Нерегулярные задачи гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Старовойтов, Виктор Николаевич

• Старовойтов, Виктор Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Старовойтов, Виктор Николаевич

Введение

1 Задача о движении твердого тела в вязкой жидкости

1 Постановка задачи.

2 Пространство К{х-> Л).

2.1 Двумерный случай.

2.2 Трехмерный случай.

3 Локальное решение задачи.

4 Глобальное решение задачи в двумерном случае

5 Глобальное решение задачи в трехмерном случае

6 О поведении твердого тела вблизи границы.

7 Обоснование определения обобщенного решения

2 Краевые задачи для моделей фазового поля

ЧАСТЬ I. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ КАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ.

1 О модели.

2 Постановка задачи.

3 Корректность задачи.

4 Поведение решения при неограниченном возрастании времени

5 Исследование устойчивости стационарных решений . 97 ЧАСТЬ II. КАПИЛЛЯРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА С КОНВЕКЦИЕЙ

6 Постановка задачи LL.

7 Вспомогательные утверждения.

8 Исследование регуляризованной задачи.

9 Разрешимость задачи LL.

10 Свойства решений одного вариационного принципа . 131 И Задачи о фазовых переходах жидкость - твердое тело . 136 ЧАСТЬ III. КОНВЕКТИВНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА СО СКАЧКОМ

ПЛОТНОСТИ.

12 Постановка задачи.

13 О движении теплопроводной жидкости.

14 Задача Стефана.

15 Свойства решения задачи А*.

15.1 О переходной фазе.

15.2 Однофазная задача Стефана.

15.3 О нестационарной задаче.

3 О движении точечного вихря в потоке идеальной жидкости

1 Постановка задачи.

2 Определение обобщенного решения.

3 Разрешимость задачи А.

4 Оператор сдвига вдоль траекторий.

4.1 Непрерывные поля скорости.

4.2 Сингулярные поля скорости.

5 Свойства решений.

5.1 Обобщенные решения задачи А.

5.2 Убывающие обобщенные решения задачи А

6 Единственность решения задачи А.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нерегулярные задачи гидродинамики»

Математические модели механики сплошных сред являются одним из основных объектов исследования в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Притягательность этих задач обусловлена многочисленными приложениями с одной стороны, а с другой — естественностью постановок и наглядностью результатов. С теоретической точки зрения уравнения механики также вызывают несомненный интерес. Можно привести множество примеров, когда при изучении этих задач математика приобретала новые методы и понятия.

В предлагаемой работе рассматривается ряд задач гидродинамики, в которых терпят разрыв те или иные характеристики жидкости.

В первой главе диссертации рассматривается задача о движении абсолютно твердого тела в несжимаемой жидкости. Эта задача имеет многочисленные приложения и уже довольно большую историю. Можно различить три возможных ситуации, относящихся к данной задаче:

1. тело является буксируемым,

2. тело является самодвижущимся,

3. тело является пассивным и движется вместе с жидкостью.

В первой тело движется в жидкости по заранее предписанному закону. Фактически, заменой переменных эта ситуация сводится к решению задачи обтекания неподвижного тела. Исторически первое систематическое исследование в этом направлении было предпринято Кирхгофом [121] и лордом Кельвином [151] и продолжено С.А.Чаплыгиным 69]. Они изучали движение тела в потоке идеальной жидкости. Интерес к этой задаче диктовался потребностями зарождавшейся тогда аэромеханики. Впоследствии появилось целое направление в науке, связанное с описанием обтекания крыла аэроплана и тел другой формы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Познакомиться с этим вопросом можно по книгам [31], [21], [35], [24].

Второй тип задач характеризуется тем, что тело движется по заранее неизвестному закону под действием приложенных к нему сил со стороны двигателя и окружающей жидкости. Имитация работы двигателя может быть различной и обычно выражается через задание условия протекания на границе тела или распределение объемных сил. Эта задача очень трудна и ее разрешимость доказана лишь для некоторых частных постановок (см. [43], [106]), в которых течение жидкости удовлетворяет линейным уравнениям Стокса.

В данной диссертации рассматривается третья ситуация. Предполагается, что течение жидкости удовлетворяет системе уравнений Навье-Стокса, а твердое тело движется только под действием окружающей его жидкости. Классическая постановка этой задачи приведена в уравнениях (1.1), (1-2). С обзором работ по механическому и численному исследованию этой задачи можно познакомиться по статьям [43], 106], [117]. Что касается математических работ, то их не так много.

При решении задачи мы сталкиваемся со следующими основными трудностями:

1. фактически, приходится решать начально-краевую задачу для уравнений Навье-Стокса в нецилиндрической области, так как твердое тело меняет со временем свое положение в пространстве;

2. область течения априори неизвестна и должна быть определена;

3. область течения может превращаться из двусвязной в односвязную, когда тело касается стенок.

Последняя трудность является наиболее существенной.

Видимо, впервые краевая задача для уравнений Навье-Стокса в заданной нецилиндрической области была рассмотрена в работе Сазера 142], где решение строилось методом Галеркина. При этом строились специальные базисы, зависящие от времени. В 1968-м году О.А.Ладыженская решила эту задачу методом полудискретизации по времени 25]. Другой подход, связанный с применением метода штрафа, был предложен Ж.-Л.Лионсом [33], Фуджитой и Сауером [104]. Следует заметить, что в этих работах краевые условия для скорости были однородными. Сначала задача решалась в цилиндрической области, содержащей заданную нецилиндрическую, а потом за счет подходящего выбора штрафа совершался предельный переход, при котором скорость стремилась к нулю в «лишней» части цилиндра. Подобный штраф используется в параграфе 11 главы 2 данной диссертации при решении задачи LSI.

