Новые алгоритмы решения задач обычной и обобщенной теории возмущений методом Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Раскач, Кирилл Федорович

• Раскач, Кирилл Федорович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Раскач, Кирилл Федорович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 Вычисление производных и возмущений нейтронно-физических функционалов

1.1 Математическая модель процессов переноса нейтронов

в реакторных системах

1.2 Детерминистический подход

1.2.1 Основные определения

1.2.2 Формулы теории возмущений для различных типов функционалов и задач

1.3 Метод Монте-Карло

1.3.1 Основные определения

1.3.2 Метод коррелированной выборки

1.3.3 Метод дифференциального оператора

1.3.4 Использование формул теории возмущений 91 Выводы к главе 1

t

2 Пример использования метода дифференциального оператора для расчета коэффициентов чувствительности нейтронно-физических функционалов к нейтронным данным

2.1 Случай аналогового моделирования

2.2 Случай неаналогового моделирования 101 Выводы к главе 2

3 Алгоритмы учета возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для однородной задачи

3.1 Метод функции ценности для расчета первых

производных от Кэфф

3.1.1 Основы метода

3.1.2 Способы вычисления ценности нейтронов методом. Монте-Карло. Метод Усачева-Гурвица

3.1.3 Вычисление эффективных параметров нейтронной

кинетики с использованием метода Усачева-Гурвица

3.2 Метод прямого дифференцирования источника деления

3.2.1 Кусочно-постоянное представление возмущения источника

3.2.2 Поточечное представление возмущения источника

3.2.3 Использование метода дифференциального оператора для расчета эффективных параметров нейтронной кинетики

Выводы к главе 3

4 Эффективный алгоритм решения неоднородной задачи

методом Монте-Карло

Выводы к главе 4

5 Учет возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для неоднородной задачи

Выводы к главе 5

6 Проблемы использования многогруппового приближения

при расчете производных и возмущений

6.1 Гомогенные среды

6.2 Гетерогенные среды 194 Выводы к главе 6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Использование коэффициентов чувствительности для анализа на непротиворечивость экспериментальных данных, оценки точности и

корректировки результатов расчета

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Оценка погрешностей расчета на основе розыгрыша

случайных наборов исходных данных

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Пример расчета коэффициентов реактивности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые алгоритмы решения задач обычной и обобщенной теории возмущений методом Монте-Карло»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время расчет физики и защиты ядерных реакторов из физической дисциплины превратился в хорошо разработанный раздел вычислительной математики. Первые физические теории исходили из невозможности в то время решить аналитически, либо численно, основное уравнение, описывающее перенос нейтральных частиц, - уравнение Больцмана (называемое также кинетическим уравнением или уравнением переноса) для реальных геометрических конфигураций. Кроме того, в то время не имелось и необходимой информации о микроскопических свойствах взаимодействия частиц с веществом. Необходимость, в то же время, расчета весьма сложных (даже с точки зрения сегодняшнего дня) систем привела к появлению физических теорий, основывающихся на физическом анализе различных аспектов переноса частиц и их формальном описании с помощью небольшого количества интегральных экспериментально измеряемых параметров. Со временем быстрое развитие вычислительной техники полностью вытеснило из практики эти теории, которые, однако, сохранили свою учебную ценность - с них обычно начинается изучение реакторной физики. Практические же расчеты все больше стали основываться на прямом численном решении кинетического уравнения и его приближений. Этот процесс шел параллельно с процессом пополнения экспериментальных данных о взаимодействии частиц с веществом и переработке этих данных в данные (т.н. константы), непосредственно использующиеся в физическом расчете.

Реакторный расчет разделился на две большие ветви: детерминистический метод, основанный на конечно-разностном представлении уравнения переноса и его приближений, и статистический метод или метод Монте-Карло. К основным детерминистическим методам относятся численные схемы решения уравнения переноса как в интегро-дифференциальной, так и в интегральной формах: метод дискретных ординат, метод характеристик, метод вероятностей первых столкновений, Р1чГ-метод и его наиболее простая форма - Р1 -приближение, сводящееся к до сих пор широко используемому диффузионному приближению [6, 8, 37].

Метод Монте-Карло является статистическим методом решения уравнения переноса в интегральной форме [26, 33, 94]. Уникальность этого метода заключается в возможности свести до минимума физические и геометрические приближения, используемые при решении практических задач. В частности, этот метод позволяет уйти от общего для детерминистических методов мультигруппового приближения и использовать непрерывные зависимости ядерных данных от энергии. Тем не менее, как хорошо известно, метод Монте-Карло не является "панацеей". В частности, органически трудными для метода Монте-Карло являются задачи на глубокое прохождение частиц (распространяющихся от какого-либо источника сквозь толстые слои защиты [28]) и получение с хорошей статистической точностью оценок функционалов в очень малых областях фазового объема системы. В обоих случаях это связано с малой посещаемостью частицами соответствующих областей при использовании аналогового моделирования из-за ограниченности выборки. Остроту проблемы удается значительно уменьшить путем использования неаналогового (весового) моделирования и соответствующих методов уменьшения дисперсии. Тем не менее, проблема все равно остается, во-первых, поскольку эффективность методов уменьшения дисперсии имеет определенные пределы и, во-вторых, поскольку неаналоговые методы из-за ограниченности выборки в ряде случаев могут приводить к смещенным значениям оценок, что в той или иной мере маскирует видимое уменьшение статистических погрешностей расчета, кардинально не уменьшая их полных значений. Контроль таких смещений затруднен, что может вызывать у расчетчика определенные сомнения по поводу надежности полученных результатов. Кроме всего прочего, при использовании некоторых наиболее простых и эффективных неаналоговых схем метод Монте-Карло оказывается несамодостаточным, т.к. для определения необходимых для проведения расчета данных приходится привлекать детерминистические программы и соответствующие (часто упрощенные) расчетные модели (например, для расчета ценности относительно вклада в тот или иной интересующий процесс).

К проблемным вопросам использования метода Монте-Карло относится также решение нестационарного уравнения переноса. В последнее время, благодаря существенно выросшим вычислительным возможностям, включая параллельные вычисления, здесь наблюдается существенный прогресс. Однако, уровень

практических расчетов различных типов переходных процессов для больших промежутков времени с корректным описанием запаздывающих нейтронов, возможностью учета обратных связей и удовлетворительными статистическими точностями все еще не достигнут. Работа в данном направлении ведется ведущими российскими (коды MCU (НИЦ КИ), ПРИЗМА (ВНИИТФ), TDMCC (ВНИИЭФ)) и зарубежными (коды MCNP (США), ТМСС (Китай), TRIPOLI (Франция) и др.) Монте-Карловскими группами.

Еще одной проблемной областью метода Монте-Карло до сих пор остаются задачи вычисления производных и возмущений различных функционалов потоков нейтронов и гамма-квантов, а также задачи вычисления важнейших билинейных функционалов потока и ценности нейтронов. Производные вычисляются относительно каких-либо параметров рассматриваемой задачи, в качестве которых могут выступать ядерные константы, материальные плотности т.п. Возмущения функционалов могут представлять собой отклики на конечные изменения тех же параметров или отклики на какие-либо возмущения комплексного характера, которые невозможно описать одним или несколькими параметрами (например, типичным случаем такого рода является замена одного элемента моделируемой системы на другой, обладающий другим геометрическим строением и материальным наполнением). Говоря в дальнейшем о производных и возмущениях различных функционалов, там, где это не будет приводить к недоразумениям, для краткости, будем опускать указание на конкретные параметры дифференцирования и источники возмущений.

При использовании детерминистических методов указанные выше задачи вычисления производных и возмущений решаются с помощью алгоритмов, построенных на основе различных вариантов теории возмущений [2, 7, 12, 18, 23, 24, 53, 58, 110], которые зависят от типа функционала (эффективный коэффициент размножения и связанные с ним характеристики, произвольные линейные и дробно-линейные функционалы потока нейтронов и гамма-квантов) и типа уравнения переноса (однородное или неоднородное). Оказывается, однако, что в рамках метода Монте-Карло все эти алгоритмы являются практически неприменимыми, во-первых, из-за невозможности расчета детальных распределений прямых и сопряженных потоков нейтронов и, во-вторых, из-за отсутствия в общем случае

алгоритмов расчета методом Монте-Карло сопряженных потоков - приближенные алгоритмы существуют лишь для отдельных частных случаев. Поэтому, наряду с ограниченным использованием результатов теории возмущений, в методе Монте-Карло развивались специфические, приспособленные именно к этому методу, алгоритмы расчета производных и возмущений. До последнего времени, однако, здесь существовали "белые пятна", так что в общем случае реально можно было использовать лишь весьма приближенные варианты этих алгоритмов, что сводило на нет отмеченные выше преимущества метода Монте-Карло, связанные с возможностью вполне точного описания геометрии моделируемой системы и процессов взаимодействия частиц с веществом. В последнее время здесь произошли существенные изменения, приведшие к тому, что все эти "белые пятна" оказались, в целом, заполненными. Это продвижение, как и в случае других вышеперечисленных проблемных областей метода Монте-Карло, тесно связано с беспрецедентным ростом вычислительных мощностей. Существенный вклад в решение этого вопроса в общей постановке внесли работы автора диссертации. Совокупность полученных в них результатов составила предмет данной диссертации.

