Нестационарные и релаксационные явления и эффект четырехволнового смешения в рамановской памяти на основе оптического резонатора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Веселкова Наталья Геннадьевна

• Веселкова Наталья Геннадьевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Веселкова Наталья Геннадьевна

1.2 Оптическая квантовая память

1.3 Критерии оценки качества квантовой памяти

1.4 Взаимодействие "вещество - свет". Квантовая память на основе атомных ансамблей

1.5 Оптически контролируемая память

1.5.1 Квантовая память на основе электромагнитно индуцированной прозрачности (EIT)

1.5.2 Квантовая память на основе нерезонансного рамановского взаимодействия

1.6 Квантовое перепутывание и квантовое неразрушающее взаимодействие (QND)

1.7 Протокол квантового повторителя DLCZ

1.8 Квантовая память на основе фотонного эха

1.8.1 Протоколы памяти на основе контролируемого обратимого неоднородного уширения (CRIB)

1.8.2 Квантовая память на основе периодической структуры атомной частотной гребенки (AFC)

2 Резонаторная рамановская память при учете атомной релаксации

2.1 Модель нерезонансной рамановской памяти при наличии атомной релаксации

2.2 Уравнения движения в представлении Гейзенберга

2.3 Учет затухания. Система уравнений Гейзенберга-Ланжевена

2.4 Адиабатическое исключение электронной поляризации

2.5 Согласование фаз динамических переменных системы

3 Амплитудные и фазовые явления, возникающие при считывании сигналов ограниченной длительности из резонаторной рамановской памяти

3.1 Управление временным профилем выходного сигнала

3.2 Исследование фазовых характеристик переменных системы

3.3 Управление фазой выходного сигнала

3.4 Анализ численного решения

3.5 Заключение по главе

4 Влияние неадиабатичности поля и неполного считывания на квантовую эффективность памяти в присутствии поперечной атомной релаксации

4.1 Выражение для эффективности считывания через числа возбуждений

4.2 Соотношения для чисел возбуждений при учете дисперсионной поправки

4.3 Оценки для чисел возбуждений в адиабатическом пределе

4.4 Сравнение оценок для чисел возбуждений с данными полного численного расчета

4.5 Заключение по главе

5 Резонаторная рамановская память за пределами адиабатического приближения: эффект четырехволнового смешения

5.1 Ячейка памяти в присутствии четырехволнового смешения. Модель и уравнения движения

5.2 Двухполосное спектральное представление

5.3 Считывание из памяти: квантовая эффективность и шумы, присутствующие в системе

5.4 Дисперсия квадратурных компонент наблюдаемого сигнала

5.5 Оптимальное управление ячейкой памяти

5.6 Заключение по главе

Заключение

Список литературы

A Зашумление коллективного спина и перепутывание полевой и спиновой

подсистем

B Случайный источник для поля в резонаторе

C Фазовая релаксация при слабо возмущенных заселенностях

Ю Соотношение т-ои!

Е Добротность резонатора, связанная с потерями на зеркале связи 152 Е Обоснование адиабатического исключения электронной поляризации

0 Замена операторов с-числовыми функциями 154 Н Свойства атомных источников

1 Фильтрация ланжевеновских шумов 158 Л Квантовая память по типу пассивного светоделителя

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные и релаксационные явления и эффект четырехволнового смешения в рамановской памяти на основе оптического резонатора»

Актуальность темы

Квантовая память [1]-[4] является неотъемлемым элементом развивающихся квантовых технологий, позволяющим синхронизировать независимые и вероятностные квантовые процессы как в схемах квантовой коммуникации, использующих квантовые повторители [5, 6], так и в квантовых вычислениях на основе линейной оптики [7, 8]. Квантовая память может применяться не только для сохранения квантовой информации, переносимой световым полем, но также для содержательного преобразования квантовых состояний [9]-[13], закодированных в различный степенях свободы (модах), что может существенно увеличить эффективность квантово-информационных протоколов.

Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию резонаторной квантовой памяти для света, основанной на хранении квантового состояния светового сигнала в коллективной атомной спиновой когерентности и осуществляемой посредством нерезонансного ра-мановского взаимодействия [14]-[16] при учете атомной релаксации. Использование долгожи-вущего спинового возбуждения для записи, хранения и восстановления квантовых состояний световых сигналов играет важную роль в протоколах памяти на основе нерезонансного ра-мановского взаимодействия, например, в протоколе квантового повторителя Дуана-Лукина-Сирака-Цоллера (DLCZ) [17]-[19], в схемах памяти на основе градиентного эха (GEM) [20]-[22], квантового неразрушающего взаимодействия (QND) [23, 24], четырехволнового смешения [25]-[28]. Нерезонансная рамановская квантовая память является в точности памятью "по требованию", поскольку запись и считывание квантованного сигнального импульса совершаются только в результате действия на атомную среду сильного контрольного поля [14]-[16]. В этом подходе классическая контрольная волна применяется для когерентного и обратимого переноса квантового состояния сигнальной волны на атомный ансамбль. Возможность считывания "по требованию" является основой множества квантово-информационных протоколов [29]-[31] и схем квантовых коммуникаций.

В данной работе исследуется влияние атомной релаксации на качество квантовой памяти в таком режиме работы памяти, когда развитие сигналов во времени не является медленным в масштабе времени жизни поля в резонаторе, и приближение адиабатического исключения поля квантованной моды резонатора (приближение "bad cavity") [14, 32] не может быть применено. Учет влияния неадиабатичности на качество памяти представляет интерес в связи

с различными квантово-информационными приложениями. Так, для применений памяти в квантовых сетях важно обеспечить хранение и совместную обработку в ячейке памяти квантового состояния многих сигналов. Ресурсом для этого может быть как пространственная многомодовость устройства памяти [10, 33], так и способность записывать, преобразовывать и считывать временные последовательности квантованных сигналов [11, 34], что предполагает сокращение длительности сигналов в масштабе времени жизни поля в резонаторе. Кроме того, решение вопросов повышения быстродействия устройств квантовой памяти также предполагает сокращение длительности используемых световых импульсов. Отметим, что для выполнения различных манипуляций во время хранения квантового состояния светового импульса, длительность импульса должна быть в несколько раз меньше времени хранения в памяти. Поэтому, для обеспечения высокой скорости обработки информации, ячейки квантовой памяти, как потенциальные элементы квантовых вычислительных устройств, должны оперировать короткими импульсами. По указанным причинам мы не ограничиваемся в данной работе адиабатическим пределом и рассматриваем световые сигналы произвольной гладкой временной формы и ограниченной длительности, сравнимой со временем жизни ре-зонаторного поля.

При использовании световых сигналов в квантовых информационных протоколах решающую роль играет возможность управления их временной формой и фазой. Так, для получения информации о квадратурных амплитудах электромагнитного поля с помощью оптического смешения (гомодинного детектирования), используемой в различных областях квантовой информационной науки, таких как квантовые вычисления, протоколы квантовой криптографии и коммуникации (включающие квантовую телепортацию и обмен перепуты-ванием, квантовое плотное/сверхплотное кодирование, квантовую коррекцию ошибок, очищение перепутывания), требуется согласование временных форм и фаз сигналов, интерферирующих на детекторах. Кроме того, в квантовых сетях необходимо использовать сигналы со "стандартизованным" поведением амплитуды и фазы во времени. По этим причинам особое внимание мы уделяем вопросу управления во времени не только амплитудой, но и фазой сильного классического поля, чтобы обеспечить необходимое амплитудно-фазовое поведение считанного из памяти сигнала. Мы показываем, что неадиабатичность поля в присутствии атомной релаксации оказывает значительное влияние на взаимозависимые фазовые свойства участвующих в протоколе памяти полей - классического контрольного поля и восстановлен-

ного из памяти поля квантованного сигнала, и демонстрируем, как в этих условиях можно добиться оптимального управления ячейкой памяти.

В связи с тем, что рамановская квантовая память реализуется вне однофотонного резонанса с оптическими переходами, для ее функционирования требуется наличие интенсивного контрольного импульса. Сильное управляющее поле, в свою очередь, вызывает спонтанное четырехволновое смещение и может привести к большому числу шумовых фотонов, находящихся в той же самой пространственной, временной и частотной моде, что и восстановленный сигнал [35]. Шум четырехволнового смешения, присутствующий в реальных протоколах атомной квантовой памяти, является серьезным фактором, препятствующим достижению высокой эффективности памяти. Эта проблема является особенно острой при реализации памяти на теплых атомных ансамблях. В случае рамановской памяти на холодных атомах можно пренебречь доплеровским уширением, а также использовать небольшую отстройку от резонанса и более слабое контрольное поле [36, 37]. Негативное влияние шума четырехвол-нового смешения на качество атомной памяти исследовалось ранее как для однопроходных [27, 28, 38], так и для резонаторных [26, 39] схем. В случае резонаторной квантовой памяти, для адиабатического режима, теоретический анализ шума четырехволнового смешения был предложен в работе [26]. В данной работе мы представляем теоретическое исследование влияния шума четырехволнового смешения на качество атомной рамановской памяти на основе оптического резонатора, дополняющее недавние работы других авторов [39, 26] и применимое также к сигналам, длительность которых сравнима со временем жизни резонаторного поля, т. е. за пределами адиабатического приближения. Наше обобщение может оказаться потенциально полезным для анализа существенно многомодовых режимов функционирования памяти.

В соответствии с вышеизложенным, тема диссертации представляется актуальной. Предметом диссертационного исследования являются вопросы, играющие важную роль в современной квантовой оптике и являющиеся областью научного исследования ведущими теоретическими и экспериментальными группами.

Цель диссертационной работы

Общей целью диссертационной работы является теоретическое исследование нестационарных и релаксационных явлений и эффекта четырехволнового смешения в резонаторной атомной рамановской памяти для света при считывании сигналов широкого диапазона дли-

тельностей, в том числе относительно коротких в масштабе времени жизни резонаторного поля.

Влияние сокращения длительности сигналов на качество памяти представляет особый интерес в связи с различными квантово-информационными приложениями, такими как хранение и совместная обработка в ячейке памяти квантовых состояний многих сигналов, повышение быстродействия устройств квантовой памяти. В связи с этим была поставлена и решена задача - исследовать ранее не поднимавшийся в научной литературе вопрос управления резонаторной рамановской памятью для случая относительно коротких сигналов, длительность которых незначительно превосходит время жизни фотонов в резонаторе, т. е. в неадиабатическом режиме.

В существующих работах по квантовой памяти недостаточно изученным остается вопрос влияния атомной релаксации на характеристики резонаторной рамановской памяти. Цель данной диссертационной работы заключается в исследовании, для рассматриваемой модели памяти, влияния процессов атомной релаксации на такие характеристики памяти, как квантовая эффективность, фазовые свойства световых полей, а также на шумы, возникающие в системе.

В измерительных процедурах, основанных на оптическом смешении, важным требованием является согласование временных форм и фаз сигналов, интерферирующих на детекторах. Следующей целью диссертационного исследования явилась разработка метода, позволяющего получать требуемые амплитудно-фазовые характеристики восстановленного из ячейки памяти сигнала посредством управления временным профилем и фазой контрольного импульса.

В реальных протоколах квантовой памяти на основе Л-конфигурации атомных уровней в присутствии сильного контрольного поля необходимо учитывать шум четырехволнового смешения, негативно влияющий на характеристики квантовой памяти. В современных работах других авторов [39, 26] вопрос четырехволнового смешения в случае резонаторной раманов-ской памяти был рассмотрен в адиабатическом пределе ("bad cavity"), причем в расчет принимались только полевые случайные источники. В связи с вышесказанным, заключительной целью диссертационного исследования явился теоретический анализ шума четырехволнового смешения за пределами адиабатического приближения, а также учет материальных источников шумов, связанных с атомной релаксацией.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Теория взаимодействия атомного ансамбля с Л-конфигурацией энергетических уровней и резонаторного поля в присутствии контрольного поля, развитая в формализме Гейзенберга-Ланжевена при наличии атомной релаксации, для широкого диапазона длительностей считываемых сигналов.

