Нерелятивистская конформная симметрия и ее приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мастеров, Иван Викторович

• Мастеров, Иван Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мастеров, Иван Викторович

Оглавление

Введение

1 Динамические реализации /-конформной алгебры Галилея

1.1 Лево-инвариантные формы Маурера-Картана

1.2 Примеры

1.2.1 Динамическая реализация I — 1-конформной алгебры Галилея

1.2.2 Динамическая реализация I = 2-конформной алгебры Галилея

1.3 Случай произвольного /

1.4 Реализация I — |-конформной алгебры Галилея с высшими производными

2 /-конформная алгебра Ньютона-Гука и ее динамические реализации

2.1 Структурные соотношения /-конформной алгебры Ньютона-Гука

2.2 Бесконечномерное расширение

2.3 Структура центральных расширений

2.4 / = 1-конформная алгебра Ньютона-Гука и 5<э(2,4)

2.5 Динамическая реализация /-конформной алгебры Ньютона-Гука

2.5.1 Отрицательная космологическая постоянная

2.5.2 Положительная космологическая постоянная

2.5.3 / = |-конформная алгебра Ньютона-Гука и осциллятор Паиса-Уленбека

3 N = 2 суперсимметричное расширение /-конформной алгебры

Галилея и суперсимметричная механика

3.1 Структурные соотношения М = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея

3.2 Л/* = 2 суперсимметричное расширение /-конформной алгебры Ньютона-Гука

3.3 Бесконечномерное расширение

4 Преобразование подобия в нерелятивистской конформной механике

4.1 Нерелятивистская конформная механика и / = ^-конформная алгебра Галилея

4.2 Унитарные автоморфизмы I = ^-конформной алгебры Галилея

4.3 Конформная механика в гармонической ловушке

4.4 N = 2 суперсимметричное расширение

4.5 Унитарные автоморфизмы N = 2 супералгебры

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нерелятивистская конформная симметрия и ее приложения»

Введение

В последнее время наблюдается всплеск интереса к теориям поля и механическим системам проявляющим конформную инвариантность. Конформная симметрия является неотъемлемым ингредиентом ряда важнейших моделей, представляющих физический и математический интерес. Достаточно упомянуть, что уравнения Максвелла, безмассовые уравнения Дирака и Клейна-Гордона, уравнения Шредингера для свободной нерелятивистской массивной частицы и уравнение многомерного гармонического осциллятора обладают конформной инвариантностью [1]-[7]. В основе теории (супер)струн, которая к настоящему моменту рассматривается в качестве основного претендента па роль единой теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц, лежит бесконечномерная конформная симметрия [8]. Даже столь экзотическое явление как движение массивной заряженной частицы вблизи горизонта событий экстремальных черных дыр описывается в терминах конформной механики [9, 10, 11].

На протяжении последних 15 лет центральной темой в исследовании конформной симметрии является изучение различных аспектов соответствия между конформной теорией поля в плоском пространстве и теорией струн в искривленном пространстве большей размерности (АдС/КТП-соответствие) [12]. Важная особенность АдС/КТП-дуальности состоит в том, что она устанавливает связь между конформной теорией поля в плоском пространстве в режиме сильной связи и теорией струн в искривленном пространстве в режиме слабой связи. Иными словами, АдС/КТП-соответствие предлагает принципиально новый подход к исследованию сильно взаимодействующих теорий поля, для которых стандартное пертурбативное разложение плохо определено. Наиболее известным примером такого рода является соответствие между Л/* = 4 суперсимметричной теорией поля Янга-Миллса и теорией струны типа НВ в пространстве

X 55 [13]-[15].

Начиная с 2008 г. исследование АдС/КТП-соотвстствия получило повое развитие в контексте нерелятивистской теории поля. В частности, в работах [16, 17] было показано, что аппарат АдС/КТП-соответствия может быть успешно применен в контексте теории конденсированного состояния вещества. В частности, система фермионов, удовлетворяющих условию унитарности [18, 19], при определенных условия обладает конформной симметрией и допускает дуальное описание. Отметим, что такая система может быть реализована в лабораторных экспериментах с использованием так называемых холодных атомов [20] Помимо фермиевских газов, большое число работ было посвящено развитию идей АдС/КТП-соответствия в контексте теории несжимаемой жидкости (см., например, работу [21] и цитируемую там литературу). Важные примеры нерелятивистских конформно-инвариантных систем встречаются в атомной физике (см., например, работы [22, 23]). Следует отметить, что параллельно с этим в работах [24]-[26] было инициировано изучение гравитации, инвариантной относительно анизотропных конформных преобразований.

