Нелокальные улучшения в задачах оптимального управления с терминальными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Трунин, Дмитрий Олегович

• Трунин, Дмитрий Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трунин, Дмитрий Олегович

Введение

Глава 1. Процедуры нелокального улучшения

1.1. Полиномиальная задача оптимального управления

1.2. Линейная задача оптимального управления

1.3. Проекционные процедуры нелокального улучшения

1.4. Модифицированные процедуры нелокального улучшения

1.5. Задачи с запаздыванием

1.6. Примеры

Глава 2. Методы возмущений

2.1. Метод возмущений краевой задачи улучшения

2.2. Метод возмущений задачи оптимального управления

2.3. Метод проекционных возмущений краевой задачи улучшения

Глава 3. Численные эксперименты

3.1. Вычислительные аспекты

3.2. Управление иммунным процессом

3.3. Управление численностью скота

3.4. Стабилизация вращения спутника

3.5. Задача из электротехники

3.6. Оптимизация рекламной стратегии фирмы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные улучшения в задачах оптимального управления с терминальными ограничениями»

Задачи оптимального управления возникают во многих областях научного знания. Прикладные задачи в области техники [35], [98]-[100], [110], биологии [14, 29, 36, 73, 116, 117], химии [100, 113], медицины [60, 108], а также в экономических и социальных пауках [14, 36, 37, 40, 41, 62, 126] все чаще формулируются как задачи оптимального управления.

Таким образом, актуальность разработки новых численных методов для решения задач оптимального управления обусловлена появлением достаточно большого числа задач прикладного содержания в различных областях естествознания.

Основой численных методов решения задач оптимального управления являются теоретические результаты, связанные с получением необходимых или достаточных условий оптимальности в различных классах задач. Данные методы используют различные конструктивные аппроксимации элементов задачи для построения методов численного решения.

Для решения задач оптимального управления в настоящее время разработано достаточно много различных методов и подходов. Большинство методов являются итерационными, цель итераций в которых состоит в получении лучшего по значению целевого функционала управления (релаксационные итерационные методы).

Традиционной моделью для разработки численных методов решения являются задачи оптршального управления со свободным правым концом. В этих задачах имеется только один (целевой) функционал и присутствуют поточечные ограничения на управление (как правило, простой структуры). Поэтому основные усилия при решении данного класса задач направлены на построение процедур улучшения целевого функционала, так как обеспечение допустимости управления здесь ие представляет принципиальных затруднений. i

Для решения указанного класса задач можно выделить методы последовательного улучшения управлений с использованием той или иной техники варьирования.

1. Градиентные методы развивались в работах О.В. Васильева, Ф.П. Васильева, В.А. Срочко, Р.П. Федоренко, А.С. Антипина pi других исследователей [5, 24, 25, 27, 74, 79, 100, 107, 132, 133].

2. Методы на основе принципа максимума JI.C. Понтрягина получили свое развитие в работах А.В. Аргучинцева, О.В. Васильева, Ф.П. Васильева, В.В. Дикусара, А.И. Егорова, Н.Е. Кирина, И.А. Крылова, А.А. Любушина, А.А. Милютина, В.А. Срочко, А.И. Тятюшкина, В.А. Терлец-кого, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько и других исследователей [3, б, 17], [24]-[27], [39, 44, 52, 57, 59, 61, 74, 75, 100, 104, 118].

Следующую группу методов составляют методы на основе достаточных условий оптимальности В.Ф. Кротова [56]. Данные методы развивались в работах В.А. Батурина, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, В.Ф. Кротова, И.В. Расиной, Д.Е. Урбаиовича и других исследователей [14], [35]-[37], [40, 41, 56].

Следующий обширный класс методов составляют методы на основе полной или частичной дискретизации с последующей редукцией к задачам математического программирования, для решения которых разработаны эффективные численные методы. Данное направление получило развитие в работах Ю.Г. Евтушенко, Ю.М. Ермольева, Н.Н. Моисеева, Э. Полака, Б.Н. Пшеничного, Ю.М. Данилина, Ф.Л. Черноусько и других исследователей [43, 46, 51, 63, 67, 71, 103, 104, 127].

