к зондовым измерениям в условиях работ [71] (Яд) и [72] (Яе, Д г) ;

параметры, при которых рассчитывалась функция /У (7 0) : 5 = 1 ; Яд - к = 5,— = 0.0 66, 7 0 < 0 .2 ;

Яе- к = 1 6,^= 0. 0 62 ,7 0 < 0. 2 ;Дг- к = 2 1 . 4,^ = 0. 0 3 8,77 0 < 0. 1 6; 1 - Яе; 2 - Дг; 3 - Яд

«о Ко

Расчеты проводились при следующих условиях:

• Яд - кГе = 4 э В, Еь = 1 э В , — = 0.066,7 0 < 0 . 2 ;

• Я е - к Ге = 5 э ВД = 0 . 2 5 э В,^ = 0.062,7 0 < 0 . 1 6 ;

• Д г - к Ге = 1 . 5 э ВД = 0 . 0 7 э В,^ = 0 . 0 3 8,7 0 < 0 . 2.

Концентрация электронов в невозмущенной плазме п е « 1 0 1 1с м _ 3; Я0 = 0 . 0 8 с м .

Как видно из приведенных данных, наблюдается резкая зависимость величины поправки от потенциала зонда. Это, в первую очередь, связано с аналогичной зависимостью концентрации ионов и слабой зависимостью концентрации электронов вблизи зонда при потенциалах зонда порядка и более средней энергии ионов, и в разы меньше температуры электронов. Отметим, что при 7 0 < 0 . 1 поправка /У (7 0 , хс) пренебрежимо мала и ее резкий рост начинается после значения 7 0~ 0 . 1 6 — 0 . 1 8. Наибольшее значение поправка к результатам измерения ФРИ имеет в случае А г + в Д г. Это вызвано наименьшей средней энергией иона Д г + в А г в данных условиях по сравнению с температурой электронов. Тем не менее, в указанном выше диапазоне поправка не превосходит величину 10%. Поправки же для ФРИ Яд+ в Яд и Яе+ в Яе имеют в условиях работ [71] и [72], соответственно, максимальные значения порядка 4%. Отметим, что применение формулы (2.30) в рассмотренных случаях при

дает:

• - 7 0 т ах = 0 ■ 2 5 ;

• — 7отах = 0 ■ 2 2 >

• А Г - 77 отах = 0 ■ 1 7 ■

Мы рассмотрели случай, когда зонд ориентирован таким образом, что его внешняя нормаль антипараллельна электрическому полю в плазме. Если угол между ними отличен от 7Г, то очевидно, что величина 70тах окажется меньше. Действительно, при одном и том же значении ионный тока на зонд уменьшается с уменьшением угла между электрическим полем и внешней нормалью к зонду, поскольку, во-первых, уменьшается плотность тока, так как ионы преодолевают теперь тормозящее их поле за счет нормальной к зонду проекции скорости (а не за счет всей скорости); во-вторых, поскольку уменьшается "видимая" площадь зонда. В то же время, ФРЭ слабо анизотропна и ориентация зонда на электронном токе на зонд в рассматриваемых условиях практически не сказывается. Таким образом, парциальный вес ионного тока в общем токе уменьшается, что ведет к увеличению поправки /V ( 7 0,х0) . Однако, надо иметь ввиду, что одновременно существенно уменьшается необходимый диапазон потенциала зонда , поскольку с его увеличением при такой ориентации зонда вторая производная зондового тока начинает резко уменьшаться. Так, в условиях работ [71, 72] при уменьшении угла между внешней нормалью к зонду и электрическим полем в плазме до величины значение падает до двух раз, что ведет к уменьшению поправки

более чем в два раза.

2.2 Исследование специфических систематических ошибок метода плоского одностороннего зонда при измерении анизотропных ФР

Рассмотрим подробнее метод определения анизотропной функции распределения (ФР) из результатов зондовых измерений [52 - 67, 71 - 73]. Как известно, при выполнении ряда условий в плазме [51, 52, 71] вторая производная зондового тока /' '( е У, а) по потенциалу зонда ( е , а - заряд электрона и угол между внешней нормалью к проводящей поверхности зонда и выделенным направлением, соответственно) и ФР /^ (£", в) (где в - угол между осью симметрии и направлением движения заряженной частицы, имеющей энергию Я) связаны соотношением:

1"(еИ, а) =А

2п

¡Е{е1),а)-^ I й<р' I

дде.в')

деи

йе

еи

(2.32)

\еи еи с "3

где собО' = ¡—соха + II ——Бта ■ соб(';А = где Бр,т - площадь зонда и масса

заряженной частицы (электрона или иона); р' - разность азимутальных углов скорости частицы и внешней нормали к поверхности зонда в выбранной системе координат; е - энергия заряженной частицы. Для определения Е,0) сначала измеряется зависимость второй производной зондового тока по потенциалу зонда и при различных углах а. Затем вторая производная представляется в виде конечного ряда по полиномам Лежандра, число членов которого, например, для осесимметричного случая равно числу ориентаций зонда N [52, 53]:

N

1"(еИ, аь) = А ^ (2.33)

к=О

12

(а в случае отсутствия симметрии - N1 [69]). При этом, соответственно, ФР также

представляется в виде аналогичного ряда:

N

МЕ.е) = ^ Ск(Е)Ьк(со5в), (2.34)

к=О

где О - угол между осью симметрии и направлением движения заряженной частицы, имеющей энергию . После этого, используя экспериментальные данные и (в осесимметричном случае) разложение (2.32), находят коэффициенты разложения второй производной зондового тока в ряд по полиномам Лежандра Бк (еи). Наконец, из этих коэффициентов вычисляются коэффициенты в аналогичном разложении ФР Ск( е и) , с использованием известной связи [69]:

скт=0кт+^£0м^ ггйг. (2.35)

В наиболее общем случае отсутствия симметрии в плазме аналоги разложений (2.33), (2.34) имеют более сложный вид (этот случай мы исследуем ниже, см. формулу (2.48)) [69].

