Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Окулевич, А. И.

• Окулевич, А. И.
• кандидат физико-математических наук
• 1995

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Окулевич, А. И.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.

§ 1. Предварительные сведения и обозначения.

§ 2. Постановка задачи.

§ 3. Аппроксимирующее семейство и его свойства.

§ 4. Необходимые условия первого и второго порядка в классе обобщенных управлений.

ГЛАВА 2.

§ 5. Условия невырожденности принципа максимума.

§ 6. Условия непрерывности гамильтониана. Примеры.

§ 7. Необходимые условия первого порядка в задаче с фазовыми ограничениями.

§ 8. Условия невырожденности принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями.

ГЛАВА 3.

§ 9. Минимаксная задача.

§10. Необходимые условия первого порядка в задаче с промежуточными и смешанными ограничениями.

§11. Необходимые условия первого и второго порядка в классе обычных управлений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями»

В современной теории экстремальных задач и оптимального управления одним из интересных (как с теоретической, так и с практической точек зрения) направлений исследований являются дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями (разрывные системы). Своеобразным фундаментом для изучения разрывных систем являются исследования, посвященные оптимизации систем с промежуточными ограничениями на траекториях.

Основы в теории оптимального управления были заложены академиком Л.С.Понтрягиным и группой его учеников [33]. Новые постановки задач оптимального управления привели к необходимости разработки принципиально новых методов исследований. Большой вклад в их создание внесли советские ученые: Л.С.Понтря-гин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко [33], Е.Р.Аваков [1], А.А.Аграчев и Р.В.Гамкрелидзе [2] - [3], А.В.Арутюнов [8], В.И.Благодатских [9], [43], А.Я.Дубо-вицкий и А.А.Милютин [23], Ю.Н.Жидков [24], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомиров [25], Р.В.Гамкрелидзе и Г.Л.Харатишви-ли [20] - [21], А.М.Тер-Крикоров [35] и другие.

Диссертационная работа посвящена исследованию необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях. Основным аппаратом исследований являются методы возмущений. При этом исходная экстремальная задача погружается в семейство аппроксимирующих ее задач, причем возмущенные задачи оказываются качественно проще исходной. После анализа и преобразования аппроксимирующих задач получаем результаты для исходной задачи предельным переходом по параметру возмущения.

В данной работе использованы следующие два метода возмущений: метод штрафов и метод \х - возмущений. Метод штрафов впервые был использован Р.Курантом [44] и позднее развивался многими авторами (см. например, [37], [27], [28]).

Опишем суть метода штрафов. Для получения необходимых условий экстремума наряду с задачей f0(x) —> min, х е Х0, где множество Х0 задает ограничения, рассматривается семейство задач ft(x) -» min, зависящих от коэффициентов штрафа t, в которых ограничения отсутствуют, а функция ft подбирается так, что ft(x) fo(x), t->oo Vx е Х0, ft(x) +оо, t оо V х g Х0.

Для произвольного фиксированного значения коэффициента штрафа t в задаче без ограничений выписываются необходимые условия первого, второго порядка и затем, переходя к пределу при t —> оо, получаем необходимые условия для исходной задачи.

Метод [I - возмущений был разработан А.В.Арутюновым [7] - [8]. Рассмотрим модельную задачу быстродействия: х = f (jc, и, t), x(0) = x0, x(T) = x,, ugU = {u&Ek:r(u)<0}, T min.

Здесь XGEn,uGEk-, —(u)*0VuGEk:r(u) = 0, все отображения ди достаточно гладки, а минимум ищется в классе существенно ограниченных функций со значениями в U. Пусть u0(t), t е [О, Т0] - оптимальное управление в этой задаче. Предположим, что для любой функции \|/, удовлетворяющей этому управлению в силу принципа максимума, max(yiTo),f(xltu,T0))> 0. uetl