Методы решения задач с импульсными управлениями и разрывными траекториями развивались в работах Л.Т. Ащепкова, В.А. Дыхты, О.Н. Самсонюк и других исследователей [10, 40, 41, 101, 106].

Отдельную группу методов поиска позиционных оптимальных управлений для линейных и других классов систем, составляют методы в работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой [11], [30]-[33].

Методы поиска глобального решения в певыпуклых задачах оптимизации развиваются в работах А.С. Стрекаловского [82]-[84], [114,121], [128]-[130].

Алгоритмическое и программное обеспечение методов оптимального управления вместе с численным решением тестовых и модельных задач рассмотрены в работах В.А. Батурина, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, Ю.Г. Евтушенко, А.И. Тятюшкина, А.Ю. Горнова, Р.П. Федоренко и других исследователей [14, 36, 37, 41, 43], [98]-[100].

Принцип максимума Понтрягина [68, 69] позволяет редуцировать исходную задачу оптимального управления к двухточечной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (краевая задача принципа максимума). Вопросы существования и единственности решения таких систем рассматриваются в [101].

Теория решения дифференциальных уравнений с запаздыванием развивалась в работах [64, 105].

Для решения краевой задачи принципа максимума разработаны стандартные численные методы [15, 38, 55, 58, 66. 72, 111, 115, 120, 122].

Вопросы программной реализации основных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений обстоятельно рассмотрены в работах [9, 12, 13, 102].

В работах [65, 109, 124] исследованы возможности применения методов возмущений для численного решения задач математической физики. Методы возмущений применительно к решению задач оптимального управления исследованы в работе А.С. Булдаева [20].

Основой методов возмущений является введение малого параметра (параметра возмущения) в исследуемую задачу таким образом, чтобы при некотором (нулевом) значении параметра задача (невозмущенная задача) имела достаточно простое решение Для решения возмущенной задачи при фиксированном ненулевом значении параметра возмущения конструируются итерационные процессы, на каждой итерации которых решается задача, по трудоемкости эквивалентная невозмущенной задаче. При этом в качестве начального приближения итерационного процесса обычно выбирается решение возмущенной задачи, полученное при меньшем значении параметра возмущения.

Достоинством методов возмущений является вычислительная устойчивость расчета, обусловленная поочередпым численным интегрированием фазовой ("слева-направо") и сопряженной ("справа - налево") задач Коши на каждой итерации методов.

Отметим, что основные вычислительные затраты при использовании стандартных численных методов оптимального управления дает организация процедуры варьирования управлений для обеспечения улучшения целевого функционала. При этом процедура игольчатого варьирования управлений может приводить к получению труднореализуемого па практике управления (например, наличие участков частого переключения управления с минимального на максимальное значение). Следует также отметить, что сходимость указанных методов по невязке принципа максимума делает невозможным улучшение управлений, удовлетворяющих принципу максимума.

В работах В.А. Срочко и его учеников [74]-[80] разработаны методы улучшения управлений, основанные на использовании фазовых вариаций функционалов задачи с использованием специальной техники варьирования. Конструкции соответствующих методов обеспечивают более высокий порядок аппроксимации, что определяет повышенную эффективность разрабатываемых методов. В классе линейно-квадратичных задач оптимального управления эти методы обладают свойством нелокальности улучшения, что является существенным фактором в плане снижения вычислительных затрат на каждое улучшение.

Прикладные задачи, возникающие при моделировании естественнонаучных и социальных процессов, часто приводят к постановкам задач оптимального управления с дополнительными ограничениями на фазовую траекторию. Здесь помимо прямых поточечных ограничений на управление присутствуют ограничения на фазовую траекторию, в том числе терминального типа. В связи этим множество допустимых управлений в данном классе задач имеет значительно более сложную структуру, чем в задаче оптимального управления со свободным правым концом. Здесь недостаточно улучшить целевой функционал: следует также обеспечить допустимость соответствующего управления.

