Нестационарные внутренние переходные слои в модели реакции-диффузии с вырожденными точками равновесия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Ермакова Кристина Евгениевна

• Ермакова Кристина Евгениевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Ермакова Кристина Евгениевна

1.1 Теорема Тихонова

1.2 Асимптотические методы

1.3 Метод дифференциальных неравенств

1.4 Сингулярно возмущенные задачи с кратными корнями вырожденного уравнения

2 Нестационарные контрастные структуры с корнями неце-

гл гл и л Л

лои кратности в однородной и неоднородной среде

2.1 Постановка задачи

2.2 Однородная среда

2.2.1 Однозначная разрешимость однородной задачи для уравнения реакции-диффузии с нелинейностью, имеющей корни дробной кратности

2.2.2 Асимптотика переднего участка фронта

2.2.3 Верхнее решение в окрестности переднего участка фронта

2.2.4 Нижнее решение в окрестности переднего участка фронта

2.2.5 Упорядоченность

2.2.6 Построение нижнего решения через частичную сумму асимптотического ряда

2.2.7 Решение в окрестности заднего участка фронта

2.2.8 Эталонная функция плотности

2.2.9 Устойчивость решения эволюционного уравнения . 44 2.3 Неоднородная среда

2.3.1 Регулярная функция

2.3.2 Функция переходного слоя нулевого порядка

2.3.3 Функции переходного слоя последующих порядков

2.3.4 Построение верхнего решения нулевого порядка

2.3.5 Проверка знакоопределенности оператора в окрестности крайних корней

2.3.6 Проверка знакоопределенности оператора в средней части фронта

2.3.7 Построение нижнего решения

3 Нестационарные контрастные структуры с корнями бесконечно большой кратности в однородной среде

3.1 Постановка задачи

3.2 Профиль передней части фронта ВПС

3.3 Профиль задней части фронта ВПС

3.4 Частный случай 1 - экспоненциально-степенная функция плотности источников

3.5 Частный случай 2 - гауссово-степенная функция плотности источников

3.6 Семейства функций плотности источников для двух частных случаев

4 Численное моделирование

4.1 Дискретная аппроксимация уравнения реакции-диффузии

4.2 Численный эксперимент для задач реакции - диффузии . . 82 4.2.1 Случай функции плотности источников с корнями

конечной произвольной кратности в однородной среде

4.2.2 Случай функции плотности источников с корнями конечной произвольной кратности в неоднородной среде

4.2.3 Случай функции плотности источников с корнями бесконечной кратности в однородной среде

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

В настоящей работе исследуются начально-краевые задачи, основанные на уравнении реакции-диффузии, в правой части которого могут стоять различные гладкие функции, имеющие корни произвольной конечной кратности, большей единицы, в том числе дробной и иррациональной, а также корни с бесконечно большой кратностью вырождения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные внутренние переходные слои в модели реакции-диффузии с вырожденными точками равновесия»

Актуальность темы

На сегодняшний день практически ни один раздел науки не обходится без использования математических моделей. Тем не менее надо понимать, что ни одна математическая модель не может быть идеальной, т.е. учитывать абсолютно все явления, заложенные в процесс, который она описывает. В первую очередь это связано со сложностью решения такой модели, поэтому при её создании очень важно выделить ключевые факторы, влияние которых на процесс весьма существенно, и отделить их от менее значимых, воздействием которых можно пренебречь. Однако нередко оказывается, что те факторы, которые на первый взгляд кажутся нам маловажными, в реальности могут в значительной степени повлиять на решение составленной модели.

Для того, чтобы разобраться в вопросе, можно ли на самом деле пре-

небречь тем или иным фактором и не учитывать его при создании математической модели интересующего нас процесса, следует поставить и решить две задачи, а затем сравнить найденные решения. Первая из них будет включать в себя только те факторы, которые кажутся нам существенными с самого начала (исходная модель), а вторая - еще и те, которые, как думается, можно не учитывать (расширенная модель). В последнем случае неучтенные ранее факторы добавляются в первоначальное уравнение в качестве новых слагаемых с малыми множителями, именуемыми малыми параметрами, а сами эти слагаемые называются возмущениями. Таким образом, расширенная модель является возмущенной относительно первоначальной.

В зависимости от того, какое влияние оказывает возмущение на решение невозмущенной задачи, оно может быть регулярным (решение расширенной модели практически не отличается от решения исходной) или сингулярным (решение возмущенной задачи существенно отличается от решения первоначальной задачи). Сингулярное возмущение говорит о том, что фактор, отвечающий за это слагаемое с малым параметром, хотя на первый взгляд кажется незначительным, в действительности вызывает серьезные изменения в процессе. Таким образом, вопрос о том, чем можно пренебречь при создании математической модели, является очень важным и неоднозначным. Также стоит отметить, что сингулярно возмущенные задачи, как правило, требуют использования более сложных методов для их решения по сравнению с регулярно возмущенными, что является одной из причин их серьезного исследования.

К классу сингулярно возмущенных задач относят дифференциальные уравнения, у которых при старшей производной содержится малый параметр. Нелинейные сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения вызывают глубокий интерес у исследователей, так как они возникают при изучении ряда прикладных задач во многих научных сферах, в частности, в химической кинетике [1], физике полупроводников [2] - [4], астрофизике [5] - [7], биологии [8] - [11] и экологии [12] - [16], социологии [17] и [18], в области нефтедобычи [19] - [21], а также в задачах реакции горения и взрыва [22] и многих других.

Довольно часто решения таких задач обладают областями резкого изменения - внутренними слоями - и называются контрастными структурами. Выделяют контрастные структуры типа ступеньки и типа всплеска. Для контрастных структур типа ступеньки характерно быстрое изменение от одного корня вырожденного уравнения до другого в окрестности точки, если рассматривается одномерный случай, или кривой в случае многомерном. Отличительной особенностью контрастных структур второго типа является близость решения к некоторому корню вырожденного уравнения почти во всей рассматриваемой области за исключением узких областей, в которых решение резко изменяется наподобие дельта-функции, т.е. имеет всплеск.

На сегодняшний день активно изучаются контрастные структуры, возникающие при решении моделей, главное уравнение которых имеет в правой части нелинейность с вырожденными корнями. Необходимость изучения таких задач появилась в химической кинетике при моделиро-

вании быстрых реакций.

Настоящая работа посвящена одномерным начально-краевым задачам, основанным на уравнении реакции-диффузии в однородной и в неоднородной средах, с решениями в виде нестационарных контрастных структур типа ступеньки. В правой части уравнения находится гладкая функция, имеющая три упорядоченных корня, крайние из которых являются вырожденными. Кратность вырождения корня может быть конечной, большей единицы, в том числе дробной или иррациональной, а также бесконечно большой. В последнем случае речь идет о нелинейности, например, в виде экспоненциальной функции, экспоненциально-степенной или гауссовой. В ходе работы показано, что решения рассмотренных задач обладают некоторыми особенностями, которые могут иметь значение в практически значимых приложениях, таких как теория горения, распространение примесей, экология, медицина.

Диссертационная работа представляется к защите по специальности 01.01.03.

Степень разработанности темы

Систематическое изучение сингулярно возмущенных задач началось в 50-е годы прошлого столетия с классических работ А.Н. Тихонова [23] -[25]. Методами, с помощью которых можно исследовать подобные задачи, являются, например, метод регуляризации сингулярных возмущений, метод релаксационных колебаний, метод согласования асимптотических разложений. Один из самых распространенных методов - метод пограничных функций - был предложен А.Б. Васильевой, ученицей А.Н. Ти-

хонова. С помощью указанного метода можно строить асимптотические разложения решений с пограничными и внутренними слоями в ряды по степеням малого параметра.

Однако, стоит заметить, что большие трудности могут возникать при доказательстве существования решения исследуемой нелинейной сингулярно возмущенной задачи, а также в процессе обоснования построенной асимптотики. На сегодняшний день найден подход - метод асимтотиче-ских неравенств [26], [27] —, разработанный Н.Н. Нефедовым, с помощью которого можно доказать теоремы существования, локальной единственности и асимптотической устойчивости решений рассматриваемых задач. Суть метода состоит в конструировании верхнего и нижнего решений на основе построенной ранее формальной асимптотики, после чего на базе метода монотонных итераций доказывается существование точного решения, находящегося между верхним и нижним. В настоящей работе метод дифференциальных неравенств развивается на новые классы сингулярно возмущенных задач.

