Нестационарные режимы сопряжённого конвективного теплопереноса в замкнутых областях с локальными источниками энергии различной формы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Гибанов Никита Сергеевич

• Гибанов Никита Сергеевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Гибанов Никита Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

1 Современные исследования термогравитационной конвекции в замкнутых областях с локальными источниками энергии

2 Исследования ламинарных режимов конвективного теплопереноса в замкнутых двумерных областях с локальными источниками энергии различной формы

2.1 Физическая и геометрическая модели

2.2 Математическая постановка задачи

2.3 Модель анализа переноса излучения в диатермичных средах

2.4 Метод расчёта угловых коэффициентов

2.5 Краткое описание метода конечных разностей

2.6 Решение уравнений эллиптического типа для функции тока и плотности потока эффективного излучения

2.7 Постановка граничных условий для функций тока и завихрённости скорости

2.8 Аппроксимация уравнения дисперсии завихрённости скорости

2.9 Аппроксимация уравнения энергии

2.10 Краткое описание метода решёточных уравнений Больцмана

2.11 Аппроксимация транспортных уравнений на основе РМБ

2.12 Постановка граничных условий на основе РМБ

2.13 Тестовые задачи

2.13.1 Естественная конвекция в замкнутой квадратной полости с локальным источником энергии, расположенным вдоль стенки

2.13.2 Естественная конвекция в замкнутой квадратной полости с выпуклым источником энергии

2.13.3 Естественная конвекция и поверхностное излучение в замкнутой квадратной полости

2.13.4 Сопряженная естественная конвекция в замкнутой квадратной полости с теплопроводными стенками

2.13.5 Влияние сеточных параметров

2.14 Результаты численных расчётов

2.14.1 Влияние формы локального изотермического источника энергии на режимы естественной конвекции и поверхностного излучения в замкнутой квадратной полости

2.14.2 Влияние расположения полуцилиндрического источника объёмного тепловыделения на гидродинамику и теплообмен в замкнутой полости

2.14.3 Влияние теплопроводных стенок и тепловыделяющего источника на режимы переноса массы, импульса и энергии внутри полости

2.14.4 Сравнительный анализ метода конечных разностей и метода решеточных уравнений Больцмана на примере решения задачи естественной конвекции в замкнутой полости с локальным источником энергии

3 Численное исследование ламинарных режимов естественной конвекции в замкнутой кубической полости с локальными источниками энергии различной формы

3.1 Физическая и геометрическая модели

3.2 Математическая модель

3.3 Краткое описание метода конечных разностей

3.4 Аппроксимация уравнений Пуассона для компонент векторного потенциала

3.5 Граничные условия для вектора завихрённости

3.6 Аппроксимация уравнений дисперсии завихрённости

3.7 Решение уравнения энергии

3.8 Решение транспортных уравнений методом решёточных уравнений Больцмана

3.9 Постановка и реализация начальных и граничных условий в рамках решёточного метода Больцмана

3.10 Верификация разработанного численного алгоритма

3.10.1 Естественная конвекция в замкнутом дифференциально-обогреваемом кубе

3.10.2 Влияние сеточных параметров

3.11 Численный анализ влияния формы локального источника энергии на режимы естественной конвекции внутри кубической полости

3.12 Влияние геометрических характеристик трапециевидного источника энергии на нестационарные режимы естественной конвекции

3.13 Влияние положения изотермического источника энергии треугольного сечения на термогидродинамические характеристики

3.14 Сравнительный анализ метода конченых разностей и метода решёточных уравнений Больцмана на примере решения задачи естественной конвекции в замкнутом объёме с локальным источником энергии

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные режимы сопряжённого конвективного теплопереноса в замкнутых областях с локальными источниками энергии различной формы»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Явления и процессы в природе и технике так или иначе связаны и сопровождаются переносом тепла и массы. Именно поэтому особенности тепломассообмена занимали и продолжают занимать умы множества учёных. Как известно, выделяют три основных способа передачи тепла: конвекция, кондукция или теплопроводность и излучение [1—4]. В зависимости от типа и особенностей задачи можно рассматривать только один из способов передачи тепла. Например, при расчётах теплоизолированной полости или канала не имеет смысла рассматривать сопряжённую задачу теплообмена. Несмотря на то, что идеальной теплоизоляции на практике добиться очень сложно, вклад кондуктивного механизма теплопередачи в общий теплообмен в такой постановке задачи будет незначительный и в некоторых случаях им можно пренебречь. Следует отметить, что не всегда можно применять те или иные допущения, например, при решении задач, в которых теплопроводность или излучение вносит заметный вклад наряду с конвекцией, нельзя пренебрегать этими транспортными механизмами.

В настоящее время развитие технологий позволяет проводить не только аналитические исследования, но также и вычислительный, и натурный эксперименты. Однако каждый из подобных методов имеет свои недостатки и преимущества [5-8]. Аналитический подход достаточно хорош с математической точки зрения, проведение вычислений не занимает много времени по сравнению с экспериментальными исследованиями. Точность таких решений очень высокая. Однако применительно к задачам неизотермических гидродинамических течений требуется пренебречь конвективными слагаемыми, что может значительно повлиять на получаемые результаты [9]. При этом аналитические решения есть только для узкого круга не очень сложных по постановке задач. Проведение экспериментальных исследований является важной задачей, т.к. полностью отражает реальную картину происходящих процессов без всяких упрощений и приближений. Однако проведение эксперимента требует длительной подготовки и наличия специализированного оборудования, а также знания методик и

подходов к правильной обработке и оценке полученных экспериментальным методом данных [10, 11]. Проведение численных расчётов нестационарных задач требует больших временных затрат, при этом также необходимо использовать некоторые допущения [12, 13]. В результате чего можно сделать вывод о том, что аналитические методы - это наиболее оптимальный выбор, только для узкого класса задач. Для более сложных геометрических и физических постановок необходимо проводить численные или экспериментальные исследования. Если же выбирать между этими подходами, то наиболее приемлемым будет численный метод, однако, необходимо отметить, что отсутствие верификации экспериментальными данными не всегда позволяет корректно интерпретировать полученные численные результаты.

При проведении численных исследований перед учёными предстаёт множество вычислительных методик [12, 14-19]. Необходимо оценить, какой из методов эффективен и удобен как для исследователя, так и для решаемой задачи. В настоящее время все используемые численные методы обладают равными возможностями и могут достаточно корректно моделировать те или иные физические процессы, однако среди них есть и выделяющиеся по какому-либо критерию (моделирование многофазных течений, теплоперенос в областях сложной геометрии, естественная предрасположенность к многопоточным расчётам конвективного теплопереноса и др.). Одним из наиболее активно развивающихся вычислительных методов является решёточный метод Больцмана (РМБ), возникший в результате развития метода LGCA (Lattice Gas Cellular Automata), основанного на применении модели клеточного автомата к задачам течения жидкостей и газов. В структуре РМБ лежит решение дискретного кинетического уравнения Больцмана. Данный подход позволяет моделировать течения однофазных и многофазных сред, в качестве отличительной особенности следует выделить локальность метода, позволяющую естественным образом производить многопроцессорные вычисления.

