Нормальные формы связанных отображений хеноновского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Егоров, Александр Владимирович

• Егоров, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Егоров, Александр Владимирович

Введение

1 Вспомогательные средства

§ 1. Основные определения и понятия

§2. Отображение "подкова"

§3. Отображение Хенона

3.1. Локальный анализ.

3.2. Фазовое пространство.

2 Взаимно однозначные квадратичные эндомофизмы плоскости и отображения хеноновского типа

§ 1. Предварительные замечания.

§ 2. Условия, определяющие коэффициенты отображений из Н

2.1. Главные необходимые условия.

2.2. Достаточные условия.

2.3. Отображения, принадлежащие множеству Н

2.4. Множества Нх и Н2.

§ 3. Нормальные формы.

3.1. Нормальные формы отображений из Нх и их динамика

3.2. Отображение Хенона как нормальная форма отображений из Н

3.3. Формулы перехода

§ 4. Динамика отображений из класса Нх

§5. Отображение Хенона

5.1. Результаты локального анализа.

5.2. Структура подковы в отображении Хенона

3 Пара связанных отображений Хенона в симметричном случае

§ 1. Основные понятия

1.1. Необходимые определения.

1.2. Замена координат.

1.3. Фазовое пространство.

§ 2. Локальный анализ отображения Н

2.1. Неподвижные точки отображения Н.

2.2. Характер устойчивости неподвижных точек

2.3. Двупериодические орбиты.

2.4. Характеристика первых бифуркаций.

§ 3. О синхронизации нормальной формы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нормальные формы связанных отображений хеноновского типа»

Диссертация посвящена исследованию дискретных динамических систем. Ее условно можно разделить на две части: первая часть посвящена двумерным отображениям, вторая — системам связанных осцилляторов.

Двумерные эндоморфизмы, которые задаются линейными функциями и тем самым являются линейными операторами, подробно изучены. Следующий естественный шаг заключается в том, чтобы изучить квадратичные отображения плоскости, то есть отображения, координатные функции которых содержат в качестве слагаемых переменные не выше второй степени. Несмотря на то, что двумерные квадратичные отображения исследуются достаточно интенсивно, среди них существуют такие, полная динамика которых еще не понята. Например, двупараметрическое семейство диффеоморфизмов, называемое отображением Хенона\

Х1 = 1 +у-ах\ У1=РУ, афО, 0. (0.0.1)

В работах М.Хенона [31], Р.Л.Деваню и З.Нитецки [13, 14] показано, что при каждом фиксированном /3 (0 < | (3 | < 1) динамика указанного семейства усложняется с ростом параметра а. Характерным значением (3, для которого можно проследить за изменением динамики отображения (0.0.1) при возрастании а, является (3 = 0.3.

При малых а (например, а = 0.01) отображение Хенона имеет простую динамику: неблуждающее множество состоит из двух неподвижных точек, одна из которых седловая, а другая притягивающая.

При возрастании а в результате бифуркаций появляется притягивающее множество сложной структуры, которое называют аттрактором Хенона (аттрактор существует, например, при а = 1.4). Было показано, например, в работе А.М.Дэви и Т.К.Дутта [11], что бифуркации удвоения периода происходят по сценарию Фейген-баума (см., работы [17, 18]). Значения параметров некоторых других бифуркаций можно найти, например, в работе Д. Л. Хитзла и Ф. Зеле [32]. М. Бенедикс и Л. Карлесон в работе [7] доказали, что аттрактор Хенона расположен в замыкании неустойчивого многообразия седловой неподвижной точки. В работах П. Грассбергера, И. Прокачиа, Ж.Д.Фармера [26, 39, 24, 25] показана фрактальная измеримость аттрактора Хенона и определена хаусдорфова размерность (1.272 ±0.006) указанного аттрактора.

Если а становится больше, чем 0.4225(5 + 2^/5), то аттрактора не существует, а множество неблуждающих точек совпадает с максимальным инвариантным множеством и имеет канторову структуру. В работах Р.Л.Деваню и З.Нитецки [13, 14], К.Робинсона [44] показано, что сужение отображения Хенона на это множество топологически сопряжено оператору сдвига в пространстве двусторонних последовательностей Е2, то есть обладает свойствами отображения "подкова". Доказательство существования "подковы" в отображении Хенона при других значениях параметров можно найти, например, в работах Т.Квиана [40], П. Зглизински [53].

