Нелинейные модели ценообразования опционов на неликвидном рынке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Дышаев Михаил Михайлович

• Дышаев Михаил Михайлович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Дышаев Михаил Михайлович

Введение

Актуальность темы исследования

Степень разработанности темы исследования

Цели и задачи

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Положения выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

Соответствие паспорту специальности

1 Некоторые модели неликвидных рынков

1.1 Терминология теории финансовых рынков

1.2 Получение модели Шёнбухера — Уилмотта

1.3 Вывод модели Сиркара — Папаниколау

2 Модель с переменной волатильностью

2.1 Преобразования эквивалентности общей модели

с переменной волатильностью

2.2 Групповая классификация общей модели

с нелогарифмической функцией реферального спроса

2.3 Инвариантные решения модели

с нелогарифмической функцией реферального спроса

2.3.1 Подмодель во втором случае

2.3.2 Инвариантные решения и подмодели в третьем случае

2.3.3 Инвариантные решения и подмодели в четвёртом случае

2.3.4 Инвариантные решения и подмодели в пятом случае

2.4 Группы преобразований эквивалентности общей модели

с логарифмической функцией реферального спроса

2.5 Групповая классификация общей модели

с логарифмической функцией реферального спроса

2.6 Инвариантные решения модели

с логарифмической функцией реферального спроса

2.6.1 Первый случай по классификации

2.6.2 Второй случай по классификации

3 Групповой анализ модели Сиркара — Папаниколау

3.1 Преобразования эквивалентности уравнения

Сиркара — Папаниколау

3.2 Групповая классификация уравнения

3.3 Инвариантные подмодели и их решения

3.3.1 Общий случай

3.3.2 Случай логарифмической функции реферального спроса

3.3.3 Случай степенной функции реферального спроса

3.4 Решения уравнения Сиркара — Папаниколау

3.5 Инвариантные подмодели и решения для маржируемых опционов на фьючерсы

3.5.1 Произвольная функция реферального спроса

3.5.2 Логарифмическая функция реферального спроса

3.5.3 Степенная функция реферального спроса

3.6 Решения уравнения для маржируемых опционов на фьючерсы

4 Численные методы исследования и комплекс программ

4.1 Выбор шаблона разностной схемы

4.2 Алгоритм определения величины шага

4.3 Условия на границах

4.4 Метод прогонки

4.5 Вычисление коэффициентов чувствительности («греков»)

4.6 Описание комплекса программ и алгоритма вычислений

4.7 Численный эксперимент

4.7.1 Сравнение показателя Delta

4.8 Оценка погрешности численного эксперимента

4.9 Метод сопоставления модельных и фактических данных

4.10 Результаты сопоставления фактических данных и результатов численного эксперимента

Заключение

Список литературы

Список иллюстративного материала

Перечень рисунков

Перечень таблиц

Приложения

Приложение А Таблицы с найденными инвариантными подмоделями и

решениями

Приложение В Полученные в работе графики коэффициентов чувствительности цены опциона к базовым рыночным показателям («греки»,

«Greeks», «sensitivities»)

Gamma

GammaP

Theta

Rho

Vega (Zeta)

VegaP

Charm

Vanna (Cross, DdeltaDvol, DvegaDspot)

Vomma (Volga, DvegaDvol)

VommaP (VolgaP, DvegaPDvol)

DvegaDtime (Veta)

DvannaDvol

Ultima (DvommaDvol)

Colour (DgammaDtime, gamma bleed

Speed (DgammaDspot)

SpeedP

Zomma (DgammaDvol)

ZommaP

Приложение С Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Решение нелинейных уравнений типа Блэка — Шоулза для

неликвидного рынка»

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные модели ценообразования опционов на неликвидном рынке»

Актуальность темы исследования

Классические теории ценообразования опционов базируются на гипотезе совершенного рынка. В рамках этой гипотезы участники рынка используют только сложившиеся на рынке цены и не могут своими операциями оказать влияния на цены — ни временно, ни постоянно.

Результирующие модели ценообразования опционов, несмотря на очевидное противоречие рыночной практике предположений, сделанных для их построения, довольно широко используются. Они дают полезные результаты тогда, когда базовый актив ликвиден и номинал опциона не слишком большой для рынка. Однако в случае неликвидного рынка или в случае необходимости операций с опционами больших номиналов уже нельзя исключать из рассмотрения влияние таких операций на рынок1.

Интерес к нелинейным моделям ценообразования опционов на неликвидных рынках возник в последнее время как благодаря развитию современных вычислительных технологий, которые позволяют полнее исследовать такие модели, так и в ответ на постоянное расширение рынка производных ценных бумаг. Помимо географического расширения (т. е. увеличения количества стран и бирж в мире, на которых котируются производные ценные бумаги) постоянно происходит и качественное расширение — увеличение различных видов таких ценных бумаг. И, конечно же, во всем мире происходит постоянный рост объемов торговли дер и ватинами.

При этом, если в Западной Европе и США современная история торговли опционами и фьючерсами насчитывает около 200 лет, в России история операций с производными ценными бумагами имеет лишь 20-летнюю историю. Поэтому в настоящее время российский финансовый рынок находится в процессе становления

1Под неликвидным рынком, или рынком с недостаточной ликвидностью, подразумевается рынок базового актива для опциона, если не оговорено иное.

и большинство торгуемых на «Московской Бирже» инструментов нельзя назвать ликвидными.

Однако, несмотря на не так давно появившийся финансовый рынок Российской Федерации в его нынешнем виде, финансовая математика, во многом основанная на стохастическом исчислении, активно развивается российскими учеными. Приведем лишь несколько работ [1,6,13,17], демонстрирующих широту охвата проблематики изучаемых ими вопросов.

Как отмечает ПБернстайн [5], «... до того, как Фишер Блэк, Майрон Шоулз и Роберт, Мертон занялись исследованием проблемы оценки и основных свойств производных ценных бумаг в начале 1970-х гг., теории ценообразования опционов не было — существовали просто эмпирические правила и предания».

Подобным образом, на взгляд автора, обстоят дела и в ценообразовании опционов на неликвидном рынке, поскольку учет отличий между моделью Блэка — Шоулза и реальной ситуацией на неликвидном рынке осуществляется каждым трейдером самостоятельно, исходя из собственного торгового опыта.

По этим причинам исследование нелинейных моделей ценообразования опционов именно на неликвидном рынке весьма актуально.

Степень разработанности темы исследования

Вероятно, одной из первых работ по ценообразованию опционов была диссертация Л. Башелье [27] в 1900 году. Предполагая, что цены базового актива (акции) движутся по законам броуновского движения, Л. Башелье рассчитал цены опционов на эти акции и сравнил их с текущими ценами.

В модели, предложенной Л. Башелье, цена базового актива (акции) S = подчиняется закону линейного броуновского движения с дрейфом:

St = So + № + aWt, г < Т,

где ^ — снос, а — среднеквадратичное отклонение цен акции, = {Ш^ькт ~ неровский процесс, заданный на некотором вероятностном пространстве (О., Г, Р),

такой, что W0 = 0 EWt = 0 и EWt2 = t.

Приведенная ниже «формула Башелье» [23, с. 801-802] определяет справедливую стоимость (премию) колл-опциона европейского типа с платежной функцией

Jt = (St — K)+ (здесь K — цена исполнения опциона, а д+ = max(g, 0)): Сг = («, — K)ф (^) + ^ () ■

где

1 Г

= e 2 ' ф(х) = V(y)dy-

VJ—ж

Существенным недостатком модели Л. Башелье является то, что цены базового актива могут принимать отрицательные значения, что, конечно же, противоречит практике. В 1965 г. П. Самуэльсон [94] предложил для описания динамики цены акций использовать так называемое геометрическое (экономическое) броуновское движение

St = Sce(^—^ >+aWt.