2. Теоретическая оценка и численный расчет квантовой эффективности считывания и чисел возбуждений, потерянных вследствие различных физических причин, в зависимости от длительности сигнала за пределами адиабатического приближения.

3. Метод получения требуемых амплитудных и фазовых характеристик считанного сигнала посредством управления временным профилем и фазой контрольного импульса.

4. Теоретический анализ шума четырехволнового смешения, возникающего при считывании относительно коротких сигналов, в модели резонаторной рамановской памяти, проводимый на основе метода двухполосной спектральной фильтрации случайных источников и операторов физических переменных системы в представлении Гейзенберга-Ланжевена.

5. Оценка и расчет дисперсии квадратурных амплитуд детектируемого сигнала с учетом влияния неполного считывания и добавленного шума от атомных источников и падающего вакуумного поля, возникшего вследствие наличия канала параметрической люминесценции.

Научная новизна

1. Исследован протокол нерезонансной рамановской квантовой памяти на основе ансамбля холодных атомов с лямбда-конфигурацией энергетических уровней при наличии атомной релаксации в присутствии высокодобротного резонатора. Для данной модели впервые решены уравнения Гейзенберга-Ланжевена для этапа считывания из памяти сигналов сигналов широкого диапазона длительностей, в том числе относительно коротких в масштабе времени жизни резонаторного поля.

2. Впервые выполнено теоретическое исследование потерь возбуждений квантовой системы вследствие различных физических причин в рассматриваемой модели памяти для широкого диапазона длительностей сигналов.

3. Проанализировано влияние процессов атомной релаксации на квантовую эффективность в таком режиме функционирования памяти, когда развитие сигналов во времени не является сколь угодно медленным в масштабе времени жизни поля в резонаторе. Исследована применимость известных оценок эффективности памяти через параметр кооперативности

системы и впервые получена оценка эффективности более общего вида.

4. Предложен новый подход, впервые позволивший найти взаимозависимые фазовые эволюции контрольного поля и восстановленного сигнала и разработать оптимальный режим работы памяти.

5. Впервые, на основе разработанного нами метода спектральной фильтрации шумов, проведен теоретический анализ влияния шума четырехволнового смешения, возникающего при считывании относительно коротких сигналов, на характеристики резонаторной квантовой памяти.

6. Впервые для модели резонаторной рамановской памяти учтен вклад в шум четырехвол-нового смешения от атомных источников шумов, наравне с квантованным полем боковой частотной полосы, проникающим в резонатор.

7. Впервые представлена аналитическая и численная оценка дисперсии квадратурных амплитуд выходного сигнала с учетом влияния как неполного считывания, так и добавленного шума, возникающего из-за присутствия канала параметрической люминесценции и обусловленного как квантованным полем боковой частотной полосы, так и атомными источниками шумов.

Научная и практическая значимость

Данная работа является теоретическим обобщением протокола нерезонансной раманов-ской памяти при наличии атомной релаксации на случай, когда развитие сигналов во времени не является медленным в масштабе времени жизни поля в резонаторе, и адиабатическое приближение ("bad cavity") [14, 32] не может быть использовано. Основной результат выполненного нами теоретического исследования заключается в выяснении возможностей и ограничений данной модели памяти при работе с сигналами конечной длительности. Влияние неадиабатичности на качество квантовой памяти представляет интерес в связи различными квантово-информационными приложениями. Так для практического применения памяти в квантовых сетях важно обеспечить хранение и совместную обработку в ячейке памяти квантового состояния многих сигналов. Ресурсом для этого может быть как пространственная многомодовость устройства памяти [10], так и способность записывать, преобразовывать и считывать временные последовательности многих сигналов [11], что предполагает сокращение длительности световых импульсов в масштабе времени жизни поля в резонаторе. Кроме того, решение вопросов повышения быстродействия устройств квантовой памяти также

предполагает сокращение длительности используемых импульсов. Таким образом, рассмотренное нами обобщение модели нерезонансной рамановской памяти на случай коротких сигналов может оказаться потенциально полезным при реализации квантово-информационных протоколов и схем квантовых коммуникаций.

Степень достоверности

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным и непротиворечивым построением квантово-механических моделей, положенных в основу расчетов, и строгим физическим обоснованием используемых в работе приближений и предположений. Полученные результаты имеют ясную физическую интерпретацию. Решение поставленных задач основывается на хорошо себя зарекомендовавшем полностью квантово-механическом описании с привлечением методов резонаторной квантовой электродинамики. Анализ представленных в диссертации результатов включает сравнение с экспериментальными данными и теоретическими исследованиями других научных групп. Полученные результаты докладывались и обсуждались с коллегами на научных семинарах, конференциях, школах и опубликованы в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Апробация работы

По материалам диссертации выполнены доклады на следующих конференциях, научных семинарах и школах:

• IX-й семинар по квантовой оптике, посвященный памяти Д.Н. Клышко (Москва, Россия, 25 - 27 мая, 2015).

• International Workshop "Nonlinear Photonics: Theory, Materials, Applications" (Saint-Petersburg, Russia, June 29 - July 2, 2015).

• XIV International Conference on Quantum Optics and Quantum Information (Minsk, Belarus , October 27-30, 2015).

• International Conference on Coherent and Nonlinear Optics ICONO 2016 (Minsk, Belarus, September 26 - 30, 2016).

• X семинар памяти Д. Н. Клышко (Москва, Завидово, 23 -26 апреля 2017).

• XV International Conference on Quantum Optics and Quantum Information (Minsk, Belarus, November 20-23, 2017).

• X Международная Конференция "Фундаментальные Проблемы Оптики (Санкт-Петербург, Октябрь 15-19, 2018).

• XXII International Youth Scientific School "The Coherent Optics And Optical Spectroscopy"(Kazan, October 9-11, 2018).

• XVI International Conference on Quantum Optics and Quantum Information, ICQOQI'2019 (Minsk, Belarus, May 13-17, 2019).

• Семинар по квантовой оптике кафедры Общей Физики I СПбГУ (Санкт-Петербург, Россия, 2015-2018).

• Городской межинститутский семинар по квантовой оптике при РГПУ им. А. И. Герцена (Санкт-Петербург, Россия, 2019)

Личный вклад автора

Основные результаты, представленные в диссертации, получены автором лично; выбор общего направления исследования, обсуждение и постановка рассматриваемых задач осуществлялись совместно с научным руководителем. Публикации

Основное содержание и результаты диссертации отражены в следующих публикациях. Публикации в журналах из перечня ВАК, баз Web of Science/ Scopus:

• Веселкова Н. Г., Соколов И. В. Влияние неадиабатичности на эффективность квантовой памяти на основе оптического резонатора // Оптика и Спектроскопия. - 2017. - том 123(1).

- с. 87-93. ( N. G. Veselkova and I. V. Sokolov. The Effect of Nonadiabaticity on the Efficiency of Quantum Memory Based on an Optical Cavity // Optics and Spectroscopy. - 2017. - Vol. 123(1).

- P. 83-88.)

• N. G. Veselkova and I. V. Sokolov. Non-stationary and relaxation phenomena in cavity-assisted quantum memories // Laser Physics. - 2017. - Vol. 27(12). - P. 125203.

• N. G. Veselkova, N. I. Masalaeva, and I. V. Sokolov. Cavity-assisted atomic Raman memories beyond the bad cavity limit: effect of four-wave mixing // Phys. Rev. A. - 2019. - Vol. 99(1) - P. 013814.

Публикации в сборниках трудов научных конференций:

• N. G. Veselkova, A. N. Vetlugin, I. V. Sokolov. Non-Stationary and Relaxation Phenomena in Cavity Assisted Quantum Memory for Light // Журнал прикладной спектроскопии. Materials of the International Conference on Coherent and Nonlinear Optics and International Conference on Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT 2016) September 26-30, 2016, Minsk, Belarus - 2016. - ТОМ 83 (6-16). - С. 52-52.

• Н. Г. Веселкова, Н. И. Масалаева, И. В. Соколов. Влияние канала параметрической люминесценции на квантовую память для света в резонаторной конфигурации // Сборник трудов X Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики - 2018». Санкт-Петербург. 15-19 октября 2018 / Под ред. проф. В.Г. Беспалова, проф. С.А. Козлова.- СПб: Университет ИТМО - 2018. — С. 45-46.

• N. G. Veselkova, N. I. Masalaeva, I. V. Sokolov. Cavity-assisted atomic Raman memories beyond the bad cavity limit: effect of four-wave mixing // VIII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО ФОТОНИКЕ И ИНФОРМАЦИОННОЙ ОПТИКЕ: Сборник научных трудов. М.: НИЯУ МИФИ. - 2019. — С. 177-178.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и десяти приложений. Полный объем диссертационной работы (без приложений) составляет 142 страницы текста, в том числе 26 рисунков и 265 наименований в списке литературы. Объем приложений составляет 20 страниц.

1 Обзор литературы

1.1 Наука о квантовой информации

Середина 90-х годов прошлого века ознаменовалась стремительным развитием новой области науки, находящейся на стыке теории информации, нерелятивистской квантовой механики и теории вычислений - теории квантовой информации. Это научное направление базируется на фундаментальном открытии, заключающемся в том, что основные правила, согласно которым информация может передаваться, храниться и обрабатываться, определяются законами квантовой механики. В качестве физических носителей информации стали рассматриваться не классические, а квантовые объекты с присущими им квантовыми свойствами. Известно, что квантовая механика имеет атрибуты, которых нет в классической физике. Эти необычные особенности, такие как перепутывание, суперпозиция квантовых состояний, принцип неопределенности Гейзенберга, можно использовать в качестве ресурса для построения новых (квантовых) технологий. Фундаментальные результаты науки о квантовой информации показывают, что на практике квантово-механические законы можно использовать для выполнения задач, не решаемых классическими методами.

Первые теоретические исследования в области квантовой информации были предприняты еще в 60 - 70-х годах прошлого века, но активное развитие данного направления началось лишь в 90-е годы и было связано, прежде всего, с открытием практически важных приложений теории квантовой информации, таких как квантовые вычисления и квантовые компьютеры, квантовая криптография и квантовая телепортация. Кроме того, этому прогрессу в значительной степени способствовали разработки новых экспериментальных методов в таких областях физики, как квантовая оптика, атомная физика, фотоника, физика твердого тела, с помощью которых были продемонстрированы принципиально новые возможности практического использования специфических особенностей квантовых носителей информации. Известно, что элементарными классическими носителями информации являются биты - объекты, которые могут находиться в двух различных состояниях, обозначаемых обычно, как 0 и 1. В отличие от них квантовые биты, сокращенно кубиты (от англ. "quantum bit"), могут принимать бесконечное множество различных состояний и представляют собой системы, квантовые состояния которых описываются суперпозицией |ф) базисных векторов |0) и |1) двумерного гильбертова пространства, = а |0) + b |1) (с вероятностями |а|2 и |Ь|2 обна-

ружения кубита в состояниях |0) и |1), соответственно). В квантовых вычислениях переход к квантовым носителям информации привел к созданию принципиально новых - квантовых алгоритмов, способных решать определенные математические задачи за значительно меньшее число шагов, чем их лучшие классические аналоги.

Идея квантовых вычислений впервые была высказана советским математиком Ю. И. Ма-ниным [40], обратившим внимание на то, что квантовые вычислительные устройства обладают гораздо большими вычислительными ресурсами, чем классические. В 1982 году Р. Фей-нман показал [41], что никакой классический компьютер не в состоянии моделировать многочастичные квантовые системы, т. к. такой компьютер требует экспоненциально больших по числу частиц в системе вычислительных ресурсов. Для моделирования динамики таких систем Фейнманом было предложено использование квантового компьютера - универсального вычислительного устройства, использующего кубиты в качестве носителей информации. Вскоре П. Бениофф [42] описал теоретические основы построения такого компьютера и доказал, что его вычислительная мощность не меньше, чем у классического. Затем в 1985-м году Д. Дойч [43] создал формальную теорию квантовых вычислений и квантовой машины Тьюринга, сформулировал основополагающую идею квантового параллельного вычисления. Он также предложил концепцию квантового процессора и квантовых логических вентилей, определил некоторые свойства этих систем. Тем не менее, еще долгое время оставалось неясным, можно ли использовать вычислительную мощность гипотетического квантового компьютера для ускорения решения практических задач, до тех пор, пока П. Шор [44] не разработал первый нетривиальный квантовый алгоритм для основной задачи прикладной криптографии -разложения n-значного числа на простые множители. Лучшими из классических алгоритмов эта задача решается за число шагов, экспоненциально возрастающее с увеличением длины числа. На этом принципе основано функционирование наиболее распространенной из современных систем защиты информации - криптосистемы RSA. Квантовый же алгоритм факторизации чисел, предложенный Шором, выполняет эту задачу за существенно меньшее число шагов, порядка п2. Экспериментальная реализация алгоритма Шора начала осуществляться с 2001 года, начиная с разложения числа 15 на простые множители 3 и 5 в системе NMR [45], и затем на других физических системах [46]-[48]. За этими разработками последовало создание алгоритма для факторизации числа 143= 11 х 13 [49].

