Неустановившееся безнапорное течение жидкости в гидравлических задачах теории фильтрации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.16, кандидат наук Котов Евгений Владимирович

• Котов Евгений Владимирович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Котов Евгений Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

Степень разработанности

Цель и задачи работы

Научная новизна

Теоретическая значимость работы

Практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и внедрение результатов работы

Публикации

Структура и объем работы

ГЛАВА1. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕПРЕССИОННОЙ КРИВОЙ ПРИ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ БЕЗНАПОРНЫХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЯХ В ПОРИСТОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

1.1. Уравнение безнапорной фильтрации несжимаемой жидкости

1.2. Редукция уравнения Буссинеска к обыкновенному дифференциальному уравнению низкого порядка

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЕРЕМЫЧКЕ АНАЛИТИЧЕСКИМИ И ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

2.1. Аналитическое решение задачи о течении фильтрационного потока в прямоугольной перемычке

2.3. Численное решение задачи о течении фильтрационного потока в прямоугольной перемычке

2.4. Численное моделирование фильтрационного потока в прямоугольной перемычке

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА В ПЕРЕМЫЧКАХ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ

3.1. Решение задачи на установление фильтрационного потока в прямоугольных перемычках

3.2. Решение задачи на установление фильтрационного потока в трапециевидных перемычках

3.3. Решение задачи на установление фильтрационного потока в треугольных перемычках

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неустановившееся безнапорное течение жидкости в гидравлических задачах теории фильтрации»

Актуальность темы исследования

Одной из областей исследования, указанных в паспорте специальности 05.23.16 - Гидравлика и инженерная гидрология, п. 6, являются «Подземные потоки жидкостей и газов, фильтрация жидкостей через различные среды, прогноз характеристик движения фильтрационных потоков при решении прикладных инженерных задач».

Исследование процессов фильтрации жидкостей через различные среды, возможность прогнозирования характеристик движения, разработка методик расчетов являются актуальными задачами при проектировании и строительстве различных гидротехнических сооружений: плотин, перемычек (дамб), откосов котлованов и пр. Так, например, для обоснования формы и размеров плотины, дренажных устройств требуется проведение фильтрационных расчетов, которые позволяют достоверно определять потери воды через тело плотины, положение поверхности депрессии и градиенты напора при различных режимах фильтрационных потоков.

В задачах безнапорной фильтрации в различных гидротехнических сооружениях наиболее часто используется модель с линейным законом фильтрации. Для некоторых из них получены аналитические решения в предположении стационарности движения жидкости [1]. Однако для многих инженерных задач фильтрации важно уметь определять характеристики фильтрационных потоков при неустановившемся режиме движения. Решение таких задач существенно усложняется из-за нелинейности уравнения, описывающего фильтрационное движение, наличия свободной поверхности, сложной геометрии сооружения.

Неустановившейся режим взаимодействия фильтрационного потока с пористой средой влияет на прочность и устойчивость грунтовых гидротехнических сооружений [2-7]. Так, расположение депрессионной кривой определяет границу области занятой насыщенной средой и ненасыщенной средой,

тем самым определяется область среды, пригодной для проведения строительных работ. Выход депрессионной кривой на низовой откос сопровождается образованием промежутка высачивания. Промежуток высачивания необходимо минимизировать для устранения морозного пучения грунта и разрушения откоса.

К прикладным задачам гидравлической теории фильтрации относятся расчеты дренирования грунтовых массивов (управление объемами насыщенного и ненасыщенного грунта, «перехват» депрессионной кривой и уменьшение фильтрационных градиентов на низовом откосе с целью увеличения устойчивости грунтового массива. Ошибки при проектировании грунтовых массивов могут привести, и подчас приводят, к серьезным экологическим проблемам, связанным с разрушением низовых откосов и сооружений в целом.

Поэтому важное значение имеет решение задачи неустановившихся безнапорных фильтрационных потоков в скалярной пористой среде для двухмерного фильтрационного движения, разработка численных методов расчета задачи, составление алгоритмов и их программная реализация на ЭВМ, разработка методики расчета перемычек различной формы, позволяющей получать мгновенные и установившиеся формы депрессионной кривой и значения высоты промежутка высачивания для гидротехнических сооружений.

Степень разработанности

Теория фильтрации как наука возникла на основе исследований А. Дарси, установившего линейную зависимость между расходом и потерей напора [8]. Отечественная школа фильтрации жидкостей и газов, основоположниками которой являются Н.Е. Жуковский [9], Н.Н. Павловский [10], Л.С. Лейбензон [1116], П.Я. Полубаринова-Кочина [17-23], внесла значительный вклад в формирование и развитие теории.

Одно из направлений теории фильтрации неразрывно связано с исследованиями школы Н.Н. Павловского о движении жидкостей в различных гидротехнических сооружениях, выполненных его ближайшими учениками: В.И. Аравиным [24, 25], С.В. Избашем [26-28], С.Н. Нумеровым [30-33], А.Н.

Патрашевым [34-36], М.Д. Чертоусовым [37-42], Р.Р. Чугаевым [43-44]. Аналитические и приближенные методы, разработанные специалистами школы Н.Н. Павловского, позволили решить значительный класс задач фильтрации, в том числе задач безнапорной фильтрации через грунтовые плотины, фильтрации воды из каналов и котлованов, расчета колодцев, галерей и пр.

В настоящее время задачи безнапорной фильтрации сохраняют свою теоретическую и практическую актуальность, что находит отражение в работах Э.Н. Береславского [87-89], А.С. Бестужевой [4-6], К.П. Моргунова [82,83] и др.

В работах последнего времени, начиная с 2009 г., обнаруживается интерес к фильтрации сквозь анизотропные и деформируемые среды [45-48], к развитию гидравлических методов расчета нестационарных фильтрационных течений, к микромеханике связанной воды [49].

При этом задачи фильтрации неустановившегося движения безнапорных фильтрационных потоков в скалярной пористой среде даже для традиционного контента гидравлической теории фильтрации изучены недостаточно, что и определило направление исследований.

