Неравенства типа Брунна-Минковского для степенных моментов областей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Тимергалиев, Булат Саматович

• Тимергалиев, Булат Саматович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Тимергалиев, Булат Саматович

Оглавление

Введение 3 Глава

Неравенства Брунна-Минковского для конформных и евклидовых моментов областей

§1.1 Вспомогательные сведения

§1.2 Конформные характеристики областей

§1.3 Евклидовы моменты областей

§1.4 Параметрические мостики между конформными и евклидовыми

моментами

Глава

Неравенства Брунна-Минковского в форме Хадвигера

§2.1 Выбор центра степенных моментов

§2.2 Примеры

§2.3 Неравенства Брунна-Минковского для моментов, обобщающих

функционал Хадвигера

§2.4 Модификации основного неравенства

Глава

Неравенства для обобщенных степенных моментов

§3.1 Построение обобщенных степенных моментов со специальным выбором центра

§3.2 Примеры

§3.3 Неравенство Брунна-Минковского для обобщенных моментов

§3.4 Модификации основного результата для обобщенных моментов

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства типа Брунна-Минковского для степенных моментов областей»

Введение

Диссертационная работа посвящена построению новых функционалов и доказательству для них неравенства типа Брунна-Минковского.

Классическое неравенство Брунна-Минковского сравнивает площади, объемы областей и имеет вид:

+ ^i|1/n > |^o|1/n + |tti|1/n, (0.0.1)

где мера множества Q, , ^-выпуклые тела в Rn, + := {z0 + z1 G Rn : z0 G ^0,z1 G }— векторная сумма (сумма Минковского).

Актуальность темы. Неравенство (0.0.1) впервые было получено Брун-ном [36] в 1887 году для n < 3. В 1910 году Минковский [73] доказал его для любых натуральных n. При этом, они оба показали, что равенство в (0.0.1) достигается тогда и только тогда, когда и являются равными с точностью до переноса и расширения.

Неравенство (0.0.1) играет важную роль в геометрии евклидовых пространств, в теории изопериметрических задач и долгое время считалось, что его значение ограничивается только этими областями науки. Однако, в 1935 году Л.А. Люстерник [63] доказал, что неравенство (0.0.1) верно и для произвольных непустых ограниченных измеримых множеств Альтернативные доказательства этого утверждения были получены Р. Хенстоком и А.М. Макбетом [53] в 1953 году, и Х. Хадвигером и Д. Охманом [52] в 1956 году. Неравенство (0.0.1) при произвольных принято называть общим неравенством Брунна-Минковского [46]. С тех пор неравенство Брунна-Минковского начало свой путь в область анализа.

В 1936 году А. Д. Александров [5] - [7] и В. Фенхель [43] независимо друг от друга доказали неравенство, получившее название "неравенство Александрова-Фенхеля", для смешанных объемов, обобщающее классическое неравенство Брунна-Минковского (0.0.1).

В 1956 году появляется работа [51], в которой Х. Хадвигер для двух моментов выпуклой области, а именно, момента относительно центра масс и момента относительно гиперплоскости, определенных функционалами

Ii(Q) = J\s,p\2dp, 12(П) = J\E,p\2dp, (0.0.2)

Q Q

где Q — ограниченная, выпуклая область в Rn, s — центр масс области Q, E — гиперплоскость, проходящая через центр масс; \ s,p\ — расстояние от точки s до точки p, \E,p\ — расстояние от точки p до гиперплоскости E, доказал следующее неравенство типа Брунна-Минковского:

Ij(Qt)1/(n+2) > (1 - t)Ij(Qo)1/(n+2) + tlj(Qi)1/(n+2), j = 1,2,

где Qt = (1 - t)Qo + tQi = {(1 - t)po + tpi \ po G Qo, Pi G Qi}, t G [0,1], Qo, Q1 — ограниченные, выпуклые области в Rn.

Следующим важным этапом в развитии теории неравенств Брунна-Минковского стало появление в 1971-73 годах работ А. Прекопа [76], [77] и Л. Лайндлера [60], в которых доказана следующая функциональная версия неравенства Брунна-Минковского.

Теорема 1. Пуать 0 < t < 1 и пусть fo, fi,h — неотрицательные интегрируемые функции в Rn, удовлетворяющие условию

h((1 - t)x + ty) > fo(x)1-tfi(y)t для всех x,y G Rn. Тогда

j h(x)dx > i J fo(x)dx I i J f1(x)dx R" V" / V" i

Следует отметить, что в 2000 году С. Г. Бобков и М. Леду [24] показали, что из неравенства Прекопа-Лайндлера можно получить логарифмические неравенства Соболева.

Последние 30-40 лет тематика, связанная с неравенством Брунна-Минковского, стремительно развивается. Это объясняется тем, что теория неравенств Брунна-Минковского находит все больше и больше применения в

геометрическом анализе, математической физике и в теории вероятностей и математической статистике. Литература по неравенствам типа Брунна-Минковского и основные результаты, появившиеся до 2006 года, содержатся в обзорных работах Р. Шнайдера [79], Р. Гарднера [46] и Ф. Барта [22]. Остановимся на обзоре работ за последние 30-40 лет.

Х. Ж. Браскамп и Э. Х. Либ [35], позже другим способом С. Борель [31] - [33], обобщили неравенство Прекопа-Лайндлера на случай функций /о, /1, Ь, удовлетворяющих более общему условию, чем в теореме 1.

Работы А. Т. Хованского [56] и Б. Тесье [81] посвящены неравенству Александрова-Фенхеля, которые показали, что неравенство Александрова-Фенхеля может быть получено из теоремы Ходжа об индексе. В этом направлении также работали Ю. Окуньков [74], М. Л. Громов [49] и Н.С. Трудин-гер [83].