Естественная конвекция как один из механизмов переноса энергии реализуется в различных инженерных системах, например, в ядерных реакторах,

солнечных коллекторах, тепловых трубах [20-22], а также может быть причиной развития некоторых природных явлений, в частности, вследствие естественной конвекции возникают облака, ветра, циклоны, ураганы [23]. Если есть необходимость в проведении исследований естественно-конвективного теплопереноса в технологических установках или микро и радиоэлектронике, то лучше рассматривать задачи в сопряжённой постановке, так как именно такие задачи более приближены к реальности. Формулировки таких задач отличаются необходимостью введения уравнений теплопроводности в твёрдых ограждающих блоках. Такого рода постановки появляются при расчётах термогидродинамических характеристик в резервуарах и трубах, где толщиной стенок нельзя пренебречь, поскольку они могут играть роль источника или стока энергии. Ещё одним важным моментом является учёт теплового излучения. Все радиоэлектронные компоненты проводят и потребляют электрический ток, который излучает электромагнитные волны, таким образом преобразуя его в тепловую энергию. В этом случае добавляются уравнения для расчёта радиационного механизма переноса энергии. Причём вид уравнений и сложность учёта самого эффекта теплового излучения зависят от выбранной физико-математической модели излучения [24-26].

В связи с развитием области радиоэлектронной техники и общей цифровизации всех сфер человеческой деятельности растут требования к качеству и производительности радиоэлектронных компонентов. С увеличением мощностей электронных систем возрастает и потребление энергии отдельными элементами, большая часть этой энергии преобразуется в тепловую, вследствие чего происходит увеличение средней температуры внутри изделия за счёт развития конвекции, кондукции и излучения. В настоящее время уже разработаны различные эффективные системы охлаждения, отличающиеся возможным диапазоном отводимых тепловых потоков. Наиболее интересными и практически значимыми являются пассивные системы охлаждения. В данном направлении интересны исследования влияния различных факторов, воздействующих на нагрев среды в электронных системах и на температуру самого

тепловыделяющего элемента. Кроме того, к таким факторам можно отнести материалы, из которых изготавливается нагревательный элемент, свойства среды (также могут быть рассмотрены материалы с изменяемым фазовым состоянием), форма и размеры полости или источника энергии, его расположение в блоке электронной техники.

Исследования, проводимые при написании диссертации, были выполнены в рамках государственных заданий № 13.1919.2014/К, № 13.9724.2017/БЧ, № 07502-2020-1479/1, по гранту РНФ № 17-79-20141, по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских учёных МД-6942.2015.8, МД-2819.2017.8, МД-821.2019.8, по проектам РФФИ № 17-58-45-124 ИНД_а, №19-48-703034 мол_а, а также при поддержке стипендии Президента СП-1053.2018.1.

Степень разработанности темы исследования. Задачи естественной конвекции в замкнутых областях с источниками энергии стали особо актуальными с развитием области микро и радиоэлектроники. С появлением высокопроизводительных ЭВМ помимо необходимости в разработке систем охлаждения для отдельных её блоков появилась и возможность проводить численные расчёты на таких ЭВМ. Одними из первых работ в данном направлении являются исследования естественной конвекции в замкнутых областях с нагревательными элементами, роль которых выполняла одна из стенок области или участок такой стенки [27-36]. Проводились исследования влияния угла наклона полости, геометрической формы области исследования, размера и расположения участка нагрева на структуру течения и теплоперенос. Следует выделить работу [37], которая в дальнейшем стала эталоном для верификации разрабатываемых математических моделей и вычислительных процедур.

Следующим этапом исследований является анализ влияния локального источника энергии конечных размеров на термогидродинамические характеристики в полости [38-52]. Получены результаты, отражающие влияние положения такого нагревательного элемента, а также теплофизических характеристик рабочей среды в области и материала тепловыделяющего

источника на эволюцию полей температуры и скорости. В связи с активным применением наножидкостей и пористых вставок в различных технологических установках, исследователи стали уделять внимание вопросам интенсификации теплообмена за счёт использования отмеченных материалов [53-61].

Несмотря на большое количество имеющихся публикаций по конвективному и сложному теплообмену в замкнутых областях с локальными источниками энергии, детальный анализ влияния геометрических особенностей нагревательного элемента до сих пор проведён не был. Остаются открытыми вопросы совместного влияния различных форм источников энергии и их оптимального расположения в полости на термогидродинамические характеристики, как в случае конвективного теплообмена, так и в случае сложного теплообмена в замкнутых областях.

Целью данной диссертации является численный анализ ламинарных режимов сопряжённого естественно-конвективного теплообмена и поверхностного излучения в замкнутой квадратной (двумерная постановка) и кубической (трёхмерная постановка) областях при наличии локальных изотермических и с объёмным тепловыделением источников энергии различных геометрических форм. Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:

• формулировка математической модели сложного теплообмена в замкнутых плоских и пространственных областях с локальными источниками тепловыделения;

• разработка вычислительного алгоритма и программного кода, на основе метода конечных разностей и решёточного метода Больцмана, верификация созданного вычислительного комплекса;

• численный анализ влияния широкого круга определяющих параметров (геометрическая форма источника энергии, приведённая степень черноты внутренних поверхностей, теплопроводность материала нагревателя и ограждающих конструкций, интенсивность течения в рассматриваемой полости) на структуру течения внутри области решения и сравнительный анализ

результатов, полученных с помощью метода конечных разностей и решёточного метода Больцмана, оценка возможности применения решёточного метода Больцмана для решения рассматриваемого класса задач.

Научная новизна:

• сформулированы вычислительные модели термогравитационной конвекции совместно с тепловым излучением и теплопроводностью в твёрдых элементах с учётом влияния формы источника энергии в двумерных и трёхмерных постановках;

• разработаны алгоритмы анализа рассматриваемых процессов с использованием метода конечных разностей и решёточного метода Больцмана;

• получены результаты многопараметрических исследований сложного теплообмена в 2Э и 3Э областях с локальными источниками энергии различных геометрических форм;

• установлены корреляционные зависимости среднего числа Нуссельта от числа Рэлея и формы источника энергии;

• выявлены наиболее оптимальные формы и расположение источника энергии внутри полости.

Теоретическая и практическая значимость работы:

Полученные в процессе написания диссертации результаты вносят вклад в фундаментальную науку и могут быть применены на практике при создании или оптимизации пассивных систем охлаждения электронной аппаратуры. Созданные вычислительные модели и программные комплексы позволяют проводить обширные исследования сложного теплообмена в областях с различными источниками энергии.

Личный вклад. Выбор направления исследований, математические постановки задач, выбор численных методик для проведения расчётов были сделаны совместно с научным руководителем. Автором лично были разработаны программные коды, получены результаты и проанализированы физические закономерности.

Методы и подходы, используемые в диссертации. При проведении численных исследований нестационарных режимов сложного теплопереноса использовались метод конечных разностей и решёточный метод Больцмана.

Степень достоверности результатов проведенных исследований

обеспечена выбором при построении математических моделей классических уравнений Навье-Стокса, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости, а также кинетического уравнения Больцмана. Кроме того, была проведена верификация разработанных вычислительных моделей с использованием численных и экспериментальных данных других авторов.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1. Математические модели нестационарных ламинарных режимов сопряжённой естественной конвекции с локальными источниками тепловыделения различных геометрических форм в двумерном и трёхмерном случаях.

2. Численные методики исследования рассматриваемых процессов, основанные на использовании метода конечных разностей и решеточного метода Больцмана.

3. Результаты численных исследований сложного теплообмена в двумерных и трёхмерных областях при наличии локальных источников энергии различных форм.