Цель и задачи работы

Обзор работ по данной теме показывает, что, несмотря на большой объем исследований, гидравлические методы расчета неустановившихся безнапорных фильтрационных течений разработаны недостаточно. Неизвестны времена установления стационарных режимов фильтрации, влияния на них свойств насыщенной пористой среды, геометрии сооружения, предельных условий.

Целью работы является решение задачи неустановившихся безнапорных фильтрационных потоков в скалярной пористой среде для двумерного фильтрационного движения.

Задачи исследования:

1. Сформулировать предельную задачу Буссинеска нестационарной теории фильтрации для скалярной пористой среды. Произвести редукцию на

типичную предельную задачу Крокко.

2. Получить аналитическое и численное решение предельной задачи Крокко для прямоугольной перемычки для последующей верификации вычислительного алгоритма расчета фильтрационного движения.

3. Разработать, протестировать и применить вычислительный алгоритм для расчета фильтрационного движения в вертикальной плоскости для перемычек различной формы при отсутствии и наличии дренажа.

4. Разработать рекомендации для проектирования гидротехнических сооружений при неустановившихся безнапорных фильтрационных потоков в скалярной пористой среде.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в развитии гидравлических методов расчета фильтрационных течений в перемычках различной формы с использованием метода установления. Его применение потребовало разработки численных методов расчета задачи неустановившейся фильтрации со свободной границей, разработки алгоритмов и их программной реализации на ЭВМ.

Такой подход, связанный с решением задачи на установление, позволил получить семейство мгновенных депрессионных кривых. На основании установленных зависимостей положения депрессионной кривой от времени сформулированы рекомендации по ускорению процесса осушения насыщенных грунтовых масс. Достоверность полученных решений верифицирована путем сопоставления решений, полученных как численно, так и аналитически.

Величина фильтрационного расхода верифицируется по результатам измерения расхода на моделях перемычек в гидравлическом лотке.

Теоретическая значимость работы

Большинство решений классических задач фильтрации, получены как пределы на больших временах, однако такой подход позволяет получить депрессионную кривую (границу раздела сухих и наводненных масс) для

установившегося фильтрационного потока, но не дает полной информации о течении на момент его установления. Для исследования неустановившегося процесса фильтрации в перемычках различной формы в работе решены следующие задачи:

Сформулирована предельная задача Буссинеска (нестационарной теории фильтрации) для скалярной пористой среды.

Предельная задача Буссенеска редуцирована на предельную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения Крокко. Сформулирована и решена предельная задача Крокко для прямоугольной перемычки.

Практическая значимость работы

Заключается:

- в решении ряда задач неустановившихся фильтрационных течений в перемычках различной формы: прямоугольной без дренажа, с дренажом при различном его положении относительно верхнего и нижнего бьефов и самой перемычки; трапецеидальной, прямоугольной без дренажа при различных значениях угла при основании трапеции (п/6, п/4, п/3), прямоугольной трапеции с дренажем при различном его положении относительно нижнего бьефа; трапеции с отрицательным верховым откосом и значении угла, дополняющего до развернутого (п/2, п/6); треугольной перемычки с нулевым верховым откосом и различных значениях угла при вершине низового откоса (ж/6, ж/4, ж/3);

- разработки методики расчета перемычек различной формы, позволяющей получать мгновенные и установившиеся формы депрессионной кривой и значения высоты промежутка высачивания.

Методология и методы исследования

Основаны на использовании следующих подходов:

Аналитическом решении уравнения Крокко в топологии слабых решений (распределений).

Для численного решения уравнения Крокко на интервале расчётная область состоит из участков с постоянным шагом h=1/N (х]=]Ъ, j= 0, 1, 2, ..., Ы). При дискретизации уравнения используется разностная схема второго порядка. Исходное уравнение сводится к нелинейной системе уравнений, для решения которой используется итеративный метод Ньютона.

Для проведения численного моделирования процессов фильтрации в областях пористых сред различной формы используется коммерческий программный пакет ANSYS, в частности: сеточный генератор ICEM CFD, солвер ANSYS CFX и постпроцессоры CFD-post и TecPlot.

Положения, выносимые на защиту

1. Стационарное положение депрессионной кривой и стационарная величина промежутка высачивания получаются как пределы, на больших временах, мгновенных депрессионных кривых и мгновенных промежутков высачивания. Достаточным критерием сходимости задачи на установление является ? > L/k.

2. В процессе установления фильтрационного потока величина

1 1 - и2

фильтрационного расхода в нижнем бьефе изменяется от в0 =—до % =--, где

2Л 2Л

Ь . I „ ц

ие = —, Л = — = ; иначе, в процессе установления предельное значение расхода Н Н кИ

совпадает с расходом по Дюпюи, т.е. достигает (минимального) стационарного значения.

3. Депрессионная кривая в точке выклинивания на низовой откос может и не касаться низовой грани в момент времени, близкий к начальному. Это возможно при существовании петель Герсеванова.

4. В длинных перемычках (Л>7... 9) промежуток высачивания мал: точка выклинивания успевает упасть в нижний бьеф. И наоборот, в коротких перемычках точка выклинивания не успевает упасть в нижний бьеф за время прохождения через перемычку уединенной волны расхода.

Степень достоверности и внедрение результатов работы

Степень достоверности результатов гарантируется сопоставлением результатов расчетов с экспериментальными данными по величине расхода через нижний бьеф.

Результаты исследования использовались при выполнении хозяйственных договоров кафедры «Гидравлика и прочность» ФГАОУ ВО СПбПУ, в том числе, для определения интенсивности дренажа в технологии быстрой откачки строительных котлованов.

Публикации

По теме диссертации опубликовано семь работ. Три работы опубликованы в рецензируемых научных журналах, рекомендованных перечнем ВАК, четыре работы опубликованы в изданиях, индексируемых SCOPUS.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка. Работа изложена на 91 страницах машинописного текста, содержит 53 рисунка, 1 таблицу, библиографический список включает 96 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель, задачи исследования и основные научные положения, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Показано, что существуют вопросы, лежащие в области гидравлики, связанные с вычислением неустановившихся безнапорных фильтрационных течений. Проработка этих вопросов лежит в области определения научной специальности 05.23.16 -Гидравлика и инженерная гидрология, что указано в п.6 Паспорта специальности.

