Новые методы моделирования акустических полей в рамках их модового представления в нерегулярных волноводах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Казак Михаил Сергеевич

• Казак Михаил Сергеевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Казак Михаил Сергеевич

Введение

Глава 1. Модовое представление волновых полей

1.1. Модовое представление поля и уравнения для модовых амплитуд

в общем виде

1.2. Двумерные модели на основе метода взаимодействующих нормальных мод

1.3. Трехмерные модели на основе метода нормальных волн

Глава 2. Обобщение метода ВКБ на случай неизвестных вектор-

нозначных функций

2.1. Обобщение метода ВКБ на случай связанной системы уравнений

для модовых амплитуд

2.2. Векторно-матричная форма приближения ВКБ

2.3. Границы применимости метода

2.4. Численное решение обобщенных уравнений ВКБ

2.5. Выводы ко второй главе

Глава 3. Метод инвариантного погружения для амплитуд взаимодействующих мод

3.1. Постановка задачи

3.2. Представление волны обратного рассеяния в виде суперпозиции мод: численные результаты

3.3. Выводы к третьей главе

Глава 4. Трехмерные задачи с вращательной симметрией

4.1. Постановка задачи и модовое представление решения

4.2. Структура поля в горизонтальной плоскости: метод разделения переменных

4.3. Границы применимости метода

4.4. Пример расчета звукового поля

4.5. Горизонтальные лучи

4.6. Захваченные волны

4.7. Выводы к четвертой главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые методы моделирования акустических полей в рамках их модового представления в нерегулярных волноводах»

Введение

Актуальность темы исследования. В настоящее время во многих областях физики активно используются методы моделирования процессов различной природы, основанные на модовом представлении волновых полей. К этим областям относятся геофизика [1], квантовая механика [2], радиофизика [3], оптика [4; 5] и акустика океана [6]. Отметим, что в простейшем случае модовое представление физических полей различной природы возникает как результат реализации метода разделения переменных (метода Фурье) при решении уравнений, описывающих волновые процессы в случае, когда их коэффициенты не зависят от одной из пространственных переменных (или от времени). Прием, известный как квазиразделение переменных, или как метод поперечных сечений, позволяет обобщить указанное представление и на общий случай (когда коэффициенты зависят от упомянутой выше переменной). В этом случае вместо "глобальной" полной системы нормальных мод решения волновых уравнений представляются при каждом значении переменной в виде комбинации локальных мод волновода сравнения.

В акустике океана, в контексте задач которой будут представлены результаты настоящей работы, метод нормальных мод (или нормальных волн) был, по-видимому, впервые использован Пекерисом [7] в 1948 году. В работе рассматривалась простейшая двухслойная модель геоакустического волновода, до сих пор активно используемая в простейших аналитических моделях и оценках (водный слой лежащий над полубесконечной жидкой средой, моделирующей дно океана). В настоящее время, в связи с развитием численных методов решения задачи Штурма-Лиувилля, моды можно рассчитывать для сред со сколь угодно сложной стратификацией, а также с учетом упругих свойств пород, слагающих дно. Такие численные и численно-аналитические методы реализованы, в частности, в виде нескольких широко использующихся специалистами программных комплексов: COUPLE (Эванс, [8]), Ocra (Вествуд, [9]), KRAKEN (Портер, [10]),

МРЕ (Трофимов и Козицкий, [11]).

Несмотря на их многочисленные достоинства, данные методы, основанные на модовом представлении поля, обладают также и рядом недостатков. Так, например, при расчете поля в нерегулярных геоакустических волноводах с неровным дном все они (за исключением МРЕ) опираются на ступенчатую аппроксимацию профиля дна, что, во-первых, может неочевидным образом сказаться на точности воспроизведения некоторых физических эффектов, а, во-вторых, приводит к низкой надежности вычислительных алгоритмов, вызванной необходимостью обращения плохо обусловленных матриц. Кроме того, во всех перечисленных подходах эффект обратного рассеяния либо не учитывается вовсе, либо, ввиду его слабой выраженности, учитывается величинами, принимающими значения на уровне вычислительной погрешности. Развитые в настоящей работе метод ВКБ и метод инвариантного погружения, обобщенные на случай векторнозначных неизвестных функций, позволяют проводить расчеты коэффициентов в модовом представлении поля без использования ступенчатой аппроксимации для границы раздела акустических сред. Последний метод также позволяет получить явное уравнение для величин, описывающих волну обратного рассеяния, которая, таким образом, оказывается отделенной при проведении вычислений от волны прямого рассеяния, имеющей существенно большую амплитуду.

Хотя в последние годы развиты и некоторые методы расчета трехмерных звуковых полей в океане, основанные на их модовом представлении [11—13], в них также либо не учитывается обратное рассеяние [11; 13], либо имеет место ступенчатая аппроксимация границы раздела двух сред, в частности, при наличии неоднородности рельефа дна, имеющей вращательную симметрию, например, подводной горы [12]). В настоящей работе для решения аналогичных задач развит метод, не требующий использования ступенчатой аппроксимации.