В настоящее время новые алгоритмы расчета производных и возмущений различных функционалов потоков нейтронов и гамма-квантов внесены или вносятся в отечественные (MMKKENO и ММКС (ГНЦ РФ-ФЭИ), ПРИЗМА (ВНИИТФ)) и зарубежные (MCNP и KENO (США), МУР (Япония), MONK (Великобритания), MORET (Франция)) производственные Монте-Карловские коды. Однако, современное развитие методов и алгоритмов расчета, а также расчетных программ основано на использовании многих результатов, полученных в предшествующие десятилетия. Среди отечественных специалистов здесь следует отметить Г.А. Михайлова, М.З. Брайнину, В.Г. Золотухина, А.Д. Франка-Каменецкого, М.С. Юдкевича, Д.А. Усикова, В.Б. Полевого, A.A. Блыскавку, В.В. Коробейникова, Я.З. Кандиева и др. [20, 21, 22, 25, 26, 31, 36, 38, 45, 46, 48, 51, 66, 98, 99, 102, 108, 113, 114]. Упомянем лишь некоторые, наиболее, на наш взгляд, примечательные работы. В работе [36] для расчета конечных возмущений предложен т.н. метод интегрирования по параметру, который является альтернативой предложенному ранее американскими исследователями методу коррелированной

выборки [9, 17, 33], но обладает, по сравнению с последним, некоторыми преимуществами. В работах [48, 51] рассмотрены различные варианты метода коррелированной выборки применительно к расчету конечных возмущений реактивности: метод корреляционных весов и метод коррелированных случайных чисел. В работе [31] метод оценки функции ценности нейтронов в прямом блуждании, известный за рубежом как метод Гурвица [16], был использован для расчета важной реакторной характеристики - времени жизни мгновенных нейтронов деления Данный метод правильнее называть методом Усачева-Гурвица (что в последующем и будет делаться), поскольку он основан на непосредственном использовании физического смысла функции ценности нейтронов, являющейся решением сопряженного условно-критического уравнения и использующейся при построении обычной теории возмущений для важнейшей реакторной характеристики - эффективного коэффициента размножения (коэффициента к0). Этот смысл был выявлен в широко известной в среде специалистов работе Л.Н. Усачева [2]. Заслугой X. Гурвица являлось осознание того, что физическая трактовка этой функции может быть использована не только в теоретических, но и в расчетных целях, что оказалось чрезвычайно важным для метода Монте-Карло, где, при использовании поточечного представления нейтронных данных, альтернативного методу Усачева Гурвица способа определения функции ценности нет. В работе [31] также было отмечено, что аналогичный подход может быть использован для оценки других билинейных функционалов, в частности, возмущений коэффициента к0. Эта идея была реализована в работах [38, 45], где метод Усачева-Гурвица (представляющий собой метод определения случайного значения функции ценности нейтронов в заданной точке фазового объема системы) был скомбинирован с двумя основными Монте-Карловскими методами расчета производных и возмущений коэффициента к0: методом коррелированной выборки и методом

дифференциального оператора (этот метод, как и метод коррелированной выборки, впервые был предложен американским исследователем). Основным результатом данной работы явилось решение главной проблемы этих методов в применении к размножающим средам - проблемы учета возмущения источника деления (эта проблема представляет собой одно из упоминавшихся выше "белых" пятен алгоритмов расчета производных и возмущений методом Монте-Карло: сами по

себе эти алгоритмы применимы лишь в частном случае неразмножающих сред с фиксированным источником частиц) — для частного случая функционала — коэффициента к0. Правда, для метода дифференциального оператора эта проблема

была решена лишь для частного случая расчета первой производной. В работе автора [113], помимо демонстрации уже известных способов вычисления первых производных от коэффициента к0, а также времени жизни мгновенных нейтронов

деления, была рассмотрена и корректно решена задача расчета еще одной важнейшей реакторной характеристики - эффективной доли запаздывающих нейтронов с различным определением соответствующих ценностей (различно для мгновенных нейтронов и для запаздывающих из заданного числа групп запаздывания). В работах автора [97, 102, 108, 114] были предложены алгоритмы расчета производных любого порядка и конечных возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов (включая и коэффициент к0) потоков

нейтронов, являющихся решениями одно-родного и неоднородного уравнений переноса для случая размножающих сред. Эти алгоритмы построены на основе метода прямого учета возмущения источника деления в приближении конечно-постоянной аппроксимации по пространственной переменной и в более точном поточечном представлении. В работе [66] для оценки функционалов потока нейтральных частиц, а также возмущений таких функционалов, в локализованных областях фазового объема системы разработаны т.н. методы сопряжения решений, позволяющие разложить исходную сложную задачу на ряд более простых. Данный прием позволяет значительно увеличить посещаемость этих областей частицами и, соответственно, увеличить вероятности их вкладов в интересующие функционалы. В работах [98, 99] был описан оригинальный способ повышения эффективности расчета возмущений реактивности по методу коррелированной выборки.

Много важных работ было выполнено зарубежными специалистами. В частности, в ранних работах Н.Дж. Керли и J1.A. Ондиса [17], а также X. Стейнберга и Р. Аронсона [9] были предложены различные варианты метода коррелированной выборки, позволяющего рассчитывать конечные отклики на возмущения комплексного характера в малых областях фазового объема системы. В работах [10, 11] Дж.Е. Олхоефтом были заложены основы метода дифференциального оператора, позволяющего рассчитывать производные любого порядка, а

также конечные возмущения (для вычисления которых используются их степенные разложения) функционалов относительно изменений каких-либо параметров системы (ядерных констант, материальных плотностей и т.п.) в не слишком малых областях ее фазового объема. Оба метода в своей исходной форме подходили лишь для расчета неразмножающих сред. В русле развития и применения метода дифференциального оператора лежат также работы [30, 49, 78]. В работе [35] предложен алгоритм расчета возмущений эффективного коэффициента размножения (коэффициента к0) 2-го порядка точности с учетом возмущения источника деления по методу сопряженной функции (функции ценности). Расчет последней проводится с помощью алгоритма, являющегося следствием метода Усачева-Гурвица, однако, в отличие от работы [45], здесь используется кусочно-постоянная аппроксимация этой функции. В работах [55, 57, 67] приведен обзор имевшихся на момент их выхода в свет алгоритмов расчета производных и возмущений методом Монте-Карло, а также предложен приближенный вариант решения общей для всех этих алгоритмов проблемы учета возмущения источника деления, не позволяющей применять их при расчете размножающих сред. В частности, впервые была предложена схема прямого (т.е. без использования метода сопряженной функции) учета возмущения источника в кусочно-постоянном представлении на основе метода матрицы деления [3]. Другой приближенный вариант решения этой проблемы для метода дифференциального оператора был предложен в работе [88]. В работах [42, 70] была использована общая идея прямого учета возмущения источника деления, предложенная в упомянутых выше работах [55, 57, 67], но конкретный способ реализации этой идеи был иной, а рассмотрение было ограничено задачей вычисления возмущений коэффициента к0 по методу коррелированной выборки. Наконец, в работе [100] японцы Я. Нагайя и Т. Мори, независимо от упомянутых выше работ [102, 108] автора диссертации и несколько раньше, предложили алгоритм прямого учета возмущения источника деления в поточечном представлении при расчете 1-й производной от коэффициента к0. Как

в работе [100], так и в работе [108], решение проблемы возмущения источника деления при решении однородного (условно-критического) уравнения переноса нейтронов было найдено на основе метода супер-поколения. Этот метод представляет собой развитие обычного метода поколения нейтронов, использующегося при

решении методом Монте-Карло условно-критической задачи, по аналогии с методом итерации источника деления в детерминистических расчетах. Отличие алгоритмов, предложенных в работах [100] и [108] заключается, во-первых, в конкретной реализации метода супер-поколения. Во-вторых, в работе [108] рассмотрена более общая задача расчета производных любого порядка и возмущений для произвольных дробно-линейных функционалов потока нейтронов, являющегося решением условно-критического уравнения. Как отмечалось выше, наряду с использованием специфических методов коррелированной выборки и дифференциального оператора, в методе Монте-Карло имеется возможность ограниченного использования результатов теории возмущений в адаптированном для этого метода виде. Последнее означает, что, вместо того, чтобы, как в детерминистическом подходе, вычислять детальные распределения потока и ценности нейтронов, а затем вычислять билинейные свертки, входящие в формулы теории возмущений, в методе Монте-Карло целесообразно пытаться непосредственно вычислять эти свертки. В русле такого подхода лежат работы [115, 116], в которых решается частная задача вычисления первых производных от коэффициента к0. Соответственно, для определения функции ценности в этих работах

используется метод Усачева-Гурвица. В работе [96] эта же задача решается без использования данного метода. Вместо этого, производится предварительное определение функции ценности по методу сопряженных блужданий, что, однако, влечет за собой существенное ограничение, связанное с невозможностью использования поточечного представления ядерных данных.