В этом случае цены уже не могли принимать отрицательные значения и закону линейного броуновского движения вместо стоимости базового актива St подчиняется логарифм отношения цен, т. е.

ln St = (V — у) t + aWt, t < T.

Геометрическое броуновское движение послужило основой для модели Бл-эка _ Щоулза — Мертона (1973) [32,33,86] и широко известной формулы Блэка — Шоулза. Для получения формулы стоимости опциона (премии) авторами, F. Black и М. Scholes [33], были сделаны следующие предположения:

1. Краткосрочные процентные ставки известны и постоянны.

2. Цена базового актива (акций) соответствует процессу случайного блуждания в непрерывном времени с дисперсией, пропорциональной квадрату цены базового актива. Таким образом, распределение возможных цен акции в конце любого ограниченного интервала является логнормальным.

3. Дивиденды или другие выплаты по акциям отсутствуют.

4. Рассматривается опцион европейского типа.

5. Отсутствуют издержки на операции с акциями или опционами.

6. Есть возможность взять в кредит любую сумму для покупки любой дробной части акции.

7. Отсутствует плата за заем ценных бумаг для продажи («короткая» продажа). Получив уравнение в виде

С = гС — г^Сз - 1 а2S2Css,

авторы сделали замену переменных [33, формула (9)], свели данное уравнение к уравнению теплопроводности и = ихх и в итоге получили формулу для справедливой стоимости колл-опциона европейского типа с платежной функцией /т = (^т — К)+ в виде

Ст = SoФ(y+) — Ке—гТ Ф(у-),

где

1п К + Т (г ± ^

У± =

о^/Т '

С момента создания модели Блэка — Шоулза многократно предпринимались и предпринимаются до сих пор) попытки внести изменения в модель так, чтобы сделать её предпосылки более адекватными рыночной действительности.

Модель Блэка — Шоулза предполагает отсутствие транзакционных издержек (таких, как комиссионное вознаграждение брокеров, плата за перевод средств и т. п.). Укажем лишь несколько работ [29,53,82], в которых такие издержки уже учитывались при определении цены опциона.

В работе Н. Е. Ье1апс1 (1985) [82] вводится стоимость транзакции к как доля объема транзакции и получена следующая формула для премии колл-опциона с

учетом транзакционных издержек (здесь Аt — малый, но не инфинитезимальный интервал времени):

C = SoФ (y+) — Ke—rT Ф (y+ — а VT) ,

G. Barles и H. M. Soner (1998) [29] использовали асимптотический анализ для получения нелинейного уравнения Блэка — Шоулза для модели, учитывающей транзакционные издержки и фактор неприятия риска хеджеров:

1 a"S"Css I 1 + Y "'а"

Ct + rSCs + ^°2S2Css (l + Y (er(T—iVS2Css)) = rC,

где а = — параметр, учитывающий транзакционные издержки д, коли-

чество опционов для продажи N и фактор неприятия риска 7, а У — функция корректировки волатильности [29, Теорема 3.1]. При этом У удовлетворяет дифференциальному уравнению:

( у (/) + 1

7[у(/)] = /р/ 7 = 0 У(0) = °'

Авторы показали, что функция / ^ /(1 + У(/)) не убывает в К1. Это означает, что полученное нелинейное уравнение Блэка — Шоулза является вырожденным параболическим уравнением и к нему применима теория вязкостных решений.

Используя мартингальный подход, Л. Суйашс и I. Karatzas (1996) [53] получили формулу для расчета минимального первоначального капитала, необходимого для хеджирования произвольного условного требования (например, такого, как колл-опцион) в модели с непрерывным временем с учетом пропорциональных транзакционных издержек.

В последнее время появился подход, учитывающий транзакционные издержки и основанный на так называемой «теории оптимального исполнения», описанной в работе И. А1п^геп и N. СЬшй (2001) [24]. Ставится задача оптимального

и

выполнения перехода инвестиционного портфеля из одного состояния (одного набора ценных бумаг) в другое за определенное время с учетом транзакционных издержек и других затрат.

В работе О. Gueant и J. Ри (2015) [69], посвящённой анализу ценообразования опционов с учетом транзакционных издержек и влияния операций на рынок, с помощью методологии «цены безразличия» получено нелинейное уравнение следующего вида:

-Ct + rC + (м - rS)q - м<Cs - 1 a2Css - 1 Ya2er(T-t)(Cs - q)2 + VH(C\) = 0,

где последнее слагаемое как раз моделирует затраты на исполнение и является классическим в литературе по оптимальному исполнению. Здесь y — фактор

Vt q

актива в портфеле, м ~ прогноз тренда, ожидаемая доходность базового актива, H(p) = sup|p|<pm(pp - L(p)), p — доля операций в общем объеме, L(p) — моделирующая затраты функция (четная, возрастающая на R+, строго выпуклая и коэрцитивная, т. е. Lp^ =

Также модель Блэка — Шоулза не учитывает влияние, которое трейдеры могут оказывать своими сделками на текущие цены. Сформировалось два направления, изучающих эффекты влияния сделок на цены.

Первый подход учитывает влияние на цену торгуемого актива (в том числе и опциона) операций большого объема или недостаточной ликвидности и называется подходом «кривой предложения» (the supply curve approach). Данный подход был разработан и получил дальнейшее развитие в работах [28,45,46].

P. Bank и D. Baum (2004) [28] ввели общую модель в непрерывном времени для неликвидного финансового рынка, где сделки одного крупного инвестора могут привести к изменению рыночных цен. Модель задается в терминах семи-миртингилов. зависящих от параметров, а ее математический анализ основан на теории нелинейного интегрирования таких семимартингальных семейств.

Анализ влияния объема сделки или ликвидности на цену опциона в зависимости от способов расчетов по окончании действия опциона проводится в исследовании U. Çetin, R. Jarrow и P. Protter (2004) [45, §4].

В работе U. Çetin и L. С. Rogers (2007) [46, §6] исследовано влияние ликвидности на оптимальную стратегию хеджирования для европейского пут-опциона и показано, что даже небольшие затраты на ликвидность могут иметь большое значение для хеджирования.

Второй подход исследует влияние крупных объёмов или отсутствия ликвидности не только на цены опционов, но и на цены базовых активов и включает изучение эффектов обратной связи, возникающих при этом. Эта ситуация наблюдается на практике при дельта-хеджировании (динамическом хеджировании) опционных портфелей, когда изменение цены опциона ведёт к изменению цены базового актива, которое, в свою очередь, оказывает влияние на цену опциона.

С 1973 года торговые стратегии такого типа пользуются огромной популярностью не только в теории, но и в практике финансов. Продавец опциона может использовать динамические торговые стратегии для хеджирования своей открытой позиции, арбитражёр может использовать ошибку в ценообразовании при торговле опционами, продавая опцион по завышенной цене и реплицируя (воспроизводя) его посредством динамической торговой стратегии. Инвестор может создать синтетический опцион с функцией выплат (финальным условием), которая подходит ему лучше всего.

Одна из первых работ о влиянии динамического хеджирования на цены базового актива, статья S. Grossman (1998) [68] была посвящена анализу разницы в оказываемом на рынок влиянии реальных сделок с опционами и сделок по их хеджированию. Автор показал, что успешность репликации опционов во многом зависит от количества трейдеров, использующих ту же стратегию динамического хеджирования. И если их много, то их влияние на цены базового актива ведет к росту стоимости хеджа.

Несколько работ посвящено исследованию изменения волатильности базового актива под влиянием сделок по хеджированию портфеля с помощью опционов.