С. Борель [30] в 1983 году доказал неравенство типа Брунна-Минковского для функционала, называемого емкостью. Условия, при которых достигается равенство, были изучены в работе Л. А. Кафарелли, Д. Джерисона и Е. Либа [37]. Неравенство типа Брунна-Минковского для емкости и условия достижения равенства были использованы Д. Джерисоном [54] для решения соответствующей проблемы Минковского для емкостей из геометрического анализа.

В 1986 году В. Мильманом [72] было доказано обратное неравенство Брунна-Минковского, занимающее важное место в теории локальных банаховых пространств [61], [75]. Позже Х. Бан и П. Эрлих [21] обратное неравенство типа Брунна-Минковского доказали в пространстве Минковского. А в 2012 году обратное неравенство Брунна-Минковского было установлено для выпуклых мер [26] .

Р. Гарднер и П. Грончи [45] получили дискретные неравенства типа Брунна-Минковского для целочисленной решетки, использующиеся в дискретной математике, комбинаторике и теории графов. Аналогичный результат был получен Б. Боллобасом и И. Лидером [27] для конечных подсетей.

Работы [40], [38] посвящены различным приложениям неравенства Брунна-Минковского в геометрическом анализе. В теории вероятностей нера-

венство Брунна-Минковского нашло применение в работах [34], [28], [80], [41],

Работы Э. Лютвака [64] - [67] посвящены доказательству неравенств типа Брунна-Минковского для смешанных объемов в случае различных сумм (суммы р-Минковски, Бляшке). Аналогичные результаты для невыпуклых множеств в случае Ьр-сумм получены в [68], [69], [48].

В 2001 году Д. Коредро-Эраскин (Э. Соге^о-Егаиздшп), Р. МакКанн и М. Шмокеншлагер (М. ЗсЬшискепзсЬ^ег) [39] доказали риманову версию неравенства Прекопы-Лайндлера.

Наш интерес к данной тематике, прежде всего, связан с работой Г. Кэди [55], опубликованной в 2007 году, в которой Г. Кэди для функционала

где dist(z, дfi) — расстояние от точки z G fi до границы дfi области fi, введенного Ф.Г. Авхадиевым в [1], доказал следующее неравенство типа Брунна-Минковского:

где ^ = (1 — £)^0 + Ш1 — параметрические суммы Минковского выпуклых областей

В 2008 году С. Г. Бобков и М. Леду [25] применили общее неравенство Брунна-Минковского для вывода неравенства Соболева.

Работа А. Фигалли, Ф. Магги, А. Прателли [44], опубликованная в 2009 году, посвящена доказательству неравенства Брунна-Минковского типа (0.0.1) с дополнительным множителем в правой его части.

Доказательству неравенств типа Брунна-Минковского для функционалов, называемых разностью объемов, посвящена работа [70]. В работах [62], [78] неравенство типа Брунна-Минковского получено для собственных значений Гессиана в трехмерной выпуклой области. Работа [23] посвящена выводу неравенства типа Брунна-Минковского для многообразий Фано.

Из приведенного обзора следует, что весьма актуальной является задача построения новых функционалов области, для которых справедливы нера-

[42], [58], [71], [8], [25].

[I(fit)]1/(n+k) > (1 - t)[I (fio)]1/(n+k) + t[I(fil)]1/(n+k), t G [0,1], k > 0,

венства типа Брунна-Минковского. Этим вопросам и посвящена настоящая диссертационная работа.

Целью диссертационной работы является построение новых функционалов области и доказательство для них неравенств типа Брунна-Минковского. Для достижения этой цели в работе используются два подхода.

Первый подход основан на методе Г. Кэди [55], который, в свою очередь, существенно использует теорему Прекопа-Лайндлера. Этот подход реализован в первой главе диссертации, при помощи которого доказаны неравенства типа Брунна-Минковского для новых функционалов, являющихся конформными и евклидовыми моментами областей. Некоторые результаты первой главы обобщают результаты Г. Кэди [55].

Второй подход разработан нами с привлечением методов Х. Хадвигера [51] и Г. Кэди [55] и реализован во второй и третьей главах диссертации. При помощи второго подхода доказаны неравенства типа Брунна-Минковского для ряда новых функционалов области, обобщающих функционалы (0.0.2) Х. Хадвигера. При построении этих функционалов существенно используется тот факт, что центр масс в области О доставляет минимум функционалам (0.0.2) Х. Хадвигера.

Научная новизна. В диссертационной работе построены новые функционалы и для них доказаны неравенства типа Брунна-Минковского. Результаты, полученные в диссертации, обобщают результаты Г. Кэди [55] и Х. Хадви-гера [51].

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть полезными для дальнейшего развития теории неравенств типа Брунна-Минковского и могут послужить некоторым инструментом в приложениях в области геометрического анализа, математической физики и теории вероятностей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского Федерального Университета (2013-2016 гг.), на Международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные во-

просы"(Казань, 2013, 2015 гг.), на Всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2015), на Международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения"(Волгоград, 2016), на Международной школе-конференции "Алгебра, анализ, геомет-рия"(Казань, 2016), на Международной конференции "Уфимская математическая конференция с международным участием"(УФА, 2016), на семинаре по комплексному анализу и приложениям (Петрозаводск, 2016).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [4], [12],

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 106 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 84 наименований.

Диссертация включает в себя три главы.

Первая глава посвящена доказательству неравенств типа Брунна-Минковского для функционалов, порожденных конформными и евклидовыми характеристиками области и состоит из четырех параграфов.

Первый параграф §1.1 носит вспомогательный характер. В нем приводятся известные факты и сведения из геометрии, математического анализа и геометрической теории функций комплексной переменной, которые используются на протяжении всей работы.

Второй параграф §1.2 посвящен доказательству неравенств типа Брунна-Минковского для функционалов, которые строятся при помощи конформных характеристик области. Пусть О — ограниченная многосвязная область комплексной плоскости и Ап(г) — коэффициент гиперболической метрики с гауссовой кривизной, равной -4. Определим функционал области О:

п

Существенным моментом в доказательстве неравенства типа Брунна-Минковского для функционала И(О) является вывод оценки вида

[13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [82].

