Нестационарные задачи течения тонкого пластического слоя по деформируемым поверхностям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Соловьев, Гариф Хусаинович

• Соловьев, Гариф Хусаинович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловьев, Гариф Хусаинович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Обзор современного состояния развития теории течения тонких пластических слоев.

2.Краткое содержание диссертации.

3.Обобщение постановки задачи пластического течения в тонком слое

глава i. осесимметричные задачи пластического

ТЕЧЕНИЯ В ТОНКОМ СЛОЕ.

1.1 Точные решения динамических контактных задач о растекании тонкого пластического слоя.

1.2 Задача об ударе по пластическому слою.

1.3 Учет объемной сжимаемости.

1.4 Точное решение динамической задачи для структурно-сжимаемого материала при p = p{vu).

глава ii.некоторые обобщения классической задачи прандтля об осадке пластической полосы.

2.1 Плоская задача об осадке пластической полосы из сжимаемого материала с учетом сил инерции.

2.2 Задача о трехслойной полосе из сжимаемого материала.

глава iii. нестационарные задачи растекания пластических слоев.:

3.1 Постановка нестационарной задачи течения пластического слоя по упруго-деформируемы:.! поверхностям.

3.2 Модель винклеровского упругого тела. Вывод дифференциального уравнения для определения контура свободно-растекающегося пластического слоя.

3.3 Обоснование применимости модели Винклера в решении задач о растекании пластических слоев.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные задачи течения тонкого пластического слоя по деформируемым поверхностям»

1.Обзор современного состояния развития теории течения тонких пластических слоев.

В диссертации исследуется один специальный класс нестационарных пространственных задач течения тонкого пластического слоя между двумя сближающимися по заданному закону поверхностями внешних тел инструмента. К указанны:.! задачам примыкает большинство технологических процессов обработки материалов давлением: штамповка и прессование тонкостенных элементов конструкций, дрессировка, тонколистовая прокатка и др. Это сложные физические процессы с разнообразием определяющих параметров, протекающие при' комбинированных температурных и силовых воздействиях. Немаловажную роль в них играет деформационное и скоростное упрочнение материала. Существенным оказывается учет неоднородностей свойств материала слоя, в том числе как начально заданных неоднородностей (течения в многослойном пакете), так и неоднородностей, вызванных теплообменом с внешними телами (горячие процессы), тепловыделениями за счет диссипации механической энергии и разогрева в результате работы сил контактного трения скольжения. В высокоскоростных процессах обработки давлением значимую роль могут играть силы инерции. Для процессов пластического течения в тонком слое характерны высокие давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. А значит, неоправданным может оказаться неучет упругих деформаций самих воздействующих тел , что сказывается на точности изготовления конечной детали. С другой стороны, может оказаться существенным роль объемной . сжимаемости материала обработки. Важно уметь выбирать режимы эффективного применения промежуточных смазок в процессах растекания пластических слоев, что также сказывается на результатах расчетов (накопление деформаций вблизи поверхности контакта и возможные разрушения, экономия энергозатрат). Отметим также, что в практику пластической обработки материалов давлением активно внедряются штампы и инструменты, имеющие контактные поверхности с анизотропными свойствами относительно сил трения (поверхности с рельефными очертаниями), в связи с чем приходится по-другому осмыслить и поставить условия на поверхностях контакта. Другой важной особенностью процессов пластического течения в тонких слоях является то, что в них, как правило, неизвестными оказываются как границы областей течения,так неопределены и сами граничные условия. На сегодняшний день уже появились и получают дальнейшее развитие геометрически нелинейные теории пластичности, в том числе и вариант теории упруго-пластических процессов А.А.Ильюшина при конечных деформациях (П.В.Трусов, JI. А. Толоконников, В .И.Левитас, А. А.Маркин, Е. Н. Lee, Г.JI. Бров ко, и др.),однако в силу их чрезвычайной математической сложности они не нашли еще широкого практического применения,в том числе и в расчетах процессов пластической обработки давлением. Наибольшее признание при описании процессов пластического течения металлов в широком диапазоне изменения температур и скорости деформации получила теория пластичности для траекторий малой кривизны.

