Новые варианты метода коллокации и наименьших квадратов и их приложения к задачам механики сплошных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Беляев Василий Алексеевич

• Беляев Василий Алексеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Беляев Василий Алексеевич

1.1. Законы сохранения

1.2. Постановки задач и подходы к моделированию изгиба балок и тонких пластин

1.3. УЧП второго порядка

1.4. Постановка задачи стационарного неизотермического течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением

1.5. Подходы и численные методы решения задач МСС

1.6. Выводы по главе

Глава 2. Новые Ь-, р- и Ьр-варианты метода коллокации и наименьших квадратов повышенной точности

2.1. Описание МКНК

2.2. Реализация МКНК в нерегулярных областях

2.2.1. Дискретное задание внешней границы области и алгоритм

ее восполнения

2.2.2. Квазирегулярная сетка

2.2.3. Присоединение вытянутых и/или малых нерегулярных ячеек и использование законтурных частей

2.3. Комбинированное применение различных алгоритмов ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ

2.3.1. Предобуславливание СЛАУ

2.3.2. Свойство локальной системы координат в МКНК

2.3.3. Распараллеливание с помощью ОрепМР

2.3.4. Алгоритм ускорения итерационного процесса, основанный

на подпространствах Крылова

2.3.5. Операция продолжения вдоль восходящей ветви V-цикла

на многосеточном комплексе в методе Федоренко

2.4. Описание разработанного комплекса программ для ЭВМ

2.5. Выводы по главе

Глава 3. Численное решение эллиптических уравнений

3.1. Уравнения второго порядка

3.1.1. Анализ времени расчетов и количества итераций в МКНК

3.1.2. Уравнения Пуассона с особенностями

3.1.3. Уравнения типа диффузии-конвекции

3.2. Бигармоническое уравнение

3.3. Сравнение результатов решения хорошо и плохо обусловленных

задач

3.4. Выводы по главе

Глава 4. Математическое и численное моделирование изгиба композитных балок и расчет прогибов тонких пластин при изгибе

4.1. Моделирование изгиба композитных балок

4.1.1. Математическая модель трех- и четырехточечного изгиба разносопротивляюгцихся растяжению-сжатию композитных балок с учетом физической нелинейности и разрушения

4.1.2. Алгоритм численной реализации математической модели и алгоритм определения нелинейного закона деформирования

4.1.3. Трехточечный изгиб углепластиковых балок

4.1.4. Трехточечный изгиб балок из «чистого» и армированного льда

4.1.5. Четырехточечный изгиб железобетонной балки

4.2. Расчет прогибов тонких пластин при изгибе

4.2.1. Расчет прогибов пластин простых и сложных форм при изгибе в рамках теории Кирхгофа-Лява

4.2.2. Задача с особенностью: изгиб кольцевой пластины в рамках теории Кирхгофа-Лява

4.2.3. Расчет прогибов квадратной ортотропной пластины при изгибе в рамках FSDT

4.3. Выводы по главе

Глава 5. Численное моделирование течения полимерной жидкости

5.1. Верификация МКНК при решении нелинейной тестовой задачи

5.2. Численное моделирование стационарного неизотермического течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением

5.2.1. Исследование сходимости МКНК

5.2.2. Распределение скорости и температуры

5.2.3. Устойчивые стационарные режимы течения

5.2.4. Анализ особенностей полученных решений

5.3. Выводы по главе

Заключение

Список публикаций автора по теме диссертации

Список цитируемой литературы

Приложение А. Копии и описания свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые варианты метода коллокации и наименьших квадратов и их приложения к задачам механики сплошных сред»

Введение

Актуальность темы исследования обусловлена необходимостью развития и применения методов математического и численного моделирования к решению задач механики сплошных сред (МСС). В настоящее время математическое моделирование выступает эффективным средством познания окружающего нас материального мира. При этом усложнение математических моделей, с одной стороны, приводит к более точному описанию различных явлений и процессов, а, с другой стороны, к более сложным постановкам задач, аналитические решения которых далеко не всегда удается найти. Для анализа разрабатываемых моделей и получения достоверных результатов необходимо применение численных методов.

В диссертации рассматривается численное решение краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и уравнений с частными производными (УЧП) в одно- и двумерном стационарных случаях. В рамках научного исследования были выделены следующие четыре задачи.

Первая задача связана с разработкой новых вариантов численных методов решения краевых задач различных моделей МСС. Возникающие все более сложные задачи предъявляют высокие требования к свойствам численных методов: точности, скорости сходимости, области применимости и др. Поэтому эффективно реализованные высокоточные надежные численные методы, которые можно относительно просто адаптировать для решения различных задач, становятся удобными инструментами научных исследований.

Вторая задача посвящена численному решению краевых задач для УЧП эллиптического типа, зачастую встречающихся на практике и входящих как часть в более общие модели. Исследование возможностей и верификация новых вариантов численных методов при сравнении полученных результатов с результатами других методов является значимым этапом создания инструментов решения современных задач, позволяющим выяснить достоинства и преимущества предлагаемых подходов.

Третья задача — математическое и численное моделирование напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных балок и расчет прогибов тонких пластин при изгибе, являющихся распространенными элементами

конструкций в различных отраслях промышленности. Учет важных особенностей деформирования, высокая точность и скорость решения сопутствующих задач приводит к лучшему совпадению результатов моделирования и натурных экспериментов. Это является актуальным для инженерных расчетов и при решении задач оптимизации. При этом усложнение математических моделей, рассмотрение сложных форм элементов конструкций и различных теорий описания их НДС зачастую приводит к плохо обусловленным задачам и к задачам с особенностями, для решения которых требуются эффективные численные методы.

Четвертая задача посвящена численному моделированию течения полимерной жидкости. Особенности в виде погранслоев и ограниченной гладкости решения, нерегулярность области, наличие неустойчивых режимов течения жидкостей и нелинейность задач усложняют строгий математический анализ разрешающих уравнений. Для поиска их решений необходимо построение специальных алгоритмов, учитывающих особенности исследуемых процессов.

Степень разработанности темы исследования. В настоящее время не существует универсального способа численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений в задачах МСС, поскольку многие реальные явления и процессы происходят в областях различных форм и описываются разными математическими моделями, постоянно совершенствующимися и усложняющимися. Это вызывает появление новых вариантов численных методов, таких как метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР), спектральные методы и других, необходимых для численной реализации математических моделей, при разработке которых стремятся учесть различные существенные особенности рассматриваемых задач.

Диссертационная работа посвящена разработке новых вариантов достаточно универсального метода коллокации и наименьших квадратов (МКНК). Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 35 работах [1-35]. МКНК — проекционно-сеточный численный метод решения дифференциальных и интегральных уравнений [36]. ОН сочетает в себе метод коллокации [37-40] и метод наименьших квадратов (МНК), основанный на минимизации суммы квадратов отклонений функций от искомых переменных. В МКНК исходная задача проектируется в конечномерное линейное функциональное про-

странство, которой ставится в соответствие приближенная задача. Ее решение ищется в кусочно-полиномиальном виде. На неизвестные коэффициенты аппроксимирующих полиномов в каждой ячейке выписывается локальная переопределенная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решение переопределенной СЛАУ находится из условия минимума функционала, представляющего собой сумму квадратов невязок всех уравнений в ячейке на приближенном решении задачи. В методе кол локации записывается столько уравнений, сколько имеется неизвестных коэффициентов. Таким образом, между двумя этими методами существует связь, подобная связи между задачами аппроксимации МНК и интерполяции [41]. При этом применение МНК зачастую позволяет расширить возможности других численных методов и улучшить их свойства, например, устойчивость решения. Поэтому не случайно практически одновременно и независимо от МКНК возник LSFEM (англ. least-squares finite element method), который сочетает в себе свойства МКЭ и МНК [42,43]. Здесь также отметим, что переопределение, в свою очередь, зачастую позволяет добиться меньшей обусловленности СЛАУ, что является особо актуальным при решении плохо обусловленных задач.

МКНК разрабатывается представителями Новосибирской научной школы уже несколько десятков лет. Первые фундаментальные работы были выполнены А.Г. Слепцовым вместе с A.B. Плясуновой и посвящены разработке метода коллокации для решения ОДУ и УЧП параболического типа второго порядка, где в том числе рассматривались нелинейный случай и подвижные сетки [44,45]. Затем совместно с Б.П. Колобовым и Ж.Л. Коробицыной метод коллокации применялся к численному моделированию ламинарных и турбулентных плоских пограничных слоев [46]. Идея предложенных вариантов метода заключалась в разбиении области на ячейки и нахождении в них полиномиального решения, которое удовлетворяет исходному уравнению (уравнения коллокации), условиям согласования, необходимых для склейки решения, и краевым условиям, если ячейка являлась граничной. Параллельно А.Г. Слепцов занимался исследованием алгоритмов ускорения итерационного процесса решения СЛАУ [47,48], которые весьма успешно применяются до сих пор в комбинации с другими способами [49-51] (см. более подробно в главе 2).