Рассмотрим семейство задач минимизации интегрального функционала с нефиксированным временем т т jl - juJ-r(u) dt + - u0(t)\2dt, о 0 зависящего от числовых параметров щ > 0, ц2 > 0. При фиксированных jll± > 0 эту задачу назовем ц - задачей. Ясно, что при фиксированном ц2 > 0 и —>• 0+0 решения ц-задач сходятся к и0. По теореме 1 из [7] любое, удовлетворяющее принципу максимума управление ц - задачи иц принимает значения из int U и для п. в. t расстояние от u^t) до dU не меньше некоторого положительного числа, зависящего от Hi- Таким образом, в ц - задаче ограничение на управление можно не учитывать, превратив ее в задачу Лагранжа. При этом искомые необходимые условия получаем предельным переходом при щ —> 0+0.

В диссертационной работе задачи исследуются в классе обобщенных управлений [17], [20], а не обычных [33], поскольку минимум в классе обобщенных управлений достигается в силу его слабой секвенциальной компактности [20] при весьма общих предположениях.

Отметим, что исследованию задач оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекторию посвящены работы Л.Т.Ащепкова [12] - [14], В.В.Величенко [15], Г.Маурера [45] и др.

Большое внимание в диссертационной работе уделено условиям невырожденности формулируемых необходимых условий оптимальности. Дело в том, что в определенных ситуациях принцип максимума может вырождаться.

У Последнее означает, что оптимальной паре соответствует набор множителей Лагранжа, у которого \|/(t) = 0 для п.в. t, с0 = 0. Более того, можно привести примеры, в которых известным вариантам принципа максимума удовлетворяют только такие множители Лагранжа. Чтобы сделать принцип максимума содержательным, на изучаемую оптимальную пару накладываются дополнительные ограничения, что и продемонстрировано в данной диссертации.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена задаче оптимального управления с промежуточными ограничениями.

В §1 приводятся основные определения и обозначения, вводятся понятия условной сходимости [8], существенных пределов измеримой функции [8], пространства вариаций обобщенных управлений Аг2 и Агв [17].

В §2 приведена постановка задачи и сделаны основные предположения. Рассматривается задача: х = {f(x,u,t), v(tj); t е im], tx{tm,

К,(р) < 0; К2(р) = 0; ^

Rx{x,u,t) < 0; R2(x,u,t) = 0; где р = (tb tm, хь xm), Xi = x(ti), i =1, m, tx < . < tm. Здесь x e En, u e Er, K0 - скалярная, a Kx, K2 - векторные функции, которые предполагаются непрерывно дифференцируемыми. Вектор-функции f, R2 предполагаются непрерывно дифференцируемыми по (х, и) для п. в. t, ограниченными вместе со своими частными производными по (х, и) на любом ограниченном подмножестве и измеримы по t для любых фиксированных х, и.

В качестве допустимых управлений рассматриваются обобщенные управления. Обобщенным управлением называется [20] слабо измеримое по t финитное семейство вероятностных мер Радона v(t), сосредоточенных для п. в. t из некоторого отрезка [tx, t2] на множествах

U(x, t) = {ueEr: Rx(x, u, t) < 0; R2(x, u, t) = 0}. Положим к: = {*,.,};:,> к2 = {*„};:,, Ri = к,}:,, R2 - ы:,У

Будем изучать оптимальную пару (x0(t), v0(t)), t е [ti ,0» 0], ПОЛОЖИВ Ро = (t1>0, tm>0, Х1)0, Xm>o), xi,o = х(Чо)> i = 1> т- Обозначим через I = {i: к^Ро) = 0} -множество активных индексов неравенственных ограничений. Положим

Is(x, u, t) = (i: |r1?i(x, u, t)| < s} для s > 0;

• ft, fa ;

R8(x, u, t) = Lin |-±L(x,u,t), i e /£(M); -£(x,u,t), i = 1 ,n4|,

C0(x, u, t) - матрица ортогонального проектирования Ег на ^(х, u, t); К - (|1|+п2)-мерная функция, имеющая координаты кХд, i е I, к2д, i = 1, п2,

B(t) = l^-(x0,u,t)C0(x,u,t), V0(t)j;

Фундаментальную матрицу линейного уравнения

X = (§(*0,М), V0{t)^jx обозначим через Z(t, t10) и определим матрицы Q1? Q2 и Q по формулам: « як qi = l/=i дх{ q2 = т ЯГ ''.о , ЯГ*

Po)Z(tifiA,o) \Z \t,tlfi)B(t)B\t) (z l(tAfi j) dtZ*(tifi,tU)) Po); ,=i 3c,, J v ' fa

1,0 fn ^

6i q = * ; q = dim Ker Q.