Заметим, что метод нормальных мод и различные его модификации (такие, как метод поперечных сечений или, например, метод модовых параболических

уравнений [14—16]составляют лишь один из общеупотребительных подходов к моделированию волновых полей наряду с методами прямой дискретизации волновых уравнений с использованием конечных элементов или конечных разностей, а также, например, с методом параболического уравнения [17] и лучевой теорией распространения волн [18—22] (и ее разновидностями, такими, как геометрическая оптика и геометрическая акустика). В частности, в акустике океана модовое представление полей используется наряду с другими методами, такими как метод гауссовых пучков, метод трассировки лучей, методы широкоугольных и псевдодифференциальных параболических уравнений [23—25], а также методы, основанные на интегральном представлении акустических полей [7; 26—28]. Несмотря на наличие перечисленных альтернатив, метод нормальных мод до настоящего времени сохраняет свою актуальность на практике, поскольку, во-первых, зачастую позволяет получить не только количественное представление о волновых процессах, но и их качественное понимание и, во-вторых, обеспечивает возможность понижения вычислительной сложности решаемой задачи. Данное понижение обеспечивается заменой сотен или тысяч точек дискретизации уравнения по одной из координат единицами или десятками мод.

Цели и задачи диссертационной работы: Целью настоящей диссертации является дальнейшее развитие методов расчета двумерных волновых полей, основанных на их модовом представлении, для достижения большей эффективности их применения в практических задачах, в частности, связанных с моделированием распространения и обратного рассеяния звука в океане.

Для достижения поставленной цели в диссертационном исследовании были решены следующие задачи:

1. разработать метод вычисления модовых амплитуд для задач расчета акустических полей в двумерных волноводах, в рамках которого амплитудные уравнения могут быть проинтегрированы с шагом сетки, сравнимым с длиной волны;

2. разработать метод расчета модовых амплитуд в волне, рассеянной неоднородностью волновода в направлении источника (волны обратного рассеяния) с учетом взаимодействия мод;

3. разработать метод расчета модовых амплитуд акустического поля в задаче распространения звука в мелком море с неоднородностью рельефа дна с вращательной симметрией с учетом горизонтальной рефракции звука.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Описано обобщение метода для решения задач распространения звука в подводных волноводах мелкого моря, основанное на ВКБ.

2. Представлена методика расчета акустического поля в трехмерных волноводах с вращательной симметрией. Показана связь между захваченными каньоном лучами и номерами мод.

3. Описан и применен для расчетов обобщенный метод инвариантного погружения, основанный на векторизировании. Метод позволяет решать уравнения на амплитуды с учетом взаимодействия мод и находить обратное рассеяние.

4. Спроектирован и реализован комплекс программ для МЛТЬЛБ, использующий вышеперечисленные методы, результаты сопоставлены с результатами других программ для акустического моделирования.

Методология и методы исследования. Основные результаты диссертации состоят в выводе уравнений для модовых амплитуд в волноводах с неод-нородностями различных типа. Данные уравнения получены с использованием аналитических и асимптотических методов математической физики, в том числе с использованием векторизованного аналога метода ВКБ, а также с использованием метода инвариантного погружения в матричной форме. В последней

главе работы также используются методы теории специальных функций, а также лучевой теории для физической интерпретации результатов, связанных с распространением звука над подводным каньоном.

Для численного решения уравнений векторизованных уравнений для модо-вых амплитуд в рамках метода ВКБ используются стандартные методы Рунге-Кутты. Для численного решения уравнений погружений для матричнозначных функций используется метод Эйлера в сочетании с экстраполяцией Ричардсона (что в комбинации также эквивалентно методу Рунге-Кутты соответствующего порядка).

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации предложены несколько новых методов решения задач распространения звука в волноводах мелкого моря. Также разработаны программы, реализующие вычисления акустических полей на основе этих методов. Описанные методы могут быть использованы на практике в тех сферах, где требуется моделирование акустических полей. В частности, результаты работы могут быть использованы при реализации методов дистанционного зондирования морской среды "на отражение" (посредством анализа поля, отраженного неоднородностями в толще воды и в дне), а также в задачах акустического мониторинга протяженных акваторий.

Теоретическая значимость состоит в том, что предложенные в работе методы и подходы представляют собой некоторые весьма естественные обобщения известных классических методов решения задач распространения волн, таких как скалярный метод ВКБ, скалярный метод инвариантного погружения. Аналоги данных методов, развитые в настоящем исследовании, состоят в их обобщении на случай, когда неизвестная величина описывается вектор-функцией, компоненты которой удовлетворяют некоторой системе связанных уравнений (в нашем случае речь идет о системе связанные уравнений для модовых амплитуд, или mode coupling equations). Также в работе предложено обобщение известного метода представления поля, рассеянного на цилиндрически симметричном

объекте, в виде ряда по функциям Бесселя и Ханкеля. В данном случае в роли такого объекта выступают неоднородности рельефа дна, а вместо отражения от него имеет место горизонтальная рефракция звука.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основных положения.

1. Разработан векторно-матричный аналог метода ВКБ. С помощью данного метода получены уравнения для амплитуд взаимодействующих мод в волноводе в приближении однонаправленного распространения волн. Показано, что данный метод позволяет корректным образом учитывать обмен энергией между модами в нерегулярном волноводе.

2. Разработано обобщение метода инвариантного погружения на случай матричных функций для расчета амплитуд взаимодействующих мод в нерегулярном волноводе с учетом обратного рассеяния. В рамках данного метода коэффициент отражения с учетом взаимодействия волноводных мод имеет вид матричнозначной функции, удовлетворяющей уравнению Рик-кати. Разработанный метод использован для анализа связи процессов обратного рассеяния и взаимодействия мод в нерегулярных акустических волноводах.