При определении ФР данным методом априори вносятся следующие систематические ошибки:

• ошибка из - за недостаточного количества полиномов Лежандра для описания ФР с большой анизотропией;

• ошибка в определении коэффициентов Лежандра второй производной зондового тока (из-за обрезания ряда по полиномам Лежандра), приводящая к ошибке определения коэффициентов Лежандра для ФР.

Одним из наиболее существенных недостатков данного метода определения ФРЭ и ФРИ, на наш взгляд, является то, что заранее не ясно, сколько членов ряда необходимо находить, чтобы ФР, определенная в виде конечного ряда, адекватно описывала реальную функцию. Очевидно, что, чем больше анизотропия ФР, тем больше членов ряда потребуется. Так, если ФР

изотропна, то достаточно одного члена ( ), а если все частицы движутся в одном направлении, то потребуется бесконечное число членов. С экспериментальной точки зрения знание числа членов этого ряда существенно, поскольку от него зависит угловое разрешение, с которым нужно проводить измерения, что определяет конструкцию основных узлов экспериментальной установки. Очевидно, что случаи, когда достаточно двух членов и когда необходимо более десяти, кардинально различаются по своей аппаратурной реализации.

В работе исследованы несколько возможных способов уменьшения систематических ошибок метода плоского одностороннего зонда при определении анизотропных ФР, как для электронов, так и для ионов.

2.2.1 Зависимость необходимого количества ориентаций зонда от параметров плазмы для

измерения ФРИ

Рассмотрим ситуацию, когда ФРИ имеет осевую симметрию. В наиболее общем случае анизотропия может быть вызвана также наличием поглощающих заряженные частицы поверхностей в плазме, не изотропных источников этих частиц в плазме с различными распределениями по энергиям и т.п. Исследуем случай ФРИ в собственном газе и рассмотрим ситуацию, когда единственная причина анизотропии ФРИ - наличие электрического поля в плазме. Основные процессы, которые реализуются с участием ионов в низкотемпературной газоразрядной плазме при низких и средних давлениях и, в известном смысле, не больших плотностях заряженных частиц и которые могут оказать влияние на формирование ФРИ, следующие:

• перезарядка на нейтральных частицах;

• упругое рассеяние на нейтральных частицах;

• процесс конверсии атомарных ионов в молекулярные;

• при больших концентрациях заряженных частиц - процесс тройной рекомбинации

атомарных ионов;

• диссоциативная рекомбинация молекулярных ионов.

Рассмотрим возможное влияние на ФРИ вышеперечисленных процессов. Как известно, процесс перезарядки иона (особенно на собственном атоме) является одним из основных в газоразрядной плазме. В процессе движения между столкновениями с нейтралами ион увеличивает свою энергию, ускоряясь в электрическом поле и, таким образом, ФРИ

приобретает анизотропию. При упругих столкновениях часть энергии иона, которую он приобрел, двигаясь между столкновениями, перераспределяется в плоскость, ортогональную направлению поля, и, таким образом, ФРИ становится менее анизотропной. При повышенных давлениях возможна, так называемая, конверсия атомарных ионов при тройных столкновениях с образованием молекулярных ионов. При этом константа скорости этого процесса практически не зависит от относительной энергии сталкивающихся частиц [89]. Отсюда следует, что учет конверсии для ФРИ атомарных ионов практически не влияет на вид угловой и энергетической зависимостей ФРИ. Что касается ФРИ молекулярных ионов, которые рождаются в результате конверсии, то по той же причине ее учет может приводить к изменению ФР молекулярных ионов, поскольку ФР атомарных ионов, с участием которых происходит рождение молекулярных ионов, существенно отличается от таковой для молекулярных. Это отличие, в основном, вызвано тем, что, дрейфуя в атомарном газе, молекулярные ионы не испытывают резонансной перезарядки, которая оказывает основное влияние на формирование вида ФР атомарных ионов.

Константа скорости тройной рекомбинации атомарных ионов, которая оказывает влияние на скорость нейтрализации атомарных ионов при повышенных плотностях тока,

сильно зависит от средней энергии электронов ^ Ёе — с р е д н яя эн е рг и я э л е к т р о н ов ^ и

практически не зависит от энергии иона [89]. Отсюда следует, что этот процесс также не влияет на формирование ФРИ.

В силу сравнительно слабой зависимости сечения диссоциативной рекомбинации молекулярных ионов от энергии относительного движения иона и атома [89], этот процесс также слабо влияет на ФР молекулярных ионов.