Следующим шагом в развитии МКНК было решение эллиптических урав-

нений второго порядка А.Г. Слепцовым сначала в прямоугольной области [52], а затем совместно с Ю.И. Шокиным в нерегулярных областях с использованием адаптивных неструктурированных треугольных сеток и полиномов второй степени [53,54]. В этих работах разрешающая СЛАУ являлась уже переопределенной, и ее решение искалось в смысле наименьших квадратов. Для нахождения решения использовался метод итераций по подобластям. Уточнение решения происходило за счет измельчения шагов сетки при фиксированной степени аппроксимирующих полиномов. Такой вариант МКНК назовем h-MKHK [55]. Уже позднее В.В. Беляев и В.П. Шапеев реализовали вариант МКНК на прямоугольной адаптивной сетке в области с криволинейной границей при решении эллиптических уравнений второго порядка с использованием полиномов второй и третьей степени, необходимых для вычисления приближенных решений и апостериорных оценок при сгущении сеток [56].

Дальнейший цикл работ был посвящен решению задач гидродинамики МКНК: уравнения Стокса [57] и Нивье Отокси в двумерных и трехмерных постановках [36, 51, 58, 59]. При решении эталонной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся крышкой были получены результаты, сравнимые с наиболее точными расчетами среди работ, опубликованных на то время [60-63], при этом были построены варианты МКНК с возможностью как измельчать шаги расчетной сетки, так и повышать степень полиномов. Такой вариант МКНК назовем hp-MKHK. Основной вклад при решении этих задач внесли А.Г. Слепцов, В.П. Шапеев, Л.Г. Семин, В.И. Исаев, Е.В. Ворож-цов и C.B. Идимешев. Кроме того, МКНК применялся при трехмерном численном моделировании лазерной сварки металлических пластин В.П. Шапеевым, В.И. Исаевым совместно с А.Н. Черепановым [64].

МКНК хорошо себя зарекомендовал при решении различных задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Рассматривалось математическое и численное моделирование нелинейного изгиба разносопротивляющихся углепластиковых балок [65]. C.B. Иди.мешеным. С.К. Голушко и В.П. Шапеевым был разработан модифицированный р-МКНК, основанный на применении полиномов высокой степени [66]. Уточнение приближенного решения в р-МКНК происходит за счет повышения степени базисных полиномов при фиксированном разбиении области. Отдельный интерес представляет собой рассмотрение

возможностей р-МКНК1? в котором используется всего одна ячейка, совпадающая со всей расчетной областью Q или включающая всю Q в случае ее нерегулярности. Если разбиение области фиксировано и ячеек сетки больше, чем одна, то такой вариант метода назовем р-МКНК^. В р-МКHKi в отличие от других вариантов МКНК не выписываются условия согласования, что является принципиальным моментом с точки зрения построения сходящегося решения. Было показано применение p-MKHKi для расчета НДС многослойных изотропных и анизотропных прямоугольных пластин в рамках классической теории Кирхгофа -Лява, теории сдвиговых деформаций первого порядка (англ. FSDT, firstorder shear deformation theory) и уточненной теории Григолюка-Чулкова, а также проведен сравнительный анализ их применимости на примере задачи изгиба таких пластин [41,50,66].

Параллельно со всеми вышеперечисленными исследованиями рассматривалось также численное решение МКНК уравнений Бюргерса, Кортевега-де Фриза-Бюргерса [67], стационарного уравнения теплопроводности [68], интегральных уравнений Фредгольма второго рода [69, 70]. Дальнейшие перспективы развития МКНК связаны с обобщением и модификацией предложенных ранее вариантов метода и их приложением к решению актуальных задач.

Цель работы состоит в разработке и верификации эффективного численного метода с точки зрения скорости и точности решения краевых задач для МСС в канонических и нерегулярных областях; в разработке и валидации математической модели изгиба композитных балок, учитывающей разносопро-тивляемость материалов растяжению-сжатию, физическую нелинейность и разрушение; в разработке алгоритмов их численной реализации и применении для решения практических задач.

Объектами исследования являются МКНК, краевые задачи для дифференциальных уравнений, алгоритмы ускорения итерационных процессов, НДС композитных балок и тонких пластин, течение полимерной жидкости.

Предметами исследования являются применение h-, р- и hp-подходов к построению вариантов МКНК в канонических и нерегулярных областях; численное решение краевых задач с особенностями; учет в математической модели особенностей деформирования композитных балок в виде физической нелинейности, разносопротивляемости материалов растяжению-сжатию и разрушения;

анализ стационарного неизотермического течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением.

Задачи, решенные в ходе достижения поставленной цели.

1. Предложены, реализованы и верифицированы новые Ь-, р- и Ьр-МКНК в комбинации с алгоритмами ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ для решения линейных и нелинейных задач МСС, в том числе плохо обусловленных и с особенностями, в канонических и нерегулярных областях.

2. Разработаны математическая модель трех- и четырехточечного изгиба композитных балок с учетом физической нелинейности, разносопротивля-емости материалов растяжению-сжатию и разрушения, алгоритм ее численной реализации и алгоритм определения нелинейного закона деформирования. Проведены валидация математической модели на полученных в ФГУП «ВИАМ» экспериментальных данных изгиба углепластиков, «чистого» и армированного льда и экспериментальных данных железобетона, взятых из литературы, и сравнение результатов расчетов с трехмерным моделированием.

3. Проведено численное моделирование изгиба тонких изотропных и орто-тропных пластин простых и сложных форм в рамках классической теории Кирхгофа-Лява и К81)Т. Проведен сравнительный анализ полученных результатов в зависимости от используемого варианта МКНК при решении хорошо и плохо обусловленных задач и задачи с особенностью изгиба кольцевой пластины.

4. Проведено численное моделирование МКНК стационарного неизотермического течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением. Проведено сравнение полученных результатов и показано хорошее совпадение с результатами других численных методов на широком диапазоне параметров модели. Исследовано поведение особенности решения МКНК в декартовой системе координат.

5. Создан комплекс программ на основе предложенных и реализованных Ьр-МКНК и алгоритмов ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ, позволяющий численно решать различные краевые задачи

и

МСС и проводить численное моделирование: трех- и четырехточечного изгиба композитных балок; изгиба изотропных и ортотропных пластин простых и сложных форм под действием поперечных нагрузок; стационарного неизотермического течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением. Получено три свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Предложены, реализованы и верифицированы новые Ь-, р- и Ьр-МКНК повышенной точности решения краевых задач в канонических и нерегулярных областях, в том числе при наличии в области внутренней прямо-или криволинейной линии разрыва параметров задачи, с дискретно заданной внешней границей и в многосвязных областях. Использовались квазирегулярная сетка и сетки, построенные на основе оригинальной идеи присоединения вытянутых и/или малых «несамостоятельных» околограничных нерегулярных ячеек (н-ячеек) к соседним «самостоятельным» и использования их законтурных частей. Впервые получены аналитические формулы для операции продолжения вдоль восходящей ветви У-цикла на многосеточном комплексе в методе Федоренко при применении мономов и полиномов Чебышева произвольной степени в МКНК. Показана эффективность сочетания Ьр-МКНК с современными алгоритмами ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ.

2. Разработана и валидирована новая математическая модель трех- и четырехточечного изгиба композитных балок, учитывающая физическую нелинейность, разносопротивляемость материалов растяжению-сжатию и разрушение. Разработан алгоритм ее численной реализации.

3. Показана возможность расчета с высокой точностью разработанными вариантами МКНК прогибов тонких пластин простых и впервые сложных форм при изгибе в рамках теории Кирхгофа-Лява и Р8БТ.

4. Впервые разработанные варианты МКНК применены для решения системы нелинейных УЧП в задаче о стационарном неизотермическом течении

несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением.

5. Создан комплекс программ на основе предложенных и реализованных Ьр-МКНК и алгоритмов ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ, позволяющий численно решать рассмотренные в диссертации краевые задачи МСС.

Теоретическая значимость работы заключается в разработке новых Ь-, р- и Ьр-МКНК решения краевых задач в канонических и нерегулярных областях; в разработке математической модели трех- и четырехточечного изгиба композитных балок с учетом физической нелинейности, разносопротивляемо-сти материалов растяжению-сжатию и разрушения и алгоритма ее численной реализации.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения разработанных математической модели, численных алгоритмов и комплексов программ для 1) быстрого расчета на персональном компьютере трехи четырехточечного изгиба композитных балок и поперечного изгиба тонких пластин в разных отраслях промышленности, в частности, в строительной индустрии и авиации; 2) расчета течений полимерной жидкости в аддитивных технологиях производства; 3) решения различных прикладных задач математической физики.

Работа частично выполнялась в рамках государственного задания (№ госрегистрации проектов А А А А-А17-117030610136-3, АААА-А19-119051590004-5 и 121030500137-5), при поддержке РФФИ (гранты № 13-01-00227 и 18-29-18029) и РИФ (грант № 18-13-00392). Результаты исследований нашли применение в учебном процессе механико-математического факультета ИГУ в виде обязательного курса «Современные методы вычислительной математики».

Методология и методы исследования. В основу работы заложен комплексный подход при решении поставленных задач, объединяющий в себе методы математического и численного моделирования: использование и построение математических моделей, основанных на фундаментальных законах, экспериментальных данных, гипотезах и уравнениях механики; применение верифицированного МКНК, алгоритмов ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ и численных методов алгебры.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Математическая модель трех- и четырехточечного изгиба композитных балок с учетом физической нелинейности, разносопротивляемости материалов растяжению-сжатию и разрушения и алгоритм ее численной реализации.

