Нестационарные волны в упругих моментных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Лай Тхань Туан

• Лай Тхань Туан
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лай Тхань Туан

Введение

Глава 1. Постановка нестационарных осесимметричных задач для моментных сред

§1.1. Современное состояние исследований.

§1.2. Уравнения движения и граничные условия для среды Коссера

§ 1.3. Уравнения движения и граничные условия для псевдоконтинуума Коссера.

§ 1.4. Уравнения осесимметричного движения для псевдоконтинуума

Коссера в сферической системе координат.

§1.5. Плоские и сферические волны расширения-сжатия в псевдоконтинууме Коссера.

Глава 2. Распространение нестационарных возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера

§2.1. Постановка задачи и представления решения в виде рядов.

§2.2. Решение в пространстве преобразований Лапласа.

§ 2.3. Предельный переход к теории упругости.

§ 2.4. Асимптотическое представление решения в окрестности начального момента времени.

§ 2.5. Пример расчетов.

Глава 3. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера

§ 3.1. Постановка задачи и представления решения в виде рядов.

§ 3.2. Решение в пространстве преобразований Лапласа.

§3.3. Предельный переход к теории упругости.

§ 3.4. Оригиналы компонент напряженно-деформированного состояния.

§3.5. Пример расчетов.

Глава 4. Распространение нестационарных возмущений от границы сплошного шара

§4.1. Постановка задачи.

§4.2. Решение в пространстве преобразований Лапласа.

§ 4.3. Предельный переход к теории упругости.

§ 4.4. Асимптотическое представление решения в окрестности начального момента времени.

§4.5. Пример расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные волны в упругих моментных средах»

В настоящее время развитие современной науки и техники требует точного знания процессов деформирования не только «традиционных» материалов, но и материалов с усложненной структурой, в том числе таких, для которых деформация среды описывается не только вектором перемещения, но также вектором поворота. Среду, моделируемую таким образом, сегодня часто называют средой Коссера, а за теорией в литературе закрепились названия моментной, несимметричной, а также микроструктурной теории упругости.

Общая теория такой несимметричной упругости впервые была разработана братьями Коссера (Э. и Ф. Коссера) в 1910 г [97]. Согласно концепции братьев Коссера, учитывающей вращательное взаимодействие частиц материала, при изучении напряженного состояния твердого деформируемого континуума необходимо наряду с обычными напряжениями вводить в рассмотрение моментные напряжения, образующие, вообще говоря, несимметричные тензоры.

Как отмечено в работе [68], модель классической теории упругости хорошо совпадает с экспериментами, проводимыми для конструкционных материалов (сталь, алюминий, бетон) при напряжениях, остающихся в пределах упругости материала. Значительное различие между теорией и экспериментом возникает в тех случаях, когда существенными являются градиенты напряжения. Это имеет основное значение при концентрации напряжений вокруг отверстий и выточек. Расхождение между экспериментом и теорией появляется также в задачах о колебаниях, при распространении волн и при вынужденных высокочастотных (ультразвуковых) колебаниях.

Это происходит из-за того, что при высокочастотных колебаниях и достаточно малых длинах волн неизбежно сказывается влияние микроструктуры материала. Наконец, теория симметричной упругости не описывает с необходимой точностью явления, происходящие в зернистых 4 средах и при прохождении акустических волн через кристаллы, поликристаллические структуры и полимеры.

В моделях моментной теории упругости напряженное состояние описывается несимметричным тензором напряжений, поэтому упругие тела характеризуются большим числом упругих констант. Необходимость подобного усложнения нередко оправдывается тем, что с помощью констант классической теории упругости (и пьезоэлектрических) невозможны трактовки, например, аномального пъезоэффекта в кварце, дисперсии упругих волн в сплошной среде, а также упругих свойств кварца, алмаза, дигидрофосфата аммония и других кристаллов [4]. Потеря точности в классической механике континуума может происходить по следующей причине. Если ищется реакция тела на внешнее физическое воздействие, характерный размер которого соизмерим со средним размером зерна или молекулы в теле, то зернистые или молекулярные составляющие тела возбуждаются индивидуально. В этом случае должны приниматься во внимание внутренние движения составляющих. Это становится особенно ярко выраженным в связи с распространением волн с большими частотами или с малыми длинами волн. Ограниченность информации о материальных константах сред с микроструктурой является одним из основных факторов, сдерживающих изучение моделей «моментных» сред. А это, в свою очередь, препятствует внедрению таких моделей в практику расчетов динамических и прочностных характеристик композиционных и поликристаллических материалов.