В первой главе проведен обзор современного состояния исследований в области неустановившихся безнапорных фильтрационных течений в пористой

изотропной среде, в которых область движения ограничена сверху свободной поверхностью. В работе такие течения являются объектом исследования и характерны при фильтрации грунтовых вод через гидротехнические сооружения (плотины, водопонижения, дренажи, фундаменты, осушении котлованов). Предметом исследования в работе является определение депрессионной кривой при неустановившемся фильтрационном потоке через перемычку различной формы и длины. Определение зависимости депрессионной кривой от времени связано с уравнением Буссинеска, решение которого для нестационарных течений сопряжено со значительными трудностями и требует поиска подходов его сведения к ОДУ низкого порядка. Показано, что такими подходами являются: редукция уравнения Буссинеска в уравнение Блазиуса и редукция уравнения Буссинеска в уравнение Крокко. При этом решение уравнения Блазиуса ищется на полубесконечном интервале [0, да) , решение же уравнения Крокко ищется на

промежутке [0,1], являющимся компактом, что упрощает вычисления. Поэтому в

дальнейшем исследовании используется уравнение Крокко.

Вторая глава содержит постановку начально-краевой задачи Крокко, сформулированной для прямоугольной перемычки разной длины. Выполнено сопоставление решений уравнения Крокко, полученных как аналитически, так и численно. Полученные решения сопоставляются с решением Полубариновой-Кочиной. Кроме того, задача фильтрации для прямоугольной перемычки решена численно, с помощью метода установления. Для полученных мгновенных депрессионных кривых получены петли Герсеванова и решения для косых откосов.

В третьей главе представлены результаты решения задач на установление фильтрационного потока в перемычках различной формы (прямоугольные, трапециевидные, треугольные). Для каждой формы изучено влияние расположения линейного дренажа на низовом откосе. Во всех рассмотренных задачах использовался безнапорный дренаж, который задавался математически, как отрезок на низовом откосе, на котором давление равно атмосферному.

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в следующих

рецензируемых научных изданиях

Публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК РФ:

1. М.Р. Петриченко, Д.Д. Заборова, Е.В. Котов. Метод Крокко в гидравлической теории фильтрации - однородная прямоугольная перемычка // Гидротехническое строительство. 2019. № 6. С. 41-44.

2. М.Р. Петриченко, Е.В. Котов. Численная верификация слабых решений типичной предельной задачи Крокко с помощью неявной разностной схемы второго порядка // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. 2019. Т. 12. № 2. С. 63-72.

3. М.Р. Петриченко, Д.Д. Заборова, Е.В. Котов, Т.А Мусорина. Образование промежутка высачивания в прямоугольной перемычке // Гидротехническое строительство. 2018. № 10. С. 49-52.

Публикации в изданиях, индексируемых SCOPUS:

1. M.R. Petrichenko, V.V. Sergeev, E.V. Kotov, D.V. Nemova, D.S. Tarasova. Numeric Verification of the Weak Solutions to the Typical Crocco Limit Problem Using Implicit Difference Scheme of the Second Order. Springer Nature Switzerland AG 2019 V. Murgul and M. Pasetti (Eds.): EMMFT-2018, AISC 983, pp. 839-848, 2019.

2. M.R. Petrichenko, E.V. Kotov, D.V. Nemova, D.S. Tarasova, V.V. Sergeev. Numerical simulation of ventilated facades under extreme climate conditions // Magazine of Civil Engineering. 2018.77 (1). P. 130-140.

3. M.R. Petrichenko, D.V. Nemova, E.V. Kotov, D.S. Tarasova, V.V. Sergeev. Ventilated facade integrated with the hvac system for cold climate // Magazine of Civil Engineering. 2018. 77(1). P. 47-58.

4. V.V. Sergeev, M.R. Petrichenko, D.V. Nemova, E.V. Kotov, D.S. Tarasova., A.V. Nefedova, A. Borodinecs. The building extension with energy efficiency light-weight building walls // Magazine of Civil Engineering. 2018. 84(8). P. 67-74.

ГЛАВА1. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕПРЕССИОННОЙ КРИВОЙ ПРИ

НЕУСТАНОВИВШИХСЯ БЕЗНАПОРНЫХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЯХ В ПОРИСТОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

1.1. Уравнение безнапорной фильтрации несжимаемой жидкости

Безнапорные фильтрационные течения со свободной поверхностью, на которой давление жидкости постоянно и равно внешнему атмосферному давлению, характерны при фильтрации грунтовых вод через гидротехнические сооружения (плотины, водопонижения, дренажи, фундаменты, осушении котлованов).

Теория фильтрации для подобных водохозяйственных, транспортных и природоохранных гидротехнических сооружений была разработана Н.Н. Павловским [10]. В работе Г.И. Баренблатта [50] отмечается, что в точной постановке исследование безнапорного движения представляет значительные математические трудности. Поэтому большое значение имеют работы П.Я. Полубариновой-Кочиной, получившей некоторые точные решения задачи безнапорного фильтрационного течения через прямоугольную перемычку. Таким образом, задачи безнапорной фильтрации сохраняют теоретический интерес, на что обращено внимание в работах И.А. Чарного, К.С. Басниева, И.Н. Кочиной, В.М. Максимова [51-53], а их решение имеет практическое значение для прогноза характеристик движения фильтрационных потоков в прикладных инженерных задачах водохозяйственных, транспортных и природоохранных гидротехнических сооружений, определения у последних режимов сопряжения бьефов.

В теории фильтрации основным соотношением, устанавливающим связь между вектором скорости фильтрации и и полем давления р, которое вызывает фильтрационное течение, является линейный закон фильтрации (закон Дарси)

и = -к&а<Ш, Н := г + , (1)

РЕ

где g - ускорение свободного падения, р - плотность фильтрующейся жидкости, к - коэффициент фильтрации пористой среды.