Другой широко известный квантовый алгоритм, разработанный Гровером [50, 51], позво-

лил осуществлять поиск элемента в неупорядоченной базе данных из N элементов за число шагов ~ N1/2 [52, 53], в то время как классический алгоритм решает эту же задачу за число шагов ~ N/2. На сегодняшний день имеется множество квантовых алгоритмов [54]-[60], работающих асимптотически быстрее своих классических аналогов.

Прогресс в области разработки квантовых алгоритмов привел к исследованию задачи экспериментального создания квантового компьютера в научных центрах по всему миру. Построение полномасштабного квантового компьютера в виде реального технического устройства, превосходящего по производительности любой классический компьютер, на каких бы физических принципах он ни работал, является фундаментальной задачей физики XXI века. На данный момент созданы только ограниченные варианты квантового компьютера, содержащие чуть более десятка связанных кубитов и реализующие простейшие логические операции и алгоритмы. Сложность создания полноценного квантового компьютера связана, прежде всего, с необходимостью практического обеспечения изоляции квантовых систем от внешних воздействий, нарушающих квантовую когерентность. Время декогеренции (т. е. время разрушения суперпозиции квантовых состояний) должно по крайней мере в 104 раза превышать время выполнения основных квантовых операций. Для этого система кубитов должна быть довольно слабо связана с окружением, в результате чего может стать невозможным выполнение самих квантовых алгоритмов. Кроме того, существуют проблемы приведения кубитов в определенные исходные состояния и объединения их в перепутанные системы, которые могут находиться в сильно коррелированных состояниях, понимание и построение которых на сегодняшний день представляет серьезную трудность.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Веселкова Наталья Геннадьевна, 2019 год

источников

(Ы^ = Ь±Ш (I — г'), (2.42)

( ^8 (^(О) = 2Ът (I — г'). (2.43)

Определим операторы электронной поляризации Р = аде и спиновой когерентности § = ад8^^/N, смысл которых выясняется из вида коммутационных соотношений, которые получаются с учетом (2.25) в приближении неизменных атомных заселенностей:

[Р, Р1 = ^1[аде,аед] = ^[адд — аее] ^ 1, [§, §] = ^8^] = ^[Бдд — ^] ^ 1. (2.44)

Представленные выше соотношения показывают, что операторы Р и Б фактически являются бозонными квантованными амплитудами осциллятора электронной поляризации на переходе — и осциллятора спиновой поляризации на переходе — , причем однократному возбуждению такого осциллятора отвечает появление атомного возбуждения на соответствующем уровне (|е ) или |з )). Заметим, что обратное утверждение неверно: при появлении возбуждения атомного ансамбля не обязательно возникает возбуждение волны когерентности, амплитуде которой сопоставляется величина Р или Б. Дело в том, что имеются и другие степени свободы когерентности атомного ансамбля (их N — 1), которые отличаются взаимными фазами атомных вкладов в N-атомную суперпозицию, и в общем случае добавленное в ансамбль возбуждение делится между этими степенями свободы (см. приложение С). В терминах опе-

раторов Р и S система уравнений (2.37) - (2.39) приобретает вид

S(t) = — rJ(t) + г gVNP(t) + y/2nSin(t), (2.45)

P{t) = — (7± + iA)P(t) + г gVNSit) + iQ(t)S(t) + fillFp (t), (2.46)

S(t) = — %S(t) + iQ*(t)P(t) + \f2% Fs (t). (2.47)

В полученных уравнениях константа связи д атома с резонаторной модой коллективно усиливается множителем y/N. Систему уравнений (2.45) - (2.47) необходимо дополнить in-out соотношением10 для полей, интерферирующих на зеркале связи, справедливым в случае высокодобротного11 резонатора, когда ^Т/2ж ^ 1 (Т - "finesse"):

£out (t) = £(t) — £m(t). (2.48)

10вывод которого представлен в приложении D

псм. приложение E

В представленных выше основных уравнениях (2.45) - (2.47) введены переопределенные атомные случайные источники Рр = Бде/ л/2у±Ы, ^ = Рдз/у/2, единственные отличные от нуля парные корреляторы которых имеют вид

( ^р(г)ррр(г')) = ( Р8(г)&8(г')) = б(г — £). (2.49)

Тот факт, что нормально упорядоченные корреляторы ланжевеновских источников Рр, Р8 равны нулю, означает, что рассматриваемые источники находятся в вакуумном состоянии.

2.4 Адиабатическое исключение электронной поляризации

В случае нерезонансного рамановского взаимодействия в трехуровневой Л-системе можно провести процедуру адиабатического исключения уровня |е), слабо и нерезонансно связанного с нижними уровнями I д) и |з). В результате такой процедуры исходная задача сведется к описанию эффективной динамики двухуровневой атомной системы д—в, взаимодействующей с резонаторной модой в присутствии управляющего поля. Для выполнения адиабатического исключения представим решение уравнения (2.46) в следующем виде

г

Р(г) = I ] (гд^Ы£(г') + гП(г')8(г') + (^ . (2.50)

—те

В нерезонансной рамановской схеме взаимодействия полей отстройка А считается самым большим из характерных частотных параметров системы, т. е. А ^ гу±, дл/Ы, ^(Ь), к, шад, 1 /Т (где Т - длительность извлеченного сигнала). При этом функции £(Ь) и 8(Ь) следует считать медленными во временном масштабе А-1, т. к. они получаются (согласно формулам (2.23), (2.24)) в результате вынесения свободной быстрой зависимости ехр [—гшсЬ] на частоте моды резонатора в случае £ и ехр [—%(шс — шр)Ь\ на частоте свободной прецессии спина для 8 из гейзенберговских решений. Огибающую накачки также считаем медленной.

Для медленных вкладов под интегралом в правой части (2.50) осциллирующая экспонента вида ехр[— (гу± + гА)(1 — Ь')] играет роль смещенной дельтаобразной функции масштаба А-1 от разности времен — ,

ехр[—(7± + гА)(г — г')] «-5д-1 ((г — е) — £), е ^ +0. (2.51)

7± + г А

Это свойство не очевидно, поскольку осцилляции экспоненты во времени протягиваются на расстояние ~ (7±) —1 ^ А-1 и функции £(Ь),8(Ь),на этом интервале уже не являются

медленными. Обоснование соотношение (2.51) с помощью преобразования Лапласа приводится в приложении Р. Учитывая представление (2.51), находим:

г

(1 П^3(+) + 7 0.( + ) 6(1)} +

7± + г А

РП) =-Ц- (гд^N¿(1) + гПП)§П)) + [ )РР(£). (2.52)

71 + г А 4 ' ]

Отдельно обсудим роль ланжевеновского источника ¿р. Источники, вводимые в рамках теоремы Эйнштейна, по определению считаются быстрыми, т. е. их время корреляции тсогг (время памяти) считается много меньшим, чем время характерных динамических изменений наблюдаемых. В нашей задаче характерные масштабы задаются скоростями релаксации и переходов в приложенных полях. Условие (2.49) формально предполагает сколь угодно малое время корреляции и сколь угодно широкую спектральную полосу для огибающей ¿р (1) случайного квантованного поля. Однако фактически достаточно потребовать, чтобы ширина спектра огибающей источника ~ 1/тсогг (при несущей частоте шс, вынесенной из электронной поляризации) была, с одной стороны, много больше указанных характерных масштабов, но много меньше рамановской отстройки А. Приняв это, можно взять оставшийся интеграл по времени в (2.52) с помощью (2.51), и в результате для электронной поляризации получаем12 (с точностью до 1-го порядка по параметру Гу±/А ^ 1)

_±Л + т А

Р(г) = — А {1 + гА) [^^N¿(1) + г0(1)§(1) + у/ъЦРр(г)

(2.53)

Подставляя (2.53) в уравнения (2.45) и (2.47) и пренебрегая распадом спиновой когерентности (78 = 0), получаем систему уравнений для переменных ¿¿(¿) и 3(1)

¿Ю = (Ь^ — (к + )) 3,) + ЬШЁ (, + £) ¿ю + (2.54)

,й = (тг _ ¿(() + (1 + ^ ¿{() + (2,5)

А

Остановимся на физическом смысле вкладов, возникших в уравнениях движения для ре-зонаторного поля (2.54) и коллективного спина (2.55) после адиабатического исключения

12Заметим, что этот результат можно получить непосредственно из уравнения движения (2.46), если пренебречь производной от электронной поляризации (Р ^ 0) и затем выразить Р(£). Однако такой краткий вывод оставляет нераскрытыми существенные физические допущения, которые мы явно описали выше.

электронной поляризации. Первый член в правой части (2.54) описывает осцилляции медленного относительно несущей зависимости ехр[—гшсЬ] оператора резонаторного поля на частоте д2М/А. Этот вклад описывает частотный сдвиг 8с = — д2М/А резонаторной моды за счет показателя преломления в двухуровневой системе — , взаимодействующей с квантованной модой резонатора. Из уравнения (2.54) также следует, что к затуханию поля моды в результате вытекания со скоростью к через зеркало связи добавилось затухание (происходящее со скоростью д2 А2) вследствие поглощения резонаторного поля на электронном переходе — .

Вклад в £(Ь) слагаемого (гд0(Ь)у/Ы/А) (1 + А) 8(Ь), и аналогичный вклад в уравнении (2.55), соответствует характерному для памяти процессу обмена возбуждениями между осцилляторами коллективного спина и квантованного резонаторного поля, с параметром связи

т = — А(), (2.56)

определяющим частоту такого обмена. Отметим, что в рамановском режиме для достижения достаточной связи резонаторной моды с коллективным спином требуются большие значения |0(£)|. С другой стороны, большие значения |П^)| приведут к увеличению скорости распада спиновой когерентности, которая равна |П(£)|2/у±/А2. Таким образом, оптимизация формы и мощности накачки 0,(1) для данной выходной моды заключается, в общем случае, в нахождении компромисса между этими двумя видами потерь.

Как следует из уравнения (2.55), медленный оператор коллективного спина 3(1), выделенный относительно несущей зависимости ехр[—гшздЬ], приобрел частотную поправку — / А вследствие штарковского сдвига уровня |з ), вызванного сильным управляющим полем, действующим на атомном переходе в — е. Заметим, что для компенсации переменной поправки к частоте шзд можно использовать симметричную четырехуровневую схему с дополнительным верхним уровнем | ) . В этом случае управляющее поле будет действовать также на атомном переходе — и сдвигать уровень | ) . Вклады световых сдвигов сократятся, если в двух сильных канал частоты Раби будут одинаковыми, а отстройки частот - близкими в рама-новском пределе (см. формулу (5.47) главы 5). Второй член в правой части (2.55) приводит к экспоненциальному затуханию спиновой когерентности со скоростью |П(£)|27^/А, которое объясняется попаданием контрольного поля в крыло линии поглощения и опустошением уровня | ) .