В основу настоящей диссертации положена теория течения в тонком пластическом слое, предложенная А. А. Ильюшиным. Истоки данной теории уходят к классической задаче Л.Прандтля о сжатии полосы из идеально-пластического материала между двумя шероховатыми плоскостями тел инструмента. .Прандтль построил предельное поле напряжений, подчиняющееся условию пластичности Мизеса, а Надаи дополнил его кинематической картиной течения. В частности, решение Прандтля-Надаи подтверждает факт о проскальзывании материала полосы вдоль поверхности контакта.

Результаты проведенных Е.П.Унксовым [91] экспериментов по осадке свинцовых полос, осуществленных в условиях полного контакта, показали, что вдоль поверхности контакта вблизи свободного края располагается зона скольжения, где сила трения подчиняется закону Кулона (Т — [Лр) .Далее она переходит в зону торможения, где сила давления возрастает вглубь слоя, а сила трения при этом принимает максимальное значение (Г = т5) . И наконец, ближе к линии ветвления течения примыкает зона застоя, где напряжение трения убывает до минимального значения. С уменьшением скольжения и торможения соответственно уменьшаются. отношения т.е. с утоньшением полосы, размеры зон

Экспериментальные данные по определению напряжений на поверхности контакта приводятся в работах [83,85,73,76,95].

На основе анализа решения Прандтля-Надаи А.А.Ильюшин выдвинул гипотезы . кинематического характера, а также относительно сил трения на контакте, с помощью которых построил эффективную теорию течения в тонком пластическом слое [19,20].Указанные течения характеризуются высокими контактными давлениями, на порядок превышающие сдвиговые напряжения: сг V N У

->0 при р —> СО , так что определяющими механическими параметрами .в таких процессах являются контактное давление р, а также скорости течения U,L> вдоль слоя. В этой же работе приводятся постановки трех основных задач течения в тонком пластическом слое. Выпишем упрощенную постановку в виде системы нелинейных уравнений в частных производных первого порядка: grad (р) = -и-и,

Ti т,^ V и — и v — v. J

8h+ 1 d(hBu) + 1 d{hAv) Ht AB да AB dp ' i: pIs^PXV) , (3) для определения скоростей ii(a,J3,t},v(cc,j3,t), давления p{fC,P,t) в области s{a,pj) на заданной основной поверхности с первой дифференциальной формой ds1 = A2da2 + B2dpl в главных осях а,/?.Здесь h(a,J3,t)~ известный закон изменения толщины слоя, и{(сс, = 1,2 заданные скорости внутренних движений внешних тел, //коэффициенты трения, 7]^p,JLl., О — - напряжения трения на контакте, которые считаются известными из опыта функциями указанных аргументов, Р0{м) ~ заданное давление в точках контура растекающейся области, [Л -параметр, меняющийся вдоль контура. В частности, для свободно растекающейся области имеем р0 (//) = <JS .

Краевая задача для растекающегося пластического слоя в постановке (1)- (3),с использованием метода характеристик, в каждой стадии процесса растекания в работе [50] сведена к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений da cos у dB sin / dp ~ =-— = —— = Q, (4) ds A ds В ds dy if CI. . Cln } 1 ds CI f-s'my + -^-cosy +—{Apcosy - Basmy\ 4 " AB

V A ■ В у с краевыми условиями в точках контура области а = а(/л\Р = /?(//), р = p(ji\ р = р(/л), q = q(ju), (5) с одновременным вычислением вдоль характеристических линий двух интегралов

Jx(s) = ехр

5 Л

J y/(s')ds S0 s f s \

J2(s)= J*^")exp -JV(s') ds"

6)

V у

Тогда для скорости течения в слое h(s)

7) где у- угол между касательной к линии тока и осью а; и = -l>(cos// + smyj);

А - постоянная, определяемая из условия ветвления течения v(s = SРЕБРА) = 0 в неизвестных, но определяемых в ходе решения (4) точек следа ребра dp др поверхности давления; значения р =-,q =- в да др условиях (5) для точек контура выбираются однозначно из выполнения условий dpn da dB = p-+ q—, df-i dju df.i

8)

F{a{ju),p{ju\pQ{ju),p,q) = A = F.B - F а Ф 0 , г™и J и '

V (q V + 1 P

Aj

- Q2 (a, J3) = 0,(9) где использованы обозначения 2dh о - —i- > о, n{s) =-г W dt

11)

11 1 .

1^(5) =--+-COS У Л--Sin У.

