Новые представления канонического оператора Маслова с комплексными фазами и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Клевин Александр Игоревич

• Клевин Александр Игоревич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Клевин Александр Игоревич

2.2 Метод стационарной фазы

2.3 Осциллирующие интегралы и канонический оператор

2.4 Конструкция нового представления

2.5 Доказательство теоремы о новом представлении канонического оператора

Глава 3. Приложения теоретических результатов

3.1 Асимптотические собственные функции типа "прыгающего мячика" двумерного оператора Шрёдингера с симметричным потенциалом

3.2 Асимптотические собственные функции анизотропной задачи Кеплера, локализованные в окрестности колец

3.3 Асимптотика собственных функций типа прыгающего мячика оператора VD(x)V в области, ограниченной полужесткими стенками

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые представления канонического оператора Маслова с комплексными фазами и приложения»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Теория канонического оператора Маслова (см. [29; 51; 52; 82—87]) обобщает метод ВКБ-приближения для дифференциальных уравнений с частными производными с малым параметром Н > 0. Метод ВКБ (или квазиклассическое приближение, см. например, [80]) основан на представлении локального решения в виде Л(х) exp(iS(х)/Н) (ВКБ-представление) и позволяет найти асимптотическое решение такого вида в областях, свободных от фокальных точек или точек каустик (точек поворота в случае одномерного х). Асимптотики, представленные каноническим оператором глобальны и справедливы в том числе и в окрестности фокальных точек. С помощью канонического оператора могут быть получены асимптотические решения различных задач (например, задача Коши или спектральная задача), связанных с дифференциальными и псевдодифференциальными уравнениями (также существует обобщение на случай систем уравнений). Фазовая функция S(х) может быть вещественной или комплексной. Во втором случае как правило предполагается, что 1т S > 0. Соответственно, говорят о каноническом операторе с вещественными или с комплексными фазами.

Понятие лагранжева многообразия в фазовом пространстве над конфигурационном пространством лежит в основе теории канонического оператора с вещественными фазами. Канонический оператор ассоциирован с лагранжевым многообразием и действует на функции на нем (называемые амплитудами), давая в результате функции на конфигурационном пространстве. Если лагранжево многообразие состоит из траекторий гамильтонова векторного поля, определяемых заданным псевдодифференциальным оператором, то канонический оператор Маслова связывает такой оператор с дифференцированием гамильтонова векторного поля на лагранжевом многообразии. Особенности проекции лагранжева многообразия на конфигурационное пространство состоят из точек, называемых фокальными. Конструкция канонического оператора при их появлении основы-

вается на локальном переходе в импульсное представление по части переменных x = (xi,... , xn) с номерами из списка I С (1,..., n). При этом канонический оператор локально определяется как |11-мерный интеграл по соответствующим импульсным переменным.

В случае комплексной фазы в простейшей ситуации, предполагающей, что множество {x | Im S(x) = 0} является подмногообразием постоянной размерности к, причем в его точках rank Sxx = n — к, где n — длина переменной x, соответствующая теория была развита в монографиях [29; 83] и статьях [51; 52; 74]. Канонический оператор здесь вместо лагранжева многообразия ассоциирован с изотропным многообразием с комплексныи ростком (положительным лагранжевым комплексным векторным расслоением над изотропным многообразием) — объектом, обобщающим лагранжевы многообразия. Асимптотики, определяемые каноническим оператором с комплексными фазами, оказываются локализованными в окрестности k-мерного многообразия {x | Im S(x) = 0}. При к = 0 асимптотические решения имеют вид гауссовых волновых пакетов и связаны с хорошо известным приближением гармонического осциллятора. Ситуация к = 1 разделяется на два случая. Если множество {Im S = 0} — замкнутая кривая, то они описывают асимптотические собственные функции, локализованные в окрестности замкнутых кривых, например, асимптотические собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа, локализованные в окрестности замкнутой геодезической (см. [47; 48]), в более общем случае — решения, сосредоточенные в окрестности замкнутых траекторий (см. [36]). В случае, когда множество {Im S = 0} — незамкнутая кривая, такие асимптотические решения часто называют когерентными или траекторно-когерентными состояниями (см. [49; 81]). Конструкции, основанные на суммировании гауссовых волновых пучков были предложены в [34] и использованы в различных приложениях, например, в [35] и [24]. Использование в качестве базиса гауссовых волновых пакетов (см., например, [21; 22]) позволило записать канонический оператор Маслова в виде отличном от известного представления, приведенного, например,

в [86]. Более сложные ситуации, соответствующие k > 1 возникают, например, в случаях, когда соответствующие гамильтоновы системы оказываются «частично» интегрируемыми (интегрируемыми на некоторых инвариантных подпространствах, см., например, [53]).

С прикладной точки зрения теория канонического оператора Маслова предоставляет алгоритм получения решений широкого круга задач (среди них, например, [3; 4; 6—8; 10; 26; 39; 40; 55; 56; 62; 78; 79]). Подобные решения, имеющие вид аналитических выражений, часто могут быть исследованы и визуализированы с помощью различных программных пакетов (например, WOLFRAM MATHEMATICA) практически в режиме реального времени. Стандартная конструкция канонического оператора, основанная на идее перехода в импульсное представление по части переменных, оказывается недостаточно приспособленной к цели эффективной с вычислительной точки зрения ее компьютерной реализации. Узким местом здесь является численное интегрирование быстро осциллирующих функций. В последнее время появляются работы (см. [11; 12; 42; 63; 64; 66; 71; 72]), направленные на представление результата в эффективной форме. Первое направление данной деятельности заключается в получении наиболее простых интегральных выражений получаемых асимптотик. Второе направление заключается в представлении упрощенных интегральных формул в виде специальных функций. В одной из центральных работ [71] в общем случае предложено представление канонического оператора, опирающееся не на импульсно-координатную систему координат фазового пространства, содержащее лагранжево многообразие, а на внутреннюю координатную систему лагранжева многообразия. С прикладной точки зрения это означает возможность использования наиболее естественной и удобной системы координат на возникающем в конкретной задаче лагранжевом многообразии. Как правило, размерность области, по которой происходит интегрирование осциллирующей функции, при переходе к такому представлению не уменьшается, но значительно упрощается сама интегрируемая функция. Зачастую упрощаются и вспомогательные кон-