Р. Л. Деваню и 3. Нитецки в работе [13] показали, что отображение (0.0.1) можно записать в эквивалентной форме

XI = а-Ъу-х\ У1 = У, 6^0, (0.0.2) где а = а, Ь = —(3.

Отметим, что отображение (0.0.2) удобнее для исследования, поскольку на параметры накладывается только одно (6 ф 0) ограничение, а не два (а ф 0, /3 ф 0) как было в первоначальной форме записи. Кроме того, в работе [13] было доказано, что при изучении отображения (0.0.2) достаточно предполагать, что | Ь \ < 1.

В связи с вышесказанным в данной диссертации будет рассматриваться отображение вида (0.0.2) при условии | Ъ | < 1.

Отображение Хенона является двупараметрическим семейством квадратичных диффеоморфизмов плоскости, и его динамика активно изучается. А какова динамика других семейств квадратичных диффеоморфизмов плоскости, если таковые существуют?

Для ответа на указанный вопрос необходимо рассмотреть множество квадратичных эндоморфизмов плоскости

2 2 XI = Е У1= Е Ъцху, (0.0.3) где хотя бы один из произвольных действительных коэффициентов а^, Ьц (г ^ = 2) отличен от нуля, выделить из указанного множества непересекающиеся семейства диффеоморфизмов и исследовать динамику отображений, принадлежащих каждому семейству.

Следующая задача, которая интересует специалистов по динамическим системам, состоит в том, чтобы проследить за изменением динамики отдельных отображений, между которыми существует взаимосвязь.

Теория систем связанных осцилляторов в настоящее время представляет собой один из разделов теории динамических систем. Одной из основных проблем в этой области является изучение синхронизации единичных отображений.

Системы связанных отображений возникают в различных моделях прикладных задач, например, в биологии, теории метапопуля-ций и др. При этом характер связи и различные предположения относительно поведения каждого осциллятора системы варьируются в зависимости от предложенной интерпретации, в частности, в работах К. Канеко [33, 34], Л.Гардини [20, 21], К.Сато и Т. Айхара [47], М. Гилленберга, Г. Седербакка и С.Эрикссона [27].

Например, пара связанных, то есть коррелирующих, отображений может быть записана в форме = (1-*)/(*) +*/М , .

Указанный тип корреляции встречается в приложениях и вызывает интерес со стороны специалистов по теории динамических систем и прикладным задачам (см., например, [27, 34]).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор результатов по теме диссертации, рассматривается содержание работы и формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В первом параграфе данной главы определяются основные понятия, используемые в диссертации. Во втором параграфе раскрывается понятие отображения "подкова". В третьем параграфе излагаются некоторые известные результаты о свойствах и динамике отображения Хенона, записанного в форме (0.0.2):

XI = а - Ьу - х2, п : о ф 0 , где произвольные действительные коэффициенты а, Ъ названы стандартными хеноновскими параметрами. Отображение вида (0.0.2) при фиксированных значениях параметров а, Ь обозначается

Вторая глава посвящена множеству квадратичных отображений плоскости на свой образ

2 2 Т : XI = ¿) а^хгу], у\= Т, Ъцх{у>, (0.0.4)

7=0 ¿+.7=0 где хотя бы один из произвольных действительных коэффициентов а

13 Ьц (г отличен от нуля.

В первом параграфе второй главы выписываются некоторые предварительные замечания и определяется основной объект исследования данной главы, которым является множество Л квадратичных глобально иньективных эндоморфизмов плоскости Т(х,у), записанных в форме (0.0.4).