Наиболее распространенными подходами к решению данного класса задач являются методы штрафов ([1, 14, 24, 27, 35], [98]-[100] и др.) по г функциональным ограничениям и методы модифицированных функционалов Лагранжа [16, 34, 98; 99], сводящие исходную задачу к последовательности задач оптимального управления со свободным правым концом. При этом трудоемкость методов определяется требуемой точностью удовлетворения функциональных ограничений.

Теоретические основы численных методов решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовую траекторию разрабатывались в работах [4, 7, 8], [47]-[50], [74]-[76], [107].

В последние годы в работах В.А. Срочко [74], [80] и А.С. Булдаева [18]

20] разработаны методы нелокального улучшения управлений в классе линейных и полиномиальных по состоянию задач оптимального управления со свободным правым концом. Эти методы не используют операцию слабого илп игольчатого варьирования управлений, что является существенным фактором снижения трудоемкости. Представляется актуальным распространение данного подхода на класс линейных и полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с функциональными ограничениями с целью осуществления нелокального улучшения на множестве допустимых управлений с сохранением всех функциональных ограничений.

В диссертации впервые разработаны методы нелокального улучшения в классе полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с функциональными ограничениями, в том числе с запаздыванием, с сохранением всех функциональных ограничений на каждой итерации. Получены новые необходимые условия оптимальности, дополняющие и усиливающие принцип максимума в рассматриваемом классе задач. Проанализированы условия разрешимости возникающих краевых задач и построены алгоритмы возмущений для реализации условий нелокального улучшения. Сформулированы условия и доказаны соответствующие теоремы о сходимости методов к решению возмущенных задач. Созданы алгоритмы и программы, проведен сравнительный анализ эффективности разработанных и стандартных численных методов решения задач оптимального управления на ряде тестовых и модельных задач.

Целью диссертационного исследования является разработка процедур нелокального улучшения для определенных классов полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями.

Основные задачи диссертационного исследования:

1. Разработка и обоснование методов нелокального улучшения в полиномиальных по состоянию задачах оптимального управления с частично закрепленным правым концом на основе краевых задач;

2. Разработка и обоснование методов возмущений для решения вспомогательных краевых задач и реализации условий улучшения в созданных процедурах нелокального улучшения;

3. Сравнительный анализ эффективности разработанных pi известных методов решения рассматриваемых классов задач.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 133 наименования.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Трунин, Дмитрий Олегович

Все основные результаты, включенные в диссертацию, являются новыми и получены лично автором.

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные результаты вносят определенный вклад в теорию и могут быть использованы для создания автоматизированных систем эффективного решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями. Предлагаемые подходы открывают новые возможности построения эффективных методов численного решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовую траекторию.

Отдельные результаты работы используются при проведения лекций и семинаров для студентов специальности "Прикладная математика и информатика" Бурятского государственного университета и Восточно-Сибирского государственного технологического университета.

Некоторые результаты являются частью исследований в рамках грантов РФФИ (проекты 05-01-00659, 07-01-90101, 08-01-00945).

Заключение

В работе получены следующие основные результаты.

1. Показана принципиальная возможность осуществления нелокального улучшения с выполнением всех терминальных ограничений с помощью решения специальной краевой задачи. Эта краевая задача не содержит явно множителей Лагранжа и существенно проще, чем краевая задача принципа максимума.

2. На основе предлагаемых процедур нелокального улучшения получены усиленные по сравнению с принципом максимума необходимые условия оптимальности.

3. Разработаны методы возмущений для решения вспомогательных краевых задач в процедурах нелокального улучшения.

4. Созданы алгоритмы и программы для решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями. Проведен сравнительный анализ эффективности разработанных и стандартных численных методов на ряде модельных задач.

Научная новизна.

Для линейных и полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями разработаны новые процедуры нелокального улучшения с сохранением всех терминальных ограничений. Получены новые необходимые условия оптимальности, дополняющие и усиливающие принцип максимума в рассматриваемых задачах. Построены новые методы возмущений для решения рассматриваемых классов задач. Проведены численные эксперименты с помощью созданных алгоритмов и программ, демонстрирующие эффективность разработанных процедур

Личный вклад автора.