Так, используя однопериодную модель приращения стоимости портфеля, М. Brennan и А. Schwartz (1989) [42] получили уравнение для цены опциона pj [42, формула (9)] (сохранены авторские обозначения):

pj(y(t) t) = E[U'(W — g(W)) ■ X,|y(t)] p (y(),) E[U'(W — g(W ))|y(t)] '

где W — стоимость портфеля, g(W) — выпуклая функция конечной выплаты при хеджировании, X, — функция конечной выплаты j-ro актива в конце периода, U — функция полезности, y(t) — стоимость портфеля па конец периода.

В работе Е. Platen и М. Schweizer (1998) [91] для исследования изменения волатильности авторы использовали условие рыночного равновесия

D(t,Lt,Ut) = const, t > 0,

Где D — функция спроса, Lt = ln S(t), S — цена базового актива, Ut — любые параметры, которые могут влиять па спрос (т. е. Ut — некий стохастический процесс, который представляет в модели шум). Далее, используя теорему о неявной функции и формулу Ито, авторы получили стохастическое дифференциальное уравнение [91, формула (2.2)] (здесь Dx обозначает д^)'-

dLt = — d^ (Du dUt + Dt dt + 1 |DLL (D^ — 2Dlu ^ + Du^ d(U )t

D

виды, можно получить выражения для стохастических волатильности и сноса, определяемых поведением трейдеров, и следовательно, уравнения для стоимости опциона.

В работе R. А. Jarrow (1994) [79] анализируется эффект обратной связи от спроса «большого трейдера» на ценовой процесс базового актива. В модели присутствуют три актива: денежный счет, акции и производные ценные бумаги (в

том числе опционы). Строя торговую стратегию крупного трейдера в виде трёхмерного стохастического процесса {(щ, вг,ъ) : t € т} количества акций, количества денежных единиц и количества производных ценных бумаг в момент автор на основании стандартной двухпериодной биномиальной модели (с параметрами процесса (и, 4, уо,п)) Цены европейского колл-опциона получил формулу его относительной стоимости [79, формула (38)] (сохранены обозначения автора):

со(и; ао + по7о) = ЛоЛ(и){епМи'и)+П2(и'иЫи'и)]уое2и - К/В2(и)]+

+ Ло((1 - Л)(и)){еп[а2М+П2МЬМ]уоеи+^ - К/В2(и)] + + (1 - Ло)(Л(4)){еп[а2(^'и)+П2(^'и)72(^'и)]уое^+и - К/В2(4)] +

+ (1 - Ло)((1 - Л)(4)){еп[а2(^+П2(^ЬМ]уоем - К/В2(4)]+,

где

gn(®o+noYo) _ en[ai(d)+n1(d)Yi(d)]+d

gn[ai(u)+ni(u)7i(u)]+u _ eV[ai(d)+ni(d)Yi(d)]+d '

В большинстве работ по ценообразованию на неликвидном рынке экономическая модель содержит две различные группы трейдеров. Как правило, это крупный трейдер и большое число малых трейдеров, представляющих собой остальной рынок.

Крупным трейдером на практике может являться какой-либо институциональный инвестор, например, хэдж-фонд или банк. Также крупным трейдером может быть стихийно сложившаяся группа малых трейдеров, которые используют одну и ту же торговую стратегию, и следовательно, одновременно покупают или продают значительные объемы активов.

Е. Peters (1996) [90] ввёл в рассмотрение «умных» трейдеров, которые инвестируют в соответствии с внутренней стоимостью активов, и «шумовых» трейдеров, которые следуют инвестиционной моде. Последние крайне резко реагируют на новости, которые по их мнению могут повлиять на будущие дивиденды по акциям, тем самым позволяя зарабатывать «умным» трейдерам.

H. Föllmer и М. Schweizer (1993) [59] рассматривают так называемых «информированных» трейдеров, которые верят в наличие фундаментального значения актива и в то, что цена актива когда-нибудь со временем примет это значение. Также вводится класс «шумовых трейдеров», чьи потребности возникают из хеджирования. В модели избыточный спрос «информированных» трейдеров зависит от их восприятия фундаментального уровня базового актива, в то время как «шумовые» трейдеры принимают предложенную равновесную цену как соответствующую этому уровню. Авторы создали модель диффузионного равновесия для цены актива, основанной на взаимодействии между этими двумя типами трейдеров. Процесс логарифма цепы базового актива (X& = ln S&) в модели имеет вид:

Здесь присутствуют два источника случайности. Величины ек являются средними значениями индивидуального спроса трейдеров на ликвидность. Поведенческие величины вк агрегируют способы реагирования отдельных трейдеров на предлагаемую равновесную цену, исходя из их представлений о том, какой должна быть адекватная цена. В этом втором источнике случайность может, например, проявляться как колебание пропорции между различными типами агентов. «Информированные» трейдеры вносят отрицательные значения в вк- Если на рынке активны только «информированные» трейдеры, то процесс логарифма цены {Х^} совершает периодические колебания вокруг фундаментального уровня. Но если влияние шумовой, технической торговли становится слишком доминирую-вк

модели с непрерывным временем, авторы получили стохастическое дифференциальное уравнение для логарифма цены базового актива, учитывающее наличие двух видов трейдеров [59, формула (1.5)]:

В модели М. Brennan и A. Schwartz (1989) [42], описанной выше, действует ин-

Xk — Xk-1 = ßk Xk-1 + .

dXt = Xt + rhtdt) + atdWt + mtdt.

вестор, максимизирующий ожидаемую полезность инвестиций. Остальные инвесторы следуют простой стратегии страхования своих портфелей, которая априори известна всем.

Также опираясь на теорию страхования портфелей, R. Frey и А. Stremme (1997) [65] представили модель, включающую в себя два следующих типа трейдеров: «реферальных», эталонных трейдеров, которые в основном инвестируют в активы, ожидая их подъема, и «программных» трейдеров, которые торгуют для страхования своих портфелей опционов, следуя стратегиям динамического хеджирования, вытекающим из модели Блэка — Шоулза. Используя подход к построению модели с переходом от дискретного времени к непрерывному, разработанный Н. Föllmer и М. Schweizer (1993) [59], авторы также построили общую модель равновесия сначала в дискретном, а затем и в непрерывном времени.

Из условия равенства спроса и предложения (market Clearing equation) авторы получили выражение для мгновенной волатильности, учитывающее влияние операций «программных» трейдеров на цены базового актива [65, следствие 3.3, формула (3.15)]:

v(t, Xt) • п = -ттт- • п,

где р Е [0,1) — доля ценных бумаг в общем предложении, которая страхуется «программными» трейдерами, или, другими словами, рыночный вес «программных» трейдеров, Xt — процесс цены базового актива, а — нормализованная функция стратегии «программных» трейдеров, или, говоря по-другому, количество базового актива, приходящегося в этой стратегии на один опцион. Когда р = 0 т- е- когда отсутствуют «программные» трейдеры, v(t,Xt) = 1 и в моде-

п

классическую модель Блэка — Шоулза.

П. Шёнбухер и П. Уилмотт (Р. Schönbucher и Р. Wilmott (2000), [95]) также сформировали модель с двумя типами трейдеров, используя избыточный спрос малых трейдеров. При этом авторы акцентировали свое внимание не только на

стратегии динамического хеджирования портфелей, но и на нескольких других распространенных торговых стратегиях.

Авторы построили общую модель стоимости опциона Р £) па неликвидном рынке, учитывающую эффекты обратной связи между процессом цены базового актива и торговой стратегией крупного трейдера/($,£):

p + 1

dx(S,W,t) dW

2 I dx(S,W,t) + df (S,t)

\ ds + яс

Pss + r (SPs - P) = 0.

dS

Согласованные с моделью Блэка — Шоулза (т. е. когда отсутствует крупный трейдер и цены подчиняются логнормальному случайному блужданию) снос и вола-тильность получены авторами в виде

a(S,t) =

laS/

l-

df (S,t) '

dS

M(S,t) =

1

l

df (S,t) dS

liS' + « +

dt

l2a2S/2 d 2f (S,t)

2 (i - W) dS2

где l — параметр ликвидности рынка, Д и a — снос и волатильность из модели Блэка — Шоулза соответственно.