Из представленного обзора, который не претендует на полноту, видно, что в настоящее время существует три основных подхода к решению задач теории возмущений методом Монте-Карло. Два из них - метод коррелированной выборки и метод дифференциального оператора - являются специфичными, именно Монте-Карловскими, подходами, в полной мере учитывающими специфику этого метода и эксплуатирующими его характерные особенности. Метод коррелированной выборки и метод дифференциального оператора являются методами решения задач теории возмущений, непосредственно не использующими результаты самой этой теории (этим объясняется название диссертации), за исключением использования отдельных ее элементов в некоторых частных своих вариантах (учет возмущения

источника деления методом сопряженной функции в случае, когда в качестве исследуемого функционала выступает коэффициент к0). Еще одним подходом,

который носит заведомо частный характер, является использование для расчета первых производных от коэффициента к0 формул теории возмущений в адаптированной для метода Монте-Карло форме. Далее, если говорить о методах коррелированной выборки и дифференциального оператора, то, в принципе, эти методы позволяют решать весь круг практически важных задач теории возмущений. В этом отношении оба метода хорошо дополняют друг друга. Метод коррелированной выборки, который можно рассматривать как один из методов уменьшения дисперсии, очень эффективен при расчете единичных или небольшого числа откликов различных функционалов на локальные возмущения исходных данных, описывающих моделируемый объект. Причем, эти возмущения могут носить комплексный характер, т.е. их невозможно описать каким-либо одним параметром. В практике физического расчета реакторных установок задачи определения таких возмущений возникают, например, при анализе экспериментов по измерению реактивностей малых образцов [124], измерений величины доплер-эффекта при нагреве таких образцов, при определении значений эффективностей "легких" стержней СУЗ и т.п. Метод дифференциального оператора, напротив, очень эффективен при проведении массовых расчетов производных и возмущений различных функционалов относительно заданных параметров (ядерных констант взаимодействия частиц с веществом, плотностей материалов и т.п.). Под массовыми расчетами подразумевается необходимость одновременной (в одном расчете) оценки большого (от сотен до сотен тысяч и более) производных и возмущений. Если используется аналоговое моделирование, то при использовании метода дифференциального оператора, как обычно, подразумевается, что параметры возмущаются в не слишком малых областях фазового объема моделируемой системы, имеющих достаточно высокую посещаемость частицами в процессе их случайных блужданий. В противном случае увеличиваются статистические погрешности расчета производных и возмущений рассматриваемых функционалов. В таких ситуациях, как и при расчете самих значений функционалов, требуется использовать те или иные неаналоговые схемы расчета, искусственно увеличивающие посещаемость интересующих областей фазового объема системы с

соответствующим пересчетом весов блуждающих частиц. Тем не менее, большинство практических задач успешно решается с использованием аналогового моделирования. К таким задачам относятся, прежде всего, расчет коэффициентов чувствительности к ядерным данным и технологическим параметрам. Эти величины используются при переносе результатов интегральных и макроскопических экспериментов (на подкритических и критических экспериментальных сборках и работающих реакторах) на проектируемые реакторы, при оценке расчетных точностей и поиске расчетных смещений, минимизирующих расчетные погрешности, при оценке макроскопических экспериментов и обработке больших совокупностей данных по таким экспериментам, в деятельности по совершенствованию систем ядерных констант. К массовым расчетам производных и возмущений сводится также задача определения коэффициентов реактивности, представляющих собой необходимый элемент одной из широко используемых схем анализа переходных процессов в ядерных реакторах в обоснование их безопасности. Возможность расчета более высоких производных в данном случае позволяет производить контроль линейности отклика и при необходимости вводить соответствующие поправки. Кроме указанных выше, чрезвычайно актуальных, задач, Монте-Карловское решение которых иными способами вообще не представляется возможным, метод дифференциального оператора также хорошо себя зарекомендовал при решении оптимизационных задач и различных специальных задач, возникающих в практике физического расчета.

Итак, существуют хорошо друг друга дополняющие подходы, в принципе, позволяющие решать методом Монте-Карло весь круг практических задач теории возмущений (в ее разных вариантах). В чем же состоит проблема? Проблема состоит в том, что, как уже отмечалось в приведенном выше обзоре, методы коррелированной выборки и дифференциального оператора в их классическом виде, строго говоря, позволяют проводить расчеты лишь для задач о переносе нейтронов и гамма-квантов в неразмножающих средах. В таких задачах стационарное поле частиц возникает в результате действия внешнего (независимого от решения) источника таких частиц. С точки зрения метода Монте-Карло это означает, что функция плотности вероятности источника частиц априори задана, и для получения случайных откликов на изменения входных параметров (исходных

данных) для какой-либо случайной истории частицы, достаточно той информации (по переходным вероятностям), которая имеется в наличии при розыгрыше этой истории, а информация о других историях никак не используется. Необходимость решения таких задач возникает, например, при расчете радиационной защиты. Однако, важнейшие для реакторных приложений задачи имеют дело с переносом нейтронов в размножающих или делящихся средах, в состав которых входят делящиеся под действием нейтронного облучения ядра тяжелых элементов (урана, плутония и т.п.). Как известно, в процессе деления ядра образуется, как правило, два осколка, т.е. более легких ядра, а также 2-3 и даже более свободных нейтронов (нейтронов деления), которые вносят принципиальный вклад в формирующийся нейтронный поток. Часть образующихся нейтронов безвозвратно теряется в актах поглощения и утечки. Однако, некоторая их часть индуцирует новые деления. Так, что, в принципе, возникают условия для самоподдерживающейся цепной реакции. Критерием возможности такой реакции служит значение максимального собственного числа, которое, вместе с соответствующей собственной функцией (потоком нейтронов) является решением однородного (т.н. условно-критического) уравнения переноса нейтронов. Эта важнейшая реакторная характеристика называется эффективным коэффициентом размножения и обозначается через кэфф или к0 (как в

данной работе). Ее физический смысл чрезвычайно прост. В размножающей системе, предоставленной самой себе, т.е. в отсутствие внешних источников нейтронов, она представляет собой отношение скорости образования свободных нейтронов к скорости их исчезновения. Если к0 = 1 (критический режим), то в системе может иметь место постоянная во времени самоподдерживающаяся цепная реакция; Именно этому случаю соответствуют рабочие режимы ядерных реакторов и экспериментальных критических сборок. Если к0 > 1 (надкритический режим), и в системе присутствуют свободные нейтроны, то имеет место постоянное увеличение их числа до тех пор, пока, в силу каких-то причин (температурные эффекты при не слишком быстрых скоростях разгона или разрушение целостности системы при процессах взрывного характера) не произойдет снижение к0 до критического или подкритического уровня. Если к0 < 1 (подкритический режим), то

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Раскач, Кирилл Федорович, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

Ссылки в перечне упорядочены по году выхода работы в свет.

1. Weinberg A. Current Status of Nuclear Reactor Theory // Amer. J. Phys. - 1952. -Vol. 20. P. 401.

2. Усачев Jl.H. Уравнение для ценности нейтронов, кинетика реакторов и теория возмущений. В сб. "Реакторостроение и теория реакторов". М.: Изд. АН СССР. 1955.

3. Kaplan E.L., McCormick N.S. Monte Carlo Methods for Equilibrium Problems in Neutron Multiplication. UCRL 5275-T. 1958.

4. Lewins J. The Use of the Generation Time in Reactor Kinetics // Nucl. Sei. Eng. -1960.-Vol. 7. No. 2.

5. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз. 1960.

6. Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. М.: Изд. иностр. лит. 1961.

7.

8.

9.

10,

11

12,

13

14

15

16

17

18

19

Марчук Г.И., Орлов В.В. К теории сопряженных функций. В сб. "Нейтронная физика". М.: Госатомиздат. 1961.

Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат. 1961.

Steinberg Н., Aronson R. Monte Carlo Calculations of Gamma-Ray Penetration. Technical Research Group Inc. WADC-TR-59-771. 1960.

Olhoeft J.E. The Doppler Effect for a Non-Uniform Temperature Distribution in Reactor Fuel Elements. WCAP-2048, Westinghouse Electric Corporation. Atomic Power Division. Pittsburgh. 1962.

Olhoeft J.E. The Doppler Effect for a Non-uniform Temperature Distribution in Reactor Fuel Elements. Ph. D. Dissertation. Univ. Michigan. 1963.

Усачев JI.H. Теория возмущений для коэффициента воспроизводства и других отношений чисел различных процессов в реакторе // Атомная энергия. - 1963. - Т. 15. Вып. 6.

Николаев М.Н., Филиппов В.В. Измерение параметров резонансной структуры полных сечений некоторых элементов в области энергий нейтронов 0.3-2.7МэВ // Атомная энергия. - 1963. - Т. 15. Вып. 6.