В последние 10 лет стали активно исследоваться сингулярно-возмущенные задачи, вырожденное уравнение которых имеет кратные корни. Так, например, в работах В.Ф. Бутузова и его учеников [28] - [30] получены серьезные результаты для пограничного слоя в задачах эллиптического типа с кратными корнями, в работах [31] - [33] - в задачах параболического типа с кратными корнями. В вышеперечисленных работах рассмотрены только случаи для кратных корней второго и третьего порядков. В настоящей диссертационной работе результаты для внутреннего пере-

ходного слоя (пограничные слои не рассматривались) распространены на случай корня произвольной конечной кратности, большей единицы, а также на случай корня, имеющего бесконечно большую кратность вырождения.

Цель работы

Целью работы является исследование нестационарных контрастных структур типа ступеньки в сингулярно возмущенных начально-краевых задачах реакция-диффузия с кратными корнями вырожденного уравнения в следующих случаях:

— случай функции плотности источников степенного вида с любым целочисленным, а также дробным и иррациональным показателем в однородной и неоднородной среде;

— случай функции плотности источников экспоненциально-степенного, экспоненциального и гауссово-степенного вида.

Задачи

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

— построить формальную асимптотику решения каждой из рассматриваемых начально-краевых задач для уравнения реакции- диффузии;

— обосновать корректность частичной суммы асимптотического ряда и существование решения с построенной асимптотикой каждой из

исследуемых задач, используя и развивая метод дифференциальных неравенств;

— найти семейство точных решений каждой из рассматриваемых задач для уравнения реакции-диффузии;

— изучить поведение решения вблизи крайних корней вырожденного уравнения и выявить его особенности для каждой из исследуемых задач;

— провести численный эксперимент для решения каждой из поставленных задач, получить соответствующие результаты и сравнить их с аналитическими выкладками.

Научная новизна

Научная новизна заключается в том, что в работе

— впервые применены асимптотические методы к новым классам сингулярно возмущенных задач типа реакция-диффузия с кратными корнями вырожденного уравнения, причем рассматриваемая кратность носит как произвольный конечный порядок, так и бесконечно большой;

— впервые построены асимптотические разложения решений для каждого из указанных классов задач;

— впервые обоснована построенная асимптотика и исследована асимптотическая устойчивость решений для каждого из рассмотренных классов задач с помощью метода дифференциальных неравенств.

Теоретическая и практическая ценность

— Теоретическая значимость работы состоит в решении нескольких принципиально новых задач для уравнения реакции-диффузии с малым параметром, вырожденное уравнение которого имеет корни любой произвольной конечной кратности, большей единицы, либо корни с бесконечно большой кратностью, а также распространении на них метода дифференциальных неравенств.

— Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при создании новых математических моделей в ряде практически значимых приложений, в частности, в теории горения.

Методология и методы исследования

В ходе исследования новых классов сингулярно возмущенных задач был использован асимптотический метод разложения в ряд решений по степеням малого параметра. Данный метод основан на построении формальной асимптотики, которая в дальнейшем при использовании метода дифференциальных неравенств требуется в процессе конструирования верхнего и нижнего решений, необходимых для доказательства существования точного решения, заключенного между ними.

Также в работе приведены результаты, полученные с помощью метода численного моделирования, позволяющего сравнить аналитические выкладки с результатами численного счета.

Основные положения, выносимые на защиту

— Существуют решения типа контрастной структуры с движущимся фронтом для сингулярно возмущенных задач типа реакция- диффузия с вырожденными корнями функции плотности источников, причем кратность может быть как произвольного конечного порядка, так и бесконечно большого.

— Построенные в ходе работы асимптотические разложения решений с внутренним переходным слоем верны для каждого из рассмотренных в диссертации типов задач.

— Решения поставленных задач обладают следующей найденной особенностью: передний и задний участки движущихся фронтов по-разному стремятся к соответствующим стационарным положениям, причем скорость стремления заднего участка к своему стационарному уровню во всех рассматриваемых случаях заметно ниже, чем скорость переднего.

Личный вклад автора

Основные идеи и положения работы изложены в 11 публикациях автора (общим объемом 5,6 п.л.), из них 4 ([34]-[37] в списке публикаций ниже) в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности 01.01.03 — математическая физика. В написанных в соавторстве работах все результаты, представленные в диссертации, получены лично Ермаковой К.Е.

Степень достоверности результатов и апробация работы

Результаты различных разделов диссертационной работы были представлены на следующих научных конференциях:

— "Ломоносов-2016"(2016, Москва);

— Международная научная конференция "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики посвященная 110-летию академика А.Н.Тихонова (2016, Москва);

— "Ломоносов-2018"(2018, Москва);

— "Тихоновские чтения 2018"(2018, Москва);

— 5-я Международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования посвящённая 95-летию со дня рождения Л.Д. Кудрявцева (2018, Москва);

— "Динамика"(2019, Ярославль).

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечиваются строгостью математических доказательств и использованием общепризнанных научных методов.

Структура и объем диссертации

Полный текст диссертационной работы состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 111 страниц, включая 18 рисунков, без таблиц и приложений. Список литературы содержит 78 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении говорится об актуальности работы, ее научной новизне, целях и задачах, а также о теоретической и практической значимости полученных результатов. Приведены основные положения, выносимые на защиту, а также данные об апробации работы.

Литературный обзор оформлен в виде отдельной Главы 1, в которой кратко рассказана история развития асимптотических методов в теории сингулярно возмущенных задач, а также описаны и приведены основные результаты из этой области, близкие к теме диссертационной работы.

Глава 2 посвящена исследованию начально-краевой задачи реакции - диффузии с нелинейностью, имеющей кратные корни произвольного конечного порядка вырождения, в однородной и неоднородной средах.

/

£Пь + Vsux = K£2uxx - f (u, x), (x, t) G П,

<

Ux(a,t) = 0, Ux(b,t) = 0, u(x, 0) = ^o(x), u G С2(П) П Ci(n), П = (a,b) x (0,T), П = [a,b] x [0,T].

Величина u(x, t) может, например, определять температуру среды (для моделей с выделением тепла) или концентрацию активного вещества (для реакции без выделения тепла). Перемещение вещества в данной работе не учитывается, рассматривается только диффузионный перенос.

В данной главе плотность источников тепла или вещества f(u,x) в окрестности точки в которой f x) = 0, пропорциональна некоторой

степени величины (и — р(х)):

/ (и, ж) = С (х)(и — ф))*в.

Нечетная функция

/

и*0 = и при , и > 0,

<

и*° = —(—и) при , и < 0 описывает плотность источников в окрестности особенной точки. Исследуется случай произвольного показателя в > 1, в том числе и нецелочисленного.

К основным результатам главы 2 можно отнести теорему об однозначной разрешимости поставленной начально-краевой задачи реакции-диффузии, а также теорему о существовании классического решения этой задачи.

Теорема о существовании классического решения Для поставленной задачи существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения а(х,Ь,е) и в(х,1,е) соответственно. Если начальное условие заключено между ними, т.е. а(х, 0,е) < и°(х,е) < в(х, 0,е), то задача имеет единственное классическое решение и(х,Ь,е), причем

а(х,1,г) < и(х,1,г) < в(х,1,г)

для всех х € [а,Ь] и £ € [0, Т).

В Главе 3 изучаются начально-краевые задачи реакции - диффузии с нелинейностью, имеющей кратные корни бесконечного порядка вырождения, в однородной среде. Рассмотрены случаи экспоненциально-степенной и гауссово-степенной функций.

eut + Veux = K£2uxx - f (u), (x,t) G П,

<

ux(a,t) = 0, ux(b,t) = 0, u(x, 0) = ^o(x), u G C2(n) П Ci(n), П = (a, b) x (0,T), П = [a,b] x [0,T].