Наиболее общей моделью этого класса является модель Сиркара — Папани-колау (К. Sircar, G. Papanicolaou (1998), [96]). В данной модели для получения уравнения цены опциона используется процесс совокупного дохода «рефераль-ных» трейдеров. Авторами получено семейство нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в случае отсутствия программных трейдеров (р ^ 0) сводящееся к классическому уравнению Блэка — Шоулза:

с+2

V(1 - pCx)U/(V(1 - рсх))

a2x2Cxx + r(xCx - C) = 0.

V (1 - рам^ (1 - рсх)) - рхох:

Здесь V(•) = и-1(-), а и(•) — функция относительного спроса «реферальных» трейдеров. Авторы, Р. Сиркар и Г. 11и пин и ко. ту. ограничились рассмотрением линейной функции и (г) = в^, в > 0? в этом случае уравнение имеет вид

с+2

1 - рСх

1 - рСх - рхСх

a2x2Cxx + r(xCx - С) = 0,

2

2

2

и провели численное исследование поведения модели в моменты, близкие к экспирации опционов.

Две последние модели будут подробно рассмотрены в основной части работы.

Существуют и другие подходы к построению моделей ценообразования опционов [40,51,54,55,74,76,93]. Например, с работы P. P. Boyle (1977) [40] началось применение метода Монте-Карло для определения цен опционов. Авторы моделировали изменение цены базового актива за один период как

S+ = Ster-a2/2+aX,

где x — нормально распределенная случайная переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Затем были рассчитаны цены колл-опционов европейского типа для разного количества периодов и разного соотношения цены базового актива и цены исполнения. В итоге это позволило авторам сравнить цены опционов, полученные с использованием метода Монте-Карло, с ценами, полученными с помощью численного интегрирования.

В работе J. Сох, S. Ross и М. Rubinstein (1979) [51] для моделирования цены опциона впервые было применено построение биномиального дерева. Авторы получили формулу, определяющую цену колл-опциона европейского типа в виде:

C = 1

ГрП

V ( ,, n't W (1 - p)n-j max[0, ujdn-jS - K]

j!(n - j)\J

Здесь r — безрисковая процентная ставка, такая, что u > r > d, где und относительный прирост и, соответственно, снижение стоимости базового актива в одном интервале времени. S — цена базового актива, K ^цена исполнения опциона, n — количество интервалов в модели, ap = U—j. Кроме того, авторы показали, что данная модель сходится к модели Блэка — Шоулза при n ^ то, и продемонстрировали использование полученной биномиальной модели для определения цен опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды. Возможности использования биномиальных (и триномиальных) деревьев для моделирования цен различных типов опционов обобщены в [20, гл. 12 и гл. 20].

Работа М. J. Morelli с соавторами (2005) [93] показала возможность использования в тех же целях нейронных сетей. Авторы сравнили работу двух классов нейронных сетей — «The multi-layer perceptron» (MLP) и «The radial basis function» (RBF) — в численном эксперименте по предсказанию будущей цены опционов.

Другим обширным классом альтернатив модели Блэка — Шоулза являются модели, в которых вместо непрерывного процесса геометрического броуновского движения для цены базового актива используются другие процессы. Например, цена может меняться непрерывно, но не подчиняться геометрическому броуновскому движению (diffusion model). Или модель, включающая, помимо непрерывного движения, скачки (mixed jump-diffusion model). Также, цена в модели может все время меняться скачкообразно (pure jump model).

Примером альтернативной диффузионной модели может быть модель дисперсии с постоянной эластичностью (the model of constant elasticity of variance, CEV model), предложенная J. Сох и S. Ross (1976) [50] и D.C. Emanuel, J.D. MacBeth (1982) [58]. В данной модели считается, что процесс цены базового активаSt имеет вид:

dSt = (r — q)Stdt + aStadWt, a = const, a > 0,

где r — безрисковая процентная ставка, q — дивидендная доходность базового актива, dWt — винеровский процесс, а — параметр волатильности базового актива. В случае, когда a = 1, модель переходит в модель Блэка — Шоулза с геометрическим броуновским движением.

Примером смешанной модели, в которой присутствуют также и скачки, может служить модель Мертона (1976) [87], в которой процесс цены базового актива задается как

dS

-— = (r — q — Ak) dt + adWt + dp,

St

где dp — процесс Пуассона, A — среднее количество скачков в год, k — средняя величина скачка в процентах от цены базового актива. При этом винеровский и пуассоновский процессы считаются независимыми.

Аналогично, добавляя к геометрическому броуновскому движению процесс Пуассона p(t), S. Кои (2002) [81] получил так называемую двойную экспоненциальную диффузионную модель со скачками (double exponential jump-diffusion model) и использовал ее для моделирования цен широкого диапазона производных финансовых инструментов. В его модели процесс цены базового актива определяется по формуле

-S (т \ = [idt + adWt + d I ^ (Vj — 1)1 ,

где {Vj} — последовательность независимых, одинаково распределенных неотрицательных случайных переменных, таких, что Y = ln V имеет асимметричное двойное экспоненциальное распределение

h(y)= Р • Ш • e~my • 1{y>o} + q • П2 • e~my • 1{y<o}, Щ > 1, П2 > 0, или [81, формула (2)]

d I С +, с вероятностью p; ln V = Y = <

I — С-, с вероятностью q,

где p,q > 0, p + q = 1 являются вероятностями скачков вверх и вниз, С + и С— являются экспоненциальными случайными переменными с математическими ожиданиями 1/ni и 1/п2 соответственно и символ = означает «равенство по распределению».

Модель гамма-дисперсии (variance-gamma model), предложенная D. В. Madan, Р. Р. Сагг, и Е. С. Chang (1998) [84], может выступить примером модели, в которой цена базового актива изменяется только скачкообразно. Авторы рассматривали процесс цены базового актива как

St = S0 exp (rt + X(t; a, v, 9) + ut),

где

u = — ln(1 — 9v--a2v),

v v 2

а процесс гамма-дисперсии X(£; а, V, = Ь (7 (£; 1, V); а) определяется как значение броуновского движения Ь(£; 0, а) = 0£ + аЖ(£) в моменты времени, задаваемые гамма-процессом 7(£; д, V) с единичным математическим ожиданием и дисперсией V. При этом плотность вероятности приращений д = 7(£ + д, V) — 7(£; д, V) величины 7 равна [84, формула (2)]

. ,0._ ^ g ^-1 exp (-g g) 0

где Г (x) — гамма-функция.

Когда идет речь о процессах, моделируемых дифференциальными уравнениями, большую важность имеет нахождение точных решений таких уравнений и соответствующих краевых задач. В случае нелинейных дифференциальных уравнений одними из самых эффективных методов, позволяющих осуществлять поиск решений, являются методы группового анализа [10,14,21].

Первые исследования групповых свойств линейного уравнения Блэка — Шо-улза были проведены в работе H. X. Ибрагимова и Р. К. Газизова (1998) [66]. В последние годы методами симметрийного анализа нередко исследуются различные нелинейные модификации уравнения Блэка — Шоулза. Приведем несколько примеров нелинейных моделей ценообразования опционов в обозначениях работы L. A. Bordag и R. Frey (2008) [38].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дышаев Михаил Михайлович, 2019 год

Ьп - -

1 + п-^ ^ 2 + ^П + Г<9

Сп _ — --^ ^2 — #ГП,

О/ 1 л ^m ^2 ^

2(1—итп^(иЖх)т)2 ' (4.4.1)

л _ 1 ит I п /иТО _ 2ит + ит ) _

«п _ Т ип + (1—итп^(иЖх)т)2 (ип+1 2ип + «п—^

—Г (1 — 0) "т + г(1 — 0)п (<+ — <*) ,

(и )т _ X (ит _ 2ит + ит )

(ижж)п _ _2 (ип+1 2ип + ип—1) ,

т _ п „,т _ /5 Т1ТТ„ „,т _ в _ в_

< _ 0 ил и _ ^и _ ( р)т _ т в_ т в зависимости от модели спроса.