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

А-» > (1 - ¿)А-о1(гс)+ ¿А-1 (л),

где «ъ = (1 — г)«0 + Шь = (1 — г)г0 + г0 е «0, е «ь г е [0,1].

После этого, следуя схеме доказательства Кэди [55], приходим к основному результату этого параграфа, который сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1.2.1. Пусть «0 и «1 — ограниченные области произвольной связности на комплексной плоскости С, «ъ = {(1—£)г0 | г0 е П0,г1 е }, 0 < г < 1 — параметрическая сумма Минковского областей «0 и «^ Тогда для функционала Нк справедливо следующее неравенство типа Брунна-Минковского

1 1 1 Щ+к («ъ) > (1 — 1)И1+к («0) + Ш1+к («1) Уг е [0,1].

Если к = 0, то получаем классическое неравенство Брунна-Минковского для областей на плоскости.

В заключение §1.2 приведены неравенства типа Брунна-Минковского для двух функционалов, которые непосредственно вытекают из теоремы 1.2.1.

В §1.3 неравенство типа Брунна-Минковского доказывается для функционалов, порожденных евклидовыми расстояниями от точки до границы области, вида

и(к, Р, д«) = у (ИМк(х,д«)(х, к е (0, +го), р

где « — выпуклая область в Р — ограниченная область в причем Р С «; (гзг(х, д«) — расстояние от точки х е Р до границы д« области «

Используя схему доказательства Кэди из [55], приходим к следующему основному результату §1.3:

Теорема 1.3.1. Пусть Р0, Р1 — ограниченные, а «0, «1 — выпуклые области в (п > 2), причем Р0 С «0, Р1 С «1. Тогда для функционала и(к,Р,д«) справедливо следующее неравенство типа Брунна-Минковского:

ип+к(к,Ръ,д«ъ) > (1 — г)ип+к(к,Р0,д«0) + гип+к(к,Р1,д«1) Уг е [0,1],

где Ръ = (1 — г)Р0 + гР1, «ъ = (1 — г)«0 + г«1 — параметрические суммы Минковского областей Р0, Р1 и «0, «1 соответственно.

Результаты этого параграфа обобщает результаты Г. Кэди [55]. Последний параграф §1.4 первой главы посвящен доказательству неравенств типа Брунна-Минковского для функционалов, представляющих собой комбинации рассмотренных ранее функционалов вида

N(а,к,Р, О) = у рка(г,Р, О)(1г, к е (0, г е Р, р

где

ра(г, Р, О) = а \ + (1 — а)йгз£(г, дО), г е Р, Ар (г)

Р — ограниченная область в К2, О — выпуклая область в К2, причем Р С О, а е [0,1] — числовой параметр, Ар(г) — коэффициент гиперболической метрики.

Основной результат §1.4 дается следующей теоремой.

Теорема 1.4.1. Пусть Р0, Ро — ограниченные, а О0, Оо — выпуклые области в Я2, причем Р0 С Оо, Ро С Оо, Р1 = (1 — ¿)Р0 + ¿Ро — параметрическая сумма Минковского областей Р0 и Ро, £ е [0,1]. Тогда для функционала N (а, к, Р, О) справедливо неравенство типа Брунна-Минковского

N2+к(а,к,Рг, О^ > (1 — t)N2+к(а,к,Ро, Оо) + tN2+к(а,к,Ро, Оо) Ы е [0,1].

Вторая глава диссертации посвящена построению новых функционалов, представляющих собой степенные моменты областей, и доказательству для них неравенств типа Брунна-Минковского. Отметим, что результаты данной главы обобщают результаты Х. Хадвигера [51]. Следует также отметить, что подход, использованный в первой главе, который был основан на методе Г. Кэди [55], в данном случае не удается применить. Поэтому нами для доказательства неравенства типа Брунна-Минковского предлагается новый подход, состоящий в совместном использовании методов Г. Кэди [55] и Х. Хадвигера [51]. При этом метод Г. Кэди привлекается для получения вспомогательных результатов.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. Первый параграф §2.1 посвящен построению функционалов области. При их построении во внимание

принимается тот факт, что центр масс в в функционалах (0.0.2) Х. Хадвиге-ра одновременно доставляет минимум этим функционалам. Учитывая это, в §2.1 сначала вводится функция переменных у = (у^у2, ...,уп) вида

I(к,у) = J (о!1|х1 — У11к + «2|х2 — У21к + ... + ап|хп — уп|к) (х, п

аj(^ = 1, п), к е (0, (х = (х1... (хп

и эта функция исследуется на минимум в Показывается, что функция I(к, у) имеет стационарную точку, принадлежащую п-мерному параллелепи-

педу с ребрами [minXj, maxXj], j = l,n, x = (xi,...,xn). Выводятся до-

xGQ xgQ

статочные условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума функции I(k,y).

Основным результатом §2.1 является построенный функционал области ft вида

I(k, ft) = J (aijxi - si|k + a|x2 - S2|k + ... + an|xn - sn|k) dx,

Q

а^ (^ = 1,п), к е (0,

где в = (в1,..., вп) е — точка минимума функции I(к, у).

Во втором параграфе §2.2 приводятся частные случаи областей, для которых точку минимума I(к, у) удается найти в явном виде. Эти примеры показывают, что точка минимума не всегда совпадает с центром масс области «. Более того, как было отмечено выше, она может и не принадлежать области «, но при этом гиперплоскости Xj = , ] = 1,п имеют с областью « непустые пересечения; здесь в = (в1,..., вп) — точка минимума функции

I (к,у).

В §2.3 доказывается неравенство типа Брунна-Минковского для функционала I(к, у). Для этого предлагается новый метод, основанный на совместном использовании методов Г. Кэди [55] и Х. Хадвигера [51]. Основной результат параграфа дается следующей теоремой.