Считается, что f (u) есть гладкая функция, уравнение f (u) = 0 имеет три упорядоченных изолированных корня:

Общий вид рассматриваемой функции можно записать следующим образом:

f (u) = f 1(u) f2 (u) f3 (u),

причем каждая из функций f1;3(u) имеет единственный корень ^>1;3 соответственно, в некоторой окрестности которого верно равенство

f 1;3 (u) = ^u1;3«1;3(Ju1;3),

где ^u1 = u — £u3 = u — a1(^u1) и a3(^u3) - заданные гладкие бесконечно малые положительные функции при £u1;3 ^ 0. В настоящей главе рассматриваются функции, убывающие быстрее любой степени, например,

«1;3М = C1;3|W |в13 в-'^ , 71;3 > 0, что соответствует экспоненциально-степенному случаю, или

«1;3^ ) = C^M^ ;3 в-, Y1;3 > 0,

что соответствует гауссово-степенному случаю.

В ходе проводимых исследований в главе 3 показано, что для уравнения реакции-диффузии, в котором функция плотности источников имеет вырожденные корни, в окрестности которых функция убывает быстрее любой степенной функции, существует решение типа движущейся контрастной структуры, причем передний и задний участки фронта контрастной структуры носят принципиально разный характер убывания: передний имеет экспоненциальную скорость стремления к предельному значению, а задний участок стремится к своему стационарному уровню более медленно. В частности, для случая степенно-экспоненциального корня зависимость получается степенно - логарифмической.

В Главе 4 приведены результаты численного моделирования для всех рассматриваемых в предыдущих главах задач. Показано, что результаты численного моделирования согласуются с аналитическими. Для того, чтобы найти численное решение начально-краевых задач для уравнения реакции-диффузии использовался метод разностных схем [38] - [40]. Для построения разностной схемы был выбран шеститочечный шаблон на прямоугольной равномерной сетке, а для ее решения применялся метод прогонки с итерациями. Оценка погрешности осуществлялась стандартными методами оценки точности решения разностной схемы. Соответствующий код, оснащенный всеми необходимыми атрибутами контроля точности, автоматического выбора шага по пространственной и временной переменным, написан на языке С++ Microsoft Visual Studio.

В заключении сформулированы основные результаты работы и дальнейшие перспективы развития изученной темы.

Глава 1

Обзор литературы

1.1 Теорема Тихонова

В середине 20-го века под влиянием фундаментальных работ академика А.Н. Тихонова [23] - [25] началось интенсивное изучение сингулярно возмущенных задач. Одними из главных результатов его исследований стали формулировка и доказательство теоремы о предельном переходе в начальной задаче для системы ОДУ, в которой некоторые уравнения содержат малый параметр. Впоследствии эта теорема была названа "теоремой Тихонова а система ОДУ, рассмотренная в ней, - "тихоновской системой"[41]:

«г ч «у ,

м— = ^(*,у,С),^ = /(г,у,С),М> 0,

«с «с (1 1)

г(0,м) = ¿(0),у(0,д) = у(0).

Пусть выполнены условия:

У1 Функции ^(г,у,С),/(г, у, С) непрерывны вместе с частными производными по г и у в некоторой области Н = {(у,С) £ ^ = {0 < С < Т, |у| < Ь}, | <«}.

dy

Предположим, что вырожденная система 0 = F(z,y,t),— = f (z,y,t)

dt

имеет изолированные в D корни z = p(y,t).

У2 Функция p(y, t), являющаяся решением вырожденного уравнения, непрерывна, также производная py непрерывна при (y,t) G D. У3 Корень p(y, t) является устойчивым корнем задачи

| = f (p(y,t),y,t), dt (1.2)

y(0) = y(0).

У4 Решение y(t) задачи (1.2) определено на отрезке 0 < t < T и принадлежит множеству D = {0 < t < T, |y| < b}.

У5 Начальное значение z0 принадлежит области влияния корня p(y0, 0) уравнения F(z0,y0,0) = 0.

При выполнении условий У1-У5 решение z(t, ß),y(t, ß) задачи (1.1) существует на [0, T], и имеет место предельный переход

lim ß ^ 0y(t, ß) = y(t), 0 < t < T,

lim ß ^ 0z(t, ß) = p(y, t) = z(t), 0 <t < T.

1.2 Асимптотические методы

Дальнейшее развитие теории сингулярных возмущений продолжилось в работах многих других ученых, в том числе учеников А.Н.Тихонова. В частности, А.Б. Васильева в [42] предложила алгоритм, позволяющий находить асимптотические приближения решений нелинейных сингулярно возмущенных задач с произвольной точностью во всей рассматри-

ваемой области, в том числе вблизи ее границ. Этот асимптотический метод получил название "метод пограничных функций". В монографии [43] показано, каким образом вышеназванный метод и его модификации применяются при построении асимптотик различных задач, многие из которых носят прикладной характер.

Помимо метода пограничных функций Васильевой существуют и другие, позволяющие находить асимптотическое приближение решений сингулярно возмущенных задач. К ним относятся метод согласования асимптотических разложений, разработанный советским математиком А.М. Ильиным [44], [45]; методы типа ВКБ, развитием которых в нашей стране активно занимался ученый В.П. Маслов [46], [47]; метод релаксационных колебаний, предложенный Л.С.Понтрягиным [48], а затем получивший продолжение в работах его учеников Е.Ф. Мищенко и

H.Х.Розова [49], [50]; метод Крылова - Боголюбова [51], [52] и многие другие.

I.3 Метод дифференциальных неравенств

Одной из главных проблем в работе с нелинейными сингулярно возмущенными задачами является доказательство существования решения рассматриваемой задачи и обоснование полученной асимптотики. Сравнительно недавно Н.Н.Нефедовым был разработан и предложен эффективный подход для решения этой проблемы - асимптотический метод дифференциальных неравенств [26], [27], основанный на одноименном методе (метод дифференциальных неравенств), впервые сформулиро-

ванным С.А. Чаплыгиным [53] для начальных задач. Затем метод был развит на краевые задачи, причем одним из первых это сделал японский математик М.Нагумо [54], а еще позже ряд зарубежных ученых, среди которых были П. Файф [55] и Д.Х. Саттингер [56], применили его в работах, посвященных краевым задачам, основанным на дифференциальных уравнениях в частных производных.

Самым сложным этапом при использовании метода дифференциальных неравенств является построение верхнего и нижнего решений для изучаемой задачи. В методе, предложенном Н.Н. Нефедовым, верхнее и нижнее решения конструируются на основе построенной формальной асимптотики решения задачи. В итоге такой подход позволяет не просто доказать существование решения, а также обосновать справедливость полученной асимптотики. Стоит отметить, что асимптотический метод дифференциальных неравенств помог заметно ускорить развитие теории сингулярных возмущений и продвинуться в исследовании многих задач, относящихся к данной области.

Так, например, в [70] рассмотрена сингулярно возмущенная начально-краевая задача, основанная на уравнении реакции-диффузии:

г / , 1 су d u du , ,

L[u(x, t, e)] = e2- £~öt - g(u, x,e) = 0, x e (a,b),t e (0,T],

(1.3)

du, ч du,7 , _

di(a,t,£) = 0,dx(b,t,e) = 0,t e (0,T],

u(x, 0, e) = u0(x, e), x e (a, b), где e - малый параметр. Получено асимптотическое разложение решений

вида перемещающейся контрастной структуры, и с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств доказаны существование таких решений и справедливость формальной асимптотики.

В работе [57] изучены периодические решения с внутренними слоями сингулярно возмущенных задач для нелинейных параболических уравнений:

ь(и) =е2(дХ? — ) —1 х =

х е (0,1)^ е (— ж,ж)

(1.4)

ди ди

— (°,1,е) = до^)^ (1,г,е) = gí(t),

и(х, t, е) = и(х, t + Т,е), где е - положительный малый параметр, О = (0 < х < 1) х (— t <ж). Предполагаются выполненными условия:

У1: Функции /, д0, д\ - достаточно гладкие в рассматриваемой области, Т-периодические по переменной t.

У2: Вырожденное уравнение /(и,х^, 0) = 0 имеет три решения и = фг(х,1), где % = 1,2,3, причем < < Пусть

0) > 0 (% = 1, 3) и ¡и(<р2(х,1) < 0 при всех (х^) еО.

Без ограничения общности считается, что р2(х^) = 0.

У3: Если I(х^) /(и,х^, 0)(и, то пусть уравнение I(х^) = 0

имеет Т-периодическое решение х = Н^), где 0 < Н^) < 1, для которого

1Х(Н(^^) < 0.