Апробация работы. Полученные в процессе проводимых исследований в рамках диссертации результаты были представлены на следующих конференциях и семинарах: XII Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Молодёжь и современные информационные технологии» (Томск, 2014), III и VI Международная молодёжная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики» (Томск, 2014, 2017), XII, XIV, XV, XVI, XVII Международная конференция студентов и молодых учёных «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2015, 2017, 2018, 2019, 2020), Молодёжная научная конференция «Все грани математики и механики» (Томск,

2015, 2016, 2019), XX, XXI, XXII Школа-семинар молодых учёных и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» (Звенигород, 2015, Санкт-Петербург, 2017, Москва, 2019), IX международная научно-практическая конференция «Современные проблемы машиностроения» (Томск, 2015), IX Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», посвященная 55-летию полета Ю. А. Гагарина (Томск, 2016), XIV Всероссийская школа-конференция молодых учёных с международным участием «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Новосибирск, 2016), Всероссийская конференция с элементами научной школы для молодых учёных «XXXIII, XXXIV, XXXV, XXXVI Сибирский теплофизический семинар» (Новосибирск, 2017, 2018, 2019, 2020), VI Международная научно-техническая конференция молодых учёных, аспирантов и студентов «Высокие технологии в современной науке и технике» (Томск, 2017), XI и XII Международная конференция по теплотехнике. Теория и приложения (Катар, Доха, 2018; Индия, Гандинагар, 2019), Всероссийская конференция по математике и механике (Томск, 2018), Седьмая Российская национальная конференция по теплообмену (Москва, 2018), IV Всероссийская научная конференция «Теплофизика и физическая гидродинамика» с элементами школы молодых учёных (Ялта, 2019), VI-я Всероссийская конференция «Пермские гидродинамические научные чтения» (Пермь, 2019), III Международная конференция «Границы промышленной и прикладной математики-2020» (Индия, Джамшедпур, 2020).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 29 работ, в том числе 6 статей в журналах, включённых в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук (из них 3 статьи в зарубежных научных журналах, входящих в Web of Science, 1 статья в российском научном журнале, входящем в Web of Science, 1 статья в российском научном журнале, входящем в Scopus) 2 статьи в сборниках

материалов конференций, представленных в зарубежных изданиях, входящих в Web of Science, 1 публикация в прочем научном журнале, 15 публикаций в сборниках международных и всероссийских научных конференций, школ-семинаров и школ-конференций; получено 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы, включающего 161 источников. Текст изложен на 163 страницах, включая 76 рисунков и 8 таблиц.

Работа выполнена в Национальном исследовательском Томском государственным университете на кафедре теоретической механики и в научно -исследовательской лаборатории моделирования процессов конвективного тепломассопереноса механико-математического факультета.

Содержание работы.

Во введении представлена актуальность и востребованность результатов исследований сложного теплообмена в замкнутых областях с локальными источниками энергии.

В первой главе проводится обзор исследований ламинарных режимов естественной конвекции в замкнутых областях с линейными и объёмными источниками энерговыделения. Представлены результаты исследований российских и зарубежных авторов, посвящённых конвективному теплообмену в областях различных геометрических форм с нагревателями.

Во второй главе представлены физические и математические модели решаемых задач, вычислительная схема для метода конечных разностей и решеточного метода Больцмана. Продемонстрированы результаты тестовых задач, отражающие хорошее согласование с численными и экспериментальными данными других авторов. Проанализированы результаты многопараметрического исследования двумерных задач нестационарных ламинарных режимов естественной конвекции в широком диапазоне изменения определяющих параметров. Получены локальные и интегральные характеристики теплообмена в

исследуемых областях, позволяющие провести анализ структуры течения и эволюции тепловых полей.

В третьей главе представлены результаты пространственных задач естественной конвекции в замкнутых кубических областях с локальными источниками энерговыделения различных геометрических форм. Описаны численные схемы для метода конечных разностей в случае использования преобразованных переменных «векторный потенциал - вектор завихрённости скорости», а также для решёточного метода Больцмана. Показаны особенности постановки граничных условий и проведён сравнительный анализ на тестовых пространственных задачах других авторов. Представлены поля скорости и температуры для различных форм и положений источников энергии, а также выполнено сравнение результатов двумерной и трёхмерной постановок задач для оценки влияния третьей координаты на особенности распределения термогидродинамических характеристик.

В заключении приводятся основные выводы и результаты.

1 Современные исследования термогравитационной конвекции в замкнутых областях с локальными источниками энергии

Основы процессов передачи тепла были заложены ещё в первой половине

XVIII века. С течением времени это учение активно развивалось и дополнялось. В

XIX веке, вследствие активного распространения механизации в различных отраслях производства, произошёл резкий рост интереса учёных в направлении превращения теплоты в работу. В 1874 г. вышел известный труд О. Рейнольдса, в котором была изложена его «гидродинамическая теория теплообмена» [62]. В начале XX века учение о теплоте сформировалось в самостоятельную научную дисциплину.

История зарождения отдельного вида теплопередачи - конвективного теплообмена, довольно богата. Первыми исследованиями, посвящёнными задачам конвекции, принято считать эксперименты Бенара, проводимые им в 1900 и 1901 годах [63, 64], и теоретические работы Рэлея 1916 г. [65]. За минувшее столетие теория конвективного теплообмена сильно шагнула вперёд, появились новые задачи и способы их решения. В настоящий момент имеется довольно много качественных монографий и книг, посвящённых конвективному теплопереносу [1, 66-69], неоценимый вклад сделали и российские учёные [4, 70-74].

Отдельным классом задач является изучение естественной конвекции внутри замкнутых областей с источниками нагрева и охлаждения. В данную область попадает большинство современных технологических задач. Автором первых научных трудов конвективного теплообмена является основатель гидродинамической научной школы Остроумов Георгий Андреевич. В его обзорной работе [75] представлены достижения коллектива Пермского государственного университета. Позднее были опубликованы работы Де Валь Дэвис [76], Острач [77], Гершуни и Жуховицкий [71], Гершуни, Жуховицкий, Непомнящий [73]. Каждая из указанных работ имеет особую ценность. В работе [76] была представлена задача конвективного теплообмена в замкнутой квадратной полости. Левая стенка являлась изотермически нагревающей, правая -изотермически охлаждающей. Остальные стенки были адиабатические. Автором

были получены распределения локальных и интегральных характеристик в диапазоне чисел Рэлея 103-1.25 106. Со временем на результаты данной работы стали опираться и использовать их при валидации численных моделей и методик. Острач также исследовал процессы конвективного теплопереноса. Следует отметить его публикацию [77], в которой кратко представлен обзор существующих на тот момент исследований по естественно-конвективному теплопереносу. В работе выделены два класса задач - внешние, теплообмен со стержнем или пластиной, и внутренние, например, теплообмен между пластинами в замкнутом контуре. Внешние задачи на тот момент встречались чаще и привлекали больше внимания, но не из-за потребности в таких исследованиях, а из-за сложности постановки другого класса задач. В приведённом обзоре отмечены работы по исследованиям естественной конвекции в замкнутых областях как российских, так и зарубежных авторов, сделавших вклад в развитие данного направления. Кроме того, в работе проведены численные, аналитические и экспериментальные исследования конвективного теплообмена в замкнутых областях с нагревом и охлаждением одной из рассматриваемых стенок. Работы [71, 73] последователей Г. А. Остроумова являются хорошим обобщением полученных результатов в области конвективной устойчивости с оригинальными результатами научных исследований самих авторов.