Таким образом, можно сделать вывод то том, что ФРИ, рассчитанная с учетом только перезарядки, является максимально анизотропной из всех возможных. Учитывая вышесказанное, можно утверждать, что число членов ряда (3), необходимое для адекватного описания ФРИ, которая соответствует процессу резонансной перезарядки и не учитывает других процессов, является для числа N необходимых членов ряда по полиномам Лежандра при любых условиях в плазме оценкой сверху. Напомним, что мы имеем в виду ситуацию, когда единственной причиной анизотропии ФРИ является электрическое поле в плазме.

В работах [71, 73] было получено выражение для ФРИ при учете только перезарядки.

кпТ

Было выяснено, что ФРИ зависит от двух параметров £0 =—г-2-; Гя, где Е0 - электрическое

поле; Яех - длина пробега иона относительно процесса перезарядки, Гя - температура нейтральных частиц; к0 - постоянная Больцмана. Сравнение расчетов ФРИ по полученным

соотношениям с экспериментально восстановленными методом плоского одностороннего зонда показало, что при любом значении параметра £0, количестве определенных коэффициентов разложении ФРИ в ряд по полиномам Лежандра N и заданного значения величины 8 существует такое значение энергии иона £тах(N, £0,Та,рС), что при всех энергиях иона Е < £тах(N,e0,Ta, ¡¡) выполняется неравенство: \RN(E,H)\

А (Я,/0 = ёГс л < 8, (2.36)

где F ( E,fT) = Ft ( Е, в) - ФРИ по энергиям; RN(E,fT) - остаток ряда при аппроксимации функции F(E,f) конечным рядом по полиномам Лежандра:

со 1

Я* (Я,/О = Jj Ck(E)LM ; Ск(Е) = (к + 0.5) J F^E.^LMdii. (2.37)

k=N _1

При этом максимум величины Д (E,f) при любых значениях энергии иона Е достигается при ¡1 = 1 , то есть, в направлении поля. Тогда, полагая 8 = 0 . 1 (с учетом оцененной авторами [71, 73] ошибки измерения ФРИ в 10%) и, используя найденную в этих работах ФРИ с учетом только резонансной перезарядки, можно для любых найти

£тах ( N, £0 , T а, ¡i) . Это и будет искомой оценкой сверху для диапазона энергий, для которого при любом и заданных разница между реальной и восстановленной ФРИ не будет

превышать 10%. В Приложении 2.2 приведены формулы для функции £тах(N,£0,T(1,1) в диапазонах параметров 0 . 0 1 < £0 < 1. 5 ; 3 00К <Та< 900К; 1 < N < 1 0 . Отметим, что расчеты с использованием зависимости сечения перезарядки от относительной энергии иона и атома для различных пар ион - атом показали, что учет этой зависимости слабо (в пределах 10%) увеличивает рассчитанную величину £тах(N , £0, Та, 1).

2.2.2 Применение теории сплайнов для уменьшения числа ориентаций зонда при сохранении точности определения ФР. Газоразрядная плазма с зеркальной симметрией

Рассмотрим некоторые возможности уменьшения систематических погрешностей зондовых измерений анизотропных ФР заряженных частиц в виде конечного ряда по полиномам Лежандра. По-прежнему будем рассматривать осесимметричный случай.

Определим остаток ряда при аппроксимации второй производной зондового

тока конечным рядом по формуле:

1(т{еи,а) = А ^ Ок(еи)Ьк(со5а);Ок(еи)

к=Ы

(,к + 0.5) Г1

Л

^ 1"{е1] ,а)1к{со5а)йсо5а. (2.38)

Пользуясь определением Ь ^(д) [70] и интегрируя по частям соотношение (2.37) к раз, легко получить:

со ^

= ^ | /£(Я,д)«( 1 -(2.39)

1г—А7 1

где

дкШ,11)

д[1К

Из (2.39), учитывая, что

г1 , ( 1\ Г(/с + 1)г(^)

(1-д2)^ = В /с + 1,- =---

^ V г(*+|)

где - бета и гамма - функции, соответственно [70], имеем оценку:

со

< ^(2.40) где - максимальное значение модуля производной ФР порядка на промежутке

ТПССХ

— 1 < д < 1 при заданной энергии Е. При N >> 1, в случае сходимости ряда (2.39) и при отсутствии острого максимума у функции на промежутке в точке, не

совпадающей с , пользуясь методом перевала [90], можно получить более точную оценку:

СО у-

^л/ к

^Те(Е,^к\=0Ьк (д). (2.41)

При д = 0 из (2.40) имеем, что нечетные члены ряда равны 0, а четные члены образуют знакопеременный ряд, откуда получаем при четных N >> 1:

= 0). (2.42)

При выводе этой формулы использовалась формула Стирлинга для , справедливая при N — оо. Совершенно аналогичные формулам (2.39) - (2.42) соотношения можно получить для

с заменой в них на (отметим, что производная здесь

берется не по углу , а по его косинусу) и на

С/(Е) = (к + 0 . 5) Д/^ (Е, д) Ь / (д)(¿д.

Полученные оценки для погрешности представления ФР в виде конечного ряда по полиномам Лежандра, очевидно, применимы как к ФРИ, так и к ФРЭ, обладающих произвольной степенью анизотропии. Из полученных соотношений видно, что, чем больше значение максимума производной функции по аргументу (или по углу ), тем больше остаток ряда при фиксированном значении N и тем больше требуется членов ряда для адекватного описания Е,д) конечным рядом. Две очевидных предельных ситуации - это сферически симметричная , когда все при и случай дельта - функция Дирака

5 (д — д0) , когда /£ ( Е , д) ос 5 (д — д0 ) . В этом случае величина | /£(Е, д)( к) | не ограничена и

тпссх

ряд И ы ( Е, д) расходится при любом значении N.

