Нелокальные задачи для уравнений влагопереноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Евдокимова, Наталья Николаевна

• Евдокимова, Наталья Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Евдокимова, Наталья Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

§ 1. Обобщенное решение задачи А в Н2 (О).

1. Постановка задачи.

2. Сведение задачи А к задаче В.

3. Эквивалентность задач А и В в Н2{В).

§ 2. Вспомогательная задача с интегральным условием.

1. Обобщенное решение задачи В в Е1(Ъ).

2. Разрешимость задачи с интегральным условием в Н (Б).

3. Гладкость решения.

§ 3. Задача Гурса для уравнения Аллера.

ГЛАВА 2. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ВЛАГОПЕРЕНОСА ЛЫКОВА - БИЦАДЗЕ.

§ 1. Задача с интегральными условиями для уравнения влагопереноса Лыкова- Бицадзе в треугольнике.

1. Постановка задачи.

2. Априорная оценка решения.

3. Существование и единственность обобщенного решения.

§ 2. Задача с интегральными условиями для уравнения влагопереноса в квадрате.

1. Постановка задачи.

2. Единственность обобщенного решения.

3. Существование обобщенного решения.

§ 3. Задачи с одним интегральным условием для уравнения влагопереноса Лыкова-Бицадзе.

1. Задача 1.

2. Задача 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные задачи для уравнений влагопереноса»

За последние годы существенно повысился интерес к разработке новых математических моделей. Сегодня многие разделы теории дифференциальных уравнений в частных производных уже приобрели законченный вид. Дальнейшее развитие во многом зависит от постановки новых задач.

Проникновение математических методов в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности, означает возможность пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических знаний далеко не достаточно для решения той или иной прикладной задачи - необходимо еще получить навыки в переводе исходной формулировки задачи на математический язык. Собственно в этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования.

Можно потратить много времени для нахождения классического решения для данной модели, которая не оправдана самой постановкой задачи. В результате наблюдения было замечено, что поиск классического решения в некоторых задачах математической физики ведет к дополнительным ограничениям, которые имеют громоздкий вид, поэтому имеет смысл обсуждать вопрос существования и единственности обобщенного решения. Кроме того, следует отметить, что приближенный ответ может оказаться более эффективным, чем точный. Это часто свидетельствует в пользу непосредственного численного приближенного решения.

Математическая модель представляет собой упрощение реальной ситуации. Ощутимое упрощение наступает тогда, когда несущественные особенности ситуации отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому анализу. Именно при таком подходе в классической прикладной математике возникли блоки без трения, невесомые нерастяжимые нити, невязкие жидкости и многие другие понятия подобного рода. Эти понятия не существуют в реальной действительности. Они являются абстракциями, составной частью идеализации, предпринятой автором модели. И тем не менее их часто можно с успехом считать хорошим приближением к реальной ситуации.

Ситуации моделируют для разных целей. Главная из них -необходимость предсказывать новые результаты или новые свойства явления.

В предлагаемой работе рассматриваются некоторые математические модели процесса переноса влаги в капиллярно -пористых средах.

Одним из первых, кто рассмотрел этот процесс с физической точки зрения, был Лыков A.B. С помощью методов термодинамики необратимых процессов им получено уравнение влагопереноса [20]. А именно, для описания переноса влаги u = u{%,t) в коллоидном капиллярно - пористом теле он воспользовался обобщенным решением переноса влаги dw du и = ~Dn--т, —, 0 dt где w = w(g,t) - влажность в точке £ в момент времени t, D -коэффициент диффузии, р - плотность, г0 — — - время релаксации. v dw du

Учитывая закон сохранения массы влаги, то есть р— =--, было dt dg получено дифференциальное уравнение массопереноса в коллоидном капиллярно - пористом теле в виде: du п дги d du = D—---r0— . (1) dt д%2 dt 0 dt

А.В.Лыков, принимая во внимание, что для ряда капиллярно-пористых тел скорость переноса о примерно равна скорости капиллярного движения, которая в свою очередь обратно пропорциональна пути движения £, полагает

2) о где а0 - коэффициент пропорциональности, зависящий от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости.