Разработаны процедуры нелокального улучшения допустимых управлений в классе полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями, построены методы возмущений для реализации условий нелокального улучшения и решения вспомогательных краевых задач, проведены численные эксперименты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трунин, Дмитрий Олегович, 2009 год

1. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Измайлов А.Ф. Точные штрафы для задач оптимизации с 2-регулярными ограничениями-равенствами //Ж. вычисл. матем. и матем. физ,- 2008 - Т. 48 - № 3 - С. 365-372.

2. Александров В.М. Итерационный метод вычисления в реальном времени оптимального но быстродействию управления //Сибирский журнал вычислительной математики.- 2007 Т. 10.- №1.- С. 1-28.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление М.: Наука, 1979 - 432 с.

4. Антипин А.С., Васильев Ф.П. Методы регуляризации для решения неустойчивых задач равновесного программирования со связанными ограничениями //Ж. вычисл. матем. и матем. физ 2005.- Т. 45 - № 1.- С. 27-40.

5. Антоник В.Г., Срочко В.А. Вопросы сравнительной эффективности методов градиентного типа в задачах оптимального управления Серия: Оптимизация и управление.- Вып. 9. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2003. - 40 с.

6. Аргучинцев А.В.,"Васильев О.В. Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами // Дифференц. уравнения.- 1996.- Т. 32 №6.- С. 797-803.

7. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Нормальные и вырожденные задачи.- М.: Факториал, 1997 256 с.

8. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями //Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернетика.-1984.- № 4 С. 60-68.

9. Арушанян О.Б., Залеткин С.В. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране М.: Изд-во МГУ, 1990.336 с.

10. Ащепков JI.T. Оптимальное управление разрывными системами.- Новосибирск: Наука, 1987 225 с.

11. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Вычисление оптимальных программы и управления в линейной задаче с фазовым ограничением //Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 2005.- Т. 45.- №12.- С. 2112-2150.

12. Бартеньев О.В. Современный Фортран М.: Диалог-МИФИ, 2000448 с.

13. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. Ч. 3.- М.: Диалог-МИФИ, 2001- 368 с.

14. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения Новосибирск: Наука, 1997 - 175 с.

15. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М.: Наука, 1987.- 600 с.

16. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа.- М.: Радио и связь, 1987 400 с.

17. Болдырев В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления //Дифференциальные уравнения и процессы управления 2004 - М - С. 28-123.

18. Булдаев А.С. Процедуры нелокального улучшения в полиномиальных по состоянию системах управления- Сер. "Оптимизация и управление".- Вып. 7 Иркутск: Изд-во ИГУ, 2002. - 46 с.

19. Булдаев А.С. Проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управляемых процессов // Изв. вузов. Математика.- 2004-№ 1,- С. 18-24.

20. Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем.- Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2008.- 260 с.

21. Булдаев А.С., Трунин Д.О. Методы возмущений в квадратичных задачах оптимального управления // Автоматика и телемеханика 2008.Т. 69.- № 3.- С. 135-145.

22. Булдаев А.С., Трунин Д.О. Метод нелокального улучшения в полиномиальных задачах оптимального управления с терминальиыми ограничениями //Управление большими системами 2008.- Вып. 22.-С. 51-69.

23. Булдаев А.С., Трунин Д.О. Нелокальное улучшение управлений в линейных по состоянию системах с терминальными ограничениями // Автоматика и телемеханика. 2009. Т. 70. №5. С. 7-12.

24. Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации.- Иркутск: Изд-во ИГУ, 1994.- 344 с.

25. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения 4.2. Оптимальное управление. Новосибирск: Наука, 1990.- 151 с.

26. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1981.- Т. 21.- №6.- С. 1376-1384.

27. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач М.: Наука, 1980 - 418 с.

28. Вержбицкий В.М. Основы численных методов.- М.: Высшая школа, 2002.- 840 с.

29. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование М.: Наука, 1976.- 286 с.

30. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов М.: Наука, 1971.- 508 с.

31. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем.- Минск: Белорус.гос.ун-т, 1973 248 с.

32. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации.- Минск: Белорус.гос.ун-т, 1981.- 350 с.

33. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления М.: Наука, 1973.- 256 с.