Для задачи (*) будем считать выполненным следующее предположения: а) смешанные ограничения регулярны, то есть существует в0 > 0: d(x, u, t) > s0 V(x, и) для п.в. t, где d(x, и, t) - максимальный по модулю из всех миноров порядка |I£o(x, u, t)| + п4 матрицы, строками которой являются вектора -^Цx,u,t), i е ISn(x, u, t); x,u,t), i = ljT4; ди du б) множества U(t) ограничены равномерно по почти всем t, лежащим в окрестностях точек ti 0, i = I, т.

Третий параграф посвящен построению семейства аппроксимирующих задач и изучению его свойств в предположении, что смешанные ограничения не зависят от х.

Доказано, что решения - задач существуют, и их семейство аппроксимирует исходную задачу (*), то есть последовательность оптимальных управлений ц - задач слабо сходится к оптимальному управлению исходной задачи. Получен принцип максимума для ц - задачи, условия трансверсальности по времени и доказаны необходимые условия второго порядка.

На основе проведенных исследований ц - задач в §4 выводятся необходимые условия первого и второго порядка в классе обобщенных управлений.

Пусть Н(х, и, t, i|/) = <f(x, u, t), i|/> -функция Гамильтона - Понтрягина и

1(р, с) = с0К0(р) + <сь Ki(p)> + <с2, К2(р)>,

П Т1 где с = (с0, с1? с2); с0 е Е1; Cj е Е 1; с2 б Е 2 - малый лагранжиан.

Теорема 1.

Оптимальная пара (х0, v0) удовлетворяет принципу максимума, то есть существуют ненулевой вектор с, кусочно непрерывная слева функция \|/o(t), t е [t1>0, tm>0], имеющая в промежуточных точках ti0, i = 2, m-1 разрывы первого рода, абсолютно непрерывная на интервалах (ti>0, ti+lj0), i = 1, m-1 и удовлетворяющая на каждом из них сопряженному уравнению: дн .

П = - — дк для п. в. t условию максимума max H(u, t) = H(u, t) Vu e S(t), иеУо(') условиям трансверсальности по времени:

Я /„ \w я ess nm (sup H(x0(tmо), u, t, - — (po, с))) - — (p0, c) > 0, ess lim (sup H(x0(tm>0), u, t, - -^-(p0, с))) - ^(p0, c) < 0, ueU0(t) OX,m am я , ччч , а ess nm (sup H(x0(ti 0), u, t, -Hpo, с))) + ^(p0, c) > 0, ess lim (sup H(x0(ti>0), u, t, ^(p0, c))) + -f (p0, c) < 0,

-><,• 0 ueU^t) Щ a i = 1, m-1. условиям трансверсальности: oi /я o(ti,o) = -тг(Ро, с), \j/0(tm,0) = - x-(Po, с), в промежуточных точках равенствам:

Уо(Чо + 0) - \|/о(Чо) = ^(Po, с), i = 2, m-1; ex. условиям дополнительной нежесткости

Со > 0; Ci > 0; <Ki(Po), сх> = О. Кроме того, если f непрерывно дифференцируема, а многозначное отображение U постоянно, то для Н имеет место представление: max H(t) = - } Щ~(т)(1х + £ t е (tifi,ti+lfi), i = l,m-l . ueU t (X k=i+1 Ctk

Будем предполагать, что все отображения, участвующие в формулировке задачи, дважды непрерывно дифференцируемы по (х, и), а соответствующие производные измеримы по t и существенно ограничены на любом ограниченном множестве.