2. Новые Ь-. р- и Ьр-МКНК решения двумерных краевых задач МСС в канонических и нерегулярных областях в комбинации с современными алгоритмами ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ. Результаты верификации вариантов МКНК и их сравнение с результатами других численных методов при решении тестовых задач.

3. Комплекс программ для ЭВМ на основе предложенных и реализованных Ьр-МКНК и алгоритмов ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ, позволяющий численно решать различные краевые задачи МСС и проводить численное моделирование: трех- и четырехточечного изгиба композитных балок; изгиба изотропных и ортотропных пластин простых и сложных форм под действием поперечных нагрузок; стационарного неизотермического течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением.

4. Результаты математического и численного моделирования трех- и четырехточечного изгиба композитных балок из углепластиков, «чистого» и армированного льда, железобетона и их сравнение с экспериментом и трехмерным моделированием. Результаты расчета прогибов тонких пластин простых и сложных форм при изгибе в рамках теории Кирхгофа-Лява и К81)Т. сравнительного анализа в зависимости от используемого варианта МКНК при решении хорошо и плохо обусловленных задач и задачи с особенностью изгиба кольцевой пластины. Результаты численных расчетов МКНК стационарного течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением в широком диапазоне параметров модели, их сравнение с результатами других численных методов и анализ особенности решения МКНК в декартовой системе координат.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждаются: 1) результатами численных экспериментов по определению величин погрешности

и порядка сходимости приближенных решений в МКНК, в том числе при сопоставлении с результатами других исследователей; 2) использованием гипотез и уравнений МДТТ и экспериментальных данных при разработке математической модели изгиба композитных балок; 3) сравнением расчетов с трехмерным моделированием и экспериментальными данными, опубликованными в литературе и полученными в ФГУП «ВИАМ».

Представление работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинаре «Математическое моделирование в механике» Красноярского математического центра, отдела «Дифференциальные уравнения механики» ИВМ СО РАН, отдела «Вычислительная механика деформируемых сред» ИВМ СО РАН и кафедры «Математическое моделирование и процессы управления» ИМиФИ СФУ (сору ко под и тел и — д.ф.-м.н., проф. В.К. Андреев и д.ф.-м.н., проф. В.М. Садовский), объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН и кафедры вычислительной математики НГУ (соруководители — д.ф.-м.н., проф. В.П. Ильин и д.ф.-м.н., проф. Лаевский Ю.М.), семинаре «Теоретическая и прикладная механика» ИТПМ СО РАН (председатель — д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН А.Н. Шиплюк, зам. председателя — д.ф.-м.н., академик В.М. Фомин), семинаре «прикладная гидродинамика» ИГиЛ СО РАН (соруководители — д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН В.В. Пухначев и д.ф.-м.н. Е.В. Ерманюк).

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях, в том числе: Всероссийская конференция с международным участием «Высокоэнергетические процессы в механике сплошной среды» (Новосибирск, 2017, 2019); Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2018; Новосибирск, 2019-2021); Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск — Шерегеш, 2018, 2019, 2021); Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2018); Международная конференция по вычислительной математике и математической геофизике, посвященная 90-летию со дня рождения академика A.C. Алексеева (Новосибирск, 2018); Всероссийская конференция и школа для молодых ученых, посвященная 100-летию академика Л.В. Овсянникова «Математические пробле-

мы механики сплошных сред» (Новосибирск, 2019); Международная конференция «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (Новосибирск, 2019); Одиннадцатая международная молодежная научная школа — конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2019); XVI Всероссийский семинар с международным участием «Динамика Многофазных Сред» (Новосибирск, 2019); Международная конференция «Марчуковские научные чтения 2020», посвященная 95-летию со дня рождения академика Г.И. Марчука (Новосибирск, 2020); V Всероссийская научно-техническая конференция «Климат — 2020: современные подходы к оценке воздействия внешних факторов на материалы и сложные технические системы» (Москва, 2020); 27-ая Всероссийская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, посвященная 100-летию со дня рождения H.H. Яненко (Красноярск, 2021); Международная конференция «Марчуковские научные чтения 2021» (Новосибирск, 2021).

Публикации. Результаты по теме диссертации опубликованы в 35 работах [1-35], в том числе 11 статей в журналах, рекомендованных ВАК [1-6,20,29, 32,34,35], 4 из них индексируются в Web of Science и Scopus [20,32,34,35], 7 публикаций в трудах международных и всероссийских конференций [11-13,16,21, 22,27], 4 из которых индексируются в Web of Science и/или Scopus [11,12,16,27], 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [24,25,33], 14 тезисов докладов [7-10,14,15,17-19,23,26,28,30,31].

Личный вклад автора заключается в участии в: обсуждении постановок задач, разработке новых вариантов МКНК решения рассмотренных в диссертации задач, реализации вариантов МКНК и других вычислительных алгоритмов при создании компьютерных программ, разработке новой математической модели трех- и четырехточечного изгиба композитных балок, алгоритма ее численной реализации и алгоритма определения нелинейного закона деформирования, исследовании результатов моделирования. Автор в совместных работах [1-7,11-19,21-24,26,27,32-35] с В.П. Шапеевым и Л.С. Брындиным разработал новые варианты МКНК и решил краевые задачи для ОДУ и УЧП второго и четвертого порядков. При этом реализация МКНК полностью принадлежит лично автору в совместных работах с В.П. Шапеевым без других соавторов [1-7], автор в совместных работах [11-19,21-24,26,27,32-35] реализовал МКНК с

Л.С. Брындиным. Автор в совместных работах [1-3,5-7,11-14,17,18,24,26,27,34] с В.П. Шапеевым, С.К. Голушко и Л.С. Брындиным решил краевые задачи для уравнений бигармонического типа и провел численное моделирование МКНК изгиба упругих тонких пластин простых и сложных форм, в [34] с Б.В. Семиса-ловым провел модификацию р-МКНК! расчета прогибов кольцевой пластины при изгибе. Автор в совместных работах [15,16,21,22,26,27,32,33] с С.К. Голушко, В.П. Шапеевым, Е.В. Амелиной, А.И. Болтаевым, Л.С. Брындиным и А.Г. Горыниным провел математическое и численное моделирование изгиба композитных балок. Автор в совместных работах [23,24,35] с Б.В. Семисаловым, Л.С. Брындиным, А.Г. Горыниным, С.К. Голушко и В.П. Шапеевым провел численное моделирование течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением, при этом вклад автора заключается в применении МКНК для решения разрешающей системы нелинейных УЧП, в том числе для тестовой задачи, и исследовании особенности решения. Вклад соискателя был значимым во всех выносимых на защиту по согласованию с соавторами результатах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Беляев Василий Алексеевич, 2022 год

• /

• \ У

а

о - ф ф у ф ф □ Оп о о о ' -^0 8 О О О > о о о о

70 О ф «1 о • ф ф° ф ф 1 о «□ООО; 9 О О ф о о о о ■ О О ф ф ' ; О ф ф ф ] О О О О

□ □ О — □ 9 1 ф ф ❖ ф « « О » : 7 О ф ф ф ] о о о о о о о о '■ О О О ф ' ; О О ф ф , О ф ф ф

б

в I1

Рисунок 2.3 Фрагмент расчетной области (а) и его различные части (б) (г) при К = 4 (2.5); значок «•» обозначает точки, дискретно задающие внешнюю границу области, «о» — точки коллокации, «х» — точки согласования, «□» — точки записи краевых условий, «о» — центры некоторых материнских ячеек. Темным цветом выделены материнские ячейки, содержащие внутри себя н-ячей-ки 1 6, которые присоединяются к ячейкам 7 11 соответственно. У граничных ячеек 2, 3, 5 тонкими стрелочками указаны их нерегулярные части, т.е. сами н-ячейки.

3

рами их внутренних н-ячеек. Таким образом, около 70 образуется «одинарный слой» н-ячеек (в случае многосвязности около внутренних отверстий образуются также одинарные слои).

О

контурной.

Определение 5. Материнской ячейкой называется прямоугольная ячейка сетки, от которой границами области 71 отсечена н-ячейка, или, ячейка, являющаяся внутренней или граничной изначально прямоугольной формы.

О

ственно, не строим. Следовательно, Щсец3 равно разности между Щ\Щ2 и количеством «пустых» ячеек.

Определение 6. Внутренними сторонами ячейки называются части ее сторон, расположенные внутри области.

Определение 7. Внешними, сторонами ячейки называются части границ71, которые оказались внутри граничной, ячейки.

Если в расчетной сетке имеется или появилась после измельчения шагов сетки вытянутая и/или малая н-ячейка (рисунок 2.3, ячейки 1-6), то глобальная СЛАУ задачи, как правило, становится хуже обусловленной. Такие ячейки могут быть причиной понижения точности приближенного решения задачи, увеличения количества итераций и времени счета, а также расходимости итерационного процесса. Чтобы справиться с этой проблемой, здесь используется идея присоединения таких н-ячеек к соседним ячейкам.