струкции, использующиеся при построении канонического оператора, а именно более простым можно взять атлас на лагранжевом многообразии, необходимый при определении канонического оператора. Приведенная выше серия работ (в частности, работа [71]) относится к каноническому оператору с вещественными фазами и не затрагивает канонический оператор с комплексными фазами. При этом при исследовании прикладных задач (например, в работах [26; 78; 79]) возникает потребность в подобных результатах для комплексного канонического оператора. В качестве иллюстрации проблематики можно упомянуть работы [21; 22; 77], в которых для вещественного и комплексного канонического оператора предложено довольно элегантное по форме представление канонического оператора в виде глобального (и не требующего рассмотрения атласа из карт с разного типа системами локальных координат) интегрирования по всему изотропному многообразию функции вида параметрически зависящего от точки изотропного многообразия гауссова пакета. Недостатком в вычислительном отношении данного подхода является тот факт, что возникающий интеграл имеет как правило избыточную в сравнении с другими подходами размерность, а также то, что фаза подынтегральной ВКБ-функции «максимально комплексна» (в стандартном подходе она вещественна на подмножестве размерности к в х-пространстве размерности п; для гауссова пакета же мнимая часть фазы равна нулю только в точке его центра), что может служить дополнительным препятствием для представления асимптотики в виде специальных функций с помощью известных методов.

Цели и задачи исследования. Целью работы является получение наиболее эффективного представления канонического оператора с комплексными фазами. Ставится задача обобщения представлений типа [71] канонического оператора со случая вещественных фаз на случай комплексных фаз. Также целью работы является получение асимптотических решений спектральных задач в виде гауссовых пучков и функций, локализованных в окрестности двумерной поверхности,

для следующих операторов: 1) для двумерного оператора Шрёдингера с симметричным потенциалом; 2) для трехмерного оператора Шрёдингера, связанного с анизотропной задачей Кеплера; 3) для оператора —Н2УЛ(х)У с вырождением коэффициента Б(х) на границе двумерной области.

Методы исследования. В диссертации используется теория осциллирующих интегралов и исчисление псевдодифференциальных операторов (см. [18; 20; 60; 61; 84; 86; 94; 95; 97; 98; 100—103]), которые являются основой при изучении канонического оператора и квазиклассических асимптотик.

Положения, выносимые на защиту. Результаты диссертации состоят в следующем:

(1) Получено новое представление канонического оператора Маслова на изотропном многообразии с комплексным ростком.

(2) Построена серия локализованных в окрестности отрезка асимптотических собственных функций типа гауссовых пучков в виде специальной функции Эйри для двумерного оператора Шрёдингера с потенциалом, ограничение которого на одну из осей является функцией вида простой ямы.

(3) Построена серия локализованных в окрестности кольца асимптотических собственных функций в виде специальной функции Эйри для трехмерного оператора Шрёдингера с потенциалом, соответствующим анизотропной задаче Кеплера.

(4) Построена серия локализованных в окрестности отрезка асимптотических собственных функций вида гауссовых пучков в виде специальной функции Бесселя для двумерного оператора —Н2УЛ(х)У с обращающимся в нуль на границе области коэффициентом Б(х).

Научная новизна. Результат в виде нового представления канонического оператора с комплексными фазами в диссертационной работе получен впервые.

Для двух рассматриваемых задач, связанных с оператором Шрёдингера, впервые получено представление асимптотических решений типа гауссовых пучков в виде специальной функции Эйри. Для задачи, связанной с оператором с вырождающимся на границе области коэффициентом, в диссертационной работе впервые построены осциллирующие решения решения в виде гауссовых пучков.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для получения локализованных осциллирующих асимптотических решений различных задач, связанных с дифференциальными и псевдодифференциальными уравнениями, в форме, более эффективной при численном моделировании. Предложенные представления могут служить основой для представления решений в виде специальных функций — форме, обеспечивающей наименее вычислительно затратные исследования.

Личный вклад автора. Результаты диссертации получены автором лично.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, отдела комплексного анализа Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на 61 научной конференции МФТИ, а также на международных конференциях «Days on Diffraction 2019» (Санкт-Петербург, 2019), «Special Functions and Semi-Classical Approximation Workshop» (Марсель, Франция, 2020), «Dynamics in Siberia 2021» (Новосибирск, 2021), «Days on Diffraction 2022» (Санкт-Петербург, 2022).

Публикации. Представленные в диссертации результаты опубликованы в 4 статьях [25; 26; 78; 79] в рецензируемых журналах, индексируемых в базах Web of Science и Scopus.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 104 наименования. Объем диссертации составляет 110 страниц.

Глава 1. Стандартное представление канонического оператора

В данной главе приводится известное определение канонического оператора. Мы называем данное определение определение стандартным представлением канонического оператора.

1.1 Изотропное многообразие с комплексным ростком в фазовом

пространстве

Используемые обозначения. Для данного произвольного многообразия М через ТСМ будем обозначать обозначать послойную комплексификацию его касательного векторного расслоения ТМ.

Мы будем придерживаться следующих соглашений: векторы представляются столбцами, например, V = (^1,... , vn)т; производная /х функции /(х) по х = (х1?..., хп) представляется строкой (/Х1,..., /Хп); производная векторной функции v(x) представляется матрицей со столбцами vХj; матрица смешанных производных по многомерным переменным х, у функции /(х,у) равна /ху = ((/х)т)у; матрица Гессе вторых производных функции /(х) по х равна ¿2/ = /хх = ((/х)т)х. Разрешены отступления от этих правил в понятных ситуациях, например, при сравнении V = /х вектора и значения производной.