Рассмотрим подпространство © cz Enx д;^ 0, tm)0], состоящее из таких пар (а, 8), что, если 5х() - соответствующее 8 решение уравнения в вариациях Si = f- (t) 5х + (f (u, t) 60(u, t), v0(t)>, 5x(t1>0) = a, ox, ou то для п. в. t l^-(u,t),Su(t}j = 0, Vu e S(t): Rsi(u,t)= 0, s = 1,2 Vi; m Off 0.

Ha © определим квадратичную форму Ы по формуле ' ) l^^iu,t)[dx{t),8(uj)}\v0{t)\dt + f l(Po,C) [Sx(tlfi),.Sx(tmfi)]2, где 5х() - соответствующее решение уравнения в вариациях. Теорема 2.

Для оптимальной пары (х0, v0) существуют такие c> Vo)> удовлетворяющие ей в силу принципа максимума, что индекс построенной по ним квадратичной формы Ы на подпространстве 0 не превышает min (nm, q).

Вторая глава посвящена условиям невырожденности необходимых условий первого порядка в задаче оптимального управления с промежуточными и фазовыми ограничениями.

В §5 доказано, что при выполнении определенных условий имеет место принцип максимума с усиленным условием нетривиальности, а именно: Теорема 3.

Пусть для каждого номера j: 1 < j < m-1 существует такой вектор hj, что выполняются условия: а) В*^ > 0; В*^ = 0, где

В*ц = £ §ЧР) ®(tm, tk), = 1 f4p) o(tm, tk), k=j+1 cxk

Звездочка * обозначает операцию транспонирования; б) столбцы матрицы B*2j линейно независимы. Тогда

Со + k(t)| * 0 V t е (tj, tj+1), j = 1, m-1. Здесь Ф(т, t) - фундаментальная матрица сопряженного уравнения ^(t) = - Щ-lf) и, как известно, для любых т,

С/л. ti, t2 матрица Ф(т, т) является единичной и имеют место соотношения: 0(t2, tx) Ф(т, t2 ) = Ф(х, tx); <5(t, т) = Ф-1(х, t). Теорема 4.

Если выполняются условия теоремы 3 и, кроме того, условие с) <b0,j, hj) > О, то v(t)| * О V t е (tj, tj+1), j = 1, m-1.

В шестом параграфе исследуется вопрос о необходимом условии непрерывности гамильтониана для частного случая задачи (*), и приведены примеры. В первом из них функция Гамильтона-Понтрягина терпит разрыв первого рода в промежуточной точке. Во втором - функция \|/(t) вырождается на одном из интервалов непрерывности.

§7 посвящен изучению задачи (*) при наличии фазовых ограничений: х = (f(x,u,t), v(t)), t е It, < tm; К,(р) < О, К 2(p) = 0; gj(x,t) < 0, je J; К 0 (p) -> min, где gj - скалярные непрерывно дифференцируемые по совокупности переменных функции.

Введем несколько определений и обозначений.

J(t) = {j g J: gj(t) = 0}. Будем говорить, что фазовое ограничение gj согласовано с промежуточными ограничениями в точке р0, если вложение: р: |p-pol ^ е, К0(р) < К0(Ро), К^р) < 0, К2(р) = 0} с с {р: gj(Xi,ti) < 0, i=l, . m}.

Обозначим через Jj множество тех индексов jeJ, для которых фазовое ограничение gj согласовано в точке р0 с промежуточными. В дальнейшем будем предполагать, что промежуточные ограничения, к которым добавлены неравенственные ограничения gj(Xi, tA) < 0, jeJ\J! регулярны, то есть rang %р0) = п2; 3 %Ро)Р° = О, ф ф

Ро), Р°> < О V iel, <%(ро), р°> < О V )eJ\Jv ф ф

Будем считать, что заданное управление v0(t) и соответствующая траектория x0(t) оптимальны в рассматриваемой задаче и удовлетворяют следующему предположению: а) существует такое в > 0, что множества U(t) равномерно ограничены по t, лежащим в s - окрестностях точек t1>0, tmj0.