Во втором параграфе выводятся главные необходимые (раздел 2.1) и достаточные (раздел 2.2) условия, которым удовлетворяют коэффициенты эндоморфизмов, принадлежащих множеству Н. Кроме того, показано, что любое отображение из множества Л эквивалентно либо отображению Т\, либо отображению Т2, где ил = V2 + аии + ао , ,

Т\ : "г « "г о, аЛфО* (0-0.5)

VI = ЬуУ + 60 , щ= и2/2 + ауь + со , Т2 : а А ф 0. (0.0.6)

VI = Ьии/2 + ¿о,

В разделе 2.3 доказывается теорема, дающая необходимые и достаточные условия глобальной инъективности квадратичных отображений плоскости.

Теорема 0.0.1. Отображение Т вида (0.0.4) является глобально инъективным тогда, и только тогда, когда якобиан отображения является ненулевой константой: аеМ(Т) = Ъф 0.

Более того, отображение Т является диффеоморфизмом.

На основе этой теоремы выписываются соотношения между коэффициентами диффеоморфизмов, принадлежащих множеству Н. Эти соотношения можно сформулировать следующим образом: «10 «01

1)

2)

3)

4)

5)

10 £>01 2(220 «11 ац 2ао2

20 «и

20 Ьц ац аю и £>ю

11 «01 и £>01

Ф 0,

2 £>20 £>и £>и 2&02

0, и «02 «20 «02 п £>02 £>20 £>02 0, (0.0.7)

- 2

- 2

20 «01

20 £>01

02 «10

02 £>ю

0, 0.

В разделе 2.4 множество отображений, эквивалентных Т\, обозначается множество отображений, эквивалентных Т^ обозначается Лъ- Показано, что И.^ П 71-2, — 0. Указаны условия, при которых квадратичный диффеоморфизм будет принадлежать одному из множеств. Третий параграф главы посвящен отображениям, принадлежащим множеству Н = ТСг и 7^2

В разделе 3.1 для отображений из множества Нг ищутся нормальные формы и разбирается их динамика. В разделе 3.2 показано, что отображение Хенона является нормальной формой эндоморфизмов из П2.

На основе полученных нормальных форм исследуется динамика квадратичных диффеоморфизмов плоскости. Этому посвящены четвертый и пятый параграфы, а именно: в параграфе 4 описывается полная динамика диффеоморфизмов плоскости, не эквивалентных отображению Хенона, а в параграфе 5 теорема о существовании "подковы" в отображении Хенона когда а > (5 + 2у/Е)(\ Ь | + 1)2/4, доказанная в работе [44] при \Ь\ = 0.3, обобщается на случай 0 < |Ь| < 1.

Поскольку динамика отображений, принадлежащих группе 7^2 > совпадает с динамикой отображения Хенона, а динамика отображений из другой группы существенно проще и полностью описана в разделе 3.1, в диссертации отображения хеноновского типа определяются следующим образом.

Определение 0.0.1. Семейство квадратичных глобально взаимно однозначных отображений плоскости на себя, для которого отображение Хенона является нормальной формой, называется хено-новским. Отображения, принадлежащие этому семейству, называются отображениями хеноновского типа.

Завершают параграф формулы, по которым можно определить значение стандартных хеноновских параметров, зная коэффициенты отображений, принадлежащих группе 7^2

В третьей главе исследуется пара связанных отображений Хенона в симметричном случае: г1 = (1- кЩг) + Щт) , юI = кИ(г) + (1 — к)к(и)) , где 2 = (х,у) € В?, гю = (и,у) £ В?, к — отображение Хенона, записанное в форме (0.0.2).

При этом предполагается, что параметр связи к находится в границах 0 < к < 1/2. Кроме того, на отображение Хенона накладывается условие диссипативности 0 < | Ь | < 1.

0.0.8)

Главной диагональю названо множество вВ = е II2 X Б,2 : 2: = и>} .

Одна из задач, возникающих при исследовании систем связанных осцилляторов, состоит в том, чтобы изучить возможность синхронизации единичных отображений, то есть ответить на вопрос: существуют ли значения параметров, при которых различия в динамике отдельных осцилляторов, входящих в систему, не существенны. В связи с этим введены определения синхронизированного и почти синхронизированного отображений.

Пусть А — положительно инвариантное множество ненулевой лебеговой меры.