Рассмотрим, как влияет на погрешность определения ФР аппроксимация второй производной зондового тока конечным рядом. Как уже говорилось, суть зондового метода определения ФР заключается в измерении второй производной зондового тока по потенциалу зонда относительно плазмы при различных ориентациях зонда в необходимом диапазоне потенциала зонда относительно плазмы. В результате по этим измерениям находятся первых коэффициентов Лежандра ¿^(е У) (формула (2.33)). Затем, с помощью соотношения (2.35), вычисляются соответствующие коэффициенты Лежандра С/( е У) ФР. При этом представление в виде конечного ряда приводит к погрешностям в определении коэффициентов ¿/с ( е У) , а значит, и С/.( е У) . Это очевидно, поскольку в равенстве (2.33) с суммой в правой части до максимального слева стоит точное экспериментально найденное значение

второй производной , которое является суммой бесконечного числа членов, и, таким

образом, само равенство с ктах = N является приближенным и удовлетворяется с коэффициентами отличными от при разложении в

бесконечный ряд Лежандра. То есть, с учетом вышесказанного и, принимая во внимание уравнение (2.35), можно записать:

со

1 Г йЬ (х)

АСкыШ = Ы>кыШ +— I е1е; (2.43)

еи Х~еи

со

Ск"т = ок11т+^и /

еи Х еи

- систематические ошибки (зависящие от числа членов ) в определении коэффициентов !)к ( е У) и С/ ( е У) , соответственно. С учетом (2.38) имеем:

N

А^№к*{е1])1к{со5аь) = Ят{е1] ,аьУЛ = О...ЛЛ (2.44)

к=0

N

А ^ 0/(еЮ Ьк(соза¿) = \"{е\], «¿); / = 0 ... N. (2.44а)

к=0

Соотношения (2.44), (2.44a) можно рассматривать, как системы N уравнений для оценки величин и нахождения коэффициентов Бк (еи), соответственно.

Определители этих систем при любых значениях N, а± отличны от нуля и поэтому существует ненулевое решение. По этой же причине, поскольку [н}(еи, а¿)т — 0 при любых еи, а± то

(е и)н-» - 0.

Отметим, что величины НА/}(еи, а¿),[[н(еи, а¿) - это погрешности представления второй производной зондового тока и ФР, соответственно, в виде конечного ряда по полиномам Лежандра с коэффициентами Ск,йк, соответственно, которые определяются по точным формулам (2.37), (2.38).

Введем величины гн }(еи, а),гн (еи, а):

со со

гы(еи, а) = ^ С/(еи)Ьк(со5а); гт{е1), а) = А ^ 0/(еи)Ьк(со5а), (2.45)

k=N k=N

где СкЫ (еи),0^ (еи) находятся из соотношений (2.43), (2.44а), соответственно.

Используя соотношения (2.35), (2.43), получаем связь между величинами [ н ( Е, а), [ ¡} ( Е, а), гы ( Е, а), ГЫ} ( Е, а), [Еех ( Е , ц) ,Г' (Е, ц):

со со

А V Г ЛЬк(х)

АКы(еи,а) = КЫ1(еи,а)2_11к(С05а) ] Вк(е) йх _Е ¿е;

k=N е'и Х eU

ArN(eU,a) = rN¡(eU,a)

N 00

А v í м dLk(x)

> LJcosa) Д DkN(e)—^ de + ARN(eU, a)

f-j J dx X=J-

2eU ¿_. j

k=0 eU eU

RNI(E,a); (2.46)

A

AfsexiE, cosa) = I"(E, a) + ■ ,

где fEex (E,^i) - экспериментально определенная ФР; ADkN (eU),DkN (eU) находятся из системы уравнений (2.44), (2.44а), соответственно, а rN¡ (eU,ai) = 0. Таким образом, погрешность определения ФР зависит не только от числа членов ряда N, но и от выбора углов a i, i = 0 . . . N, поскольку этот выбор определяет матрицу систем (2.44), (2.44а). При a = a i третье из уравнений (2.46) принимает вид:

!со 00

^ Lk(c0scci) I Dk(e)

k=N ail

eU

N

-^кСсозад I ЛО^Се)-^- ^йе . (2.46а)

к=0 еи Х~~Ш )

Таким образом, несмотря на то, что величина /' '(Я, а) не имеет систематических ошибок при а = а, ФР определяется даже при этих углах с систематической ошибкой. Эта ошибка состоит из двух слагаемых, первое из которых обусловлено неточностью определения коэффициентов разложения ( г) , второе - погрешностью описания величины /' ' (Я, а)

при разложении в конечный ряд по полиномам Лежандра.