Упомянутые выше исследования, направленные на разработку нерелятивистской версии АдС/КТП-соответствия, стимулировали активное изучение структуры нерелятивистских конформных (супер)алгебр [27]-[42] (более ранние исследования представлены в работах [43] —[48]). Среди них можно выделить так называемую /-конформную алгебру Галилея [46]—[48], где I - безразмерный положительный параметр, который может принимать целые или полуцелые значения. Эта алгебра включает в себя генератор трансляций по времени Н} генератор дилатаций Л, генератор специальных конформных преобразований К, генераторы пространственных вращений Мгз и 21 + 1 векторных генераторов с[п\ где п = 0,1, 2,.., 21. Генератор С^ соответствует пространственным трансляциям, а С^ отвечает галилеевским бустам.

Отметим, что частным случаем /-конформной алгебры Галилея является так называемая алгебра Шредингера, которая отвечает значению параметра / = 1/2 [4, 49, 50]. Данная алгебра является алгеброй симметрии классических и кван-товомеханических систем многих частиц, взаимодействующих посредством конформного потенциала. Такие системы интенсивно изучались па протяжении по-

/

следних четырех десятилетий (см., например, работы [51]-[61]). С одной стороны эти исследования обусловлены желанием построить новые точно решаемые модели в пространстве произвольного числа измерений. С другой стороны, некоторые из таких систем представляют реальный физический интерес [51], [62].

Несмотря на то, что /-конформная алгебра Галилея сформулирована достаточно давно, о ее динамических реализациях для I > 1 известно совсем немного. В частности, в недавней работе [37] показано, что /-конформная алгебра Галилея может быть реализована как алгебра симметрий модели свободной нерелятивистской частицы с высшими производными (см. также [38, 41]). В работе [63] построена динамическая реализация I = 1-конформной алгебры Галилея в терминах системы дифференциальных уравнений второго порядка. Построение динамических систем, инвариантных относительно /-конформной группы Галилея в терминах динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, представляет собой важную открытую проблему, на решение которой, в частности, направлена настоящая диссертационная работа.

Как хорошо известно, алгебра Галилея может быть получена из алгебры Ли группы Пуанкаре нерелятивистской контракцией. Если применить аналогичную процедуру к алгебре Ли группы (анти)-де Ситтера, то результирующая нерелятивистская алгебра известна как алгебра Ньютона-Гука [64]-[66]. Данная алгебра вовлекает размерный параметр А = гДе К ~ Радиус кривизны

исходного пространства (анти) де Ситтера. В зависимости от знака А, говорят об алгебре Ныотона-Гука, реализованной в нерелятивистском пространстве с положительной или отрицательной космологической постоянной.

Естественно ожидать, что в присутствие универсального космологического расширения/сжатия /-конформная алгебра Галилея должна определенным образом модифицироваться слагаемыми, пропорциональными космологической постоянной, и включать в себя алгебру Ньютона-Гука в качестве подалгебры. Последовательная формулировка структурных соотношений /-конформной алгебры Ныотона-Гука является одной из открытых проблем, которая, в частности, решена в данном диссертационном исследовании.

Важным шагом в изучении нерелятивистских конформных алгебр являет-

ся построение суперсимметричных обобщений. К настоящему моменту суперсимметричные расширения /-конформной алгебры Галилея и их динамические реализации детально изучались только для случаев / = 1/2и/ = 1.В частности, в работе [67] N = 1 суперсимметричное расширение / = |-конформной алгебры Галилея было реализовано в модели нерелятивистской массивной частицы спина 1/2. В работе [68] было показано, что модель Черна-Саймонса в нерелятивистском пределе инвариантна относительно преобразований из N = 2 суперсимметричного расширения / = ^-конформной алгебры Галилея. Структура супералгебры с N суперзарядам и обсуждалась в работе [69]. Квантовоме-ханические модели многих частиц, инвариантные относительно N = 2 супералгебры, были исследованы в работах [70]-[72]. В работах [73]-[75] обсуждалась взаимосвязь между нерелятивистскими супералгебрами с / = | и релятивистскими суперконформными алгебрами. В недавних работах [33], [35], [76]-[78] суперсимметричные расширения / = 1-конформной алгебры Галилея изучались в контексте нсрелятивистских контракций релятивистских суперконформных алгебр. Построение суперсимметричных расширений /-конформной алгебры Галилея для / > 1 представляет собой важную открытую проблему, которая, в частности, исследуется в настоящей диссертационной работе.