В настоящий момент имеется довольно много работ, где одна или несколько поверхностей являются нагревающими, другие охлаждающими, а также имеются адиабатические поверхности [27-36]. Так, например, в [27] авторами было рассмотрено влияние размеров преграды полукруглой формы, расположенной в центре нижней стенки полости, и чисел Рэлея в диапазоне 10-104 на средние и локальные числа Нуссельта. Отмечается, что эффективность теплоотдачи всегда меньше при наличии преграды, с увеличением числа Рэлея разница для двух рассматриваемых случаев падает. При увеличении радиуса полуокружности интенсивность течения и средние числа Нуссельта на поверхности боковых стенок уменьшаются. Естественная конвекция в наклонной дифференциально обогреваемой полости была исследована в [28]. Рассматривались процессы

генерации тепла внутри жидкости и их совместное влияние с числом Рэлея на гидродинамические и тепловые характеристики в полости. В [29] проанализировано влияние чисел Прандтля и Рэлея в широком диапазоне

л с

значений (0.07 < Рг < 100, 10 < Яа < 10 ) на естественную конвекцию в замкнутой трапециевидной полости. Установлены корреляционные соотношения для числа Нуссельта в зависимости от числа Рэлея. Ламинарная естественная конвекция в квадратной полости при наличии магнитного поля и зоны объёмного тепловыделения численно исследована в [30] при различных числах Рэлея. Авторами установлено, что магнитное поле ослабляет скорость движения среды и интенсивность теплообмена в полости. В [31] авторы, используя метод конечных разностей, рассмотрели естественно-конвективный теплообмен в замкнутых наклонных пористых треугольных областях. Было показано, что с увеличением угла наклона возрастает интенсивность течения в полости, что отражено посредством максимальных значений функции тока и горизонтальной составляющей вектора скорости. При повышении числа Дарси наблюдается рост числа Нуссельта. Численное и экспериментальное исследование естественной конвекции в круговом секторе было проведено в [32]. Установлено, что среднее число Нуссельта достигает максимальных значений при угле наклона 0° и 270°. В [33] представлены результаты численного и экспериментального исследования влияния угла наклона полости на свободноконвективный теплообмен. Максимальные значения интенсивности теплообмена наблюдались при угле наклона 60°. На основе экспериментальных исследований установлены следующие корреляционные соотношения: Ыи = 6 • 10-6 • ф3 + 0.014 • ф + 7.892 для Яа=1.5104 и Ыи = -110"6 •ф3 + 5-10"5 •ф2 + 0.008ф + 8.368 для Яа=1.5105, где ф -угол наклона области исследования. В [34] проведены численные исследования естественной конвекции в прямоугольной полости при наличии однородного магнитного поля. Показано, что максимальные значения среднего числа Нуссельта достигаются при угле наклона, равном 150°, минимальные при 75°. С ростом числа Гартмана наблюдается уменьшение числа Нуссельта. Естественная конвекция в пористом треугольном корпусе с волнистой боковой границей была

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гибанов Никита Сергеевич, 2021 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крейт Ф. Основы теплопередачи: Пер. с англ. / Ф. Крейт, У. Блэк. - М.: Мир, 1983. - 512 с.

2. Цветков Ф.Ф. Тепломассообмен: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд., испр. и доп. / Ф.Ф. Цветков, Б.А. Григорьев. - М.: Издательство МЭИ, 2005. - 550 с.

3. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). 2-е изд. перераб. и доп. / А.В. Лыков. - М.: Энергия, 1978. - 480 с.

4. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. - Изд. 5-е перераб. и доп. / С.С. Кутателадзе. - М.: Атомиздат, 1979. - 416 с.

5. Tropea C. Springer Handbook of Experimental Fluid Mechanics / C. Tropea, A.L. Yarin, J. F. Foss. - Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. - P. 1557.

6. Винарский М. С. Планирование эксперимента в технологических исследованиях / М.С. Винарский, М.В. Лурье. - Киев: Техника, 1975. - 168 с.

7. Вержбицкий М.В. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М. Вержбицкий. - М.: Высш. шк., 2002. - 840 с.

8. Берковский Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. - Мн.: Университетское, 1988. - 167 с.

9. Самарский А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

10. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений / Е.И. Пустыльник. - М.: Наука, 1968. - 288 с.

11. Романов В.Н. Теория измерений. Анализ и обработка экспериментальных данных: Учебное пособие / В.Н. Романов, В.В. Комаров. -Спб.: СЗТУ, 2002. - 127 с.

12. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. - М.: Мир, 1980. -

618 с.

13. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. - М.: «Наука», 1971. - 553 с.

14. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. / С. Патанкар. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

15. Самарский А.А. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учебное пособие: Для вузов. - 3-е изд. доп. / А.А. Самарский, Ю. П. Попов. - М.: «Наука», 1992. - 424 с.

16. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т.1: Пер. с англ. / К. Флетчер. - М.: Мир, 1991. - 504 с.

17. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т.2: Пер. с англ. / К. Флетчер. - М.: Мир, 1991. - 552 с.

18. Шидловский В.П. Вычислительные методы в динамике разреженных газов / В.П. Шидловский. - М.: Мир, 1969. - 277 с.

19. Kruger T. The Lattice Boltzmann Method / T. Kruger, H. Kusumaatmaja, A. Kuzmin, O. Shardt, G. Silva, E.M. Viggen. - Springer International Publishing Switzerland, 2017. - P. 694.

20. Петухов Б.С. Теплообмен в ядерных энергетических установках / Б.С. Петухов, Л.Г. Генин, С.А. Ковалев. - М.: Атомиздат, 1974. - 408 с.

21. Чи С. Тепловые трубы: Теория и практика / С. Чи. - М.: Машиностроение, 1981. - 207 с.

22. Bergman T.L. Fundamentals of Heat and Mass Transfer / T.L. Bergman, A.S. Lavine, F.P. Incropera, D.P. Dewitt. - John Wiley & Sons, 2011. - P. 1076.

23. Смирнова М. В. Теоретические основы теплотехники: учебное пособие для вузов / М. В. Смирнова. - М.: Издательство Юрайт, 2020. - 237 с.

24. Исаченко В.П. Теплопередача. Учебник для вузов / В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Сукомел. - М.: «Энегия», 1975. - 487 с.

25. Дульнев Г.Н. Теория тепло- и массообмена / Г.Н. Дульнев. - СПб: НИУ ИТМО, 2012. - 195 с.

26. Зигель Р. Теплообмен излучением. Пер. с англ. / Р. Зигель, Дж. Хауэлл. -М.: «Мир», 1975. - 935 с.

27. Kaviany M. Effect of a protuberance on thermal convection in a square cavity / M. Kaviany // J. Heat Transfer. - 1984. - Vol. 106, № 4. - P. 830-834.

28. Acharya S. Natural convection in an inclined enclosure containing internal energy sources and cooled from below / S. Acharya // Int. J. Heat Fluid Flow. - 1985. -Vol. 6, № 2. - P. 113-121.

29. Natarajan E. Natural convection flows in a trapezoidal enclosure with uniform and non-uniform heating of bottom wall / E. Natarajan, T. Basak, S. Roy // Int. J. Heat Mass Transf. - 2008. - Vol. 51, № 3. - 4. P. 747-756.

30. Teamah M.A. Numerical simulation of double diffusive natural convection in rectangular enclosure in the presences of magnetic field and heat source / M.A. Teamah // Int. J. Therm. Sci. - 2008. - Vol. 47, № 3. - P. 237-248.