34. Голынтейн Б.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа- М.: Наука, 1989 400 с.

35. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления.- М.:Наука, Физматлит, 1997 288 с.

36. Гурман В.И., Батурин В.А. Математические модели управления природными ресурсами.- Иркутск: Изд-во ИГУ, 1987.- 112 с.

37. Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления Иркутск.: Изд-во ИГУ, 1983 - 180 с.

38. Джумамбаев Д.С., Темешева С.М. Метод параметризации решения нелинейных двухточечных краевых задач // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ,- 2007.- Т.47 №1.- С.39-63.

39. Дикусар В.В., Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе максимума М.: Наука, 1989.- 144 с.

40. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных процессов.- Иркутск: Изд-во ИГЭА, 1995.- 186 с.

41. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями.- М.: Физматлит, 2000.- 255 с.

42. Дыхта В.А, Антипина Н.В., Самсонюк О.Н. Оптимальное управление в экономике: простейшие модели. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1998 - 115 с.

43. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации.- М.: Наука, 1982.- 432 с.

44. Егоров А.И. Основы теории управления.- М.:Физматлит, 2004.- 504 с.

45. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями.- М.:Физматлит, 2005.- 384 с.

46. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления.- Киев: Наукова думка, 1978.163 с.

47. Карамзин Д.Ю. К теории принципа максимума в задачах с фазовыми ограничениями //Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика 2002 - № 4.- С. 23-31.

48. Карамзин Д.Ю. Принцип максимума и необходимые условия второго порядка в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями //Теор. и прикл. задачи нелинейного анализа М.:ВЦ РАН, 2005.-С. 76-112.

49. Карамзин Д.Ю. Принцип максимума в задаче управления при ограниченных фазовых координатах //Автоматика и телемеханика.- 2007. -№ 2 С. 26-38.

50. Карамзин Д.Ю. Необходимые условия экстремума в.задаче управления с фазовыми ограничениями //Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-2007,- Т. 47.- № 7,- С. 1123-1150.

51. Карманов В.Г. Математическое программирование.-М.: Наука, 1986285 с.

52. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1968.- 144 с.

53. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат.лит, 1989.- 624 с.

54. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике М.: Мир. 1972.- 274 с.

55. Красников С.Д., Кузнецов Е.Б. Параметризация численного решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ 2005 - Т. 45 - № 12 - С. 2148-2158.

56. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления.- М.: Наука, 1973.- 448 с.

57. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ 1962,- Т. 2 - №6 - С. 1132-1138.

58. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-М.: Мир, 1972 587 с.

59. Любушин А.А., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика 1983,- №2,- С. 147-159.

60. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и алгоритмы.- М.: Наука, 1991.- 304 с.

61. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В. Оптимальное управление в линейных системах.- М.:Наука, 1993.- 268 с.

62. Михайлов А.П. Моделирование системы " власть-общество".-М.:Физматлит, 2006.- 144 с.

63. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем М.: Наука, 1975.- 488 с.

64. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом М.: Наука, 1972.

65. Найфэ А.Х. Методы возмущений М.:Мир, 1976.- 455 с.

66. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1986 288 с.

67. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход.- М.: Мир, 1974.- 376 с.

68. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Наука, 1976392 с.

69. Понтрягин JI.С. Принцип максимума в оптимальном управлении.- М.: Едиториал УРСС, 2004,- 64 с.

70. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов.-М.: Наука, 1973.- 255 с. .

71. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах.- М.: Наука, 1975 319 с.

72. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 1989432 с.

73. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ.- М.: Наука, 1978.- 352 с.

74. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления.- М.: Физматлит, 2000.- 160 с.

75. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления.- Иркутск: Изд-во ИГУ, 1989.- 160 с.

76. Срочко В.А. Применение принципа максимума для численного решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями // Кибернетика.- 1986.- №1 С. 73-77.

77. Срочко В.А. Модернизация методов градиентного типа в задачах оптимального управления // Изв. вузов. Математика.- 2002.- №12 С. 66-78.

78. Срочко В.А., Пудалова Е.И. Методы нелокального улучшения допустимых управлений в линейных задачах с запаздыванием // Изв. вузов. Математика 2000 - №12 - С. 78-88.