Теорема 5.

Пусть пара (x0(t), v0(t)), t е о> ^m о] оптимальна для задачи и выполняется предположение а). Тогда существуют одновременно неравные нулю вектор с, регулярная борелевская неотрицательная векторная мера г|0 j, j е J и непрерывная слева функция ограниченной вариации \|/o(t), te[t1>0, tmjoL удовлетворяющие следующим соотношениям: ✓л w W w Ь а / ч J ~ ^ j j &Х jGj t сХ k=i+1 cxk

V t e (tij0, ti+1>0], i = 1, m-1; для п. в. t условию максимума max H(u, t) = H(u, t) Vu e S(t); ueU0(t) условиям трансверсальности по времени: ess li^ (sup H(x0(tm)0), u, t, - — (po, c))) - — (po, e) > 0, ueU0(t) <Лт Otm ess lim (sup H(x0(tm>0), u, t, - -^-(p0, с))) - -f^Po, c) < 0,

-><„,„ ueU(l(t) <Жт Otm Я ess Jim (sup H(x0(ti)0), u, t, —(p0, c))) + — (p0, c) > 0, t->tifi UGU0(t) Щ ess Ит (sup H(x0(ti>0), u, t, — (p0, c))) + — (p0, c) < 0, i = 1, ., m-1, условиям трансверсальности: Vo(ti,o) = -тг(Ро> с), в промежуточных точках ti0, i = 2, ., m-1 равенствам:

Уо(Чо+0) - v|/0(ti>0) = ^(Po, с) + S %(ti>0) Ло^Чо);

CKi jeJ CX условиям дополнительной нежесткости: c0 > 0; Cl > 0; (K^po), Cl> = 0. Если, кроме того, f непрерывно дифференцируема, а многозначное отображение U постоянно, то для Н имеет место представление: тт/ ч V дН / . , ^ V dg. / ч , A dl / ч max H(u,t) = - J —{r)dr + 2, J -z-(r)drj0J + la—(p0,c),t^ tifi,tt ugU t Л JeJ t 01 k=i+l <Лк а условия трансверсальности по времени принимают вид: max Щи, ti>0, х"(Ро» с» + 4(Ро> с) = 0, i = 1, m-1, ueU0(t) CXi at I

1,0 max Щи, tm,o, - -f-(P0, с)) - f(Po, с) = 0.

Для доказательства теоремы построена последовательность возмущенных задач и доказаны оценки, обеспечивающие возможность предельных переходов.

Чтобы сделать принцип максимума содержательным, в восьмом параграфе на изучаемую оптимальную пару накладывается ограничение, предполагающее ее управляемость.

Определение.

Пара (х, v) управляема в промежуточных и концевых точках, если существует UjeU, i = l, т: 0 ,Vj:gj(0 = О J G J,i = uTl; &Г (0,f(x(0,um,tm)J + ^L(/j J < О, V/: gj(tm) = 0,y G /.

Теорема 6.

Пусть выполняются предположения теоремы 3, а также

1) оптимальная пара (х, v) управляема в промежуточных и концевых точках;

2) фазовые ограничения согласованы с промежуточными;

3) вектора = о|,у е / позитивно линейно независимы Vt е [tb tm], то есть для любого t существует вектор g = g(t) такой, что V/ ej(t).

Тогда пара (х, у) удовлетворяет принципу максимума со следующим условием нетривиальности: с0 + mes {t: \|/(t) ф 0} > 0. §9 посвящен решению минимаксной задачи. На решениях задачи с промежуточными ограничениями х = {f(x(t),u(t),t), v(t)), t е [t^Q, tt<tm, IMp) < 0, K2(p) = 0 требуется минимизировать функционал J[x, u] = max cp(x(t), t) + K0(p).

Теорема 8.