Подытоживая все вышесказанное, можно сделать вывод об актуальности исследований, направленных па систематическое изучение нсрелятивистских конформных алгебр, построение их динамических реализаций и суперсимметричных расширений, которым и посвящена данная диссертация.

Основными задачами диссертационной работы являлись следующие:

1) построение динамических реализаций /-конформной алгебры Галилея в терминах дифференциальных уравнений второго порядка;

2) определение общей структуры /-конформного расширения алгебры Ньютона-Гука и ее центральных расширений. Построение динамических реализаций /конформной алгебры Ныотона-Гука в терминах дифференциальных уравнений второго порядка;

3) построение N = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея и /-конформной алгебры Ныотона-Гука;

4) построение преобразования подобия для квантовой механики многих ча-

стиц, инвариантной относительно преобразовании из Л/" = 2 суперсимметричного расширения / = ^-конформной группы Галилея, позволяющего установить структуру спектра оператора энергии.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Глава 1 посвящена систематическому изучению динамических реализаций /конформной алгебры Галилея. В частности, построена нелинейная реализация /-конформной группы Галилея в пространстве левых смежных классов по подгруппе вращений. Вычислены один-формы Маурера-Картаиа. Предложен набор связей на один-формы, определяющий динамику системы. Сформулирована система дифференциальных уравнений второго порядка, инвариантная относительно преобразований из /-конформной группы Галилея.

В главе 2 устанавливается общая структура /-конформной алгебры Ныотопа-Гука и ее центрального расширения, а также строится бесконечномерное расширение этой алгебры. Исследована процедура нерелятивистской контракции, с помощью которой / = 1-конформная алгебра Ныотона-Гука может быть получена из релятивистской конформной алгебры бо(2,4). Построена динамическая реализация /-конформной алгебры Ныотона-Гука в терминах системы дифференциальных уравнений второго порядка.

В главе 3 строится N = 2 суперсимметричное расширение /-конформных алгебр Галилея и Ныотона-Гука. Для данных супералгебр найдены представления линейными дифференциальными операторами. Строится бесконечномерное обобщение для Л/" = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея и ее представление линейными дифференциальными операторами, действующими в суперпространстве.

В главе 4 исследуются системы многих частиц, инвариантные относительно преобразований из / = ^-конформной группы Ньютона-Гука. Строится преобразование подобия, которое позволяет отобразить систему многих частиц, взаимодействующих посредством гармонического и конформного потенциалов, в систему невзаимодействующих осцилляторов. Рассматривается система тождественных суперчастиц, взаимодействующих посредством суперконформпого потенциала, которая инвариантна относительно преобразований из ]\[ — 2 су-

персимметричного расширения I = ^-конформной группы Галилея. Для данной модели строится отображение в систему невзаимодействующих суперчастиц, которое достигается за счет нелокальной реализации этой супералгебры в гильбертовом пространстве состояний. Построенное отображение позволяет сделать вывод о структуре спектра оператора энергии.

В приложении А приведены общие сведения о конформных преобразованиях в пространстве произвольной размерности.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе, и выносимые на защиту.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мастеров, Иван Викторович

Заключение

В заключение перечислим основные результаты, полученные в данной диссертационной работе.

1. В рамках общей теоретико-групповой конструкции построена динамическая реализация /-конформной алгебры Галилея, не содержащая высших производных. Установлено, что система описывает набор многомерных обобщенных осцилляторов, находящихся во внешнем поле, задаваемом дополнительной конформной модой. С использованием интегралов движения, отвечающих /-конформной группе Галилея, проанализирована динамика системы.

2. Установлены структурные соотношения наиболее общего конечномерного конформного расширения алгебры Ньютона-Гука и определены допустимые центральные расширения. Для такой алгебры построено бесконечномерное расширение типа Вирасоро-Каца-Муди. Доказано, что / = 1 конформная алгебра Ньютона-Гука может быть получена нерелятивистской контракцией из релятивистской конформной алгебры 5о(2,4).