Мы ограничимся далее случаем чтения из памяти, когда источник £in(t) соответствует вакуумному полю. Вследствие линейности основных уравнений (2.45) - (2.47) по полевой и атомным переменным, их решения будут содержать вклады от источников, обеспечивающие сохранение правильных коммутационных соотношений, в виде аддитивных добавок (см. приложение G). Эти вклады также отвечают вакуумным операторам. Поэтому при вычислении нормально упорядоченных средних, таких как числа возбуждений, на основе которых можно составить уравнение баланса возбуждений, а также вычислить квантовую эффективность чтения, все вклады от ланжевеновских источников обратятся в ноль. В результате значения нормально упорядоченных средних будут определяться решением уравнений эволюции без источников, т. е. как если бы все переменные были классическими. В связи с вышесказанным далее в этой главе будет рассматриваться с-числовой аналог уравнений движения (2.45)

- (2.48) (классические переменные будем обозначать теми же буквами без шляпок).

2.5 Согласование фаз динамических переменных системы

Чтобы согласовать фазы физических переменных и получить возможность выбрать амплитуду поля вещественной13, целесообразно переопределить медленные амплитуды, принимая во внимание рассмотренные выше физически обоснованные поправки к полевым и атомным частотам. При наличии вещества и в отсутствие контрольного поля амплитуда резонаторного поля £(t) развивается как exp(-г8ct), где

Q2N

4 = - 9~n, (2.57)

- поправка к частоте моды за счет линейного показателя преломления. При А = шед — шс > 0 поправка отрицательна, т. к. на низкочастотном крыле линии среды (область нормальной дисперсии) показатель преломления больше, чем в вакууме, и та же длина волны, необходимая для удовлетворения модовому условию, отвечает меньшей частоте. Сильное контрольное поле, действующее в канале - , порождает поправку

ад = Л, (2.58)

к энергии (в частотных единицах) уровня |s) за счет светового штарковского сдвига. С учетом этой поправки амплитуда коллективного спина S (t), определенная как медленная от-

13Выбор вещественной амплитуды отвечает удобному для эксперимента случаю полей с монохроматической несущей и амплитудной модуляцией.

носительно ехр(—гшад¿), развивается с мгновенной частотой 5а(Ь), что отвечает временной зависимости фазы спина следующего вида:

в (г) - ехр(—Ра(^), (г)= I б£ 8а(и!).

Jo

а V

0

Определим новые медленные амплитуды (с тильдой) поля моды, электронной поляризации, коллективного спина и контрольного поля как медленные относительно поправленных частот:

£ (г) = е-**с*£(г), (2.59

р (г) = е-**с*Р(г), (2.60

в (^ = е^^Б^), (2.61

ОД = е (2.62

Уравнения движения для новых переменных, где введенные фазовые множители компенсируют друг друга, принимают вид

£(г) = (—к + г 5С )£(Ь) + г д/МР(г), (2.63)

Р(1) = —Ь± + г(А — 6с)Р(г) + г д/М£(г) + гй(г)§(г), (2.64)

ЗД = г ба(г)§(г) + гП *(г)Р(г), (2.65)

Ёоиг(1) = у/2К£(г), (2.66)

и произведем адиабатическое исключение атомной поляризации. Полагая Р(Ь) = 0 в уравнении (2.64), находим (с точностью до 1-го порядка по малой величине /А ^ 1, где

А = А — 6с):

(2.67)

Р = — ^ (1 + г4^) [гд/М£ + гПв .

Подставим полученное выражение для поляризации в уравнения эволюции резонаторного поля (2.63) и коллективного спина (2.65), принимая, что частотные сдвиги (2.57), (2.58) определены через поправленную расстройку. В результате сокращения частотных поправок уравнения движения приобретают вид

т = — (к + + А(1 + гХ)з/^п(г)§(г), (2.68)

Ь)=— ад+А (1+гА *(*ш (2.69)

64

На основе данных уравнений в главе 3 диссертации будут исследоваться амплитудные и фазовые явления, возникающие при считывании из резонаторной памяти относительно коротких сигналов. В главе 4 на основе уравнений (2.68), (2.69) будет рассмотрено влияние неадиабатичности поля и неполного считывания на эффективность квантовой памяти при наличие поперечной атомной релаксации.

Для понимания физических процессов, протекающих в исследуемой системе, составим уравнение баланса потоков возбуждений (полевых и спиновых). Исходя из уравнений движения (2.68), (2.69), с точностью до первого порядка по А ^ 1 получаем

| (|¿~ | 2 + | 5|2) = —2 «I¿~ | 2 — А \gVNS + ^Г . (2.70)

Принимая во внимание (2.67), баланс возбуждений может быть представлен в форме

dt

(\S\2 + \S|2) = -2 к| £|2 - 21±\Р|2. (2.71)

В пределе большого числа атомов в случае, когда поперечная атомная релаксация носит чисто фазовой характер, последний вклад в потери возбуждений можно интерпретировать как необратимый перенос возбуждений в резервуар ортогональных к Р состояний коллективной атомной поляризации (см. приложение C). Здесь возникает аналогия с поперечной релаксацией в системе коллективных состояний Дике [258].

Поскольку, как будет предполагаться далее, величины Q(t) и £(t) аппроксимируются вещественными функциями с незначительной фазовой модуляцией14, а функция S(t) близка к чисто мнимой, что следует из решения уравнения (2.69), величину QS в том же приближении можно также считать чисто мнимой. Таким образом, баланс возбуждений (2.70) приобретает вид:

| (I£|2 + |S|2) = -2 (к + |£|2 - ÄiSf.

Раскроем физический смысл полученного уравнения: помимо утечки возбуждений со скоростью 2к через зеркало связи (в полезный сигнал), возникли потери возбуждений, вызванные затуханием (со скоростью д2 А2) поля резонатора за счет поглощения в крыле спектральной линии перехода д - е и релаксацией (со скоростью | П | 27^/А2) амплитуды коллективного спина вследствие возбуждения уровня | s ) классическим контрольным полем в канале взаимодействия - .

14Подробно фазовые свойства переменных системы будут исследоваться в следующей главе.

3 Амплитудные и фазовые явления, возникающие при считывании сигналов ограниченной длительности из ре-зонаторной рамановской памяти

Неадиабатичность поля в присутствии атомной релаксации оказывает значительное влияние на фазовые свойства участвующих в протоколе памяти полей - классического контрольного поля и восстановленного из памяти поля квантованного сигнала. Фазовые свойства квантованных сигналов, извлеченных из памяти, имеют важное значение для различных применений в квантовой информации. Например, детектирование и управление сжатием, перепу-тыванием обычно осуществляются посредством оптического смешения и гомодинирования в режимах как непрерывных, так и дискретных переменных. В этом случае необходимо иметь согласованное амплитудно-фазовое поведение световых импульсов. В связи с этим мы уделим особое внимание управлению во времени не только амплитудой, но и фазой сильного классического поля, с той целью, чтобы обеспечить необходимое - удобное для использования считанного сигнала в измерительных процедурах, основанных на оптическом смешении, - амплитудное и фазовое поведение восстановленного из памяти сигнала.

Мы рассмотрим амплитудно-фазовое поведение восстановленного сигнала и контрольного поля в случае, когда развитие сигналов во времени не является сколь угодно медленным в масштабе времени жизни поля в резонаторе (т. е. не ограничиваясь адиабатическим режимом) и покажем, как в этих условиях можно добиться оптимального управления ячейкой памяти. Цель исследования будет заключаться в выяснении возможностей и ограничений нашей модели памяти при работе с сигналами конечной длительности.

Ранее в литературе обсуждалась возможность записи и считывания сигналов заданной временной формы в одномодовую резонаторную память для адиабатического ("bad cavity") режима, в случае памяти на холодном атомном ансамбле [14, 262], и для микрорезонатора с одним атомом [261]. За пределами адиабатического приближения возможность согласования профиля сигнала и контрольного поля рассмотрена в [16, 117]. В данной главе применяется аналогичный метод, в котором дополнительно учитывается релаксация атомной поляризации, приводящая к появлению фазовой модуляции амплитуд переменных системы и, как следствие, комплексности функций £(t), S(t) и Q(t).

Ниже мы покажем каким образом выбор фазовой модуляции контрольного поля позво-

ляет управлять фазой считанного сигнала. В данном подходе мы найдем нестационарные временные профили амплитуды и фазы управляющего поля, которые обеспечивают считывание квантованных световых сигналов заданной временной формы и без значительной фазовой модуляции, решая "обратную задачу", в которой: 1) задается поведение во времени сигнала, извлекаемого из памяти (амплитуда и фаза); 2) ищется контрольное поле, отвечающее заданному сигналу; 3) численно решаются уравнения для нахождения фактически извлеченного из ячейки памяти сигнала. Предложенный нами метод обеспечивает считывание из ячейки памяти ограниченных во времени сигналов заданной временной формы и линейной во времени фазой, что существенно для их использования в схемах оптического смешения [15].

3.1 Управление временным профилем выходного сигнала

В системе уравнений для медленных переменных удобно перейти к безразмерному времени т = 2 Kt, отнесенному ко времени затухания энергии поля в резонаторе, и ввести безразмерные амплитуды £in,out(т) = £in,out(t)/V22K, £(т) = £(t), S(т) = S(t). Уравнения движения и условие согласования световых полей на зеркале связи в безразмерных переменных приобретут вид:

£(т) = -(1 + х)£(т)/2 - гк(т) (i + ) S (г), (3.1)

S(r) = Ч 1ВД|2 S (г) - гк*(т) (i + ) £(т), (3.2)

£out (т) = £(т). (3.3)

где

х = ~«АГ = СЫ , * = = С (3.4)

Здесь С = д2К/(^у±к) - параметр кооперативности, в резонаторной задаче играющий роль эффективной оптической толщины [263];

- ^ _ (3.5)

1 ; 2 «А К ;

- безразмерный параметр связи резонаторного поля с коллективным спином.

Уравнение баланса потоков полевых и спиновых возбуждений, полученное на основе соотношений (3.1), (3.2), имеет вид

^ (|£(т)|2 + |S(г)|2) = -|£(т)|2

^= ^ £(т) --2=к(т)Б(Т)

2

(3.6)

С учетом поставленной цели - найти временной профиль управляющего поля, который соответствует требуемому временному профилю восстановленного из памяти сигнала £оиг(т) - будем считать, что вещественная часть комплексной амплитуды поля £(т) = £0иь(т) имеет заранее заданный вид £0(т) = Ке[£(т)]. При этом мы будем исследовать такой режим работы памяти, когда возникающая мнимая часть амплитуды резонаторного поля относительно мала, т. е. малы отклонения фазы комплексной амплитуды поля, axg[£(тУ] = фе(т) — 7^/|А| ^ 1, относительно несущей зависимости ехр(—г(шс + 5С)Ь). Используя уравнение эволюции (3.1), выразим входящую в баланс возбуждений (3.6) величину к(т)в(т) через амплитуду резонаторного поля, с точностью до первого порядка по параметру ,у±/А ^ 1:

к(т)8(т) = г{1 —

£(т) + (1 + Х) £(т)/2

(3.7)

Ак

Найдем временную зависимость числа спиновых возбуждений, которая соответствует заданному временному поведению числа возбуждений поля резонаторной моды, |<£(г)|2, полагая, что амплитуда £(т) мало отличается от вещественной огибающей £0(т), т. е. £(т) ~ £0(т). С этой целью в уравнение баланса (3.6) подставим выражение (3.7) для £в, тогда в том же порядке по малому параметру 7^/|А| получаем:

^[ЗД!2 = —2^(г) (£0(г) + (г)) . (3.8)

Введенную здесь величину

Б/(т) =£к0(т) + (1 + х) Ш/2, (3.9)

назовем парциальной производной резонаторного поля. В соответствии с полевым уравнением движения (3.1), парциальную производную И/(т) можно рассматривать как вклад связи спина с резонаторным полем в скорость изменения амплитуды поля. Характерно, что в момент времени та, в который V/ (та) = 0, эволюция поля определяется только затуханием за счет утечки возбуждений ("подпитка" поля за счет спиновых возбуждений отсутствует) через зеркало связи и поглощения в крыле спектральной линии перехода — . При положительном знаке парциальной производной V/(т) > 0, т > та, спиновая подсистема отдает возбуждения полю, отрицательный знак этой величины, V/(т) < 0 при т < та, наоборот, соответствует поглощению поля. Таким образом, согласно соотношению (3.8), момент времени та является особой точкой в эволюции системы, где при считывании из памяти поток возбуждений, устремленный от спиновой подсистемы к полю моды, меняет свое направление,

т. е. чтение сменяется записью. Физически это объясняется тем, что задний фронт сигнала ограниченной длительности можно сформировать только за счет передачи части полевых возбуждений обратно в коллективный спин, поскольку свободный распад поля начиная с момента времени т8 (в который спиновые возбуждения отсутствуют) стремится растянуть задний фронт сигнала по экспоненциальному закону [262] (рис. 14). Смена чтения на запись не только ограничивает квантовую эффективность считывания [259], но также влияет, как будет показано ниже, на фазовые свойства переменных системы.