Определение 0.0.2. Отображение Н вида (0.0.8) будем называть синхронизированным на множестве А, если АПСИ содержит глобальный аттрактор для сужения Н на множество А.

Отображение Н вида (0.0.8) будем называть почти синхронизированным на множестве Л, если существует положительно инвариантное множество Б нулевой лебеговой меры и Н является синхронизированным на множестве А\В.

Отображение Н будем называть синхронизированным (почти синхронизированным), если А — максимальное положительно инвариантное множество для Н.

В первом параграфе третьей главы отображение (0.0.8) записывается в эквивалентной форме хх = а - Ьу - х2 - и2 , У1 = х, Н : где г = 1 — 2к . (0.0.9) щ = —2гхи — Ьг2и , их = и,

Фазовым пространством считается множество в = {{х,у,щу) : х2 + и2 < В2, у2 + и2 < В2}, содержащее все особенности динамики Н.

Определение 0.0.3. Нормальной формой пары связанных осцилляторов Хенона названо сужение Н на множество <2 и обозначено Н.

Во втором параграфе проводится локальный анализ Ш '. указываются координаты неподвижных (раздел 2.1) и двупериодических (раздел 2.2) точек, определяется характер устойчивости неподвижных точек (раздел 2.3) и дается характеристика первых бифуркаций (раздел 2.4).

В третьем параграфе данной главы рассматривается один из вопросов, который нас интересует: что происходит с динамикой коррелирующих отображений Хенона. С учетом введенных обозначений а8 = ф2 — 2рф, г8 = -р + ^р2 + | Ъ | ,

14-161 , 1 - I Ъ I г2 где р = - , ф = в пространстве параметров а,Ь, г рассматривается область

Т> = {(а, Ь,г):а<ав,0<|Ь|<1,0<г<гв}.

Максимальное положительно инвариантное ограниченное множество обозначено Ф. Отображение Н при фиксированных значениях параметров а,Ь,г обозначено На^>г

Теорема 0.0.2. Если параметры отображенияНа,ь,г принадлежат области V, то главная диагональ является притягивающим множеством для сужения на множество Ф.

На основе определения 0.0.2 рассматривается вопрос о синхронизации нормальной формы пары связанных отображений Хенона в симметричном случае.

Учитывая связь г = 1 - 2к, область V в пространстве параметров а, 6, г перейдет в область = {(а,Ъ,к) : а < а8,0 < \ Ь\ < 1,к8 < к < 0.5} в пространстве параметров а,Ь,к.

Сужение отображения Н на множество Ф при фиксированных значениях параметров а,Ь,к обозначено На1ъ,ь Доказывается следующая теорема.

Теорема 0.0.3. Если существует аттрактор отображения Хено-на Нй1ь и (а,Ь,к) Е I), то отображение На!ь,к является синхронизированным.

В завершение диссертации приводится обоснование результатов проведенных компьютерных экспериментов, показывающих, что отображение На1ь,к является синхронизированным, если его параметры удовлетворяют соотношениям а < р1 — 2яр, отображение На,ь,к является почти синхронизированным, если для его параметров справедливы соотношения а < р2 + 2вр, где р = (1 + Ьг2)/2г, г = 1 — 2к, з = (1 + Ъ)/2.

В диссертации используются следующие стандартные обозначения:

Ип — евклидово пространство размерности п,

Z — множество целых чисел,

N — множество натуральных чисел, г), ЛУ11 (г) — устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической точки г, б/гтК — размерность многообразия К,

С1 (К) — замыкание множества К,

К) — внутренность множества К, dist(z,~K) — расстояние от точки ъ до множества К,

Т2К — касательное пространство в точке г к многообразию К, Е" — собственные подпространства касательного пространства, г — матрица Якоби отображения Р в точке z,

5^2 — пространство двусторонних последовательностей двух символов, а — оператор сдвига в пространстве 5] 2 ?

А х В — декартово произведение множеств А и В,

1а © 1/2 — прямая сумма линейных пространств и ь2. I

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Егоров, Александр Владимирович, 2000 год

1. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. "Наукова думка", 1989.

2. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М., "Мир", 1975.