31. Chamkha A.J. Double-diffusive natural convection in inclined finned triangular porous enclosures in the presence of heat generation/absorption effects / A.J. Chamkha, M.A. Mansour, S.E. Ahmed // Heat Mass Transf. - 2010. - Vol. 46, № 7. -P. 757-768.

32. Yesiloz G. Natural convection in an inclined quadrantal cavity heated and cooled on adjacent walls / G. Yesiloz, O. Aydin // Exp. Therm. Fluid Sci. - 2011. - Vol. 35, № 6. - P. 1169-1176.

33. Experimental and numerical analysis of buoyancy-induced flow in inclined triangular enclosures / H.F. Oztop [et al.] // Int. Commun. Heat Mass Transf. - 2012. -Vol. 39, № 8. - P. 1237-1244.

34. Teamah M.A. Numerical simulation of double-diffusive natural convective flow in an inclined rectangular enclosure in the presence of magnetic field and heat source / M.A. Teamah, A.F. Elsafty, E.Z. Massoud // Int. J. Therm. Sci. - 2012. - Vol. 52, № 1. - P. 161-175.

35. Bhardwaj S., Dalal A. Analysis of natural convection heat transfer and entropy generation inside porous right-angled triangular enclosure / S. Bhardwaj, A. Dalal // Int. J. Heat Mass Transf. - 2013. - Vol. 65. - P. 500-513.

36. Yesiloz G. Laminar natural convection in right-angled triangular enclosures heated and cooled on adjacent walls / G.Yesiloz, O. Aydin // Int. J. Heat Mass Transf. -2013. - Vol. 60, № 1. - P. 365-374.

37. De Vahl Davis G. Natural convection of air in a square cavity: A bench mark numerical solution / G. De Vahl Davis // Int. J. Numer. Methods Fluids. - 1983. - Vol. 3, № 3. - P. 249-264.

38. Effect of the position of a circular cylinder in a square enclosure on natural

n

convection at Rayleigh number of 10 / H.S. Yoon [et al.] // Phys. Fluids. - 2009. - Vol. 21, № 4. - P. 1-11.

39. Numerical study of natural convection cooling of horizontal heat source mounted in a square cavity filled with nanofluids / A.H. Mahmoudi [et al.] // Int. Commun. Heat Mass Transf. - 2010. - Vol. 37, № 8. - P. 1135-1141.

40. El Qarnia H. Computation of melting with natural convection inside a rectangular enclosure heated by discrete protruding heat sources / H. El Qarnia, A. Draoui, E.K. Lakhal // Appl. Math. Model. - 2013. - Vol. 37, № 6. - P. 3968-3981.

41. Alizadeh M.R. Conjugate Natural Convection of Nanofluids in an Enclosure with a Volumetric Heat Source / M.R. Alizadeh, A.A. Dehghan // Arab. J. Sci. Eng. -2014. - Vol. 39, № 2. - P. 1195-1207.

42. Lam P.A.K. A numerical study on natural convection and entropy generation in a porous enclosure with heat sources / P.A.K. Lam, K. Arul Prakash // Int. J. Heat Mass Transf. - 2014. - Vol. 69. - P. 390-407.

43. Paroncini M., Corvaro F. Natural convection in a square enclosure with a hot source / M. Paroncini, F. Corvaro // Int. J. Therm. Sci. - 2009. - Vol. 48, № 9. - P. 1683-1695.

44. Moraveji M.K. Natural convection in a rectangular enclosure containing an oval-shaped heat source and filled with Fe3O4/water nanofluid / M.K. Moraveji, M. Hejazian // Int. Commun. Heat Mass Transf. - 2013. - Vol. 44. - P. 135-146.

45. Saravanan S. Combined thermal radiation and natural convection in a cavity containing a discrete heater: Effects of nature of heating and heater aspect ratio / S. Saravanan, C. Sivaraj // Int. J. Heat Fluid Flow. - 2017. - Vol. 66. - P. 70-82.

46. Javed T. Effect of MHD on heat transfer through ferrofluid inside a square cavity containing obstacle/heat source / T. Javed, M.A. Siddiqui // Int. J. Therm. Sci. -2018. - Vol. 125. - P. 419-427.

47. Selimefendigil F. Natural convection and entropy generation of nanofluid filled cavity having different shaped obstacles under the influence of magnetic field and internal heat generation / F. Selimefendigil, H.F. Oztop // J. Taiwan Ins. Chem. Eng. -2015. Vol. 56. - P. 42-56.

48. Patil S. Conjugate laminar natural convection and surface radiation in enclosures: Effects of protrusion shape and position / S. Patil, A.K. Sharma, K. Velusamy // Int. Commun. Heat Mass Transf. - 2016. - Vol. 76. - P. 139-146.

49. Numerical investigation of pure mixed convection in a ferrofluid-filled lid-driven cavity for different heater configurations / K.M. Rabbi [et al.] // Alexandria Eng. J. Faculty of Engineering. - 2016. - Vol. 55, № 1. - P. 127-139.

50. Boulahia Z. A numerical modeling of natural convection of a Cu-water nanofluids in a square enclosure containing different shapes of heating cylinders / Z. Boulahia, A. Wakif, R. Sehaqui // 13ème Congrès de Mécanique. - 2017. - P. 1-3.

51. Siavashi M. Heat transfer and entropy generation study of non-Darcy double-diffusive natural convection in inclined porous enclosures with different source configurations / M. Siavashi, V. Bordbar, P. Rahnama // Applied Thermal Engineering. - 2017. - Vol. 110. - P. 1462-1475.

52. Roy N.C. Natural convection of nanofluids in a square enclosure with different shapes of inner geometry / N.C. Roy // Phys. Fluids. - 2018. - Vol. 30. - P. 113.

53. Aminossadati S.M. Natural convection of water-CuO nanofluid in a cavity with two pairs of heat source-sink / S.M. Aminossadati, B. Ghasemi // Int. Commun. Heat Mass Transf. - 2011. - Vol. 38, № 5. - P. 672-678.

54. Saeid N.H., Pop I. Maximum density effects on natural convection from a discrete heater in a cavity filled with a porous medium / N.H. Saeid, I. Pop // Acta Mech. - 2004. - Vol. 171, № 3-4. - P. 203-212.

55. Kaluri R.S. Role of entropy generation on thermal management during natural convection in porous square cavities with distributed heat sources / R.S. Kaluri, T. Basak // Chem. Eng. Sci. - 2011. - Vol. 66, № 10. - P. 2124-2140.

56. Al-Zamily A.M.J. Effect of magnetic field on natural convection in a nanofluid-filled semi-circular enclosure with heat flux source / A.M.J. Al-Zamily // Comput. Fluids. - 2014. - Vol. 103. - P. 71-85.

57. Entropy generation and MHD natural convection of a nanofluid in an inclined square porous cavity: Effects of a heat sink and source size and location / A.M. Rashad [et al.] // Chinese J. Phys. - 2018. - Vol. 56, № 1. - P. 193-211.

58. Mebarek-Oudina F. Numerical simulation of natural convection heat transfer of copper-water nanofluid in a vertical cylindrical annulus with heat sources / F. Mebarek-Oudina, R. Bessaïh // Thermophys. Aeromechanics. - 2019. - Vol. 26, № 3. -P. 325-334.

59. Computational Analysis of Three-Dimensional Unsteady Natural Convection and Entropy Generation in a Cubical Enclosure Filled with Water-Al2O3 Nanofluid / L. Kolsi [et al.] // Arab. J. Sci. Eng. - 2014. - Vol. 39, № 11. - P. 7483-7493.