R(s) Rfi R

R = 1 R J 1 dBY'

-касательные радиусы

АВдр) ' УАВда) кривизны линий СС п (5 на. основной поверхности;

1 , ч д/ . 3/ dy

- X\s) = —— Sin/--— COS/ = —--геодезическая

R(s) Ada Вдр d/j кривизна линии уровня p{cc1J3') — COYlSt.

В работе А.А.Ильюшина [19] решена задача о растекании тонкого кольцевого слоя постоянной толщины. В работах А.А.Ильюшина [21], И.А.Кийко [33] исследована нестационарная плоская задача пластического течения в полосе с неоднородностью свойств по толщине, вызванной интенсивны:-! теплообменом с внешними телами. Для определения зон затвердевания, примыкающих к поверхности контакта, привлекается принцип минимума мощности внешних сил. С учетом последнего обстоятельства им предложен один вариант теории пластических течений в тонком слое. В работе А.И.Кузнецова [39] выписывается формальное решение задачи об осадке пластической полосы с заданной неоднородностью свойстз по толщине, однако не дается его обоснование. Для решения задач течения пластического слоя постоянной толщины на плоскости А.А.Ильюшин предложил метод аналогий с песчаной насыпью [20] , когда линии тока являются прямыми, он нашел выражение для скоростей течения в точках контура свободно растекающейся области и =

1 de

2 dt

2 Л

R-Sl R К

12) где R- радиус кривизны в точке контура, Г0~ величина, характеризующая точку ребра поверхности давления здоль рассматриваемой линии тока. На основе формулы (12) В.Н.Безухов[5] вывел дифференциальное уравнение, позволяющее восстановить контур y = J/(x, (?) свободно растекающегося пластического слоя

УгУи+Ы1 + У'!) = 2у. > (13) по известной начальной области

У(х>е)!.« = Ф)

Дифференциальное уравнение (12) для восстановления контура свободно растекающегося слоя на плоскости для более общего случая h = h(x,y,t) выведено в работе И.А.Кийко [32] .

В работе [20] поставлена стационарная задача о прокатке листа при малой степени обжатия, исследован вопрос о существовании участка сцепления. В работе [4] решена эта задача при произвольной степени обжатия, причем доказана теорема А.А.Ильюшина о существовании зоны застоя в зависимости от ширины прокатываемого листа.

Существенный вклад в развитие теории течения в тонком пластическом слое внес И.А.Кийко [27-37] .Им сформулирована задача течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися упругими поверхностями внешних тел, .предложен вариационный метод для определения давления под штампами. г. В" работах П.М.Огибалова и И.А.Кийко [64,65] рассчитаны С помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин,а также проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. В работе [7] предложен эффективный численно-аналитический способ определения контактного давления, а также упругих перемещений под штампом, представлены результаты их счета для области в плане формы прямоугольника, при этом упругие перемещения под штампом рассчитаны как по формулам для упругого полупространства, так и по формулам для упругой плиты. Следует отметить также работы

И.В.Костарева[41,42],который на основе теории течения тонких пластических слоев разработал методы расчета процессов штамповки ребристых покозок сложной формы. В работе Ю.С.Арутюнова[4] применен метод преобразования Лежандра,с помощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи течения пластических слоев, построены эпюры контактных давлений. Большой вклад в развитие теории течения тонких пластических слоев (ТТТПС) внес 3.А.Кадымов. Им разработан общий метод расчета нестационарных задач растекания пластических слоев[50], предложена новая постановка краевой задачи течения пластических слоев по поверхностям, обладающими анизотропными свойствами относительно сил трения на контакте. т=-(р[р,\и-ит) J , (14)

4 у и-ит где тензор (р характеризует пару трущихся поверхностей. В частности, из (14) следует, что векторы Т и U — Vj, вообще говоря, не коллинеарны. Для нее обоснован метод характеристик.

И наконец, следует отметить работы С.С.Григоряна [11], Д.Д.Ивлева[23], JI .К.Кийко[36] , А.Н.Мохель и

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Соловьев, Гариф Хусаинович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию теории течения в тонком пластическом слое (ТТТПС) по упруго-деформируемым поверхностям в постановке Ильюшина-Кийко. В ней получены следующие научные результаты : 1. Выведено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для определения контура пластического слоя, свободно растекающегося между двумя сближающимися упруго-деформируемыми плоскостями внешних тел инструмента. В частности, при отсутствии упругих деформаций тел инструмента оно переходит в известное уравнение ,выведенное И.А.Кийко.