У4: Пусть ф(Х£)/(и,х^, 0)(и > 0 для любого й е (ф\(х,1),ф3(х^)) при х = Н(Ь), — ж< t <ж .

Основным результатом работы стала теорема существования периоди-

ческой контрастной структуры, в основе доказательства которой лежит асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Теорема: Пусть выполнены условия У1-У4. Тогда при достаточно малых £ существует решение и(ж,£,е) задачи (1.4), для которого справедлива оценка |и(ж,£,е) — Ц"п(ж,£,£)| < (ж,£) € Л, где ип(ж,£,£) - частичные суммы порядка п рядов и(—) и м(+), а постоянная С > 0 не зависит от £.

Примечание: и(—) и м(+) - Т-периодические решения в подобластях и , на которые разбивается область Л кривой х = соот-

ветственно.

Стоит также отметить, что в указанной работе с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств была доказана устойчивость решения в виде периодической контрастной структуры типа ступеньки. В [27] и [58] рассмотрены задачи для эллиптических уравнений, аналогичные данной.

1.4 Сингулярно возмущенные задачи с кратными корнями вырожденного уравнения

Совсем недавно стали активно изучаться сингулярно возмущенные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных с кратными корнями вырожденного уравнения [59] - [65].

Одной из первых в работах [66], [67] была рассмотрена простейшая

сингулярно возмущенная задача, вырожденное уравнение которой содержит двухкратный корень:

£2= (и — ^(х))2, 0 < х < 1, < дх- (1.5)

У(0,£) = У0,У(1,£) = У1,

V

где £ > 0 - малый параметр. Задача исследовалась при следующих условиях:

У1: р(ж) > 0, 0 < х < 1,

У2: ^жж(х) > 0, 0 < х < 1.

Основными результатами проведенного исследования стали построенная с помощью метода пограничных функций асимптотика решения и теорема, доказанная асимптотическим методом дифференциальных неравенств.

Теорема: Если выполнены условия У1 и У2, то решение у(х,£) задачи (1.5) существует и справедливо неравенство:

3

|у (ж,£) — (^(х) + £у1 + П0 + £П1 + Я0 + £Л1)| < С£2, 0 < X < 1,

т.е. остаточный член асимптотики имеет порядок 0(£2).

В работе [68] была рассмотрена более сложная краевая задача, основанная на сингулярно возмущенном дифференциальном уравнении 2-го порядка, на примере которой удалось показать, что кратность корня вырожденного уравнения приводит к качественному изменению асимптотики решения:

д2и

£2^1Т = /(и,х,£), 0 < х < 1, < дх- (1.6)

и(0,£) = М0,М(1,£) = М1, 24

где £ > 0 - малый параметр /(и, х,£) - бесконечно дифференцируемая функция.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ермакова Кристина Евгениевна, 2020 год

ности источников:

У5 Найдутся р12, р23 такие, что

р1 < р12 < р2, (2.11)

р2 < р23 < р3, (2.12)

¡V (р12)=0, ¡V (р23)=0, (2.13)

¡V(у) > 0 при р1 < V < р12 и при р23 < V < р3, (2.14)

¡V (у) < 0 при р12 <у < р23. (2.15)

У6

^2 < ^23, (2.16)

где

Гф 2 Гф3

■к2 = ¡(у)(у, ^23 = — ¡(у)(у. (2.17)

«У ф! «/^2

Теорема 2.1 Пусть выполнены условия У1-6. Тогда существует единственное значение W, такое, что уравнение (2.6) с указанными условиями (2.7) примыкания к уровням р1;3 при х ^ имеет решение. Выполнено неравенство W < 0. Это решение у(х) является возрастающей функцией на всей области определения.

Доказательство

Доказательство будет следовать из серии утверждений, каждое из которых вытекает из свойств полей направлений на плоскости, детально изложенных и обоснованных в [73].

(1) Пусть W < 0. Применим метод, являющийся развитием метода стрельбы [38]. Условие (У1) гарантирует, что в области р1 < у < р3,

р > 0 на плоскости ^,р) задано гладкое поле направлений Р :

Р („,р,ж ) = £ = —Жр + 7 ("), (2.18)

«V кр

которое определяет двупараметрическое семейство Ь(р0, W) интегральных кривых уравнения первого порядка (2.18). Первый параметр задает начальные данные р(^1) = р0, второй - параметр W.

(2) Из условий (2.2) и (2.7) следует, что интегральная кривая уравнения (2.18), обеспечивающая решение типа контрастной структуры, удовлетворяет условиям р^) ^ +0 и «р/^и ^ — W/к при V ^ +0.

(3) Заметим, что поле направлений удовлетворяет условиям Р > 0 при р > шт(0; /), Р = 0 при р = /(v)/W и < V < Р < 0 при 0 < р < /(v)/W и < V < После выделения интегральных кривых, удовлетворяющих условию примыкания v(—то) = 0, получим однопараметрическое семейство L(W) с параметром W.

(4) Из гладкости /, обеспечиваемой (У1), и из условия (2.18) следует, что L(W) есть гладкое (как функция от W) семейство гладких кривых.

(5) Имеет место равномерный предел L(W) ^ Ь0 при W ^ —0, где Ь0 определяется в явном виде: р^) = /1/2, здесь < V <

, причем ^>4 определяется уравнением /= 0.

(6) Из условия (У6) дисбаланса: J12 < J23, следует, что < <

(7) Каждая кривая семейства L(W) определена на промежутке < V < V(W), где < V(W) < причем р^, W) > 0 на < V < V(W).

(8) Из (2.18) следует, что при фиксированном W < 0 функция р^, W) на кривой ) удовлетворяет условию «р/^и ^ —то при V ^ V(W) — 0.

(9) L(W) есть монотонное (возрастающее) семейство кривых, так что

V(—Wr) есть возрастающая функция от W' = — W, что равносильно условию р(у, —W2) > р(у, —W1) при W2 > W1/ > 0.

(10) Функция V(—W/) является гладкой возрастающей функцией от W/ = — W > 0. Это следует из монотонности семейства L(W).

(11) Найдется такое достаточно большое по модулю отрицательное W// < 0, что интегральная кривая L(W//) не имеет других корней, кроме р1.

(12) Найдется единственное Wo < 0 такое, что ) ^ р3 — 0 при W ^ W0 + 0. Существование W0 обоснуем применением процедуры деления пополам к отрезку //; 0], единственность следует из монотонности семейства L(W).

(13) Функция р(у, W0) из семейства Р(W) удовлетворяет всем условиям, сформулированным в определении фронта контрастной структуры, т.е. является гладкой, удовлетворяет уравнению (2.18) и условиям примыкания к стационарным уровням на р1 +0 и р3 — 0. Единственность решения задачи (2.6) с условиями примыкания вытекает из монотонности семейства L(W).

2.2.2 Асимптотика переднего участка фронта

Пусть значение W задано, р(у) - также заданная функция, и рассмотрим (2.8) как выражение для ¡'(у):

¡ (у) = Wp + к,рру. (2.19)

Рассмотрим ВПС в окрестности передней части фронта, где у(х) примыкает к уровню р1 в однородной среде. Пусть фронт дрейфует со скоро-

стью W < 0 (справа налево), причем выполнено условие монотонности фронта: ух > 0 при всех х. Пусть

V = р1 + ш,

ш ^ +0 при х ^ —то, и в некоторой окрестности значения ш = 0 верно равенство

¡' (р1 + ш) = С\ш*в1, (2.20)

С > 0,01 > 1.

Тогда ш удовлетворяет уравнению

кшхх + Wшx — С^1 = 0. (2.21)

Учитывая условие ш ^ +0 при х ^ —то, получим для определения р(ш) задачу Коши

/

кррш + р^ = С1ш°1, ш > 0,

(2.22)

р(0) = 0.