60. Aleshkova I.A. Unsteady conjugate natural convection in a square enclosure filled with a porous medium / I.A. Aleshkova, M.A. Sheremet // Int. J. Heat Mass Transf. - 2010. - Vol. 53, № 23-24. - P. 5308-5320.

61. Sivaraj C. Natural Convection Coupled with Thermal Radiation in a Square Porous Cavity Having a Heated Plate Inside / C. Sivaraj, M.A. Sheremet // Transp. Porous Media. - 2016. - Vol. 114, № 3. - P. 843-857.

62. Reynolds O. On the extent and action of the heating surface of steam boilers / O. Reynolds // Scientific Papers of Osborne Reynolds. - 1901. - Vol. 1. - P. 81-85.

63. Benard H. Les tourbillons cellularies dans une nappe liquid / H. Benard // Revue generale des Sciences pures et appliquess. - 1900. -Vol. 11. - P. 1261-1271, 1309-1328.

64. Benard H. Les tourbillons cellularies dans une nappe liquid transportant de la chaleur par convection en regime permanent / H. Benard // Annales Chimie et de Physique. - 1901. - Vol. 23, №7. - P. 62-144.

65. Lord Rayleigh O.M. F.R.S. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side / O.M.F.R.S. Lord Rayleigh // Philosophical Magazine. - 1916. - Vol. 32, №6. - P. 529-546.

66. Эккерт Э.Р. Теория тепло- и массообмена. Пер. с англ. Под ред. А.В. Лыкова / Э.Р. Эккерт, Р.М. Дрейк. - М.-Л. Госэнергоиздат, 1961. - 680 с.

67. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы: Пер. с англ. / Т. Себиси, П. Брэдшоу. - М.: Мир, 1987. -592 с.

68. Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и массообмен. Пер с англ. / Й. Джалурия - М.: Мир, 1983. - 400 с.

69. Гебхарт Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. В 2-х книгах, кн. 1. Пер. с англ. / Б. Гебхарт, Й. Джалурия, Р. Махаджан, Б. Саммакия. -М. Мир, 1991. - 678 с.

70. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. Изд. 2-е / М.А. Михеев, И.М. Михеева. - М., «Энергия», 1977. - 344 с.

71. Гершуни Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. - М.: Наука, 1972. - 392 с.

72. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи / Г.А. Остроумов. - М.-Л., 1952. - 283 с.

73. Гершуни Г.З. Устойчивость конвектиных течений / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, А.А. Непомнящий. - М.: Наука, 1989. - 320 с.

74. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - М.-Л., 1950. - 678 с.

75. Ostroumov G.A. Free convection in closed cavities: a review of work carried out at perm, USSR / G.A. Ostroumov // Int. J. Heat Mass Transf. - 1965. - Vol. 8. - P. 259-268.

76. De Vahl Davis G. Laminar natural convection in an enclosed rectangular cavity / G. De Vahl Davis // Int. J. Heat Mass Transf. - 1968. - Vol. 11. - P. 16751693.

77. Ostrach S. Natural convection in enclosures / S. Ostrach // Advances in Heat Transfer. - 1972. - Vol. 8. - P. 161-227.

78. Chadwick M.L. Natural convection from two-dimentional discrete heat sources in a rectangular enclosure / M.L. Chadwick, B.W. Webb, H.S. Heaton // Int. J. Heat Mass Transf. - 1991. - Vol. 34, № 7. - P. 1679-1693.

79. da Silva A.K. Optimal distribution of discrete heat sources on a wall with natural convection / A.K. da Silva, S. Lorente, A. Bejan // Int. J. Heat Mass Transf. -2004. - Vol. 47, № 2. - P. 203-214.

80. Jin L.F. Effects of rotation on natural convection cooling from three rows of heat sources in a rectangular cavity / L.F. Jin, K.W. Tou, C.P. Tso // Int. J. Heat Mass Transf. - 2005. - Vol. 48, № 19-20. - P. 3982-3994.

81. Hussain S.H. Studying the effects of a longitudinal magnetic field and discrete isoflux heat source size on natural convection inside a tilted sinusoidal corrugated enclosure / S.H. Hussain, A.K. Hussein, R.N. Mohammed // Comput. Math. with Appl. - 2012. - Vol. 64, № 4. - P. 476-488.

82. Experimental and numerical investigation of natural convection in tilted square cavity filled with air / M. Leporini [et al.] // Exp. Therm. Fluid Sci. - 2018. -Vol. 99. - P. 572-583.

83. Elsherbiny S.M. Heat transfer in inclined air rectangular cavities with two localized heat sources / S.M. Elsherbiny, O.I. Ismail // Alexandria Eng. J. - 2015. - Vol. 54, № 4. - P. 917-927.

84. Das D. Analysis of average Nusselt numbers at various zones for heat flow visualizations during natural convection within enclosures (square vs triangular) involving discrete heaters / D. Das, T. Basak // Int. Commun. Heat Mass Transf. - 2016. - Vol. 75. - P. 303-310.

85. Das D. Role of distributed/discrete solar heaters for the entropy generation studies in the square and triangular cavities during natural convection / D. Das, T. Basak // Appl. Therm. Eng. - 2017. - Vol. 113. - P. 1514-1535.

86. Saravanan S. Natural convection in an enclosure with a localized nonuniform heat source on the bottom wall / S. Saravanan, C. Sivaraj // Int. J. Heat Mass Transf. -2011. - Vol. 54, № 13-14. - P. 2820-2828.

87. Nardini G. Heat transfer experiment on natural convection in a square cavity with discrete sources / G. Nardini, M. Paroncini // Heat Mass Transf. - 2012. - Vol. 48, № 11. - P. 1855-1865.

88. Ul Haq R. Thermal management of water based SWCNTs enclosed in a partially heated trapezoidal cavity via FEM / R. Ul Haq, S. Naveed Kazmi, T. Mekkaoui // Int. J. Heat Mass Transf. - 2017. - Vol. 112. - P. 972-982.

89. Bocu Z. Laminar natural convection heat transfer and air flow in three-dimensional rectangular enclosures with pin arrays attached to hot wall / Z. Bocu, Z. Altac // Appl. Therm. Eng. - 2011. - Vol. 31, № 16. - P. 3189-3195.

90. Cui H. A three-dimensional simulation of transient natural convection in a triangular cavity / H. Cui, F. Xu, S.C. Saha // Int. J. Heat Mass Transf. - 2015. - Vol. 85. - P. 1012-1022.

91. Martyushev S.G. Influence of the geometric parameter on the regimes of natural convection and thermal surface radiation in a closed parallelepiped / S.G. Martyushev, I.V. Miroshnichenko, M.A. Sheremet // J. Eng. Phys. Thermophys. -2015. - Vol. 88, № 6. - P. 1522-1529.

92. Laminar natural convection heat transfer and air flow in three-dimensional cubic enclosures with a partially heated wall / S. Mellah [et al.] // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2015. - Vol. 56, № 2. - P. 257-266.

93. Akbarzadeh P. Natural Convection Heat Transfer in 2D and 3D Trapezoidal Enclosures Filled with Nanofluid / P. Akbarzadeh, A.H. Fardi // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2018. - Vol. 59, № 2. - P. 292-302.

94. Ben-Nakhi A. Conjugate natural convection around a finned pipe in a square enclosure with internal heat generation / A. Ben-Nakhi, A.J. Chamkha // Int. J. Heat Mass Transf. - 2007. - Vol. 50, № 11-12. - P. 2260-2271.