3. Палис Ж. В., Ди Мелу Геометрическая теория динамических систем. М., Мир, 1986.

4. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

5. Ben-Mizrachi A., Grassenberg P., Procaccia I. The characterization of experimental (noisy) strange attractors// Phys. Rev. 29A (1983), 975-979.

6. Benedics M., Carleson L. On iteration of 1 — ax2 on (—1,1) // Ann. of Math. 122 (1985), 1-25.

7. Benedics M., Carleson L. The dynamic of the Henon map// Ann. of Math. 133 (1991), N1, 73-169.

8. Benedics M., Young L. S. SBR measure for certain Henon maps// Inven. Math. 112 (1993), N1, 541-576.

9. Chanfreau P., Lyyjynen H. Viewing the efficiency of chaos control on a variety of maps// Preprint (1998), 28.

10. Curry J. H. On the Henon transformation// Comm. Math. Phys. 68 (1979), N1, 129-140.

11. Davie A.M., Dutta T.K. Period-doubling in two-parameter families// Physica D 64 (1993), N4, 345-354.

12. Davis M. J., Mackay R. S., Sannami A. Marcov shifts in the H'enon family// Physica D 52 (1991), N 2,3, 171-178.

13. Devanye R.L., Nitecki Z. Shift automorphisms in the H'enon mapping// Comm. Math. Phys. 67 (1979), N2, 137-146.

14. Devanye R.L. An introduction to chaotic dynamical system. Addison-Wesley comp., 1989.

15. Farmer J. D. Dimension, Fractal Measure and Chaotic Dynamics// in Haken H. (ed.): Evolution of order an chaos. Springer, Heidelberg New-York, 1982.

16. Farmer J. D. Information dimension and probabilistic structure of chaos// Z. Naturforsch 37a, 1304.

17. Feigenbaum M. J. Quantative universality for a class of nonlinear transformation// J. Stat. Phys. 19 (1978), 25-52.

18. Feigenbaum M. J. Quantative universality for a class of nonlinear transformation// J. Stat. Phys. 21 (1979), 669-706.

19. Fornasss J. E., Gavosto E. Existence of generic homoclinic tangen-cies for Henon mappings// J. Geom. Anal. 2, N 5 (1992), 429-444.

20. Gardini L. Some global bifurcation of twodimensional endo-morphisms by use of critical lines// Nonlinear Analisis, Theory and Methods 18 (1992), 361-399.

21. Gardini L., Abraham R., Record R.J., Fournier-Prunaret D. A double logistic map// Int. J. Bifurcation and Chaos 4 (1994), 145176.

22. Grassberger P. On the fractal dimension of the Henon attractor// Phys. Lett. 97A (1983), N6, 224-226.

23. Grassberger P., Kantz H., Moening U. On the symbolic dynamics of the Henon map// J. Phys. A 22 (1989), 5217-5230.

24. Grassberger P. Generalised dimensions of strange attractors// Phys. Lett. 97A (1983), N6, 226-230.

25. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors// Physica 9D (1983), 189-208.

26. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors// Phys. Rev. Lett. 50 (1983), N5, 346-349.

27. Gyllenberg M., Soderbacka G., Ericsson S. Does migration stabilize local population dynamics? Analysis of a discrete metapopulation model// Math. Biosci. 118 (1993), 25-49.

28. Gumowski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamical sistems. Springer, New-York Heidelberg - Berlin, 1980.

29. Heady J. F. A phisical interpretation of the Henon map// Phisica D 57, N 3-4 (1992), 436-446.

30. Henon M. Numerical study of quadratic area-preserving mappings// Quart. Appl.Math. 27 (1969), 291-311.

31. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor// Commun. Math. Phys. 50 (1976), 69-77.

32. Hitzl D.L., Zele F. An exploration of the Henon map quadratic map// Physica D 14 (1985), 305-326.

33. Kaneko K. Transition from torus to chaos accompanied by frequency lockings with simmetry breaking// Prog. Theor. Phis. 69, N 5 (1983), 1427-1435.