3. Разработан метод решения модельных задач адиабатического распространения волн в трехмерных слоистых волноводах с вращательной симметрией и плавными неоднородностями границ раздела слоев. В рамках данного подхода предложена методика выделения компоненты поля, формируемого обобщенными волнами шепчущей галереи.

Достоверность. Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью используемых методов математической физики. При численном решении рассматриваемых модельных задач во всех случаях устанавливалась сходимость решения при уменьшении шага дискретизации в со-

ответствующих уравнениях. В тех случаях, когда это возможно, результаты, полученные в диссертации, сопоставлялись с результатами, полученными с использованием альтернативных методов и подходов. При этом наблюдалось хорошее совпадение результатов расчетов. Достоверность результатов последней главы работы также подтверждается сопоставлением количественных результатов расчетов и их качественной физической интерпретации в рамках лучевой теории распространения волн.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих ведущих отечественных и зарубежных научных мероприятиях по физике распространения волн и акустике: "Days on Diffraction" - 2020, 2021, 2022 (г. Санкт-Петербург, ПОМИ РАН), "Underwater Acoustics Conference and Exhibition" (UACE) - 2021 (г. Каламата, Греция), XVII Школа-семинар им. акад. Л.М. Бреховских «Акустика океана», совмещенная с XXXIII сессией Российского акустического общества - 2020 (г. Москва), IX всероссийская конференция молодых учёных «Океанологические исследования» - 2021 (г. Владивосток), XXXIV сессия Российского акустического общества - 2022 (г. Москва), XXXV сессия Российского акустического общества - 2023 (г. Москва).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 5 являются статьями в рецензируемых научных журналах [29— 33] (четыре из которых индексируются в международных библиографических системах "Сеть науки" (Web of Science) и "Скопус" (Scopus)), а еще 6 работ опубликованы в сборниках материалов ведущих международных и российских научных мероприятий по данной тематике ([34—39]).

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором в рамках постановок

задач, предложенных его научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии.

Общий объем диссертации 104 страницы, из них 89 страниц текста, включая 16 рисунков. Библиография включает 105 наименований на 12 страницах.

Глава 1

Модовое представление волновых полей

Волноводное распространение сигналов и колебаний играет важную роль в различных областях физики, таких оптика, квантовая механика, сейсмология, радиофизика и акустика. При математическом описании этих процессов обычно возможно разделение или квазиразделение переменных, так что соответствующее поле по одной (или нескольким) пространственным переменным представляет собой стоячую волну, а по совокупности прочих пространственных координат и времени - бегущую волну. Для той координаты, по которой формируется стоячая волна, ее форма в волноводе определяется суперпозицией нормальных мод, собственные функции которых определяются путем решения некоторой задачи Штурма-Лиувилля (т.е. задачи на собственные значения для дифференциального оператора второго порядка в подходящем функциональном пространстве).

В частности, в квантовой механике аналогом разложения по нормальным модам является представление волновой функции в виде суперпозиции собственных состояний квантовой системы (собственных функций оператора Гамильтона). Такое представление может, например, использоваться при решении нестационарного уравнения Шредингера вида

<9Ф К1

Ш— = -—ДФ + и(х,у, г)Ф , (1.1)

оЬ 2т

где и(х, у, ^) - потенциал внешнего поля, Е - энергия частицы, К - постоянная Планка, т - масса частицы.

Решение уравнения (1.1) в произвольный момент времени может быть представлено в виде суперпозиции собственных состояний = фп(х,у,г), которые (вместе с соответствующими собственными значениями оператора энергии Еп) могут быть вычислены путем решения задачи Штурма-Лиувилля для

стационарного уравнения Шредингера

Н

—Аф + [ Е -и (х,у, г)]ф = 0 (1.2)

с подходящими граничными условиями. После решения этой задачи разложение волновой функции, являющейся решением уравнения (1.1), по собственным состояниям строится в виде

Ф = ^апехр ( -НЕпАфп(х,у, г). (1.3)

п \ /

В оптике при решении задач с планарными волноводами для поперечных электрических мод (ТЕ-мод) получается задача Штурма-Лиувилля для следующего уравнения

§ = (32 -п2#Е , (1.4)

где

к = ш/с = Шл/ёфо , (1.5)

п(х) - профиль показателя преломления планарного волновода, Еу - поперечная направлению распространения (ось г) составляющая электрического поля, 3 - волновое число моды, ш - циклическая частота, с - скорость света в вакууме, д0 - магнитная постоянная, е0 - электрическая постоянная. Для поперечных магнитных мод (ТМ-мод) рассматривают задачу Штурма-Лиувилля для уравнения

п2 ¿0 = (32 -п2т„, (1.6)

где Ну - поперечная оси волновода составляющая вектора напряженности магнитного поля.

В акустике (в частности, в акустике океана) нормальные моды могут быть рассчитаны путем решения задачи Штурма-Лиувилля для уравнения

фгг + -^ф - к2ф = 0 . (1.7)

Именно на примере решения задач акустики океана будут излагаться результаты настоящей диссертации. Ввиду очевидной математической эквивалентности

представленных выше уравнений, однако, они с равным успехом могут быть применены для и решения задач расчета волновых полей, возникающих в других разделах физики. В случае регулярных волноводов основная сложность при расчете волновых полей состоит в решении задач Штурма-Лиувилля (то есть, собственно, в расчете нормальных мод), в то время как коэффициенты разложения по модам вычисляются элементарным образом. В более сложных и интересных с точки зрения приложений задачах моделирования распространения волн в нерегулярных волноводах, однако, вычисление указанных коэффициентов (модовых амплитуд) составляет уже основную сложность. Настоящая глава посвящена обзору существующих методов расчета модовых амплитуд в нерегулярных волноводах. Для конкретности мы будем обсуждать методы и подходы, использующиеся в акустике океана, однако, как правило, все они имеют некоторые аналоги в других разделах физики.