Из (1) в соответствии с (2) получаем уравнение влагопереноса

3) а0

В 1980 году в своей работе [25] Нахушев А.М. предложил перейти в уравнении (3) к безразмерным независимым переменным к л№о

В этих переменных уравнение (3) принимает следующий вид:

1 Риуу{х,у) лД их (х,у) = —--{—~)ихх (х,у). к) аок) аок)

Отсюда получаем уравнение влагопереноса:

4) где а = ~ - безразмерная величина.

Впервые уравнение (4) было приведено А.В.Бицадзе [2] как пример уравнения, для которого при |а\ < 1 корректна по Адамару задача Коши с начальными данными на линии у = 0параболического вырождения, хотя и нарушено условие Геллерстедта. Уравнение (4) принято называть уравнением Лыкова-Бицадзе.

Для него изучены задачи Кощи [3], Гурса [14,15], Дарбу [27], Трикоми [17] и другие краевые задачи [5, 19, 30, 33].

В данной работе рассмотрены не краевые задачи для уравнения (4), а нелокальные: данными являются значения интегралов от искомой функции вдоль некоторых многообразий, принадлежащих области, в которой ищется решение, меньшей размерности. В предлагаемой работе такими многообразиями являются характеристики уравнений. Отметим, что с физической точки зрения корректность постановки таких задач оправдывается тем, что на практике, как правило, измеряются некоторые усредненные (интегральные) характеристики величин.

Впервые задачу с интегральным условием для уравнения теплопроводности

Ч (5) поставил Cannon J.R. [38]. Задача состояла в отыскании температуры u{x,t) такой, что

J и{х, t)dx = E(t), x(t) > 0, t > О, о и(х,0) = 0>(х),х > 0, где E(t),x(t),q>{x) - заданные непрерывные функции в [0,оо), причем

Xq

Е(0) = Jnp(x)dx. В работе показано, что если общая тепловая энергия Е о некоторой части проводника тепла задана как функция времени, начальная температура известна, а в случае конечного проводника поведение температуры на одном из концов задано, то существует единственное распределение температуры в проводнике, которое и определяет заданную общую энергию в заданной части проводника.

Позже в статье [34] Самарский A.A. поставил задачу для уравнения теплопроводности (5) с условиями вида: 1 и(х,0) = и0(х), 0<jc<1; u(0,t) = v(t), ¡u(x,t)dx = ju(t), (6) о где u0(x),v(t),ju(t)- заданные непрерывные функции.

Самарский A.A. отмечает, что подобные нестандартные задачи возникают и при математическом моделировании некоторых процессов, происходящих в физике плазмы [4].

Нелокальное условие (6) принято называть условием Самарского. В работе [34] задача поставлена, но вопросы о существовании, единственности и устойчивости решения остались открытыми.

Интегральное условие возникает не только при изучении процессов, происходящих в плазме [23], но и при исследовании процессов, связанных с распространением тепла [38,13], при моделировании некоторых технологических процессов [19], в задачах биологии [29,26]. Например, Нахушев A.M. в области Q = {(x,t):<x<l,0<t<T} рассмотрел уравнение неразрывности Мак Кендрика- фон Фестера [29] ux+ut + с(х, i)u = 0. (7)

Это уравнение достаточно хорошо описывает динамику замкнутой популяции особей, когда на ее поведение фактически не влияет взаимодействие между особями различного возраста. При такой интерпретации функция и = u(x,t) означает численность особей возраста х е [0, /] в популяции в момент времени t е [0, Т].