Sauer A. Approximate Escape Probability // Nucl. Sci. Eng. - 1963. - Vol. 16. P. 329-335.

Абагян Л.П., Базазянц H.O., Бондаренко И.И., Николаев М.Н. Групповые константы для расчета ядерных реакторов. М.: Атомиздат. 1964.

Hurwitz Н. Physical Interpretation of the Adjoint Flux: Iterated Fission Probability. Naval Reactor Physics Handbook. Vol. 1. P. 864-869. U.S. Atomic Energy Commission. 1964.

Curlee N.J., Ondis L.A. // Trans. Amer. Nucl. Soc. - 1964. - Vol. 7. No. 2.

Gandini A. A Generalized Perturbation Method for Bilinear Functionals of the Real and Adjoint Neutron Fluxes // J. Nucl. Energy. - 1967. - Vol. 21. P. 755.

Кипин Дж. Физические основы кинетики ядерных реакторов. М.: Атомиздат. 1967.

20. Михайлов Г. А. Вычисление методом Монте-Карло производных функционалов от решения уравнения переноса по параметрам системы // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1967. - Вып. 7. № 4.

21. Брайнина М.З. и др. Вычисление производных дозы методом Монте-Карло для оптимизации формы и состава радиационной защиты // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1967 - Вып. 7. № 4.

22. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений. Под ред. Г.И. Марчука. М.: Атомиздат, 1967.

23. Орлов В.В. О ценности нейтронов и теории возмущений для расчета характеристик ядерных реакторов. В сб. "Вопросы физики ядерных реакторов". Вып. 1. Обнинск. 1968.

24. Шихов С.Б., Шмелев А.Н. Учет влияния произвольного изменения размеров на критическую массу быстрого реактора с помощью теории возмущений. В сб. "Физика ядерных реакторов". Вып. 1. М.: Атомиздат. 1968.

25. Золотухин В.Г. О применении метода Монте-Карло к расчету функционалов потока, их возмущений и эффективных констант. В сб. "Вопросы физики ядерных реакторов". Вып. 1. Обнинск. 1968.

26. В.Г. Золотухин, В.А. Климанов, О.И. Лейпунский и др. Прохождение излучений через неоднородности в защите. М.: Атомиздат. 1968.

27. Raffety S.J., Mihalczo J.T. Homogenized Critical Assemblies of 2 and 3 % Enriched Uranium in Paraffin. Y-DR-14. Union Carbide Corp. Nuclear Division. Oak Ridge Y-12 Plant. 1969.

28. Вопросы физики защиты реакторов. Под. ред. Бродера Д.Л., Суворова А.П., Цыпина С.Г. М.: Атомиздат. 1969.

29. Campbell C.G., Rowlands J.L. The Relationship of Microscopic and Integral Data. Proceedings of the Second International Conference on Nuclear Data for Reactors Held by the International Atomic Energy Agency in Helsinki. Vol. II. P.391. IAEA. Vienna. 15-19 June 1970.

30. Takahashi H. Monte Carlo Method for Geometrical Perturbations and its Applications to the Pulsed Fast Reactor // Nucl. Sci. Eng. - 1970 - Vol. 41. P. 259.

31.

32,

33,

34,

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

Франк-Каменецкий А.Д., Юдкевич М.С. Расчет времени жизни мгновенных нейтронов в реакторе методом Монте-Карло. Препринт ИАЭ-2155. М. 1971.

Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука. 1971.

Спанье Дж., Гелбард Э. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М.: Атомиздат. 1972.

Льюинс Дж. Ценность. Сопряженная функция. М.: Атомиздат. 1972.

Matthes W. Calculation of Reactivity Perturbations with the Monte Carlo Method // Nucl. Sci. Eng. - 1972 - Vol. 47. P. 234.

Усиков Д.А. Интегрирование по параметру как способ расчета конечных возмущений в реакторных сборках методом Монте-Карло. Препринт ФЭИ-423. Обнинск. 1973.

Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. М.: Атомиздат. 1974.

Блыскавка А.А. Некоторые алгоритмы вычисления возмущений реактивности методом Монте-Карло. Препринт ФЭИ-718. Обнинск. 1976.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1976.

Зизин М.Н. Расчет нейтронно-физических характеристик реакторов на быстрых нейтронах. М.: Атомиздат. 1978.

Франк-Каменецкий А.Д. Моделирование траекторий нейтронов при расчете реакторов методом Монте-Карло. М.: Атомиздат. 1978.

Nakagawa М., Asaoka Т. Improvement of Correlated Sampling Monte Carlo Methods for Reactivity Calculations // J. Nucl. Sci. Technol - 1978. - Vol. 15. P. 400.

Chao Y.A., Martinez A.S. On Approximations to the Neutron Escape Probability from an Absorbing Body // Nucl. Sci. Eng. - 1978. - Vol 66. P. 254.

Greenspan E., Kami Y., Gilai D. Higher Order Effects in Cross Section Sensitivity Analysis. ORNL/RSIC-42. Oak Ridge National LaboratoryP. 231. 1979.

Блыскавка А.А. Об оценках методом Монте-Карло производной и возмущений Кэфф. Препринт ФЭИ-920. Обнинск. 1979.

46. Золотухин В.Г., Усиков Д.А. Оценка реакторных параметров методом Монте-Карло. М.: Атомиздат. 1979.

47. Усачев JI.H., Бобков Ю.Г. Теория возмущений и планирование эксперимента в проблеме ядерных данных для реакторов. М.: Атомиздат. 1980.

48. Полевой В.Б. PERL - редакция библиотеки ММК-22 для расчета обширных возмущений реактивности методом Монте-Карло. Препринт ФЭИ-1107. Обнинск. 1980.

49. Hall М.С. Cross Section Adjustment with Monte Carlo Sensitivities: Applications to the Winfrith Iron Benchmark // Nucl. Sci. Eng. - 1982 - Vol. 81. P. 423.

50. Williams M.L., Gilai D. Incorporation of Clad Effects into Sauer's Method for Computing Dancoff Factors // Ann. Nucl. Energy. - 1982. - Vol. 9. P. 137-140.

51. Камаева О.Б., Полевой В.Б. PERL-2 и JIABP-2 - программы расчета возмущений реактивности методом Монте-Карло с коррелированием траекторий по случайным числам. Препринт ФЭИ-1393. Обнинск. 1983.

52. Шихов С.Б., Троянский В.Б. Теория ядерных реакторов. М.: Энерго-атомиздат. 1983.

53. Ярославцева JI.H. Комплекс программ JARFR для расчета нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. - 1983. - Вып. 8 (37), С. 41-43.

54. Николаев М.Н., Рязанов Б.Г., Савоськин М.М., Цибуля A.M. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов. М.: Энергоатомиздат. 1984.

55. Rief Н. Generalized Monte Carlo perturbation algorithms for correlated sampling and a second-order Taylor series approach // Ann. Nucl. Energy - 1984 - Vol. 11, No. 9.

56. Казанский Ю.А., Матусевич E.C. Экспериментальные методы физики реакторов. М.: Энергоатомиздат. 1984.

57. Rief H. Review of Monte Carlo techniques for analyzing reactor perturbations // Nucl. Sci. Eng. - 1986 - Vol. 92, P. 289.

58. Williams M.L. Perturbation Theory for Reactor Analysis. CRC Handbook of Nuclear Reactor Calculations. P. 63-188. CRC Press. 1986.

59. Уолтер А., Рейнольде А. Реакторы-размножители на быстрых нейтронах. М.: Энергоатомиздат. 1986.

60. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989.

61. Галанин А.Д. Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах. М.: Энергоатомиздат. 1990.

62. Planchard J. On the Calculation of Flux in Slightly Subcritical Reactors with External Neutron Sources // Progress in Nuclear Energy. - 1990. - Vol. 23. No. 3. P. 181-189.

63. Bruna G., Planchard J. Neutron Fluxes in a Slightly Subcritical Reactor in the Presence of External Sources // Progress in Nuclear Energy. - 1991. - Vol. 25. No. l.P. 1-6.

64. Полевой В.Б. и др. MMKFK-2 - комплекс программ для решения методом Монте-Карло задач переноса излучения в физике реакторов. Аннотация. Разработка ФЭИ № 376. Обнинск, 1991.

65. MacFarlane R.E. TRANSX 2: A Code for Interfacing MATXS Cross-Section Libraries to Nuclear Transport Codes. LA-12312-MS. Los Alamos National Laboratory. Dec. 16, 1993.

66. Коробейников В.В., Усанов В.И. Методы сопряжения в задачах переноса излучения. М.: Энергоатомиздат. 1994.

67. Rief Н. A synopsis of Monte Carlo perturbation algorithms // Journal of Computational Physics. - 1994 - Vol. 111. No. 33.

68. TWODANT-SYS. One- and Two-Dimentional, Multigroup, Discrete-Ordinates Transport Code System. ORNL CCC-547. Oak Ridge National Laboratory. April 1994.