Область применения закона фильтрации Дарси принято оценивать по критическому значению числа Рейнольдса Явкр. Для фильтрационных потоков число Рейнольдса имеет порядок к8у 8 - эффективный размер частиц аллювия (определяется по грансоставу) и не превосходит 1, V -динамическая вязкость жидкости.

При безнапорной фильтрации жидкости через тело гидротехнического сооружения (плотины), вызванной разностью гидростатического давления жидкости на противоположных стенках плотины, область движения жидкости ограничена сверху свободной поверхностью, называемую поверхностью депрессии, в каждой точке которой действует постоянное давление. Сечение поверхности депрессии вдоль движения жидкости через тело сооружения представляет собой депрессионную кривую. В работах [54-57] показано, что выход свободной поверхности на стенку сооружения осуществляется не на уровене нижнего бьефа, а выше. Образующейся промежуток между выходом депрессионной кривой и нижним бьефом представляет собой поверхность высачивания.

Задачи, связанные с определением депрессионной кривой, промежутка высачивания, расхода безнапорной фильтрации стационарных одномерных течений несжимаемой жидкости при линейном и нелинейном законам фильтрации, хорошо изучены и имеют точное решение.

В отличие от них задачи безнапорной фильтрации нестационарных одномерных течений несжимаемой жидкости, включая неустановившийся режим течения при линейном и нелинейном законам фильтрации, изучены менее полно. Это связано со сложностью их математического описания и получения формы поверхности депрессии.

Предметом исследования в работе является определение депрессионной кривой при неустановившемся фильтрационном потоке через перемычку различной формы и длины.

Схема расчета фильтрации основана на допущении о нестационарном характере фильтрации в пористой среде. Стационарные режимы фильтрации трактуются как предельные (на «больших» временах) состояния фильтрационного потока. Отправным тождеством служит условие неразрывности для неустановившегося движения: дк / дг + дц / дх = 0, причем, в силу условия Дюпюи

дк

ц = -кк—, к - коэффициент фильтрации. Тогда для распределения Н(^х) дх

получается уравнение Буссинеска:

дк д т— = — дг дх

Г

кк% I. (2)

где t - время, х - координата, Н=Н^,х) - глубина фильтрационного потока, Ие<И0<И<Н, рисунок 1. т - коэффициент пористости, 0<т<1. Замена переменных

кг х

г :=-> 0, х =— ,0 < х <Л:= I / Н ,Л<А := Ь / Н, и := к / Н, и < и < 1, и = К / Н.

тН Н 0 0 0

приводит уравнение Буссинеска к безразмерному виду:

ди д ( диЛ дг дх

и—г

х

. (3)

V дх у

В дальнейшем штрихи у аргументов опускаются. Таким образом уравнение (3) примет вид

ди д ( ди ^

дг дх

и —

V дх у

> 0,х > 0;

(4)

и (г ,0)- и0 = и (0, х)-1 = 0.

р=0 р=0

Р=РеМЧ Л:=1/1-1=1; 20

Рис. 1. Постановка задачи.

Предельные условия для уравнения (4) имеют вид:

и (0, х)- Н = и (г,0)- к0 = 0. (5)

Здесь И0=И^,0) - глубина фильтрационного потока в точке выхода депрессионной кривой на низовой откос, И0>Ив>0. Тогда множество значений глубины фильтрационного потока 1т ( к ) = ( 0 < Н0 < к < Н ).

Пусть до момента времени t=0 депрессионная кривая представляет прямую И=И, |х|<го. В момент времени t=0 происходит мгновенное («достаточно быстрое» уменьшение ординаты полупрямой х<ю, со значения И=И до значения И=Ие. Депрессионная кривая в пористой среде опускается медленнее, чем уровень воды в нижнем бьефе. Образуется отставание левого конца депрессионной кривой от уреза воды в нижнем бьефе, что приводит к излому депрессионной кривой в точке выклинивания на низовой откос. Отрыв депрессионной кривой от уреза воды в точке выхода на низовой откос обусловлен, таким образом, разными масштабами скоростей фильтрации и движения воды в нижнем бьефе. Так, скорость падения точки выклинивания в нижний бьеф составляет величину порядка п, в то время как скорость опускания уровня воды в нижнем бьефе у0\=-йке/йт>>п. Если бы понижение уровня жидкости в нижнем бьефе происходило со скоростью порядка п, то никакой промежуток высачивания не образовался бы и глубина фильтрационного потока в сечении х=0 совпадала с глубиной воды нижнего бьефа.

В моменты времени т >0 депрессионная кривая отделяется от прямой И=Ии деформируется так, как показано на рисунке 2. Точка выклинивания приближается к урезу воды нижнего бьефа, а правый конец депрессионной кривой, непрерывно касаясь ординаты И=И, скользит вправо. Снижение депрессионной кривой приводит к «эффекту поршня», то есть к выдавливанию воды из пористой среды в нижний бьеф.

Уравнение Буссинеска и предельная задача (4) описывает уединенные волны по терминологии Кортевега-де-Фриза. Эти волны можно интерпретировать как трансляции возмущений депрессионной кривой. Например, пусть точка выклинивания, рисунок 2, смещается вниз от ординаты к=И. Тогда понижение точки выклинивания приводит к деформации депрессионной кривой. Легко

проверить, что уравнение предельной задачи (4) допускает, в том числе, такое

^2

решение: и = -1/6—. Тогда скорость Б перемещения сечения с глубиной и=сотг

т

с

составляет Б = с. Дистанция перемещения за время т составит 2Ст 1/2. Ыт

V=H

0 < г

\7= 0

X

< т„ < т.

Рис. 2. Депрессионные кривые в различные моменты времени. Уравнение Буссинеска в предельной задаче (4) допускает двухпараметрическую, с параметрами аир, группу преобразований вида: г = ат + 0х, и (т,х) = и (г). Это преобразование превращает уравнение в частных

производных (3) в ОДУ:

du п2 d ( du а— = р — I и — dz dz I dz

Общее решение этого уравнения, зависящее от двух постоянных

интегрирования, с12, есть: 2 + с2 = — / у21п——— + и / у,у = а / р2.