Определение 8. Несамостоятельными называются н-ячейки, расположенные в таких граничны,х (материнских) ячейках, в которых начало локальной системы координат (центр материнской ячейки,) находится вне расчетной области (рисунок 2.3, ячейки 1-6). Все остальные ячейки,, включая внутренние и некоторые исключительные ячейки,, речь о которых пойдет ниже, по определению считаются самостоятельными.

Предлагается несамостоятельную н-ячейку присоединять к той соседней самостоятельной ячейке, с которой она имеет наибольшей длины внутреннюю сторону среди ее всех внутренних сторон, общих с другими соседними самостоятельными ячейками (рисунок 2.3, ячейки 1-6 присоединяются к ячейкам 7-11 соответственно). Через такие стороны в присоединенную н-ячейку продолжается

решение из ячейки, к которой ее присоединили. Согласно сформулированному выше правилу к самостоятельной ячейке могут быть присоединены несколько вытянутых и или малых несамостоятельных н-ячеек. В этом случае внешняя сторона объединенной ячейки состоит из внешних сторон всех объединенных в ней ячеек. При этом, если круглое отверстие в случае многосвязной области полностью оказалось внутри прямоугольной ячейки, даже если начало локальной системы координат находится вне расчетной области О, то такую ячейку считаем самостоятельной (рисунок 2.3, ячейка 16). Прямоугольная ячейка, которая изначально содержит внутри себя несколько непересекающихся участков границ г = 0,..., Жу, также считается самостоятельной. В реализованных здесь вариантах МКНК несамостоятельные н-ячейки, имеющие в качестве соседних ячеек только несамостоятельные н-ячейки, не присоединяются к соседним несамостоятельным н-ячейкам и считаются условно самостоятельными.

В [56] строилась адаптивная прямоугольная сетка при решении МКНК УЧП эллиптического типа второго порядка в частном случае в четверти круга при К = 2,3. Там предлагалось дополнять соседние ячейки за счет части ячеек, лежащих в области, которые содержали менее двух обычных точек согласования или не содержали обычные точки кол локации. В остальных указанных авторами в качестве примера граничных ячейках перезаписывались уравнения коллокации и условия согласования в новых точках, принадлежащих уже области. То есть изменялось положение тех точек коллокации и согласования, изначально находившихся вне О. Это является усложнением программной реализации по сравнению с использованием законтурных частей ячеек без перезаписи упомянутых уравнений, что было реализовано в настоящей работе. При рассмотрении более сложных областей, чем четверть круга, алгоритмы перезаписи уравнений коллокации и условий согласования могут заметно усложняться. Кроме того, расстановка точек коллокации и согласования в относительно вытянутых и/или малых самостоятельных н-ячейках только внутри О и запись в них аппроксимирующих уравнений может отрицательно сказываться на сходимости решений с увеличением К. Полезные соображения относительно слияния ячеек приведены также в [162].

В р-МКНК! исходная область также включается в прямоугольник (рисунок 2.4) ив расчетной области строится приближение решения единым полино-

мом высокой степени.

а б в

Рисунок 2.4 Двусвязная область. Схема расположения точек записи краевых условий и точек коллокации в трех случаях для р-МКНК^: (а) — в корнях полиномов Чебышева в прямоугольнике при К = 5 (2.4), (б) — равномерно в прямоугольнике при К = 6 (2.5), (в) — равномерно внутри исходной расчетной области при К = 6 (2.5).

Точки коллокации. Определим значение Ысо1 по следующим правилам. В случае применения базисных полиномов Чебышева количество Ыпи неизвестных коэффициентов с^^ в (2.4) будет Мпи = (К + 1)2 для одной неизвестной функции в (2.1). Полагаем Ысо1 = Ыпи и выписываем точки коллокации в точках с координатами (о^,а22), г\,г2 = 1,... ,К + 1 о^,а22 — корни многочлена Чебышева первого рода степени К + 1. На рисунке 2.4 а изображена расстановка точек коллокации в случае применения полиномов Чебышева при К = 5 для р-МКНКь

В случае применения мономов степени К в качества базисных элементов количество неизвестных коэффициентов в (2.5) будет Ыпи = (К + 1)(^ + 2)/2 для одной неизвестной функции в (2.1). Полагаем Ысо1 = ([л/N.пи] + 1)25 оде «[•]» — целая часть числа. Затем располагаем точки коллокации в каждой ячейке равномерно. На рисунке 2.3 б изображена расстановка точек коллокации в случае применения мономов при К = 6 для р-МКНК 1, а на рисунке 2.3 изображен фрагмент расчетной области и его различные части с сеткой при К = 4. При этом во всех вариантах МКНК (кроме р-МКНК^ или если не оговорено иное) в оказавшихся внутри отверстия точках коллокации н-ячеек, к которым не присоединялись н-ячейки, уравнение коллокации (2.6)

не выписывалось (рисунок 2.3, ячейки 13 и 16).

Дополнительно построен р-МКНК! без использования законтурной части нерегулярной области. На рисунке 2.4 в изображена равномерная расстановка точек коллокации в случае применения мономов при К = 6, которая была осуществлена следующим образом. Сначала полагалось Ысо1 = ([л/Щй\ + 1)2 и точки равномерно располагались (рисунок 2.4 б) в прямоугольнике, включающем нерегулярную область. Далее компьютерная программа вычисляла количество точек, которые расположены внутри исходной нерегулярной области. Если количество таких точек оказалось меньше, чем значение то последовательно полагалось Ысо1 = ([л/Щй\ + 2)2, ([л/Ж^й\ + 3)2,... до тех пор, пока очередное Ысо1 те оказалось больше, чем Ыпи.

Точки согласования. Во всех вариантах (кроме р-МКНК! или если не оговорено иное) в каждой ^'-ой самостоятельной ячейке условия согласования (2.7) выписываются в [Ысо1/4\ точках согласования (рисунок 2.3) на каждой общей прямолинейной стороне между соседними материнскими ячейками. При этом в оказавшихся внутри отверстия точках согласования н-ячеек, к которым не присоединялись н-ячейки, условия согласования не выписывались (рисунок 2.3, ячейки 12-15).

Точки записи краевых условий. В р-МКНК! = 1) па внешней границе 70 в Ыпи точках, приблизительно равномерно расположенных на ней (рисунок 2.4), выписываются краевые условия (2.9). Если нерегулярная область является многосвязной с внутренними контурами — окружностями радиусов г^ г = 1,..., то на каждом внутреннем контуре дополнительно равномерно располагается (1\(12\ точек для записи краевых условий (рисунок 2.4).

Во всех вариантах МКНК (кроме р-МКНК! или если не оговорено иное) на внешней стороне граничной ^'-ой ячейки (в том числе в объединенной ячейке), которая может совпадать с некоторой частью одной или частями нескольких границ 7^ облаети О, в (4 — А3)[МС01 /4\ точках на ней (рисунок 2.3) выписываются краевые условия, где ^ = 1,..., 3 — количество ячеек, соседних с рассматриваемой. При этом, если к граничной н-ячейке не присоединялась какая-либо н-ячейка, то вместо (4 — Ыа)[ЫС01/точек записи краевых условий на ее границе равномерно располагается столько точек записи краевых условий, сколько точек коллокации и согласования располагается внутри отверстия

(рисунок 2.3, ячейки 12-15). Если отверстие оказалось полностью внутри некоторой материнской ячейки (рисунок 2.3, ячейка 16), то на границе данного отверстия располагается Ncoi + [Ncoi/4] — Ncic точек записи краевых условий, где Ncic ~ количество точек кол локации, которые лежат в материнской ячейке, но вне данного отверстия. Однако в случае достаточно малого отверстия все точки кол локации и согласования располагаются вне отверстия. Для учета граничных условий в такой ячейке на ее внешней стороне располагалась одна точка записи краевых условий.

Для того, чтобы в граничной ячейке равномерно расположить определенное количество точек для записи краевых условий на участке внешней границы 7о, необходимо этот участок (прямолинейный/криволинейный) разбить на равные отрезки. В связи с этим возникает необходимость вычисления криволинейных интегралов от параметрически заданных кривых t** _

f ^/(xKt))2 + (x'2{t))2dt. Это усложняет программную реализацию алгоритма, t*

поскольку могут возникать типы ячеек, содержащие одновременно несколько разных участков внешней границы j0.

Пусть на внешней криволинейной стороне н-ячейки требуется расположить Nb точек (pi7 р2,..., Рмь) для записи краевых условий. Зная вершины прямоугольной материнской ячейки в прямоугольной системе координат (х\,х2)7 находим соответствующие значения начала и конца внешней стороны ячейки t*,t** (t** > t*) пересечением сторон прямоугольной материнской ячейки (а в случае объединения н-ячеек пересечением продолжения сторон материнской прямоугольной ячейки, содержащей ту самостоятельную ячейку, к которой н-ячейки присоединились) с соответствующим участком сплайна. На стороне прямоугольной ячейки либо Х\ = const, либо х2 = const. Вычисление координат точки пересечения такой прямой с соответствующим участком кубического сплайна сводится к поиску значения одного действительного корня £ уравнения третьей степени па отрезке t* ^ t ^ t**. Для ее решения в данном варианте построения расчетной сетки использовался метод биссекции (метод деления отрезка пополам). Затем каждой точкеpq ставим в соответствие число

aq = t* +--—-, где q = 1,..., Для каждого числа aq находим ка-

(2д - 1)(Г*- Г)

2Ж

кому куску векторной сплайн-функции (Х1$р (Ь),Х2вр (£)) соответствующая точка рд принадлежит, где вр — номер участка границы. Пусть она принадлежит

&-му куску векторной сплайн-функции: к — 1 < ач < к, (к = 1,...,Мр). Тогда точка рд для записи краевых условий будет иметь следующие координаты в прямоугольной системе координат (х\, х2): (Х!к(ая), Х2к(ад)). Такой способ расстановки точек для записи краевых условий в случае прямолинейной внешней стороны н-ячейки эквивалентен делению этой стороны на Мь равных отрезков для записи в серединах этих отрезков краевых условий.