Теорема 2.3.1. Пусть «0, «1 — ограниченные области в удовлетворяющие условиям леммы 2.1.2. Тогда функционал I(к, «)вогнут, т.е. имеет

место неравенство

I(k, üt)n+k > (1 - t)I(k, üo)n+k + tI(k, fii)n+k,

где Üt = {(1 - t)z0 + tz1 | z0 G ü0, z1 G Ü1}, 0 < t < 1, k G (0,

Параграф §2.4 посвящен построению одного класса функционалов типа I(k, ü) и доказательству для них неравенств типа Брунна-Минковского.

В основе построения функционала I(k, ü), k G (0, области ü в §2.1 лежала точка s = (s1, s2,..., sn), доставляющая минимум функции I(k,y), принадлежащая n-мерному параллелепипеду с ребрами [min Xj, max Xj], j =

xGO. xGO.

1,n, x = (x1,x2,...,xn). Поэтому гиперплоскости Xj = Sj, j = 1,n имели с областью ü непустое пересечение. В данном параграфе строится новый класс функционалов и для них доказываются неравенства типа Брунна-Минковского, беря вместо точки минимума точки y = (y1, ...,yn), не принадлежащие n-мерному параллелепипеду. В этом случае по крайней мере одна гиперплоскость вида xj = yj с областью ü имеет пустое пересечение. Предположим, что l гиперплоскостей вида xj-yj = 0, j = 1, l имеют с областью ü пустое пересечение. Если l = 0, то имеем случай, рассмотренный в первых двух параграфах этой главы. Остальные гиперплоскости xj — yj = 0, j = l + 1,n имеют общие точки с областью ü. Пусть выполнено следующее

Условие А. Пусть ü — ограниченная область в Rn, представимая в ви-

m

де ü = У ül, где области ül обладают следующим свойством: существуют

i=1

функции pj (xj), фj (xj), непрерывные на проекции üj области ül на гиперплоскость xj = 0, такие, что ül представима в виде

ül = {x G Rn | xj = (x1,..., xj—1, xj+1,... ,xn) G üj,

pj (xj) < xj < 'j (xj), j = l + 1,n}, i = 1,m.

Отметим, что условие А геометрически означает, что любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области и параллельная оси ОХ^ = I + 1,п), пересекает границу области только в двух точках. Заметим, что области (г = 1,т) в этом случае, вообще говоря, не являются выпуклыми.

Определим функционалы области Q следующим образом: I/(k, fi) = у(ai|xi - ai|k +-----h а/|x/ - a/|k + a/+i|x/+i - s/+i|k + ... +

Q

I k

cn|xn sn

+an|xn — sn| )dx, aj(j = 1,n), k G (0, l = 1,n,

где а (^ = 1,1) — произвольные действительные числа, удовлетворяющие условию: гиперплоскости Xj — а = 0 не имеют общих точек с областью П; йУ — точка минимума функционала /у(yj) = а^ |xj — у^|к(х, существование

Q

которой доказано в §2.1, ^ = 1 + 1,п; /0(к, П) = /(к, П). Основным результатом §2.4 является следующая

Теорема 2.4.1. Пусть П0, П1 — ограниченные области в удовлетворяющие условию А, и при к е (0,1), кроме того, неравенствам (2.4.2). Тогда функционал /(к, П)вогнут, т.е. справедливо неравенство

I(к, П^П+к > (1 — ^)/г(к, П0)п+к + цх(к, П1)п+к у е [0, 1], к е (0, +го),

где П = {(1 — £)20 + | 20 е П0, е П1}, 1 = 1,п.

Третья глава диссертации посвящена построению новых функционалов, представляющих собой обобщенные степенные моменты, и доказательству для них неравенства типа Брунна-Минковского. Полученные в этой главе результаты в некоторых случаях обобщают результаты второй главы.

Третья глава состоит из четырех параграфов. Первый параграф §3.1 посвящен построению одного класса новых функционалов. Для этого применяется подход, использованный в §2.1, в основе которого лежит нахождение точки, доставляющей минимум функции п переменных у = (у1, у2,... , уп) вида

/(у) = J (а1|х1 — у1 |к +-----Ъ ап|хп — уп|к)т (х,

п

где к е (0, 1] при т е (0, и к е (0, при т = 1; аj(^ =

1,n) G (0, Доказывается существование стационарной точки функции

I (у), принадлежащей n-мерному параллелепипеду с ребрами [min Xj, max Xj ],

ж€ Q Q

^ = 1,п, х = (х1, х2,..., хп) е П. Приводятся достаточные условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума функции

I(у). Выполнение достаточных условий минимума иллюстрируется на конкретных примерах в параграфе §3.2.

Основным результатом §3.1 является построенный функционал области вида

I (к; m;П) = J («1X - ^|к +----+ ап|жп - вп^ )т (х,

п

где й = (в1, в2,... , вп) — точка минимума функции I(у); к € (0,1] при т € (0,1) и (1, и к € (0, при т = 1; а(] = 1"П) € (0, — произвольные действительные числа. Отметим, что при т =1 получаем функционал, изученный во второй главе диссертации.

В §3.3 доказывается неравенство типа Брунна-Минковского для функционала I(к; т; П). Для этого используется подход, который является развитием подхода §2.3. Основной результат параграфа дается следующей теоремой.