Несмотря на эти трудности, интерес к несимметричной теории упругости значительно возрос за последнее время, и различные ее аспекты стали предметом изучения многих авторов. Можно выделить несколько направлений развития несимметричной теории упругости, отличающихся способом описания поворота частиц: Теория среды со «стесненным вращением» (псевдоконтинуум Коссера), теория среды Коссера, континуум

Леру, микроморфная среда Миндлина-Эрингена и прочие. В теории 5 псевдоконтинуума Коссера предпологается зависимость вектора поворота от ротора перемещения подобно тому, как это имеет место в классической теории упругости [29,36,68]. При этом имеется одна независимая кинематическая неизвестная - перемещения и тензоры напряжений и моментных напряжений остаются несимметричными. Причем антисимметричная часть напряжения и симметричная часть моментного напряжения не определяются напрямую из физических уравнений. Этот вариант несимметричной теории понижает ее полноту, так как число физических констант для изотропного упругого тела сокращается до четырех. Получаемая при этом структура уравнений такова, что если, в частности, на поверхности упругого тела заданы перемещения, то не удается произвольно задать нормальную составляющую вектора поворота. Однако, несмотря на эти недостатки, теория псевдоконтинуума Коссера хорошо развита.

В настоящее время обобщенные континуумы вызывают как теоретический, так и практический интерес и заслуживают внимания не только теоретиков, но и экспериментаторов, специализирующихся в различных отраслях механики и физики. Актуальность исследований повышает и то обстоятельство, что, в сущности, у всех природных и искусственных материалов и систем проявляются взаимодействия механических процессов различного пространственного масштаба. Эти обобщенные континуумы применяются при разработке новых металлургических технологий, позволяющих синтезировать искусственные материалы с управляемой микроструктурой. Они помогают прогнозировать поведение таких хрупких материалов, как бетон или лед. Некоторые методы технической диагностики и неразрушающего контроля основываются на усредненных материальных свойствах обобщенных континуумов. На моделирование, базирующееся на концепциях обобщенных континуумов, возлагаются большие надежды для успешного и скорейшего развития нанотехнологий. Обобщенные континуумы, такие как микрополярные или 6 ориентированные материалы, микроморфный континуум, высокоградиентные материалы, тела со слабыми или сильными нелокальными взаимодействиями, также привлекаются при разработке интегральных многомасштабных вычислительных процедур. Подобные компьютерные технологии имеют целью объединение различных пространственных масштабов в одной численной схеме. Начало берется в квантомеханическом описании, затем осуществляется моделирование процессов на атомарном, молекулярном, микроскопическом и, наконец, на континуальном масштабе.

Из приведенного в § 1.1 обзора современного состояния исследований в этой области следует, что к настоящему времени недостаточно изучен ряд нестационарных задач для моментных сред (особенно для моментных сред со стесненным вращением) в случае сферических границ раздела, в том числе задачи о распространении нестационарных возмущений от сферической полости, от границы сплошного шара и о дифракции нестационарных волн на сферической полости и т.д.

Целью работы являются постановка и построение аналитических решений двухмерных задач о распространении нестационарных осесимметричных граничных возмущений в «неклассической» упругой среде со сферическими границами, в качестве модели которой выбран один из вариантов несимметричной теории упругости - псевдоконтинуум Коссера.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Лай Тхань Туан

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты.