Законтурные точки коллокации и согласования. Здесь в целях достижения аппроксимации повышенной точности дифференциальной задачи применялись законтурные точки коллокации и согласования в граничных самостоятельных н-ячейках около внешней дискретно заданной границы 70 (рисунок 2.3). Чтобы такой подход с использованием законтурных частей граничных н-ячеек был применим, предполагается, что решаемое уравнение справедливо не только в расчетной области, но и в малой окрестности ее границы. Если для записи вышеупомянутых уравнений в случае произвольной внешней границы 70 воспользоваться только нерегулярной частью самостоятельной н-ячейки без использования «законтурной» части, то могут возникнуть плохо обусловленные СЛАУ.

У н-ячеек, которые являются самостоятельными, имеют четыре соседа и которые пересечены границами круглых отверстий 7^ г = 1,... , законтурные части в произвольном случае зачастую малы по сравнению с законтурными частями граничных н-ячеек, которые пересечены внешней границей 70. Здесь предложено не использовать у таких ячеек их законтурные части для записи уравнений приближенной задачи. С другой стороны, зачастую длина границ7^, г = 1,..., существенно меньше длины внешней границы 70. В таких случаях требование на количество краевых условий становится жестче — необходимо по возможности выписывать краевые условия в каждой ячейке, которая содержит границу 7^ г = 1,..., даже если ячейка имеет четыре соседа, т.е. ^ = 4. В проведенных численных экспериментах при решении различных краевых задач для бигармонического уравнения установлено, что с помощью предложенного алгоритма, в котором краевые условия по необходимости записаны вместо уравнений коллокации и условий согласования, точки записи которых находятся вне

О

точностью.

Решение задач с внутренней линией разрыва параметров задачи. Описанный выше подход генерации расчетной сетки можно эффективно использовать с некоторыми модификациями при построении приближенного решения в задачах с внутренней криволинейной линией разрыва параметров задачи Г разделяющей О па две подобласти О1 и О2. На Г могут возникать различные особенности, например, решение или его некоторые производные могут терпеть разрыв. Условия подобного рода встречаются при моделировании различных явлений в прикладных задачах [101,102].

Криволинейная Г, пересекая прямоугольные ячейки, делит их па две н-ячейки (рисунок 2.5). Предлагается н-ячейку, которая сохранила центр исходной прямоугольной материнской ячейки, считать самостоятельной (рисунок 2.5, ячейка Б) и строить в ней свой отдельный кусок приближенного решения. При решении задач с внутренней линией разрыва применялось приближенное решение в виде (2.5). Для этого здесь для простоты в материнской ячейке, содержащей н-ячейку, расставляется К2 точек коллокации (2.6). Заметим, что в этом случае может использоваться законтурная часть н-ячейки. Например, на рисун-

Б

материнской ячейки несамостоятельная н-ячейка Б.

На общих сторонах между ячейками, которые находятся в одной и той же подобласти О1 ил и О2, выписывается К условий согласования (2.7). Несамостоятельная н-ячейка присоединяется к соседним самостоятельным ячейкам внутри той подобласти, в которой они находятся. Решение в конкретной точке присоединяемой ячейки продолжается из той соседней самостоятельной ячейки, центр которой находится ближе к данной точке. Так, на рисунке 2.5 несамостоятельная н-ячейка Б присоединяется к самостоятельным ячейкам А и С. При этом здесь считаем, что центр объединенной ячейки совпадает с центром исходной самостоятельной ячейки, к которой присоединяются несамостоятельные н-ячей-ки. При согласовании решений в ячейках, центры которых находятся в разных О1 О2

разными, более подробно см. в примере 3.1.3) выписываются в К точках рав-

Г

Г

мостоятельной н-ячейке, может быть одновременно использована для записи

П1

по ❖ А [] О ❖ — \о О ) \ о В > V 1 ч

—х-х— и О О > и О О > —в-в— С! Г ❖ О > с СО О ) —в-в— \ \

Рисунок 2.5 - Расчетная область с криволинейной линией разрываГ, где серым цветом выделена подобласть «°» _ центр материнской ячейки, включающей н-ячейки В (серый цвет) и В (голубой цвет), стрелки показывают присоединение н-ячейки В к ячейкам А (розовый цвет) и С (желтый цвет), точки коллокации «о», согласования «х» и краевых уеловий «□» при К = 2 (2.5).

условий согласования в нескольких самостоятельных ячейках, к которым она присоединяется. Для граничных ячеек на каждой стороне, совпадающей с частью внешней границей области, в К точках выписываются краевые условия.

К достоинствам изложенного выше способа построения сетки относятся также простота обхода области в итерационном процессе решения задачи за счет пространственной нумерации ), простота вычисления нормалей на сторонах между соседними ячейками, одинаковый вид локальных матриц в случае линейной задачи с постоянными коэффициентами во внутренних ячейках.

2.3. Комбинированное применение различных алгоритмов ускорения итерационного процесса решения

глобальной СЛАУ

Для уменьшения времени выполнения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ , сокращения количества итераций МцеГ7 а также для улуч-

шения свойств сходимости МКНК здесь используется комбинированное применение:

1) многопараметрического предобуславливателя (выбор значений весовых множителей) и диагонального предобуславливателя;

2) быстрого решения переопределенной СЛАУ во внутренних ячейках в линейной задаче с постоянными коэффициентами за счет применения свойства локальной системы координат МКНК;

3) распараллеливания вычислительных программ с помощью ОрепМР со способом обхода подобластей, основанным на красно-черном упорядочивании;

4) алгоритма ускорения сходимости итерационного процесса, основанного на подпространствах Крылова;

5) операции продолжения вдоль восходящей ветви У-цикла на многосеточном комплексе в методе Федоренко.

2.3.1. Предобуславливание СЛАУ

Значения весовых множителей в МКНК влияют на точность приближенного решения задачи, скорость сходимости итерационного процесса, обусловленность локальных СЛАУ Поэтому в нем одним из эффективных способов уменьшения времени решения задачи является выбор оптимальных значений этих множителей. В зависимости от специфики решаемой задачи, можно за счет варьирования значений весовых множителей в уравнениях коллокации, условиях согласования и краевых условий учитывать ее особенности, связанные с самим исходным уравнением, требованием непрерывности и гладкости решения и его производных, учетом влияния краевых условий соответственно. Увеличение, например, веса уравнений коллокации позволяет учитывать особенность самого уравнения, которое может выполняться существенно с большей погрешностью из-за чрезмерных требований гладкости за счет условий согласования [49].

Задача поиска оптимальных значений весовых множителей рассмотрена в работах [49,50]. В [49] проанализирована обусловленность локальных СЛАУ в ячейках и глобальной СЛАУ в зависимости от значений множителей при решении краевых задач для уравнений Пуассона при К = 2 в (2.5) и Навье-Стокса при применении полиномов второй степени для компонент скорости и полино-

мом первой степени для давления. В [50] установлена зависимость числа итераций от значений весовых множителей на разных сетках при решении бигармо-нического уравнения Ь-МКНК при К = 4 в (2.5). В этих работах установлено, что существуют целые области значений весовых множителей, которые обеспечивают практически одинаковые хорошие свойства метода.

В данном исследовании не ставилась задача построить какие-либо графики зависимости чисел обусловленности или количества итераций от значений весовых множителей. Автор в основном воспользовался опытом и результатами предыдущих работ. В иных случаях были найдены значения весовых множителей, при которых наблюдалась сходимость МКНК и достижение хорошей точности.

В работе также использовался диагональный предобуславливатель, описание которого приведено в [51,163]. Его применение позволило сократить число обусловленности локальных СЛАУ на один три десятичных порядка. Суть заключалась в том, чтобы заменить в Ах = & (2.10), где прямоугольная матрица

( 1 1

А имеет размер тхп, п-вектор х на Су, С = diag ,..., — диаго-

\у/а11 у/^пп)

нальная матрица.

2.3.2. Свойство локальной системы координат в МКНК

Большинство ячеек в расчетной области являются внутренними. Например, в квадратной области на сетке NхЖ количество внутренних ячеек равно (Ж — 2)2. При N = 10 они составляют 64 % от общего количества, при N = 100 — уже 96 %. В рассматриваемых линейных задачах с постоянными коэффициентами матрицы А локальных СЛАУ таких ячеек совпадают друг с другом [50] и не зависят от номера итерации, поскольку используется локальная система координат (у1,у2). От последней зависят только правые части уравнений, полученные из условий согласования. По этой причине целесообразно на первой итерации запомнить верхнетреугольную матрицу Я и ортогональную матрицу с помощью которой приведена к верхнетреугольному виду матрица А. Перед решением локальной СЛАУ на каждой итерации достаточно умножить на Я только ее правую часть и, имея уже запомненную матрицу Я, с помощью обратного хода Гаусса найти приближенное решение. Такой прием, который

для краткости назовем «запоминание матриц», не дает сокращения количества итераций, но позволяет уменьшить время решения задачи.