69. Gallmeier F.X. A New MCNP Option: KCORR - The use of the correlated sampling method to study reactivity effects due to changes of a reactor arrangement // Nucl. Sci. Eng. - 1995. - Vol. 120, P. 102.

70. Kitada Т., Yamane A., Takeda T. Improvement of the Correlated Sampling Method in Monte Carlo Perturbation Theory. Proc. Int. Conf. on the Physics and Reactors (PHYSOR-1996). Mito, Ibaraki, Japan. Sept. 16-20, 1996.

71. Мантуров Т.Н., Николаев M.H., Цибуля A.M. Система групповых констант БНАБ-93. Часть 1: Ядерные константы для расчета нейтронных и фотонных полей излучений. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Ядерные константы. - 1996. - Вып.1. С. 59.

72. Расчет коэффициентов чувствительности дробно-линейных функционалов потока по отношению к микросечениям и концентрациям нуклидов на основе решения кинетического уравнения. Отчет ГНЦ РФ-ФЭИ. Инв. № 9335ю. Обнинск. 1996.

73. Разработка программы расчета изменения Кэфф по отношению к изменению формы реактора. Отчет ГНЦ РФ-ФЭИ. Инв. № 9613. Обнинск. 1997.

74. Румянцев Г.Я. Проекционный метод решения неоднородных задач в подкритических реакторах. Препринт ФЭИ-2593. Обнинск. 1997.

75. Раскач К.Ф., Коробейников В.В. Эффективный метод решения задачи о подкритическом реакторе с источником // Атомная энергия. - 1998. - Т. 85. Вып. 6.

76. Формулы теории возмущений для скоростей реакций и отношений скоростей реакций в подкритических и условно-критических системах. Часть 1. Формулы Теории возмущений в дифференциальной форме. Алгоритмы нахождения уравнения переноса со знакопеременным источником. Отчет ГНЦ РФ-ФЭИ. Инв. № 9785. Обнинск. 1998.

77. Коробейников В.В. Универсальный алгоритм метода Монте-Карло для расчета бланкетов электроядерных установок // Ядерная энергетика. Известия вузов. - 1999. - Приложение к № 2.

78. Hendricks J., Carter L., McKinney G. MCNP Perturbation Capability for Monte Carlo Criticality Calculations. Proc. Sixth Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC-1999). France. Sept. 20-24, 1999.

79. Rowlands J. et al. LWR Pin Cell Benchmark Intercomparisons. TFRPD1-27.

1999.

80. Румянцев Г.Я. Два эффективных способа построения итераций для решения неоднородных задач теории переноса нейтронов // Атомная энергия. - 2000. -Т. 88. Вып. 3.

81. Greene N.M. BONAMI: Resonance Self-Shielding by the Bondarenko Method. ORNL/NUREG/CSD-2/V2/R6. Oak Ridge National Laboratory. 2000.

82. Мантуров Г.Н., Николаев M.H., Цибуля A.M. Программа подготовки констант CONSYST. Описание применения. Препринт ФЭИ-2828. Обнинск,

2000.

83. Серегин А.С., Кислицына Т.С., Цибуля A.M. Аннотация комплекса программ TRIGEX.04. Препринт ФЭИ - 2846. Обнинск. 2000.

84. Petrie L.M., Landers N.F. KENO V.a: An Improved Monte Carlo Criticality Program with Supergrouping. ORNL/NUREG/CSD-2/R6. Oak Ridge National Laboratory. March 2000.

85. Hollenbach D.F., Petrie L.M., Landers N.F. KENO-VI: A General Quadratic Version of the KENO Program. ORNL/NUREG/C SD-2/V2/R6. Oak Ridge National Laboratory. March 2000.

86. Williams M.L., Broadhead B.L., Parks C.V. Eigenvalue Sensitivity Theory for Resonance-Shielded Cross Sections // Nucl. Sci. Eng. - 2001. - Vol 138. P. 177191.

87. Раскач К.Ф., Рожихин E.B., Цибуля A.A., Цибуля A.M. Исследование приближений, используемых в системе константного обеспечения CONSYST для расчета ячеек водо-водяных реакторов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерные константы. - 2001. - Вып. 2.

88. Favorite J.A. An Alternative Implementation of the Differential Operator (Taylor Series) Perturbation Method for Monte Carlo Criticality Problems // Nucl. Sei. Eng. - 2002. - Vol. 142. P. 327.

89. MCNP - A General Monte Carlo N-Particle Code. Version 5. LA-ORNL, RSICC LA-UR-03-1987. Los Alamos National Laboratory. 2003.

90. Ivanova T.T., Nikolaev M.N., Raskach K.F., Rozhikhin E.V., Tsiboulia A.M. Influence of the Correlations of Experimental Uncertainties on Criticality Prediction // Nucl. Sei. Eng. - 2003. - Vol. 145. No. 1.

91. Ivanova T.T., Nikolaev M.N., Raskach K.F., Rozhikhin E.V., Tsiboulia A.M. Use of International Criticality Safety Benchmark Evaluation Project Data for Validation of the ABBN Cross-Section Library with the MMK-KENO Code // Nucl. Sei. Eng. - 2003. - Vol. 145. No. 2.

92. Ivanova T.T., Manturov G.N., Nikolaev M.N., Raskach K.F., Rozhikhin E.V., Tsiboulia A.M. Estimation of Accuracy of Criticality Prediction of Highly Enriched Uranium Homogeneous Systems on the Basis of Analysis of Data from ICSBEP Handbook. Proc. Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC-2003). Tokai-Mura, Japan. October 20-24, 2003.

93. Ivanova T.T., Nikolaev M.N., Raskach K.F., Rozhikhin E.V., Tsiboulia A.M. Attempt of the Joint Analysis of the Entire Set of the HEU-SOL Type Experiments from the International Handbook of Evaluated Criticality Safety Benchmark Experiments. Proc. Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC-2003). Tokai-Mura, Japan. October 20-24, 2003.

94. Михайлов Г.А. Весовые алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН. 2003.

95. Комлев О.Г., Раскач К.Ф. Пакет программ для расчета коэффициентов чувствительности Кэфф и отношений средних сечений к коэффициентам уравнения переноса в 1D- и 20-геометрии. Препринт ФЭИ-3013. Обнинск. 2004.

96. Rearden В.Т. Perturbation Theory Eignvalue Sensitivity Analysis with Monte Carlo Techniques // Nucl. Sei. Eng. - 2004 - Vol. 146, P. 367-382.

97. Blyskavka A.A., Raskach K.F., Tsiboulia A.M. Algorithm for Calculating Keff Sensitivities to Group Cross Sections Using Monte Carlo Method and Features of Its Implementation in the MMKKENO Code. Proc. Int. Conf. on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering (M&C-2005). Avignon, France. September 12-15, 2005.

98. Кандиев Я.З., Серова E.B. Меченые частицы в расчетах задач переноса излучения методом Монте-Карло по программе ПРИЗМА // Атомная энергия. - 2005. - Т. 98. Вып. 6. С. 386-393.

99. Кандиев Я.З., Малахов А.А., Серова Е.В., Спирина С.Г. Оценка эффекта малых возмущений в многовариантных расчетах по программе ПРИЗМА-Д // Атомная энергия. - 2005. - Т. 99. Вып. 3. С. 203-210.

100. Nagaya Y., Mori Т. Impact of Perturbed Fission Source on the Effective Multiplication Factor in Monte Carlo Perturbation Calculations // Journal of Nuclear Science and Technology. - 2005. - Vol. 42. No. 5. P. 428-441.

101. Интеллектуальная программная система ShIPRW для математического моделирования ядерных реакторов. Вычислительные модули многогруппового трехмерного расчета плотности потока нейтронов в диффузионном приближении. Отчет НИЦ "Курчатовский институт". Инв. № 36/04-2006. М. 2006.

102. Raskach K.F. A Method for Calculating Sensitivities of K-effective Applicable for KENO-V.a/VI and Its Realization. NSTD/ORNL Report. Oak Ridge National Laboratoiy. Sept. 2006.

103. Verboomen В., Haeck W., Baeten P. Monte Carlo Calculation of the Effective Neutron Generation Time // Annals of Nuclear Energy. - 2006. - Vol. 33. P. 911916.

104. Raskach K.F. Statistical Analysis of PST and PMF Types of Experiments Relative to Examining "Safety Applications". NSTD/ORNL Report. Oak Ridge National Laboratory. February 2006.

105. Raskach К., Hopper С. Statistical Analysis of PST Types of Experiments Relative to Examining "Safety Applications". Proc. Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC-2007). St. Petersburg. May 28 - June 1, 2007.

106. Bernard F., Forestier В., Jacquet O., Miss J. Massive Evolution in the MORET Monte Carlo Code. A New Continuous-Energy Version. Proc. Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC-2007). St. Petersburg. May 28 - June 1, 2007.