Методы моделирования распространения звука в океане, основанные на модовом представлении акустического поля [8; 40; 41], а также основанные на них прикладные программы для выполнения конкретных расчетов [42] известны с самых первых этапов развития теоретической и вычислительной акустики океана. Данное представление является, по-видимому, наиболее естественным, в частности, для низкочастотных акустических полей (соответствующих частотам до 1 кГц) в мелком море. Оно обеспечивает не только количественное, но и качественное описание процессов распространения звука, то есть позволяет судить о физике связанных с ним явлений и дает аппарат для их анализа и понимания. Этим методы, основанные на модовом представлении поля, выгодно отличаются, например, от подходов, основанных на решении трехмерных параболических уравнений или же методов прямого численного решения волнового уравнения или уравнения Гельмгольца с помощью конечных разностей и конечных элементов. Заслуженной популярностью среди специалистов по акустике океана пользуются такие программы, как COUPLE [8; 42], Kraken [10; 42] и Orea [9; 42], позволяющие, во-первых, рассчитывать непосредственно нормальные мо-

ды волноводов, и, во-вторых, вычислять акустические поля через их представление в виде суперпозиций этих мод. Эти программы, однако, разработаны во времена, когда использовались в основном двумерные модели распространения звука, и, во-первых, отсутствовало понимание того, насколько важны трехмерные эффекты, а также, во-вторых, вычислительные мощности в любом случае были недостаточными для решения трехмерных задач.

Последние 20 лет коллеги автора по лаборатории работают над разработкой и реализацией методов расчета звуковых полей, основанных на их представлении в виде суперпозиции мод, и ориентированных, прежде всего, на решение трехмерных задач. Данные работы начались с публикаций Трофимова [15; 43], посвященных выводу и решению модовых параболических уравнений (МПУ), то есть параболических уравнений для модовых амплитуд. Простейший вариант МПУ впервые предложен в работе Коллинза [14] (отметим еще развитие этого подхода в более поздней работе [44]), однако именно подход, предложенный Трофимовым, позволил сделать из этого в определенной мере экзотического уравнения мощный вычислительный инструмент. Его конечным воплощением стали комплексы программ MPE (узкоугольные МПУ с взаимодейтсвием мод) и AMPLE (псевдодифференциальные МПУ), хотя, разумеется, их реализация стала возможной лишь после существенного развития теоретических и численных методов по сравнению с тем, что было сделано в [15]. Проведенные с тех пор исследования позволили сделать практически неограниченной апертуру МПУ в горизонтальной плоскости [45], сделать возможным их решение в криволинейных координатах [46], а также, что особенно важно на практике, разработать методы их решения, позволяющие использовать шаги дискретизации, существенно превышающие длину волны. Важно также отметить и другие вопросы, связанные с численным решением МПУ, например, искусственное ограничение расчетной области и постановку начальных условий, обеспечивающих, с одной стороны, достаточную апертуру решения и, с другой стороны, не требующих дополнительных ограничений на шаги сетки [45]. Заметим, что ком-

плексы программ на основе МПУ изначально были ориентированы на расчет нестационарных звуковых полей, а также акустической экспозиции (SEL), связанной с распространением импульсных сигналов, и обычно необходимой для мониторинга антропогенных акустических шумов [47; 48]. Поскольку сами по себе МПУ приближают решение уравнения Гельмгольца, расчет временных рядов и полей, подобных SEL, в рамках данного подхода может быть осуществлен только методом Фурье-синтеза после моделирования распространения отдельных тональных компонент. Данное усложнение не существенно с теоретической точки зрения, однако накладывает дополнительные ограничения на время расчета звукового поля на каждой фиксированной частоте (нам представляется, в частности, что этот факт исключает использование в практических задачах методов, основанных на трехмерных параболических уравнениях).

Отметим еще, что в настоящее время вновь приобретают актуальность вопросы моделирования векторных акустических полей в океане. Они имеют важное значение в связи с задачами оценки влияния антропогенных акустических шумов на морскую фауну, а также и в методах геоакустической инверсии [49] обнаружения и отслеживания подводных объектов, например, средствами акустической голографии [50]. В последних вариантах программных комплексов MPE и AMPLE добавлена возможность расчета полей колебательных скоростей и ускорений, а также векторного поля плотности потока акустической энергии.

Параллельно с развитием этих вычислительных инструментов, основанных на МПУ, развивались и методы решения модельных задач, основанные на модовом представлении акустического поля и различных способах аналитического расчета коэффициентов разложения - модовых амплитуд. Оказалось, что существует много случаев, когда модовые амплитуды могут быть рассчитаны путем решения уравнений горизонтальной рефракции (например, с использованием теории специальных функций) или соответствующих параболических уравнений аналитическими методами [29; 51]. Данные методы полезны, с од-

ной стороны, для качественного понимания и анализа физических процессов (поскольку устанавливают прямые аналитические связи между параметрами волновода и формирующимися в нем акустическими полями). С другой стороны, аналитические решения играют важную роль в тестировании численных методов решения задач акустики океана.