Метод прогонки применим в данном случае (нет деления на ноль), поскольку выполняется (причем строго) условие преобладания диагональных элементов, когда |Ьп| > Ы + |сп|-

Обратим внимание, что в знаменателе дроби для второй производной ихх и для свободного элемента ^(иж) используются разностные представления произ-т

ветствуюгцим значениям с предыдущего слоя (для одного и того же ж), которые к моменту расчета уже определены. Как указано в [19, §11, с. 104-106], данный подход применим в тех случаях, когда решение гладкое и не имеет особенностей.

Также в дополнение к ранее сказанному заметим, что если все-таки использовать разностное представление второй производной (и свободного элементам (иж)) на слое (т + 1) в знаменателе дроби, то метод прогонки невозможно будет применить из-за нелинейности получившейся системы уравнений. В этом случае в уравнениях будут присутствовать слагаемые, представляющие собой произведения значений функции ит+1 из различных узлов.

Вычисления искомой функции и(х, £) по методу прогонки производятся в два этапа. На первом этапе (прямой ход) рассчитываются коэффициенты итерационного равенства, связывающие ит+11 и ит+1- На втором этапе, этапе обратного хода, рассчитывают уже непосредственно значенияит+1- Сохраняя обозначения из [11], запишем формулы для прямого и обратного хода алгоритма (индекс временного слоя опустим и напомним, что значения иN-1 и и0 определяются краевыми условиями).

Прямой ход:

cn ВДп— dn /, , м

^n+1 = b _ a р , Пп+1 = b _ , , (4.4.2)

bn anSn bn anSn

Обратный ход:

Un = Cn+iUn+1 + ПП+1, n = N - 2,..., 1. (4.4.3) где n = 0,1,..., N — 2 6 = По = 0.

4.5. Вычисление коэффициентов чувствительности («греков»)

Используемые на практике коэффициенты чувствительности («греки») есть не что иное как частные производные искомой функции u(x, t) по различным параметрам модели, описывающим рыночные показатели. Названия, формулы и краткое описание каждого «грека» будут приведены ниже. Здесь же приведен общий порядок их расчета.

Для расчета «греков», характеризующих изменение функцииu(x, t) в зависимости от изменения ж, а или r, шаг аргумента задается постоянным (см. пункт 4.7 «Численный эксперимент»). При расчете производной по времени в качестве шага аргумента использовалось текущее значение т. Значение производной находится как соответствующее разностное отношение. Для расчета «греков», представляющих собой частные производные старшего порядка, использовались массивы производных предыдущего порядка. В случае, когда одним из аргументов было время t

лись производные по остальным переменным.

4.6. Описание комплекса программ и алгоритма вычислений

Алгоритм вычисления приближенных решений начально-краевых задач для моделей ценообразования опционов на неликвидном рынке заключается в следующем.

N

ции u задаются начальные и граничные значения (4.3.1), (4.3.2) и (4.3.3). Также задаются параметры задачи а, Г в K и в. Пользователь указывает и способ

т

2. Методом прогонки по известным значениям нулевого временного слоя функ-u

u

u

ного значения времени.

3. Осуществляется расчет коэффициентов чувствительности.

4. Выполняется построение графиков численного решения, найденных «греков», а также графиков, отражающих различие в поведении этих показателей для различных моделей.

Представленный алгоритм реализован на языке программирования С++ в программе «Численное решение нелинейных уравнений типа Блэка — Шоулза для неликвидного рынка». Программа зарегистрирована в Федеральной службе по интеллектуальной собственности:

Численное решение нелинейных уравнений типа Блэка — Шоулза для неликвидного рынка: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018615961; Федеральная служба по интеллектуальной собственности / Дышаев М.М., Федоров В.Е.; заявитель и правообладатель Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Челябинский государственный университет». Заявка № 2018613121; заявление от 02.04.2018; государственная регистрация в Реестре программ для ЭВМ 18.05.2018. Для построения графиков использован бесплатно распространяемый пакет

GNUplot (http://gnuplot.info/).

Комплекс программ представляет собой консольное приложение для операционной системы Windows и состоит из четырех подпрограмм. Первая подпрограмма реализует ввод начальных данных, формирует необходимые потоки ввода-вывода, объявляет и инициализирует глобальные константы и переменные, содержит блок вспомогательных функций. Вторая подпрограмма производит основные вычисления для нахождения функции и. Третья подпрограмма считает коэффициенты чувствительности («греки»). Четвертая подпрограмма отвечает за организацию результатов работы по потокам вывода, формирование 2D и 3D графиков.

Результатом работы комплекса программ является несколько текстовых файлов, содержащих полученные в расчете цифровые данные, а также автоматически построенные с помощью графического пакета Gnuplot соответствующие графики. Для удобства все графические файлы и файлы с данными автоматически разносятся в папки, соответствующие различным моделям спроса трейдеров. Для каждой рассчитываемой величины формируется два файла с данными. Имя файла включает параметры, указанные пользователем.

Для файлов с численными данными расчетов используется расширение «.dat». На основании данных файла с расширением «.dat» с помощью программно сгенерированных скриптов для GNUplot, строится трехмерный график и сохраняется в графическом файле с тем же именем с добавленным окончанием «_3D» и расширением «.png».

Для файлов, содержащих численные значения «временных срезов» используется расширение «.spj». На основании данных из файла с расширением «.spj» с помощью программно сгенерированных скриптов строится двумерный график и сохраняется в графическом файле с тем же именем с добавленным окончанием «_2D» и расширением «.png».

4.7. Численный эксперимент

С целью максимального приближения к рыночной ситуации, для всех расчетов применялись следующие параметры моделей:

• Волатильность а = 0.3;

• шаг изменения волатильности Да = 0.01;

• процентная ставка г = 0.05;

• шаг изменения процентной ставки Дг = 0.001;

• Цена исполнения — страйк-цена К = 0.4.

Параметр в принимался как в = 1.0 для возможности сопоставления результатов

для различных моделей.

Расчеты проводились при следующих параметрах решетки и разностной схе-

• весовой коэффициент шеститочечной схемы: 0 = 0.9;

• количество узлов по оси х N = 120.

Рисунок 2 - Стоимость колл-опциона и(х,£) и «срезы» по £ (ВБМ-модель)

Рисунок 3 - Стоимость колл-опциона и(ж, £) и «срезы» по £ (ЬС11-модель)

+ 0 2 гп^о 2 04 °-6 0 °-2 °-4 °-6 °-8 1

1 ш X X

Рисунок 4 - Стоимость колл-опциона и(ж, £) и «срезы» по £ (Р\У11-модель)

На рисунках 2-4 представлены графические результаты расчетов приближенного решения и, а также сравнения вида решения для различных моделей (ВЯМ — модель Блэка - Шоулза, ЬСЕ - модель с логарифмическим спросом, PWR - модель со степенным спросом), рассматриваемых в данной работе.

Из правых графиков видно, что со временем итоговое решение сглаживается в окрестности страйк-цены для модели Блэка — Шоулза, мало меняется для модели со степенным спросом и практически остается неизменным для модели с логарифмической функцией спроса.

Рисунок 5 - Разница в значениях и(я,£) (ВБМ — 1^11) и (ВБМ — Р\У11)

На рисунке 5 представлены трехмерные графики, демонстрирующие разницу между решением линейной модели (ВБМ) и решениями моделей, рассмотренных в работе.