2.3.3. Распараллеливание с помощью ОрепМР

Сначала отметим, что в тех случаях, когда распараллеливание не использовалось, применялся последовательный способ обхода области от одной ячейки к другой. Например, в области, приведенной на рисунке 2.6 а, в соответствии с этим способом обход будет осуществляться в следующем порядке: 1, 2,..., 6,...

4 П

3

2 6

1 5

а

б

Рисунок 2.6 Примеры последовательного обхода (а) и красно-черного упорядочивания подобластей ^ (б) в канонической области.

Изложенный выше метод итераций по подобластям эффективно сочетается с распараллеливанием вычислений. В данной работе использовался открытый стандарт ОрепМР для распараллеливания программ, написанных на языке С Здесь рассматривается способ обхода подобластей, который основан на красно-черном упорядочивании [164,165]. В двумерном случае все ячейки раскрашиваются в красный и черный цвета в шахматном порядке, образуя таким образом два подмножества ^ = ^ и ^ (рисунок 2.6 б). Далее расчет проводится параллельно сначала в ячейках из а затем в

2.3.4. Алгоритм ускорения итерационного процесса, основанный на

подпространствах Крылова

Подробное описание алгоритма ускорения итераций, основанного на подпространствах Крылова [166] приведено, например, в [51]. Здесь лишь кратко отметим, что в ходе итерационного процесса к найденному приближенному решению добавляется поправка из подпространства Крылова, натянутого на вектора невязок, составленных из разницы найденных приближений на некоторой последовательности итераций. Их оптимальное количество зависит от конкретно решаемой задачи и выбирается экспериментально. Интересным является также тот факт, что ускорение по Крылову иногда «выправляет» расходящийся итерационный процесс в сходящийся. Такие ситуации особо могут наблюдаться при численном решении краевых задач с граничными условиями, содержащими производные высоких порядков, для бигармонического уравнения на подробных сетках при применении полиномов достаточно высоких степеней.

2.3.5. Операция продолжения вдоль восходящей ветви У-цикла на

многосеточном комплексе в методе Федоренко

Приведем формулы для операции продолжения, необходимые для перехода с грубой сетки на более подробную на многосеточном комплексе в методе Федоренко [167] с целью получения хорошего начального приближения.

Пусть у пас имеется решение, построенное на сетке размера /2 х И2/2 с ячейками размера 4^1 х4^2 (рисунок 2.7), которое в ^'-ой ячейке имеет вид

кх к2

УНз (^1,^2) = ЕЕ

3 Фч ^Ф^^ (Y2),

¿1=0 ¿2=0

где фг1 (У1)^2(У2) — базисный элемент пространства, в котором ищется решение.

Каждая материнская ячейка сетки размера /2хЫ2/2 (грубая сетка) содержит в себе четыре материнские ячейки сетки размера N1 х Ы2 (подробная сетка). Пусть для любой точки на плоскости: (У1 ,У2) — ее координаты в локальной системе координат, связанной с ^-ой ячейкой грубой сетки, (у1,у2) — в локальной системе координат, связанной с одной из четырех ячеек подроб-

4й2

4 й

-1 0 -1

?2

Г,

О

2й2

2й,

-1 о -11

У2

У1

Рисунок 2.7 Схематическое изображение перехода с грубой сетки размера N1/2хЫ2/2 (слева) на подробную сетку размера N^N2 (справа).

1

ной сетки, содержащихся в ^'-ой ячейке грубой сетки, (хх,х2) — в глобальной системе координат. Обозначим (X1j) — центр ^'-ой ячейки грубой сетки, (х^ ,х2^) — центр одной из четырех ячеек, содержащихся в^'-ой ячейке грубой сетки. Тогда из формул (2.3) следует

хх = 2к]У1 + Хц, х2 = 2к2У2 + Х21,

У1 =

Отсюда получаем

2к1У1 + Х^ — х^ й

У2 =

2112X2 + Х2з — Х23 Й2

УхЫ) = 0.5У1 + Аух, У2(У2) = 0.ЪУ2 + Ау2,

х\п — Хи х\п — Хи где ау\ = —----, ау2 = —----.

У1 2кх ' У2 2Й2

Запишем решение в ячейке подробной сетки в виде

КЛ к2

VhJ (У1,У2) = ^2(У2) =

¿1=0 «2=0

Кх К2

Фп (0.5У1 + (1у1)фг2 (0.ЪУ2 + (1у2).

¿1=0 ¿2 =0

(2.16)

Базис из полиномов Чебышева. Найдем коэффициенты св случае, когда ф^, ф{2 — полиномы Чебышева степени ¿1 и 12 соответственно.

Для удобства введем матрицы В\ = (Ь} 1)^0^=0 и В2 = (Ь2;)^20^=0 такие

«1

«2

фч (аУ1 + Ь) = Е Ф1 (У1), Фп Ы + = Е ЪЬФ1 (У2), (2-17) /=0 /=0

где а, Ь, с, ё, — произвольные константы. Выпишем матрицу В1 следующим образом. Для г1 = 0 и г1 = 1 имеем

00 (ау1 + Ь) = 1 = ^0(^1),

01 (ау1 + Ь) = ау1 + Ь = 0^1(^1) + Ьфа(у1).

Для ъ\ =2

+ Ь) = 2(ау1 + Ь)2 — 1 = а202(^1) + 4аЬ^Ы + (2Ь2 — 1 + а2)^Ы. Следовательно, матрица В1 имеет вид

Вл =

1

Ь

0 0 0 а 0 0

2Ь2 - 1 + а2 4аЬ а2 0

V

: /

а матрица 52 получается аналогичным способом. Заполняя г-ую строку матрицы В1 (г > 2) и, используя рекуррентное соотношение для полиномов Чебыше-ва, будем иметь

Фг+](ау1 + Ь) = 2(ау1 + Ь)фг(ау1 + Ь) — ф— (ау}_ + Ь).

Подставим в правую часть полученного соотношения выражения для ф^ и фч-—1 из (2.17) и проведем тождественное преобразование

г-1

Фг+1(ау1 + Ь) = 2(ау1 + ЬЬФ1Ы — Е Ь1-М Ф1 (у1) = (2У1Ф1 (У1) —

1=0

1=0

1=1

г-1

ф1—1(У1)) + аФ1—1Ы + 2а^1Ьг1,000(^1) + 2ЬЕЬМ Ф1 (у1) — Е 1,1 Ф1 (у1)

1=0

1=1

1=0

Используя рекуррентное соотношение для полиномов Чебышева и тождество шф0(ш) = 01 (ш)? перепишем последнее соотношение в виде

Фг+1(ау1 + Ь) = а^2Ь1г1 ф1+1(у1) + а^2Ь1г1 ф1-1(у1) + ) +

1=1

1=1

г-1

+ 2Ь^Ь\1 Ф1Ы — ^ф1 (У1).

1=0

1=0

Поменяем пределы суммирования у первых двух слагаемых

г+1

г-1

Фг+1(ау1 + Ь) = а^Ь*1,—^ (У1) + а^2Ь11+1ф1 (у1) + Ш^ф^у^

1=2

1=0

г-1

+ 2Ь^Ь\1 Ф1Ы — Еф1 (У1).

1=0

1=0

Сгруппировав слагаемые в полученном соотношении, для элементов Ь\+11 матрицы В-1 получим рекуррентные соотношения

Ь Ь

+1,0

+1,1

+1,1

= аЬ)А +2ЬЬ)0 — Ь)_

Ч , 0 иг-1,0'

= аЬ\ 2 + 2аЬ) 0 + 2ЬЬ], — Ь)_

ч , 0

Ч , 1 иг-1, 111

= а^— + аЬц+1 + Жи — Ьг_и, I = — 1

+!л = аЬ{г_ 1 + Ш]^

= пЬ1 г+1Л+1 = иЬ1,%.

Ь

Ь

Ь

Воспользуемся равенством (2.16) в представлении решения (2.4). В формуле (2.17) положим а = с = 0.5, Ь = = (1у2 и сконструируем матрицы

В\ ,В2 по полученным формулам. В результате будем иметь

К1 К2

,У2) = XX Сг1г 2>3&1 (0.5У1 + ^1)Фг2 (0.5у2 + ¿У2)

1,1=0 г2=0 К1 К2 / %1

X X Сг1*2,3 ( X ЬЧМ Фк1 Ы^ ^ Ь2%2М Фк2 (У2 ^ =

г1=0 г2=0 \к1=0

Кл К2 — 1 г К1 К2 1

XX XX Ск1к2,3Ь[к1,г 1 Ьк2,г2

¡1=0 г 2=0 1к1=11 к2 =г2

Фн (У1)Фг2 (У2).