3. Построена динамическая реализация /-конформной алгебры Ньютона-Гука в терминах дифференциальных уравнений второго порядка. Доказано, что система описывает набор частиц в ¿-мерном пространстве, находящихся во внешнем поле, задаваемом дополнительной гармонической конформной модой. Прослежена зависимость динамики частиц от эволюции внешнего поля. Доказано, что при специальном выборе частот осцилляций многомерный осциллятор Паиса-Уленбека обладает / = 3/2 конформной симметрией Ньютона-Гука.

4. Установлена общая структура Л/" = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея и /-конформной алгебры Ньютона-Гука. Для многомерной квантовой механики, инвариантной относительно преобразований из Л/* = 2 суперсимметричного расширения / = ^-конформной группы Галилея, построено преобразование подобия, позволяющее установить структуру спектра оператора энергии.

Результаты диссертации опубликованы в работах [39], [40], [70], [92], [93].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мастеров, Иван Викторович, 2013 год

Литература

[1] Batcman H. The conformai transformations of a space of four dimensions and their applications to geometrical optics / H. Batemari // Proceedings London Mathematical Society. 1909. - Vol. 2. - P. 70-89.

|2

[3

И

[5

[6

[7

[8

Cunningham E. The principle of relativity in electrodynamics and an extension thereof / E. Cunningham // Proceedings London Mathematical Society. 1910. - Vol. 8. - P. 77-98.

Fla.to M. Conformal covariance of field equations / M. Flato, J. Simon, D. Sternheimer // Annals of Physics. 1970. - Vol. 61. - P. 78-97.

Niederer U. The maximal kinematical invariance group of the free Schrodinger equation / U. Niederer // Helvetica Physica Acta. 1972. - Vol. 45. - P. 802-810.

Niederer U. The maximal kinematical invariance group of the harmonic oscillator / U. Niederer // Helvetica Physica Acta. 1973. - Vol. 46. - P. 191200.

Schwarz F. Symmetry of SU(2) invariant Yang-Mills theories / F. Schwarz // Letters in Mathematical Physics. 1982. - Vol. 6. - P. 355-359.

Dubrovin B.A. Modern Geometry: Methods and Applications/B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov. - M.: Nauka, 1986. - 430 p.

Грин M. Теория суперструн: в 2 т./ М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. - М.: Мир, 1990. - Т. 1-2.

Claus P. Black holes and superconformal mechanics / P. Claus, M. Derix, R. Kallosh, J. Kumar, P. Townsend, A. Van Proeyen. // Physical Review Letters. 1998. - Vol. 81. - P. 4553-4556.

[10] Galajinsky A. Particle dynamics near extreme Kerr throat and supersymmetry / A. Galajinsky // Journal of High Energy Physics. 2010. - Vol. 1011. - 126 (10 pages).

[11] Galajinsky A. N — 2 superparticle near horizon of extreme Kerr-Newman-AdS-dS black hole / A. Galajinsky, K. Orckhov // Nuclear Physics B. 2011. - Vol. 850. - P. 339-348.

[12] Aharony O. Large N field theories, string theory and gravity / O. Aharony, S.Gubser, J. Maldacena, H.Ooguri, Y. Oz // Physics Reports. 2000. - Vol. 323.

- P. 183-386.

[13] Maldacena J. The Large N limit of superconformal field theories and supergravity / J. Maldacena // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 1998. - Vol. 2. - P. 231-252.

[14] S.S. Gubser, I.R. Klebanov, A.M. Polyakov, Gauge theory correlators from non-critical string theory / S.S. Gubser, I.R.. Klebanov, A.M. Polyakov // Physics Letters B. 1998. - Vol. 428. - P. 105-114.

[15] Witten E. Anti-de Sitter space and holography / E. Witten // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 1998. - Vol. 2. - P. 253-291.

[16] Son D.T. Toward an AdS/cold atoms correspondence: A Geometric realization of the Schrodinger symmetry / D.T. Son // Physics Review D. 2008. - Vol. 78.

- 046003 (14 pages).

[17] Balasubramanian K. Gravity duals for non-relativistic conformal field theories / K. Balasubramanian, J. McGreevy // Physics Review Letters. 2008. - Vol. 101. - 061601 (15 pages).

[18] Eagles D.M. Possible pairing without superconductivity at low carrier concentration in bulk and thin-film superconducting semiconductors / D.M. Eagles // Physics Review. 1969. - Vol. 186. - P. 456-463.