Еще более наглядно отличие исследованных моделей от линейной модели продемонстрировано на рисунке 6, показывающем разницу в стоимости опциона по различным моделям в момент I = 1, т. е. за один год до исполнения опциона.

Видно, что трейдер, использующий только линейную модель даже в случае недостаточной ликвидности, будет котировать (покупать и продавать) опционы по цене более высокой (сиреневая линия), чем если бы он использовал модели, учитывающие влияние ликвидности. Следовательно, это может привести к существенным потерям для трейдера. Другими словами, «справедливая» цена колл-опциона в моделях, учитывающих недостаточную ликвидность, меньше, чем аналогичная цена из линейной модели.

Помимо нахождения собственно приближенного решения уравнения и в работе было проведено сравнение коэффициентов чувствительности цены опциона к изменению базовых рыночных показателей («греков») для исследуемых в работе моделей.

X

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

BSM—*— LGR —*— PWR

i 1 1 1 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Рисунок 6 - Стоимость опциона в момент t =1

4.7.1. Сравнение показателя Delta

Наиболее широко используемым таким «греком» является Delta, характеризующая изменение стоимости опциона при изменении цены базового актива:

1 ди Delta = —. дх

На показателе Delta основано так называемое «дельта-хеджирование», когда для исключения зависимости стоимости проданных опционов от цены базового актива трейдер производит систематическую ребалансировку портфеля, докупая базовый актив при росте цен и продавая при падении. Основная цель при этом поддержание нейтрального уровня позиции. Существенное значение на результат оказывает частота ребалансировки, поскольку каждая операция совершается, как правило, с

Рисунок 7 - Delta колл-опциона, «срезы» по t (BSM-модель)

уплатой комиссии брокеру и бирже. Как показывают результаты моделирования, учет недостаточной ликвидности может существенно сократить эти затраты.

Как и для стоимости опциона, сравним полученные результаты для различных моделей (см. рисунки 7, 8 и 9).

t

Ожидаемо, как и в случае с ценой колл-опциона, Delta меньше сглаживается в окрестности страйк-цены в исследуемых моделях с недостаточной ликвидностью по сравнению с линейной моделью. Объемные графики для сравнения Delta между

u.^ 00 0.2 — - — — x —

Рисунок 9 - Delta колл-опциона, «срезы» no t (PWR-модель)

Рисунок 10 - Разница в значениях Delta (BSM LGR) и (BSM PWR) линейной моделью и моделями е различными функциями спроса приведены на рисунке 10.

Разница в значениях Delta колл-опциона по различным моделям в момент t =1 продемонстрирована на рисунке 11. Для практических целей данный график указывает на то, что с учетом недостатка ликвидности хеджеру (трейдер, страхующий проданные опционы) нет необходимости часто осуществлять ребалансировку портфеля. Достаточно делать ее при прохождении ценой базового актива страйк-цены (K = 0.4 в наших расчетах) и сразу на весь объем хеджируемых опционов. Это позволит значительно сократить транзакционные издержки на хеджирование.

В Приложении Б приведен полный перечень рассчитанных в работе коэффи-

га 0

О

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 о

ш HIM1 " iP--'-■"■—■"■—"Ь ■ ■ ■ т * 1

/ J BSM / X 1 г^г?

/ х LoK-*- ¿Г PWR % „ n-i/ i 1 1 1

о

0.2

0.4

0.6

X

0.8

1

Рисунок 11 - Delta колл-опциона в момент t =1 циентов чувствительности («греков») для моделей с логарифмической и степенной функциями спроса. Помимо соответствующих им графиков, в Приложении Б также представлены графики, показывающие различия в поведении «греков» для этих моделей в сравнении с поведением «греков» для классической линейной модели Блэка Шоулза.

4.8. Оценка погрешности численного эксперимента

Далее проведем оценку погрешности полученных результатов методом многократной численной фильтрации [8,9]. Обозначим через гщ вычисленные значения искомой функции цены опциона и(х,£), соответствующие моменту времени £ = 0.5 и цене базового актива х = 0.5. Для оценки погрешностей расчеты проводились при условии, что щ+х/щ = ( = 2. Для анализа использовались п от 20 до 2560. В качестве точного (эталонного) значения функции и(х, £) принято значение, полу-

ченное после многократной фильтрации. Обозначим его как г. С этим значением сравнивались вычисленные значения для оценки абсолютной и относительной погрешности.

Рисунок 12 - Оценка точности вычислений для модели ВБМ

Результаты фильтрации значений для ВЯМ-модели при в = 0.5 и постоянном шаге по времени представлены на рисунке 12. По оси абсцисс отложены значения ^(п)7 на оси ординат - десятичные логарифмы относительной погреш-

т.е. точность, выраженная в ко-

ности функции п(х,Ь)\ — ^ = — ^

личестве десятичных значащих цифр. Нижняя линия на рисунке соответствует результатам прямого вычисления Остальные линии показывают результаты второй и последующих фильтраций. Во всех случаях десятичный логарифм относительной погрешности определения эталона (наивысшая точка нижней линии) составил от 2.446502459 для Р\¥11 модели и до 2.542624325 для ВБМ модели, т.е. относительная погрешность определения значений составила не более 0.01.

Заметно, что в результате фильтрации линии, характеризующие точность полученных значений, сдвигаются вверх, а также меняется их тангенс угла наклона. Так происходит в том случае, когда при увеличении числа узлов точность расчетов

повышается.

Аналогично выглядят графики для ВЯМ-модели и при других в при постоянном шаге по времени, меньшем, чем ттах (см. п. 4.2). Численные эксперименты показали, что подобная картина наблюдается и для ЬСЯ модели. Однако оценка точности для Р\¥11 модели в этом случае выглядит иначе. На рисунке 13 представлен график оценки точности для Р\¥11 модели для большинства параметров. Видно, что дополнительная, после первой, фильтрация уже не повышает точность, поэтому на последующих подобных графиках оставлена только вторая линия.

Рисунок 13 - Оценка точности вычислений для модели Р\¥11 В случае, когда ограничение на величину шага по времени ттах снимается, характер погрешностей для всех моделей принимает вид, показанный на рисунке 14.

4.9. Метод сопоставления модельных и фактических данных

Проведем сравнение результатов моделирования цен маржируемых колл-опционов («й^иген^ук ор!лопн») с фактическими данными по торгам на Московской Бирже. Модели, описывающей ценообразование маржируемых опционов на рынке с

Рисунок 14 - Оценка точности вычислений при неограниченном сверху т

недостаточной ликвидностью, соответствует случай г = 0 в уравнении (4.1.1). Поскольку большинство опционов, которые торгуются на организованном (биржевом) рынке, являются именно маржируемыми, данный случай имеет большую практическую значимость.

Для сопоставления фактических данных по торгам маржируемыми опционами на Московской Бирже с полученными приближенными значениями цены опционов и(х,£) автором предлагается следующий метод.

Выбирается некоторая торгуемая на бирже серия опционов (опционы на один базовый актив, с одной датой экспирации, но с разными страйками), по которой в течение дня были совершены сделки. Следовательно, для расчётов фиксируется I _ Время в долях года до погашения, а также цена базового актива х на конец торгового дня, единые для всех опционов серии.

Для сравнения с ценами опционов, полученных при моделировании, обозначим фактические цены «закрытия» (цена в последней сделке за день) для каждого страйка через О/. Через С обозначим приведенные цены «закрытия», определя-

емые по формуле:

Ci =

Аналогично находим приведенную цену базового актива для каждого страйка:

K

гр . - гр_

Jji Jj .

Si

Здесь K = 0.4 соответствует заданным параметрам при численном решении уравнения в разделе 4.7, a Si — величина i-го страйка из опционной серии.