Пусть выполнены условия согласованности, управляемости и о дх для всех пар (х, t), для которых cp(x(t), t) + KQ(p) = J0. Тогда найдется оптимальная пара (x0(t), v0(t)), t е [t10, tm>0] и число \|/° < 0, удовлетворяющие принципу максимума для функции

Н°(х, u, t, \|/, v|/°) = Н(х, u, t, \|/) + \|/°ф(х, t) и условию невырожденности с0 + mes {t: \|/0(t) ^ 0} > 0. В §10 рассматривается задача оптимального управления со смешанными ограничениями: х = (f(x,u,t), v(t>), t 6 [f, ,tm], t, < tm\ K,(p) < 0, К 2 (p) = 0; R^x^uj) < 0, R2(jc,u,t) = 0; К0(p) min.

Теорема 9.

Оптимальная пара (x0(t), v0(t)), t e [t1)0, tm,0] удовлетворяет принципу максимума, то есть существуют ненулевой вектор с = (с0, с1? с2), слабо измеримые (по t) семейства п3- и п4-мерных мер Радона a^t), a2(t) и кусочно непрерывная слева функция \|/o(t), t е [t1>0, tm 0], имеющая в промежуточных точках ti0, i = 2, m-1 разрывы первого рода, абсолютно непрерывная на интервалах (ti0, ti+1>0], i = 1, m-1 и удовлетворяющая сопряженному уравнению на каждом из них:

Wait) = J dv - 2 J ~ , t ax jGj t ox, k=M axk для п. в. t условию максимума тах H(u, t) = Н(и, t) Vu е S(t); ef/0(O и, t), v0(t)j + ^ (и, t), а^ + ^ {и, t), а2(t)^J = 0; условиям трансверсальности по времени: ess Mm (sup H(x0(tmj0), u, t, - —(p0, с))) - — (po, с) > О, о uzU0(t) Otm

31 31 ess Ит (sup H(x0(tm>0), u, t, - —(Po, с))) - — (p0, c) < 0, t^tafi uzu^t) cicm am ess (sup H(x0(ti>0), u, t, — (po, c))) + —(po, c) > 0,

->/,-,о ueU0(t) Щ

31 ess lim (sup H(x0(ti>0), u, t, — (p0, c))) + —(p0, c) < 0, i = 1, ., m-1, условиям трансверсальности:

Уо(Чо) = J^Po» c)> Vo(tm,o) = - f(Po, c);

1 m в промежуточных точках ti>0, i = 2, m-1 равенствам:

Vo(ti,o+0) - ЫКо) = ^(Po, c) + 2 %Чо)Л(и(Чо); cXj jGj ax условиям дополнительной нежесткости: с0 > 0; Cl > 0; (К^ро), сг) = О, меры a^t), a2(t) абсолютно непрерывны относительно меры v0(t), меры ay(t) сосредоточены на множествах ueU(t): rj4(x0, u, t) = 0}, j = 1, 2, ax = (an, aln3), dR \ / dr \

-(u,t),ai(t)) = V{—^(ji,t),alt(t)) и аналогично для a2. ди / i=i \ ди j

В §11 исследованы различные задачи оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях в классе обычных управлений. Для них получены необходимые условия оптимальности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Окулевич, А. И., 1995 год

1. Аграчев А. А. Необходимое условие оптимальности второго порядка в общем нелинейном случае. // Мат. сборник. 1977. - Т.102, №4. - С.551-568.

2. Аграчев А.А., Гамкрелидзе Р.В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия. // Мат. сборник. 1976. - Т.100, №4. - С.610-643.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 429 С.

4. Арутюнов А.В. К необходимым условиям оптимальностив задаче с фазовыми ограничениями. // Докл. АН СССР. -1985. Т.280, №5. - С.1033-1037.

5. Арутюнов А.В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Докл. АН СССР. 1989. - Т.304, №1. - С.11-14.

6. Арутюнов А.В. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Труды Ин-та Прикл. мат., Тбил. ун-т. -1988. Т.27. - С.46-59.

7. Арутюнов А.В. Возмущения экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности. //Итоги науки и техники, сер. матем. анализ. М., 1989. -С.147-235.