В 1974-м году появилась работа Н.В.Юдакова [70], в которой доказывалась разрешимость именно задачи о движении твердого тела в вязкой жидкости. В его постановке присутствовало только одно твердое тело, и жидкость занимала все пространство. Таким образом, третьей и т-ч и из перечисленных трудностей не возникало. В этой ситуации можно с помощью замены переменных перейти к задаче в фиксированной области, конечно, немного усложнив уравнения. Впоследствии аналогичный метод с небольшими модификациями использовался и другими авторами (см. [90]). В такоИ же постановке задача была исследована Д.Серром [144 .

Третья трудность возникнет, если мы рассмотрим задачу в ограниченной области. Есть несколько статей, в которых доказывается разрешимость этой задачи «в малом» по времени, точнее, до момента столкновения тела с границей области течения (см. [71], [90], [94], [95]). В работе [49] доказана глобальная разрешимость задачи для специального случая неньютоновской жидкости с определяющим уравнением, исключающим соприкосновения тела со стенкой. В 1996-м году автором (см. [112], [ИЗ]) был предложен новый подход к решению задачи, позволивший доказать ее глобальную разрешимость. При этом допускаются столкновения тела с границей. Результаты данных работ представлены в главе 1 диссертации. Опишем их в нескольких словах.

Новый подход заключается в том, чтобы рассматривать твердое тело как часть жидкости, где ее вязкость неограниченно велика. В связи с этим, сначала рассматривается задача о движении вязкой несжимаемой неоднородной жидкости, которая изучена довольно подробно (см.

16], [1], [125]) и является глобально разрешимой. Предположим, что в каком-то объеме, перемещающемся и деформирующемся вместе с жидкостью, вязкость равна величине е~л, где е — малый положительный параметр. Так как в уравнениях Навье-Стокса стоит дивергенция от произведения коэффициента вязкости и тензора скоростей деформации, то, как следует из энергетической оценки, в пределе при е —> О тензор скоростей деформации обращается в нуль в этой части жидкости. Следовательно, поле скорости соответствует там твердотельному движению среды. Поэтому в пределе мы должны получить решение задачи о движении твердого тела в вязкой жидкости. Это общий план. реализации которого посвящена глава 1.

В параграфе 1 приводится постановка задачи и дается определение ее обобщенного решения. Второй параграф посвящен изучению новых пространств, состоящих из вектор-функций, тензор деформации которых равен нулю в некоторой части области течения. В параграфе 3 доказывается существование локального по времени (до момента столкновения тела с границей) решения задачи с сопротивлением. Рассматривается два вида сил сопротивления, действующих на тело: первые пропорциональны скорости тела, вторые зависят от его положения в пространстве. Заметим, что за счет подходящего выбора сил сопротивления мы всегда можем добиться того, что тело не подойдет к границе в течение сколь угодно большого отрезка времени. Этот факт будет использован в параграфах 4 и 5 при доказательстве глобальной разрешимости задачи в двумерном и трехмерном случаях, соответственно. Имея глобальное решение задачи с сопротивлением, мы получим глобальное решение основной задачи путем предельного перехода при стремлении сил сопротивления к нулю. В случае трех пространственных переменных эта процедура проделана только для ситуации, когда область течения и твердое тело являются шарами, что вызвано более сложным, чем в двумерном случае, поведением тела у границы и более разнообразными геометрическими возможностями. Следует отметить, что, как показано в параграфе 2, если границы тела и области течения являются поверхностями (кривыми) класса и тело касается стенки в какой-то момент времени, то оно в этот момент неподвижно (скорость всех его точек равна нулю) в двумерном случае, и может лишь вращаться вокруг оси, проходящей через точку касания и ортогональной границе, в трехмерном. Это довольно парадоксальный факт, так как он говорит, например, о том, что металлический шарик не может катиться по дну стакана, наполненного водой — обязательно оторвется.

Другой интересный факт доказан в параграфе 6. Показано, что при подходе к границе тело замедляется (что, вообще говоря, естественно), и в момент касания его скорость обращается в нуль (имеется в виду производная по времени функции расстояния от тела до границы). На физическом языке это можно выразить так: бросив шарик в стакан с водой мы не должны услышать, как он ударится о дно. Таким образом, можно пополнить уже довольно длинный список парадоксов, связанных с задачами динамики жидкости.

Отметим, что в настоящее время получено обобщение этих результатов на случай неоднородных жидкости и твердого тела [150 .

В главе 2 рассмотрен ряд задач, описывающих течения двуфазных сред. Глава разбита на три части. Первая имеет отношение к задаче о движении двух несмешивающихся жидкостей, разделенных капиллярной границей. В классической постановке наличие поверхностного натяжения означает, что на границе раздела Г выполняется условие:

У(п}] = акп, где У — тензор напряжений в жидкости, п — вектор нормали к Г, к — средняя кривизна поверхности Г, сг — коэффициент поверхностного натяжения, скобки [ • ] означают скачок функции при переходе через Г. Течение жидкостей подчиняется уравнениям Навье-Стокса.