[19] Nozieres P. Bose condensation in an attractive fermion gas: from weak to strong coupling superconductivity / P. Nozieres, S. Schmitt-R.ink // Journal of Low Temperature Physics. 1985. - Vol. 59. - P. 195.

[20] O'Hara K. Observation of a strongly interacting degenerate Fermi gas of atoms / K.M. O'Hara, S.L. Hemmer, M.E. Gehm, S.R.. Granade, J.E. Thomas // Science. 2002. - Vol. 298. - P. 2179-2182.

[21] Keeler C. From Navier-Stokes To Einstein / C. Keeler, V. Lysov, A. Strominger // Journal of High Energy Physics. 2012. - Vol. 1207. - 146 (16 pages).

[22] Regal C.A. Observation of Resonance Condensation of Fermionic Atom Pairs /

C. A. Regal, M. Greiner, D. S. Jin // Physics Review Letters. 2004. - Vol. 92. - 040403 (4 pages).

[23] Zwierlein M.W. Condensation of Pairs of Fermionic Atoms Near a Feshbach Resonance / M.W. Zwierlein, C.A. Stan, C.H. Schunck, S.M.F. R.aupach, A.J. Kcrman, W. Ketterle // Physics Review Letters. 2004. - Vol. 92. - 120403 (4 pages).

[24] Horava P. Membranes at quantum criticality / P. Horava // Journal of High Energy Physics. 2009. - Vol. 0903. - 020 (35 pages).

[25] Horava P. Quantum gravity at a Lifshitz point / P. Horava // Physics Review

D. 2009. - Vol. 79. - 084008 (29 pages).

[26] Horava P. Spectral dimension of the Universe in quantum gravity at a Lifshitz point / P. Horava // Physics Review Letters. 2009. - Vol. 102. - 161301 (11 pages).

[27] Lukierski J. Exotic Galilean conformal symmetry and its dynamical realizations / J. Lukierski, P. C. Stichel, W. J. Zakrzewski // Physics Letters A. 2006. - Vol. 357. - P. 1-5.

[28] Lukierski J. Acceleration-extended Galilean symmetries with central charges and their dynamical realizations / J. Lukierski, P. C. Stichel, W. J. Zakrzewski // Physics Letters B. 2007. - Vol. 650. - P. 203-207.

[29] Bagchi A. Galilean Conformal Algebras and AdS/CFT / A. Bagchi, R. Gopakumar // Journal of High Energy Physics. 2009. - Vol. 0907. - 037 (25 pages).

[30] Alishahiha M. On AdS/CFT of Galilean field theories / M. Alishahiha, A. Davody, A. Vahedi // Journal of High Energy Physics. 2009. - Vol. 0908. -022 (16 pages).

[31] Martelli D. Comments on Galilean conformal field theories and their geometric realization / D. Martelli, Y. Tachikawa // Journal of High Energy Physics. 2010. - Vol. 1005. - 091 (37 pages).

[32] Duval C. Non-relativistic conformal symmetries and Newton-Cartan structures // Journal of Physics A. 2009. - Vol. 42. - 465206 (44 pages).

[33] Azcarraga J.A. Galilean superconformal symmetries / J.A. de Azcarraga, J. Lukierski // Physics Letters B. 2009. - Vol. 678. - P. 411-415.

[34] Chcrniha R. The exotic conformal Galilei algebra and nonlinear partial differential equations / R. Cherniha, M. Henkel // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2010. - Vol. 369. - P. 120-132.

[35] Fedoruk S. The algebraic structure of Galilean superconformal symmetries / S. Fedoruk, J. Lukierski // Physical Review D. 2011. - Vol. 84. - 065002 (18 pages).

[36] Fedoruc S. Nonrelativistic counterparts of twistors and the realizations of Galilean conformal algebra / S. Fedoruc, P. Kosinski, J. Lukierski, P. Maslanka // Physics Letters B. 2011. - Vol. 699. - P. 129-134.

[37] Gomis J. Schrodinger equations for higher order non-relativistic particles and N-Galilean conformal symmetry / J. Gomis, K. Kamimura // Physical Review D. 2012. - Vol. 85. - 045023 (10 pages).

[38] Andrzejewski K. Nonrelativistic conformal groups and their dynamical realizations / K. Andrzejewski, J. Gonera, P. Maslanka // Physical Review D. 2012. - Vol. 86. - 065009 (18 pages). arXiv: 1204.5950.