Таким образом были получены приведенные данные, которые в последующем сравнены с данными, полученными при численных расчётах с использованием соответствующих параметров в линейной и нелинейных моделях ценообразования опционов.

Другой величиной, необходимой для сопоставления полученных численными методами данных с фактическими данными торгов опционами, является вола-тильность а. В модели Блэка — Шоулза она считается постоянной и равной среднеквадратичному отклонению цен базового актива за год. Учёт неликвидности рынка или действий крупного трейдера вносит в значение волатильности поправку, которая представляет собой знаменатель в дроби в уравнении (4.1.1).

Также необходимо отметить в фактических данных наличие эффекта «улыбки» волатильности. Он появляется из-за предположений трейдеров о различной будущей волатильности («подразумеваемой волатильности», «implied volatility») для разных страйков и разных направлений изменения цены базового актива.

На рисунке 15 приведен пример «улыбки» волатильности для серии маржиру-емых опционов на фьючерсный контракт на Индекс РТС. По горизонтальной оси на рисунке 15 отложены значения цен базового актива для исполнения опционов (страйк-цен) по выбранной серии, а по вертикальной — расчитанные биржей значения подразумеваемой волатильности. Как видно на графике, зависимость подразумеваемой волатильности от страйк-цены имеет форму выпуклой функции, а не прямой линии, как в модели Блэка — Шоулза.

и

о

X -Q

с;

та ^

О со

п:

та §

О) та со ш

2 >-

СП

та о.

О

25

20

15 100000

• futRTS-9.18 • • •

• * * * • * • • • • • •

125000

150000 Цена базового актива

Рисунок 15 - Улыбка волатилыюсти но опционам на фьючерс на Индекс РТС Однако в исследуемых моделях предполагается задание постоянной части во-латильности а значением из модели Блэка — Шоулза. Обозначим его как авБ- Для сопоставления модельных и фактически данных было принято решение определить авБ как средневзвешенную на объем торгов волатильность по всей серии опционов:

&бб =

S

vol гЩ

i=1_

S

Е voli

i=1

(4.9.1)

где IVi — подразумеваемая волатильность («implied volatility») i-ro страйка, voli — количество контрактов по заключенным сделкам с опционами i-ro страйка, S — количество страйков в серии.

Таким образом, получив фактические значения волатилыюсти, времени до экспирации и набора приведенной стоимости опционов при различных приведен-

ных ценах базового актива, можно провести сравнение с моделируемыми данными для маржируемых опционов.

4.10. Результаты сопоставления фактических данных и результатов

численного эксперимента

Как наиболее ликвидные инструменты исследовались колл-опционы на фьючерсный контракт на Индекс РТС и на фьючерсный контракт на курс доллар США — российский рубль. Использовались данные по состоянию на конец торгового дня 27 июля 2018 г. Для расчётов были выбраны серии, чья экспирация приходится на 20 сентября 2018 г. Таким образом, время до погашения составило £ = 0.14246.

Цепа «закрытия» базового активах составила 115600 пунктов для фьючерсного контракта на Индекс РТС и 63052 рублей для фьючерсного контракта на курс доллар США — российский рубль. Средневзвешенная волатильность для маржируемых опционов составила авв = 0.21305 и авв = 0.15301 на фьючерс на Индекс РТС и на фьючерс на курс доллар США — российский рубль соответственно.

Приведены графики сравнения фактических данных и результатов численного эксперимента. Как видно на рисунке 16, цены опционов на фьючерс на Индекс РТС вполне соответствуют ценам из модели Блэка — Шоулза. Видно, что фактические данные почти полностью лежат на кривой для ВБМ-модели, полученной в численном эксперименте. Аналогичная картина наблюдается (рисунок 17) и для колл-опционов на фьючерс на курс доллар США — российский рубль. Таким образом, цены на наиболее ликвидные инструменты действительно хорошо описываются линейной моделью Блэка — Шоулза, не учитывающей влияние эффектов недостаточной ликвидности.

Для анализа эффектов, возникающих из-за недостаточной ликвидности, исследовались колл-опционы на фьючерс на обыкновенные акции ПАО Сбербанк. Необходимо отметить, что имеется некоторая сложность в поиске инструментов для анализа условно неликвидных активов, поскольку даже для некоторых вполне

го о

£ о

о

=г 1= о

с;

0 £ ^ Ч

ТО О

т

О)

=г

к то

X

1

ш i_I

^ о

си Ч

m о

О

♦ futRTS-9.18 -^BSM

^LGR -Х- PWR

♦ ♦ ш ♦ ♦ ♦—i /♦ t * ♦ 1 X-

0.27

0.31

0.35 0.39 0.43

Приведенная цена базового актива

Рисунок 16 - Сравнение фактических данных но опционам на фьючерс на Индекс РТС с численными результатами

ликвидных базовых активов в течение торгового дня проходит только одна-две сделки по всем страйкам серии. Очевидно, что этих сделок недостаточно для построения кривых, позволяющих оценить характер ценообразования.

В работе использовались данные по состоянию на конец торгового дня 10 августа 2018 г. Для расчётов была выбрана опционная серия, экспирация по которой приходится на 19 сентября 2018 г. Таким образом, время до погашения составило t = 0.10685, цена «закрытия» x = 18763 рубля, а средневзвешенная волатильность ans = 0.52829.

Приведён график сравнения фактических данных и результатов численного эксперимента. На рисунке 18 заметно, что цены опционов на фьючерс на обыкновенные акции ПАО Сбербанк находятся ниже, чем соответствующие цены из модели Блэка Шоулза. Видно, что фактические данные лежат ближе к кривым LGR-модели и PWR-модели. 14 хотя полного совпадения с численными результатами моделирования не наблюдается, схожее поведение фактических данных и

ш I О

=Г с О

с:

о ^

ш X

ш =г

к ш X X О)

сГ

О) со

го

о о

Гч|

О

о о

о

♦ 1х|Ш50-9.18

^изк р\лж

—-ш- ♦-Ш-*-А * <► ♦ *Т- /<► / ♦ /

0.27

0.31

0.35 0.39 0.43

Приведенная цена базового актива

Рисунок 17 - Сравнение фактических данных но опционам на фьючерс на курс доллар США — российский рубль с численными результатами

данных численного эксперимента позволяет предположить, что предсказанные авторами моделей [95,96] эффекты, возникающие из-за недостаточной ликвидности, наблюдаются на практике.

Также предложенная методика позволяет сравнить «улыбки» волатильности для разных инструментов по нормированным на цену базового актива страйкам, как это сделано на рисунке 19.

Рисунок 18 - Сравнение фактических данных но опционам на фьючерс на обыкновенные акции ПАО Сбербанк с численными результатами

и О

X

XI

с;

пз с; о 00

тс

пз §

О) пз 00

О) §

>

го пз

о. ^

о

100

80

60

40

20

0

♦ ^ШТБ-Э 18 ж

А МиБО-с .18 > Ж Ж Ж жж ж к

МБВЕК- 9.18 ж Ж Ж ж ж ж ж х ж жж ж*

♦ ♦ ♦ Ф 4 4 4 ♦ ♦ ♦ ♦ *

▲ ААМк4 ¿ААААААААА* А Л

0.8

0.9

1.1

1.2 1.3 1.4

Нормированные страйки

Рисунок 19 Сравнение «улыбок» волатильноети для нескольких инструментов

по нормированным страйкам

Заключение

В диссертационной работе были исследованы модели ценообразования опционов на неликвидном рынке с учетом эффектов обратной связи, возникающих при динамическом хеджировании.

Была получена групповая классификация общей модели ценообразования опционов на неликвидном рынке. Показано, что одним из частных случаев общей модели, имеющих наиболее широкую группу симметрии, является модель Сирка-ра — Папаниколау. Групповая классификация этой модели в свою очередь позволила выделить два случая с наибольшим количеством симметрий - модель со степенной функцией спроса и модель с логарифмической функцией спроса. Для рассмотренных моделей была исследована групповая структура, найдены инвариантные решения и подмодели и многопараметрические семейства точных решений.