Предложен метод построения его решения в виде ряда по малому параметру , отвечающему за упругие перемещения .Для случая Винклеровской модели упругого тела построены нулевое и первое приближения для. определения контура растекающегося слоя, в начальный момент имевшего в плане форму клина.

2. Дано обобщение постановки задачи Л.Прандтля об осадке пластической полосы с одновременным влиянием сил инерции и объемной сжимаемости материала. В предположении малости параметров £ и сс,отвечающих соответственно за динамичность процесса и объемную сжимаемость материала, получены поправки для напряжений и скоростей течения, вносимые силами инерции и объемной сжимаемостью материала. Тем самым получила дальнейшее обоснование теория ТТПС высокоскоростных процессах пластического течения слоев и объемно-сжимаемого материала.

3. Рассматривается известная задача об осадке трехслойно пластической полосы, обладающей центральной симметрией' составленной из "мягких" крайних слоев, в условия непрерывного пластического течения всей полосы. Он развивается на случай, когда внутренний слой считаете объемно-сжимаемым.

Выписана система линейных уравнений в частных производнь первого порядка для определения первого приближен относительно скоростей течения. Поле напряжений , при этог-как показано, совпадает с известным решением для объемн несжимаемой трехслойной полосы.

4. Поставлена осесимметричная задача о растекан пластического слоя, обладающего деформационным скоростным упрочнением, в динамической постановке. Получено ее решение в аналитическом виде.

На основе полученного решения поставлена задача об ударе по пластическому слою. Она сформулирована в виде задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для определения конечной толщины осаживаемого слоя. В одном частном случае решение задачи Коши полученов в квадратурах.

Данная осесимметричная задача обобщена на случай объемно-сжимаемого материала. Предложен метод разложения в ряд по малому параметру сжимаемости.

Для одного частного случая объемной сжимаемости ее решение выписано в точном виде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловьев, Гариф Хусаинович, 2004 год

1. Александров С.Е., О разрывных полях скоростей при произвольной деформации идеального жесткопластического тела // Докл. РАН. - 1992, 324, № 4, с. 769-772.

2. Александров С.Е., Мишурис С.Е. Осесимметрично пластическое течение двухслойного материала чере конический канал // Докл. РАН. 2003. 390, № 2, с. 196-199.

3. Аргатов И.И. Давление на упругое полупространство штамп с- поверхностью, близкой к эллиптическому параболоид //Пробл. машиностр. и надежности машин, 2ООО, № 1. с 101-105.

4. Арутюнов Ю.С., Гонор A.JI. Осаживание тонких поковок произвольной формы в плане // Изв. АН ССР. Мех. и мат-е. 1963, № 1. - с. 166-171.

5. Безухов В. Н. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане // Дис. канд. физ.-мат.н. М, 1955. - 78с.'

6. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности // -М., Гостехизд. -1953. 420с.

7. Бодунов Д.М., Кийко И.А. Новая постановка задачи о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // В сб. научн. тр. межд. научно-технической конф. «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штампового производства», М., МГТУ-МАМИ, 2003г.

8. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел // УРСС, М., 1998.

9. Гордон В.А., Тинякова Е.В., Шоркин B.C. О пластическом поведении материала в поверхностном слое твердого тела // Исслед. в обл. теории, технол. и обор. ОМД, Орлов.ГТУ, 1998, с. 150-153.

10. Григорьев И.П., Ивлев Д.Д. О сдавливании круглого в плане идеальнопластического слоя шероховатыми плитами //Изв. РАН., Мех. тверд, тела. 2000, № 1, с. 129-140.

11. Григорян С.С. Об одной задаче JI. Прандтля и теории течения пластического вещества по поверхностям // ДАН СССР. 1981, т.257, I? 5. с. 1075-1077.

12. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов "II М., Металлургизд. 1960. - 190с.

13. Друянов Б. А. О применимости жесткопластическог анализа к некоторым технологическим задачам / / Изв. А СССР, Мех. тв. Тела. 1971, № 3, - с. 179-183.

14. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики // Изд. Наука, М., 1970, 664с.

15. Ершов JI. В., Ивлев Д. Д., Романов А. Д. Об обобщениях решения JI. Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами // Сборн. «Соврем, пробл. мех. и авиации». М.,1962, - с. 137-144.