Эта и родственные ей задачи широко изучались В.А.Солонниковым и его учениками ([53], [54], [12]), Т.Билом [78] , Г. Алаином [74] и многими другими авторами. Ими доказано существование решения в различных классах гладкости, на на малом промежутке времени. В работах

138], [56] построено глобальное, но мерозначное решение, где граница раздела жидкостей описывалась с помощью варифолдов (см. [76], 75]). Изучению свойств границы в случае жидкости Стокса посвящена статья 41

Другой подход к описанию этого явления, предложенный в работах 58], [63], [62], представлен в первой части главы 2. Рассматривается новая модель, в которой учитывается как взаимная диффузия жидкостей, так и их капиллярное взаимодействие. Эта модель построена на основе идей Ван дер Ваальса [153], Кортевега [122], Кана и Хилларда 84], [85]. Формальные асимптотические разложения по малому параметру, характеризующему эффективную толщину слоя перемешивания, построенные в работе [58], показывают, что классическая модель является нулевым приближением предложенной. Модель подобного типа для течений сжимаемой жидкости исследовалась в работе [133 .

В диссертации проведено довольно подробное исследование модели. В частности, доказана глобальная однозначная разрешимость поставленной для нее задачи Коши, изучены поведение решения при 1 ~¥ оо и устойчивость стационарных решений.

Аналогичные модели используются для описания фазовых переходов первого рода и процессов диффузии (см. [51], [80], [81], [82]). Они носят название моделей фазового поля и имеют следующий вид:

0.1) т(р1 = АААр + а-\<р - лл) + е. (0.2)

Здесь 9 — температура среды, (р — параметр порядка, /, К, т, А а — некоторые постоянные. Параметр порядка, называемый еще фазовой функцией, задает распределение какой-либо макроскопической характеристики среды, например, концентрации или фазы. При стремлении параметров г, л, а к нулю мы можем получать различные постановки задач о фазовых переходах (отличающиеся одним условием на границе фазового перехода)

01 = КАв в областях, занятыми фазами,

1Уп = -К1Ав-п] на Г,

1. классическая задача Стефана: л = 0 на Г;

2. задача Стефана с поверхностным натяжением: в = ак на Г;

3. задача Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением : в = ак-Уп на Г.

Здесь Г — граница фазового перехода, 14 — ее скорость в направлении нормали к — средняя кривизна поверхности Г.

Физические предпосылки использования моделей 2 и 3 приведены в работах [81], [109], [110]. Отметим лишь, что они носят уточняющий характер по сравнению с классической задачей Стефана, учитывая поверхностную энергию Гиббса и динамику границы раздела фаз. Это приводит к тому, что вблизи межфазной границы может быть, например, лед с положительной температурой и вода с отрицательной. Поэтому модели такого типа называют еще моделями с переохлаждением.

Все три задачи исследовались на корректность, хотя и с разной степенью полноты. С результатами по классической задаче Стефана можно познакомиться по книге [36]. Для задачи Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением доказано существование и единственность локального по времени классического решения (см, [57], [44], [87]). В работах [126], [139], [42], [143] доказано существование глобального обобщенного решения задачи Стефана с поверхностным натяжением. Существует довольно много статей, посвященных обоснованию предельного перехода от модели фазового поля к этим постановкам задачи Стефана (см. [139], [42], [45], [10], [11] [136], [146]).

Во второй части главы 2 рассматривается конвективная задача Стефана с поверхностным натяжением, в которой наряду с тепловыми процессами учитывается движение среды. Следует отметить, что учет конвекции вносит в задачу существенные трудности. Определенный прогресс в этой области был достигнут в работах [86], [96], [97], [141], 2], [23], [118], однако, существование глобального решения доказано не было. В данной диссертации предлагается учесть энергию межфазного взаимодействия. Таким образом, получается комбинация задачи Стефана с поверхностным натяжением и задачи о движении двух не-смешивающихся жидкостей, разделенных капиллярной границей. Не смотря на то, что отдельно для второй задачи пока не получена глобальная разрешимость, их совокупность допускает глобальное обобщенное решение с гладкой границей раздела фаз. Этот факт доказан в параграфах 9, 11. Поверхностная энергия тепловых процессов вносит в задачу некоторый дополнительный регуляризующий фактор.

В параграфах 6-9 рассматривается задача ЬЬ, в которой обе фазы являются жидкими и отличаются только вязкостью. Для ее решения используется метод регуляризации с помощью системы типа модели фазового поля. Далее, в параграфе 11 делается переход к задачам, в которых одна из фаз является твердой и может быть как подвижной задача LSM), так и неподвижной (задача LSI). При этом используются методы главы 1. В параграфе 10 доказываются некоторые качественные результаты, которые нужны для предельного перехода к задачам с твердой фазой, но представляют и самостоятельный интерес. В частности, при возникновении зародыша твердой фазы хорошо известен эффект нуклеатизации, заключающийся в том, что размер зародыша не может быть меньше некоторой величины, определяемой температурой и свойствами вещества. Твердая фаза появляется не непрерывно из точки, а скачком. В этом параграфе получена оценка снизу на величину зародыша.

Все перечисленные выше результаты были получены в предположении, что плотность вещества не терпит скачка при фазовом переходе. В реальных явлениях этот эффект имеет место, и его, вообще говоря, нельзя игнорировать. Например, всем известно, что вода при замерзании расширяется. Автору известна только одна математическая работа, в которой рассматривается задача Стефана со скачком плотности, а именно, статья А.А.Костикова [123]. В этой работе доказана локальная разрешимость задачи при следующих предположениях:

1. вещество является несжимаемым,

2. плотности фаз — различные постоянные,

3. жидкая фаза окружает твердую.