Для уравнения (7) была поставлена и изучена задача, которая является моделью для широкого класса различных популяционных задач. А именно, задача состоит в следующем: найти регулярное всюду в области О, за исключением , быть может, характеристики х = t, решение уравнения (7), непрерывное в О. и удовлетворяющее условиям: i

1) и(0,0 = f к(х, t)u(x, t)dx, (0<t<T) - уравнение рождаемости, о где / - предельный возраст, k(x,t) - коэффициент рождаемости, принадлежащий классу С([0,/] х [0,7*]);

2) и(х,0) = т(х),(0<х</), где т(х) - начальное распределение популяции по возрастам, которое непрерывно на [0,/|.

При численной реализации на ЭВМ этой задачи Нахушев A.M. предлагает перейти к частному варианту следующего условия:

11(0,0 = Za,(t>(xnt) + g)0(t),(0 ^t<T), t> 0 то есть заменить конечной суммой интеграл, входящии в уравнение рождаемости.

Задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения изучена Пулькиной J1.C. в работах [7,21,32].

Еще одной моделью процесса влагопереноса в капиллярно-пористом теле, например, в почвенном грунте [36], является уравнение третьего порядка:

Auxxy+Buxx+Cu^,+aux+buy+cu = f(x,y). (8)

Исследованием краевых задач для уравнения (8) занимались Шхануков

М.Х. [37, 16], Канчукоев В.3.[16], Нахушев А.М.[24, 26, 28], Водахова В.А.

6] и другие.

Многие задачи, связанные с динамикой почвенной влаги и грунтовой воды, редуцируются к локальным и нелокальным краевым задачам для различных частных случаев уравнения (8). Например, если А ^ const > 0, В = const>0,b = -\,a = c = 0 и переменную у считать временной, то из (8) получается уравнение Адлера [24]: и =-—{Dux + Аи ) = —П(х,у), (9) дх дх где А и В- достаточно гладкие положительные функции, П(х,у) - поток почвенной влаги в точке х в момент времени у > 0.

Нахушевым A.M. для уравнения (9) рассматривалась следующая задача: определить распространение влаги и(х,у) в почвенном слое 0 <х<1 для всех времен у е [0, Т], если известны:

1) П(0,у) = f(y), 0<у<Т- поток влаги на поверхности почвы, то есть испарение;

2) и(0,у) = у/(у), 0 <у<Т- распределение влаги на поверхности почвы или же и(£,уЩ = т(у),0<у<Т (10) ду I

- скорость расхода влаги в слое 0 < х < х0,0 <х0</.

Исследование задачи в такой постановке не приводится, а изучается задача, где интегральное условие (10) заменяется на конечную сумму вида:

В связи с тем, что задача с интегральными условиями возникает при моделировании многих различных физических процессов, но исследования проводились для случая конечных сумм, заменяющих интегральные условия, возник интерес к обоснованию корректности постановки задач с интегральными условиями. В предлагаемой работе задачи с интегральными условиями исследуются для уравнения влагопереноса.

В первой главе настоящей работы в области В = {(х,у):0<х</,0<у<Т} рассматривается уравнение влагопереноса третьего порядка где А- действительная постоянная, а(х,у), Ъ(х,у), с(х,у), /(х,у)-заданные, достаточно гладкие функции.

Для него изучена следующая задачу: определить распределение влаги и (х,у) в почвенном слое 0 <х<1 для всех времен 0 < у <Т, если известно: 1) глубинный ход влажности в начальный момент времени д "

Е^ООМУ ,>>) = т(у). ихху+А ихх+(а(х,у) и)х+Ь(х,у) иу+с (х,у) и=Дх,у),

И) м(х,0) = г(х),х е [0,/];

2) "поток" влаги на глубине х = 1 их{1,у) = Ну),уФ,Т\\

3) скорость расхода влаги в слое х0 <х<1,х0 > 0

Я '

12)

Эта задача поставлена Нахушевым A.M. [24]. В работе Водаховой В.А. [6] приводится постановка этой задачи, но изучена несколько иная, в которой интегральное условие (12) заменяется на конечную сумму: п

У) = Zaj {у)и{х3., у) + ¿О),

5=1 где aJ(y),S(y)~ заданные функции, ху- заданные точки, причем О < х1 < х2 <. < хп < I.