Теорема 3.3.1. Пусть П0, П — ограниченные области в Кп, удовлетворяющие условиям леммы 3.1.1. Тогда функционал I(к; т; П)1/(кт+п) вогнут, т.е. имеет место неравенство

I(к; т;П^1/(кт+п) > (1 - t)I(к; т; По)1/(кт+п) + И(к; т; П)1/(кт+п),

где П = {(1 -Ь)г0 + Ьх1 | г0 € П0,г1 € П}, 0 < Ь < 1, к € (0,1], т € (0,

Четвертый параграф §3.4 посвящен построению одного класса новых функционалов типа I(к; т; П) и доказательству для них неравенств типа Брунна-Минковского. Исследования данного параграфа развивают соответствующие исследования §§3.1, 3.3 и позволяют доказать неравенства типа Брунна-Минковского при всех к € (0,

§3.4 включает в себя три раздела. В первом разделе §3.4.1 строится видоизмененный функционал области типа I(к; т; П) вида

п

I(к; т; к0;П)= I (0^x1 - |к +-----+ ап1хп - вп1к)тЦ X - 1к(х,

П ¿=1

где к, а^(^ = 1,п) € (0, т, к= 1,п) € [0, т + |к0| = 0,

к0 = (к1,..., кп), |к0| = к1 + • • • + кп; й = (й1, й2, ..., вп) € Кп — точка,

доставляющая минимум функции

п

/ (у) = I (а1|х1 — у1 |к + ... + ап|хп — уп|к |х, — у, |к' (х,

П

Выводятся условия существования точки минимума й, выполнение которых иллюстрируется на конкретных примерах.

Второй раздел §3.4.2 посвящен доказательству неравенства типа Брунна-Минковского для видоизмененных функционалов /(к; т; к0; П).

Этот раздел состоит из подразделов. В первом подразделе §3.4.2.1 предполагается, что к е (0,1]. Основной результат этого подраздела дается следующей теоремой.

Теорема 3.4.1. Пусть П0, П1 — ограниченные области в Кп, п > 2, удовлетворяющие условиям леммы 3.4.1. Тогда функционал /(к; т; к0; П)1/(кт+п+ 1к°I) вогнут, т.е. имеет место неравенство

/(к; т; к0; ^)1/(кт+п+|к°|) > (1 — £)/(к; т; к0; П0)1/(кт+п+|к0|) +

+£/(к; т; к0; П1)1/(кт+п+|к0|),

где П = {(1 — £)20 + £21 | 20 е П0,21 е П1}, 0 < £ < 1, к е (0,1], к0 = (к1,... , кп), m, kj = 1,п) е [0, +го), т + |к0| = 0.

Во втором подразделе §3.4.2.2 неравенство типа Брунна-Минковского для функционала /(к; т; к0; П) доказывается при к е (1, При этом суще-

ственную роль играет наличие в выражении функционала дополнительных

п

множителей вида П | х, — |к'. При помощи замены переменных функционал /(к; т; к0; П) области П представляется в виде функционала области П2р+1:

/(к; т; к0;П) = /(кр т; к£;П2р+1),

где П2р+1 = {у = (у1,... ,уп) | у, = х2р+1, ; = 1,п; х = (х1,..., хп) е П}; 2р +1 — нечетное число, удовлетворяющее условию 2р + 1 > к (условие 3.4.21),

к = к кР = к — 2р к0 = (кР

кр = 2р +1, к = 2р +1 , кР = (к1,...,

Если при к е (0,1] числа к (^ = 1,п) были произвольными из промежутка [0, то при к е (1, на них накладывается ограничения, а именно,

требуем, чтобы выполнялись условия кр > 0, ] = 1,п (условие 3.4.25). Тогда

з

к функционалу I(кр; т; к<0; П2р+1) можно применить все рассуждения предыдущего подраздела §3.4.2.1. В результате приходим к следующему основному результату этого подраздела.

Теорема 3.4.2. Пусть П0, П1 — ограниченные области в Кп, п > 2, представимые в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Пусть выполнены условия (3.4.21), (3.4.25). Тогда функционал [I(кр; т; кР; П2р+1)] 1/(крт+п+|кр|) области П2р+1 вогнут, т.е. справедливо неравенство

[!(кр; т; кр0; П,2р+1)] 1/(кРт+п+|кр|) > (1 - ь) [I(кр; т; кр0; П2р+1)]1/(крт+п+1крI) +

+t[I(кр; т; кр0; Пр+1)]:1/(к^т+п+|кр|),

п

где П?р+1 = {(1 - 1)Х0 + 1X1 | ¿0 € П2р+1, € П?р+1}, 0 < Ь < 1, |кр0| = £ 3

з=1

к € (1, т € (0,

Третий раздел 3.4.3 §3.4 посвящен доказательству неравенства типа Брунна-Минковского для функционалов области П вида

„ п

п|^п ^п | ) 11 |хз аз 1 з=1

^(к; т; к0;П)= / (а1|х1 - а1 |к +-----+ а„]хп - ап|к)т^ X - аз (х,

п

где к € (0, т, кз (] = 1~п) € [0, т + |к0| = 0, |к01 = к1 +

• • • + кп, отличающихся от функционалов I(к; т; к0; П) только тем, что вместо точки минимума й = ($!,..., вп) в данном случае берется произвольная точка а = (а1,...,ап), не принадлежащая п-мерному параллелепипеду (точка й минимума принадлежала этому параллелепипеду).

Основной результат данного раздела дается следующими двумя теоремами.

Теорема 3.4.3. Пусть П0, П1 — произвольные ограниченные области в Кп, п > 2, полностью лежащие в пересечении Н(г). Тогда функционал ^(к; т; к0; п)1/(кт+п+|к0|) при произвольных к € (0,1], т € (0, кз

(^ = 1,п) € [0, вогнут, т.е. справедливо неравенство

[^(к; т; к0;П,)]1/(кт+п+|к01) > (1 - ^[^(к; т; к0;П0 )]1/(кт+п+|к0|) +

+£[/а(к; т; к0; П1)]1/(кт+п+|к0|), У£ е [0,1],

где П = (1 — £)П0 + £П1.