107. International Handbook of Evaluated Reactor Physics Benchmark Experiments. NEA/NSC/DOC(2006) 1. March 2008.

108. Raskach K.F. An Improvement of the Monte Carlo Generalized Differential Operator Method by Taking into Account First- and Second-Order Perturbations of Fission Source //Nucl. Sei. Eng. - 2009. - Vol. 162. No. 2. P. 158-166.

109. Rearden B.T., Mueller D.E., Bowman S.M., Busch R.D., and Emerson S.J. TSUNAMI Primer: A Primer for Sensitivity/Uncertainty Calculations with SCALE. ORNL/TM-2009/027. Oak Ridge National Laboratory. January 2009.

110. Jessee M.A., Williams M.L., DeHart M.D. Development of Generalized Perturbation Theory Capability within the SCALE Code Package. Proc. of International Conference on Mathematics, Computational Methods, and Reactor Physics (M&C 2009). Saratoga Springs, New York, USA. May 3-7, 2009.

111. Блыскавка A.A., Мантуров Т.Н., Николаев М.Н., Цибуля A.M. Аннотация программного комплекса MMKKENO. Препринт ФЭИ-3145. Обнинск. 2009.

112. Poplavsky V.M. et al. Core Design and Fuel Cycle of Advanced Fast Reactor with Sodium Coolant. Int. Conf. on Fast Reactors and Related Fuel Cycles: Challenges and Opportunities (FR-2009). Kyoto, Japan. December 7-11, 2009.

113. Raskach K.F., Blyskavka A.A. An Experience of Applying Iterated Fission Probability Method to Calculation of Effective Kinetics Parameters and Keff Sensitivities with Monte Carlo. Proc. Int. Conf. on Reactor Physics (PHYSOR-2010). Pittsburgh, PA, USA. May 9-14, 2010.

114. Raskach K.F. Extension of Differential Operator Method to Inhomogeneous Problems with Internal and External Neutron Sources // Nuclear Science and Engineering. - 2010. - Vol. 165. No. 3.

115. Kiedrowski В., Brown F., Wilson P. Calculating Kinetic Parameters and Reactivity Changes with Continuous-Energy Monte Carlo. Proc. Int. Conf. on Reactor Physics (PHYSOR-2010). Pittsburgh, PA, USA. May 9-14, 2010.

116. Rearden B.T., Perfetti C.M., Williams M.L., Petrie L.M. SCALE Sensitivity Calculations Using Contributon Theory. Proc. Joint Int. Conf. on Supercomputing in Nuclear Applications and Monte Carlo 2010 (SNA + M&C2010). Tokyo, Japan. October 17-21, 2010.

117. Broadhead B.L., Williams M.L., Wagschal J.J. Generalized Linear Least-Squares Adjustment, Revisited // Journal of American Society for Testing and Materials International. - 2010. - Vol. 3. No. 7.

118. International Handbook of Evaluated Criticality Safety Benchmark Experiments. NEA/NSC/DOC(95)3. September 2010.

119. Zwermann W. et al. Uncertainty Analyses with Nuclear Covariance Data in Reactor Core Calculations. Int. Conf. on Nuclear Data for Science and Technology (ND-2010). Jeju Island, Korea. April 26-30, 2010.

120. Nagaya Y., Mori T. Calculation of Effective Delayed Neutron Fraction with Monte Carlo Perturbation Techniques // Annals of Nuclear Energy. - 2011. - Vol. 38. P. 254-260.

121. Раскач К.Ф. Введение поправок, учитывающих взаимозависимость мульти-групповых констант, к результатам мультигрупповых расчетов по теории возмущений // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. 2011. - Вып. 1.

122. Scale: A Comprehensive Modeling and Simulation Suite for Nuclear Safety Analysis and Design. ORNL/TM-2005/39. Version 6.1. Oak Ridge National Laboratory. June 2011.

123. Raskach K.F., Blyskavka A.A., Kislitsina T.S. Monte Carlo Transport Correction of Sodium Reactivity Worth Spatial Distribution in Perspective Sodium Cooled Fast Reactor. Proc. Int. Conf. on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering (M&C-2011). Rio de Janeiro, RJ, Brazil. May 8-12, 2011.

124. Тамбовцев С.Д., Дулин В.А., Раскач К.Ф. Исследование эффекта реактивности Доплера образцов реакторных материалов на критических сборках // Атомная энергия. - 2012. - Т. 113. Вып. 3.

125. Блыскавка А.А., Жемчугов Е.В., Раскач К.Ф. Пилотная версия программы ММК с непрерывным слежением за энергией нейтрона. Программа и тезисы отраслевого семинара Нейтроника-2012. Обнинск. 2012.

126. Yamamoto Т. Monte Carlo Method with Complex Weights for Neutron Leakage-Corrected Calculations and Anisotropic Diffusion Coefficient Generations // Annals of Nuclear Energy. - 2012. - Vol. 50. P. 141-149.

127. Tomatis D., Dall'Osso A. Flux Stabilization in Neutron Problems with Fixed Sources. Proc. Int. Conf. on Reactor Physics (PHYSOR-2012). Knoxville, TN, USA. April 15-20,2012.

128. Raskach K.F. A Technique for Accounting for Multigroup Cross Section Interdependence in Sensitivity Calculations // Nucl. Sci. Eng. - 2012. - Vol. 170. No. 2.

129. Выпуск документации по коду пространственного нестационарного расчета. Отчет ГНЦ РФ-ФЭИ. Инв. № 7471 конф. Обнинск. 2012.

130. Yamamoto Т. Monte Carlo Method with Complex-Valued Weights for Frequency Domain Analysis of Neutron Noise // Annals of Nuclear Energy. - 2013. - Vol. 58. P. 72-79.

131. Селезнев Е.Ф. Кинетика реакторов на быстрых нейтронах. М.: Наука. 2013.

132. Ашурко Ю.М., Волков А.В., Раскач К.Ф. Разработка программных модулей для расчета запроектных аварий в реакторах типа БН с учетом пространственно-временной кинетики // Атомная энергия. - 2013. - Т. 114. Вып. 1.

133. Швецов Ю.Е., Ашурко Ю.М., Суслов И.Р., Раскач К.Ф., Забудько JI.M., Мариненко Е.Е. Мультифизичный код UNICO для анализа переходных процессов в быстрых натриевых реакторах // Ядерная энергетика. Известия ВУЗов.-2014.-Вып. 1.

134. Peregudov A., Andrianova O., Raskach K., Tsibulya A. GRS Method for Uncertainties Evaluation of Parameters in a Perspective Fast Reactor // Nuclear Data Sheets.-2014.-Vol. 118. P. 548-550.

135. Yamamoto T., Sakamoto H. A New Concept of Monte Carlo Kinetics Parameter Calculation Using Complex-Valued Perturbation // Annals of Nuclear Energy. -2014. - Vol. 71. P. 480^188. September 2014.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Использование коэффициентов чувствительности для анализа на непротиворечивость экспериментальных данных, оценки точности и корректировки результатов расчета

В настоящее время коэффициенты чувствительности широко используются для решения задач оценки точности нейтронно-физического расчета, корректировки расчетных значений и обработки больших совокупностей экспериментальных данных. При решении этих задач коэффициенты чувствительности, а также данные по ковариациям микро- и макро-данных используются в рамках обобщенного метода наименьших квадратов или схожих методов. Такой подход приобрел особенную важность после выхода в свет Международных справочников по критическим и реакторным экспериментам [107, 118]. Он позволяет, как говорят, переносить результаты экспериментов на критических сборках и реакторах на различные целевые системы, под которыми понимают любые моделируемые объекты, точность расчетного описания которых нуждается в усовершенствовании. Ниже получены основные соотношения, обобщенного метода наименьших квадратов, в котором одним из основных элементов являются данные по коэффициентам чувствительности.

Пусть cr},<j2 ,...,(Jj - набор микро-данных (ядерных данных), использующихся в расчетном моделировании. Пусть с помощью этого набора рассчитываются значения рх, p2,...,pN макро-характеристик (например, значения величины к0, соответствующие различным критическим кофигурациям), причем с,,c2,...,cN - расчетные значения этих характеристик, а ex,e2,...,eN - их экспериментальные значения.

Введем следующие определения и обозначения:

- S(J х N) - матрица коэффициентов чувствительности с элементами

о", дст

v ___2L

Ст да,

- W(J х J) - матрица относительных ковариаций микро-параметров,

- ¥{И х И) — матрица относительных ковариаций расчетных значений макрохарактеристик, соответствующих используемому набору микро-параметров:

К = (А.1)

- и(ЫхЫ) - матрица относительных ковариаций экспериментальных значений макро-характеристик,

- - вектор с элементами

е —с

о = -Ш._Ш-

Ьт '

- F - минимизируемый функционал (квадратичная форма):

^ = / + (А.2)

вид которого определяется условием минимизации наблюдаемых расчетно-экспериментальных расхождений при ограничении, накладываемом на величины смещений микро-данных с учетом их погрешностей.