95. Kuznetsov G.V. Mathematical simulation of conjugate mixed convection in a rectangular region with a heat source / G.V. Kuznetsov, M.A. Sheremet // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2008. - Vol. 49, № 6. - P. 946-956.

96. Kuznetsov G.V. Conjugate heat transfer in an enclosure under the condition of internal mass transfer and in the presence of the local heat source / G.V. Kuznetsov, M.A. Sheremet // Int. J. Heat Mass Transf. - 2009. - Vol. 52, № 1-2. P. 1-8.

97. Zhan N.Y. A two-dimensional study on natural convection and heat transfer in the enclosure with heat transfer and radiation coupled in natural convection / N.Y. Zhan, M. Yang, P.W. Xu // Sci. China Technol. Sci. - 2010. - Vol. 53, № 4. - P. 991999.

98. Kuznetsov G.V. Conjugate natural convection in an enclosure with a heat source of constant heat transfer rate / G.V. Kuznetsov, M.A. Sheremet // Int. J. Heat Mass Transf. - 2011. - Vol. 54, № 1-3. - P. 260-268.

99. Sheremet M.A. Interaction of two-dimensional thermal "plumes" from local sources of energy under conditions of conjugate natural convection in a horizontal cylinder / M.A. Sheremet // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2012. - Vol. 53, № 4. - P. 566-576.

100. Using finite volume method for simulating the natural convective heat transfer of nano-fluid flow inside an inclined enclosure with conductive walls in the presence of a constant temperature heat source / Ma Y. [et al.] // Phys. A Stat. Mech. its Appl. - 2021. - Vol. 580. - P. 1-17.

101. Kuznetsov G.V. Conjugate natural convection with radiation in an enclosure / G.V. Kuznetsov, M.A. Sheremet // Int. J. Heat Mass Transf. - 2009. - Vol. 52, № 910. - P. 2215-2223.

102. Martyushev S.G. Characteristics of Rosseland and P-1 approximations in modeling nonstationary conditions of convection-radiation heat transfer in an enclosure with a local energy source / S.G. Martyushev, M.A. Sheremet // J. Eng. Thermophys. -2012. - Vol. 21, № 2. - P. 111-118.

103. Мартюшев С.Г. Численный анализ сопряжённого конвективно-радиационного теплопереноса в замкнутой полости, заполненной диатермичной средой / С.Г. Мартюшев, М.А. Шеремет // Вестник Удмуртского угиверситета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2012. - Вып. 3. - С. 114-126.

104. Martyushev S.G. Conjugate natural convection combined with surface thermal radiation in a three-dimensional enclosure with a heat source / S.G. Martyushev, M.A. Sheremet // Int. J. Heat Mass Transf. - 2014. - Vol. 73. - P. 340353.

105. Мартюшев С.Г. Численный анализ сопряжённой термогравитационной конвекции и теплового поверхностного излучения в замкнутом кубе, заполненном диатермичной средой.тивно-радиационного теплопереноса в замкнутой полости, заполненной диатермичной средой / С.Г. Мартюшев, И.В. Мирошниченко, М.А. Шеремет // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2014. - Вып. 2. - С. 111-121.

106. Nia M.F. Transient combined natural convection and radiation in a double space cavity with conducting walls / M.F. Nia, S.A.G. Nassab, A.B. Ansari // Int. J. Therm. Sci. - 2018. - Vol. 128. - P. 94-104.

107. Shaw H.-J. The effects of thermal sources on natural convection in an enclosure / H.-J. Shaw, C. Chent, J.W. Cleavert // International Journal Heat and Fluid Flow. - 1988. - Vol. 9, № 3. - P. 296-301.

108. Barozzi G.S. Natural convection in cavities containing internal sources / G.S. Barozzi, M.A. Corticelli // Heat Mass Transf. - 2000. - Vol. 36, № 6. - P. 473480.

109. Alta? Z. Natural convection in tilted rectangular enclosures with a vertically situated hot plate inside / Z. Alta?, O. Kurtul // Appl. Therm. Eng. - 2007. - Vol. 27, № 11-12. - P. 1832-1840.

110. Saravanan S. Coupled thermal radiation and natural convection heat transfer in a cavity with a heated plate inside / S. Saravanan, C. Sivaraj // Int. J. Heat Fluid Flow. - 2013. - Vol. 40. - P. 54-64.

111. Saravanan S. Natural convection in square cavity with heat generating baffles / S. Saravanan, A.R. Vidhya Kumar // Appl. Math. Comput. - 2014. - Vol. 244. - P. 1-9.

112. Numerical study of periodic natural convection in a nanofluid-filled enclosure due to transitional temperature of heat source / E. Sourtiji [et al.] // Powder Technol. - 2014. - Vol. 259. - P. 65-73.

113. Muthtamilselvan M. Effect of uniform and nonuniform heat source on natural convection flow of micropolar fluid / M. Muthtamilselvan, K. Periyadurai, D.H. Doh // Int. J. Heat Mass Transf. - 2017. - Vol. 115. - P. 19-34.

114. Natural convective heat transfer of Ag-water nanofluid flow inside enclosure with center heater and bottom heat source / T. Mahalakshmi [et al.] // Chinese J. Phys. -2018. - Vol. 56, № 4. - P. 1497-1507.

115. Das D. Studies on natural convection within enclosures of various (nonsquare) shapes - A review / D. Das, M. Roy, T. Basak // Int. J. Heat Mass Transf. -2017. - Vol. 106. - P. 356-406.

116. Sheremet M.A. Numerical analysis of nonsteady-state conjugate natural convection between two concentric spheres / M.A. Sheremet // J. Eng. Thermophys. -2011. - Vol. 20, № 1. - P. 1-12.

117. Шеремет М.А. Нестационарная сопряженная термогравитационная конвекция в цилиндрической области с локальным источником энергии / М.А. Шеремет // Теплофизика и аэромеханика. - 2011. - Т. 18, №3. - С. 463-474.

118. Ha M.Y. A numerical study on three-dimensional conjugate heat transfer of natural convection and conduction in a differentially heated cubic enclosure with a heat-generating cubic conducting body / M.Y. Ha, M.J. Jung // Int. J. Heat Mass Transf. -2000. - Vol. 43, № 23. - P. 4229-4248.

119. Three dimensional numerical analysis of natural convection cooling with an array of discrete heaters embedded in nanofluid filled enclosure / A. Purusothaman [et al.] // Adv. Powder Technol. The Society of Powder Technology Japan. - 2016. - Vol. 27, № 1. - P. 268-280.

120. Bondareva N.S. 3D natural convection melting in a cubical cavity with a heat source / N.S. Bondareva, M.A. Sheremet // Int. J. Therm. Sci. - 2017. - Vol. 115. -P. 43-53.

121. Kuo-Tsong Y. Introduction to Computational Mass Transfer. With Applications to Chemical Engineering / Y. Kuo-Tsong, Y. Xigang. - Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2014. - P. 417.

122. Wolf-Gladrow D.A. Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models / D.A. Wolf-Gladrow. - Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2000. - P. 319.

123. Succi S. The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond / S. Succi. - Clarendon Press. Oxford, 2001. - P. 304.

124. Sukop M.C. Lattice Boltzmann Modeling / M.C. Sukop, D.T. Thorne Jr. -Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. - P. 177.

125. Farhat H. Accelerated Lattice Boltzmann Model for Colloidal Suspensions / H. Farhat, J.S. Lee, S. Kondaraju - New York: Springer Science Business Media, 2014. - 158.