Данная глава имеет целью обзор и обобщение современных результатов, относящихся к методам моделирования распространения звука в океане, основанным на модовом представлении акустических полей. В рамках данной главы результаты, полученные непосредственно автором диссертации, будут обзорным образом представлены в общем контексте развития метода нормальных волн. При описании результатов, однако, мы будет ограничиваться формулировкой основных уравнений, в то время как их вывод будет представлен в последующих главах настоящей работы.

1.1. Модовое представление поля и уравнения для модовых амплитуд в общем виде

В этом разделе мы приводим основные уравнения, связанные с модовым представлением акустических полей в трехмерных нерегулярных волноводах. Мы также представим два основных способа векторизации данных уравнений, которые затем будут использоваться нами на всем протяжении настоящей диссертационной работы.

Акустическое поле, отвечающее точечному тональному источнику звука частоты / в океане в линейном приближении удовлетворяет трехмерному уравнению Гельмгольца (стационарный аналог стандартного волнового уравнения)

ш2

РХХ + Руу + Ргг + ^Р = -8(х)5(у)5(х - Ха) , (1.8)

где ш = 2п/ есть циклическая частота, с = с(х,у,х) - скорость звука, а нижние индексы х,у,г означают частные производные по соответствующим пере-

менным. Мы будем повсеместно использовать эти обозначения на протяжении всей диссертации, кроме тех случаев, когда они могут привести к двусмысленности (тогда мы будем прибегать к стандартным обозначениям для частных производных). Уравнение записано в обычной трехмерной декартовой координатной системе, где ось соответствует глубине (и, таким образом, направлена вниз), поверхность моря описывается уравнением ^ = 0, а х, у суть горизонтальные координаты. При этом источник звука мы считаем расположенным в точке (0,0, ^).

В настоящей работе решение уравнения Гельмгольца будет рассматриваться исключительно в ограниченной по глубине области ^ € [0,Н], где плоскость х = Н представляет собой некоторую искусственную границу расчетной области. При этом на поверхности на этой границе, как и на поверхности океана, будет предполагаться выполнение нулевых условий Дирихле (условий мягкой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Казак Михаил Сергеевич, 2024 год

Список литературы

1. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология Т. 1, 2. Пер с англ. — 1983.

2. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)-6-е изд. — 2004.

3. Ойнац А. В. Численное моделирование характеристик декаметровых радиосигналов в рамках метода нормальных волн : дис. ... канд. / Ойнац Алексей Владимирович. — Иркутск: ИСЗФ СО РАН, 2009, 2009.

4. Вычисление нормальных мод закрытых волноводов / М. Д. Малых [и др.] // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2020. — Т. 28, № 1. — С. 62—76.

5. Propagation of normal modes in multilayer optical waveguides I. Component fields and dispersion characteristics / A. S. Belanov [и др.] // Soviet Journal of Quantum Electronics. — 1976. — Т. 6, № 1. — С. 43.

6. Алексеев Г. В. Метод нормальных волн в подводной акустике. — 2006.

7. Pekeris C. L. Theory of propagation of explosive sound in shallow water. — 1948.

8. Evans R. B. A coupled mode solution for acoustic propagation in a waveguide with stepwise depth variations of a penetrable bottom // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1983. — Т. 74, № 1. — С. 188—195.

9. Westwood E. K., Tindle C. T, Chapman N. R. A normal mode model for acousto-elastic ocean environments // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1996. — Т. 100, № 6. — С. 3631—3645.

10. Porter M., Reiss E. L. A numerical method for ocean-acoustic normal modes // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1984. — Т. 76, № 1. — С. 244—252.

11. Trofimov M. Y., Kozitskiy S., Zakharenko A. A mode parabolic equation method in the case of the resonant mode interaction // Wave Motion. — 2015. — T. 58. — C. 42—52.

12. Luo W, Schmidt H. Three-dimensional propagation and scattering around a conical seamount // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2009. — T. 125, № 1. — C. 52—65.

13. Petrov P. S., Petrova T. N. Asymptotic solution for the problem of sound propagation in a sea with an underwater canyon // Journal of the Acoustical Society of America. — 2014. — T. 136. — EL281—EL287.

14. Collins M. D. The adiabatic mode parabolic equation // Journal of the Acoustical Society of America. — 1993. — T. 94. — C. 2269—2278.

15. Trofimov M. Y. Narrow-angle parabolic equations of adiabatic single-mode propagation in horizontally inhomogeneous shallow sea // Acoustical Physics. — 1999. — T. 45. — C. 575—580.

16. Wide-angle mode parabolic equations for the modelling of horizontal refraction in underwater acoustics and their numerical solution on unbounded domains / P. S. Petrov [h gp.] // Journal of Sound and Vibration. — 2020. — T. 484. — C. 115526.

17. Hardin R. H. Application of the split-step Fourier method to the numerical solution of nonlinear and variable coefficient wave equations // Siam Rev. — 1973. — T. 15. — C. 423.

18. Lichte H. On the influence of horizontal temperature layers in sea water on the range of underwater sound signals. — Tracor Sciences & Systems. — C. 385— 389.

19. Porter M. B. Beam tracing for two-and three-dimensional problems in ocean acoustics // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2019. — T. 146, № 3. — C. 2016—2029.