Фазовое пространство. Рассмотрим конфигурационное пространство К

с координатами х = (х1,...,хп) и фазовое пространство Т*Кп = ^П с ко-

хр

1

ординатами (х,р), где р = (р1,... ,рп), оснащенное симплектической формой 7 (р7- Л (1х .

и = 7 Л (х7-. Также рассмотрим расслоение ТСТ*Кп = К2п х С2п с ко-

ординатами (х,р, дх, др), где дх = (дх1?..., дхп)т, др = (др1?..., дрп)т — комплексные столбцы. Определены комплексификации формы ш(и^): линейная

и(и, V) е Л2((ТСТ*Кп)*) и полуторалинейная u(u,V) е (ТСТ*Кп)* ® (ТСТ*Кп)*.

Изотропное многообразие с комплексным ростком. Пусть Л С R

2 n

xp

изотропное (по определению это означает, что ы|Л = 0) многообразие, dim Л = к, 0 < к < n. Пусть вложение Л в R2n задается некоторыми функциями x = X(т), p = P(т), т Е Л. Отметим, что конструкция канонического оператора может быть дословно обобщена и на иммерсированные изотропные многообразия в фазовом пространстве. Через T^RX^P обозначим сужение базы расслоения TCRX^P на Л. Подрасслоение (Л,г) С T^RX^P размерности n называется комплексным ростком над Л, если выполнены следующие условия: 1) TcЛ С r (TСЛ — подрасслоение r); 2) Для каждого т Е Л из1 u,v Е г(т) следует w(u,v) = 0 (слои r лагранжевы); 3) u Е r \ TСЛ (2i)—1w(u,u) > 0 (условие положительности на дополнении TcЛ в r). Мерой на (Л, r) называют не обращающуюся в нуль n-форму на векторном расслоении d^ Е Лп(г*). Рассматривают функции A Е С0°(Л, C), называемые амплитудами.

Фокальные точки и импульсное представление. Будем говорить о проекции на х-плоскость ЩП ^ Щ и ее (комплексифицированном) дифференциале.

хр X

Точка т Е Л называется неособой, если ТтЛ инъективно проектируется на х-плоскость Мп. Эквивалентное условие (см. [29]): г(т) инъективно проектируется на комплексную х-плоскость С^. В противном случае точка называется особой или фокальной. Каждому возрастающему списку номеров координат I сопоставим поворот <7/ в фазовом пространстве:

I = (¿1, . . . ,2|/1) С (1, . . . ,п), ¿1 < . . . < 2|/1,

Х1 (х«1 , ... , 1 ) , Р1 (РН 5 ... 5 ) 5

^: ЩХПР ^ 5 ^= (х,р)|(х/,Р1 )=(Р1 ,-х1). (1.1.1)

Определено также действие <7/ в пространстве СЩ^. Образ <7/(Л, г) также является изотропным многообразием с комплексным ростком. Точка т Е Л называется 1-неособой, если <7/т неособа на 3\Л. Например, неособые точки это

1 Через г(т) обозначен слой расслоения в точке т.

в точности 0-неособые точки. Известно, что каждая точка т € Л является I-неособой для некоторого I. Для данного I введем координаты2 (Р,р) = 3/(ж,р), (дР, др) = 3/(дж, др) и функции (X, Р) = J/(X, Р) (например, переменная ж длины п состоит из компонент ж с дополнительными к I номерами и из всех компонент р/).

Формально определены прямое и обратное /-преобразования Фурье по координатам из I с нужной нормировкой:

^Ы/(ж)](р) = /ехр (— ж/)/' (1.1.2)

м!11

(р)](ж) = ехр (//р1х/)/(Р)^р/ •

ми

Оценки вида /^ж, /) = 0(/2(ж, /)) означают возможность представления / = /2д для некоторой функции д(ж, /) такой, что для любых мультииндексов а, в €

МП выполняется

вир ||жа(—¿/д/дж)вд||£2(мп) < то. (1.1.3)

. г)

Данная оценка сохраняется при действии Т/^ (или на обе функции /1, /2.

Мера при проектировании. Для каждого I С (1,... ,п) на Л определена следующая не обращающаяся в нуль гладкая функция переменных т, £ > 0:

т/(т) = Мр1 — ^РО Л . . . Л ^(рп — 1£Рп)]\г(т) = 0 (114)

dj.it

Свойство I-неособости точки т € Л означает ш+0(т) = 0 (через +0 обозначен предел в 0 справа). Также это свойство означает, что для каждой т из окрестности т на плоскости г(т) могут быть выбраны координаты дР; при этом г(т) является графиком линейной зависимости дрот дР, в базисах (дР^) и (др) заданной некоторой матрицей С/ (т).

На универсальном накрытии Л для каждого I определены две ветви у^ш1. Сформулируем условие согласования выбора ветвей: для каждой I- и !'-неособой

2Мы опускаем обозначение зависимости от /.

точки т на универсальном накрытии Л должно выполняться (см. [28, Раздел У.3])

ехр ( - ¿П|11) ^ЧЙ = ехр ( - ¿П|1'|) (1.1.5)

Данное условие оставляет две возможности согласованного выбора ветвей \/Ш1 на универсальном накрытии Л. Выбор между ними может быть осуществлен посредством фиксирования значения ^ш1(г) для некоторых I, т, £ > 0.

Выражения в координатах. Рассмотрим координатные выражения рассмотренных объектов. Пусть в некотором открытом подмножестве в Л выбран гладко зависящий от т базис (и1(т),..., ип(т)) слоев г(т). Введем не обращающуюся в нуль гладкую функцию д(т) = ¿м(и15..., ип) — вычисление меры на базисе. Введем два столбца (^х,^р) = (С(т),Bj(т)) высоты п координат вектора и^ (т). Составим из столбцов гладкие комплексные п х п-матрицы С(т) = (СЬ...,СП), В(т) = (ВЬ...,ВП) и матрицы (§) = ^(§). Тогда СI = В5-1, ш1 = м-1 ае1(<5 - ¿£вВ).