- /(./) - вектор смещений микро-параметров, определяемый из условия минимизации функционала ^, с элементами

г _ СГ'-(Т-

] I '

- - вектор расчетно-экспериментальных расхождений после коррек-

тировки микро-параметров, с элементами

>

с„

где с'т =ст( 1 +

1

Л = #-/'5. (А.З)

Уравнение (А.2) можно переписать таким образом:

' J

I ]

"21

^^Мт п1^ т8п

т п

/г

м,-

(А.4)

Легко проверить, что, если = ]х,х] и =сс}, (т.е. а

симметричная матрица), то справедливо:

< 1

д<р

дх.

откуда производная от функционала 7*1 относительно /к есть:

дЕ д/к

Для минимизации функционала ^ величины /, должны удовлетворять системе линейных уравнений:

1 +

УУ»-1

, , "г / / Мти5,ж5. и

/, ¿ = 1» 2,..., У,

(А.6)

или, в матричных обозначениях:

М/ = я

(А.7)

А А . Л Л .А

где М = \¥ +Би Б' (эта матрица называется информационной матрицей Фишера), д = Ш"1 я .

Следовательно, вектор /, минимизирующий функционал ^, есть

(А.8)

Л .

Матрицу М принимают [47] в качестве ковариационной матрицы смещенных значений микро-параметров сг,, / = 1, 2,..., J, т.е. = М~х. Отсюда:

(А.9)

где V - ковариационная матрица смещенных (откорректированных с учетом экспериментальной информации) расчетных значений макро-характеристик с'т,

т = 1, 2,..., N.

Следует отметить, что в число макро-характеристик, наряду с экспериментальными данными, можно включить и целевые характеристики (расчетные характеристики, относящиеся к целевой системе). Для этого достаточно формально приписать им достаточно большие (например, стопроцентные) экспериментальные погрешности и нулевые коэффициенты корреляции по отношению к остальным макро-характеристикам. В результате применения описываемого алгоритма расчетные значения целевых характеристик могут быть значительно уточнены путем введения расчетных смещений, полученных из анализа экспериментов.

Формула (А.9) может быть представлена в более простом, с точки зрения практического использования, виде [47]. Для этого перепишем эту формулу так:

\¥'= \ËJ+(WS)ф-xS')[XW, (А. 11)

где матрица Ёц (./ х ./) имеет своими элементами ек, - 8к1, 8к, - символ Кронекера, и используем тождество

(ËJ + АВУ1 = Ё3- А(Ё„ + ВЛ)~Х В, где А^хИ) и В(ИхЗ) - некоторые матрицы. Получим:

А Л А А А А А А .А А

= + (А. 12)

Из формулы (А. 12) можно видеть, что

у' = у-уф + ууху (А. 13)

Подставляя выражение (А.8) в формулу (А.2), можно получить следующее соотношение для минимизированного значения функционала F :

+ (А. 14)

Величина /N распределена в соответствии с ^-распределением с N степенями свободы [47]. При увеличении числа N это распределение приближается к распределению Гаусса с математическим ожиданием Е = 1 и дисперсией

£> = 2/Ы. Однако, если имеются противоречия между статистическими данными, характеризующими экспериментальный набор, величина Етт/Ы может значительно отклоняться от ожидаемого значения. В связи с этим, данную величину удобно использовать в качестве критерия согласованности экспериментальных данных (критерий ^2):

+ (А. 15)

N

При определении источников рассогласованности экспериментальных данных полезно оценивать вклад отдельных экспериментов в величину х2 • Ниже рассмотрен один из возможных алгоритмов поиска противоречий в экспериментальных наборах, предложенный автором [104].

Введя обозначение Ьы = фы + Ум)~х, перепишем выражение (А. 15) в виде:

= 77 Е Е (1т,г,8т8п ■ (А. 16)

* т п

При исключении, например, к -го эксперимента из исходного набора, величина х2 Для нового набора станет равной:

Х2(к) = т^т ЕЕ'».»я» » (А. 17)

™ 1 т п

где Ты_х =фа матрицы и Уы_х получаются из матриц иы и Уы посредством вычеркивания к -й строки и к -го столбца.

Докажем следующее вспомогательное утверждение. Пусть матрица А размером N х N с Бе^А) ф 0 разделена на четыре блока:

А(ЫхЫ) =

ГД,(МхМ) Ах2(МхЬ)Л

А2](ЬхМ) А22(Ь х Ь) где М + Ь = N.

А

Если имеется обратная матрица А , и она также разделена на четыре блока:

/'А А ГЛ

1-1

Вх х (М х М) В] 2(М х Ь) КВ2Х(ЬхМ) В22 (Ь х Ь)

то справедливо следующее соотношение:

А~1=ВК1-ВК2В-2]2В2,- (А. 18)

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением

А А А

обратной матрицы АА~ = Е (ек1 = 3к1) и правилом перемножения блочных матриц. При этом получим следующую систему матричных уравнений:

А, 1-®1,1 + 4,2^2,1 = Ехх, -^2,1^1,2 ^2,2^2,2 = Е2 2,

Л Л Л Л

= ~ А,2^2,2' ^2,1^1,1 = "^2,2^2,1'

Из третьего уравнения имеем: Ах 2 = ~АХХВХ2В22. Подставляя данное соот-

А А А А - А А

ношение в первое уравнение, получим АХХ(ВХХ-ВХ2В22В2Х) = Ехх, и утверждение становится очевидным.

Доказанное утверждение имеет простое следствие. Рассмотрим частный

А А А А А А /V /\ —•

случай, когда Ахл = Ам_х, Ах 2 = ам_х, А1Х = а'м_х, А2 2 = а, и Вх х = В„_х, ВХ 2 = Ъы_х,

А —» А

В2Х =Ь'Ы_Х, В22 = ¡5. В этом случае соотношение (А. 18) упростится таким образом:

А-^=ВИ_Х-^ЬИ_ХК_Х. (А. 19)

Используя полученный результат, легко переписать соотношение (А. 17) в

виде:

1 (1 (1

1 уу ,, к,т к

т*к пфк ®к к

1 (1 с1

N-1 (1,,

где п - элементы матрицы (0 + V) 1, соответствующие исходному набору экспериментов (включая к -й эксперимент). Эти элементы вычисляются при определении величины х1 • Стало быть, определение величины Х(к) не требует дополнительных вычислений.

Величину 0.{к) = Гт1П - , характеризующую уменьшение Етт при исключении из набора А:-го эксперимента, можно использовать при анализе

= E (2 ■- )gkgjk,m • (A.21)

m тфкпфк ^k,k

Рассмотрим набор из N-1 экспериментов с %2(N-Х) = 1. Добавим к этому набору один эксперимент, так что всего экспериментов станет N штук. Если набор согласован, х2(Ю = X2 ~ 1 • Для величины Q(i) имеем:

q(*) f ! !

_ _ min min _ х _ min____ . min _

N(N-\)~ N(N-1) ~ N-\ N N'N- 1~ (A 22)

_ 1 2 1 2 1

откуда следует Q(k) ~ 1.

Таким образом, для статистически самосогласованного набора экспериментальных данных ожидаемые значения величины Q<k) (к = 1,2,...,N) должны быть близки к единице. Если какие-либо эксперименты из набора характеризуются значениями величины Q(<r), значительно отличающимися от единицы, они должны быть подвергнуты тщательному анализу и, возможно, переоценке.

Величину Q(k) можно представить еще таким образом:

m*k ®k,k m*k ®k,k m*kn*k

При использовании такой записи явным образом видны отдельные компоненты величины AF^. Например, первый член в правой части этого выражения (Q(^ag=g2kdkk) есть просто диагональный элемент квадратичной формы (А. 14),

который часто используют как приближенный критерий влияния &-го эксперимента на величину х2 • Видно, однако, что более точное выражение имеет более сложную природу.

На рисунках А.1 и А.2 показана иллюстрация рассмотренной методики обработки больших совокупностей экспериментальных данных на примере критических экспериментов с растворами высокообогащенного урана из Международного справочника по критическим экспериментам [91, 118]. Необходимым элементом такой методики, как показано выше, являются коэффициенты чувствительности. На рисунке А.1 показаны расчетно-экспериментальные расхождения в

зависимости от концентрации урана для отобранных 77-ми экспериментов (типа HEU-SOL-THERM в терминологии Международного справочника). Видна характерная картина с наличием большого числа противоречий, когда величины расчетно-экспериментальных расхождений для близких значений концентрации неправдоподобно различаются. При этом нужно учитывать, что многие из этих экспериментов сильно скоррелированы. Значение %г для данного экспериментального набора неприемлемо высокое - 4.67. На рисунке А.2 показан рекомендуемый набор из 55-ти экспериментов, полученный из исходного путем устранения наиболее подозрительных оценок, погрешности и коэффициенты корреляции для которых не удалось привести в соответствие с наблюдаемыми расчетно-экспериментальными расхождениями в виду недостатка информации. Для некоторых из оставшихся 55-ти экспериментов такие параметры были скорректированы. Значение х2 Д™ усовершенствованного набора составляет 1.69, что следует признать еще довольно высокой величиной с учетом того, что среднеквадратичное отклонение равно -0.2 (Зет ~ 0.6). Тем не менее, качество этого набора гораздо выше исходного. На графике показаны точности расчета без учета и с учетом макро-экспериментов, а также расчетные смещения, рекомендуемые при использовании констант БНАБ-93 (жирная линия). По результатам анализа расчетных смещений и их составляющих были сделаны рекомендации по пересмотру принятых в библиотеке БНАБ-93 сечений захвата U в резонансной области энергий. Правильность этого вывода впоследствии была подтверждена новыми оценками этих данных, принятыми в последних версиях библиотеки ENDFB и JENDL.