16. Ершов JI.B. О приближенном решении осесимметричных упруго пластических задач методом малого параметра // Пробл. мех. деф. тв. тел и горных пород. Сб. статей к 70-летию Ершова JI.B., 2002.

17. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности // Тверь, Изд-во ТГТУ, 2002, 300с.

18. Ильюшин А. А. Пластичность // Изд. АН СССР, М., 1963. 376с.

19. Ильюшин А.А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и мех. 1954, т. 18, № 3. - с. 265-288.

20. Ильюшин А. А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех. -1955, т. 19, № 6. с. 693-713.

21. Ильюшин А. А. Некоторые вопросы теории пластического течения // Изв. АН СССР. 1958, № 2, с. 6486.

22. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды // М., МГУ -1978. 288с.

23. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности // М., Наука. 1966, - 231с.

24. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова- JI.A. О свойствах течений изотропной среды // Докл. РАН. .2000, 375, № 2., с. 191-194.

25. Ивлев Д. Д., Максимова JI.A. О плоских течениях идеально жесткопластической среды // Докл. РАН, 2000, 370, № 1, с. 43-45.

26. Кальменев А.А., Лукашкин Н.Д. Состояние теории расчета давления и усилия при холодной тонколистовой прокатке // Сталь., 2001., № 11, с. 44-47.

27. Кийко И.А. Обобщение задачи Л.Прандтля об осадке полосы из сжимаемого материала // Вестник МГУ.-2002, №4.-с.47-52.

28. Кийко И.А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества // ДАН СССР. 1964, т. 157, № 3, - с. 551-553.

29. Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым поверхностям // Инжен. журн. 1965, т. 5, вып. 2. - с. 372-375.

30. Кийко И. А. Точное решение одной задачи пластического течения в тонком слое по упругим поверхностям // ДАН СССР. 1965, т. 161, № 1. - с. 40-42.

31. Кийко И.А. К теории пластического течения в тонког-слое по деформируемым поверхностям // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела. 1966, № 5, с. 123-126.

32. Кийко И.А. Теория пластического течения в tohkon слое металла // Научн основы прогресс. техники ъ технологии. М., Машиностроение, 1985. с. 102-133.

33. Кийко И.А., Морозов Н.А. Методы теории пластичности в ОМД // Сб. Пластическая деформация легких и спец. сплавов, М., Металлургия, 1971.

34. Кийко И. А., Кадымов В. А. Обобщение задачи JI. Прандтля о сжатии полосы // Вестник Моск. ун-та, Сер. Математика. Механика., 2003, № 4, с. 50-5 6.

35. Кийко И.А. Теория пластического течения // М., МГУ 1978, 75с.

36. Кийко И. А., Кийко JI.K. Постановка задачи о пластическом течении сжимаемого материала // Вестник МГУ. -1980, К'- 4. с. 67—70.

37. Кийко И.А.,Кадымов В.А. Задача Прандтля о сжатии двухслойной пластической полосы //Сб.тр. научной конф. ''Прогрессивные технологии и обор. кузн. -штамп, пр-ва".-М.:МАМИ,2003.-с.61-66.

38. Качанов JI.M. Основы теории пластичности // М., Наука. 1969. - 420с.

39. Кузнецов А.И. Задача о неоднородном пластическом слое //Archiwum mech. stosovaney.-1960, v. 12, N'2 . -pp. 163172.

40. Колмогоров B.JI. Механика обработки металло давлением // Изд. УрГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2001.

41. Костарев И.В., Казьмин А.В. Исследование процесс штамповки деталей с ребрами жесткости // Изв. вузов Машин-е. 1981, № 5. - с.114-116.

42. Костарев И.В., Баев Б. А. Использование положени теории течения тонкого пластического слоя дл проектирования технологических процессов // Технологи легких сплавов. 1979, № 7, - с.47-50.

43. Кадьслов В.А. Некоторые задачи теории пластического течения // Изв. АН Азерб. ССР. 1981, № 3. -с. 45-52.

44. Кадьслов В.А. Некоторые точные решения задач теории течения пластического вещества // В. сб. «Некот. вопр. матем. и механ.» М., МГУ - 1981. - с. 93.