В принципе, возможен альтернативный способ решения поставленной задачи. А именно, можно, используя измерений зондового тока, аппроксимировать зависимость от угла /' '( еУ, а) при разных значениях потенциала и сплайнами (например, третьего порядка) и затем вычислять произвольное (необходимое для точного описания результатов интерполяции) количество коэффициентов Лежандра для второй производной, используя полученные гладкие кривые. В качестве аналога остатка ряда по полиномам Лежандра для величины

/' '( е и, а) здесь будет играть роль ошибка интерполяции сплайнами 5ОТ( е и, а) . Если измерения

д п

проводятся при равноотстоящих значениях углов а £ с постоянным шагом Д а £ = — то, как известно, для абсолютной ошибки интерполяции кубическими сплайнами верна оценка [91]:

1.3

N

(4)

\SNI(eU,a)\ I"(eU,a)aw I"(eU,a)aw , (2.47)

где /' ' ( е//, а) а(4) - четвертая производная величины /' '( е//, а) по углу а. При интерполяции второй производной тока /' '( е //, а) кубическими сплайнами по результатам N измерений и

„ , ч г- \SN[(eU,a)\

приемлемой (для конкретной задачи) относительной ошибке этой интерполяции ^ ^ ,

можно найти любое число М > N коэффициентов Лежандра ( е //) , а значит, и CfcM( е //) . Поскольку при возрастании уменьшается остаток и ошибка ( е //) Д = 0 . . .М,

то можно, увеличивая число М, добиться того, чтобы выполнялось неравенство: |5w/(ei/,a)| « |/?ш(еУ,cosa)|. (2.48)

Описанная процедура будет иметь смысл при выполнении | 5w/( е //,а) | < | = е //,cos а) | , при котором с учетом (2.48) имеем: \RMI(eU,cosa) \ < \RNI(eU,cosa)\.

Если же выполняется обратное неравенство, то применение числа членов разложения второй производной М > N не приведет к уменьшению ошибки определения ФР. Иными

словами, измеряя при значениях угла , можно найти ФРИ в виде разложения по

полиномам Лежандра.

При высокой степени анизотропии ФР, когда число ориентаций зонда слишком мало для описания второй производной зондового тока и ФР в виде конечного ряда по

полиномам Лежандра, применение сплайнов для вычисления членов этого ряда с большим, чем число ориентаций зонда номером, существенно снижает ошибку определения ФР.

Наконец, обсудим часто встречающийся в практике экспериментальных плазменных исследований случай, так называемой, зеркальной симметрии. Сначала предположим, что в плазме отсутствует какой-либо тип симметрии. Тогда предлагается представить ФР /Е (Е , в,() в виде разложения по присоединенным функциям Лежандра 1-го рода Р^т ' [69] :

со I

т.в.ср) ^ Г1т{Е)У1т{в,<рУ, (2.49)

1=0 т=—1

, , 1 (21 + 1)(1 — |гп|)! , , л .

У1т(е,<р) = 1 --г/ л-1 п, Р1,т,(с05в)е1т*; т = -I ...I,

2 ^ 7г(/ + \т\)\

где Ут(в,(р) - сферические функции. Здесь V) - комплексные величины, которые подлежат определению из измерений зависимости второй производной зондового тока от

потенциала зонда и при различных его ориентациях:

со I

1"(еи,а,<р0)=А^ ^ О1т(еи)У1т(а,(р0), (2.50)

1=0 т=—1

где - азимутальный угол скорости заряженной частицы в выбранной лабораторной системе координат ХУ2; а, (0 - полярный и азимутальный углы, соответственно, внешней нормали к проводящей поверхности к зонду в этой системе координат. При этом коэффициенты рядов в формулах (2.49) и (2.50) связаны интегральным уравнением, аналогичным (2.35):

со

, ч , ч 1 Г ^¿гО) г1тш =01п(ею+— i я1т(е)-±— ^йе. (2.51)

6 Р еи Х Х~еи

Таким образом, при отсутствии симметрии процесс определения ФР сводится к

2

следующему. Ограничиваясь во внешней сумме соотношения (2.50) N членами, при N ориентациях зонда производится измерение зависимости второй производной зондового тока от потенциала зонда. Используя эти данные, из системы N линейных алгебраических уравнений находим такое же количество коэффициентов О т (еи) и с помощью соотношения (2.51) вычисляем N коэффициентов /1т(еи). Это дает нам ФР /е(Е,в,() в виде ряда (2.49) до (то есть, тоже содержащим во внешней сумме членов).

Рассмотрим теперь плазму газового разряда, которая обладает тем свойством, что в ней существует плоскость, относительно которой свойства плазмы обладают симметрией. Будем называть такую симметрию зеркальной. Тогда, выбирая систему координат ХУ2 так, что плоскость 7Х совпадает с плоскостью симметрии, получим, что ФР четна по азимутальному углу . Такая ситуация реализуется на практике весьма часто, например, когда зондовые измерения выполняются в цилиндрическом разряде во внеосевой (в том числе, и пристеночной) области. В этом случае соотношение (2.49) приобретает вид:

со I

Ш.в.ср) ^ Г1т{Е)у{в,<р); (2.52)

1 = 0 771=0

У1т(в.<р) = Р ,'Ш|)>г|т|(со50)со5(ш(р); т = 0.../.

^ 7Г(/+|ш|)!

Аналогично преобразуется и выражение (2.50) для /' '( е //, а, ( 0). Нетрудно видеть, что в случае зеркальной симметрии в плазме коэффициенты действительны и, таким образом,

при представлении ФР в виде конечного ряда, содержащим N функций Лежандра, необходимо определить всего коэффициентов.

Таким образом, в зеркально-симметричной плазме удается значительно уменьшить количество необходимых ориентаций плоского зонда для определения ФР заряженных частиц с заданной систематической ошибкой.

Для иллюстрации вышеприведенных соотношений проведены расчеты для модельной ФР, которая определена формулами (3.1), (3.17), (3.31) Гл. 3.