Последнее ограничение очень существенно. В самом деле, рассмотрим фазовый переход типа жидкость - твердое тело в ситуации, когда выполняются первые два предположения, но жидкая фаза заполняет полость внутри твердой. Положим для определенности, что плотность жидкой фазы больше плотности твердой фазы (как у воды). Легко видеть, что в этой ситуации невозможен фазовый переход, описываемый классическими уравнениями механики сплошной среды. Если граница раздела фаз движется в сторону жидкой фазы, то жидкость при замерзании будет расширяться, что невозможно, так как ее объем ограничен жесткой оболочкой из твердой фазы. Аналогично, движение межфазной границы в сторону твердой фазы также невозможно. Таким образом, задача о фазовом переходе в несжимаемой жидкости в общем случае неразрешима даже «в малом». Необходимо искать другие модели для описания этого процесса, пусть даже в простейших ситуациях. В части И1 главы 2 представлен один из возмолсных подходов.

Предполагается, что движение вещества является медленным и описывается уравнениями Стокса, удельная внутренняя энергия е и плотность р есть заданные функции только от температуры О и не зависят от давления. Фактически, такие среды можно назвать несжимаемыми или, более точно, изотермически несжимаемыми. Кроме того, предполагается, что функции е{в) и р{9) связаны соотношением: где ai, «2 — какие-либо постоянные. Уравнения состояния такого типа в случае, когда е' = const, рассматривались в работах [137], [140 .

В такой постановке доказано, что задача имеет единственное глобальное решение. Более того, для этой задачи справедливы многие результаты, которые имеют место для классической задачи Стефана без конвекции, в частности, результат о невозрастании переходной фазы i 107.

Третья глава диссертации посвящена изучению сингулярных течений идеальной несжимаемой жидкости, а именно, течений с точечным вихрем. Для описания потоков идеальной жидкости используется система уравнений Эйлера: сЦуг»» = О, где У — поле скорости, р —давление.

Несмотря на то, что с физической точки зрения эта модель является сильно упрощенной, она издавна и до сих пор широко используется в гидродинамике. Исследование начально-краевых задач для уравнений Эйлера было начато в работах Н.М.Гюнтера [9] и Л.Лихтенштейна 124]. Ими получены основополагающие результаты о существовании и единственности локального классического решения задачи. Впоследствии, в ставших уже классическими работах Е.Гельдера [116], В.Волибнера [155], В.И.Юдовича [72] и Т.Като [119] были доказаны теоремы о глобальной однозначной разрешимости задачи в случае двух пространственных переменных.

В трехмерном случае ситуация более сложна, и доказать глобальную разрешимость задачи пока не удалось. Более того, численные исследования показывают (см. [88], [89], [134]), что гладкие в начальный момент времени течения идеальной жидкости могут становиться сингулярными. В работе [79] установлено, что если изначально гладкое решение теряет регулярность, то максимум завихренности (ротора скорости) обязательно неограниченно растет при приближении к некоторому критическому моменту времени. Вообще говоря, в образовании сингулярности нет ничего страшного. В том и состоит особенность течений идеальной жидкости, что они допускают нерегулярные режимы. Необходимо лишь выявить возникающую сингулярность и ввести соответствующее определение решения. В двумерном случае уже получен ряд результатов в этом направлении (см. [99], [100]). Недавно Ж.-М.

Делор (см. [91], [92], [93]) доказал глобальную разрешимость задачи в случае, когда начальное распределение скорости суммируемо с квадратом, а завихренность является знакоопределенной мерой. Другие доказательства этого факта предложены в работах [128], [103]. Таким образом, частично решена задача о «вихревой пелене». «Вихревая пелена» — это линия, перемещающаяся вместе жидкостью, на которой терпит скачок касательная компонента скорости. То есть, завихренность является мерой, сосредоточенной на этой линии. Для полного решения задачи требуется освободиться от условия знакоопределенности меры.

В данной диссертации рассматривается задача Коши для системы уравнений Эйлера с начальными данными, в которых завихренность имеет особенность типа (л-функции Дирака, и поле скорости не является суммируемым с квадратом. Такой тип особенности называется точечным вихрем. При исследовании этой задачи необходимо наложить дополнительные ограничения на структуру решения. В гидродинамике принято предположение [3], состоящее в том, что точечный вихрь присутствует в течении и в последующие моменты времени и «сам на себя не действует», то есть, его движение определяется только регулярной составляющей скорости (см. параграф 1 главы 3). Результаты главы 3 позволяют сделать вывод об обоснованности такого предположения. Эта глава посвящена доказательству глобальной однозначной разрешимости задачи о движении точечного вихря. Доказательство существования обобщенного решения задачи проводится с помощью ее регуляризации задачей с начальными данными, в которых особенность завихренности заменена аппроксимирующей ее последовательностью ограниченных функций. Стоит отметить, что в пределе мы получаем систему, состоящую как из уравнений в частных производных, так и из обыкновенных дифференциальных уравнений. Последние описывают перемещение точечного вихря. Подобная ситуация возникает в главе 1 при решении задачи о движении твердого тела в жидкости.