— + уи

Пусть, не исключая общности, а=р2, у=1. Тогда общее решение этого ОДУ, зависящее от 2 констант, с1, с2, имеет вид:

г + с = и - с 1п (и + с) + С 1П С,

а1 + 4ах = и - — 1п (и + —) +—, — := — 1п — - с2. При с 1=0 получается уединенная центрированная волна расхода

г~ ^ ( dx Л d(s, u) /— at ±у/ах = u + c, распространяющаяся со скоростью D := — I = —)-f = m а вверх

Vdt Ju d(t, u )

и вниз по течению (соответственно верхний и нижний знак).

Для центрированной волны расхода, исключая параметр а и переходя к скорости Д получим: и + Ш ±у[ах = - Ох = П1 (П-х/1). Особое решение

х2 х (Ох Л х

(каустика) имеет вид: и + — =—, О = —, или, в размерной форме, I — I =—.

41 2t V О )и 2t

Проинтегрировав это равенство, получим, что перемещение продольной координаты депрессии с зафиксированной глубиной пропорционально 1:1/2, а скорость распространения волны расхода составит Ш1/2. Можно доказать, что длина возмущенной области увеличивается как для короткой перемычки и как 4 + л2 /12 для длинной перемычки.

Рассмотрим такую задачу: пусть существует решение и = и (г), г = а1 + рх .

Тогда и(^х) удовлетворяет однородному линейному уравнению:

1 Ои 1 Ои а р Ох

допускающему общее решение 2=сош1:, и=и(т). Одновременно пусть выполняется и уравнение Буссинеска. Исключая производную по времени, получим:

1

a dx

( 0и Л 1 ^ Ои а/ч и— I---= 0. Это уравнение допускает первый интеграл: и---и = у(л),

V Ох) р Ох Ох р

где ф(/) - произвольная дифференцируемая функция. Как видно, в этом уравнении

переменные разделяются и общее решение полученного уравнения есть:

,2

I а / Ри -ф(t) 1п \ф(t ) + а,

( Р

^ + у(г) = Р I (а / Ри-ф(t) 1п (ф(^ + а / Ри )) ,

Уа /

где (у(0 - произвольная функция.

Формальное интегрирование уравнения Буссинеска (4) по координате х от 0 до да приводит к тождеству:

с1 ш ( ди ^

I* (t)= л 1(1 - u ) ^ = u I = вй (t) Д 0.

— 0 У ох / х=о

где 60>0 - безразмерный расход в сечении х=0, в0кн = д(¿,0). Величина

да

интеграла Л^) :=|(1 - и) Мх интерпретируется как протяженность активной зоны

о

фильтрации и равна площади криволинейного двуугольника, сторонами которого служат мгновенная кривая депрессии и ордината и=1, рисунок 2. Таким образом, выполняется условие:

МЛ /dt = ). (6)

Аналогично может быть найдена величина интеграла Акатнова:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Котов Евгений Владимирович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Полубаринова-Кочина, П.Я. Некоторые задачи плоского движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - АН СССР, Ин-т механики.

- М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1942. - 142, [2] с.

2. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1952. - 677 с.

3. Бестужева, А. С. Устойчивость левобережного склона Бурейской ГЭС до и после берегоукрепительных мероприятий / А. С. Бестужева, А. Е. Ражев // Гидротехническое строительство. - 2011. - № 10. С.12-16.

4. Бестужева, А.С. К вопросу сейсмостойкости грунтовых плотин / А.С. Бестужева, Л.Н. Рассказов // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. - №2. - С. 27-32.

5. Бестужева, А.С. Поиск методами факторного анализа оптимальной конструкции грунтовой плотины с подэкрановой зоной из камнебетона / А.С. Бестужева, Д.В. Гадай // Гидротехническое строительство. - 2017.

- № 5. - С. 24-29.

6. Бестужева, А.С., Хажд К.Р.А. Работа берегового дренажа в зоне влияния водохранилища / А.С. Бестужева, К.Р.А. Хажд // Мелиорация и водное хозяйство. - 2018. - № 3. - С. 29-3

7. Бестужева, А.С. Поровое давление в грунтовых плотинах при сейсмических воздействиях / А. С. Бестужева // Гидротехническое строительство. - 2010. - № 11. - С. 54-59

8. Иванников, В.Г. Лабораторный практикум по технической гидромеханике / В.Г. Иванников, А.В. Иванников, В.И. Исаев. - М.: РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2012. - 131 с.

9. Жуковский, Н. Е. Старая механика в новой физике (1918 г.) Архивная копия от 7 июня 2010 на Wayback Machine / Н. Е. Жуковский Полное

собрание сочинений в 10 томах. Под ред. проф. А. П. Котельникова. Т. 9. — М.-Л.: Изд-во ОНТИ НКТП СССР, 1937. — С. 245—260.

10. Павловский, Н.Н. Собрание сочинений: в 2 т./ Н.Н. Павловский. Т.1: Основы гидравлики. Открытые русла и сопряжение бьефов сооружений.

- М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1955. - 547 с.; Т.2: Движение грунтовых вод.

- М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - 771 с.

11. Лейбензон, Л.С. Новые уравнения движения газированной жидкости в пористой среде / Л.С. Лейбензон // Докл. АН СССР. - 1945. - Т. 49. -

№ 3. - С. 173-176.

12. Лейбензон, Л.С. Общая задача о движении сжимаемой жидкости в пористой среде / Л.С. Лейбензон // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз.

- 1945. - № 1. - С. 7-10.

13. Лейбензон, Л.С. Основной закон движения газа в пористой среде / Л.С. Лейбензон // Докл. АН СССР. - 1945. - Т. 47. - № 1. - С. 15-17.

14. Лейбензон, Л.С. Турбулентное движение газов в пористой среде / Л.С. Лейбензон // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. - 1945. - № 1. - С. 3-6.

15. Лейбензон, Л.С. К теории движения газированной жидкости в пористой среде / Л.С. Лейбензон // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. - 1946. -№ 1. - С. 3-10.

16. Лейбензон, Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде / Л.С. Лейбензон. - М.; Л.: Гостехиздат, 1947. - 244 с.