Мы заменили ш*®1 на шв1, так как в (2.22) верно ш > 0. Решение (2.22) будем строить в виде асимптотического ряда. Используем методику, сформулированную в [72]. Найдем приближение нулевого порядка:

Ро (ш) = (2.23) к

Приближение первого порядка будем искать в виде

Р1 (ш)= ро(ш)+ Р1(ш), (2.24)

где р1(ш) - гладкая функция, такая, что Нш^+0 р^—) = 0. Подставим

ро(ш)

(2.24) в (2.22) и соберем слагаемые с одинаковыми степенями ш, получим

С ш®1

р,и = , (2.25'

34

так что частичная сумма асимптотического ряда первого порядка будет равна

„ , ч -Wш С ы«1 Р'(Ш) = ~ + (2.26)

Если в (2.19) положить р(ы) = Р1 (ы), то найдем

Ск

/ (ы) = Сы*«1 (1 + ц^1) = Сы*«' (1 + о(1))

при ы ^ +0, что соответствует (2.2).

Эти рассуждения, разумеется, нельзя считать доказательством того, что решение задачи (2.22) действительно имеет вид р(ы) = Р1(ы)(1 + о(1)). Однако мы строго обоснуем это утверждение, используя метод дифференциальных неравенств.

Пусть оператор С действует на функцию ы(х) € С2(—то,х0], ы(—то) = 0, по правилу

Сы = кыхх + Wыx — Сы*«, (2.27)

где в > 1. Тогда уравнение (2.21) движения контрастной структуры с заданной постоянной скоростью W и с граничными условиями примет вид

Сы(х) = 0, ы(—то) = +0, ы(х0) = ы0 > 0, (2.28)

последнее условие определяет сдвиг решения автономного уравнения (2.28) вдоль оси х.

Мы найдем упорядоченную пару верхнего и нижнего решений задачи (2.28) и покажем, что точное решение заключено в коридоре между

ними.

Легко доказать, что найдется такое х1, такое С1 : 0 < С1 < 1, что нижнее решение задачи (2.28), полученное как решение задачи Коши

= р(ы), ы(х0) = С1ы(х1), (2.29)

«х

ы(х) есть точное решение задачи (2.28), на промежутке —то < х < х1 удовлетворяет условию упорядоченности по отношению к точному решению: ы(х) < ы(х). Можно доказать, что найдутся такие значения W, функция /(ы), ы1, ы2, что на промежутке —то < х < х будут верны утверждения: (1) ы(х) < ы(х), (2) Сы > 0. Для доказательства можно взять W = W, ы1 = С1ы(х1), ы2 = С1ы(х1) , /(ы) = 0, причем 0 < С1 < 1.

2.2.3 Верхнее решение в окрестности переднего участка фронта

Так как методика построения верхнего и нижнего решений несколько различается, мы сформулируем теоремы об их существовании раздельно. Верхнее решение ы задачи (2.28) в окрестности переднего участка фронта мы построим как решение краевой задачи

кыхх + Жых — /(ы) = 0, —то < х < х1,

(2.30)

ы(—то) = 0, ыы(х1) = ыы1.

Докажем, что найдутся такие числа ы1, 1/К, функция /(ы), что на некотором промежутке —то < х < х1 функция ы будет верхним решением задачи (2.28).

Теорема 2.2 Пусть }(ш) е С1[0,С 1], }(0) = 0, 0 < / (Со) < С1С0в1 при 0 < Со < Со 1, W > W, и функция Со является решением задачи (2.30). Тогда

1) для любого ( > 0 функция

/З1 (х) = Со (х) + ( (2.31)

на некотором промежутке —то < х < х1 является верхним решением задачи (2.28), т.е. L[в1] < 0.

2) При любом С1 > 0 верхним решением задачи (2.28) является функция

С (х) = С^^1^. (2.32)

Доказательство

1) Разрешимость задачи (2.30) следует из того, что эта задача равносильна задаче Коши для уравнения (2.8) с начальным условием р(0) = 0 и совместно с формулой х(оС) = х1 + рщ для вычисления Со(х) в неявной форме вычисление С[оо] подстановкой (2.30) в (2.27) дает

С[в1] = — W )Сх + о (С) — С1(оо + ()*1 < 0,

так как W — W > 0 и Сох > 0.

2) В частности, можно взять W = W, /(Со) = 0, Со 1 = С1, ( = 0, и тогда (2.32) есть решение задачи (2.30).

2.2.4 Нижнее решение в окрестности переднего участка фронта

Нижнее решение задачи (2.28) также можно построить как решение краевой задачи для уравнения второго порядка. Для обеспечения знакоопределенности оператора придется или потребовать отрицательного сдвига скорости, W < W, или сдвига решения вниз на величину « > 0.

Теорема 3. Пусть функция ы(х) есть решение краевой задачи для

уравнения второго порядка /

кыхх + Wыx — /(ы) = 0, —то < х < х1,

(2.33)

ы(—то) = 0, ы(х1) = ы1, где W < W, /(ы) > 0. Тогда

1) для любого « > 0 функция

а1(х) = ы(х) — « (2.34)

есть нижнее решение задачи (2.28) на некотором промежутке —то <

х < х1.

2) То же верно при W < W и « > 0.

3) Функция

ы(х) = С^^ (х—х')к — « (2.35)

при W < W, « > 0, С1 > 0 на некотором промежутке —то < х < х1 удовлетворяет условию С[ы] > 0 и является, таким образом, нижним решением задачи (2.28).

4) Функция (2.35) будет нижним решением также и при И/ < W, « = 0.

Доказательство

1) Подстановка (2.34), (2.33) в (2.27) дает

СЫ = ^ — ЖК + ¡(Со) — С1(ш — ()*.

Так как первое и второе слагаемые неотрицательны, а при 0 < С < ( третье слагаемое положительно, то найдется некоторый промежуток —то < х < х1, на котором С[а\] > 0.

2) Так как 0 > 1 и W — W > 0, то даже при ( = 0 на некотором промежутке будет выполнено ^ — ]У)йх > С1й*в.

3) Положим О (С) = 0, и тогда решением (2.33) будет функция (2.35).

4) Аналогично, следует из утверждения (2) этой теоремы.

2.2.5 Упорядоченность

Теорема 2.4 Пусть выполнены условия теорем 2.1 и 2.2, 0 < С1 < С1, W < W < W, функции Со и С найдены из (2.32) и (2.35). Тогда функции (2.31) и (2.34) на некотором промежутке —то < х < х1 удовлетворяют условию упорядоченности а1(х) < в1(х) и тем самым образуют упорядоченную пару нижнего и верхнего решений задачи (2.28) на некотором промежутке —то < х < х1. Доказательство

Сравнение (2.35) и (2.32) показывает, что на промежутке —то < х < х[, где х[ = х1 + кХпС1/е1, выполнено условие С(х) < Со(х).

Следовательно, точное решение задачи (2.28) заключено между двумя экспоненциальными функциями вида (2.32) и (2.35). Разумеется, этот вывод верен только в некоторой окрестности —то < х < х1 или, что то

же самое, в некоторой правой полуокрестности точки ы = 0, этого вполне достаточно, так как в этом разделе исследовался передний участок фронта.

2.2.6 Построение нижнего решения через частичную сумму асимптотического ряда

Теорема 2.5 Пусть функция Р1(ы) найдена из (2.26), хо - константа, ы0 > 0. Тогда функция ы(х), найденная из решения задачи Коши первого порядка

(2.36)

¿х = Р1(ы),

ы(хо) = ыо,

является нижним решением задачи (2.28). Доказательство

Решение задачи (2.36) в неявной форме имеет вид

х(ы) — хо = ^Т^ = / + (2.37)

и поэтому существует. Так как /Щ ^ —то при ы ^ +0, то ы(х) определена на промежутке —то < х < х0 и ы(х) ^ +0 при х ^ —то. Теперь прямое вычисление Сы дает

С,2 ы291—1 Сы = > 0

так что ы(х) есть нижнее решение задачи (2.28) при любом ы0 > 0.

Заметим, что функция ы(х), найденная из (2.36) и (2.37), и функция ы(х), найденная из (2.32), которую можно записать в виде, аналогичном

(2.37):

х(Со) — х0

(2.38)

ь0 Р(т)

удовлетворяют условию С(х) < Со(х). Поэтому упорядоченную пару нижнего и верхнего решений можно составить из (2.35) и (2.37), при этом нижнее решение сохраняет знакоопределенность (положительно). Преимущество знакоопределенности нижнего решения сопровождается недостатком, который состоит в том, что нижнее решение теперь выражается в неявной форме (2.37) и при нецелочисленном 0 через элементарные функции, вообще говоря, не выражается.