Вопрос о существовании и единственности решения поставленной задачи рассматривается, когда коэффициенты и правая часть уравнения (11) - непрерывные функции, причем удается найти не классическое решение, а обобщенное, которое имеет конкретное представление. В настоящей же работе исследован вопрос об однозначной обобщенной разрешимости данной задачи в некотором функциональном пространстве H2(D), когда правая часть уравнения (11) принадлежит пространству H\D). Кроме того, в § 3 первой главы задача Гурса для уравнения Аллера, которое является частным случаем уравнения (11).

Во второй главе рассматриваются четыре математические модели динамики влагопереноса в капиллярно - пористом теле. А именно, изучена нелокальная задача для неоднородного уравнения влагопереноса (4), имеющего в характеристических координатах / / = x-y,77 = x + Y вид

LU = (tj- + щ + Uv= /(£, 7), (13) в области D = {(£,77): 0 < £ < 7/ < 1} с интегральными условиями:

1 7} u(^,Tj)dTj = (р(£), ¡u(£,T])dZ = Win) О

Функции q>{^\\f/{r]\f{^,ri) заданы и удовлетворяют условию согласования

1 1 | у/{т])(1г1, а также <р(1) = ^/(0) = 0 и <р(0) = у/{ 1). о о

Решен вопрос об обобщенной разрешимости этой задачи в некотором функциональном пространстве Ь2 (О ) при условии, что /(£,/7)еЬ2ф\ <р(£)еЬг(ОД),у/(л)е(ОД) и Н ^ 3, и предложен алгоритм нахождения приближенного решения с использованием метода Галеркина.

При а~0 данная задача исследована Пулькиной Л.С. в работе [32]. В § 2 второй главы также изучается задача с интегральными условиями для неоднородного уравнения влагопереноса, но область В в характеристических координатах £ и г} представляет собой квадрат. А именно, = £Г и , где

При этом в характеристических координатах £ и 77 уравнение влагопереноса имеет вид:

1и = /, где Lu =

Lu, в D

5 J ~ + г (4,г?), BD+

L+u, в D a Lu = (£ - т])и^ + + ^ и, а-1 а +1

-и, н ь

4 1 4 а +1 а -1

-и, - ь

4 f 4

L+u = (т] - +—Щ + •

Основными результатами этой части второй главы являются теорема единственности и теорема существования обобщенного решения поставленной задачи.

Кроме того, во второй главе настоящей работы рассматриваются еще две задачи: задача 1 и задача 2. В каждой из этих задач одно из условий является интегральным.

Задача 1. Найти в области D - {(£,77): 0 < ц < % < 1} функцию и(£,т]) е C(D)f]C2(D), удовлетворяющую уравнению и и условиям:

-»77

Иш и(£,77) = т(4), = о где - заданные непрерывные функции и <р{§) = 0.

Задача 2. Найти в области 73 = {(£,77): 0 < 77 < £ < 1} функцию С(1>)р)С2(1>), удовлетворяющую уравнению (14) и условиям: где т(£),у/(т])- заданные непрерывные функции и ^(1) = 0.

Найдены условия на функции г(£),у/(г}) и на коэффициент а(\а\ < 1), при которых существует классическое решение, и найдено представление этого решения для каждой задачи.

Работа над диссертацией выполнялась на кафедре уравнений математической физики Самарского государственного университета.

Результаты диссертации опубликованы в работах [8-12].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Евдокимова, Наталья Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математические модели процесса влагопереноса изучаются многими авторами в силу их прикладной важности. В зависимости от свойств среды и других особенностей протекающего процесса модели уточняются. Настоящая работа посвящена исследованию таких моделей влагопереноа, где дополнительные данные, все или частично, не могут быть получены в результате непосредственных измерений. В этом случае в качестве дополнительных условий задаются некоторые средние величины и условия записываются в виде интегралов вдоль характеристик. Предложенные к рассмотрению математические модели процесса влагопереноса описываются либо уравнением третьего порядка, либо вырождающимся уравнением второго порядка. Для уравнения второго порядка существует классическое решение поставленной задачи, если |а|<1, где а- это отношение коэффициента пропорциональности, зависящего от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости, к коэффициенту диффузии. При доказательстве же существования и единственности обобщенного решения оказалось достаточным выполнения более слабого ограничения на коэффициент а, то есть |а| < 3. Это означает, что решение может быть получено и для сильно пористой среды, что ведет к потере гладкости решения.