1.2 Канонический оператор на изотропном многообразии с

комплексным ростком

Приведем (см. [29]) стандартное определение канонического оператора на связном изотропном многообразии с комплексным ростком (Л, г) с мерой ¿д.

Атлас и пути на изотропном многообразии. Пусть Л в М2п задается некоторыми функциями х = X (т), р = Р(т), т Е Л. Зафиксируем некоторую точку т0 Е Л и согласованный в смысле условий (1.1.5) выбор3 ветвей у^ш1 в т0.

Возьмем существующий на Л такой локально конечный атлас, состоящий из связных односвязных карт Л1У, что для каждой карты Л^ найдется I = 11У, что проекция на Щ является вложением (в частности, множество Л^ состоит

3Например, если то является 1о-неособой, то выбор может быть осуществлен посредством выбора ветви

уш+ы-

из 1-неособых точек). Зададим кусочно гладкие кривые Г^: [0,1] ^ Л с началом го и концом в некоторой точке т0^ € Л^. Символом т помимо точек Л будем обозначать также локальные координаты на Л^.

Предварительные конструкции. Для каждой карты Л„ сделаем следующее. Посредством переноса вдоль Г^ в карте определяются ветви — однозначные функции на Л1У.

Поскольку X: Л^ ^ — вложение, существует трубчатая окрестность X(Л) с некоторой проекцией т(ж), которую мы рассматриваем как отображение из окрестности XX(Л^) со значениями в Л1У. Например, можно взять ортогональную проекцию, являющуюся решением системы (Хт)т(ж — X) = 0.

Возьмем некоторую равную 1 в окрестности X (Л^) гладкую срезающую функцию д(ж), что для каждого А € Со°(Л^) носитель А(т(ж))д(ж) компактен и содержится в области определения т(ж). Данная функция может быть определена следующим образом. Структура трубчатой окрестности устанавливает диффеоморфизм окрестности X (Л^) и некоторого векторного расслоения над Л1У, который продолжает вложение нулевого сечения XX |л„ (здесь Л^ рассматривается как нулевое сечение векторного расслоения над собой). Возьмем гладкую функцию д на этом векторном расслоении, равную 1 в окрестности нулевого сечения, и носитель которой компактен в каждом слое.

Определение канонического оператора. Локальный канонический оператор в карте Л^ с параметром Н > 0 действует на функции А € Со°(Л^) по формуле

КА](Х'Н)=е2ПНр/ехр(Н(Ж+р^'ХхН^(г,)д<^ (ь2л)

т \ "чо

где I = и фазовая функция определяется выражением4 Р(Р) = ^ Рт¿X - [Р/ТX/](то^) +

т (1.2.2)

+ [ [ Рт¿XI + Рт(ж - X) + ^(ж - X)тС/(ж - X)1 .

и Г У У Ч т=т (р)

то^

Второй интеграл берется по произвольному пути в Л^ с указанными концами и не зависит от его выбора. Пусть {е^} — гладкое разбиение единицы, подчиненное покрытию {Л^}. Глобальный канонический оператор, действующий на функции А Е СО00(Л), определяется равенством

Кл,^ А = £ К( (е^ А).

V

Условие квантования. Канонический оператор не изменится при непрерывной деформации Г1У, которая оставляет точку т0 на месте, а конечную точку т0ь, не выводит за пределы ЛV. Канонический оператор с точностью до 0(л/^) не зависит от выбора {eV} и от выбора и т(ж) для каждого ЛV. При изменении выбора ветвей на противоположный канонический оператор К(Л г) ^ умножается на -1. Пусть выбрана точка тО вместо т0, причем задан путь Г с началом в тО и с концом в т0. Предположим, что вместо путей Г}/ выбраны пути Г и Г1У, а ветви перенесены из т0 в т^ вдоль Г. Тогда канонический оператор при таком изменении умножается на множитель ехр(( ^ РТ¿X).

Чтобы в случае, вообще говоря, неодносвязного Л канонический оператор с точностью до

О(^) не зависел от гомотопических классов путей Г1У, необходимо выполнения так называемого условия квантования. Для формулировки их в большей общности по аналогии с [16] будем считать, что т — точка на универсальном накрытии Л, на котором определяются ¿д, А, т0, {т^}, {^}. Пусть т0 является 10-неособой. Условие квантования заключается в том, что для некоторого представителя Г: [0,1] ^ Л каждого гомотопического класса из

4Здесь Рт3Х = ^ . РтХт.и аналогично для Рт 3X.

П1(Л,то), рассматриваемого на универсальном накрытии Л, выполнено

ехр (Н ( рт ¿X

А

т

А

+о

Г(1)

т

+о

Г(о)

(1.2.3)

о

о

Глава 2. Новое представление канонического оператора

2.1 Изотропное многообразие с комплексным ростком, определяемое фазовой функцией

Канонический оператор сопоставляет изотропному многообразию с комплексным ростком (Л, г) с мерой ¿д и функции А Е С0 (Л) сумму интегралов вида

ехр(—Г / ^ \

4 ехш —Б (ж,^))

(2nh)m/2 J ^ \h

rm

с комплекснозначной фазовой функцией S. Обратно, для данных функций S и а можно ввести характеризующие асимптотику интеграла изотропное многообразие с комплексным ростком (As , rs) с мерой d^s и функцию A(s,a) на As. В данном разделе описывается конструкция этих объектов. В случае вещественной фазы подобная процедура определения лагранжева многообразия по функции S хорошо известна (см., например, [30, Раздел 9.4], [45, Раздел 19], [5; 17; 18; 46; 59]). Задача заключается в обобщении конструкции на случай комплексной фазы и изотропного многообразия с комплексным ростком.