1. С помощью представления искомых функций в виде рядов по полиномам Лежандра и преобразования Лапласа получены решения новых нестационарных осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений в псевдоконтинууме Коссера со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар).

2. Проведено исследование влияния на напряженно-деформированное состояние среды различного типа поверхностных возмущений (кинематических и силовых).

3. С использованием результатов для задачи о распространении поверхностных возмущений построено решение новой задачи о дифракции волны расширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера.

4. Для изображений преобразования Лапласа, содержащих множители в виде экспонент с радикалами, разработан алгоритм обращения для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра, основанный на разложении изображений в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, что соответствует степенным рядам в окрестности начального момента времени. Построена и реализована методика определения коэффициентов этих рядов.

5. Проведено численное исследование сходимости в полученных решениях рядов по полиномам Лежандра и степенных рядов по времени.

6. Выполнен предельный переход в полученных решениях к классической теории упругости. Показано совпадение с известными результатами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лай Тхань Туан, 2012 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979. - 830 с.

2. Адамов А. А. О гипотезе однородности, масштабных параметрах длины и краевом эффекте для изотропного континуума Коссера // Мех. композиц. матер, и конструкций. 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 329-346.

3. Атоян А. А., Саркисян С. О. Задача динамики тонкой пластинки на основе несимметричной теории упругости // Изв. АН Армении. Мех. 2004. - Т. 57. - № 2. - С. 18-33.

4. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметричной упругости. Учет внутреннего вращения // ФТТ. 1964. - Т. 6. - Вып. 9. - С. 2689-2699.

5. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. - Т. 2. - Вып. 7. - С. 1399-1409.

6. Баскаков В. А., Бестужева Н. П., Кончакова Н. А. О нелинейных уравнениях динамики термоупругих микрополярных сред // Воронеж, гос. техн. ун-т. Воронеж. 1998. - С. 5.

7. Белоносов С. М. Моментная теория упругости: (Статика). Владивосток: Дальнаука, 1993.- 148 с.

8. Большаков В.И., Андрианов КВ., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. -Днепропетровск: "Пороги", 2008. 196 с.

9. Бояндин В. С., Козак А. Л. Моментная теория деформирования железобетона с трещинами. Киев: Киев, инж.-строит. ин-т, 1989. - 50 с.

10. Бровко Г. Л., Иванова О. А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2008. - № 1. - С. 22-36.

11. Бровко Г. Л. Об одной конструкционной модели среды Коссера // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2002. - № 1. - С. 75-91.

12. Бурак Ярослав, Мороз Галина. Краевые задачи локально-моментной теории упругости. Вариационные формулирования. Крайов1 задач1 локально-моментно! теорн пружность Вар1ацшш формулювання // Ф1з.-мат. моделюв. шф. технол. 2004. - № 1. - С. 9-19.

13. Бытев В. О., Слезко И. В. Решение задач асимметричной упругости // Вестн. СамГУ. 2008. - № 6. - С. 238-243.

14. Ванин Г. А. Концентрация напряжений в моментной теории упругости // Прикл. механика. 2007. - Т. 43. - № 1. - С. 66-76.

15. Ванин Г. А. Моментная механика и обобщения // Проблемы механики: Сборник статей к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит.-2003.-С. 156-170.

16. Ванин Г. А. Моментная термодинамика неоднородных сред // Достижения и задачи машиноведения: К 70-летию академика Константина Васильевича Фролова. М.: Ин-т машиновед. УрО РАН, 2006. - С. 192-206.

17. Варыгина М.П., Садовская О.В. Параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости // Весник КрасГУ. "Физико-математические науки". 2005. - № 4. - С. 211-215.

18. Васильев А. А. Структурные и обобщенные континуальные модели тел

19. Гарагаш И.А., Николаевский В.Н. Механика Коссера для наук о земле // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - № 4. - С. 44-66.

20. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах: Учеб. пособ.: Для вузов . М.: Физматлит, 2004. - 472с.