8. Арутюнов А.В., Зеркалов Л.Г., Силин Д.Б. Необходимые условия первого и второго порядков в минимаксной задаче оптимального управления. // Вестник Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. мат. и киберн. 1990, №3. - С.60-67.

9. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями. // Изв. АН СССР, сер. тех. киберн. 1984, №4. - С.60-68.

10. Арутюнов А.В., Окулевич А.И. Необходимые условия оптимальности в задачах с промежуточными ограничениями. // "Понтрягинские чтения V", тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ. - 1994. - С.11.

11. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск: Наука, 1987. - 227 С.

12. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями. // Прикладная математика и механика. 1981. - Т.45, вып.2. - С.215-222.

13. Ащепков Л.Т., Белов Б.И., Булатов В.П. и др. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления. Новосибирск: Наука, 1984. -233 С.

14. Благодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений. // Труды МИАН им. В.А.Стек-лова. 1984, CXVI. - С.23-43.

15. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 С.

16. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальнымии функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977. -622 С.

17. Величенко В.В. Условия оптимальности в задачах управления с промежуточными условиями. // Докл. АН СССР. 1967. - Т.174, №5. - С.1011-1013.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974. - 272 С.

19. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. -Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1977. 253 С.

20. Гамкрелидзе Р.В., Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1969. - Т.ЗЗ, №4. - С.781-839.

21. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В. А. Необходимыел,условия сильного минимума в задачах оптимального управления с вырождением концевых и фазовых ограничений. // Успехи мат. наук. 1985. - Т.40, №2, С.175-176.

22. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. -1965. Т.5, №3. - С.395-453.

23. Жидков Ю.Н. Необходимые условия оптимальности в двухуровневых иерархических динамических системах с векторными критериями. М.: Вычислит. Центр АН СССР, 1981. - 46 С.

24. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальныхзадач. М.: Наука, 1974. - 479 С.

25. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. -544 С.

26. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 412 С.

27. Мордухович Б.Ш. Штрафные функции и необходимые условия в негладких и невыпуклых задачах оптимизации. // Успехи мат. наук. 1981. - Т.36, вып.1. - С.215-216.

28. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. - 480 С.

29. Окулевич А.И. Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях. Тезисы докладов XXX научной конференции фак-та физ.-мат. и естеств. наук. 4.2 - М.: Изд-во РУДН, 1994. - С.17.

30. Окулевич А.И. Принцип максимума и его невырожденность в задаче с промежуточными и фазовыми ограничениями. М., 1994. - 21 С. - Деп. в ВИНИТИ 15.07.94, №1805 - В94.

31. Окулевич А.И. Принцип максимума в задаче с промежуточными ограничениями. М., 1994. - 37 С. - Деп. в ВИНИТИ 15.07.94, №1806 - В94.

32. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. - 384 С.

33. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. -М.: Наука, 1969. 151 С. Ф 35. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. - М.: Наука, 1977. - 214 С.

34. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 С.

35. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. - 278 С.

36. Федоров В.В. Принцип максимума в минимаксной задаче управления с фазовыми ограничениями. // Вестн. МГУ, сер.15. 1977. - №4. - С.36-46.

37. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. -1071 С.

38. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теорииоптимального управления. М.: Мир, 1974. - 488 С.

39. Arutyunov А.V., Silin D.B., Zerkalov L.G. Maximum principle and second-order conditions for minimax problems of optimal control. // J. Optimiz. theory and appl. Vol.75, №3. - 1992. - C.521-533.

40. Blagodatskih V.I. Sufficient conditions for optimality in * problems with state constraints. // Appl. Math, and Optimiz.- 1984. Vol.7. - C.149-157.

41. Courant R. Variational method for the solution of problems of equilibrium and vibrations. // Bull. Amer. Math.$ Soc. 1943. - Vol.49, №1. - C.l-23.

42. Maurer H. On the minimum principle for optimal control problems with state constraints. // Schriftenreihe des Rechenzentrums des Universitat Munster, №41. 1979. -28C.