£о (т)

Рис. 14: Демонстрация особенности работы с короткими сигналами в резонаторной памяти - резонатор может препятствовать получению сигнала заданной временной формы ¿0 (г), "размазывая" задний фронт импульса (кривая 1) экспонентой свободного распада поля (кривая 2). Для формирования заднего фронта сигнала необходимо, начиная с момента времени т8, осуществлять переброс части возбуждений, считанных из атомов, обратно в активную среду.

Наша дальнейшая цель будет заключаться в нахождении такого выражение для параметра связи к(т), которое обеспечит заданный явно вид выходного сигнала Sout(г). Параметр связи к(т) будем искать в виде произведения гладкой положительно определенной функции \к(т)| и малой фазовой функции ег^к), т. е. положим

к(т) = |к(т)|eitpkМ, \Vk(т)| - ^ << 1. (3.10)

Относительно заданной функции S0 (т) = Sout (т) будем предполагать, что она является вещественной непрерывно дифференцируемой и обращается в ноль на концах интервала считывания, Е0(0) = <ко(Т) = 0, причем внутри этого интервала является строго положительной,

т. е. примем

£(т) = £о(т)eiipe« £0(т) > 0,т G (0, Г); ф(г)| - А « 1, (3.11)

Модуль параметра связи выразим из формулы (3.1). В рассматриваемом нами нерезонансном пределе 7^ « А получаем искомое выражение:

|îM| = , (3.12)

где предполагается, что модуль спиновой амплитуды является функцией от £0(т) в соответствии с равенством (3.8).

3.2 Исследование фазовых характеристик переменных системы

Для исследования фазовых характеристик переменных системы и нахождения фазы параметра связи фь (т), обеспечивающей постоянную относительно монохроматической несущей зависимости exp(-г(шс + Sc)t) фазу восстановленного сигнала, выделим в уравнении эволюции амплитуды коллективного спина (3.2) найденную выше комбинацию (3.7), домножая (3.2) на S*(t),

S(r)S*(r) = -^k(r)S(т)|2 - г(1 + iA)(k(r)S(r))*£(r), (3.13)

причем спиновую амплитуду представим в виде15:

S(т) = -So(т)е™« §о(т) G R; ф(т)| - А « 1. (3.14)

Далее выделим вещественную и мнимую часть из уравнения (3.13), учитывая соотношение (dSfdr)S* = (d/d^^S|2/2 + гф^Б|2. Уравнение для вещественной части представляет собой баланс возбуждений (3.8). Эволюция фазы спина описывается уравнением для мнимой части (3.13), которое в соответствии с (3.7) можно привести к виду

фШв(т)2 - ф£(т)|£(т)|2 = - 1-A^Dn(r). (3.15)

15Отметим, что в отсутствии атомной релаксации при считывании вещественного сигнала, решением основных уравнений (3.1), (3.2) является чисто мнимая амплитуда коллективного спина. Соотношение (3.14) отражает эту закономерность с учетом возникшей вследствие атомной релаксации нестационарной фазовой добавки (т).

Здесь по аналогии с (3.9), мы ввели парциальную производную числа возбуждений резона-торной моды,

] „ „

ЗД = -\£(т)\2 + (1 + х) !ОД|2 = 2£0(т)О}(г), (3.16)

где учтено, что |£|2 = ¿О2. В особой точке т = т3, в которой (т3) = 0, и, следовательно, Дп (т8) = 0, скорость изменения числа возбуждений поля определяется только суммарной скоростью утечки поля через зеркало связи и в крыло линии поглощения. При этом "подпитка" поля за счет спиновых возбуждений отсутствует и вся динамика поля определяется утечкой возбуждений. Важным для понимания поведения фаз переменных является тот факт, что согласно уравнению (3.15), эффективные добавки к частотам и фазам поля и спина должны иметь знак, согласованный16 с направлением обмена возбуждениями между полевой и спиновой подсистемами.

Исследование баланса возбуждений показывает17, что число спиновых возбуждений яв-

16Можно провести аналогию с относительными фазами поля и поляризации в простой двухуровневой системе, управляемой внешним световым полем. При фазовом сдвиге ±ж/2 между полем и атомной поляризацией происходят только дисперсионные эффекты без обмена возбуждениями. Усиление или поглощение поля сопровождается дополнительным сдвигом фазы, знак которого соответствует направлению потока возбуждений, что отражается зависимостью, аналогичной (3.15).

17Для нахождения \5(г)\ через заданную временную форму выходного сигнала £оиг(т) проинтегрируем уравнение (3.8) на интервале [т, Т]. Предполагая, что считывание является полным, т. е. никакие возбуждения не остаются в системе к концу цикла считывания Р, £(Р) = $(Р) = 0, имеем

1ВД = у/Щ, (3.17)

где

т т

Р(г) = + 1+ £2(8) - ^ £2(т) + 4! Л* £(з), £(т)= £оиг(т). (3.18)

т т

Таким образом, модуль спиновой амплитуды оказывается однозначно определенным выходным сигналом. Однако, в реальных физических задачах оказывается, что функция Р(т) может принимать отрицательные значения, что приводит к нефизическим отрицательным значениям числа спиновых возбуждений \8(т)\2. По этой причине при расчете модуля параметра связи необходимо произвести регуляризацию функции Р(т), вводя минимальную регуляризирующую добавку $0, обеспечивающую неотрицательность числа спиновых возбуждений. С учетом регуляризации выражение (3.17) примет вид:

\Б (г )\ = ^02 + Р (г), (3.19)

с минимальной регуляризирующей спиновой добавкой

¿0 = \rnin [Р (т), 0 <т< Р] \, (3.20)

ляется неотрицательным при условии, что в конце цикла считывания в атомной подсистеме остается некоторое число не извлеченных спиновых возбуждений (Т)|2. Наибольший интерес представляет случай максимальной квантовой эффективности чтения, который соответствует такому режиму управления памятью, когда число оставшихся спиновых возбуждений минимально. Это означает, что при т = т3 условие (й/йт)|5'|2 = 0, которое следует из уравнения баланса (3.8), удовлетворяется за счет обращения в ноль амплитуды спиновой когерентности, (Та) = 0. В итоге, к концу цикла считывания в системе остается минимальное (необходимое для построения корректной физической модели) число спиновых возбуждений.

3.3 Управление фазой выходного сигнала

Ниже мы покажем, что при любом экспериментально реализуемом (гладком) временном поведении фазы параметра связи ф^(т) (т. е. контрольного поля), поле сигнала неизбежно испытывает модуляцию фазы. Мы предложим подход, позволяющий найти взаимозависимые фазовые эволюции контрольного поля и извлеченного сигнала и разработать режим работы памяти, удовлетворяющий условиям возможного эксперимента.

Заметим, что для гладких сигналов ограниченной длительности парциальные производные Df (т) и Ип(т) в окрестности особой точки т3 зависят, как следует из разложения в ряд Тейлора при отличных от нуля производных от этих функций в точке т3, от времени линейно18, т. е. ~ (т — т3), в результате чего, при (т3)|2 = 0 из уравнения баланса (3.8) находим (т)|2 ~ (т — т3)2. Предполагая, что фазовая модуляция резонаторного поля отсутствует, т. е. фе(т) = 0, из уравнения (3.15) для производной от фазы спина в окрестности особой точки получаем оценку

, , Dп(т) 1 фз(т) - Dп(_L--. (3.21)

2

S

Т - т3

Отсюда следует, что необходимое для подавления фазовой модуляции резонаторного поля, и, соответственно19, поля выходного сигнала (т) = £(т), временное поведение фазы спи-

которая по смыслу есть число спиновых возбуждений, оставшихся в системе к моменту времени 7~, S2 = № )12.

18Исключениями, которые мы не рассматриваем, являются сигналы с задним фронтом, сформированным

по закону свободного распада поля [262].

19Из in-out условия (2.48) для полей, интерферирующих на зеркале связи, для соответствующих безразмерных комплексных амплитуд £in,out (т) = £in,out (^)/л/2к, £(т) = £(í) при считывании (£¿„ (т) = 0) следует соотношение £оиг(т) = £(т).

новой когерентности ф8 (т) является разрывным и характеризуется логарифмической расходимостью вблизи особой точки т3, что приводит к сингулярности фазы контрольного поля (см. ниже) и не может быть реализовано экспериментально.

Рассмотрим такие режимы управления ячейкой памяти, в которых решается проблема фазовых сингулярностей. Так как требование отсутствия фазовой модуляции амплитуды поля £(т) приводит к нефизическим решениям, введем управляемую фазовую модуляцию этой переменной в окрестности особой точки,

ф£(т)£2(т) = ^Д,(т)Р(г, г,), (3.22)

что приводит, в соответствии с (3.15), к уравнению для фазы спина вида

ф8(г)\ЭД\2 = -^Д,(т)(1 - Р(г, г,)). (3.23)

Фактор Р(т, т3) включения фазовой модуляции поля выбирается в виде гладкой функции времени, удовлетворяющей условию Р(т3, т3) = 1, которое устраняет фазовую сингулярность спина. Так как для огибающей сигнала мы предполагаем £0(0) = £0(Т) = 0, необходимо наложить дополнительное условие Р(0, т3) = Р(Т, т3) = 0 для того, чтобы избежать появления сингулярностей фазы резонаторного поля на концах интервала, г = 0, Т, которые могут возникнуть согласно уравнению (3.22).

Выразим фазу параметра связи фд(г), исходя из явного выражения (3.7) для произведения /ей". В результате, с точностью до 1-го порядка по 7±/Д ^ 1, получаем следующие фазовые соотношения

фк(г) = -ф8(т) + ф£(г) - ^, (3.24)

5 1дп{§о(т)} = -5 гдп{Б/ (г)}. (3.25)

Последнее равенство показывает, что в режиме, когда частота Раби управляющего поля (эквивалентно, параметр связи) является непрерывной функцией, амплитуда коллективного спина в особой точке т3 меняет знак (т. е. фаза коллективного спина испытывает скачок на п радиан).

Из представленных выше формул (3.23), (3.24) получаем выражение для фазы параметра связи, обеспечивающего считывание сигнала с заданной модуляцией фазы, описываемой функцией Р(т, т3),

Т

фк(г) = ф£(г) - ^ + ^ I уД^ (1 - Р(Г, Гз)). (3.26)

Итак, можно резюмировать, что эволюция параметра связи к(т) (или частоты Раби управляющего поля Q(t)) - его амплитуды и фазы, полученная в нашем подходе, полностью определяется: 1) заданным временным профилем сигнала £o(t); 2) числом не считанных спиновых возбуждений |S(Т)|2, которое зависит от формы и длительности извлеченного из ячейки памяти сигнала и в нашей теории выбирается наименьшим; 3) фактором включения фазовой модуляции сигнала F(т, ts).

3.4 Анализ численного решения

В численных расчетах мы задавали нестационарную амплитуду сигнала £0(т) в виде квазигауссова импульса длительности 7~, нормированного на одно извлеченное из памяти возбуждение:

£а(т) = N [exp (-16(т/Г - 1/2)2) - е-4" ,

/Tdr £¡2(t) = 1, ■J о

где N - нормировочный коэффициент. Сигнал обрезан на относительном уровне 1/е4 ~ 0.018 и имеет ширину на уровне 1/е, равную половине длительности. Константу связи атомов с резонаторной модой gVN мы выразили через параметр кооперативности С = g2N/(гу±к). Принятые здесь значения параметров системы соответствуют нерезонансному режиму: С = 200, J±/(2tt) = 3 MHz, к/(2тт) = 9 MHz, Â/(2tt) = 200 MHz. Безразмерное время измеряется в единицах времени жизни поля в резонаторе, т = 2nt, Т = 2кТ.