2.2.7 Решение в окрестности заднего участка фронта

Рассмотрим теперь профиль фронта в окрестности его заднего участка, где и ^ при х ^ +то. Пусть и = + и, ив некоторой окрестности значения и = 0 верно равенство О+ и) = С3и*вз, С3 > 0. Тогда основное уравнение (2.6) примет вид

причем теперь и < 0. Решение в виде бегущей квазиволны будем искать в виде и(х, Ь) = и(х — Wt), W < 0, и для нахождения и получим краевую задачу

как и раньше второе условие (2.39) определяет сдвиг решения автономного уравнения вдоль оси х. Понижение порядка их = р с учетом условия

и + кихх — С3и*вз = 0,

Wиx + кихх — Сзи*вз = 0, и(хзо) = изо, и(+то) = 0, (2.39)

ш < 0 приводит к задаче

крр^ + Wp + С3(-ш)«3 = 0, ш < 0,

(2.40)

р(0) = 0.

Решение задачи (2.40) будем опять искать в виде асимптотического ряда. Главный член р0(ш) найдем из уравнения

Жро(ш) + Сз(-ш)«3 = 0,

получим

ро(ш) = C (-WWy.

Приближение первого порядка найдем в виде (2.24), предполагая выполненными те же условия. Подставим (2.24) в (2.40) и соберем члены с наименьшими показателями ш. В результате найдем

pi = -к0зС| (-W )-3(-ш)2«3-1,

частичная сумма теперь примет вид

п п2( , Л203-1

Р1(ш) = (-ш)^з - ^Сз(-Ш,!з . (2.41)

Поэтому общее решение задачи (2.39) имеет вид ы(х) = У3(х — х3)(1 + о(1)) при х ^ +то, где х3 - параметр сдвига,

= —С——1))1/№—1)дат, *>0. (2.42)

Можно доказать (детали аналогичны переднему участку фронта), что упорядоченная пара верхнего и нижнего решений задачи (2.39) на промежутке х3 < х < +то может быть построена в виде

ы(х) = Уз(х — хз) + ¿3, ы(х) = Уз(х — хз) — ¿3, (2.43)

42

х3 < х3, 53 > 0, 5'3 > 0. Это доказывает, что задний участок фронта имеет степенной характер, заданный выражением (2.42). Выполнены также и условия (2.2). Заметим, что вычисление результата действия оператора

М[и ] = кихх + Wиx — Сз(—и )*°3, (2.44)

на функцию У3(х — х3) из (2.42) дает

МШ = —к0з (—УзГ3'1 < 0.

Поэтому выражение для верхнего решения (2.80) будет корректно также при 53 = 0.

2.2.8 Эталонная функция плотности

Теперь мы опишем класс точных решений уравнения (2.8), соответствующих степенной зависимости (2.2) плотности источников от концентрации в окрестности корней ^1,3. Разобъем область определения функции ¡'(и) на три промежутка: и1 : {—то < и < + 5р\}, и2 : + 5р1 < и < р3 — 5р3}, и3 : {р3 — 5р3 < и < +то} с очевидными ограничениями на 5р133. Зададим сначала функцию р(и) следующим образом. На промежутке и1 используем выражение (2.26):

/ ч ^ С1 (и — Ф1 . _

Р1 (и) = — (и — Р1) + ^ / ; , (2.45) к — УУ 01

на и3 используем (2.41):

Рш (и) = ^ (—и + Ы* — к03 , (2.46)

а на и2 зададим р(и) = р// (и) так, что выполнены условия гладкого

сопряжения в точках < + ¿<1, <3 — ¿<3: /

рП (< + ¿<£1) = р/ (< + ¿<£1), (р// )м(<1 + ¿<£1) = (р/ )и (<1 + ¿<£1),

<

р// (<3 — ¿<3) = р/// (<3 — ¿<3), (р// )и(<3 — ¿<3) = (р/// )и(<3 — ¿<3), причем единственный корень <2 уравнения к(р//)м + Ж = 0, равносильного условию /(и) = 0 в соответствии с (2.19), расположен на и2, и в этой точке функция (2.19) меняет знак:

к(р//)и + ж> 0, и2—) = (<1 + ¿<1,<2),

к(р//)и + Ж< 0, и2+) = (<2,<3 — ¿<3).

После этого найдем /(и) из (2.8), (2.19). Условия на р(и) достаточно слабые, так что имеется широкий класс, из которого можно выбрать функцию, близкую к практически оправданной. Пример полученной из (2.19) функции плотности источников показан на рисунке 2.1 при = #3 = 5/3 и заданном Ж = —0.2.

2.2.9 Устойчивость решения эволюционного уравнения

Пусть V(х) есть точное решение уравнения (2.6), удовлетворяющее условиям примыкания на бесконечности v(—то) = <1, v(+то) = <3, параметр Ж определен из условия существования такого решения. Тогда функция и(х,£) = v(ж — есть точное решение уравнения (2.1). Однако это не вполне описывает поведение системы, подчиняющейся уравнению (2.1), так как решение квазилинейного уравнения может не быть устойчивым по отношению к малому возмущению параметров задачи или начальных

1 "Г 1 —1 - 1 1 1 1 1 ~ГГ \Г 1 ~ г 1 _ Г 1 - т 1 ~ т 1 —Г 1 --1--

л J 1 ! 1 Ч 1 \ L II 1 1 || 1 J

1 —1 - -/--г т г ~ г ~ Г ~ т ~ т Г 1

л __1 _ _J__1__|_ 1\__1_ Д L _ L _ J_ _ L _ _L __L __1__

1 1 1 1 / 1 1 \| 1 ~ Г 1 ~ г 1 1 1

1 1 1 1 1 И

л J 1 ! 1 1 1 L II - ' 1 I 1 J

1 1 1 1 1 1 1 Л 1 1 1 1 H

л __1 _ L J L _ ± _ J. __L __1__

1 1 1 1 1 1 г \ г/ г- Г - т ~ T Г —1 —

л J 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 J

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Рис. 2.1: Пример функции плотности источников f (u) при 9\ = 5/3, в3 = 5/3 и W = -0.2.

условий. Таким образом, обоснование физической корректности решения (2.5) будет состоять в том, что мы покажем, что если начальные условия р0(x) задачи (2.1) мало отличаются от v(x — x0) при некотором x0, то точное решение задачи (2.1) также мало отличается от v(x — x0 — Wt). Для этого мы используем методику, основанную на построении верхнего и нижнего решений в(x,t,e) и a(x,t,s) эволюционного уравнения (2.1). Пусть область определения дифференциального оператора

N [u] = — eut + £ZKuxx — f (u) (2.47)

включает все дважды непрерывно дифференцируемые в области П, непрерывно дифференцируемые в П функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи (2.1). Функции в и а построим так, чтобы выполнялись условия знакоопределенности N [а] > 0, N [в] < 0 и упорядоченности а < в в П. Покажем, что в и а можно выбрать в виде

a(x, t) = v(Ça) — в(x, t) = v(Ce) + e^r, (2.48)

45

где v(x,t) есть решение (2.6)(построенное ранее в явном виде),

=£-1(x - <в(t)^ xa(t) = Хо(t) + qt, хв(t) = xj(t) - £7qt,

X0(t) = Х0о + W0t, константы q> 0, r > 0, y > 0, д > 0 найдем в процессе построения. Найдем результат действия оператора N на функцию в из (2.48):

N [в] = Wv^ - qv^ + к^ ^ - f (v(&) + (2.49)

Покажем, что выполняются условия знакоопределенности оператора и упорядоченности. Проведем доказательство для верхнего решения, для нижнего решения доказательство аналогично. Так как

f (в) = [f (v) + - f (v(&))] + f (v(ев)),

то найдется Z такое, что 0 < Z < 1 и

f (в ) = f (v(ee)) + fv (v(ee) + z^o^r,

поэтому

N [в] = [Wvee + Kvee ев - f ))] - qvee - fv (vfe) + Z^r)^.

Из (2.6) следует, что выражение в квадратных скобках равно нулю, поэтому

N [в] = qvee - fv (v(ee) + Z^r)^r. В области определения функции fv(v) выделим три подобласти: G1 = {^i - < v < + G2 = {^1 + < v < ^3 - ¿^3}, G3 =

{<3 — ¿<3 < V < <3 + ¿<3}. Покажем, что параметры (2.48) можно выбрать так, что N [в ] < 0 в каждой из областей С1;2;3.