17. Полубаринова-Кочина, П. Я. Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (к 150-летию со дня рождения) / P. Ya. Polubarinova-Kochina УМН, 21:3(129) (1966), 213-224 mathnet mathscinet zmath; "Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (on the 150th anniversary of his birth)", Russian Math. Surveys, 21:3. - 1966. - С. 195-206.

18. Полубаринова-Кочина, П. Я. Научные работы С. В. Ковалевской (к столетию со дня рождения) / П. Я. Полубаринова-Кочина // УМН. -5:4(38). - 1950. - С. 3-14.

19. Полубаринова-Кочина, П. Я. Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым задачам о движении грунтовых вод (число особых точек больше трех) / П. Я. Полубаринова-Кочина // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 3:5-6. - 1939. - С. 579-602.

20. Полубаринова-Кочина, П. Я. Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым задачам о движении грунтовых вод (случай трех особых точек) / П. Я. Полубаринова-Кочина // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 3:3. - 1939. - С. 329-350.

21. Полубаринова-Кочина, П. Я. Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым случаям движения грунтовой воды / П. Я. Полубаринова-Кочина // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 2:3. - 1938. - С. 371-395.

22. Полубаринова-Кочина, П. Я. Об интегральном уравнении теории приливов в бассейнах постоянной глубины / П. Я. Полубаринова-Кочина // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 2:2 (1938). - С. 249-270.

23. Полубаринова-Кочина, П. Я. К задаче о приливах в прямоугольном бассейне при малых значениях угловой скорости вращения жидкости / П. Я. Полубаринова-Кочина // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1:3 (1937). -С. 445-466.

24. Аравин, В.И. Фильтрационные расчеты гидротехнических сооружений / В.И. Аравин, С.Н. Нумеров. - М.: Стройиздат, 1948. - 225 с.

25. Аравин, В.И. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде / В.И. Аравин, С.Н. Нумеров. - М.: Гостехиздат, 1953. -616 с.

26. Избаш, С. В. Основы лабораторно-опытного дела в гидротехнике. Под ред. Н. Н. Павловского. / С. В. Избаш. - М.: ОНТИ, 1938. - 228 с.

27. Избаш, С. В. Основы гидравлики. / С. В. Избаш. - М.: Гос. изд-во лит. по строительству и архитектуре, 1952. - 435 с.

28. Избаш, С. В. Гидравлика перекрытия русел рек / С. В. Избаш, Ю. Х. Хейти. - М.-Л.: Государственное энергетическое издательство (Госэнергоиздат), 1959. - 327 с.

29. Аравин, В.И. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде / В.И. Аравин, С.Н. Нумеров. - М.: Гостехиздат, 1953. -616 с.

30. Нумеров, С. Н. О фильтрации из каналов деривационных ГЭС и ирригационных систем / С.Н. Нумеров // Изв. ВНИИГ. - 1947, т. 34. С. 85-98.

31. Нумеров, С. Н. Об одном способе решения фильтрационных задач при наличии инфильтрации или испарения жидкости со свободной поверхности / С.Н. Нумеров // Изв. ВНИИГ. - 1948, т.38. - С.130-133.

32. Нумеров, С. Н. О фильтрации к горизонтальной дрене в случае наклонного водоупора / С.Н. Нумеров // Изв. ВНИИГ, 1951, т.46, с.72-85.

33. Нумеров, С. Н. К вопросу о фильтрации грунтовых вод при наличии систематического дренажа / С.Н. Нумеров, Л.А. Панасенко // В кн.: Прикладная математика, № I (135). Л.: ЛИСИ, 1977. - С. 111-139.

34. Патрашев, А.Н. Прикладная гидромеханика / А.Н. Патрашев, Л.А. Кивако, С.И. Гожий. - М.: Воениздат, 1970. - 688 с.

35. Патрашев, А.Н. Методика подбора гранулометрического состава обратных фильтров / А.Н. Патрашев. - Л.: Ленинпроречтрансиздат, 1957. - 75 с.

36. Патрашев, А.Н. Гравийные фильтры для нефтяных скважин / А.Н. Патрашев. С.М. Кулиев // Труды энерг. института им. И.Г. Есьмана АН Азерб. ССР, 1945. - С. 90-94.

37. Чертоусов, М.Д. Гидравлика. Специальный курс / Чертоусов М.Д. - М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962. - 630 с.

38. Чертоусов М.Д. Николай Николаевич Павловский / Чертоусов М.Д. // Труды ЛПИ. - 1949. - №1: Материалы по истории института. - С. 87-97.

39. Чертоусов, М.Д. Истечение через затопленный водослив с широким порогом / М.Д. Чертоусов // Труды ЛПИ. Л., 1955. - №178.

40. Чертоусов, М.Д. К вопросу об истечении через водослив с широким порогом / М.Д. Чертоусов // Гидротехническое строительство. — M.: 1938. - №12. - С.3-10.

41. Чертоусов, М.Д. Инженерная гидравлика. / Чертоусов М.Д. // Изд-во ЛГИ. Ленинград, 1934.

42. Чертоусов, М.Д. Расчёт отверстий гидротехнических сооружений, работающих по типу водослива с широким порогом, в условиях пространственной задачи / М.Д. Чертоусов // Труды ЛПИ. Л., 1949. - №21.

43. Чугаев, P.P. Гидравлика / P.P. Чугаев. - Л.: Изд. Энергия, 1975. - 600 с.

44. Чугаев, Р.Р. Гидравлика: учебник для вузов / Р.Р. Чугаев. - Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1982. - 672 с.

45. Кадет, В. В. Методы математической физики в решении задач нефтегазового производства: Курс лекций / В. В. Кадет — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 148 с.

46. Дмитриев, Н.М. Подземная гидромеханика: пособие для семинарских занятий / Н.М. Дмитриев, В.В. Кадет. - М.: Интерконтакт Наука, 2008. -174 с.

47. Кадет, В. В. Перколяционный подход в моделировании стационарных и нестационарных процессов многофазного течения в пористых средах /В. В. Кадет. - М.: Нефть и газ, 1996. - 31 с.

48. Кадет, В.В. Лекции по подземной гидромеханике / В.В Кадет, Н.М. Дмитриев. - Выпуск 2. М: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. 2005. -109 с.