45. Кадьслов В.А., Чулафич 3. Метод и точные решения' задач течения в тонком слое металла // Изв. АН Азерб. ССР. 1983, № 3. - с.50-55.

46. Кадьслов В.А., Огибалов П.М. Некоторые основные аспекты теории течения металла // В сб. тр. XVI Югосл. симпоз. по теор. и прикл. механике. 1984 - 6с.

47. Кадьслов В.А., Огибалов П.М. К постановке и решению краевой задачи течения металла в тонком слое // Тез. докл. III Всесоюзн. конф. «Смешан, зад. мех. деф. тв. тела». -Харьков. 1985.

48. Кадьслов В.А., Чулафич 3. Prikaz torije tecenja plasticnog materijala po povrsima I neki novi staticki problemi // Zb. radova sa III Jugoslav. Simpoz. iz teorije plasticnosti. Plitvicka. - 1983. - 13s.

49. Кадьслов В.A. Beriicksichtigung des Einflussesfester Schmierstoffe bei Kontaktaufgaben der Umformtechnik // Technische Mechanik (Germany), 10(1989)3. p. 178-182.

50. Кадьслов В.А. Расчет пластических течений в тонком слое металла // Teorijska i primenjena mechanika (Белград). -1987, № 13, с. 55-63.

51. Кадьслов В.А. К постановке и решению одного класса задач штамповки с учетом активного влияния промежуточной среды // В сб. «Исслед. в обл. теории, технол. и обор, штамп, пр-ва». Тула, 1990 - с. 22---31.

52. Кадымов В.А. Граничные уравнения теории обработки металлов давлением // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. № 8284 В88. -18с.

53. Кадымов В. А. Нестационарные задачи течений в тонком пластическом слое // Дисс. докт. физ.-мат. наук. -Баку., Ин-т математики и механики. 1994 - 22бс.

54. Кадымов В. А. К решению задачи JI. Прандтля об осадке полосы из идеально-пластического материала // В сб. «Трехмерные зад. мех-ки структ.-неодн. сред». Воронеж, 1991. - с. 107-114.

55. V.Kadymov, R.VIille. Plastic flow in piecewise-homogeneous layer//ZAMM.-1995,v.75, K'Sl.-pp.293-294.

56. V.Kadymov. Mathematical modeling of contact problems of plastic flow//Nonlinear analysis.-1997,v.30,№8.-pp.5259-5265.

57. Курант P. Уравнения с частными производными // М., Мир. 1964. -830с.

58. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести // М., Машин-е. 1975. - 400с.

59. Мохель А.Н., Салганик P.JI. Тонкий идеально-пластичный слой с произвольным контуром, сжимаемый между жесткими плитами // Докл. АН СССР 1987, 293, № 4. - с. 809-813.

60. Мясищев А. А. Решение в рядах задачи о сжатии жесткопластического слоя шероховатыми плитами // Изв. вузов. Черн. металл-я. 1986, К' 1, - с. 81-103.

61. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел // М., Ил. 1954. - 647с.

62. Непершин Р.И. Кинематически определимые .плоского пластического течения жесткопластического тела // Пробл. мех. неупр. дефор. Сб. статей. К 70-летию Д.Д. Ивлева, М., Физматлит, 2001, с. 245-259.

63. Огибалов П.М., Кийко И.А., Кийко JI.K. Растекание тонкого пластического-слоя // Прикл. механика. 1988, т. 24, № 10. - с. 88—94. .

64. Огибалов П.М., Кийко И.А. задачи пластических течений // Инжен. журн. 1961, т.1, вып. 3. - с. 181-184.

65. Огибалов П.М., Кийко И. А. Определение усилий штамповки и прессования некоторых элементов конструкций // В кн. «Расчеты процессов пласт, форм-я мет.», М., Мир, -1962, с. 73-77.

66. Огородников В. А. Оценка деформируемости металлов при обработке давлением // Кузнечно-штамповое производство, 1977, э.З, с. 15-18.

67. Остсемин А.А. Обобщение решения задачи Прандтля о сжатии пластического слоя двумя шероховатыми плитами // Пробл. прочн. 1991, II' 12. - с. 70-74.

68. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М., Наука. - 1986.

69. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen satz tiberdas plastische Gleichgewicht //ZAMM/ 1923, № 3, - p. 401-406.

70. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1 и 2 // М., Наука. 1970. - 536с. И 568с.

71. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике // М., Наука. 1967. - 468с.

72. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности // Минск, Наука и техн. 1977 -253с.

73. СенашовС.И. Поля скоростей в задаче Прандтля о сжатии пластического слоя //Журн.прикл.мех.и техн.'физ.-1984,№1.- с.155- 156.

74. Смиров-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических 'деформаций металлов // M.-JI., Машгиз. 1956. - 367с.

75. Соколов Л.Д. Сопротивление материалов пластической деформации // М., Метал-я. 1963. - 284с.

76. Соколовский В.В. Теория пластичности // М., Высшая школа. 1969. - 608с.

77. Соловьев Г.Х. Контактные задачи динамики пластических слоев (соавтор Кадымов В.А.)//Доклады XXXIX Международной научно-технической конференции "Приоритеты развития отечественного автомобилестроения''''. МАМИ ,2002 .- с. 10-11.

78. Соловьев Г.Х. К решению динамических контактных задач о растекании пластического слоя // Там-же., с. 22- 24.

79. Соловьев Г.Х. Некоторые новые решения контактных задач растекания пластического слоя (соавторы Кадымов В.А.,Бодунов Д.М.)//Тезисы докладов Всероссийской научньй конференции "Современные проблемы механики и информатики. Тула ,ТГУ, 2002.

80. Соловьев Г.Х. Обобщение задачи Прандтля на случай трехслойной полосы сжимемого материала.(соавтор Кадымов В .А.)//Тезисы докладов на Ломоносовских чтениях. МГУ ,2003.

81. Соловьев Г.Х. К вопросу об оптимальном проектировании процессов штамповки тонкостенных деталей(соавтор Кадымов В А )//Тезисы докладов на Ломоносовских чтениях .МГУ, 2004.

82. Соловьев Г.Х. Динамическая задача о растекании тонкого пластического слоя сжимаемого материала//Сб.Н трудов междун научно-тех конференции "Прогрессивные технологии и оборудование кузн-штамп производства" , М. МАМИ ,2003.-с.359-361.

83. Соловьев Г.Х Плоская задача о сжатии пластической полосы из сжимаемого материала в динамической постановке // Рук.деп.в ВИНИТИ РАН,№1573-В2004.-24с.

84. Соловьев Г.Х К постановке и решению нестационарной задачи растекания пластического слоя между упруго-деформируемыми поверхностями

85. Рук.деп.в ВИНИТИ РАН,№1574-В2004.-18с.

86. Тарновский И.Я., Поздеев А.А. и др. Теория обработки металлов давлением // М., Металлургизд. 1963. - 672с.

87. Тарновский И.Я., Леванов А.Н., Посеваткин М.И. Контактные напряжения при пластической деформации // М., Металлургия. 1966. - 27 9с.

88. Толоконников Л.А., Маркин А. А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Пробл. мех. деф. тв. тела, Калинин. 1986. - с. 49-57.

89. Томленов А. Д. Теория пластического деформирования металлов // М., Металлургия. 1972. - 408с.

90. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Некоторые эффективные решения задачи о скольжении металла в слое // Прикл. мех. 1990, 26, № 9. - с. 75-82.

91. ЭО.Томсен Э., Янг К., Кобояши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов // М., Машиностроение. 1969. 503с.

92. Трикоми Ф. Интегральные уравнения // Изд. ИЛ, М., I960, 300с.

93. Тутышкин Н.Д. Осадка полосы между плоскопараллельными плитами // Изв. вузов. Машиностроение. 1982, № 5. - с. 33-37 .

94. Тутышкин Н.Д. Осесимметричное сжатие тонкослойного пластического материала // В сб. «Иссл. в обл. пласт, и обраб. мет. давлением». Тула, 1984. - с. 80-85.

95. Унксов Е.П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металла давлением // М., Машгиз. 1955. -280с.

96. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров B.JI. и др. Теория пластических деформаций металлов // М., Машиностроение. -1969. 503с.

97. Хилл Р. Математическая теория пластичности // М., Гостехиздат. -1956. 407с.

98. Оихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Изд. Наука, 1969, т. 2., 800с. ЮО.Флитман JT.M. Пограничный слой в потоке пластической среды вблизи шероховатой поверхности //Прикл.матем. и мех.- 1985,49,^4.- с.ббЗ- 669.