Теорема 2.6 Для любых > 1, 03 > 1 найдется е0 > 0 такое, что для всех е < е0 существуют значения г > 0, д > 0, д > 0, 7 > 0 такие, что N [в] < 0, N [а] > 0 и а < в в П.

Доказательство В области С1 из (2.49) найдем

N [в] = — е7 + [/)) — / ^) + емг)]. (2.50)

Обозначим емг = 2 Д v(£), тогда

N [в] = — е7 — [/) + 2 Д v(£)) — / МО)]. (2.51)

дv

Очевидно, —е7< —е7< 0, где = — > 0, причем производная

д^

берется в некоторой точке области С1. Найдем минимальное значение второго слагаемого при заданном фиксированном значении Дv(e) и всех возможных значениях v € С1. Из (2.3) следует, что

ш1п(/^ + 2 Д v) — /(v)) > /(<1 + Дv) — /(<1 — Дv) > 2С1е^01 г01.

Тогда в С1 получим:

N [в] < —е7 дА — 2С1е^01 г01 < 0,

где С1 > 0. Аналогично можно построить оценку ив С3 :

N [в] < —е7 дД$ — 2С3е^03 г03 < 0,

С3 > 0.

Рассмотрим теперь N [в ] в С2. Представим (2.51) в виде

N [в] = —е7 д^ — [/) + Дv(e)) — / ^))] = —е7 д^ — /„ ^*)е*г,

47

где v* - некоторое значение v из промежутка v(£) < ^ < v(£) + Дv(e). Заметим, что ^ вычисляется для некоторого значения £, принадлежащего С2, поэтому найдется такое число > 0, что ^ > в С2, мы использовали монотонность функции v(£) и условие отделенности области С2 от корней <1,3 функции /. Запишем оценку первого слагаемого:

—е7д^ < —е7дД2

и оценку второго:

|ЛМ)е^г| < Мемг, где М = шах(/^) > 0 в области С2. Тогда

N [в] < —е7 дДг + Мемг. (2.52)

Положим д = 7 и наложим ограничение на параметр сдвига д > гМ/Д. Тогда из (2.52) получим N [в ] < 0.

Также можно построить нижнее решение а и доказать, что для него справедливо условие N [а] > 0.

Таким образом, выполнены все условия теоремы, которая является модификацией соответствующей теоремы из [69]:

Теорема 2.7 Для задачи (2.1) существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения а(х,^,е) и в(х,^,е) соответственно. Если начальное условие заключено между ними, т.е. а(х,0,е) < и0(х,е) < в(х,0,е), то (2.1) имеет единственное классическое решение м(х,^,е), причем

а(х,^,е) < м(х,^,е) < в(х,^,е)

для всех х € [а, Ь] и £ € [0, Т).

2.3 Неоднородная среда 2.3.1 Регулярная функция

Пусть теперь плотность источников / зависит также от х: /(и,х), но не зависит от £ (принципиального характера это ограничение не имеет). Покажем, что в неоднородной среде решение уравнения (2.1) с корнями дробной кратности при некоторых ограничениях качественно не отличается от решения в однородной среде и проявляет то же важное на практике свойство заднего участка фронта. Для этого мы используем методику [70]. Мы построим асимптотический ряд, представляющий решение в неоднородной среде, и используем модифицированную частичную сумму этого ряда для представления нижнего и верхнего решений. Решение будем строить в виде суммы регулярной функции и функции внутреннего переходного слоя [75].

Регулярную функцию нулевого порядка щ(х,Ь) найдем из уравнения /(щ(х,Ь),х) = 0. Выберем решение в соответствии с У1 в виде разрывной функции

/

и0-) (х, I) х < хк(Ь),

и0 (х,1) = <

(2.53) и0+)(х,1) х > хк(г),

где и\-\х,1) = (х), и\+\х,1) = р3(х). При х = хк(1) примем щ(х,Ь) равной р2(х). Так как в рамках нашей модели / не зависит явно от £, то регулярные функции первого (т = 1) и всех последующих порядков (т > 1) равны нулю: ит(х) = 0.

2.3.2 Функция переходного слоя нулевого порядка

Теорему 2.1 можно легко обобщить на случай неоднородной среды и сформулировать в следующем виде:

Теорема 2.8 Пусть при всех х* € [а,Ь] справедливы условия У1-6. Тогда существует единственное значение Ж0(х*), такое, что краевая задача

/

+ ^оН = /о(У (£,х*),х*),

(2.54)

V(—то) = <1(х*), V(+то) = <3(х*) разрешима, причем Ж0(х*) < 0. Решение V(£) является возрастающей функцией на всей области определения.

Доказательство производится при произвольно выбранном значении х = х* € [а, Ь] аналогично тому, как была доказана теорема 2.1.

Обозначим решение задачи (2.54) й0(£,х*). Величина Ж0(х*) может также быть найдена из тождества [75]:

/+ТО

(V = f Мх*)^. (2.55)

-ТО ./^(ж*)

Найдем х*(£) из решения задачи Коши:

Лх*

— = ^0(х*), х*(0) = х*, (2.56)

начальное положение фронта КС задается величиной х0 € (а, Ь) или из равносильного уравнения Вольтера:

х*(£) = х0 + / Ж)(х*(г))^г. (2.57)

00

В соответствии с классическим подходом к построению асимптотического ряда [43], функции переходного слоя нулевого порядка 0±(£,£) нахо-

дятся из краевых задач

+ ) = /с(и0±)(хк) + хк) - ми±\хк),хк),

я{(±)(0,г) + и0±)(хк) = Р2(хк), я{0-)(-^) = 0, Q0+)(+то) = о

(2.58)

и условия сшивания производных

Я0-\-0) = Я$(+0). (2.59)

Понижение порядка приводит к уравнению

(±) Г-

(хк) = \ -( !(и, хк)(и)1/2, (2.60)

V К «/^(±)(х*)

которое обеспечивает выполнение условия убывания ) ^ 0 при

£ ^ Учтем, что и0(£) + Q0±)^,t) = V(^,хк(г)), это равенство верно только при условии решения (2.58) совместно с (2.59), (2.56). В растянутых координатах находим V в неявной форме:

Ло(х*) Р(^,хк)

2.3.3 Функции переходного слоя последующих порядков

Метод построения функций переходного слоя последующих порядков принципиально не отличается от изложенного в [76], [77]. Координата точки перехода представляется в виде ряда

т

х(т%,£) = У £к

= £кхк^). (2.61)

к=0

Заметим, что в точке сшивания хк первая производная частичной суммы асимптотического ряда должна быть непрерывна. Скачок производной

можно представить в виде суммы степенного ряда, причем в (—1)-ом порядке непрерывность обеспечивается условием (2.59). В нулевом порядке функция (2.53) имеет скачок производной, равный (<3)х(х*) — (<1)х(х*), который будет скомпенсирован условиями сопряжения функции переходного слоя первого порядка. Функции переходного слоя 1-го порядка

слева и справа от точки перехода находим из краевых задач 2

+ ^0 ^ — Ыи(£ ),х0))0±) (£,*) = д^,*), < ^1±)(±то,^) = 0, (2.62) 01 ;(±0) = —х1 —--Ь х1 — ,

^х ^х

где

з^К,*) = —+ (0,^ + к|±)(^,^), (2.63)

известная функция К1 зависит также от Ж0,х0,х1. Точные выражения для этих функций приведены в работе [76]. Условия разрешимости системы (2.62) приводят к обыкновенному дифференциальному уравнению

= 1 = С1(х0, ^0,х1, (2.64)

причем функция С1 зависит также от моментов функции f и ее частных производных, посчитанных вместе с 00. Функция С1 при выполнении условий 1-4 является дифференцируемой функцией х1, что гарантирует существование и единственность решения (2.64). Последующие члены асимптотического ряда находятся аналогично, скорость т-го порядка находится из условия разрешимости краевой задачи для функции переходного слоя т-го порядка.