79. Срочко В.А., Ушакова С.Н. Метод полной квадратичной аппроксимации в задачах оптимального управления // Изв. вузов. Математика2004.- №1- С. 87-93.

80. Срочко В.А., Ушакова С.Н. Метод билинеаризации для решения задач оптимизации программных управлений //Изв. вузов. Математика.2005,- №12.- С. 63-69.

81. Срочко В.А. Некоторые вопросы численного интегрирования разрывных систем // Труды Второй Восточно-Сибирской зональной межау-зовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе.- ИркутскЖ Изд-во ИГПУ, 2003 С.206-208.

82. Стрекаловский А.С. О поиске глобального максимума выпуклого функционала на допустимом множестве //Ж. вычисл. матем. и матем. физ 1993.- Т. 33,- №3.- С.9-13.

83. Стрекаловский А.С. Элементы невыпуклой оптимизации Новосибирск: Наука, 2003.- 356 с.

84. Стрекаловский А.С. Задачи оптимального управления с терминальными функционалами, представимыми в виде разности двух выпуклых функций //Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 2007.- Т. 47.- №11.-С.1865-1879.

85. Трунин Д.О. Нелокальное улучшение квадратичных по состоянию управляемых процессов с частично закрепленным правым концом. -Вестник Бурятского государственного университета.- Сер. 13 . Вып. 2. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2005.- С. 166-169.

86. Трунин Д.О. Нелокальное улучшение квадратичных по состоянию управляемых процессов с запаздыванием при функциональных ограничениях.- Вестник Бурятского государственного университета-Сер. 13 .- Вып. 3.- Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006.- С. 162-166.

87. Трунин Д.О. Метод фазовой линеаризации в задачах оптимального управления с функциональными ограничениями// Труды 13-й Международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения".- Иркутск: Изд-во ИСЭМ СО РАН, 2005.- Т. 2,- С. 207213.

88. Трунин Д.О. Метод фазовой линеаризации в задачах оптимального управления с терминальными ограничениями Вестник БГУ- Сер.6 .- Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2007,- С. 45-48.

89. Трунин Д.О. Нелокальное улучшение квадратичных по состоянию управляемых процессов при терминальных ограничениях // Материалы конференции "Ляпуновские чтения".- Иркутск: Изд-во ИДСТУ СО РАН, 2007.- С. 35.

90. Трунин Д.О. Нелокальное улучшение квадратичных по состоянию управляемых процессов с частично закрепленным правым концом.-Вестник Бурятского государственного университета Вып. 9.- Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2008.-С. 56-60.

91. Трунин Д.О. Проекционная процедура нелокального улучшения в полиномиальных по состоянию задачах оптимального управления с терминальными ограничениями // Вестник Бурятского государственного университета. Вып. 9. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2009. С. 52-57.

92. Тятюшкин А.И. Численныё методы и программные средства оптимизации управляемых систем.- Новосибирск: Наука, 1992 192 с.

93. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем Новосибирск: Наука, 2006.- 343 с.

94. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления М.: Наука, 1978 - 486 с.

95. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью М.: Наука, 1985 - 222 с.

96. Форсайт Дж., Мальколм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений М.: Мир, 1980.- 280 с.

97. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем.- М.: Наука, 1988.- 320 с.

98. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы.- М.:Наука, 1973.- 283 с.

99. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- М.: Наука, 1971.- 296 с.

100. Alvarez L. A Glass of Solvable Impulse Control Problems //Applied mathematics and optimization. 2004. Vol. 49. N 3. P. 265-295.

101. Antipin A.S. A gradient-type method for the equilibrium programming problem with coupled constraints //Yugo-slav J. Operat. Res. 2000. Vol. 10. P. 163-184.

102. Behncke H. The control of deterministic epidemics //Math. Appl. Sci. 1993. Vol. 3. P. 298-311.

103. Bonnans J.F., Shapiro A. Perturbation analysis of optimization problems. New York:Springer, 2000.

104. Bonnard В., Faubourg L., Launay G., Trelat E. Optimal Control with State Constraints and the Space Shuttle Re-entry Problem //Journal of dynamical and control systems. 2003. Vol. 9. N 2. P. 155-199.