К1 К2 — 1

Следовательно, коэффициенты с^2 = Е Е ск1к2,^к1 ^^к212-

к 1=1 к2= 2

Если К1 = К2 = К7 то для осуществления операции продолжения необходимо 0(Ысе113К4) арифметических операций, в то время как для выполнения одной итерации требуется 0(ЫсеII3К6) арифметических операций.

Базис из мономов. Воспользуемся соотношением (2.16) в представлении решения (2.5), положив К1 = К,К2 = К — 11. Применяя формулу бинома Ньютона, получим

к к—1

у^(у1, У2) = X X Сг1г2>зФч(°.5У1 + Лу1)Фъ2(0.5У2 + (1у2) =

1,1=0 г2=0

К К—п / ч \ / ч \

= ЕЕЕ°п0.5к1 Фк,Ы Есп0.5к2Фк2(т)

11=0 г2=0 \к1=0 ) \к2=0 )

К К—1 Г К К—к1

ЕЕ ЕЕ1"1 о*1 ^к2"2

1 =0 2 =0 к1 = 1 к2 = 2

Фч (У1)Фг2 Ы),

ГУк П!

где Ск = —-—.

п к\(п — к)!

К К—к1

Следовательно, с^ = Е Е Ск1к2^С^ук11—110.5* 1С^Ау\2—12052.

к 1=г 1 к2=г 2

Полученные формулы позволяют при осуществлении операции продолжения на многосеточном комплексе записать на подробной сетке решение, полученное на грубой сетке, без потери достигнутой его точности.

В предыдущих исследованиях были рассмотрены частные случаи. Так, в

[51] при решении уравнений Нивье Отокси с применением полиномов второй и первой степеней было показано, что одновременное применение всех трех способов ускорения итераций (предобуславливание, ускорение по Крылову и многосеточный алгоритм) позволило сократить время расчетов до 160 раз по сравнению со случаем, когда ни один из способов не использовался. В [49] помимо исследования влияния весовых множителей также уделялось внимание различным расстановкам точек кол локации, согласования и записи краевых условий при решении уравнения Пуассона и уравнений Нивье Отокси. Исследование влияния значений весовых множителей, а также замечание относительно эффективности использования свойств локальной системы координат в МКНК и ускорения по Крылову при решении бигармонического уравнения МКНК с использованием полиномов четвертой степени приведены в работе [50].

В начале следующей главы в подразделе 3.1.1 проводится более подробный сравнительный анализ, в том числе с распараллеливанием, влияния указанных способов ускорения, учитывающий как отдельный вклад алгоритмов, так и их совместный вклад, при применении различных степеней аппроксимирующих полиномов в МКНК на примере решения уравнения Пуассона. Указанные алгоритмы ускорения активно применялись для решения всех рассмотренных в диссертации задач.

2.4. Описание разработанного комплекса программ для

ЭВМ

В этом разделе приведено описание комплекса, состоящего из трех зарегистрированных в Роспатенте программ для ЭВМ [24,25,33]. В основу программ заложены предложенные и реализованные Ьр-МКНК и алгоритмы ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ для численного решения рассмотренных в диссертации задач (рисунок 2.8). Подробное описание алгоритмов численной реализации математических моделей приведено в тексте диссертации. В приложении А приведены копии и описания свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Программы написаны на языке С++, включающие в себя ряд глобаль-

Комплекс программ для ЭВМ на основе предложенных и реализованных Ьр-МКНК и алгоритмов ускорения итерационного процесса решения

глобальной СЛАУ

Программа решения дифференциальных УЧП эллиптического типа с особенностями МКНК (свидетельство № 2020663387)

1. Каноническая область: квадрат.

2. МКНК в комбинации с предобуславливанием, ускорением по Крылову, многосеточным алгоритмом, распараллеливанием, свойством локальной с.к., экстраполяции по Ричардсону.

3. Аппроксимация условий на линии разрыва параметров задачи внутри области.

УЧП с особенностями: большие градиенты, разрывы решений и производных, сильные осцилляции, обращение производных в то.

hp-МКНК и алгоритмы ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ

Программа расчета НДС композитным балок при изгибе с учетом разносопротивляемости материалов растяжению-сжатию, физической нелинейности и разрушения (свидетельство № 2021668718)

Моделирование квазистатического процесса нагружения в цикле 1-5-1.

Вспомогательный блок: задание характеристик

балок, а±, £±, аппроксимация а — £ диаграмм МНК.

1. Увеличение нагрузки ДР

5. Сохранение результатов

2. Определение e и к в сечениях*

^Составление и решение СНАУ м. Ньютона с распараллеливанием по попереч. сечениям **Определение во внутреннем

итерационном процессе. ***Сочетание МКНК с ускорением по Крылову и распараллеливанием.

Композитные балки: углепластики, чистый и армированный лед, железобетон.

Программа решения краевых задач для дифференциальных УЧП в нерегулярным областях hp-МКНК (свидетельство № 2020663386)

Задание расчетной области

Приближен. задача

Алгоритм решения задачи

• Векторные сплайн-функции.

• Построение сетки.

• Выбор решаемой линейной/нелинейной задачи.

• Выбор базисных функций.

• Составление локальных СЛАУ

• Задание начального приближения.

• Предобуславливание.

• Выбор способа обхода области.

• Свойство локальной с.к. в МКНК

• Ускорение по Крылову.

Решение УЧП, моделирование изгиба пластин и течения полимерной жидкости.

Пояснения

1. Базисные функции: полиномы Чебышева, мономы произвольной степени.

2. Операция продолжения для начального приближения.

3. Последовательный обход области или основанный на красно-черном упорядочивании с распараллеливанием с помощью ОрепМР.

4. Предобуславливание: диагональный, весовые множители.

5. Свойство локальной с.к. применяется в линейной задаче с постоянными коэффициентами.

6. Итерации по нелинейности сочетаются с подобластями.

7. Язык программирования: С++.

Рисунок 2.8 Схема разработанного комплекса программ для ЭВМ.

пых переменных, заданных в начале программы, например, размеры сетки и степень аппроксимирующих полиномов, а также несколько десятков различных функций. Так, в качестве примера, ниже приведен фрагмент кода алгоритмов (функция void domam_traversal()), реализующих два обхода области в двумерном случае: первый способ основан на красно-черном упорядочивании с применением распараллеливания с помощью ОрепМР (рисунок 2.6 б), второй последовательный обход (рисунок 2.6 а).

void domain_traversal () {

if (parallel = 1) // обход, основанный

// на красно—черном упорядочивании {

omp_set_num_threads (4); // задаем количество потоков ^pragma omp parallel for

for (int i = 0; i < nl; i--) // nl , n'2 — размеры сетки

for (int j = 0; j < n'2: j--)

if (( i - j ) % 2 = 0)

set(i, j); // формируем матрицу и находим, решение локальной СЛАУ в ячейке с номером (г , j)

^pragma omp parallel for

for ( int i = 0; i < nl ; i++)

for ( int j = 0; j < n2; j++) if ((i + j) % 2 = 1) set(i , j );

}

else // последовательный обход

{

for (int i = 0; i < nl ; i++)

for ( int j = 0; j < n2; j++)

set(i , j );

}

}

На рисунке 2.8 приведены краткие комментарии с пояснениями и схематичное изображение важных особенностей программ, иллюстрирующих их работу. Для проведения расчетов в каждой программе основная функция main вызывает ряд функций, которые также в свою очередь могут вызывать другие вспомогательные функции и т.д. Выделяются функции, свойственные всем рассмотренным здесь программам, а также специальные, которые необходимы для реализации выполнения конкретной задачи. К первому случаю относятся функции для

• задания параметров задачи и построение расчетной сетки;

• аппроксимации краевых задач МКНК, приводящих к разрешающим переопределенным СЛАУ;

• организации итерационного процесса нахождения приближенного решения, в том числе реализации алгоритмов ускорения итерационного процесса решений глобальной СЛАУ;

• вычисления погрешностей и сохранения результатов.

К специальным функциям, например, относятся: восполнение дискретно заданной внешней границы области с помощью векторных сплайн-функций, в качестве компонент которых являются кубические сплайны; вычисление деформаций и кривизн срединной поверхности при записи продольных усилий и изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.

В зависимости от решаемой задачи основные функции учитывают их специфику. Например, в случае наличия внутренней линии разрыва параметров задачи условия согласования модифицируются для учета особенности; при решении нелинейной задачи итерации по подобластям и нелинейности совмещаются; запись уравнений коллокации, условий согласования и краевых условий осуществляется для конкретно решаемой задачи; дифференцирование аппроксимирующих полиномов зависит от их вида.

Консольное окно используется для отображения ключевых параметров выполняемой компьютерной программы для решения задачи. Так, на рисунке 2.9 приведен пример консольного вывода программы решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона из примера 3.1.1 при К = 2 на сетке 80x80. Выводится значение псевдопогрешности на текущей итерации, что позволяет пользователю следить за сходимостью МКНК.