126. Mohamad A.A. Lattice Boltzmann Method / A. A. Mohamad. - London: Springer-Verlag, 2011. - P. - 185.

127. Wolfram S. Theory and Applications of Cellular Automata / S. Wolfram. -World Scientific, 1986. - P. 560.

128. Wolfram S. Cellular automata as models of complexity / S. Wolfram // Nature. - 1984. - P. 311-419.

129. Packard N. Two-dimensional cellular automata / N. Packard, S. Wolfram // J. Stat. Phys. - 1985. - Vol. 38. - P. 901.

130. Salem J. Thermodynamics and hydrodynamics with cellular automata, in Theory and Applications of Cellular Automata / J. Salem, S. Wolfram // World Scientific, 1986.

131. Frisch U. Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equation / U. Frisch, B. Hasslacher, Y. Pomeau // Phys Rev Lett. - 1986. - Vol. 56. - P. 1505-1508.

132. Chen S.Y. Lattice Boltzmann model for simulation of magnetohydrodynamics / S.Y. Chen, H.D. Chen, D. Martinez, W. Matthaeus // Phys Rev Lett. - 1991. - Vol. 67, № 27. - P. 3776-3780.

133. Qian Y.H. Lattice BGK model for the Navier-Stokes equation / Y.H. Qian, D. D'Humieres, P. Lallemand // Europhys Lett. - 1992. - Vol. 17, № 6. - P. 479-484.

134. Bhatnagar P.L. A model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems / P.L. Bhatnagar, E.P. Gross, M. Krook // Phys Rev. - 1954. - Vol. 94, № 3. - P. 511-525.

135. McNamara G.R. Use of the Boltzmann equation to simulate lattice-gas automata / G.R. McNamara, G. Zanetti // Phys Rev Lett. - 1988. - Vol. 61, № 20. -P. 2332-2335.

136. Гибанов Н.С. Влияние формы и размеров локального источника энергии на режимы конвективного теплопереноса в квадратной полости / Н.С. Гибанов, М.А. Шеремет // Компьютерные исследования и моделирование. - 2015. - Т. 7, № 2. - С. 271-280.

137. Бондарева Н.С. Сравнительный анализ методов конечных разностей т контрольного объёма на примере решения нестационарной задачи естественной конвекции и теплового излучения в замкнутом кубе, заполненном диатермичной средой / Н.С. Бондарева, Н.С. Гибанов, С.Г. Мартюшев, И.В. Мирошниченко, М.А. Шеремет // Компьютерные исследования и моделирование. - 2017. - Т. 9, № 4. - С. 567-578.

138. Hottel H.C. Radiative Transfer / H.C. Hottel, A.F. Sarofim. - N.Y.: McGraw, 1967. -520.

139. Оцисик М.Н. Сложный теплообмен. Пер. с англ. / М.Н. Оцисик. - М.: Мир, 1976. - 616 с.

140. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1966. - 444 с.

141. Пасконов В.М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. / В.М. Пасконов, В.И. Полежаев, Л.А. Чудов. - М.: Наука, 1984. -288 с.

142. Самарский А.А. Теория разностных схем. / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 656 с.

143. Ginzburg I. Multireflection boundary conditions for lattice Boltzmann models / I. Ginzburg, D. d'Humières // Physical Review E. - 2003. - Vol. 68. - № 066614.

144. Ginzbourg I. Boundary flow condition analysis for the three-dimensional lattice Boltzmann model / I. Ginzbourg, P.M. Adler // Journal Physics, II France - 1994.

- Vol. 4(2). - P. 191-214.

145. Ladd A.J.C. Numerical simulations of particulate suspensions via a discretized Boltzmann equation. Part 1. Theoretical foundation / A.J.C. Ladd // Journal of Fluid Mechanics. - 1994. - Vol. 271. - P. 285-309.

146. He X. Analytic Solutions of Simple Flows and Analysis of Nonslip Boundary Conditions for the Lattice Boltzmann BGK Model / X. He, Q. Zou, L.S. Luo, M. Dembo // Journal of Statist. Phys. - 1997. - Vol. 87(1-2). - P. 115-136.

147. Bouzidi M. Momentum transfer of a Boltzmann-lattice fluid with boundaries / M. Bouzidi, M. Firdaouss, P. Lallemand // Physics of Fluids. - 2001. - Vol. 13. - P. 3452-3459.

148. Skordos P.A. Initial and boundary conditions for the lattice Boltzmann method / P.A. Skordos // Physical Review E. - 1993. - Vol. 48(6). - P. 4823-4842.

149. Chen S. On boundary conditions in lattice Boltzmann methods / S. Chen, D. Martinez, R. Mei // Physics of Fluids. - 1996. - Vol. 8. - P. 2527-2536.

150. Verschaeve J.C.G. Analysis of the lattice Boltzmann Bhatnagar-Gross-Krook no-slip boundary condition:Ways to improve accuracy and stability / J.C.G. Verschaeve // Physical Review E. - 2009. - Vol. 80. - №036703. - P. 1-23.

151. Dixit H.N. Simulation of high Rayleigh number natural convection in a square cavity using the lattice Boltzmann method / H.N. Dixit, V. Babu // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2006. - Vol. 49. - P. 727-739.

152. Manzari M.T. An explicit finite element algorithm for convective heat transfer problems / M.T. Manzari // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow. - 1999. - Vol. 9. - P. 860-877.

153. Mayne D.A. H-adaptive finite element solution of high Rayleigh number thermally driven cavity problem / D.A. Mayne, A.S. Usmani, M. Crapper // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow. - 2000. - Vol. 10.

- P. 598-615.

154. Wan D.C. A new benchmark quality solution for the buoyancy-driven cavity by discrete singular convolution / D.C. Wan, B.S.V. Patnaik, G.W. Wei // Numerical Heat Transfer. Part B. - 2001. - Vol. 40. - P. 199-228.

155. AlAmiri A. Buoyancy-induced flow and heat transfer in a partially divided square enclosure / A. AlAmiri, K. Khanafer, I. Pop // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2009. - Vol. 52. - P. 3818-3828.

156. Wang H., Xin S., Le Quere P. Numerical study of natural convection-surface radiation coupling in air-filled square cavities // C.R. Mecanique. - 2006. - Vol. 334. -P. 48-57.

157. Yedder R.B. Laminar natural convection in inclined enclosures bounded by a solid wall / R.B. Yedder, E. Bilgen // Heat and Mass Transfer. - 1997. - Vol. 32. - P. 455-462.

158. Артемьев В.К. Численное моделирование трехмерной естественной конвекции / В.К. Артемьев, В.П. Гинкин // Труды 2 Российской национальной конференции по теплообмену. - Москва, 1998. - Т. 3. - С. 38-41.

159. Fusegi T. A numerical study of three dimensional natural convection in a differentially heated cubical enclosure / T. Fusegi, J.M. Hyun, K. Kuwahara, B. Farouk // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1991. - Vol. 34, № 6. - P. 15431557.

160. Бессонов О.А. Тест для численных решений трехмерной задачи о естественной конвекции в кубической полости / О.А. Бессонов, В.А. Брайловская, С.А. Никитин, В.И. Полежаев // Математическое моделирование. - 1999. - Т. 11, № 12. - С. 51-58.

161. Hinojosa J.F. Numerical simulation of steady-state and transient natural convection in an isothermal open cubic cavity / J.F. Hinojosa, J. Cervantes-de Gortari // Heat Mass Transfer. - 2010. - Vol. 46. - P. 595-606.