Для некоторого открытого множества U С Rn+m с координатами (ж,^) = (xi,..., жп, ^i,..., фт) рассмотрим кокасательное расслоение п: T*U ^ U с координатами (ж,^,рх,рф) и симплектическую форму на T*U:

o>i = o>ix + := ^ dPxj A dXj + ^ dp^j Л d^.

j j

Введем также расслоение TCT*U, с координатами (ж, ф,рх,рф, дж, dpx, дрф). Рассматривается функция S(ж,^) G C(U, C), для которой выполнены условия: (A1) Im S > 0.

(A2) Ys = {(ж,^) G U | ImS(ж,^) = 0} — гладкое подмногообразие в U. (A3) rankIm d2S(ж,^) = codim ys при (ж,^) G ys, где

d2 S I Sxx Sx^

\ Sфx Sфф

Следующее довольно очевидное предложение позволяет перейти к условиям, не включающим глобальное условие неотрицательности 1т Б > 0.

Предложение 2.1.1. Пусть дана функция Б(ж,ф) Е С°(и', С) и гладкое к-мерное подмногообразие 7 С V. И пусть для каждой точки (ж,ф) Е 7 (Б1) 1т Б (ж,ф) =0. (Б2) 1т ¿Б (ж,ф) = 0.

(Б3) Квадратичная форма, заданная матрицей 1т¿2Б(ж,ф), положительно определена на некотором дополнении подпространства Т>,ф)7 С Т^^Ц7. Тогда найдется окрестность V Э 7, что для Б\и выполнены условия (Л1-Л3); при этом в этой окрестности 75- = 7. Обратно, пусть для Б(ж,ф) Е С0 (V, С) выполнены условия (Л1-Л3). Тогда для V = V, данного Б, 7 = 75 выполнены условия (Б1-Б3).

Удовлетворяющая условиям (Л1-Л3) функция Б(ж,ф) Е С°(Ц, С) стандартным образом порождает изотропное многообразие с комплексным ростком (Лх, Г1) в виде графиков дифференциала ¿Б и линейного отображения с матрицей ¿2 Б:

Лх = {(ж,ф,Бх(ж,ф),Бф(ж,ф)) \ (ж,ф) Е 75}, (2.1.1)

Г1(А) = {(¿ж,£ф,^Рф) Е ТЛСТ*Ц \ () = ( £ 5;; )(и)}, (2.1.2) Л = (ж,ф,Бх(ж,ф),Бф(ж,ф)) Е Лх, (ж,ф) Е 75.

В выражении для гх (А) предполагается, что вторые производные от Б берутся в соответствующей точке (ж, ф) Е 75. Подмногообразие Лх имеет совпадающую с 75 размерность, плоскости гх (А) имеют размерности п + т. Рассмотрим подмногообразие

N = {(ж,ф,рж,Рф) Е Т*Ц \ рф = 0}, (2.1.3)

размерности 2п + т и послойную комплексификацию его касательного расслоения TCN. Предположим, что

(С1) Пересечение Л1 и N чистое, то есть Л1 П N — подмногообразие в Т*и и

ТлЛ1 П Т^ = Тл(Л1 П N) для каждого Л Е Л1 П N. (С2) Для каждого Л Е Л1 П N плоскости г1(Л) и TCN пересекаются трансвер-сально.

Введем множество С^ С и и для каждой точки (ж,^) Е С^ плоскость (ж^) С Т£^и:

О^ = {(ж,^) Е и | 1тБ(ж,^) = 0,5^(ж,^) = 0}, Я^(ж,^) = {(¿ж, ад Е Тс^и | + = 0}, (ж,^) Е С^.

В выражении для Я^(ж, предполагается, что вторые производные от Б берутся в соответствующей точке (ж,^) Е С^.

Предложение 2.1.2. Условия (С1)-(С2) эквивалентны следующим условиям: (Б1) С^ является подмногообразием в и и при любом (ж,^) Е С^ справедливо

равенство Т^^ П Я^(ж,^) = Т^С^. (Л2) При (ж,^) Е С^ матрица ) размера т х (п + т) имеет полный

ранг.

Доказательство. Проекция п: Т*и ^ и осуществляет диффеоморфизм Л1 и 75, а ее дифференциал ¿п в каждой точке Л Е Л1 осуществляет изоморфизм линейных пространств г1(Л) и Тп(Л)и.

Пересечение Л1 П N проектируется в С^, из чего следует, что Л1 П N и С^ являются подмногообразиями одновременно. Из Т(Ж,^)Л1 С г1(Л) следует равенство ТЛЛ1 П TЛN = ТлЛ1 П (г1(Л) П Т^). Проекция ¿п осуществляет изоморфизм пространств ТЛ(Л1 П N) и ТП(Л)С^ и изоморфизм пространств ТЛЛ1 П (г1(Л) П ТЛ^ и ТП(Л)П Я^(п(Л)). Из этого следует эквивалентность (Э1) и (Э2).

Трансверсальность пересечения в точности означает, что размерность г1(Л) П ТСN равна п. Пересечение г1 (Л) П TCN посредством ¿п изоморфно проектируется в ядро матрицы ) в точке п(Л), которое совпадает с

Я^(п(Л)). Из этого следует эквивалентность (С2) и (Э2). □

При выполнении условий (С1)-(С2) зависящее от (ж,ф) Е С^ семейство плоскостей (ж, ф) задает п-мерное комплексное векторное расслоение (С5, ) над С5. Также определено расслоение (Лх П ^ ^ П TCN) с базой в виде изотропного многообразия Лх П N и изотропными1 слоями гх (А) П Тс N. Проекция ) задает изоморфизм расслоений (Лх П ^ ^ П TCN) и (С5, ). Введем проекции

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Клевин Александр Игоревич, 2022 год

Список литературы

1. Anikin A. Y., Dobrokhotov S. YNazaikinskii V. E. Asymptotic Solutions of the Wave Equation with Degenerate Velocity and with Right-Hand Side Localized in Space and Time // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. — 2018. — Vol. 14, no. 4. — P. 393-405.