Следующие графики демонстрируют временные зависимости переменных для длительности считывания Т =10, когда амплитуда сигнала £0(т) не является медленно меняющейся в масштабе 1/(2к), и проявляются описанные выше нестационарные эффекты.

На рисунке 15 представлены графики абсолютного значения спиновой амплитуды IS(т)|, резонаторного поля £0(т), совпадающего с временным профилем выходного сигнала £ out (т), и модуля параметра связи |fc( т)| поля с коллективным спином в зависимости от безразмерного времени. В предположении незначительной фазовой модуляции переменных системы, модуль параметра связи, согласно формулам (3.12), (3.9), может быть найден с помощью

20

соотношения :

I ВД|

Df (г)

S( )

(3.27)

0Заметим, что неопределенность, возникающая в (3.27) в особой точке £ = раскрывается таким образом,

Рис. 15: Зависимость от безразмерного времени модуля амплитуды резонаторного поля £0 (кривая 1), которая повторяет выходной сигнал, модуля спиновой амплитуды в (2) и модуля безразмерного параметра связи |&| (3) при длительности сигнала Т = 10.

При интегрировании уравнения (3.8) для числа спиновых возбуждений применялась минимальная регуляризация с помощью задания числа не считанных спиновых возбуждений |в?(Т)|2 = 0.039 при начальном числе возбуждений |5(0)|2 = 1.093. Особая точка (момент времени смены чтения на запись, см. выше) при этом находится при т3 = 6.59, эффективность считывания определяется числом начальных спиновых возбуждений и равна 1/|5(0)|2 = 0.915 (напомним, что в нашем расчете выходной сигнал нормирован на одно возбуждение).

Проведем анализ полученных амплитудно-фазовых характеристик извлеченного из памяти сигнала ограниченной длительности Т =10:

1) Рис. 16 демонстрирует идеальное совпадение в нашем подходе временных профилей за-

что модуль параметра связи не имеет в ней сингулярности. Действительно, величину

№ )|2 =

,2 _ |Df (г)

имеющую неопределенность вида 0/0 в особой точке т8, можно представить в малой окрестности этой точки отношением производных по времени от числителя и знаменателя (теорема Лопиталя). Производная от знаменателя определяется правой частью уравнения баланса (3.8), откуда следует

,2 _ f

|£сЫ|

В силу обсуждавшегося ранее соотношения Df (т) ~ (т — т3), представленное выше выражение не содержит особенностей в точке т8 и явно определяет через амплитуду £о(т) значение модуля параметра связи в момент времени т = т8.

Рис. 16: Графики заданной функции £0(т) (изображен пунктиром) и амплитуды выходного сигнала |£(т)| (изображен красным цветом), полученной из решения системы уравнений (3.1), (3.2).

данного согласно формуле (3.4) сигнала £0(т) с амплитудой выходного поля (т)| = |£(т) |, являющейся численным решением системы уравнений (3.1), (3.2) с найденным по формулам (3.12), (3.26) параметром связи. Таким образом, предложенная нами модель памяти может успешно применяться в квантово-информационных протоколах, требующих воспроизведения временной формы сигналов.

2) Как следует из численного решения, для осуществления считывания из памяти сигнала ограниченной длительности с нулевой постоянной фазой21 относительно монохроматической несущей зависимости ехр(—г(шс + 5С)1) (т. е. при Р(т, т3) = 0), требуется "острая" фазовая модуляция контрольного поля (см. рис. 17), что соответствует представленному выше теоретическому исследованию характера особенностей переменных системы в точке т3. Для устранения сингулярности фазы параметра связи в особой точке т3 была произведена фазовая модуляция в окрестности этой точки согласно формулам (3.22), (3.26). На Рис. 18 представлены семейства взаимно соответствующих гладких решений для фазы параметра связи (частоты Раби контрольного поля) <рк (т) и фазы выходного сигнала <^>£ (т) при различных факторах включения фазовой модуляции Р(т, т3). Мы использовали гладкие временные зависимости вида Р(т, т3) = еоз2(Л(т — т3)) на интервале |т — т3| < ж/2Л при Л = 2 (кривая 1), 1 (2), 0.5 (3). Из полученных графиков следует, что при гладкой модуляции фазы контрольного

21 Отклонение фазы сигнала от постоянного значения в конце интервала считывания возникает вследствие погрешности численного расчета аргумента бесконечно малой комплексной величины £(т) при т ^ Т.

а) Ь)

Рис. 17: График фазы параметра связи ^(т) (а), найденной по формуле (3.26), и фазы выходного сигнала (г) (Ь), полученной из решения системы (3.1), (3.2) в отсутствии фазовой модуляции.

поля фаза выходного сигнала становится переменной. Для уменьшения фазовой модуляции сигнала необходимо применять более "острую" модуляцию фазы контрольного поля. В общем случае предложенный нами подход позволяет подобрать такой способ управления фазовыми функциями переменных системы, при котором достигается компромисс между поведением фаз контрольного поля и сигнала и удовлетворяются условия конкретного эксперимента.

а) Ь)

Рис. 18: Графики заданных временных профилей фазы сигнала (а) и соответствующие им фазовые зависимости для параметра связи (контрольного поля) ^ (Ь) от безразмерного времени т при выборе различных факторов включения фазовой модуляции; длительность сигнала = 10.

т

2

4

6

8

10

Для проверки предложенного выше метода мы провели независимое численное решение основных уравнений (2.68), (2.69) нерезонансного рамановского приближения для по-

0.004

0.001

0.003

0.002

2

4

т

- 0.001L

Рис. 19: Сравнение заданного (сплошная линия) и найденного численным интегрированием уравнений (2.68, 2.69) (пунктирная линия) временного профиля фазы сигнала <^>£.

ля моды и спиновой амплитуды с параметром связи, абсолютное значение и фаза которого были найдены по формулам (3.12), (3.26). Система уравнений решалась с найденным ранее минимальным начальным значением числа спиновых возбуждений | (0) |2 = 1.093 при условии |£(0)|2 = 0. Здесь фактор включения фазовой модуляции был выбран в виде F(т, ts) = cos2(r — ts) на интервале |т — ts| < п/2. Полученная в этом расчете зависимость от времени фазы сигнала находится в хорошем соответствии с поведением фазы, заданным согласно (3.22), см. рис. 19. Расхождение в фазовом поведении возникает только на конце интервала считывания, т ^ Т, что физически не существенно (поскольку интенсивность сигнала стремится к нулю при т ^ Т"), и связано с погрешностью численного расчета фазы сигнала. Проведенный расчет является численным экспериментом по проверке предложенного метода.

3.5 Заключение по главе 3

В данной главе мы представили подробное теоретическое исследование нестационарных и релаксационных явлений в ячейке квантовой памяти для света в резонаторном подходе для Л-конфигурации атомных уровней. Особое внимание мы уделили амплитудным и фазовым свойствам таких важных физических переменных, как восстановленный из ячейки памяти сигнал и классическое контрольное поле, в режиме, когда извлеченный сигнал имеет ограниченную длительность по сравнению со временем жизни поля в резонаторе. Мы разработали подход, позволяющий получать амплитудное и фазовое поведение управляющего поля, которое соответствует требуемой временной форме извлеченного сигнала. Нестационарные

амплитудные и фазовые свойства квантованных сигналов имеют важное значение для эффективного применения квантовой памяти в квантовых информационных схемах, использующих оптическое смешение как инструмент для детектирования и управления сжатием, перепутыванием и т. д. Результаты данной главы опубликованы в работе [201].

4 Влияние неадиабатичности поля и неполного считывания на квантовую эффективность памяти в присутствии поперечной атомной релаксации

Важной характеристикой устройств квантовой памяти, предназначенных для записи квантового состояния световых сигналов, его хранения и считывания, является квантовая эффективность. В случае памяти на основе ансамбля холодных атомов, помещенных в оптический резонатор, эффективность ограничена в том числе релаксационными процессами в активной системе атомных уровней. В этой главе мы исследуем влияние процессов релаксации на квантовую эффективность в таком режиме работы памяти, когда развитие сигналов во времени не является сколь угодно медленным22 в масштабе времени жизни поля в резонаторе, и часто используемое приближение адиабатического исключения поля квантованной моды резонатора не может быть применено. Учет влияния неадиабатичности на качество памяти представляет интерес в связи с различными приложениями в квантовой информационной науке: при исследованием вопросов хранения и совместной обработки в ячейке памяти квантового состояния многих сигналов, а также вопросов повышения быстродействия устройств квантовой памяти, решение которых предполагает сокращение длительности световых импульсов.

Мы проведем исследование применимости известной предельной оценки, полученной А. Горшковым и соавторами [14], для эффективности памяти г/ = С/(1 + С) через параметр коопе-ративности системы С в режиме "bad cavity"23, и предъявим оценку эффективности более общего вида24 [259], учитывающую нестационарность огибающей сигнала, дисперсионное за-

22или, эквивалентно, протяженность сигналов во времени не является сколь угодно большой, что следует

из соотношений l(d/dt)£(t)l~ «|£(t)| ^ l(d/dt)£(t)/£(t)l ~ к ^ Т-1 ~ к (в обозначениях, введенных ниже)

23Рассмотренный в статье [14] режим "bad cavity" является аналогом исследуемого нами адиабатического

приближения с той разницей, что предел "bad cavity" в случая нерезонансной рамановской конфигурации предполагает выполнение требования |Д| ^ , которое является более сильным ограничением, накладываемым на отстройку при С ^ 1, по сравнению с используемым нами условием |Д| ^

24Обобщение оценки эффективности А. Горшкова [14] на случай режима сильной связи квантованной моды с атомным ансамблем было предпринято группой Ф. Гранжье в работе [15]. Авторы показывают, что за пределами применимости приближения "bad cavity" справедлива оценка ^ < С/(1 + С), и численно находят максимальное значение эффективности памяти путем введения резонаторной отстройки (т. е. добавки к частоте моды пустого резонатора). Однако в работе [15] физический смысл резонаторной отстройки не выяс-

тягивание частоты моды резонатора, и неполное считывание. Ниже будет продемонстрировано, что учет поправки к частоте моды от внесенного показателя преломления приводит к тому, что оценка эффективности [14] оказывается недостаточной даже в адиабатическом режиме, а при считывании сигналов ограниченной длительности существенными становятся потери, связанные с неадиабатичностью и неполным считыванием [259]. Мы выполним проверку полученной оценки для эффективности считывания независимыми численными расчетами. Для исследуемой модели памяти мы также обсудим качественные различия в поведении атомных случайных источников, входящих в уравнения Гейзенберга-Ланжевена для физических переменных атомного ансамбля, в случаях большого или малого числа атомов.

4.1 Выражение для эффективности считывания через числа возбуждений

Любые оценки на основе баланса возбуждений, например, "impedance matching" (метод согласования импеданса) в работе [16] или расчета на основе "branching ratio" - деления потоков в приближении "bad cavity" [14], должны исходить из понимания того, куда уходят возбуждения в принятой модели. Используя полуклассический аналог уравнений (2.45) - (2.47), запишем дифференциальное уравнение баланса потоков возбуждений:

Соотношение (4.1) показывает, что в нерезонансной рамановской модели баланс возбуждений определяется независимыми затуханиями каждого из трех эффективных осцилляторов и описывает как скорость ухода возбуждений в полезный сигнал (1-й член в правой части (4.1)), так и скорость ухода возбуждений в резервуары релаксации электронной и спиновой когерентности (2-й и 3-й вклады). В случае большого числа атомов, N ^ 1, при релаксации типа дефазировки атомных диполей, соответствующие резервуары, как показано в приложении С, есть совокупность остальных N —1 мод коллективной атомной когерентности, которые различаются фазами вкладов отдельных атомов. Заметим, что уход возбуждений в спонтанное излучение с верхнего уровня исключен с самого начала ввиду того, что населенность

няется, эта величина в [15] играет роль всего лишь искусственно введенного параметра, максимизирующего эффективность считывания.