[39] Masterov I. N=2 supersymmetric extension of 1-conformal Galilei algebra / I. Masterov // Journal of Mathematical Physics. 2012. - Vol. 53. - 072904 (10 pages).

[40] Galajinsky A. Dynamical realization of 1-conformal Galilei algebra and oscillators / A. Galajinsky, I. Masterov // Nuclear Physics B. 2013. - V. 866. -P. 212-227.

[41] Andrzejewski K. N-Galilean conformai algebras and higher derivatives Lagrangians / K. Andrzejewski, J. Gonera // Preprint: arXiv: 1209.5884 [math-ph],

[42] Aizawa N. N=2 Galilean superconformai algebras with central extension / N. Aizawa // Journal of Physics A. 2012. - Vol. 45. - 475203 (12 pages).

[43] Duval C. Bargmann structures and Newton-Cartan theory / C. Duval. G. Burdet, H. P. Kunzle, M. Perrin // Physical Review D. 1985. - Vol. 31. - 1841 (39 pages).

[44] Henkel M. Schrodinger invariance in strongly anisotropic critical systems / M. Henkel // Journal os Statistical Physics. 1994. - Vol. 75. - P. 1023-1061.

[45] Lukierski J. Galilean invariant (2+l)-dimensional models with a Chern-Simons-like term and D—2 noncommutative geometry / J. Lukierski, P. C. Stichel, W. J. Zakrzewski // Annals of Physics. 1997. - Vol. 260. - P. 224-249.

[46] Henkel M. Local Scale Invariance and Strongly Anisotropic Equilibrium Critical Systems // Physical Review Letters. 1997. - Vol. 78. - P. 1940-1943.

[47] Negro J. Nonrelativistic conformai groups / J. Negro J., M. A. del Olmo, A. Rodriguez-Marco // Journal of Mathematical Physics. 1997. - Vol. 38. - P. 37863809.

[48] Negro J. Nonrelativistic conformai groups. II. Further developments and physical applications / J. Negro, M. A. del Olmo, A. Rodriguez-Marco // Journal of Mathematical Physics. 1997. - Vol. 38. - P. 3810-3831.

\

[49] Jackiw R. Introducing scale symmetry / R. Jackiw // Physics Today. 1972. -Vol. 25 - P. 23-27.

[50] Niederer U. The connection between the Schrodinger group and the conformal group / U. Niederer // Helvetica Phyica. Acta. 1974. - Vol. 47. - P. 119-129.

[51] Johnson N. F. Analytic Results for N Particles with l/r2 Interaction in Two Dimensions and an External Magnetic Field / N.F. Johnson, L. Quiroga // Physical Review Letters. 1995. - Vol. 74. - P. 4277-4280.

[52] Murthy M. Novel correlations in two-dimensions: Some exact solutions / M. Murthy, R.. Bhaduri, D. Sen // Physical Review Letters. 1996. - Vol. 76. - P. 4103-4106.

[53] Polychronakos A. Multidimensional Calogero systems from matrix models / A. Polychronakos // Physics Letters B. 1997. - Vol. 408. - P. 117-121.

[54] Khare A. A Quantum many body problem in two-dimensions: Ground state / A. Khare, K. Ray // Physics Letters A. 1997. - Vol. 230. - P. 139-143.

[55] Ghosh R.. K. Exactly solvable models in arbitrary dimensions / R.K. Ghosh, S. Rao // Physics Letters A. 1998. - Vol. 238. - P. 213-218.

[56] Brzeziiiski T. On the equivalence of the rational Calogero-Moser system to free particles / T. Brzeziiiski, C. Gonera, P. Maslanka // Physics Letters A. 1999. -Vol. 254. - P. 185-196.

[57] Gurappa N. Equivalence of the Calogero-Sutherland model to free harmonic oscillators / N. Gurappa, P.K. Panigrahi // Physics Letters B. 1999. - Vol. 59. - P. 2490-2493.

[58] Meljanac S. Generalized Calogero model in arbitrary dimensions / S. Meljanac, M. Milekovic, A. Samsarov // Physics Letters B. 2004. - Vol. 594. - P. 241-246.

[59] Meljanac S. Universal properties of conformal quantum many-body systems / S. Meljanac, A. Samsarov // Physics Letters B. 2005. - Vol. 613. - P. 221-225.