2.2.3 Обсуждение полученных результатов

На рис. 2.15 и 2.16 для примера приведены зависимости £т ях (М г0 , Гя, 1 ) от параметра г0 в диапазоне 0 . 2 < г0 < 0 . 7 при различных М Гя, соответственно. Видно, что с увеличением г0, N, Гя величина £т ях( М, г0, Гя, 1 ) растет. Рассмотрим причины такого поведения. Согласно определению параметра (см. выше), при его росте уменьшается электрическое поле. Соответственно, ФРИ становится более изотропной. С другой стороны, вполне очевидно, что при фиксированных параметрах увеличение энергии иона приводит к росту

анизотропии углового распределения ионов по скоростям, поскольку за счет поля поток ионов в пространстве скоростей направлен от меньших энергий к большим. Отсюда как раз и следует, что при увеличении поля (уменьшении параметра г0) будет расти величина £т ях ( М г0 , Гя 1 ) .

Увеличение числа членов ряда N по полиномам Лежандра, аппроксимирующего точную ФРИ, позволяет описать все большую анизотропию углового распределения ионов и, соответственно, появляется возможность адекватного восстановлению ФРИ во все большем диапазоне энергий ионов, что и означает рост величины Ет ях (М, е0 , Тя 1 ) при увеличении N.

Наконец, при увеличении температуры атомов (при сохранении постоянным параметра е0) максимум ФРИ ионов смещается в сторону больших энергий [71, 73]. Соответственно, в эту же сторону смещается диапазон энергий, где распределение ионов по направлениям движения изотропно (как отмечалась в [71, 73] в результате перезарядки ионы рождаются с изотропным распределением и далее за счет ускорения в поле на длине пробега их угловое распределение приобретает анизотропию). При смещении области изотропии в сторону больших энергий, для приобретения ФРИ анизотропии данной величины необходима, очевидно, большая энергия, полученная за счет поля. Но это и означает увеличение Ет ях (М, е0 , Тя 1 ) при росте температуры Т

1 я-

Отметим, что мы не приводим формулы для е0 > 1 . 5 и е0 < 0 .О 1 , по следующим причинам.

тах» 0' " 0,80,70,60,50,40,30,20,1 -

эВ

-1

- - 2

.....3

■ - 4

0,2

0,4

0,6

е

о

Рис. 2-15. Зависимость величины Ет я х (М, е 0, Тя 1 ) от параметра е0 в диапазоне значений от 0.2 до 0.7 для различных М; температура атомов Тя = 60 0 К"; 1 - М = 2 ; 2 - М = 4; 3 - М = 6; 4 - М = 8; Тя =

60 0 К.

s (е. ,N), эВ

max* 0' "

0,40-

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,2

—i— 0,4

0,6

Рис. 2.16. Зависимость величины £тах^ , £0, Та 1 ) от параметра £0 в диапазоне значений от 0.2 до 0.7 для различных Та:1 - 3 0 0 К; 2- 60 0 К ;3 - 90 0 К; N = 4.

s

о

Расчеты дают, что £тах(3 ,1■ 5,3 00,1) = 2 эВ ; £тах(3,1.5,900,1) = 3.2 э В. В соответствии с вышесказанным, при N > 3 и е0 > 1.5 эта величина будет еще больше. Как показывают оценки, при е0 = 1. 5 и энергиях ионов более 2 - 3 эВ ФРИ настолько мала, что ее определение методом одностороннего плоского зонда затруднительно [71, 73]. Таким образом, можно заключить, что в рассматриваемом случае анизотропии ФРИ из-за электрического поля для полного ее восстановления при е0 > 1. 5 достаточно трех - четырех членов ряда (в зависимости от диапазона энергий) по полиномам Лежандра.

Что касается диапазона е0 < 0 . 0 1 , то такое значение этого параметра соответствует весьма высокой величине электрического поля (например, для случая Аг+ в Ar - —

в + е в

42 0 — То р р , а для Hg в Hg - - = 1000 — То р р ) и ФРИ имеет высокую степень анизотропии.

При дальнейшем уменьшении параметра е0 количество членов ряда по полиномам Лежандра, необходимое для описания ФРИ в значимом диапазоне энергий ионов, становится слишком велико для реализации метода измерения ФРИ с помощью плоского одностороннего зонда, а £тах ( N,е0,Та 1 ) становится слабо меняющейся функцией параметров N,e0. В пределе £0^0 условия, при которых угловая зависимость ФРИ представима в виде ряда по полной ортогональной системе функций перестают соблюдаться. В данной работе мы ограничились числом , поскольку большие значения этого параметра сложно реализуемы в

эксперименте при определении ФРИ, случай же нами также не рассматривался,

поскольку в этой ситуации, очевидно, .

Отметим, что для случаев, рассмотренных в [71, 73], расчеты по формулам, приведенным в Приложении 2.2, дают согласующиеся с экспериментом результаты. Так, для случая ^+ в ^ при Тя = 4 1 0 К, е0 = 0 .0 2 5, М = 6, получаем Етях = 0 . 2 э В , что полностью соответствует данным [71]; для Я е + в Я е при Тя = 600 К, е0 = 0 . 1 2 4, М = 6, получаем Етях = , что также согласуется с экспериментальными данными [72], где получено совпадение точной и восстановленной ФРИ при е = 0. 1 э В (см. рис. 6б цитируемой работы) и расхождения порядка 20% при е = 0 . 5 э В для д = 1 (см. рис. 6в [72]); для А г + в А г при Тя = 450 К, е0 = 0.689, М = 6 имеем Етях = 0. 4 1 э В , что не противоречит данным [72], где для е = 0 . 3 э В получено расхождение порядка 7 - 8% (напомним, что мы считали максимально допустимым расхождение в 10%).