(4.1)

уровня |е ) принята равной нулю. Далее мы пренебрежем распадом спиновой когерентности на временах развития системы, т. е. положим 7S = 0.

Для медленно меняющейся во временном масштабе 1/(2 к) нестационарной амплитуды поля резонаторной моды, последнюю можно адиабатически исключить из уравнений движения (приближение "bad cavity"). Исходя из этого, авторы статьи [14] предложили оценку для отношения числа возбуждений, излученных в полезный сигнал, к числу возбуждений, потерянных вследствие релаксации поляризации Р(t) со скоростью 7^, через параметр коопера-тивности. В результате возникает простая предельная оценка эффективности, г/ ~ С/(1 + С), через параметр кооперативности С, не зависящая от динамики возбуждений25, которая может значительно отклоняться от полученной нами обобщенной оценки.

Далее мы оценим влияние на эффективность считывания из памяти различных каналов потерь возбуждений в зависимости от длительности сигнала и обсудим оптимальные условия работы памяти для случая, когда временное развитие сигнала не является сколь угодно медленным в масштабе времени жизни поля в резонаторе.

Будем считать, что при чтении временной профиль выходного сигнала £out(t) известен, а входное классическое поле отсутствует, £in(t) = 0. Из решения полуклассического аналога уравнений (2.45), (2.48) найдем явный вид электронной поляризации, которая обеспечивает заданную временную форму выходного сигнала:

Р(*) = iOJN + к£(*»' S(*> = V2K(4.2)

Числа возбуждений, ушедших в каналы излучения и релаксации электронной когерентности к моменту времени t, в результате интегрирования уравнением баланса (4.1) выражаются в виде:

¡■t rt

ne(t) = 2к dt' (i')|2, nr(t) = 27W dt' IP(i')|2. (4.3)

Jo Jo

С учетом (4.2) находим:

27± * g2N Jo

nr (t) = /_ dt'

d 2 i £ (t')

+ |f (t ')|2 + к2|£ (t ')|2

(4.4)

Примем, что в начале (£ = 0) и конце (£ = Т) интервала считывания поле сигнала и поляризация равны нулю, £(0) = Р(0) = 0 и £(Т) = Р(Т) = 0 (приближение полного считывания из

25Данное соотношение было получено авторами [14] для моделей резонаторной памяти как на основе Е1Т, так и для случая нерезонансного рамановского взаимодействия, а также для протокола памяти на основе

явления фотонного эха.

памяти), тогда при вычислении nr(Т) интеграл от среднего вклада в (4.4) обратится в ноль. Так как часть возбуждений коллективного спина может не перейти в считанный сигнал, полная эффективность считывания находится как

ЫТ) = n^L =_n^n._. (4.5)

l( ) \S(0)|2 пе(Т) + nr(Т) + \S(Т)|2 ( )

Последнее равенство получается путем интегрирования уравнения баланса возбуждений26

(4.1).

Рассмотрим отношение числа возбуждений, потерянных за счет релаксации, к числу квантов, извлеченных из памяти. Если в (4.2) положить £(t) ^ 0 (что соответствует адиабатическому или "bad cavity" [14] пределу) и выразить резонаторное поле через поляризацию: £ (t) = (ig VN/k)P (t), то возникает известное [14] выражение для этого отношения через параметр кооперативности С,

= С-', С , (4.6)

пе(Т) j±k

Получим более общую оценку, не делая предположения об адиабатичности амплитуды £(t), т. е. не ограничиваясь сигналами, длительность которых существенно превосходит среднее время жизни фотонов в резонаторе. Для этой цели удобно ввести параметр интегральной неадиабатичности сигнала Ana,

' ' ° гт

10

который дает взвешенное квадратичное отношение скорости изменения амплитуды £( ) к скорости ее затухания вследствие ухода из резонатора через зеркало связи. Из соотношения (4.4) получаем оценку относительных потерь через обобщенный параметр кооперативности С,

= С-1, С = —С— <С. (4.8)

пе(Т) 1 + XNA

4.2 Соотношения для чисел возбуждений при учете дисперсионной поправки

Учтем, что параметр неадиабатичности определен через амплитуду поля, выделенную относительно несущей зависимости на частоте пустого резонатора. В присутствие среды частота

¡■т

0

d 2 s£ (i>

= Ana Г<й\к£(0\2, (4.7)

0

26Обратим внимание на то, что вклады потерь числа возбуждений за счет релаксации и неполного считывания в рассматриваемом нами приближении относительно малы, поэтому они и вошли в выражение (4.5) аддитивно.

моды резонатора испытывает сдвиг 8С за счет внесенного показателя преломления на переходе е — д. При этом положительно-частотная часть напряженности электрического поля резонаторной моды может быть записана как

Е(+)(t) ~ £(t)e

—шЛ

£ ( )

— i c)t

и поэтому фактической огибающей сигнала является величина 8 (t) = 8 (t) exp[ г8ct].

Для вещественной амплитуды 8 (t) потери возбуждений (4.4) за счет атомной релаксации приобретают вид

Пг (Т) =

[т

g2N Jo

d х, , dt£ W

+ {к2 + ic2) | £(t)

(4.9)

В случае медленного изменения амплитуды сигнала, когда |(d/dt)8(i)| ^ к|8(t)естественно считать режим памяти адиабатическим. Однако в этом случае параметр неадиабатичности, согласно определению (4.7), будет стремиться к отличному от нуля значению Xna ^ 8\/к2, т. е. дисперсионная поправка к частоте моды резонатора также приводит к "неадиабатичности" поля. Такой результат можно объяснить тем, что дисперсионный сдвиг частоты моды обеспечивается электронной поляризацией, которая отдает возбуждения в канал релаксации. В случае исследуемого нами нерезонансного рамановского режима взаимодействия, когда А ^ к, 1/Т, IQ(t)l, дл/N,usg, дисперсионный сдвиг 5с ~ — g2N/A, поэтому для эффективной работы памяти следует обеспечивать не только большое значение параметра кооператив-ности С, но и малость параметра неадиабатичности, т. е. относительно малый дисперсионный сдвиг частоты моды. В нерезонансном режиме при этом возникают "встречные" условия на параметр кооперативности,

2

^ 92N , С =-— > 1,

к 7±

\na ^ — ~ С -— < 1. к \А\

(4.10)

Для оценки влияния различных факторов потерь возбуждений на эффективность чтения, удобно перейти к безразмерному времени, выраженному в единицах времени жизни фотонов в резонаторе, т = 2кЪ, Т = 2кТ. Полное число возбуждений, потерянных в результате релаксации атомной поляризации, можно представить в виде

пг (Т) = пМА(Т) + пМар, (4.11)

где п^а(Т) - число возбуждений, потерянных вследствие неадиабатичности сигнала (определяется первым слагаемым правой части соотношения (4.9)):

4 гТ nNA(T) = dr

С 0

(4.12)

2

2

2

Пйгир - количество возбуждений, потерянных за счет дисперсионного сдвига в присутствие поперечной атомной релаксации, в расчете на одно считанное возбуждение (соответствует второму слагаемому в правой части (4.9)). Поскольку в нерезонансном пределе 8С ~ — д2М/А, величина п<цзр может быть явно выражена через заданные физические параметры системы:

1

nd,sP = ¿(l + С 2( f) 2) . (4.13)

4.3 Оценки для чисел возбуждений в адиабатическом пределе

В адиабатическом режиме, когда |((¿/(Й)£(£)| ^ к|£(£)|, производной от амплитуды в выражении (4.9) можно пренебречь, и тогда отношение числа возбуждений пг(Т"), потерянных за счет релаксации атомной поляризации, к числу квантов пе(Т), ушедших в канал излучения, при учете дисперсионного сдвига частоты моды равняется

п (Л _ _ 1 Л , П2 (7± Л2Л > 1

= + 2) >С. (4.14

ne(T)

В режиме "bad cavity", исследованном в [14], кроме адиабатичности сигнала предполагается, что |Д| ^ 7±С или, эквивалентно, к ^ 1= g2N/|Д|, т. е. малость дисперсионного сдвига частоты резонаторного поля. При этом условии из формулы (4.14) получаем ожидаемую предельную оценку [14],

nr СП 1 (415)

ne<f) ^ с- (415)

и, таким образом, приходим к известному выражению [14] для максимальной эффективности считывания в пределе "bad cavity", представляющей собой отношение скорости распада атомной поляризации в выходную моду, 7±С, к полной скорости затухания поляризации, 7±(1 + С):

С 1

-=-. (4.16)

4 ^ 1 + с 1 + 1/с. (4.16)

4.4 Сравнение оценок для чисел возбуждений с данными полного численного расчета

Мы провели сравнение рассмотренных выше вкладов потерь возбуждений с данными полного численного решения задачи об эффективности памяти. В качестве выходного сигнала

£<тг (т) был выбран нормированный на одно возбуждение вещественный квазигауссов импульс ограниченной длительности Т = 2 кТ,

£о(т) - [ехр (— 16(г/Г — 1/2)2) — е -4] , ^ &т £1{т) = 1, (4.17)

обрезанный на относительном уровне 1/ е4 ~ 0.018 и с шириной на уровне 1/е, равной половине длительности. В полном расчете сначала решалась обратная задача (см. предыдущую главу) о нахождении временного профиля безразмерного параметра связи к(т) (контрольного поля П(£)), который отвечает принятой форме сигнала (4.17). В численном расчете, результаты которого мы здесь используем, были выбраны такие же значения для физических параметров, как и в разделе 3.4. Для длительности сигнала Т =15 временная эволюция основных физических величин представлена на рис. 20, 21.

Рис. 20: Зависимости от безразмерного времени амплитуды сигнала £0(т) (а) и модуля безразмерного параметра связи к (г) (Ь).

Рис. 21: Зависимость от безразмерного времени абсолютного значения амплитуды коллективного спина |5'(г)|.

Найденные численно на основе полного решения эффективность чтения 'ц(Т) и число оставшихся в памяти спиновых возбуждений (Т)|2 подставлялись в формулу (4.5), в которой предполагалось, что извлеченный из памяти сигнал нормирован на единичное возбуждение, т. е. пе(Т) = 1. Затем из (4.5) находилось число возбуждений пг(Т), потерянных в результате релаксации. Независимо от этого, т. е. исходя только из временного профиля сигнала и принятых значений физических параметров, на основе соотношений (4.12), (4.13) вычислялись потери п^а(Т) и П(Ц8р. Число оставшихся спиновых возбуждений |5"(Т)|2 было найдено по формулам (3.18) - (3.20), затем вычислялась эффективность считывания 'ц(Т) в соответствии с (4.5) при пе(Т) = 1. Эти величины для различных значений длительности извлеченного сигнала (см. приведенную ниже таблицу) совпали с данными полного численного расчета с точностью до порядка, представленного в таблице. Это позволяет считать предложенные оценки достоверными и обсуждать на их основе роль различных источников потерь.

Г пмА п<Ивр ^ |2 V

20 0.0008 0.0500 0.0012 0.9505

15 0.0015 0.0500 0.0065 0.9452

10 0.0034 0.0500 0.0385 0.9159

5 0.0135 0.0500 0.2488 0.7620

В таблице для ряда значений длительности восстановленного из ячейки памяти сигнала приведены: а) число возбуждений Пма(Т), потерянных за счет неадиабатичности фактической огибающей сигнала £(т), которое дается первым членом под интегралом в (4.9); б) число возбуждений пазр, которое теряется при сколь угодно медленной огибающей £(т) (второй вклад в (4.9)); в) число не извлеченных из памяти возбуждений (Т)|2; г) эффективность чтения 'ц(Т).