20. Moraes Calazan R. de, Rodriguez O. C. Simplex based three-dimensional eigenray search for underwater predictions // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2018. — Т. 143, № 4. — С. 2059—2065.

21. Babich V., Pankratova T. Discontinuities of Green's function in a mixed boundary value problem for a wave equation with a variable coefficient // Theory of functions. Spectral theory. Wave propagation.(A 74-10470 01-23) Leningrad, Izdatel'stvo Leningradskogo Universiteta, 1973, — 1973. — С. 9— 27.

22. Popov M. M. A new method for computing wave fields in a high-frequency approximation // Mathematical Aspects of Wave Propagation Theory. 11. — 1981. — С. 195—216.

23. Трофимов М. Ю., Захаренко А. Д., Козицкий С. Б. Модовые параболические уравнения в акустике океана // Дальневосточные моря России. — 2007. — С. 385—395.

24. Трофимов М. Ю. Узкоугольные параболические уравнения адиабатического распространения звука одной моды в горизонтально неоднородном мелком море // Акустический журнал. — 1999. — Т. 45, № 5. — С. 647— 652.

25. Рутенко А. Н., Фершалов М. Ю. 3-D моделирование акустического поля, формируемого на шельфе во время забивки фундаментных свай на берегу // XV школа-семинар им. акад. Л.М. Бреховских "Акустика океана". — 2016. — С. 240—243.

26. Schmidt H. SAFARI: Seismo-acoustic fast field algorithm for range-independent environments. User's Guide : тех. отч. / SACLANT Undersea Research Centre La Spezia (Italy). — 1988.

27. Schmidt H, Jensen F. B. A full wave solution for propagation in multilayered viscoelastic media with application to Gaussian beam reflection at fluid-solid

interfaces // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1985. — Т. 77, № 3. — С. 813—825.

28. Hope G., Schmidt H. A parallelization of the wavenumber integration acoustic modelling package OASES // Computational Geosciences. — 2019. — Т. 23. — С. 777—792.

29. Казак М. С., Петров П. С. Об адиабатическом распространении звука в мелком море с изогнутым подводным каньоном // Акустический журнал. — 2020. — Т. 66, № 6. — С. 613—621.

30. Kazak M., Koshel K., Petrov P. Generalized form of the invariant imbedding method and its application to the study of back-scattering in shallow-water acoustics // Journal of Marine Science and Engineering. — 2021. — Т. 9, № 9. — С. 1033.

31. Казак М., Петров П., Кошель К. Исследование обратного рассеяния акустических мод на неоднородностях рельефа дна с использованием метода инвариантного погружения // Подводные исследования и робототехника. — 2021. — № 2. — С. 76—81.

32. Petrov P. S., Kazak M. S., Petrova T. N. A generalization of WKBJ method for solving a system describing propagation of coupled modes in underwater acoustics // Physics Letters A. — 2022. — Т. 450. — С. 128383.

33. Современные методы расчета акустических полей в океане, основанные на их представлении в виде суперпозиции мод / А. Тыщенко [и др.] // Акустический журнал. — 2023. — Т. 69, № 5. — С. 620—636.

34. Kazak M. S., Petrov P. S. On the adiabatic sound propagation in a shallow sea with a curved underwater canyon // International conference «Days on Diffraction 2020». — St. Petersburg, 2020. — С. 21—22.

35. Kazak M. S., Petrov P. S., Koshel K. V. The study of acoustic modes back-scattering by bottom relief inhomogeneities using the invariant imbedding method // International conference «Days on Diffraction 2021». — St. Petersburg, 2021. — С. 21—22.

36. Petrov P. S., Kazak M. S., Katsnelson B. G. Excitation of whispering gallery waves in sea area with bowl-like bottom by an external source // International conference «Days on Diffraction 2022». — St. Petersburg, 2022. — С. 47—48.

37. Казак М. С., Петров П. С. Об адиабатическом распространении звука в мелком море с изогнутым подводным каньоном //IX всероссийская конференция молодых учёных «Океанологические исследования». — Владивосток, 2021. — С. 13.

38. Казак М. С., Кошель К. В., Петров П. С. Матричная форма метода инвариантного погружения и ее использование в задачах распространения звука в океане // XXXIV Сессия Российского акустического общества. — Москва, 2022.

39. Казак М. С., Петрова Т. Н., Петров П. С. Обобщение ВКБ метода для решения системы, описывающей распространение связанных мод в подводной акустике // XXXV Сессия Российского акустического общества. — Москва, 2023. — С. 274.

40. Pekeris C. L. Theory of propagation of explosive sound in shallow water // Propagation of Sound in the Ocean. — Geological Society of America, 1948. — ISBN 9780813710273.

41. Miller J. F., Ingenito F. Normal mode FORTRAN programs for calculating sound propagation in the ocean // Naval Research Lab. Report. — 1975.

42. Ocean Acoustics Library - OALIB/Normal Modes. — [Online; accessed 30 March 2023]. https://oalib-acoustics.org/models-and-software/ normal-modes/.

43. Trofimov M. Y. Wide-angle mode parabolic equations // Acoustical Physics. — 2002. — Т. 48. — С. 728—734.

44. Abawi A. T, Kuperman W. A., Collins M. D. The coupled mode parabolic equation // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1997. — Т. 102, № 1. — С. 233—238.

45. Wide-angle mode parabolic equations for the modelling of horizontal refraction in underwater acoustics and their numerical solution on unbounded domains / P. S. Petrov [и др.] // Journal of Sound and Vibration. — 2020. — Т. 484. — С. 115526.