2.3.4 Построение верхнего решения нулевого порядка

Покажем теперь, что в неоднородной среде с дробным порядком вырождения крайних корней точное решение эволюционного уравнения (2.1) качественно не отличается от такового в однородной среде, так что существует решение типа перемещающейся квазиволны с такими же особенностями поведения переднего и заднего участков внутреннего переходного слоя, что и для однородной среды. Однако теперь из-за наличия зависимости скорости дрейфа ВПС от координаты несколько изменятся параметры верхнего и нижнего решений. Верхнее решение уравнения (2.1) мы построим, используя функцию переходного слоя нулевого порядка. Пусть

N[u] = —eut + - f (u, x), (2.65)

отличие от (2.47) состоит в том, что теперь имеется зависимость от x. Ограничимся только случаем x > x*(t), альтернатива рассматривается аналогично. В соответствии с (2.54) и (2.58) функция переходного слоя нулевого порядка равна Q0(<^,x*) = V(£,x*) — <3(x*).

Для большей наглядности рассмотрим частный случай, для которого выполнено еще одно условие:

У7: (<з)*(х*) — (^i)x(x*) = 0 на [а,6].

Принципиального характера это условие не имеет, но сильно упрощает обоснование, так как частичная сумма асимптотического ряда нулевого порядка является дифференцируемой функцией. Верхнее решение при

х > хк^) будем искать в виде

в0(х,г) = щ(х) + Qо(£в (х,г),хв (г))+ е" Я0, (2.66)

щ(х) = рз(х), (х^) =

х х в ( ^ )

хв^) = хв(Ъ) + ( Wв(хв(1'))М, (хк) = W(хк) - д, (2.67) Ло

причем в дальнейшем значение константы д > 0 будет найдено.

2.3.5 Проверка знакоопределенности оператора в окрестности крайних корней

Теперь уточним выбор констант, входящих в определение (2.66), (2.67) верхнего решения.

Теорема 2.9 Найдутся такие константы в выражениях (2.66), (2.67), что пара функций а и в являются нижним и верхним решениями уравнения (2.1), выполнены условия знакоопределенности и упорядоченности оператора (2.65).

Доказательство

Для доказательства последовательно рассмотрим окрестность каждого из крайних корней, затем промежуточную область между корнями (включающую средний корень). Найдем N [в ], подставив (2.66) и (2.67)

в (2.65):

N [в] = [Оое ) + - f (<з(хв) + Оо(^в ),хв)]+

+ К£2<3хх - - ^Оох(^о(жв) - (?)-

- [/(^з(х) + Оо(^в, хв) + Г, х) - /(<з(х) + Оо(^в, хв), х)]- [/(<з(х) + Оо(^в,хв),х) - /(<з(хв) + Оо(&,хв),хв)]. (2.68)

Заметим, что из нашего способа построения предполагаемого верхнего решения в вытекает равенство

Оое Ж)(хв) + кОоее - / Ыхв) + Оо (£в ,хв ),хв) = 0.

Определим окрестность = [<з - £з, <з + ] корня <з функции /(и, х) таким образом, чтобы внутри этой области было верно равенство

/ (<з(х) + и, х) = Оз^3 (2.69)

при х € [а, Ь] и |(х> | < £з. Тогда внутри выполнено также равенство

/(^з(х) + Оо(^в, хв), х) - /(<з(хв) + Оо^в, хв), хв) = 0 (2.70) и верны следующие оценки:

|ке2Ыхх| < оз£2, (2.71)

-^Оое < 0, (2.72)

| - еОо*(^о(хв) - $| < е^/М*3, (2.73)

эту оценку можно еще улучшить за счет того, что = р(и). Заметим, что из (2.69) следует, что

аоз" > 0 : ^ € [фз - ¿з + Г,фз + ¿з - Г] /(V + г) - /(V) > О^г)03, (2.74)

55

если 0 < г < 53. Собирая все это вместе, получим

N [в] < £2 С + еС'^в*вз - С3(г)вз. (2.75)

Поэтому найдется такие константы С3 > 0 и е3 > 0 что при выборе

Г = Сз£1/вз (2.76)

сразу при всех х е [а,Ь] и е € (0, е3) будет верным неравенство

N [в] < 0.

Точно так же получим оценку N [в ] < 0 в окрестности ^ = [р\ - 51,р1 + £1] нижнего корня р1, причем в находится аналогично (2.66).

2.3.6 Проверка знакоопределенности оператора в средней части фронта

Пусть теперь = [р1 + 61,р3 - £3]. Из построения предыдущего раздела и условий гладкости / следует, что £1;3 > 0 можно выбрать константами (не зависящими от х*). Можно гарантировать, что найдется такое <2 > 0, что внутри верны неравенства

> й<к, (2.77)

|/(V + г) - I(у)1< С2Г. (2.78)

Из (2.58) и из гладкости / следует также, что найдется такое < > 0, что внутри верно неравенство |х - хв | < е, поэтому

|/Ых) + Qо(íв,хв),х) - IЫхв) + Qо(£в,хв),хв)| < еС. (2.79)

Для N [в] получим оценку

N [в] < £2О2 - + еС? + О2// г,

поэтому найдется такое О2, что при выборе

Я = О2Г = О2£1/03

будет верно требуемое неравенство N [в ] < 0. Наконец, заметим, что У7 гарантирует непрерывность первой производной функции в(х) в точке х*. Мы показали, что (2.66) дает при указанном выборе параметров верхнее решение задачи (2.1).

2.3.7 Построение нижнего решения

Аналогично построим нижнее решение:

и покажем, что N [а] > 0. Начальные условия выберем так, чтобы было выполнено условие стартовой упорядоченности: ха(£о) < хв(£о) (это для фронта положительной полярности: > 0, иначе знак неравенства поменяем на противоположный). Упорядоченность пары (а, в) следует из условия Оое > 0, которое вытекает соответственно из условия р(-и, х) > 0 при всех х € [а, Ь] и V € (<1(х), <з(х)).

Глава 3

Нестационарные контрастные структуры с корнями бесконечно

У У

большой кратности в однородной

среде

При подготовке данной главы диссертации использованы публикации [37] и [78] автора, в которых, согласно Положению о присуждении ученых степеней в МГУ, отражены основные результаты, положения и выводы исследования.

3.1 Постановка задачи

Рассматривается одномерная модель, основанная на уравнении реакции-диффузии с малым параметром в однородной среде:

ewt + Veux = K^Vxx - f (u), (x,t) G П,

(3.1)

Ux(a,t) = 0, Wx(M) = 0, u(x, 0) = (x),

и е С2(П) П С1(П), П = (а,Ь) х (0,Т), П = [а,Ь] х [0,Т].

Будем считать, что /(и) есть гладкая функция, уравнение /(и) = 0 имеет три упорядоченных изолированных корня:

<^2 < ф3.

Общий вид рассматриваемой функции можно записать следующим образом:

/ (и) = 11 (и) /2 (и) /3 (и), (3.2)

причем каждая из функций /1;3(и) имеет единственный корень р>1;3 соответственно, в некоторой окрестности которого верно равенство

/1;3 (и) = 5и1;3а1;3(5и1;3), (3.3)

где 5и1 = и - р1, 5и3 = и - р3, а1(5и1) и а3(5и3) - заданные гладкие бесконечно малые положительные функции при 5и1;3 ^ 0. В настоящей главе будем рассматривать функции, убывающие быстрее любой степени, например,

а^М = С^М*'3в-^, 71;3 > 0 (3.4)

или

а^) = С^М* ;3в-^з/"2, 71;3 > 0. (3.5)

Таким образом выполнены условия, при которых возможно существование решений типа перемещающейся контрастной структуры (КС) [70].

Далее осуществим переход к растянутой переменной с помощью за-

х х (ъ) */,\ мены £ = -, где х (ъ) - положение переходного слоя в момент

е

времени Ъ :

1 д_

дх д£ дх е 59

д2 1 д2

дх2 £2 д£2'

д д д£ 1 dx*(t) д 1~ д

v 7 = —W—

д£ д£ д£ £ dt д£ £ д£ где W - скорость движения фронта. В результате при условии £ > 0

получаем новую задачу, аналогичную (3.1), которая имеет вид —Wu^ + Vu = — f (u), £ E t > 0,

(3.6)

u(—rc>) = <1, u(+rc>) = <3.

Введем обозначение W = W — V, тогда главное уравнение задачи (3.6) перепишется в виде