Задача о движении вихря в идеальной жидкости рассматривалась ранее Н.Д.Введенской и Л.Р.Волевичем (см. [4], [5]), К.Маркиоро и М.Пулверенти [129], Б.Туркингтоном [152]. В работах [4], [5] доказано существование локального по времени решения, а также приведены методы численного исследования задачи. В [129] решена задача Коши даже для случая нескольких вихрей, но в предположении что регулярные составляющие завихренности и скорости равны нулю. В этом случае, если в течении присутствует только один вихрь, то он будет неподвижен, и задача становится тривиальной. В статье [152] также предполагается, что регулярная часть завихренности равна нулю, но область течения ограничена, поэтому регулярная часть поля скорости не равна нулю, и вихрь перемещается.

На протяжении диссертации приняты следующие обозначения:

• — окончание доказательства теоремы,

• и -4 — начало и конец доказательства леммы, предложения или следствия,

• — конец замечания.

Нумерация формул ведется отдельно по параграфам и главам. Первая цифра означает номер параграфа, вторая — номер формулы в параграфе. То же самое относится к теоремам, предложениям, леммам и определениям, для которых используется общая нумерация.

Результаты, входящие в диссертацию опубликованы в работах [42 58], [59], [60], [62], [63], [112], [ИЗ], [114], [115], [149.

Автор вырал<ает благодарность члену-корреспонденту РАН профессору П.И.Плотникову за внимание к работе и плодотворные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Старовойтов, Виктор Николаевич, 2000 год

1. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1980.

2. Базалий Б.В., Дегтярев С.Н. Классическая разрешимость многомерной задачи Стефана с конвективным движением вязкой несжимаемой жидкости// Мат. Сборник. 1987. Т. 132. N 1. С.3-19.

3. Богомолов В.А. Динамика завихренности на сфере// Мех. жидкости и газа. 1977. N 6. С.57-65.

4. Введенская Н.Д., Волевич Л.Р. Движение идеальной жидкости с изолированными вихрями// УМН. 1983. Т.38, N 5. С. 159-160.

5. Введенская Н.Д., Волевич Л.Р. Движение идеальной жидкости с локализованной завихренностью на поверхности вращающейся сферы. М., 1984. Препринт/ ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, N68.

6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.

7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.

8. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

9. Гюнтер Н.М. Об основной задаче гидродинамики// Изв. физ.-мат. института АН СССР. 1927. Т.2, N 1. С.1-168.

10. Денисова И.В. Движение капли в потоке жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1989. - Вьт.93.

11. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир, 1989.

12. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Мат. сб. 1965. Т.67, N 4. С.609-642.

13. Кажихов A.B. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений движения неоднородной вязкой несжимаемой жидкости// Докл. АН СССР. 1974. Т.216, N 5. С.1008-1010.

14. Кажихов A.B. Корректность нестационарной задачи о протекании идеальной жидкости через заданную область// Динамикасплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1980. - Вып.47. С.37-56.

15. Калантаров В.К. О глобальном поведении решений некоторых нелинейных уравнений четвертого порядка // Записки научных семинаров ЛОМИ. Т. 163. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 19. 1987. С. 66-75.

16. Каменомостская СЛ. О задаче Стефана// Мат. сборник. 1961. Т.53, N 4. С.489-514.

17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

18. Коробкин A.A. Соударение жидких и твердых масс. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1997.

19. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1. М.: Физматгиз, 1963.

20. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958.

21. Кулагина H.A. Однофазная задача Стефана с движением в жидкой фазе// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1985. - Вып.72. С.36-49.

22. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

23. Ладыженская O.A. Начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса в областях с меняющейся со временем границей// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т.Н. С.97-128.

24. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

25. Ладыженская O.A. О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье-Стокса // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1972. Т.27. С. 91-114.

26. Ладыженская O.A. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и других уравнений с частными производными // Успехи математических наук. Т.42. В.6(258). 1987. С.25-60.

27. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

28. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

29. Ламб Г. Гидродинамика. М,: Гостехиздат, 1947.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

32. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

33. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

34. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.

35. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

36. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

37. Назаров С.А. О течении воды под лежачий камень// Мат. сборник. 1995. Т.186, N 11. С.75-110.

38. Олейник О.А. Об одном методе решения задачи Стефана// Докл. АН СССР. 1960. Т.135, N 5. С.1054-1057.

39. Плотников П.И. Об одном классе кривых, возникающем в задаче со свободной границей для течений Стокса// Сиб. Мат. Журнал. 1995. Т.36, N 3. С.619-627.

40. Плотников П.И., Старовойтов В.Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифф. уравнения. 1993. - Т.29, N 3. - С.461-471.

41. Пухначев В.В. Стоксово приближение в задаче обтекания самодвижущегося тела// Краевые задачи математической физики. Киев: Наукова думка. 1990. С.65-73.

42. Радкевич Е.В. Поправка Гиббса-Томсона и условия существования классического решения модифицированной задачи Стефана// Докл. АН СССР. 1991. Т.316, N 6. С.131Ы315.

43. Радкевич Е.В. Об асимптотических решениях системы фазового поля// Дифф. уравнения. 1993. Т.29, N 3, С.487-500.

44. Радкевич E.B. Об условиях существования классического решения модифицированной задачи Стефана (закон Гиббса-Томсона)// Мат. сборник. 1992. Т. 183, N 2. С.77-101.

45. Решетняк Ю.Г. О слабой сходимости вполне аддитивных вектор-функций множества// Сиб. Мат. Журнал. 1968. Т.9, N 6. С. 13861394.

46. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, Т.4, Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

47. Саженков С. А. Задача о движении твердых тел в неньютоновской несжимаемой жидкости// Сиб. Мат. Журнал. 1998. Т.39, N 1, С. 146-160.

48. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. Т.2.

49. Скрипов В.П., Скрипов A.B. Спинодальный распад // Успехи физических наук. 1979. - Т. 128. - Вып.2.- С. 193-231.

50. Соболевский П.Е. О нестационарных уравнениях гидродинамики вязкой жидкости // ДАН СССР. 1959. Т. 128. No 1. С. 45-48.

51. Солонников В. А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью// Изв. АН СССР. Математика. 1977. Т.41. С.1388-1424.

52. Солонников В.А. О неустановившемся движении конечной массы жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1986.- Т. 152.- С. 137-157.

53. Старовойтов В.Н. Разрешимость задачи о движении концентрированных вихрей в идеальной жидкости// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1988. - Вьш.85. С.118-136.

54. Старовойтов В.Н. Разрешимость задачи о движении жидкости с межфазной границей // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1990. -Вьга.95. С.114-130.

55. Старовойтов В.Н. Разрешимость в малом по времени задачи Стефана с условием Гиббса-Томсона на межфазной границе// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1990. - Вып.95. С. 151-155.

56. Старовойтов В.Н. Модель движения двухкомпонентной жидкости с учетом капиллярных сил.// Журнал прикладной механики и техн. физики. 1994. Т.35, N 6(208). С.85-92.

57. Старовойтов В.Н, Представление решения в задаче о движении точечного вихря в идеальной жидкости// Сиб. мат. журнал. 1994. Т.34, N 2. С.446-458.

58. Старовойтов В.Н. Единственность решения задачи о движении точечного вихря// Сиб. мат. журнал. 1994. Т.35, N 3. С.696-701.

59. Старовойтов В.Н. О равномерной ВУ-оценке решений некоторых дифференциальных уравнений// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. -1994. Вьш.109. С. 103-108.

60. Старовойтов В.Н. О задаче Коши для системы уравнений, описывающей движение двухкомпонентной жидкости с учетом капиллярного взаимодействия// Успехи математических наук. 1995. Т.50, в.4(304). С.78.

61. Старовойтов В.Н. О движении двухкомпонентной жидкости при наличии капиллярных сил// Математические заметки. 1997. Т.62, N 2. С.293-305.

62. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

63. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991.

64. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

65. Харди Г., Литтльвуд Д., Полна Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

66. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

67. Чаплыгин С.А. Полное собрание сочинений. Т.1. Л.: 1933.

68. Юдаков Н.В. Разрешимость задачи о движении твердого тела в вязкой несжимаемой жидкости// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1974. вып. 18. С.249-253.

69. Юдаков Н.В. Гладкость решений одной задачи для уравнений Навье-Стокса// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. /АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1976. вып. 26. С. 154-159.

70. Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1963. Т.З, N 6. С.1032-1066.

71. Alikakos N.D., Fusco G. Slow dynamics for the Cahn-Hilliard equation in higher space dimensions. Spectral estimates.// Comm. in pariai diff. equations, V. 19, 1994, p.1397-1447.

72. Allain G. Small-time existence for the Navier-Stokes equations with a free surface. Ecole Polytechnique, Preprint N 135, 1985.

73. Allard W.K. On the first variation of a varifold // Ann. Math. 1972. V.95, N 3. P.417-491.

74. Almgren F.J. Plateau's problem. An invitation to varifold geometry. N.Y.: Benjamin, 1966.

75. Aubin J.P. Un théorème de compacité// С. R. Acad. Sc. 1963. V.256. P.5042-5044.

76. Beale J.T. The initial value problem for the Navier-Stokes equations with a free surface// Comm. Pure Appl. Math. 1982. V.34. P.359-392.

77. Beale J.T., Kato T., Majda A. Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-d Euler equations// Commun. Math. Phys. 1984. V.94. P.61-66.

78. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. - V.92. - P.205-245.

79. Caginalp G. Stefan and Hele-Shaw type models as asymptotic limits of the phase-field equations // Physical Review A. 1989. - V.39. -N 11. - P.5887-5896.

80. Caginalp G. The dynamics of a conserved phase field system: Stefanlike, Hele-Shaw and Cahn-Hilliard models as asymptotic Hmits// IMA Journal of Appl. Math. 1990. V.44. P.77-94.

81. Caginalp G., Chen X. Convergence of the phase field model to its sharp interface limits// Euro. J. Appl. Math. 1998. V.9. P.417-445.

82. Cahn J.W. On spinodal decomposition // Acta Metallurgica. 1961. - V.9. - N 9. - P.795-801.

83. Cahn J.W., Hillard J.E. Free energy of a non-uniform system. Interfacial free energy // J.Chem.Phys. 1958. - V.28. - P.258-266.

84. Cannon J.R., DiBenedetto E., Knightly G.K. The bidimensional Stefan problem with convection: the time dependent case.// Comm. Part. Diff. Equations. 1983. V.8, N 14. P.1549-1604.

85. Chen X., Reitich F. Local existence and uniqueness of solutions of the Stefan problem with surface tension and kinetic undercooling// J. Math. Anal. Appl. 1992. V.164. P.350-362.

86. Chorin A. Estimates of intermittency, spectra and blow-up in developed turbulence// Commun. Pure Appl. Math. 1981. V.34. P.853-866.