Отметим, что, как следует из формулы (2.46а), ФР определяется даже при а = а± с систематической ошибкой. Основная физическая причина этого состоит в том, что в интегральный член в соотношении (1) дают вклад частицы, двигающиеся не по нормали к поверхности зонда (то есть, не под углами к выделенному направлению), поэтому нет

однозначной связи между величинами и . Исключение составляет случай,

когда интегральный член в формуле (1) пренебрежимо мал, например, в ситуации, когда ФР имеет узкое по энергиям распределение.

Далее, если это не оговорено особо, расчеты проводились для модельной ФР (МФР), определенной соотношениями (3.1), (3.17), (3.31) Гл. 3.

На рис. 2.17 сравниваются относительные ошибки представления ФР в

виде конечного ряда по полиномам Лежандра для МФР и различного числа членов ряда N при нулевом угле а и различной анизотропии ФР.

N 6

100

0,01 п

1Е-3

1Е-4

1 -•— 6

2 -сн- 7

3 ^^ 8

4 -о— 9

5 10

10

15

20 N

Рис. 2.17. Зависимость относительной ошибки при аппроксимации ФРИ Кщ(Е, 0 ) /(Е , 0 ) конечным рядом по полиномам Лежандра, рассчитанная для модельной ФР (определена формулами (3.1), (3.17), (3.31) Гл. 3) для различного числа членов ряда N при а = 0 и различной анизотропии ФР; Е = 0 . 1 эВ ; ; АТЕ = 1 эВ ; 1 - 5 - расчет по точной формуле (2.39); 6 - 10 - оценка сверху по формуле (2.41); 1, 6 - рг = 1 0 ; , 2, 7 - ¡Зг = 1; 3, 8 - & = 0.5 ; 4, 9 - & = 0.2; 5, 10 - & = 0. 1.

0

5

Расчет проводился по точной формуле (2.39) и по формуле для оценки сверху (2.41). Как и следовало ожидать, при увеличении анизотропии число членов, необходимое для адекватного представления ФР в виде конечного ряда растет. При этом видно, что при малой анизотропии оценка сверху близка к точному значению относительной ошибки, в то время, как при сильной анизотропии она существенно завышает необходимое количество членов. Так, если точный расчет для случая, когда дает необходимое число членов , то оценка сверху дает

N = 1 6.

На рис. 2.18 сравнивается относительная ошибка при описании ФР в виде конечного ряда с N членами по полиномам Лежандра и использование сплайнов третьего порядка для интерполяции ФР по точкам.

1Е-:

1Е-6

1Е-

1Е-

0,0

10

0,

1

10

20

30

N

Рис. 2.18. Сравнение зависимости относительной ошибки при аппроксимации ФР (Е, 0 ) //¡. (Е, 0 ) конечным рядом по полиномам Лежандра, рассчитанной для модельной ФР (определена формулами (3.1), (3.17), (3.31) Гл.3) для различного числа членов ряда N при а = 0 и полученной с применением сплайнами по N точкам при различной анизотропии ФР; Е = 0 . 1 э В ; ; Д^Е = 1 э В; 1 - 5 - расчет по

точной формуле (2.39); 6 - 10 - расчет по формуле (2.46); 1, 6 - = 1 0 ; , 2, 7 - = 1 ; 3, 8 - /^ = 0 .5 ; 4, 9

С учетом того, что экспериментальная ошибка зондового метода составляет величину порядка 5 - 10%, при интерпретации расчетов на рис. 2.18 необходимо ориентироваться именно на относительную ошибку такой величины. Видно, что при небольшой анизотропии метод сплайнов дает большую точность. Затем при увеличении параметра /^ и увеличении необходимого количества членов ряда по полиномам Лежандра ошибка представления ФР в виде конечного ряда убывает быстрее и при сильно анизотропных ФР она при одинаковом значении количества членов ряда и точек, по которым производится интерполяция сплайнами, существенно ниже ошибки интерполяции. Вместе с тем отметим ситуацию, которая часто возникает в эксперименте. Предположим, что при определении сильно анизотропной ФР экспериментальная установка не позволяет провести измерения при достаточно большом количестве ориентаций зонда. Как будет видно в дальнейшем, в такой ситуации предпочтительнее использовать сплайновую интерполяцию, поскольку она дает возможность вычислять произвольное число коэффициентов Лежандра. Кроме того, следует иметь ввиду, что

- & = 0 . 2 ; 5, 10 - & = 0 . 1 .

относительная ошибка представления в виде конечного ряда вычислялась нами точно, а формула (2.46) - это оценка сверху.

На рис. 2.19, 2.20 приведены результаты расчетов угловой зависимости величины /' '( е У, а) в виде конечного ряда по 14-ти полиномам Лежандра, коэффициенты которого найдены из рассчитанных по МФР при 14-ти разных углах а с наложенной ошибкой в 5% и 10%, соответственно.