■ сДusers',(¡па_£И0',Ьс1сит1 cits1!,'flnjal stinSo ¿(117v>Vo|ei:ts\np-iiCM fw salving ellinfc?I>£ii\ic64\ReleB=e'li,hp-LSCV fir solving elliptic PDEm«

Tops of rectangle: (-0.5, -0.5), (0.5, -0.5), (0.5, 0.5), (-0.5, 0.5)

Degree of polynomials: 2

Number of unknown coefficients: 6

Grid size: 80 x 80

If you want to stop the iterative process then press *

Number of iterations: 61

Pseudo-error: 8,21502e-08

Run time in seconds of the iterative process: 1.313

Ea inf: 0.00345452

ля продолжения нажмите любую клавишу . . .

Рисунок 2.9 Пример консольного вывода программы.

Файлы с расширением используются для

• задания параметров композитной балки и законов деформирования материалов;

• изображения структуры построенной расчетной сетки и точек записи уравнений приближенной задачи;

• сохранения полученных результатов, необходимых для визуализации полученных решений или для проведения дальнейших расчетов.

2.5. Выводы по главе 2

Как итог, обобщение новых вариантов МКНК по сравнению с предложенными ранее вариантами метода заключалось в совокупности следующих основных разработок и реализаций.

1. Разработаны и реализованы новые достаточно универсальные Ь-, р- и Ьр-МКНК повышенной точности решения краевых задач в канонических и нерегулярных областях, в том числе при наличии внутренней прямо- или криволинейной линии разрыва параметров задачи, с дискретно заданной внешней границей области и в многосвязных областях.

2. Для построения расчетных сеток в нерегулярных областях использовались квазирегулярная сетка и сетки, основанные на идее присоединения вытянутых и/или малых несамостоятельных н-ячеек к соседним самостоятельным и использования их законтурных частей. Последний подход также применялся для решения задач в канонической квадратной области с наличием внутренней криволинейной линии разрыва.

3. Реализовано комбинированное применение новых вариантов МКНК с современными алгоритмами ускорения итерационного процесса. Получены аналитические формулы для осуществления операции продолжения в случае применения полиномов Чебышева и мономов произвольной степени.

4. Создан комплекс программ на основе предложенных и реализованных Ьр-МКНК и алгоритмов ускорения итерационного процесса решения глобальной СЛАУ, позволяющий численно решать различные краевые задачи МСС и проводить численное моделирование: трех- и четырехточечного изгиба композитных балок; изгиба изотропных и ортотропных пластин простых и сложных форм под действием поперечных нагрузок; стационарного неизотермического течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением.

Основные результаты главы 2 опубликованы в [1-6,11,12,20,24,25,27,29,32-35].

Глава 3. Численное решение эллиптических уравнений

В главах 3, 4 и частично в 5 в представленных ниже таблицах для отдельно взятой искомой функции и приведены значения относительной погрешности приближенного решения в дискретном аналоге нормы Ь2

Ег У 2 =

\

^сеИв Я]

Е Е(и(тЛт ,Х2т) — и^(Х1т,Х2т))2

]=1 т=1

Е Е(и(х1т,Х2т))2

]=1 т=1

относительной погрешности приближенного решения в бесконечной норме

1Е II =

^Г II ОО -

тах ( тах 1и(хЬт,Х2т) — и^(хЬт, Х2т)\) з=1,...,мсец3 т=1,...,Я^

тах ( тах \и(х1т,х2т)\) 0=1,...,ысеиа т

(3.1)

абсолютной погрешности приближенного решения в дискретном аналоге нормы

Ь2

Еа\\2 =

\

Е ^2(и(Х1т ,Х2т) — и^(Х1т, Х2т) )2

]=1 т=1

Nсе11з

Е Я

3=1

абсолютной погрешности приближенного решения в норме Ь2

\Е,

а\\Ь2

\

(и — иьУ (О,,

п

(3.2)

абсолютной погрешности приближенного решения в бесконечной норме

\Еа\\ж = ш тах ( тах \и(Х1 т, Х2т ) — иН](Х1 т, Х2т ¡и 1

где Я' — количество равномерно распределенных контрольных точек (Х1т, Х2т)7 и

ищ — приближенное решение в ^'-ой ячейке.

В (3.2) интеграл считался с помощью прямого произведения одномерных квадратурных формул Гаусса с 20 узлами по каждому из направлений координат, иь — приближенное решение в Q. Здесь Qj = 10000 в р-МКHKi, а в остальных вариантах МКНК Qj > 100. Порядок сходимости погрешности численного решения в случае измельчения шагов сетки при фиксированной степени полиномов определим

Е

R = iog2 ^, (3.3)

tic

где Ер — значение погрешности (\\Er\\ErН^^, ||tiay¿2 ми на

сетке размера N\/2xN2/2, Ес — значение погрешности на сетке размераN\xN2.

Во всех численных экспериментах во всех вариантах МКНК кроме p-MKHKi) в итерационном процессе па самой грубой сетке здесь в на-

чальном приближении решения взяты с^ = 0.4 за исключением главы 5.

Для демонстрации представления чисел здесь также используется экспоненциальный формат, например, 3.843е-1 = 3.843 • 10-1.

В примерах 3.1.1 (и в подразделах 3.1.1, 3.1.3), 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4 использовался базис (2.5) при равномерном расположении точек коллокации (в количестве К2), согласования (в количестве К на каждой общей стороне между соседними ячейками) и записи краевых условий (в количестве К на каждой стороне ячейки, совпадающей с границей области). В примерах 3.1.5, 3.1.6 использовался базис (2.4) при равномерном расположении точек записи краевых условий на стороне, совпадающей с границей области, в количестве [(К + 1)2/4], где «[•]» — целая часть числа. Точки коллокации записывались в корнях ортогональных полиномов Чебышева (а1 , а22), точки согласования имели координаты (±1,а2 ) для правой и левой сторон ячейки соответственно, (а\ , ±1) для верхней и нижней сторон ячейки соответственно, ъ\ = 1,... ,К + 1 ъ2 = 1,... ,К + 1, и а22 — корни многочлена Чебышева первого рода степени К + 1.

В разделе 3.2 уравнения коллокации дополнительно умножались на ЬЬ^Ь^ вторые условия согласования, отвечающие за непрерывность линейной комбинации вторых и третьих производных, дополнительно умножались на Н1Н2. В примерах 3.2.1, 3.2.2 и 3.2.5 точки коллокации расставлены по схеме, изображенной на рисунке 2.3 в Ь-МКНК, р-МКНК^ и Ьр-МКНК.

3.1. Уравнения второго порядка

Рассмотренные ниже особенности в тестовых задачах могут возникать при решении различных прикладных задач. Так, например, большие градиенты решений могут появляться при моделировании поведения анизотропных конструкций. В своей работе [168] Б.Д. Аннин и Ю.М. Волчков отмечают: «В слоистых пластинах и оболочках на границах между слоями вблизи свободных поверхностей возникают большие градиенты напряжений (межслойные эффекты), вследствие чего при наличии слоев с существенно различными механическими свойствами появляются разрывы и расслоения». Условия с разрывами параметров задачи используются при моделировании теплопереноса в конструкциях из разнородных материалов [64]. В главе 4 при решении задач МДТТ возникли особенности в виде разрыва производных в точках приложений сосредоточенных нагрузок к балкам и полюса за внутренней границей Q при численном моделировании изгиба кольцевой пластины. Характерными особенностями при численном анализе течения полимерной жидкости в главе 5 были пограничные слои и ограниченная гладкость решения.

Таким образом, важно при разработке численных методов исследовать их возможности при решении задач с различными особенностями. Также важно проводить сравнения полученных результатов с результатами других численных методов для демонстрации достоинств и преимуществ предлагаемых подходов.

3.1.1. Анализ времени расчетов и количества итераций в МКНК

Сначала продемонстрируем эффективность сочетания МКНК с различными алгоритмами ускорения на примере решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона (1.20), (1.22) в Q = [-0.5,0.5] х [—0.5,0.5] с тестовым решением и(х\,х2) = e—3(x2l+x'2) (рисунок 3.1 а) и правой частью уравнения f(х\,х2) = 4(32(х1 + х2) — 3)е—3(x2+x2) при 3 = 100 [150].

В таблице 3.1 приведена информация об использовании способов ускорения в различных случаях, где значок «+» означает то, что этот способ применялся в расчетах в конкретном случае. При этом дополнительно везде исполь-

зовался диагональный предобуславливатель, а значения весовых множителей были взяты рс = h2 рто = 1 рт1 = h = h\ = h2, Ръ0 = 1 (аналогично в примерах 3.1.1 3.1.4). В тех случаях, когда распараллеливание не использовалось, применялся последовательный способ обхода области от одной ячейки к другой (рисунок 2.6 а). В ускорении по Крылову использовалось 10 невязок. В таблице 3.2 приведены Niter, tsoi в секундах и их отношения AFi и AFt соответственно для разных случаев по отношению к случаю А с указанием значения псевдопогрешности е для остановки итерационного процесса. Расчеты проведены на компьютере Intel Core i7-4700MQ CPU 2.40 GHz, DIMM DDR3 800 MHz 6 Gb, для распараллеливания использовалось четыре потока. В случаях Д и Е предварительно для задания начального приближения был проведен расчет на более грубой сетке по сравнению с самой подробной, указанной в таблице 3.2.

Таблица 3.1 Информация об использованных способах ускорения.

Случай Запоминание матриц Распараллеливание с помощью ОрепМР Ускорение по Крылову Операция продолжения

А

Б •

В •