2. Arnold V. I., Kozlov V. V., Neishtadt A. I. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics. — Springer, 2006.

3. Bagrov V. G., Belov V. V., Trifonov A. Y., Yevseyevich A. A. Quantization of closed orbits in Dirac theory by Maslov's complex germ method // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1994. — Vol. 27, no. 3. — P. 1021.

4. Bagrov V. G., Belov V. V., Trifonov A. Y., Yevseyevich A. A. Quasi-classical spectral series of the Dirac operators corresponding to quantized two-dimensional Lagrangian tori // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1994. — Vol. 27, no. 15. — P. 5273.

5. Bates S., Weinstein A. Lectures on the Geometry of Quantization. — American Mathematical Society, 1997. — P. 137.

6. Belov V. V., Olive V. M., Volkova J. L. The Zeeman effect for the 'anisotropic hydrogen atoms' in the complex WKB approximation: II. Quantization of two-dimensional Lagrangian tori (with focal points) for the Pauli operator with spin-orbit interaction // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1995. — Vol. 28, no. 20. — P. 5811-5829.

7. Belov V. V., Olive V. M., Volkova J. L. The Zeeman effect for the 'anistropic hydrogen atom' in the complex WKB approximation: I. Quantization of closed orbits for the Pauli operator with spin-orbit interaction // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1995. — Vol. 28, no. 20. — P. 5799-5810.

8. Cardinali A., Dobrokhotov S. Y., Klevin A., Tirozzi B. Gaussian beams for a linearized cold plasma confined in a torus // Journal of Instrumentation. — 2016. — Apr. — Vol. 11, no. 04. — P. C04016-C04016.

9. Chester C., Friedman B., Ursell F. An Extension of the Method of Steepest Descent // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1957. — Vol. 53, no. 03. — P. 599-611.

10. Dobrokhotov S. Y., Martinez-Olive V. Closed trajectories and two-dimensional tori in the quantum spectral problem for the three-dimensional anharmonic oscillator // Transactions of the Moscow Mathematical Society. — 1997. — Vol. 58. — P. 1-74.

11. Dobrokhotov S. Y., Makrakis G., Nazaikinskii V. E. Fourier integrals and a new representation of Maslov's canonical operator near caustics // Spectral Theory and Differential Equations. — American Mathematical Society, 2014. — P. 95-115.

12. Dobrokhotov S. Y., Nazaikinskii V. E. Efficient Formulas for the Maslov Canonical Operator near a Simple Caustic // Russ. J. Math. Phys. — 2018. — Vol. 25, no. 4. — P. 545-552.

13. Dobrokhotov S. Y., Nazaikinskii V. E., Tirozzi B. Asymptotic solution of the one-dimensional wave equation with localized initial data and with degenerating velocity: I // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2010. — Vol. 17, no. 4. — P. 434-447.

14. Dobrokhotov S. Y., Nazaikinskii V. E., Tirozzi B. Two-dimensional wave equation with degeneration on the curvilinear boundary of the domain and asymptotic solutions with localized initial data // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2013. — Vol. 20, no. 4. — P. 389-401.

15. Dobrokhotov S. Y., Shafarevich A. I., Tirozzi B. Localized wave and vortical solutions to linear hyperbolic systems and their application to linear shallow water equations // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2008. — Vol. 15, no. 2. — P. 192-221.

16. Dubnov V. L., Maslov V. P., Nazaikinskii V. E. The Complex Lagrangian Germ and the Canonical Operator // Russ. J. Math. Phys. — 1995. — Vol. 3, no. 2. — P. 141-190.

17. Duistermaat J. J. Fourier Integral Operators. — Birkhauser Boston, 2011.

18. Duistermaat J. J. Oscillatory integrals, lagrange immersions and unfolding of singularities // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1974. — Vol. 27, no. 2. — P. 207-281.

19. Gutzwiller M. C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. — N.Y. : Springer-Verlag, 1990.

20. Hormander L. Fourier integral operators. I // Acta Mathematica. — 1971. — Vol. 127. — P. 79-183.

21. Karasev M., Vorobjev Y. Integral Representations over Isotropic Subman-ifolds and Equations of Zero Curvature // Advances in Mathematics. — 1998. — Vol. 135, no. 2. — P. 220-286.

22. Karasev M., Vorobjev Y. Adapted connections, Hamilton dynamics, geometric phases, and quantization over isotropic submanifolds // Coherent Transform, Quantization, and Poisson Geometry. Vol. 187. — American Mathematical Society, 1998. — P. 203-326. — (American Mathematical Society Translations: Series 2).

23. Keller J. B., Rubinow S. I. Asymptotic solution of eigenvalue problems // Annals of Physics. — 1960. — Vol. 9, no. 1. — P. 24-75.

24. Kiselev A. P., Plachenov A. B. Astigmatic Gaussian beams: exact solutions of the Helmholtz equation in free space // Journal of Physics Communications. — 2019. — Vol. 3, no. 11. — P. 115004.

25. Klevin A. I. New Integral Representations for the Maslov Canonical Operator on an Isotropic Manifold with a Complex Germ // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2022. — Vol. 29, no. 2. — P. 183-213.

26. Klevin A. I. Uniform Asymptotics in the Form of Airy Functions for Bound States of the Quantum Anisotropic Kepler Problem Localized in a Neighborhood of Annuli // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2022. — Vol. 29, no. 1. — P. 47-56.