Здесь же даны расчетные данные для этой величины с применением сплайновой интерполяции по этим же значениям /' '( е У, а) но в виде ряда по 25-ти полиномам Лежандра. На рис. 2.21, 2.22 - приведены аналогичные данные для отклонения расчетов /' '( е У, а) на рис. 2.19 и 2.20, соответственно, от точного значения второй производной зондового тока.

¡''(а), произв. ед.

а,град

Рис. 2.19. Угловая зависимость второй производной зондового тока / ' '( е У, а) в единицах коэффициента А (формула (2.35)), рассчитанная по модельной ФР (см. формулы (3.17), (3.31), (3.32) Гл. 3) при ДтЕ = 1 э В ; е У = 0 . 1 э В ; = 0 . 0 2 ; Е0 = 0 с наложенной случайной ошибкой величиной 5%; 1 - точный расчет / ' '( е У, а) по формулам (2.32); 2 - применение сплайнов для аппроксимации / ' '( е У, а) по 14 точкам (моделируют измерение при 14-ти ориентациях зонда) и разложение в ряд по 25-ти полиномам Лежандра; 3 - вычисление / ' '( е У, а) в виде ряда по 14-ти полиномам Лежандра, коэффициенты которого

находятся традиционным способом [60].

а, град

Рис. 2.20. То же, что на рис. 2.19, но наложенная случайная ошибка составляет 10%.

^(а), произв. ед.

0,15

¡"(а), произв. ед.

0,10-

0,05-

0,00

-0,05

-0,10-

1 1 1 1 1 1 1 .....1

. • 2

А — з

¿л •

1 *\

** 1 г\ \ 7 \ 1 4 \ А иТ'-'Г'^......--

V 7 у 1 и 1 • V •

50

100

150

а, град

0

0

Рис. 2.21. Разница между точной величиной I''(еи, а) и вторыми производными зондового тока, вычисленными в виде ряда по 14 полиномам Лежандра и в виде ряда по 25 полиномам Лежандра с интерполяцией сплайнами по 14 точкам для условий рис. 2.19; 1 - результат применения сплайнов (ось У - слева); 2 - расчет в виде ряда по 14 полиномам Лежандра (ось У - слева); 3 - I'' (еи, а), рассчитанная по

формуле (2.32) (ось У - справа).

^(а), произв. ед.

0,15

''(а),

произв. ед.

0,10

0,05

0,00

-0,05

-0,10

1 1 1 1 • А А * шЬ п пк 1 1 1 1 .....1 -•- 2 -3 • Г- - \ • *

• У У * 1 У • •

50

100

150

200 а, град

1

0

0

Рис. 2.22. То же, что на рис. 2.21, но для условий рис. 2.20; 1 - результат применения сплайнов (ось У -слева); 2 - расчет в виде ряда по 14 полиномам Лежандра (ось У - слева); 3 - I'' ( еУ, а) , рассчитанная по

формуле (2.32) (ось У - справа).

Видно, что это отклонение для представления в виде конечного ряда по 14 существенно превышает случайную ошибку, в то время, как отличия результатов применения сплайновой интерполяции в виде ряда по 25-ти полиномам Лежандра от точных значений I ''( е У, а) , напротив, не превосходят ее (рис. 2.19 и 2.20). Это, как отмечалось, вызвано тем, что в данном случае 14 членов ряда по полиномам Лежандра недостаточно для описания второй производной тока, формируемой сильно анизотропной ФР при //х = 0 . 0 2.

На рис. 2.23-2.25 сравниваются зависимости от потенциала зонда 14-ти коэффициентов ряда по полиномам Лежандра, полученные из значений второй производной для

условий рис. 2.20 двумя исследуемыми способами.

Рис. 2.23. Зависимость коэффициентов 1 4 (еи) (при к = 0 — 4) разложения второй производной зондового тока I'' (е и, а) по полиномам Лежандра от потенциала зонда, рассчитанных для модельной ФР (см. формулы (3.17), (3.31), (3.32) Гл. 3) при АТЕ = 1 эВ ;(} 1 = 0 . 0 2 с наложенной случайной ошибкой величиной 10%; кривые 1 - 5 - точный расчет по модельной ФР для к = 0 — 4, соответственно; 6 - 10 - нахождение коэффициентов из значений второй производной при 14-ти ориентациях зонда (традиционный способ [60]) для , соответственно; 11 - 15 - нахождение этих же коэффициентов разложением в ряд по

полиномам Лежандра результатов интерполяции сплайнами по 14-ти точкам при разной

ориентации зонда для , соответственно.

йк14(еи),произв. ед.

0,6

0,4 ■

0,2

0,0

-0,2

-0,4

0,0

-1

- ■ ■ 2

---3

.......4

---5

-О- 6

—□— 7 -Д- 8

-ЧУ- 9

—о- 10 —•— 11 —■— 12 —13 —14 —15

—I—

0,5

—I— 1,0

—I—

1,5

—I—

2,0

еи, эВ

Рис. 2.24. То же, что на рис. 2.23, но для к = 5 — 9; кривые 1 - 5 - точный расчет к = 5 — 9, соответственно; 6 - 10 - нахождение коэффициентов разложения I'' (е и, а) по полиномам Лежандра для 14 - ти ориентаций зонда традиционным способом [60] для , соответственно; 11 - 15 - применение сплайновой

интерполяции измерений при 14-ти ориентациях зонда для , соответственно.

Р (еУ),произв. ед.

0,2'

0,0-

-0,2-

-0,4'