34. Kaneko K. Oscillation and doubling of torus// Prog. Theor. Phis. 72, N 2 (1984), 202-215.

35. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of dynamical systems. Cambridge University Press, 1995.

36. Mira C., Fournier-Prunaret D., Gardini L., e.a. Basin bifurcation of two-dimentsional noninvertable maps: fractalization of basins// Int. J. Bifurcation and Chaos 4 (1994), 343-381.

37. Mora L., Romero N. Moser's invariant curves and homoclinic bifurcations// Dynam. Systems Appl. 6 (1997), 1, 29-41.

38. Newhouse S. E. Lectures on dynamical systems. Dynamical systems, CIME lectures, ets Guckenheimer J., Moser J. and Newhouse S. E. Birkhauser, 1980, 1-114.

39. Patterson S., Robinson C. Basins for general nonlinear Henon attracting sets// Proc. Amer. Math. Soc. 103 (1988), 615-623.

40. Qian T. The Smale horseshoe in Henon mapping// Nanjing daxue xuebao shuxue banniankan = J. Nanjing Univ. Math. Biquarterly 10, N 2 (1993), 217-222.

41. Reyn J. W. Phase portpaits of quadratic systems without finite critical points// Nonlinear analysis, Theory, Methods, and Application Vol. 27, N2, (1996), 223-227.

42. Reyn J. W. Classes of quadratic systems of differential equations in the plane// Nakai Series in: Pure, Applied Mathematical and Theoretical Physics Vol. 4, (1991), Dynamical systems, 146-180.

43. Robinson C. Bifurcation to infinitely many sinks// Commun. Math. Phys. 90, (1983), 433-459.

44. Robinson C. Dynamical systems: stability, simbolic dynamics and chaos// CRC Press, Inc., 1995.

45. Roy Chowdhury A., Chowdhury K. Bifurcation in a coupled logistic map. Some analytic an numerical results// Internet Theoret. Phys. 30 (1991), N 1, 97-111.

46. Russel D. A., Hansen J. D., Ott E. Dimension of strange attrac-tors// Phys. Rev. Lett. 45 (1980), N 14, 1175-1178.

47. Satoh K., Aihara T. Numerical study on a coupled-logistic map as a simple model a predator-prey system// J. Phys. Soc. Japan 59 (1990), 4, 1184-1198.

48. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points, Differential and Combinatorial Topology Princeton University Press (1965), Princeton, NJ, 63-80.

49. Smale S. Differentiate dynamical system// Bull. Amer. Math. Soc. (1967), 73, 747-817.

50. Tatjes J. C. On the strongly dissipative Henon map// European Conference on Itaration Theory (Caldes de Malavella, 1987), 331337; World Sci. Publishing, Teaneck, NJ, 1989.

51. Thompson J.M. T., Stewart H.B. A tutorial glossary of geometrical dynamics// Int. J. Bifurcation and Chaos 3, N2 (1993), 223-239.

52. Zheng W. M. Pairning of legs in the parameter plane of the Henon map// Comm. Theoret. Phis. 25, N 1 (1996), 55-60.

53. Zgliczynski P. Computer assisied proof of the horseshoe dynamics in the Henon map// Random Comput. Dynam. 5, N 1 (1997), 1-17.

54. Егоров А. В. Нормальные формы двумерных квадратичных отображений относительно простых групп преобразований// Ред. ж. "Вестник Санкт-Петербургского университета, сер. матем., мех., астр." Деп. ВИНИТИ 14.06.1996 г. N 1968-В96.

55. Егоров А. В. Взаимно однозначные квадратичные отображения плоскости на себя / Тезисы докладов Первой Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (СПбГТУ, 3-5 декабря 1997 г.). СПб., 1997.

56. Егоров А. В. Локальный анализ пары связанных отображений Хенона в симметричном случае // В сб.: Нелинейные динамические системы. Вып. 1. СПб., Издательство Санкт-Петербургского университета, 1997. С. 111-124.

57. Егоров А. В. Нормальные формы двумерных квадратичных диффеоморфизмов // Тезисы докладов Международной конференции "Царскосельские чтения", т.4 (Санкт-Петербург, Бокси-тогорск, 1998).