[GO] Meljanac S. Quantization and conformal properties of a generalized Calogero model / S. Meljanac, A. Samsarov, B. Basu-Mallick, K.S. Gupta // European Physics Journal. C. 2007. - Vol. 49. - P. 875-889.

[61] Galajinsky A. Remark on quantum mechanics with conformal Galilean symmetry / A. Galajinsky // Physical Review D. 2008. - Vol. 78 - 087701 (3 pages).

[62] Mehen T. On non-relativistic conformal field theory and trapped atoms: Virial theorems and the state-operator correspondence in three dimensions / T. Mehen // arXiv: 0712.0867 [cond-mat.other],

[63] Fedoruk S. Galilean conformal mechanics from nonlinear realizations / S. Fedoruk, E. Ivanov, J. Lukierski // Physical Review D. 2011. - Vol. 83 - 085013 (21 pages).

[64] Bacry H. Possible kinematics / H. Bacry, J. M. Levy-Leblond // Journal of Mathematical Physics. 1968. - Vol. 9. - P. 1605-1614.

[65] Aldrovandi R. Non-Relativistic spacetimes with cosmological constant / R. Aldrovandi, A.L. Barbosa, L.C.B. Crispino, J.G. Pereira // Classical and Quantum Gravity. 1999. - Vol. 16. - P. 495-506.

[66] Gibbons G. W. Newton-Hooke space-times, Hpp waves and the cosmological constant / G.W. Gibbons, C.E. Patricot // Classical and Quantum Gravity. 2003. - Vol. 20. - P. 5225-5239.

[67] Gaunlett J. P. Supersymmetry and the physical phase space formulation of spinning particles / J.P. Gaunlett, J. Gomis, P.K. Townsend // Physics Letters B. 1990. - Vol. 248. - P. 288-294.

[68] Leblanc M. Extended superconformal Galilean symmetry in Chern-Simons matter systems / M. Leblanc, G. Lozano, H. Min // Annals of Physics. 1992. -Vol. 219. - P. 328-348.

[69] Duval C. On Schrodinger superalgebras / C. Duval, P.A. Horvathy // Journal of Mathematical Physics. 1994. - Vol. 35. - P. 2516-2538.

[70] Galajinsky A. Remark 011 quantum mechanics with N = 2 Schrodinger supersymmetry / A. Galajinsky, I. Masterov // Physics Letters B. 2009. - Vol. 675. - P. 116-122.

[71[ Galajinsky A. Harmonic N = 2 mechanics / A. Galajinsky, O. Lechtenfeld // Physical Review D. 2009. - Vol. 80,- 065012 (9 pages).

[72] Galajinsky A. N = 2 superconformal Newton-Hooke algebra and many-body mechanics / A. Galajinsky // Physics Letters B. 2009. - Vol. 680. - P. 510-515.

[73] Sakaguchi M. Super Schrodinger algebra in AdS/CFT / M. Sakaguchi, K. Yoshida // Journal of Mathematical Physics. 2008. - Vol. 49. - 102302 (12 pages).

[74] Sakaguchi M. More super Schrodinger algebras from psu(2,2|4) / M. Sakaguchi, K. Yoshida // Journal of High Energy Physics. 2008. - Vol. 0808. - 049 (16 pages).

[75] Sciarrino A. On the non-relativistic structure of the AdS/CFT superalgebras / A. Sciarrino, P. Sorba // Journal of Physics A. 2011. - Vol. 44. - 025402 (30 pages). arXiv: 1008.2885.

[76] Sakaguchi M. Super Galilean conformal algebra in AdS/CFT / M. Sakaguchi // Journal of Mathematical Physics. 2010. - Vol. 51. - 042301 (24 pages).

[77] Bagchi A. Supersymmetric extension of Galilean conformal algebras / A. Bagchi, I. Mandal // Physical Review D. 2009. - Vol. 80. - 086011 (20 pages).

[78] Mandal I. Supersymmetric extension of CGA in 2d / I. Mandal // Journal of High Energy Physics. 2010. - Vol. 1011. - 018 (32 pages).

[79] Coleman S. R. Structure of phenomenological Lagrangians. 1. / S.R. Coleman, J. Wess, B. Zumino // Physical Review Letters. 1969. - Vol. 177. - P. 2239-2247.

[80] Callan C. G. Structure of phenomenological Lagrangians. 2. / C.G. Callan, S.R. Coleman, J. Wess, B. Zumino // Physical Review Letters. 1969. - Vol. 177. - P. 2247-2250.