49. Terleev, V. V. Estimation of soil water retention curve using some agrophysical characteristics and Voronin's empirical dependence / V. V. Terleev, W. Mirschel, U. Schindler, K.-O. Wenkel // Journal International Agrophysics. 2010. - 24(4). - pp. 381-387.

50. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, ВМ. Ентов, В.M. Рыжик. - M.: Недра, 1984. - 211 с.

51. Чарный, И.А. Подземная гидрогазомеханика / И.А. Чарный - M. Государственное научно-техническое изд-во нефтяной и горнотопливной литературы. 1963. - 396 с.

52. Басниев, КС. Подземная гидромеханика: учебник для вузов / КС. Басниев, И.Н. ^чина, ВМ. Mаксимов. - M.: Недра, 1993. - 416 с.

53. Mоргунов, КП. Анализ состояния конструкций шлюза № 3 Новинкинского гидроузла/ K. П. Mоргунов, Г.Г. Рябов, M3. ^асникова // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Mакарова. — 2018. — №1 (10). — С. 135-147. DOI: 10.21821/2309-5180-2018-10-1-135-148.

54. Muskat, M. Seepage of water through dams with vertical Faces /M. Muskat // Journal of General and Applied Physics. - 1935.- v.6. - pp. 402-415.

55. Анахаев, КН. Расчет фильтрации через перемычку на непроницаемом основании / КН. Анахаев // Известия высших учебных заведений. Строительство и архитектура. - 1990. - № 7. - С. 78.

56. Анахаев, КН. О фильтрационном расчете перемычки / КН. Анахаев // Mатематическое моделирование. - 2011. - Т. 23. - № 2. - С. 148-158.

57. Анахаев, КН. О развитии аналитических методов расчета фильтрации / КН. Анахаев // Природообустройство. - 2014. - № 1. - С. 72-75.

58. Crocco, L. Sull strato limite laminare nei gas lungo una lamina plana / L. Crocco // Rend. Math. Appl. - 1941. - Ser. 5 (21). - pp. 138-152.

59. Петриченко, MP. Слабые решения предельных задач ^окко / MP. Петриченко, Е.В. ^тов, Д.Д. Заборова, Т.А. Mусорина // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2018. - Т. 11. - № 3. - С. 27-38.

60. Blasius, H. Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung / H. Blasius // Zeitschrift fur Mathematik und Physik. - 1908. v. 56. pp. 1-37.

61. Muskat, M. Seepage of water through dams with vertical Faces / M. Muskat // Journal of General and Applied Physics. - 1935. - v.6. - pp. 402-415.

62. Anakhayev, K.N. Raschet filtratsii cherez peremychku na nepronitsayemom osnovanii / K.N. Anakhayev // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Stroitelstvo i arkhitektura. - 1990. - № 7. - S. 78-85.

63. Anakhayev, K.N. O filtratsionnom raschete peremychki / K.N. Anakhayev // Matematicheskoye modelirovaniye. - 2011. - T. 23. - № 2. - S. 148-158.

64. Anakhayev, K.N., O razvitii analiticheskikh metodov rascheta filtratsii / K.N. Anakhayev // Prirodoobustroystvo. - 2014. - № 1. - S. 72-75.

65. Petrichenko, M.R. Slabyye resheniya predelnykh zadach Krokko / M.R. Petrichenko, Ye.V. Kotov, D.D. Zaborova, T.A. Musorina // Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta. Fiziko-matematicheskiye nauki. - 2018. - T. 11. - № 3. - S. 27-38.

66. Varin, V.P. Asimptoticheskiye razlozheniya resheniya Krokko i ryad Blaziusa / V.P. Varin // Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki. -2018. - T. 58. - № 4. - S. 530-540.

67. Petrichenko, M.R. Integralnoye uravneniye predelnoy zadachi Krokko / M.R. Petrichenko // Vestnik Kyrgyzsko-Rossiyskogo slavyanskogo universiteta, yestestvennyye i fiziko-matematicheskiye nauki. - 2017. - T. 17. - № 12. - S. 8-11.

68. Azizi, A. On the Efficiency of Collocation Method for Solution of the Falkner-Skan BoundaryLayer Equation / A. Azizi, H. Latifizadeh // Journal of Mathematical and Computational Science. - 2014. - v. 4. - pp. 128- 147.

69. Kuo, B-L. Heat transfer analysis for the Falkner-Skan wedge flow by the differential transformation method / B-L. Kuo // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2005. - v. 48. - pp. 5036-5046.

70. Paul, M. An Accurate Taylor's Series Solution with High Radius of Convergence for the Blasius Function and Parameters of Asymptotic Variation / M. Paul // Journal of Applied Fluid Mechanics. - 2014. - v. 7. -pp. 557-564.

71. Liao, S-J. A explicit, totally analytic approximate solution for Blasius' viscous flow problems. / S-J. Liao // International Journal of Non-Linear Mechanics.

- 1999.- v. 34. - pp. 759-778.

72. Liu, C-S. An SL (3, R) shooting method for solving the Falkner-Skan boundary layer equation / C-S. Liu // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2013. - v. 49. Pp. 145-151.

73. Liu, Y. Solution of Blasius Equation by Variational Iteration / Y. Liu, S. N. Kurra // Applied Mathematics. - 2011. -v. 1. - pp. 24-27.

74. Asaithambi, A. A second-order finite-difference method for the Falkner-Skan equation /A. Asaithambi // Applied Mathematics and Computation. - 2004. -v. 14. - pp. 1021-1024.

75. Asaithambi, A. Numerical solution of the Falkner-Skan equation using piecewise linear functions /A. Asaithambi // Applied Mathematics and Computation. - 2004. -v. 159. - pp. 267-273.

76. Asaithambi, A. Solution of the Falkner-Skan equation by recursive evaluation of Taylor coefficients / A. Asaithambi // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2005. - v. 176. - pp. 203-214.

77. Boyd, J. P. The Blasius function in the complex plane / J.P. Boyd // Experimental Math. - 1999. - v. 8. - pp. 381-394.