Теорема 3.4.4. Пусть П0, П1 — произвольные ограниченные области в Кп, п > 2, полностью лежащие в пересечении Н^). Пусть выполнены условия (3.4.21), (3.4.25). Тогда функционал [/Дкр т; к0 П2р+1)]1/(крт+п+|кр|) области П2р+1 при к е (1, вогнут, т.е. имеет место неравенство

[4(кр; т; к£; П?р+1)]1/(кт+п+|к°|) > (1 — £)[/а(кр; т; к£; П2Р+1)]1/(кт+п+|к0|) +

+£[/а(кр; т; к°; П2Р+1)]1/(кт+п+|к0|), £ е [0,1],

где П?р+1 = (1 — £)П2Р+1 + Ш2р+1, 0 < £ < 1, = {у = (уь ... ,уп) | у,

п

х2^1,; = 1,п, х = (х1,... ,хп) е Пг}, 1 = 0,1; |кр| = ^ кр.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Авхадиеву Фариту Габидиновичу за поддержку, ценные советы, критические замечания и постоянное внимание к работе.

Глава 1 Неравенства

Брунна-Минковского для конформных и евклидовых моментов

Первая глава посвящена доказательству неравенства типа Брунна-Минковского для функционалов, порожденных конформными и евклидовыми характеристиками областей.

§1.1 Вспомогательные сведения

В этом параграфе приведем некоторые понятия и факты, которыми будем постоянно пользоваться в течение всей работы.

1.1.1. Пусть П0, П1 — ограниченные области в Кп. Суммой Минковского областей П0, П1 называется область вида

П0 + П1 = {¿0 + | ¿0 е П0, ¿1 е П1}.

Общее неравенство Брунна-Минковского:

|П0 + П1|П > |П0|П + |П11П,

где |П| — мера области П.

1.1.2.

Теорема 1.1.1. (Теорема Пуанкаре [3]). Пусть О — единичный круг < 1, П — произвольная (неодносвязная) область на плоскости С, имеющая не менее трех граничных точек в С, ¿0 е П — фиксированная точка.

областей

Тогда существует единственное конформное отображение Г : О ^ П круга О на область П, обладающее свойствами:

1) Г (ад) является аналитической функцией в круге О, Г (О) = П, и имеют место нормировки Г(0) = х0, Г'(0) > 0;

2) Г'(0) = 0 для любой точки ад € О, т.е. функция Г (ад) локально обратима, в частности, в окрестности точки х0 однозначно определен условием ¡0(х0) = 0 основной элемент /0 обратной функции ¡(х) = Г-1(х);

3) Обратная функция ¡(х) = Г-1(х) аналитически продолжима в П по любому пути, лежащему в П, и все значения, принимаемые ее всевозможными аналитическими продолжениями в П, лежат в круге О.

Теорема 1.1.2. (Лемма однородности [55]). Пусть Р,Р0,Р1 — ограниченные области в Кп, Г — положительный, однородный первой степени функционал, т.е.

Г(вР) = вГ(Р) V в > 0,

и квазивогнутый:

Г(Д) > тгп(Г(Р0)), Г(Р1)) V Ь € [0, 1]. Тогда он вогнут, т.е. имеет место неравенство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тимергалиев, Булат Саматович, 2017 год

Литература

[1] Авхадиев, Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана. // Матем. сб.

- 1998. - N0. 189. - С. 3-12.

[2] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей.// Казан. ун-т, Казань. - 2006. - 142 С.

[3] Авхадиев, Ф.Г. Введение в геометрическую теорию функций.// Казан. ун-т, Казань. - 2012. - 127 С.

[4] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Брунна-Минковского для конформных и евклидовых моментов областей./ Ф. Г. Авхадиев, Б. С. Тимергалиев // Изв. вуз. Матем. - 2014. - N0. 5. - С. 64-67.

[5] Александров, А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. I. Обобщение основных понятий теории выпуклых тел. // Матем. сб. -1937. - N0. 5. - С. 947-972.

[6] Александров, А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. II. Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения. // Матем. сб. - 1937. - N0. 6. - С. 1205-1238.

[7] Александров, А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. IV. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы. // Матем. сб. - 1938.

- N0. 2. - С. 227-251.

[8] Булдыгин В.В. Неравенство Брунна-Минковского и его приложения./

B. В. Булдыгин, А. Б. Харазишвили // Наук. думка, Киев. - 1985. - 200

C.

[9] Бураго Ю.Д., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. / Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер // Ленинград, - 1980. - 288 С.

[10] Голузин, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.// М.: Наука. - 1996.

[11] Зорич, В.А. Математический анализ (часть 1).// М.: Наука. - 1981.

[12] Тимергалиев, Б.С. Неравенство Брунна-Минковского для функционалов, связанных с граничными моментами области // Итоговая Научно-образовательная конференция студентов КФУ 2012 года - Казань: Изд-во Казан. ун-та. - 2012. - С. 27-29.

[13] Тимергалиев, Б.С. Обобщение теоремы Хадвигера о неравенстве Брунна-Минковского // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва. - 2015. - Т. 51. - С. 426-427.

[14] Тимергалиев, Б.С. Обобщение одной теоремы Хадвигера о степенных моментах // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва. - 2015. - Т. 52. - С. 145-147.

[15] Тимергалиев, Б.С. Неравенство типа Брунна-Минковского в форме Хадвигера для степенных моментов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - Казань: Изд-во Казан. ун-та. - 2016. - Т. 158. - С. 90-105.

[16] Тимергалиев, Б.С. Неравенство типа Брунна-Минковского для обобщенных степенных моментов // Геом. анализ и его приложения. Материалы III Международной школы-конференции. - Волгоград: Изд-во ВолГУ - 2016. - С. 194-198.

[17] Тимергалиев, Б.С. Об одном обобщении результатов Х.Хадвигера // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии. - Казань: Изд-во Казань. матем. об-ва. - 2016. - С. 329-330.

[18] Тимергалиев, Б.С. Неравенство типа Брунна-Минковского в форме Хадвигера для обобщенных моментов // Уфимская математическая конференция с международным участием. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2016. - С. 158-159.