27. Kosinski A. Differential manifolds. — Boston : Academic Press, 1993.

28. Maslov V. P. Operational methods. — Moscow : Mir Publishers, 1976.

29. Maslov V. P. The Complex WKB Method for Nonlinear Equations I: Linear Theory. — Basel : Birkhäuser, 1994.

30. McDuff D., Salamon D. Introduction to Symplectic Topology. — Oxford University Press, 2017. — 632 p.

31. Nakamura K., Harayama T. Quantum chaos and quantum dots. — Oxford University Press, 2004.

32. Olver F. W., Lozier D. W., Boisvert R, Clark C. W. NIST Handbook of Mathematical Functions. — Cambridge University Press, 2010. — P. 968.

33. Olver F. W. J. Asymptotics and special functions. — A.K. Peters, 1997. — P. 572.

34. Popov M. M. A new method of computation of wave fields using Gaussian beams // Wave Motion. — 1982. — Vol. 4, no. 1. — P. 85-97.

35. Popov M. M. Ray theory and gaussian beam method for geophysicists. — Salvador : EDUFBA, 2002.

36. Ralston J. V. On the construction of quasimodes associated with stable periodic orbits // Communications in Mathematical Physics. — 1976. — Vol. 51, no. 3. — P. 219-242.

37. Ursell F. Integrals with a large parameter. The continuation of uniformly asymptotic expansions // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1965. — Vol. 61, no. 1. — P. 113-128.

38. Vukasinac T., Zhevandrov P. Geometric asymptotics for a degenerate hyperbolic equation // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2002. — Vol. 9, no. 3. — P. 371-381.

39. Аникин А. Ю., Доброхотов С. Ю., Клевин А. И., Тироцци Б. Гауссовы пакеты и пучки с фокальными точками в векторных задачах физики плазмы // ТМФ. — 2018. — Т. 196, № 1. — С. 135—160.

40. Аникин А. Ю., Доброхотов С. Ю., Клевин А. И., Тироцци Б. Скаля-ризация стационарных квазиклассических задач для систем уравнений и приложение к физике плазмы // ТМФ. — 2017. — Т. 193, № 3. — С. 409— 433.

41. Аникин А. Ю., Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е., Цветкова А. В. Асимптотики собственных функций двумерного оператора VD(x)V, связанные с бильярдами с полужесткими стенками, и захваченные береговые волны // Матем. заметки. — 2019. — Т. 105, № 5. — С. 792—797.

42. Аникин А. Ю., Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е., Цветкова А. В. Равномерная асимптотика в виде функции Эйри для квазиклассических связанных состояний в одномерных и радиально-симметричных задачах // ТМФ. — 2019. — Т. 201, № 3. — С. 382—414.

43. Аникин А. Ю., Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е. Простые асимптотики обобщенного волнового уравнения с вырождающейся скоростью

и их приложения в линейной задаче о набеге длинных волн на берег // Матем. заметки. — 2018. — Т. 104, № 4. — С. 483—504.

44. Аникин А. Ю., Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е., Цветкова А. В. Равномерная асимптотика в виде функции Эйри для квазиклассических связанных состояний в одномерных и радиально-симметричных задачах // ТМФ. — 2019. — Т. 201, № 3. — С. 382—414.

45. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. — М. : МЦНМО, 2009.

46. Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. — НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

47. Бабич В. М. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1968. — Т. 9. — С. 15—63.

48. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. — М. : Наука, 1972.

49. Багров В. Г., Белов В. В., Тернов И. М. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния нерелятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле // ТМФ. — 1982. — Т. 50, № 3. — С. 390—396.

50. Белов В. В., Доброхотов О. С., Доброхотов С. Ю. Изотропные торы, комплексный росток и индекс Маслова, нормальные формы и квазимоды многомерных спектральных задач // Матем. заметки. — 2001. — Т. 69, № 4.

51. Белов В. В., Доброхотов С. Ю. Канонический оператор Маслова на изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложения к спектральным задачам // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 298, № 5. — С. 1037—1042.

52. Белов В. В., Доброхотов С. Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // ТМФ. — 1992. — Т. 92, № 2. — С. 215—254.

53. Белов В. В., Доброхотов С. Ю., Максимов В. А. Явные формулы для обобщенных переменных действие-угол в окрестности изотропного тора и их применение // ТМФ. — 2003. — Т. 135, № 3. — С. 378—408.

54. Белов В. В., Доброхотов С. Ю., Оливе В. М. О некоторых квазиклассических спектральных сериях в квантовой анизотропной задаче Кеплера // Докл. РАН. — 1993. — Т. 331, № 2. — С. 150—154.

55. Белов В. В., Максимов В. А. Квазиклассические спектральные серии гелиеподобного атома в магнитном поле // ТМФ. — 2001. — Т. 126, № 3. — С. 455—474.

56. Белов В. В., Максимов В. А. Квазиклассическое квантование боровских орбит в атоме гелия // ТМФ. — 2007. — Т. 151, № 2. — С. 261—286.

57. Валиньо Б., Доброхотов С. Ю., Нехорошев Н. Н. Комплексный росток в системах с одной циклической переменной // УМН. — 1984. — Т. 39, 3(237). — С. 233—234.

58. Гельфанд И. М., Лидский В. Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // УМН. — 1955. — Т. 10, 1(63). — С. 3—40.

59. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. — М. : Мир, 1981.

60. Данилов В. Г. Оценки для псевдодифференциального канонического оператора с комплексной фазой // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 244, № 4. — С. 800—804.

61. Данилов В. Г., Ань Л. В. Об интегральных операторах Фурье // Матем. сб. — 1979. — Т. 110(152), 3(11). — С. 323—368.

62. Доброхотов С. Ю., Кардинали А., Клевин А. И., Тироцци Б. Комплексный росток Маслова и высокочастотные гауссовы пучки в холодной плазме в торической области // Докл. РАН. — 2016. — Т. 469, № 6. — С. 666—671.

63. Доброхотов С. Ю., Макракис Г., Назайкинский В. Е. Канонический оператор Маслова, одна формула Хёрмандера и локализация решения Берри-Балажа в теории волновых пучков // ТМФ. — 2014. — Т. 180, № 2. — С. 162—188.