105. Borevich E.Z. . Chistyakov V. M. Nonlinear Boundary Value Problems Describing Mobile Carrier Transport in Semiconductor Devices //Applications of mathematics. 2001. Vol. 46. N 5. P. 383-400.

106. Buldaev A.S., Trunin D.O. Method of non-local control improvement in linear optimal control problems with terminal constraints //Journal of Mongolian mathematical society. 2006. Vol. 10. P. 47-53.

107. Chipot M., Muniz M. A Free Boundary Problem Modelling the Electrolysis of Aluminium //Applied mathematics and optimization. 2002. Vol. 47. N 3. P. 231-252.

108. Egozcue J., Meziat R., Pedregal P. From a Nonlinear, Nonconvex Variational Problem to a Linear, Convex Formulation //Applied mathematics and optimization. 2002. Vol. 47. N 1. P. 27-44.

109. Eloe P.W. Maximum principles for a family of nonlocal boundary value problems// Advances in Difference Equations. 2004. N. 3. P. 201-210.

110. Haltar D., Mend-Amar M. The optimization model of exploitation of herd //Journal of Mongolian mathematical society. 2001. Vol. 5. P. 121-130.

111. Haltar D., Ankhbayar G., Demberel S. Optimal harvesting policis in models of animal population //Journal of Mongolian mathematical society. 2004. Vol. 8. P. 52-62.

112. Hartl R.F., Sethi S.P., Vickson R.G. A survey of the maximum principle for optimal control problems with state constraints //SIAM Rev. 1995. Vol. 37. P. 181-218.

113. Hlavacek I., Krizek M, On Exact Results in the Finite Element Method //Applications of mathematics. 2001. Vol. 46. N 6. P.467-478.

114. Jankowski T. Boundary Value Problems for Systems of Functional Differential Equations //Applications of mathematics. 2002. Vol. 47. N 5. P.427-458

115. Jongen H„ Stein O, Nonconvex Optimization: Gradient Flows and Deformation //Journal of dynamical and control systems 2001. Vol. 7. N 3. P.425-446.

116. Kubacek L. Linear Versus Quadratic Estimators in Linearized Models //Applications of mathematics. 2004. Vol. 49. N 2. P. 81-95.

117. Roberts S.M., Shipman J.S. Two-point boundary value problems: shooting methods. New York:Elsevier, 1972.

118. Sari T. Zerizer T. Perturbations for linear difference equations //Journal ofMathematical Analysis and Applications. 2005. N. 1, P. 43-52.

119. Schwartz A., Polak E, Chen Y. RIOTS95: A Matlab toolbox for solving optimal control problems: Manual.

120. Sethi S.P., Thomson G.L. Optimal control theory. Applications to management science. USA, Boston, 1981.- 370 p.

121. Shu C.-W. Total-variation-diminishing time discretizations//SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1988. Vol. 9. N 6. P. 1073-1084.

122. Strekalovsky A.S., Tsevendorj I. Testing the R-strategy for a reverse convex problem //J. Global Optimizat. 1998. Vol. 13. N 1. P. 61-74.

123. Strekalovsky A.S., Vasiliev I.L. On global search for non-convex optimal control problems //Developments Global Optimization Nonconvex Optimizat. and Its Applic. Dordrecht:Kluwer Acad. Publ., 1997. P. 121133.

124. Strekalovsky A.S. On global maximum of a convex terminal functional in optimal control problems //J. Global Optimizati. 1995. N 7. P. 75-91.

125. Trunin D.O., Buldaev A.S. Non-local improvement method in polyno-mial optimal control problems with terminal constraints // Optimization. 2009. Vol. 58. No. 7. P. 771-779.

126. Vasiliev O.V. Optimization methods— World Federation Publishers Company, Atlanta, USA, 1996 276 p.

127. Zerrik E., Ghafrani F. Regional Gradient-Constrained Control Problem. Approaches and Simulations// Journal of dynamical and control systems. 2003. Vol. 9. N 4. P. 585-599.