Основываясь на формулах данной главы, на рис. 22 представлены графики эффективности чтения 'ц(Т) (кривая 1) и вкладов потерь возбуждений вследствие различных физических факторов, в зависимости от безразмерной длительности сигнала Т. Число возбуждений (Т)|2, оставшихся в спиновой подсистеме к концу цикла считывания, представлено кривой 2. В случае коротких сигналов при выбранных значениях физических параметров неполное считывание является основным фактором потерь возбуждений и снижения эффективности. Потери пг(Т) = п^а(Т) + п^зр, вызванные поперечной релаксацией атомной

Рис. 22: Эффективность чтения ^(Т) (кривая 1) и числа возбуждений, потерянных за счет неполного считывания |(Б'(Т)|2 (кривая 2) и поперечной релаксации в канале д — е, пг(Т) = Пма(Т) + (кривая 3), в расчете на одно извлеченное из памяти возбуждение.

поляризации на переходе е — д представлены кривой 3. Именно этот вклад ограничивает эффективность чтения с ростом длительности, поскольку в адиабатическом режиме при извлечении сигнала, нормированного на единичное возбуждение, имеем (ср. с формулой (4.16))

1

v(T ) ^

(4.18)

1 +

Отметим, что при данных значениях параметров учет дисперсионного сдвига частоты моды имеет важное значение, поскольку увеличивает вклад П(Ц&Р в потери возбуждений в 10 раз: пвлвр = 0.05 вместо значения 1/С = 0.005 без учета дисперсионной добавки. Вклад п^а(Т) в потери возбуждений за счет неадиабатичности огибающей сигнала £(т) меняется ~ Т

-2

и

остается относительно малым вплоть до длительностей, при которых эффективность становится недостаточной для обеспечения режима квантовой памяти.

В качестве дополнительной независимой проверки справедливости предложенных нами оценок для чисел потерянных возбуждений и эффективности чтения проведем сравнение с результатами, представленными группой Ф. Гранжье в теоретической работе [15]. Для протокола памяти, обсуждаемого в [15] с использованием следующих значений параметров С = 100, 7±/2^ = 3 MHz, к/2<к = 9 MHz, Д/2^ = 120 MHz, Q/2^ = 13 MHz и Г = 2кТ - 30, можно найти скорректированную частотную отстройку Д = Д — ôc = 142.5 MHz. Значение эффективности для этих значений параметров в нашем подходе в соответствии с формулой (4.18) составляет 0.948, что хорошо согласуется со значением эффективности 0.950, полученным в работе [15] с помощью численной оптимизации.

4.5 Заключение по главе 4

В данной главе мы провели теоретическое исследование ограничений, накладываемых на эффективность памяти на основе ансамбля холодных атомов, помещенных в оптический резонатор, вследствие релаксационных процессов в активной системе атомных уровней и неполного считывания в таком режиме работы памяти, когда развитие сигналов во времени не является сколь угодно медленным в масштабе времени жизни поля в резонаторе, и часто используемое приближение адиабатического исключения поля квантованной моды резонатора не может быть применено. Мы продемонстрировали, что учет поправки к частоте моды от внесенного показателя преломления приводит к тому, что известная оценка эффективности [14] оказывается недостаточной даже в адиабатическом режиме, а при считывании сигналов ограниченной длительности существенными становятся потери, связанные с неадиабатич-ностью и неполным считыванием, и предоставили оценку более общего вида. Результаты данной главы опубликованы в работе [259].

5 Резонаторная рамановская память за пределами адиабатического приближения: эффект четырехволнового смешения

В связи с тем, что рамановская квантовая память реализуется вне однофотонного резонанса с оптическими переходами, для ее функционирования требуется наличие интенсивного контрольного поля. Сильное контрольное поле, в свою очередь, вызывает спонтанное четы-рехволновое смещение и может привести к большому числу шумовых фотонов, находящихся в той же самой пространственной, временной и спектральной моде, что и восстановленный сигнал [35]. Четырехволновое смешение возникает тогда, когда кроме Л-схемы канала памяти имеется дополнительная Л-схема атомных уровней, в которой то же самое контрольное поле создает, посредством рамановского двухфотонного перехода, пары квантов: возбуждение квантованного поля и возбуждение коллективной спиновой волны (спиновый поляритон). Возникающие в таком процессе спиновые возбуждения участвуют в процессе считывания наравне с записанным в коллективный спин сигналом и порождают нежелательный шум.

Шум четырехволнового смешения, присутствующий в реальных схемах атомной квантовой памяти, является существенным фактором, негативно влияющим на ее характеристики. Эта проблема является особенно актуальной при реализации памяти на теплых атомных ансамблях. В случае рамановской памяти на холодных атомах можно пренебречь доплеров-ским уширением, а также использовать относительно небольшую отстройку от резонанса и более слабое управляющее поле. Недавно была экспериментально реализована схема рама-новской памяти на холодных атомах с очень низким уровнем шума, которая использовалась для хранения неклассического света [36, 37].

Негативное влияние шума четырехволнового смешения на качество атомной памяти было исследовано как для однопроходных [38, 27, 28], так и для резонаторных [39, 26] схем. В работе [28] авторы предложили подавлять шум четырехволнового смешения в однопроходной конфигурации введением канала двухквантового рамановского поглощения для света боковой полосы частот. Спектральная фильтрация квантованного поля боковой частотной полосы, выполняемая резонатором, также позволяет эффективно подавлять шум четырехволнового смешения. Подавление шума с помощью резонатора было продемонстрировано экспериментально [39]. Подход, представленный в [26], основывается на явном описании квантованного

шумового поля в боковой полосе частот (относительно частоты выделенной продольной моды резонатора) как независимой волны, совершающей круговые обходы внутри резонатора. В этой работе оптический резонатор используется для усиления полезного сигнала и подавления шумового поля настройкой его частоты в антирезонанс с резонатором. Однако теоретический анализ шума четырехволнового смешения в [26] главным образом сосредоточен на частном случае управления атомной памятью в адиабатическом приближении ("bad cavity"), когда длительность сигналов существенно превышает время жизни поля в резонаторе. Кроме того в представленном в работе [26] подходе не учитываются материальные источники шумов боковой полосы частот (канала люминесценции), в расчет принимаются только полевые источники этого канала.

В данной главе мы представляем теоретическое исследование влияния шума четырехвол-нового смешения на качество атомной рамановской памяти на основе оптического резонатора, дополняющее недавние работы других авторов [39, 26] и применимое также к сигналам, длительность которых не намного превышает время жизни поля резонатора, т. е. за пределами адиабатического приближения. Для этой цели был предложен и развит подход с использованием двухполосной спектральной фильтрации случайных источников и переменных системы в представлении Гейзенберга-Ланжевена, позволяющий учитывать источники шумов разных частот и различного физического происхождения. Впервые представлена оценка дисперсии квадратурных амплитуд поля детектируемого с помощью гомодинного приема выходного сигнала с учетом влияния как неполного считывания, так и добавленного шума, возникающего из-за присутствия канала параметрической люминесценции и обусловленного как квантованным полем боковой частотной полосы, проникающим в резонатор, так и атомными источниками шумов (которые не учитывались в [26]). Наше обобщение может оказаться потенциально полезным для анализа существенно многомодовых режимов функционирования памяти, в которых важно достигнуть компромисса между скоростью и качеством работы устройства памяти.

Мы приводим оценку вклада шума четырехволнового смешения в дисперсию квадратурных амплитуд выходного сигнала, наблюдаемых посредством оптимального гомодинного детектирования. Мы предъявляем и оцениваем как аналитически, так и численно вклады шумов, связанных с четырехволновым смешением и с отличием квантовой эффективности от единицы для широкого диапазона длительности считанного сигнала, включая сигналы,

длительность которых незначительно превышает время жизни резонаторного поля.

5.1 Ячейка памяти в присутствии четырехволнового смешения. Модель и уравнения движения

Рассмотрим протокол квантовой памяти, основанный на нерезонансном рамановском взаимодействии света и вещества [14, 15]. В данной схеме используется разреженный ансамбль холодных случайно расположенных четырехуровневых атомов с двумя метастабильными нижними состояниями (рис. 23 (Ь)) и полным угловым моментом в основном и возбужденном состояниях Р = 1/2. На ячейку с атомами наложено постоянное магнитное поле, направленное вдоль оси x и вызывающее зеемановское частотное расщепление подуровней нижнего и верхнего состояния (т,р = ±1/2).

Рис. 23: Схема памяти и соответствующие рамановские переходы в атомах.

Запоминающая атомная среда помещена в высокодобротный оптический кольцевой резонатор с одним частично пропускающим зеркалом. На зеркало связи резонатора в направлении оси z падает сильная классическая линейно поляризованная вдоль оси х плоская опорная волна, характеризуемая несущей частотой шр и медленной огибающей £p(t). Классическое контрольное поле действует на атомных переходах s — е и д — f с одинаковой проекцией полного момента и отстроено на величины Д(т) и Д(г) от частот этих переходов. Под действием

контрольного поля в среде возникают рамановские переходы, в результате которых в канале памяти д — е — в (канал памяти, обозначаемый индексом (та)) испускаются антистоксовские фотоны на частоте ш3 = шр + шзд (условие двухфотонного резонанса). Предполагается, что резонатор настроен на поддержание канала памяти, т. е. частота испущенных фотонов совпадает с частотой собственной моды резонатора шс. В канале д — / — в (правая Л-схема на рис.23 (Ь)) происходит стоксовское рамановское рассеяние контрольного поля, приводящее к образованию пар бозонных квантов: кванта оптического поля на частоте шр — шзд, которая практически не поддерживается резонатором, попадая лишь в далекое крыло его спектральной линии27, и кванта коллективного спина. По аналогии с параметрической генерацией пар фотонов в кристаллах с квадратичной нелинейностью, будем называть канал взаимодействия, представленный правой Л-схемой, каналом параметрической (рамановской) люминесценции (и обозначать индексом (/)). Процесс параметрического типа, реализуемый в канале (/) приводит к образованию корреляций между квантовыми флуктуациями квадратурных компонент восстановленного из ячейки памяти сигнала и атомного коллективного спина.

Стоксовское рамановское рассеяние в правой Л-схеме (канал (/)) генерирует возбуждения когерентности основного состояния, которые считываются контрольным полем в левой Л-схеме (канал (та)) как шум. Подобный процесс носит название четырехволнового смешения.

Подчеркнем, что в рассматриваемой задаче одна и та же резонаторная мода участвует в двух Л-схемах, при этом в канале рамановской люминесценции для двухфотонных переходов имеется большой дефект резонанса, равный по величине удвоенному частотному расщеплению основного состояния 2шзд, которое предполагается много большим ширины резонаторной линии и много меньшим частотного расстояния между соседними модами резонатора. В результате, процесс люминесценции в правой Л- схеме, подавляется, с одной стороны, большой

однофотонной отстройкой и, с другой стороны, настройкой резонатора на поддержание 28

канала памяти28.

Атомный ансамбль взаимодействует с двумя сонаправленными одномодовыми полями: квантованным внутрирезонаторным полем, характеризуемым оператором электрического

27Здесь, также как и в предыдущих главах предполагается, что в процессе участвует только одна собственная мода резонатора с частотой шс.

28Отметим, что за счет попадания боковой частоты шс — 2шзд в далекое крыло спектральной линии резонатора четырехволновой процесс подавляется не полностью.

поля Е(z), и классическим контрольным полем с напряженностью Ep(z, t) и медленной огибающей £p(t):

E(z) = (аегш^/с + а^е—ш^/с) , (5.1)

Ep(z, t) = ex£p(t)1 (еш^—/с) + е—гш^-/с)) . (5.2)

Здесь а и й^ - операторы уничтожения и рождения фотона в данной моде, шс - частота выделенной продольной моды, шс = ксс, кс = 2imc/Lz, пс Е Z; Ex и Ey - единичные векторы поляризации классического и квантованного полей, соответственно; V = SLZ - объем моды, совпадающий в нашем приближении с объемом самого резонатора с поперечным сечением S и длиной Lz, с - скорость света в вакууме.

Полный гамильтониан системы (в представлении Шредингера) представляет собой сумму свободного гамильтониана Н0 атомов и незатухающей резонаторной моды и гамильтониана электродипольного взаимодействия V атомного ансамбля со световыми полями Е и Ер:

Н = Й0 + V, (5.3)

N

Но = ЬШсО1 й + h Е (ыsgEJss + WegEJee + UfgEf^j , (5.4)

3=1