[19] Тимергалиев, Б.С. Неравенство типа Брунна-Минковского в форме Хадвигера для обобщенных степенных моментов // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика. - Волгоград: ФГАОУ ВолГУ. - 2016. -№ 4. - С. 92-107.

[20] Avkhadiev, F.G. Schwarz-Pick type inequalities/ F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin. - 2009.

[21] Bahn, H. A Brunn-Minkowski type theorem on the Minkowski spacetime/ H. Bahn, P. Ehrlich // Canad. J. Math. - 1999. - No. 51. - P. 449-469.

[22] Barthe, F. The Brunn-Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities. // Proc. International Congress Math., Madrid, Spain. - 2006. - P. 1529-1546.

[23] Berndtsson, B. A Brunn-Minkowski type inequalities for Fano manifolds and some uniqueness theorems in Kahler geometry // Inventiones math. - 2015. -V. 200. - No. 1. - P. 149-200.

[24] Bobkov, S. G. From Brunn-Minkowski to Brascamp-Lieb and to logarithmic Sobolev inequalities // Geom. Funct. Anal. - 2000. - No. 10. - P. 1028-1052.

[25] Bobkov, S. G. From Brunn-Minkowski to sharp Sobolev inequalities/ S. G. Bobkov, M. Ledoux, // Anal. di Mat. - 2008. - No. 187. - P. 369-384.

[26] Bobkov, S. G. Reverse Brunn-Minkowski and reverse entopy power inequalities for convex measures/ S. G. Bobkov, M. Madiman, // Journal of Func. Anal. - 2012. - No. 7. - P. 3309-3339.

[27] Bollobas, B. Sums in the grid / B. Bollobas, I. Leader // Discrete Math. -1996. - No. 6. - P. 31-48.

[28] Borell, C. The Brunn-Minkowski inequality in Gauss space // Invent. Math.

- 1975. - No. 30. - P. 207-216.

[29] Borell, C. Convex set functions in d-space // Period. Math. Hungar. - 1975.

- No. 6. - P. 111-136.

[30] Borell, C. Capacitary inequalities of the Brunn-Minkowski type // Math. Ann. - 1983. - No. 263. - P. 179-184.

[31] Borell, C. Geometric properties of some familiar diffusions in Rn // Ann. of Probab. - 1993. - No. 21. - P. 482-489.

[32] Borell, C. Geometric inequalities in option pricing // Convex Geometric Analysis, Cambridge- 1999. - P. 29-51.

[33] Borell, C. Diffusion equations and geometric inequalities // Potential Anal. - 2000. - No. 12. - P. 49-71.

[34] Brascamp, H.J. Some inequalities for Gaussian measures and the long-range order of one-dimensional plasma / H.J. Brascamp, E. H. Lieb // Functional Integration and its Applications, Clarendon Press, Oxford - 1975. - P. 1-14.

[35] Brascamp, H.J. On Extensions of the Brunn-Minkowski and Prékopa-Leindler Theorems, Including Inequalities for Log concave Functions, and with an Application to the Diffusion Equation / H.J. Brascamp, E. H. Lieb // Journal of Functional Analysis, - 1976. - No. 22. - P. 366-389.

[36] Brunn, H. Uber Ovale und Eiflachen // München - 1887.

[37] Caffarelli, L. A. On the case of equality in the Brunn-Minkowski inequality for capacity / L. A. Caffarelli, D. Jerison, E.Lieb // Adv. Math. - 1996. -No. 117. - P. 193-207.

[38] Cordero-Erausquin, D. Inégalité de Prékopa-Leindler sur la sphere/ D. Cordero-Erausquin, // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. - 1999. - No. 329. - P. 789-792.

[39] Cordero-Erausquin, D. A Riemannian interpolation inequality a la Borell, Brascamp and Lieb/ D. Cordero-Erausquin, R. J. McCann, M. Schmuckenschlüger, // Invent. Math. - 2001. - No. 146. - P. 219-257.

[40] Dudley, R. M. Metric marginal problems for set-valued or non-measurable variables // Probab. Theory Relat. Fields, - 1994. - No. 100. - P. 175-189.

[41] Ehrhard, A. Symétrisation dans l'espace de Gauss // Math. Scand. - 1983.

- No. 53. - P. 281-301.

[42] Ehrhard, A. Elements extrémaux pour les inégalités de Brunn-Minkowski gaussiennes // Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. - 1986. - No. 22. -P. 149-168.

[43] Fenchel, W. Inégalities quadratiques entre les volumes mixtes des corps convexes // G. R. Acad. Sci. Paris, - 1936. - No. 203. - P. 647-650.

[44] Figalli, A. A refined Brunn-Minkowski inequality for convex sets/ A. Figalli, F. Maggi, A. Pratélli //Ann. H. Poincaré - AN, - 2009. - No. 26. - P. 25112519.

[45] Gardner, R. J. A Brunn-Minkowski inequality for the integer lattice / R. J. Gardner, P. Gronchi // Trans. Amer. Math. Soc. - 2001. - No. 353. - P. 3995-4024.

[46] Gardner, R.J. The Brunn-Minkowski inequality. // Bull. Amer. Math. Soc.

- 2002. - No. 39. - P. 355-405.

[47] Gardner, R. J. Gaussian Brunn-Minkowski inequalities / R. J. Gardner, A. Zvavitch // Trans. Amer. Math. Soc. - 2010. - No. 362. - P. 5333-5353.

[48] Gardner, R. J. The Orlicz-Brunn-Minkowski theory: A general framework, additions, and inequalities / R. J. Gardner, D. Hug, W. Weil //J. Diff. Geom. - 2014. - No. 3. - P. 427-476.

[49] Gromov, M. Convex sets and Kahler manifolds // Adv. in Diff. Geom. and Topol, World Scientific Publishing, Teaneck, NJ - 1990. - P. 1-38.

[50] Hardy, G.H. Inequalities / G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Polya. -Cambridge University Press, Cambridge, 1973.