78. Liu, C-S. An SL (3, R) Shooting method for solving Falkner-Skan boundary layer equation. International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2015. - v. 49. - pp. 145-15.

79. Zhang, J. An iterative method for solving the Falkner-Skan equation / J. Zhang, B. Chen // Applied Mathematics and Computation. - 2011. - v. 210.

- pp. 215-222.

80. Asaithambi, A. Numerical solution of the Blassius equation with Crocco-Wang transformation / A. Asaithambi // Journal 0f Applied Fluid Mechanics. - 2014. - Vol. 9, No. 5. - pp. 2595-2603.

81. Zhao, Y. A Modified Homotopy Analysis Method for Solving Boundary Layer Equations / Y. Zhao, Z. Lin, S. Liao // Applied Mathematics. - 2013. -v. 4. - pp. 11-15.

82. Моргунов, К.П. Гидравлика: учебник для вузов / К.П. Моргунов. - СПб.: Лань, 2014. - 288 с.

83. Моргунов, К.П. Исследование изменения характеристик грунта в основании и засыпке судоходных шлюзов в процессе строительства и эксплуатации гидротехнических сооружений / К. П. Моргунов // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2016. — № 3 (37). — С. 78-88. DOI: 10.21821/2309-5180-2016-7-3-78-88.

84. Миканович, Д.С. Моделирование процесса безнапорной фильтрации и изучение закономерностей движения фильтрационного потока в теле земляных плотин гидротехнических сооружений шламохранилищ / Д.С. Миканович, Е.В. Куделко // Проблемы обеспечения безопасности при ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций. - 2015. - №1. - С. 371374.

85. Елфимов, В.И. Влияние толщины водопроницаемого слоя основания на параметры фильтрационного потока при приблизительном равенстве коэффициентов фильтрации тела плотины и его основания / В.И. Елфимов, Д.Е. Кумеров // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования - 2012. - №4. - С. 111-117.

86. Елфимов, В.И. Определение влияния толщины водопроницаемого слоя основания плотины на параметры фильтрационного потока гидравлическими методами/ В.И. Елфимов, Д.Е. Кумеров, Абу Махамади Моххамед Ибрагим // Вестник Российского университета

дружбы народов. Серия: Инженерные исследования - 2013. - №1. - С. 2328.

87. Береславский, Э.Н. Задача фильтрации в прямоугольной перемычке с частично непроницаемой вертикальной стенкой / Э.Н. Береславский, Л.М. Дудина // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 2. - С. 288 - 297.

88. Береславский, Э.Н. О некоторых случаях фильтрации в плотинах с вертикальным верховым откосом, дренированных в основании / Э.Н. Береславский // Изв. АН СССР МЖГ. - 1991. - №6. - С. 59 - 63.

89. Береславский, Э.Н. О применении метода П.Я. Полубариновой-Кочиной в теории фильтрации / Э.Н. Береславский // Журнал вычислительной и прикладной математики. - 2013, № 1 (111) - С. 12 - 18.

90. Курцева, К.П. Задача безнапорной фильтрации через грунтовую плотину при наличии непроницаемого включения / К.П. Курцева, Е.Г. Шешуков, Н.Д. Якимов // Проблемы энергетики, 2016, № 11-12. - С. 68-76.

91. Шишкин, Г. И. Сеточная аппроксимация решения и его производных для решения Блазиуса / Г. И. Шишкин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001, том 41, № 1. - С. 39-56.

92. Faiz A. Application of Crocco-Wang equation to the Blasius problem [Электронный ресурс] / A. Faiz // Electronic Journal «Technical Acoustics» http://www.ejta.org 2007, 2. - 11 p.

93. Buchot, J.-M. The Linearized Crocco Equation / J.-M. Buchot, J.-P. Raymond // J. math. fluid mech. № 8 (2006). - pp. 510-541.

94. Beong In Yun. Intuitive approach to the approximate analytical solution for the Blasius problem / Beong In Yun // Applied Mathematics and Computation, Volume 215, Issue 10, 15 January 2010, pp. 3489-3494.

95. Akd, M. Numerical Solution of the Blasius Problem / M. Akdi, M. B. Sedra // The African Review of Physics. - 2014, № 9 (0022) - pp. 165 - 168.

96. Петриченко, М.Р. Образование промежутка высачивания в прямоугольной перемычке / М.Р. Петриченко, Д.Д. Заборова, Е.В. Котов, Т.А Мусорина // Гидротехническое строительство. - 2018. - №2 10. - С. 49-52.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Проектно-сгроительная компания «Венчур»

195220 Санкт-Петербург,

Гражданский пр., д. 22, оф. 612

тел. [phone]_

И

венчур

Исх. № 19 - 53 от 08.10.2019

В Диссертационный совет Д 212.229.17 ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» Адрес: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 29

АКТ

о практическом применении результатов диссертационного исследования Котова Е.В. на тему «Неустановившееся безнапорное течение жидкости в

Настоящим Актом удостоверяется, что результаты диссертационного исследования Котова Е.В. на тему «Неустановившееся безнапорное течение жидкости в гидравлических задачах теории фильтрации» применены при проектировании и строительстве ряда водохозяйственных сооружений.

На основе методики, разработанной Котовым Е.В., выполнены расчеты дренирования грунтовых массивов с целью увеличения их устойчивости, определения интенсивности дренажа в технологии быстрой откачки строительных котлованов.

Практическое значение работы Котова Е.В. заключается в разработке методики определения мгновенного значения депрессионной кривой и промежутка высачивания в перемычках различной формы, установлении влияния расположения дренажа на форме депрессионной кривой, позволяющей автоматизировать выполнение расчетов, повысить их точность при проектировании водохозяйственных, транспортных и природоохранных гидротехнических сооружений.

гидравлических задачах теории фильтрации»

Генеральный директор ООО «ПСК «ВЕНЧУР»

Петросов Д.В.

Проектно-сгроительная компания «Венчур»

195220, Санкт-Петербург,

Гражданский пр., д. 22, оф. 612_

Тел./факс [phone] Е-таП: [e-mail] ЬЦр: //www.venturepsk.ru