21. Горшков А.Г., Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошных среды: Учебник для вузов М.: Наука, 2000. -214 с.

22. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1990. - 264 с.

23. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз, 1963. 1108 с.

24. Григорьев Ю. М. Аналитическое решение задачи о равновесии прямоугольника в моментной теории упругости // Вестн. Якут. гос. ун-та. -2007. Т. 4. - № 4. - С. 19-26.

25. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. - 467 с.

26. Ерофеев В.И. Братья Коссера и механика обобщенных континуумов // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т. 2. - № 4. - С. 5-10.

27. Ерофеев В.И. Волновые прцессы в твердых телах с микроструктурой. -М.: Изд-во МГУ, 1999. 328с.

28. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Шешенин С.Ф. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стесненным вращением // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - № 4. -С. 67-75.

29. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Макромеханическое моделирование упругой и вязкоупругой сред Коссера // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - № 2. - С. 40-47.

30. Ерофеев В. И., Потапов А. И. Нелинейные продольные волны в упругих средах с моментными напряжениями // Акуст. ж. 1991. - Т. 37. - № 3. - С. 477-483.

31. Ерофеев В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой // Прикл. механика (Киев). 1993. - Т. 29. - № 4. -С. 18-22.

32. Зеленина А. А., Зубов Л. М. Одномерные деформации нелинейно упругих микрополярных тел // Известия РАН. Мех. тверд. Тела. 2010. - № 4. - С. 97106.

33. Илюхин А. А., Тимошенко Д. В. Построение основных соотношений одномерной микрополярной теории упругих стрежней // Изв. Сарат. гос. унта. Н. Сер. Мат. мех. информат. 2008. - Т. 8. - № 4. - С. 52-61.

34. Койтер В.Т. Моментные напряжения в теории упругости // Механика: Период, сб. перев. иностр. статей. 1965. - № 3. - С.89-112.

35. Корепанов В. В., Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Аналитические и численные решения статических и динамических задач несимметричной теории упругости // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 5. -С. 77-90.

36. Корепанов В. В., Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Экспериментальные исследования «моментных» эффектов придеформировании упругих тел // Молодеж. наука Прикамья. 2004. - № 4. -С. 122-130.

37. Кулеш М. А., Грекова Е. Ф., Шардаков И. Н. Задача о распространении поверхностной волны в редуцированной среде коссера // Акуст. ж. 2009. -Т. 55.-№2.-С. 216-225.

38. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Улитин М. В., Шардаков И. Н. Анализ волнового решения уравнений эластокинетики среды коссера в случае плоских объемных волн // Прикл. мех. и техн. физ. 2008. - Т. 49. - № 2. - С. 196-203.

39. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2007. - № 4. - С. 100-113.

40. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Докл. РАН. 2005. - Т. 405. -№2.-С. 196-198.

41. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. О свойствах поверхностных волн в упругой среде Коссера // Математическое моделирование систем и процессов: Сборник научных трудов. Пермь: ПГТУ. -2006.-Вып. 14.-С. 109-113.

42. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках континуума Коссера // Прикл. мех. и техн. физ. 2007. - Т. 48. - № 1. - С. 143-150.

43. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2002. - № 5. - С. 69-82.

44. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера // Прикл. мех. и техн. физ. 2005. - Т. 46. - № 4. - С. 116-124.

45. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. М.: Наука, 1975. - 416 с.

46. Лай Тханъ Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. -Т. 17. -№ 2. - С. 184- 195.

47. Лай Тханъ Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Электронный журнал "Труды МАИ". -2012. -№ 53. Интернет-адрес: www.mai.ru/science/trudy/.

48. Леонов А.В. Асимптотический подход к осреднению неоднородной среды Коссера // Современные наукоемкие технологии. 2010. - № 9 - С. 106-107.

49. Леонов А. В. Нахождение определяющих соотношений несимметричной теории упругости путем осреднения неоднородного упругого материала // Вестн. ТГТУ. 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 625-631.

50. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

51. Матвеенко В. П., Кулеш М. А., Улитин М. В., Шардаков И. Н. Волновая динамика упругой линейной среды Коссера // Проблемы современной механики: к 85-летию со дня рождения академика Г. Г. Черного: Сборник. -М.: МГУ; М.: Омега-Л, 2008. С. 307-322.

52. Миндлин Р.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений // Механика: Сборник переводов. 1964. - Т. 85. - № 4. - С. 115128.

53. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика: Сборник переводов. 1964. - Т. 86. - № 4. - С. 129-160.

54. Миндлин Р.Д., Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости // Механика: Сборник переводов. 1964. - Т.86. - № 4. - С. 80-114.

55. Мутафян М. Н., Саркисян С. О. Асимптотические решения краевых задач тонкого прямоугольника по несимметричной теории упругости // Известия АН Армении. Мех. 2004. - Т. 57. - № 1. - С. 41-58.

56. Николау В. И. Моментная теория упругости (Развитие, анализ, приложения). Одесса: Астропринт, 2006. - 352 с.

57. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872с.

58. Омаров С. Е. Способ определения материальных функций в линейной моментной теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. - 2009 - № 5. - С. 3741.

59. Палъмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. - Т.28. - Вып.З. - С. 401-408.

60. Палъмов В.А. Плоская задача теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. - Т.28. - Вып. 6. - С.1117-1120.

61. Палъмов В.А. Приложение теории обобщенного континуума к проблеме пространственного затухания в сложных механических системах // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - № 4. - С. 105-110.

62. Победря Б. Е. О моментной статической задаче в напряжениях // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2011. - № 1. - С. 96-98.

63. Победря Б. Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды // Вестн. МГУ. Сер. 1. - 2005. - № 1. - С. 54-59, 73.

64. Победря Б. Е., Леонов А. В. Новая постановка задачи несимметричной теории упругости // Вестн. ТГТУ. 2010. - Т. 16. - № 1. - С. 108-118.

65. Победря Б. Е., Омаров С. Е. Определяющие соотношения моментной теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. - 2007. - № 3. - С. 56-58.

66. Садовская О. В. Численное решение пространственных динамических задач моментной теории упругости с граничными условиями симметрии // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 2009. - Т. 49. - № 2. - С. 313-322.

67. Садовский В. М., Садовская О. В., Варьггина М. 77. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментных средах // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. - Т. 2. - № 4. - С. 111-121.

68. Саркисян A.A. Свободные колебания микрополярных упругих тонких балок // Известия национальной академии наук Армении. 2010. - Т. 63. - № 3.-С.41-51.

69. Смолин И.Ю. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне // Математическое моделирование систем и процессов. 2006. - № 14. - С. 189-205.

70. Смолин И.Ю. Численное решение некоторых двумерных задач для упругопластической микрополярной среды // Весник ПГТУ. Математическое моделирование систем и процессов. 2007. - №15. - С. 142-155.

71. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики: Учебное пособие. М: Изд-во МГУ, 1999. - 798 с.

72. Тупин P.A. Теории упругости, учитывающие моментные напряжения // Механика: Сборник переводов. 1965. - № 3. - С. 113-140.

73. Угодчиков А. Г. Моментная динамика линейно-упругого тела // Докл. АН (Россия). 1995.-Т. 340.-№ 1.-С. 56-58.

74. Улуханян А. Р. Динамические уравнения теории тонких призматических тел с применением разложения по системе полиномов Лежандра // Известия РАН. Мех. тверд, тела. 2011. - № 3. - С. 161-177.

75. Хмиадашвили М. А., Схвитаридзе К М., Бицадзе Р. Г. Краевые задачи моментной теории упругости для шара // Пробл. мех. 2005. - № 3. - С. 7479.

76. Чкадуа О. О., Хамза Ф. Исследование основных задач моментной теории упругости для анизотропных сред // Сообщ. АН ГССР. 1987. - Т. 128. - № 3.-С. 469-472.