[51] Hadwiger, H. Konkave eikerperfunktionale und hoher tragheitsmomente. // Comment Math. Helv. - 1956. - No. 30. - P. 285-296.

[52] Hadwiger, H. Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie. / H. Hadwiger, D. Ohman // Math. Z. - 1956. - No. 66. - P. 1-8.

[53] Henstock, R. On the measures of sum sets. The theorems of Brunn, Minkowski and Lusternik / R. Henstock, A.M. Macbeath // Proc. London Math. Soc. - 1953. - No. 8. - P. 182-194.

[54] Jerison, D. A Minkowski problem for electrostatic capacity // Acta Math. -1996. - No. 176. - P. 1-47.

[55] Keady, G. On a Brunn-Minkowski theorem for a geometric domain functional considered by Avhadiev. //J. Inequal. Pure Appl. Math. - 2007. - No. 8. -P. 1-10.

[56] Khovanskii, A. G. Algebra and mixed volumes // Springer-Verlag, Berlin and New York - 1991. - V. 285. - P. 182-207.

[57] Knothe, H. Contributions to the theory of convex bodies // Michigan Math. J. - 1957. - No. 4. - P. 39-52.

[58] Latala, R. A note on the Ehrhard inequality // Studia. Math. - 1996. - No. 118. - P. 169-174.

[59] Ledoux, M. Probability in Banach Spaces / M. Ledoux, M. Talagrand // Probability in Banach Spaces, Springer, New York - 1991.

[60] Leindler, L. On a certain converse of Holder's inequality II. // Acta. Sci. Mat. - 1972. - No. 33. - P. 217-223.

[61] Lindenstrauss, J. The local theory of normed spaces and its application to convexity / J. Lindenstrauss, V. D. Milman // Handbook of convex geometry, Amsterdam. - 1993. - P. 1149-1220.

[62] Liu P. A Brunn-Minkowski inequality for the Hessian eigenvalue in three-dimensional convex domain / P. Liu, X.-N. Ma, L. Xu // Advances in Math. - 2010. - V. 225. - No. 3. - P. 1616-1663.

[63] Lusternik, L. A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichung fur beliebige messbare Mengen // C. R. Acad. Sci. URSS. - 1935. - No. 8. - P. 55-58.

[64] Lutwak, E. Die Brunn-Minkowskische Ungleichung fur beliebige messbare Mengen // Pacific J. Math. - 1975. - No. 58. - P. 531-538.

[65] Lutwak, E. Volume of mixed volumes // Trans. Amer. Math. Soc. - 1986.

- No. 294. - P. 487-500.

[66] Lutwak, E. Centroid bodies and dual mixed volumes // Proc. London Math. Soc. - 1990. - No. 60. - P. 365-391.

[67] Lutwak, E. The Brunn-Minkowski-Firey theory I: Mixed volumes and the Minkowski problem //J. Diff. Geom. - 1993. - No. 38. - P. 131-150.

[68] Lutwak, E. The Brunn-Minkowski-Firey inequality for nonconvex sets/ E. Lutwak, D. Yang, G. Zhang // Advances in Math., - 2012. - V. 48 - No. 2.

- P. 407-413.

[69] Lutwak, E. The log-Brunn-Minkowski inequality/ K. J. Boröczky, E. Lutwak, D. Yang, G. Zhang // Advances in Math., - 2012. - No. 3-4. - P. 1974-1997.

[70] Lv, S. Dual Brunn-Minkowski inequality for volume differences // Geom. Dedicata. - 2010. - No. 145. - P. 169-180.

[71] Maurey, B. Some deviation inequalities // Geom. Funct. Anal. - 1991. - No. 1. - P. 188-197.

[72] Milman, V. D. Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces / V. D. Milman, G. Schechtman // Springer, Berlin. - 1986.

[73] Minkowski, H. Geometrie der Zahlen // Leipzig and Berlin - 1910.

[74] Okounkov, A. Brunn-Minkowski inequality for multiplicities // Invent. Math.

- 1996. - No. 125. - P. 405-411.

[75] Pisier, G. The volume of convex bodies and banach space geometry // Cambrodge University Press, Cambridge. - 1989.

[76] Prékopa, A. Logarithmic concave measures with application to stohastic programming. // Acta. Sci. Mat. - 1971. - No. 32. - P. 301-306.

[77] Prékopa, A. On logarithmic concave measures and functions. // Acta. Sci. Mat. - 1973. - No. 34. - P. 335-343.

[78] Salani, P. Convexity of solutions and Brunn-Minkowski inequalities for Hessian equations in R3 // Andvances in Math. - 2011. - V. 229. - No. 3 - P. 1924-1948.

[79] Schneider, R. Convex Bodies: The Brunn-Minkowski theory. // Cambridge University Press, Cambridge - 1993.

[80] Sudakov, V. N. Extremal properties of half-spaces for spherically invariant measures / V. N. Sudakov, B. S. Tsirel'son //J. Soviet Math. - 1978. - P. 9-18.

[81] Teissier, B. Du theoreme de l'index de Hodge aux inégalités isopérimétriques // CR Acad. Sci. Paris Ser. AB, - 1979. - V. 288.

[82] Timergaliev, B.S. Generalization of the Brunn-Minkowski Inequality in the Form of Hadwiger for Power Moments // Lobachevskii J. Math. - 2016. -V. 37. - No. 6. - P. 794-806.

[83] Trudinger, N. S. Isoperimetric inequalities for quermassintegrals // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineire - 1994. - No. 11. - P. 411-425. Journal of Mathematics. - 2016. - V. 37. - No. 6. - P. 90-105.

[84] Yamabe, H. On the continious function defined on a sphere/ H. Yamabe, Z. Yujobo// Osaka Math. J. - 1950. - No. 2. - P. 19-22. Journal of Mathematics. - 2016. - V. 37. - No. 6. - P. 90-105.