\

ч

[81] Иванов Е. А. Обратный эффект Хиггса в нелинейных реализациях / Е.А. Иванов, В.И. Огиеветский // Теоретическая и Математическая Физика. 1975. - Том. 25. - С. 164-177.

[82] Иванов Е. А. Нелинейная реализация конформной группы двумерия и уравнение Лиувилля / Е.А. Иванов, С.О. Кривонос // Теоретическая и Математическая Физика. 1984. - Том. 58. - С. 200-212.

[83] Ivanov Е. A. Geometry of conformal mechanics / E. A. Ivanov, S. O. Krivonos, V. M. Leviant // Journal of Physics A. 1989. - Vol. 22. - 345 (15 pages).

[84] Ivanov E. A. Geometric superfield approach to superconformal mechanics / E. A. Ivanov, S. O. Krivonos, V. M. Leviant // Journal of Physics A. 1989. - Vol. 22. - 4201 (32 pages).

[85] Azcarraga J. A. Superconformal mechanics, black holes, and nonlinear realizations / J. A. de Azcarraga, J. M. Izquierdo, J. C. Perez Bueno, P. K. Townsend // Physical Review D. 1999. - Vol. 59. - 084015 (19 pages).

[86] Ivanov E. Conformal and superconformal mechanics revisited / E. Ivanov, S. Krivonos // Nuclear Physics B. 2004. - Vol. 677. - P. 485-500.

[87] McArthur I. N. Nonlinear realizations of symmetries and unphysical Goldstone bosons / I. N. McArthur // Journal of High Energy Physics. 2010. - Vol. 1011. - 140 (24 pages).

[88] Alfaro V. Conformal Invariance in Quantum Mechanics / V. de Alfaro, S. Fubini, G. Furlan // Nuovo Cimcnto A. 1976. - Vol. 34. - P. 569-612.

[89] Galajinsky A. Conformal mechanics in Newton-Hooke spacitime / A. Galajinsky // Nuclear Physics B. 2010. - Vol. 832. - P. 586-604.

[90] Henkel M. Schrodinger invariance in strongly anisotropic critical systems / M. Henkel // Journal of Statistical Physics. 1994. - Vol. 75. - P. 1023-1061.

[91] Havas P. Conformal extensions of the Galilei group and their relation to the Schrodinger group / P. Havas, J. Plebanski // Journal of Mathematical Physics. 1978. - Vol. 19 - P. 482-488.

Galajinsky A. Remarks on /-conformal extension of the Newton-Hooke algebra / A. Galajinsky, I. Masterov // Physics Letters B. 2011. - Vol. 702. - P. 265-267.

Galajinsky A. Dynamical realizations of /-conformal Newton-Hooke group / A. Galajinsky, I. Masterov // Physics Letters B. - 2013. - Vol. 723. - P. 190-195.

Ademollo M. and et al. Supersymmetric strings and color confinement / M. Ademollo and et al. // Physics Letters B. 1976. - Vol. 62. - 105 (9 pages).

Henkel M. Supersymmetric extensions of Schrodinger-invariance / M. Henkel, J. Unterberger // Nuclear Physics B. 2006. - Vol. 746. - P. 155-201.

Calogero F. Solution of a three-body problem in one dimension / F. Calogero // Journal of Mathematical Physics. 1969. - Vol. 12. - P. 2191-2196.

Wolfes J. On the three-body linear problem with three-body interaction / J. Wolfes // Journal of Mathematical Physics. 1974. - Vol. 15. - P. 1420-1424.

Wolfes J. On a one-dimensional four-body scattering system / J. Wolfes // Annals of Physics. 1974. - Vol. 3. - P. 454-464.

Papadopoulos G. New potentials for conformal mechanics / G. Papadopoulos // Classical and Quantum Gravity. 2013. - Vol. 30. - 075018 (17 pages).

[100] Hagen C.R. Scale and conformal transformations in galilean-covariant field theory / C.R. Hagen // Physical Review D. 1972. - Vol. 5. - P. 377-388.

[101] Hakobyan T. Lobachevsky geometry of (super)conformal mechanics / T. Hakobyan, A. Nersessian // Physics Letters A. 2009. - Vol. 373. - P. 1001-1004.

[102] Burdik C. Remarks on Multi-Dimensional Conformal Mechanics / C. Burdik, A. Nersessian // SIGMA. 2009. - Vol. 004. - P. 1-8.