46. Petrov P. S., Antoine X. Pseudodifferential adiabatic mode parabolic equations in curvilinear coordinates and their numerical solution // Journal of Computational Physics. — 2020. — Т. 410. — С. 109392.

47. Мониторинг акустического поля сейсморазведочных импульсов в прибрежной зоне / А. Рутенко [и др.] // Акустический журнал. — 2012. — Т. 58, № 3. — С. 356—356.

48. Estimating sound exposure levels due to a broadband source over large areas of shallow sea / D. Manul'chev [и др.] // Journal of Marine Science and Engineering. — 2022. — Т. 10, № 1. — С. 82.

49. Bonnel J., Dall'Osto D. R., Dahl P. H. Geoacoustic inversion using vector acoustic modal dispersion // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2019. — Т. 146, № 4. — С. 2930—2930.

50. Интерференционный метод оценки координат движущегося шумового источника в мелком море с использованием высокочастотных сигналов / С. Пересёлков [и др.] // Акустический журнал. — 2020. — Т. 66, № 4. — С. 437—445.

51. Petrov P. N., Petrov P. S. Asymptotic solution for the problem of sound propagation in a shallow sea with the bathymetry described by a parametric quadratic function // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2019. — Т. 146, № 3. — С. 1946—1955.

52. Шевченко В. В. Плавные переходы в открытых волноводах: Введение в теорию. — Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

53. Alekseev G. V., Komarov E. The non-self-conjugate singular spectral problem for a Helmholtz operator with discontinuous coefficients // Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki. — 1992. — Т. 32, № 4. — С. 587—597.

54. Formal derivations of mode coupling equations in underwater acoustics: how the method of multiple scales results in an expansion over eigenfunctions and the vectorized WKBJ solution for the amplitudes / M. Trofimov [и др.] // Journal of Marine Science and Engineering, submitted for publication. — 2023.

55. Computational ocean acoustics / F. B. Jensen [и др.]. — New-York et al : Springer, 2011.

56. Maupin V. Surface waves across 2-D structures: a method based on coupled local modes // Geophysical Journal International. — 1988. — Т. 93, № 1. — С. 173—185.

57. Huang W.-P. Coupled-mode theory for optical waveguides: an overview // Journal of the Optical Society of America A. — 1994. — Т. 11, № 3. — С. 963— 983.

58. Belibassakis K., Athanassoulis G. A coupled-mode system with application to nonlinear water waves propagating in finite water depth and in variable bathymetry regions // Coastal Engineering. — 2011. — Т. 58, № 4. — С. 337— 350.

59. Stotts S. A., Koch R. A. A two-way coupled mode formalism that satisfies energy conservation for impedance boundaries in underwater acoustics // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2015. — Т. 138, № 5. — С. 3383—3396.

60. Knobles D., Sagers J. A nonlocal effective operator for coupling forward and backward propagating modes in inhomogeneous media // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2011. — Т. 130, № 5. — С. 2673—2680.

61. Godin O. A. Coupled-mode sound propagation in a range-dependent, moving fluid // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2002. — Т. 111, № 5. — С. 1984—1995.

62. Acoustic wave propagation in inhomogeneous, layered waveguides based on modal expansions and hp-FEM / K. Belibassakis [и др.] // Wave Motion. — 2014. — Т. 51, № 6. — С. 1021—1043.

63. Computational ocean acoustics / F. B. Jensen [и др.]. — Springer Science & Business Media, 2011.

64. Godin O. A. A note on differential equations of coupled-mode propagation in fluids // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1998. — Т. 103, № 1. — С. 159—168.

65. Katsnelson B., Petnikov V., Lynch J. Fundamentals of shallow water acoustics. Т. 1. — Springer, 2012.

66. Evans R. B. The decoupling of stepwise coupled modes // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1986. — Т. 80, № 5. — С. 1414—1418.

67. Babkin G., Klyatskin V. Invariant imbedding method for wave problems // Wave motion. — 1982. — Т. 4, № 3. — С. 195—207.

68. Гулин О. К расчетам низкочастотных акустических полей в нерегулярных волноводах при наличии сильного обратного рассеяния // Акустический журнал. — 2008. — Т. 54, № 4. — С. 575—586.

69. Landau L. D., Lifshitz E. M. Quantum mechanics: non-relativistic theory. Т. 3. — Elsevier, 2013.

70. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — Наука, 1976.

71. Burridge R., Weinberg H. Horizontal rays and vertical modes // Wave propagation and underwater acoustics. — 2005. — С. 86—152.

72. Trofimov M. Y, Zakharenko A. D., Kozitskiy S. B. Mode Gaussian beam tracing // Computer Physics Communications. — 2016. — Т. 207. — С. 179— 185.

73. Buckingham M. J. Theory of acoustic propagation around a conical seamount // The journal of the acoustical society of America. — 1986. — Т. 80, № 1. — С. 265—277.

74. Evans R. Three dimensional acoustic scattering from a cylindrical inclusion in a waveguide // Computational Acoustics. — 1990. — Т. 2. — С. 123—132.

75. Taroudakis M. I. Coupled-mode formulation for the solution of the Helmholtz equation in water in the presence of a conical sea-mount // Journal of Computational Acoustics. — 1996. — Т. 4, № 01. — С. 101—121.