87. Chorin A. The evolution of a turbulent vortex// Commun. Math. Phys. 1982. V.83. P.517-535.

88. Conca C, San Martin J., Tucsnak M. Existence of solutions for the equations modelling the motion of a rigid body in a viscous fluid// Commun. Partial Differ. Equations. 2000. V.25, N 5-6. P.1019-1042.

89. Delort J.-M. Existence de nappes de tourbillon sur B?/1 C. R. Acad. Sci. Paris. 1991. T.312, N 1. P.85-88.

90. Delort J.-M. Existence de nappes de tourbillon en dimension deux// J. Amer. Math. Soc. 1991. V.4. P.553-586.

91. Delort J.-M. Une remarque sur le problème des nappes de tourbillon axisymetriques sur 11 J. Func. Anal. 1992. V.108. P.274-295.

92. Desjardins B., Esteban M.J. On weak solutions for fluid-rigid structure interaction: compressible and incompressible models. Preprint 9908, Université Pris-Dauphine, 1999.

93. Desjardins B., Esteban M.J. Existence of weak solutions for the motion ofrigid bodies in a viscous fluid// Arch. Rational Mech. Anal. 1999. V.146. P.59-71.

94. DiBenedetto E., Friedman A. Conduction-convection problem with a change of phase// J. Differntial Equations. 1986. V.62, N 2. P. 129185.

95. DiBenedetto E., O'Leary M. Three-dimensional conduction-convection problems with change of phase// Arch. Rat. Mech. Anal. 1993. V.123. P.99-116.

96. DiPerna R.J., Lions P.-L. Ordinary differential equations, Sobolev spaces and transport theory// Invent. Math. 1989. V.98. P.511-547.

97. DiPerna R.J., Majda A. Concentrations in regularizations for 2-D incompressible flow// Commun. Pure Appl. Math. 1987. V.40. P.301-345.

98. DiPerna R.J., Majda A. Reduced Hausdorff dimension and concentration-cancellation for two dimensional incompressible flow// J. Amer. Math. Soc. 1988. V.l. P.59-95.

99. Elliot C M . The Cahn-Hillard model for the kinetics of phase separation // International series of numerical math. 1989. - V.88. - P.35-73.

100. Elliot CM., Songmu Z. On the Cahn-Hilliard equation // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1986. V. 96. p. 339-357.

101. Evans L.C, Müller S. Hardy spaces and the two-dimensional Euler equations with nonnegative vorticity// J. Amer. Math. Soc. 1994. V.7. P.199-219.

102. Fujita H., Sauer N. On existence of weak solutions of the Navier-Stokes equations in regions with moving boundaries// J. Fac. Sei. Univ. Tokyo., Sec.lA. 1970. V.17. P.403-420.

103. Galdi C P. An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. V.1,2. Springer, 1994.

104. Galdi C P . On the steady self-propelled motion of a body in a viscous incompressible fluid// Arch. Rational Mech. Anal. 1999. V.148, N 1. P.53-88.

105. Götz I.e., Zaltzman B.B. Nonincrease of mushy region in a nonhomogeneous Stefan problem// Quarterly of Applied Mathematics. 1991. V.49, N 4. P.741-746.

106. Götz LG., Zaltzman B.B. Two-phase Stefan problem with supercoohng// SIAM J. Math. Anal. 1995. V.26, N 3. P.694-714.

107. Gurtin M.E. Multiphase thermomachanics with interfacial structure. l.Heat coduction and the capillary balance law// Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.104. R195-222.

108. Gurtin M.E. Multiphase thermomachanics with interfacial structure: Towards a non-equihbrium thermomechanics of two phase materials// Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.104. R275-312.

109. Gurtin M.E., Soner H.M. Some remarks on the Stefan problem with surface structure// Quart. Appl. Math. 1992. V.50, N 2. R291-303.

110. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. On a motion of a solid body in a viscous fluid. Two-dimensional case// Advances in Mathematical Sciences and Applications. 1999. V.9, N 2. R164-182. (Preprint M9617, 1996, Technische Universität München)

111. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. Zur Bewegung einer Kugel in einer zähen Flüssigkeit// Documenta Mathematica. 2000. V.5. P. 15-21. (Preprint M9618, 1996, Technische Universität München)

112. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. Phase transitions of liquid-liquid type with convection// Adv. Math. Sei. Appl. 1998. V.8, N 1. P.185-198.

113. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. The Stefan problem with surface tension and convection in Stokes fluid// Adv. Math. Sei. Appl. 1998. V.8, N 1. R173-183.

114. Holder Б. Über die unbeschränkte Fortsetzbarkeit einer stetigen ebenen Bewegung in einer unbegrenzten inkompressible Flüssigkeit// Math. Z. 1933. Bd.37. S.727-738.

115. Hsu R., Ganatos P. The motion of a rigid body in viscous fluid bounded by a plane wall// Journal of Fluid Mechanics. 1989. V.207. P.29-72.

116. Kaliev I.A., Kazhikhov A.V. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem// J. Math. Fluid Mech. 1999. V.l. P.282-308.

117. Kato T. On classical solutions of the two-dimensional nonstationary Euler equation// Arch. Rational Mech. and Anal. 1967. V.25, N 3. P.188-200.

118. Kazhikhov A. V., Shelukhin V. V . The verification compactness method// Актуальные проблемы современной математики. Т.2. С.51-60.