64. Доброхотов С. Ю, Макракис Г. Н., Назайкинский В. Е., Тудоровский Т. Я. Новые формулы для канонического оператора Маслова в окрестности фокальных точек и каустик в двумерных квазиклассических асимптотиках // ТМФ. — 2013. — Т. 177, № 3. — С. 355—386.

65. Доброхотов С. Ю., Миненков Д. С., Шлосман С. Б. Асимптотика волновых функций стационарного уравнения Шредингера в камере Вейля // ТМФ. — 2018. — Т. 197, № 2. — С. 269—278.

66. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е. Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики // Матем. заметки. — 2020. — Т. 108, № 3. — С. 334—359.

67. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е. Об асимптотике интеграла типа Бесселя, имеющего приложения в теории набега волн на берег // Матем. заметки. — 2017. — Т. 102, № 6. — С. 828—835.

68. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е. Характеристики с особенностями и граничные значения асимптотического решения задачи Коши для вырождающегося волнового уравнения // Матем. заметки. — 2016. — Т. 100, № 5. — С. 710—731.

69. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е, Тироцци Б. Асимптотические решения двумерного модельного волнового уравнения с вырождающейся скоростью и локализованными начальными данными // Алгебра и анализ. — 2010. — Т. 22, № 6. — С. 67—90.

70. Доброхотов С. Ю, Назайкинский В. Е., Толченников А. А. Равномерная асимптотика граничных значений решения линейной задачи о набеге волн на пологий берег // Матем. заметки. — 2017. — Т. 101, № 5. — С. 700—715.

71. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е, Шафаревич А. И. Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах // Изв. РАН. Сер. матем. — 2017. — Т. 81, № 2. — С. 53—96.

72. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е, Шафаревич А. И. Эффективные асимптотики решений задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных систем дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений // УМН. — 2021. — Т. 76, 5(461). — С. 3—80.

73. Доброхотов С. Ю., Цветкова А. В. О лагранжевых многообразиях, связанных с асимптотикой полиномов Эрмита // Матем. заметки. — 2018. — Т. 104, № 6. — С. 835—850.

74. Доброхотов С. Ю., Шафаревич А. И. Квазиклассическое квантование инвариантных изотропных многообразий гамильтоновых систем // Топологические методы в теории гамильтоновых систем / под ред. А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, А. И. Шафаревич. — М. : Факториал, 1998. — С. 41—114.

75. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е. Нестандартные лагранжевы особенности и асимптотические собственные функции вырождающегося оператора -(d/dx)D(x) (d/dx) // Тр. МИАН. — 2019. — Т. 306. — С. 83—99.

76. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е. Униформизация уравнений с граничным вырождением бесселева типа и квазиклассические асимптотики // Матем. заметки. — 2020. — Т. 107, № 5. — С. 780—786.

77. Карасев М. В. Связности на лагранжевых подмногообразиях и некоторые задачи квазиклассического приближения. I // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1989. — Т. 172. — С. 41—54.

78. Клевин А. И. Асимптотика собственных функций типа прыгающего мячика оператора VD(x)V в области, ограниченной полужесткими стенками // Дифференциальные уравнения. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 235—254.

79. Клевин А. И. Асимптотические собственные функции типа "прыгающего мячика" двумерного оператора Шредингера с симметричным потенциалом // ТМФ. — 2019. — Т. 199, № 3. — С. 429—444.

80. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004.

81. Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. — М. : Наука, 1979.

82. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. — М. : Наука, 1988.

83. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М. : Наука, 1977.

84. Маслов В. П. Операторные методы. — М. : Наука, 1973.

85. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М. : Изд-во МГУ, 1965.

86. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М. : Наука, 1976.

87. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю, Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. — М. : Наука, 1978.

88. Назайкинский В. Е. Асимптотические решения вырождающегося волнового уравнения с локализованными начальными данными, отвечающие различным самосопряженным расширениям // Матем. заметки. — 2011. — Т. 89, № 5. — С. 797—800.

89. Назайкинский В. Е. Геометрия фазового пространства для волнового уравнения, вырождающегося на границе области // Матем. заметки. — 2012. — Т. 92, № 1. — С. 153—156.

90. Назайкинский В. Е. Канонический оператор Маслова на лагранжевых многообразиях в фазовом пространстве, соответствующем вырождающемуся на границе волновому уравнению // Матем. заметки. — 2014. — Т. 96, № 2. — С. 261—276.

91. Олейник О. А, Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1969. — 1971. — С. 7—252.

92. Роганова С. Е. О пространствах модулей комплексных ростков Маслова // Матем. заметки. — 2002. — Т. 71, № 5. — С. 751—760.

93. Славянов С. Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредин-гера. — Изд-во ЛГУ, 1991.

94. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Том 1: Псевдодифференциальные операторы. — М. : Мир, 1984.

95. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Том 2: Интегральные операторы Фурье. — М. : Мир, 1984.

96. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М. : Наука, 1987.

97. Федорюк М. В. Метод стационарной фазы для многомерных интегралов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. — Т. 2, № 1. — С. 145—150.

98. Федорюк М. В. Метод стационарной фазы и псевдодифференциальные операторы // УМН. — 1971. — Т. 26, 1(157). — С. 67—112.

99. Федорюк М. В. Метод стационарной фазы. Близкие седловые точки в многомерном случае // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — Т. 4, № 4. — С. 671—682.

100. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1: Теория распределений и анализ Фурье. — М. : Мир, 1986.

101. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 2: Операторы с постоянными коэффициентами. — М. : Мир, 1986.

102. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 3: Псевдо-дифференциальные операторы. — М. : Мир, 1987.

103. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 4: Интегральные операторы Фурье. — М. : Мир, 1988.

104. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — М. : Наука, 1972.