77. Шардаков И.Н., Кулеш М.А. Построение и анализ некоторых точных аналитических решений двумерных упругих задач в рамках континуума Коссера // Вестник ПГТУ. Математическое моделирование. Пермь: ПГТУ. -2001.-№ 9.- С. 187-201.

78. Birsan Mircea. Некоторые результаты исследования задач динамики термоупругих оболочек Коссера с полостями // Mech. Res. Commun. 2006. -V. 33.-№2.-P. 157-176.

79. Birsan Mircea. Температурные напряжения в цилиндрических упругих оболочках Коссера // Eur. J. Mech. А. 2009. - V. 28. - № 1. - P. 94-101.

80. Cao D. Q., Tucker Robin W. Нелинейная динамика упругих стержней на основе модели Коссера: Теория и численное моделирование // Int. J. Solids and struct. 2008. - V. 45. - № 2. - P. 460-477.

81. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: A. Hermann et fils, 1909.-226 p.

82. Das T. K, Sengupta P. R. Влияние моментных напряжений на распространение волн в вязкоупругом слое // Rev. roum. sei. techn. Ser. Mec. appl. 1991. - V. 36. - № 1-2. - P. 49-59.

83. Gheorghita Vitali. Фундаментальные решения в линейной микрополярной теории упругости // Bui. Inst, politehn. Iasi. 1985. - supl.sec. 1. - P. 263-268.

84. Han S. Y., Narasimhan M. N. L., Kennedy T. С. Динамическое распространение трещины конечной длины в микрополярной упругой среде //Астамесн. 1990.-V. 85.-№3-4.-Р. 179-191.

85. Kumar Rajneesh, Gupta Rajani Rani. Распространение волн в трансверсально-изотропной моментно-термоупругом пространстве // Int. Commun. Heat and Mass Transfer. 2010. - V. 37. - № 10. - P. 1452-1458.

86. Kumar R., Sharma J. N. Отражение плоских волн от границы термоупругого полупространства, моделируемого моментной упругой средой без диссипации энергии // Int. J. Appl. Mech. and Eng. 2005. - V. 10. - № 4. -P. 631-645.

87. Kumar Rajneesh, Singh Ranjit, Chadha Т. К. Метод собственных значений для второй динамической задачи теории микрополярных упругих тел // Indian J. Pure and Appl. Math. 2003. - V. 34. - № 5. - P. 743-754.

88. Liu Jun, Huang Ming, Ge Xiu-run. Решение задачи о концентрации напряжений, учитывающее влияние моментных напряжений // Shanghai jiaotong daxue xuebao J. Shanghai Jiaotong Univ. 2001. - V. 35. - № 10. - P. 1421-1425.

89. Muhlhaus H.-B., Triantafyllidis Th. Поверхностные волны в слоистом полупространстве с изгибной жесткостью // Ground Motion and Eng. Seismol. Amsterdam e. a. 1987. - P. 277-290.

90. Nistor I. Обобщенная теория термоупругих сред Коссера // Bui. Inst, politehn. Iasi. Sec. 1. 1991. - T. 37. - № 1. - C. 89-96.

91. Saxena Hirdeshwar S., Dhaliwal Ranjit S. Приложение метода собственных чисел к осесимметричной связанной микрополярной термоупругости // Bull. Pol. Acad. Sci. Techn. Sci. 1990. - T. 38. - № 1. - C. 7-18.

92. Shanjie Zhang, Jianming Jin. Computation of special functions. New York: John Wiley & Sons, 1996. - 740 p.

93. Suiker A. S. J., Metrikine A. V., De Borst R. Сравнение характеристик распространяющейся волны в модели континуума Коссера с соответствующими величинами в модели дискретной решетки // Int. J. Solids and Struct. 2001. - V. 38. -№ 9. - P. 1563-1583.

94. Tomar S. К. Распространение волн в моментно-упругом слое между жидким и моментно-упругим полупространствами // Int. J. Appl. Mech. and Eng. 2007. - V. 12. - № 1. - P. 255-262.i