В работе доказана корректность поставленных задач и разработан метод отыскания приближенного решения. При численной реализации на ЭВМ задач такого рода предложенный метод может оказаться весьма полезным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Евдокимова, Наталья Николаевна, 2000 год

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М. Наука. 1973. Т. 1.-288с.

2. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М. Изд-во АН СССР. 1959. -295с.

3. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. Наука. 1981.-448с.

4. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач //ДАН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С.739-740.

5. Водахова В.А. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1.С.79-91.

6. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса// Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С.280-285.

7. Голубева Н.Д., Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями // Математические заметки. 1996. Т.59. Вып.З.

8. Евдокимова H.H. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Тез. докл. Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара. 1996. с.48.

9. Евдокимова H.H. Задача с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения// Труды седьмой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 1997. с.27-29.

10. Ю.Евдокимова H.H. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Тез. докл. Всероссийской молодежной научной конференции «XXIII Гагаринские чтения». Москва. 1997. с.51-52.

11. П.Евдокимова H.H., Пулькина JI.С. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения// Вестник Самарского госуниверситета. 1999. № 2. с.67-70.

12. Евдокимова H.H. Задача с интегральным условием для нагруженного дифференциального уравнения// Труды десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2000. с.54-56.

13. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. Т.13. № 2. С.294-304.

14. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения// Дифференциальные уравнения. 1972. Т.8. № 1. С.41-54.

15. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения// Дифференциальные уравнения. 1971. Т.7. № 1. С.178-181.

16. Канчукоев В.З., Шхануков М.Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С.68-73.

17. П.Капустин Н.Ю. О разрешимости в классе 1л задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью// Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 1. С.60-65.

18. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики// М.Физматгиз. 1962. -766с.

19. Кумыкова С.К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике// Дифференциальные уравнения. 1979.Т. 15. № 1. С.79-91.

20. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена// Интернофизический журнал. 1965.Т.9.№ 3.C.287-304.

21. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. Наука. 1976. -392с.

22. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М. Физматгиз. 1959. -233с.

23. Муравей Л.А., Филиновский A.B. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения// Мат.заметки. 1993. Т.54. Вып.4.

24. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги// Дифференциальные уравнения. 1979.Т.15. № 1. С.98-105.

25. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося уравнения влагопереноса// Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 9.С. 1643-1649.

26. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения// Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. № 1. С.86-94.

27. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений// ДАН СССР. 1970. Т.195. № 4. С.776-779.

28. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод// Дифференциальные уравнения. 1982. Т.18. № 1. С.72-81.

29. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М. Высшая школа. 1995.

30. Нахушева Ф.Б. Некоторые конструктивные свойства решений гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области// Дифференциальные уравнения. 1982. Т.18 № 2. С.334-342.

31. Пулькина Л.С. О разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения// Вестник СамГУ. 1998. № 2. С.64-68.

32. Пулькина JT.C. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Математика. Известия высших учебных заведений. 1991. № 11. С.48-51.

33. Репин О.А. Краевая задача для уравнения влагопереноса// Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. № 1. С.169-171.

34. Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1980. Т.16. №И.С.1221-1228.

35. Треногин В.А. Функциональный анализ. М. Наука. 1980. -495с.

36. Зб.Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.Наука. 1976.

37. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах// Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. С.689-699.

38. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy// Quart. Appl. Math. 1963. Y.21. № 2. P.155-160.

39. Pulkina L.S. A nonlocal problem with integral conditions for hyperbolic equation// Ejde.1999. vol.45.p.l-6.