119. Kirchhoff G. Über die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit// J. de Grelle. 1869. V.71. P.237-281.

120. Kostikov A.A. Thermodiffusional Stefan problem with convection. Report N 361. University of Augsburg. 1992.

121. Lichtenstein L. Gründlagen der Hydromechanik. Berlin: Springer, 1927.

122. Lions P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. V.l. Incompressible models. Clarendon Press. Oxford. 1996.

123. Luckhaus S. Solutions for the two-phase Stefan problem with the Gibbs-Thomson law for the melting temperature// European Journal of Applied Math. 1990. V.l, N 2, P.101-111.

124. Luckhaus S., Módica L. The Gibbs-Thomson relation within the gradient theory of phase transitions// Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.107. R71-83.

125. Majda A. Remarks on weak solutions for vortex sheets with a distinguished sign// Ind. Univ. Math. J. 1993. V.42. P.921-939.

126. Marchioro C, Pulvirenti M. Euler evolution for singular initial data and vortex theory// Commun. Math. Phys. 1983. V.91, N 4. P.563-572.

127. Massari U. Frontière orientate di curvatura media assegnata// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. V.53. 1975. P.37-52.

128. Meirmanov A.M. The Stefan problem with surface tension in the three dimensional case with spherical symmetry: non-existence of the classical solution// European J. Appl. Math. 1994. N 5. P.1-19.

129. Módica L. The gradient theory of phase transitions and the minimal interface criterion// Arch. Rational Mech. Anal. 1987. V.98. P.123-142.

130. Morf R., Orszag S., Frisch U. Spontaneous singularity in three-dimensional incompressible flow// Rhys. Rev. Lett. 1980. V.44. P.572-575.

131. Nicolaenko B., Scheurer B. Low dimensional behaviour of the pattern formation Cahn-Hilliard equation // "Trends and practice of Nonlinear Analysis", ed. Lakshimikantham, Elsevier Science PubHcation, North Holland, 1985, p.323-336.

132. Omel'yanov G.A., Danilov V.G., Radkevich E.V. Asymptotic solution of the conserved phase field system in the fast relaxation case// Euro. Journal of Applied Mathematics. 1998. V.9. P.1-21.

133. Perera P.S., Sekerka R.F. Nonsolenoidal flow in a liquid diffusion couple// Phys. Fluids. 1997. V.9, N 2. P.376-391.

134. Plotnikov P.I. Compressible Stokes flow driven by capillary on a free surface// "Navier-Stokes Equations and Related Nonlinear Problems", ed. by H.Amann, G.Galdi, K.Pileckas and V.Solonnikov, VSP BV and Tev Ltd, Vilnius, 1998, P.217-238.

135. Plotnikov P.I., Starovoitov V.N. Stefan problem with surface tension as a limit of the phase field model // Itern. Series of Numerical Math. 1992. - V.106. - P.263-270. Birkhauser Verlag, Basel.

136. Pukhnachov V.V. Model of convective motion under low gravity// Microgravity Quarterly. 1992. V.2, N 4. P.251-252.

137. Rodrigues J.F. A steady-state Boussinesq-Stefan problem with continuous extraction// Ann. Mat. Рига Appl. (IV). 1986. N 144. P.203-218.

138. Sather J. The initial boundary value problem for the Navier-Stokes equations in regions with moving boundaries. Dissertation, University of Minnesota, January 1963.

139. Schatzle R. The quasistationary phase field equations with Neumann boundary conditions// J. Diff. Equations. 2000. V.162. P.473-503.

140. Serre D. Chute libre d'un soHde dans un fluide visqueux incompressible. Existence// Japan Journal of Applied Mathematics. 1987. V.4, N 1. P.99-110.

141. Simon J. Compact sets in the space 1/(0,Т]В)// Ann. Mat. Рига Appl. (IV). 1987. V. 146. P.65-96.

142. Soner H.M. Convergence of the phase-field equations to the Mullins-Sekerka problem with kinetic undercooling// Arch. Rational Mech. Anal. 1995. V.131. P.139-197.

143. Starovoitov V.N. Measure-solution of the two-phase filtration problem// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1993. - Вып. 106. С. 124134.

144. Starovoitov V.N. Liquid-liquid phase transitions in fluid// FBP News. 1996. N 10.

145. Starovoitov V.N. Stefan problem with different phase densities// Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM). 2000. Bd.80, N 2. S. 103-11L

146. Starovoitov V.N. Global solvability of the problem on a motion of a solid body in a viscous non-homogeneous fluid. Тезисы докладов Четвертого сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ). Новосибирск, 2000. С.28.

147. Thomson W. (Lord Kelvin). Mathematical and physical papers. 1882. V.4. Cambridge University Press.

148. Turkington B. On the evolution of a concentrated votex in an ideal fluid// Arch. Rational Mech. and Anal. 1987. V.97, N 1. P.75-87.

149. Van der Waals J.D. Thermodynamics theory of capillarity flow under the hypothesis of a continous variation of density // Verhandel. Konink. Akad. Weten. Amsterdam (sec.l). V . l. N 8 (1893).

150. Visintin A. Stefan problem with a kinetic condition at the free boundary// Ann. Mat. Рига Appl. (4). 1987. N 146. P.97-122.

151. Wolibner W. Un theorem sur l'existence du mouvement plan d'un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant, un temps infiniment long// Math. Z. 1933. Bd.37. S.698-726.