1=77 (Xi2=4*7)

HST I5.I2.I3.I9.25.27 30.32.35/C/0 HST5.IO.il HST 6.14-18.37 'Application object (tee (16)) E$ect. unceit before adjustment Expect. unceit. after adjustment (17) Observ. uncen after adjustment (18)

100

Fuel concentration, g/l

Рисунок A. 1. Расчетно-экспериментальные расхождения для исходного набора из 77-ми экспериментов

1=55 (XÍ2S149)

0.5

05

-15 -2.0

О Señes 13-13.19.25.27.30,32.35,42,43

Application object (»ее (16)) ---Едрссг unceit. before adjustment

100

Fuel concentration, g/l

Рисунок A.2. Расчетно-экспериментальные расхождения для усовершенствованного набора из 55-ти экспериментов

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Оценка погрешностей расчета на основе розыгрыша случайных наборов исходных данных

В последнее время, наряду с оценкой погрешностей расчета на основе анализа чувствительностей, используется метод, основанный на прямом розыгрыше случайных наборов, вообще говоря, коррелированных исходных данных. Этот метод сводится к многократному решению уравнения переноса, определению случайных значений искомых функционалов и их последующей статистической обработке. Такой подход, отличающийся трудоемкостью, стал использоваться лишь в последние годы [119, 134]. Слабым местом этого подхода остается невозможность, по крайней мере, пока, его использования для надежного переноса экспериментов на целевые системы (приближенно эта задача может решаться, например, с помощью т.н. метода пристрастной выборки). Ниже приведены некоторые технические подробности данного подхода.

Для определенности, рассмотрим оценку расчетной погрешности, связанной с погрешностями в нейтронных данных (точно также, могут оцениваться и технологические погрешности). Пусть эти данные представлены случайным вектором а размерности п и ковариационной матрицей ¡V. Розыгрыш т случайных векторов производится в соответствии с ковариационной матрицей в предположении распределения параметров по нормальному закону. В реальных задачах т варьируется от 100 до 500.

Итак, случайные коррелированные компоненты вектора д выбираются из п -мерного нормального распределения:

/(<?) =- 1 ехр[-—(<? - р)Ч#-\<т - /2)], (Б.1)

где р. - математическое ожидание а.

Ковариационная матрица является симметричной и предполагается положительно-определенной, т.е. должно выполняться:

х'№х>0, (Б.2)

В соответствии с критерием Сильвестра [39], необходимым и достаточным условием положительной определенности матрицы $

™2,1 ™2,2

щ

\,п

М>.

2,п

1 К,2 -

(Б.З)

является положительность всех ее угловых миноров:

^и > 0:

^1,1 ^1,2

^2,1 ™2,2

>0,

^1,1 ™1>2 ^2.1 ^2,2

К.2

м>.

М>.

2,и

Ж.

>0.

(Б.4)

Условия положительной определенности должны проверяться перед розыгрышем случайных векторов <т, т.к. в случае их нарушения описанная ниже процедура такого розыгрыша оказывается неработоспособной. Часто, для простоты, можно ограничиться проверкой согласованности ковариаций для всех троек данных из заданного набора, что значительно ускоряет анализ согласованности матрицы ¡Р (но не делает его исчерпывающим):

С1 + с),к + с1к <1 + 2 > (Б-5) где с, - коэффициент корреляции погрешностей микро-параметров с номерами /' и У, причем, подразумевается, что / ф у, / * к и у ф к.

Если положительная определенность симметричной матрицы № обеспечена, то определение случайного вектора а может быть выполнено на основе разложения Холецкого [0],

(Б. 6)

где I и Ё - верхняя и нижняя треугольные матрицы, получающиеся друг из друга операцией транспонирования,

Ь =

V. 0 0 • •• 0 "

/ 2,1 2,2 0 • •• 0

7 3,1 3,2 'з,з • •• 0 (Б.7)

л,1 К,2 ^п,п

а конкретный алгоритм вычисления элементов /, 1 может быть найден в литературе.

Если матрица I найдена, то, как можно показать, случайный вектор а определяется по формуле:

= + (Б.8)

где г = {г1} - случайный вектор с независимыми компонентами 21, случайным

образом выбранными из нормального распределения с математическим ожиданием Е{2)) = 0 и дисперсией В(21) = 1.

Пусть а], у = 1 ,...,т - случайные вектора нейтронных констант. Тогда, в результате последовательных вычислений с этими константами будут получены случайные вектора расчетных характеристик рт = {ркт}, которые могут быть использованы для оценки их математических ожиданий, дисперсий и ковариаций:

1 т

Е(рк)=<рк > = 7 ,

т 7=1

1 т 1 _ш о(рк) =<р2к>-<Рк >2 = - £р1 -(-Ха,)2,

т— т —

| т | т | т

у(рк,р,)=<ркр1>-<рк ><р, >=—Ел,7)(—Еяу)'

Несмотря на простоту описанного алгоритма, при его использовании могут возникать технические сложности. Дело в том, что размерности ковариационных матриц могут быть очень большими. Соответственно, при вычислении матрицы I возникают технические сложности с машинным вычислением разностей больших чисел: если не предпринимать специальных мер, то машинные округления могут приводить к потере матрицей $ свойства положительной определенности.

Еще одной трудностью является розыгрыш величин с очень большими погрешностями - в десятки процентов (такие погрешности могут встречаться для данных по сечениям неупругого рассеяния, параметрам анизотропии рассеяния, сечениям захвата при высоких энергиях и т.п.). В данном случае, вместо нормального распределения, целесообразно использовать логнормальное распределение.

Результаты практического использования данного метода, в том числе, с участием автора, могут быть найдены в работах [119, 134 и т.д.].

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Пример расчета коэффициентов реактивности

Коэффициенты реактивности являются важными величинами, характеризующими различные аспекты физики реакторов. Одним из применений этих величин является анализ безопасности [59, 132, 133]. В расчетной практике эти коэффициенты, как правило, вычисляются по диффузионным программам. Во многих случаях, особенно при расчете быстрых реакторов, результаты диффузионных расчетов должны проверяться и, в необходимых случаях, корректироваться.

В работе [123] была выполнена оценка погрешности диффузионного расчета для аксиальных распределений натриевого плотностного и доплеровского коэффициентов реактивности в перспективном быстром реакторе большой мощности типа БН-1200 [112]. В этом реакторе для исключения большого положительного эффекта при уменьшении плотности натрия высота активной зоны выбрана значительно меньшей ее диаметра, и, кроме того, над активной зоной предусмотрена натриевая полость. Такие конструктивные свойства активной зоны свидетельствуют о том, что в верхней ее части диффузионное приближение может нарушаться. Ниже приведены результаты исследования данного вопроса.

Расчетная модель реактора в плане и по высоте показана на рисунках В.1 и В.2. Для данной модели проводились расчеты аксиальных распределений коэффициентов реактивности по диффузионной сеточной программе TRIGEX [83] и по кинетической Монте-Карловской программе MMKKENO [111]. Сравнительный анализ результатов выполнялся для одной характерной тепловыделяющей сборки (TBC), показанной на рисунках В.1 и В.2.

Рисунок B.l. Расчетная модель по высоте (синий цвет - топливная часть TBC, серый - натриевая полость) с разбиением по высоте исследуемой TBC

Рисунок В.2. Расчетная модель в плане (красным цветом в области активной зоны выделена исследуемая TBC)

Для исследуемой TBC вычислялись аксиальные распределения натриевого плотностного и доплеровского (по топливу) коэффициентов реактивности.

Под натриевым плотностным коэффициентом реактивности понимается отнесенная к единице объема относительная производная,

Рш = СВ.1)

К дУш

где к0 - эффективный коэффициент размножения; yNa - атомная плотность натрия (величины pNa рассчитывались для отдельных шестигранных призм, показанных на рисунках В.1 и В.2, и, затем, относились к объемам этих призм).

Под доплеровским коэффициентом реактивности понимается величина производной (также отнесенной к единице объема) от величины к0 по температуре

топлива

= igt W|)J_ + ,)—. (В.2)

к0дт tif^- К с-'а8с, дт <*% дТ V }

где S(a8,) и S(afJ - коэффициенты чувствительности к0 к сечениям захвата и деления "тяжелого" "изотопа" i;

1 dal 1

дТ /сЛТ)АТ

(ff(T + AT)-ff(T)),