76. Nazaikinskii V. E., Shatalov V. E., Sternin B. Y. Methods of noncommutative analysis: theory and applications. — de Gruyter, 1996.

77. Trofimov M. Y., Kozitskiy S., Zakharenko A. A mode parabolic equation method in the case of the resonant mode interaction // Wave Motion. — 2015. — Т. 58. — С. 42—52.

78. Trofimov M. Y, Kozitskiy S., Zakharenko A. Simulation of the pulse propagation by the interacting mode parabolic equation method // Computer Physics Communications. — 2018. — Т. 228. — С. 54—60.

79. Petrov P., Trofimov M. Y., Zakharenko A. Modal perturbation theory in the case of bathymetry variations in shallow-water acoustics // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2021. — T. 28, № 2. — C. 257—262.

80. Landau L. D., Lifshitz E. M. Quantum mechanics: non-relativistic theory. T. 3. — Elsevier, 2013.

81. Maslov V. P., Fedoriuk M. V. Semi-classical approximation in quantum mechanics. T. 7. — Springer Science & Business Media, 2001.

82. Maslov V. P. Mathematical aspects of integral optics. — Moscow Institute of Electronic Machinebuilding, 1983.

83. Voelker G. S., Akylas T. R., Achatz U. An application of WKBJ theory for triad interactions of internal gravity waves in varying background flows // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. — 2021. — T. 147, № 735. — C. 1112—1134.

84. Borcea L, Garnier J. Wave propagation in randomly perturbed weakly coupled waveguides // Multiscale Modeling & Simulation. — 2020. — T. 18, № 1. — C. 44—78.

85. Sveshnikov A. The radiation principle // Dokl. Akad. Nauk SSSR. — 1950. — T. 73, № 5. — C. 917—920.

86. The uniqueness and existence of solutions for the 3-D Helmholtz equation in a stratified medium with unbounded perturbation / L. Liu [h gp.] // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2013. — T. 36, № 15. — C. 2033—2047.

87. Evans R. B. Couple: a coupled normal-mode code. — Accessed: 2022-05-02. https://oalib-acoustics.org/website_resources/Modes/couple/.

88. Littlejohn R. G., Flynn W. G. Geometric phases in the asymptotic theory of coupled wave equations // Physical Review A. — 1991. — T. 44, № 8. — C. 5239.

89. Weigert S., Littlejohn R. G. Diagonalization of multicomponent wave equations with a Born-Oppenheimer example // Physical Review A. — 1993. — T. 47, № 5. — C. 3506.

90. Mostovoy M. Semiclassical multicomponent wave function // Physical Review A. — 1994. — T. 50, № 5. — C. 3654.

91. Katsnelson B. G., Petnikov V. G., Lynch J. Fundamentals of shallow water acoustics. — New-York et al : Springer, 2012.

92. Siegmann W. L., Kriegsmann G. A., Lee D. A wide-angle three-dimensional parabolic wave equation // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1985. — T. 78, № 2. — C. 659—664.

93. Abawi A. T. Numerically exact three-dimensional propagation // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2015. — T. 137, № 4. — C. 2419—2419.

94. Deane G., Buckingham M. An analysis of the three-dimensional sound field in a penetrable wedge with a stratified fluid or elastic basement // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1993. — T. 93, № 3. — C. 1319—1328.

95. Brekhovskikh L. M, Godin O. A. Acoustics of layered media I: Plane and quasi-plane waves. — Springer-Verlag, 1990.

96. Bostock M. Seismic waves converted from velocity gradient anomalies in the Earth's upper mantle // Geophysical Journal International. — 1999. — T. 138, № 3. — C. 747—756.

97. Kennett B. Representations of the seismic wavefield // Geophysical Journal International. — 1994. — T. 118, № 2. — C. 344—357.

98. Petrov P., Trofimov M. Y., Zakharenko A. Modal Perturbation Theory in the Case of Bathymetry Variations in Shallow-Water Acoustics // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2021. — T. 28, № 2. — C. 257—262.

99. Кацнельсон Б., Бади М., Линч Д. Горизонтальная рефракция звука в мелком море и ее экспериментальные наблюдения // Акустический журнал. — 2007. — Т. 53, № 3. — С. 362—376.

100. Katsnelson B., Pereselkov S. Low-frequency horizontal acoustic refraction caused by internal wave solitons in a shallow sea // Acoustical physics. — 2000. — Т. 46, № 6. — С. 684—691.

101. Petrov P. S., Petrova T. N. Asymptotic solution for the problem of sound propagation in a sea with an underwater canyon // Journal of the Acoustical Society of America. — 2014. — Т. 136, № 4. — EL281—EL287.

102. Acoustic ducting, reflection, refraction, and dispersion by curved nonlinear internal waves in shallow water / J. F. Lynch [и др.] // IEEE Journal of Oceanic Engineering. — 2010. — Т. 35, № 1. — С. 12—27.

103. Katsnelson B., Petrov P. Whispering gallery waves localized near circular isobaths in shallow water // The Journal of the Acoustical Society of America. — 2019. — Т. 146, № 3. — С. 1343—1352.

104. Pierce A. D. Augmented adiabatic mode theory for upslope propagation from a point source in variable-depth shallow water overlying a fluid bottom // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1983. — Т. 74, № 6. — С. 1837—1847.

105. Kravtsov Y. A., Orlov Y. I. Geometrical optics of inhomogeneous media. — Spring-Verlag, Berlin, 1990.