Также в работе был разработан для практического применения алгоритм расчета цены опциона и ее коэффициентов чувствительности («греков») к базовым рыночным показателям для выделенных на первом этапе исследования моделей со степенной функцией спроса и с логарифмической функцией спроса, а также для линейной модели Блэка — Шоулза. Создан программный комплекс для реализации разработанных алгоритмов.

Разработанное программное обеспечение позволило провести вычислительные эксперименты и сравнительный анализ поведения цены и коэффициентов чувствительности для различных рассматриваемых в данной работе моделей ценообразования опционов на неликвидном рынке.

Помимо этого, была разработана методика сравнения численных результатов, полученных при расчете моделей ценообразования опционов с реальными параметрами торгов, и фактических данных по торгам на Московской Бирже. Методика позволяет оценить, насколько фактическое ценообразование близко к той или иной рассматриваемой в работе модели. Проведен сравнительный анализ с результатами моделирования фактического ценообразования колл-опционов на

фьючерс на Индекс РТС, на фьючерс на курс доллар США — российский рубль и на фьючерс на обыкновенные акции ПАО Сбербанк.

На основании вычислительных экспериментов и сравнительного анализа разработаны рекомендации для практического применения в инвестиционной деятельности выявленных особенностей исследованных моделей. Полученные результаты могут быть использованы в практической работе для операций, проводимых институциональными инвесторами по хеджированию собственных позиций, а также частными опционными трейдерами или инвесторами в целях получения дополнительного дохода.

Разработанный программный комплекс, после небольшой модификации, может быть использован для численных экспериментов с другими моделями ценообразования опционов, например, моделями, учитывающими также транзакционные издержки, влияние операций на рынок, стохастический характер волатильности и т. д.

В теоретическом плане результаты данной работы могут быть использованы как методологическая основа для исследования других моделей ценообразования опционов и в учебном процессе при преподавании таких дисциплин, как «Математические методы в экономике», «Математическое моделирование финансового рынка».

Список литературы

[1] Артемьев, С. С. Математическое и статистическое моделирование в финансах / С. С. Артемьев, М. А. Якунин // — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008. - 174 с.

[2] Белопольская, Я. И. Вероятностный подход к решению нелинейных уравнений, возникающих в финансовой математике / Я. И. Белопольская // Записки науч. семинаров ПОМИ. — 2009. — Т. 368. — С. 20-52.

[3] Белопольская, Я. И. Исследование задачи Коши для систем квазилинейных уравнений с помощью марковских процессов / Я. И. Белопольская, Ю. Л. Да-лецкий // Изв. вузов. Математика. — 1978. — № 12. — С. 6-17.

[4] Белопольская, Я. И. Марковские процессы, ассоциированные с нелинейными параболическими системами / Я. И. Белопольская, Ю. Л. Далецкий // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 250, № 3. - С. 268-271.

[5] Бернстайн, П. Фундаментальные идеи финансового мира: Эволюция / П. Бернстайн. — Пер. с англ. 3-е изд. — М.: Альпина Паблишер, 2016. — 247+8 с.

[6] Бронштейн, Е. М. Приближенные хеджирующие стратегии в модели (В,8,Г)-рынка / Е. М. Бронштейн, Е. Р. Колясникова // Матем. моделирование. — 20Ю. - Т. 22, № И. - С. 29-38

[7] Годунов, С. К. Разностные схемы (введение в теорию) / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. — М.: Гл. редакция физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1977. — 440 с.

[8] Житников, В. П. Особенности процесса накопления погрешностей при решении задач для простейши х уравнений математической физики конечно-разностными методами / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, Р. Р. Мукси-

мова // Сиб. журн. вычисл. матем. — 2016. — Т. 19. — № 2. — С. 139—152. — DOI: 10.15372/SJNM20160202.

[9] Житников, В. П. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа / В. П. Житников, Н. М. Шерыхали-на j _ уфа: Гилем. — 2009. — 336 с.

[10] Ибрагимов, И. X. Группы преобразований в математической физике / И. X. Ибрагимов. — М.: Наука, 1983. — 280 с.

[11] Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — М.: Гл. редакция физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1978. — 512с.

[12] Московская Биржа [Электронный ресурс]. URL: https://www.moex.com/ s204 (дата обращения: 04.09.2017).

[13] Насыров, Ф. С. Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике / Ф. С. Насыров // Тр. МИАН. - 2002. - Т. 237. - С. 265.

[14] Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

[15] Овсянников, Л. В. Программа подмодели. Газовая динамика / Л. В. Овсянников // Приклад, математика и механика. — 1994. — Т. 58, № 4. — С. 30-55.

[16] Оксендаль, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения : пер. с англ. / Б. Оксендаль. — М. : Мир, 2003. — 408 с.

[17] Павлов, И. В. Некоторые результаты о мартингальных мерах одношаговых моделей финансовых рынков, связанные с условием несовпадения барицентров /И. В. Павлов, И. В. Цветков, В. В. Шамраева // Вестник РГУПС. — 2012. - Т. 3(47). - С.177-181.

[18] Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач: пер. с англ. / Р. Рихтмайер, К. Мортон. — М.: Мир, 1972. — 420 с.

[19] Федоренко, Р. П. Введение в вычислительную физику: учеб. пособ. для вузов. / Р. П. Федоренко. — Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 1994. — 528с.

[20] Халл, Дж. К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты: пер. с англ. 8-е изд. / Дж. К. Халл. — М.: ООО «И.Д.Вильяме», 2014. - 1072 с.

[21] Чиркунов, Ю. А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды / Ю. А. Чиркунов, С. В. Хабиров. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. — 659 с.

[22] Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики: в 2 т. Т. 1: Факты, модели / А. Н. Ширяев. — М.: МЦНМО, 2016. — 904 с.

[23] Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики: в 2 т. Т. 2: Теория / А. Н. Ширяев. — М.: МЦНМО, 2016. — 904 с.

[24] Almgren, R. Optimal execution of portfolio transactions / R. Almgren, N. Chriss // Journal of Risk. - 2001. - Vol. 3. - P. 5-40.

[25] Ankudinova, J. On the numerical solution of nonlinear Black — Scholes equations / J. Ankudinova, M. Ehrhardt // Computers & Mathematics with Applications. - 2008. - Vol. 56, no. 3. - P. 799-812.

[26] Arenas, A. J. A nonstandard finite difference scheme for a nonlinear Black — Scholes equation / A. J. Arenas, G. González-Parra, В. M. Caraballo // Mathematical and Computer Modelling. — 2013. — Vol. 57, no. 7. — P. 16631670.

[27] Bachelier, L. Théorie de la spaculation / L. Bachelier // Annales de l'Ecole Nórmale Supérieure. - 1900. - Vol. 17. - P. 21-86.

[28] Bank, P. Hedging and portfolio optimization in financial markets with a large trader / P. Bank, D. Baum // Mathematical Finance. — 2004. — Vol. 14. — P. 1-18.

[29] Barles, G. Option pricing with transaction costs and a nonlinear Black — Scholes equation / G. Barles, H. M. Soner // Finance and Stochastics. — 1998. — Vol. 2. - P. 369-397.

[30] Belopolskaya, Ya. I. Probability approach to solution of nonlinear parabolic equations / Ya. I. Belopolskaya // Problems of Mathematical Analysis. —1992. — Vol. 13. - P. 21-35.

[31] Belopolskaya, Ya. I. Stochastic equations and differential geometry / Ya. I. Belopolskaya, Yu. L. Dalecky. — Dordrecht: Kluwer, 1990.

[32] Black, F. The pricing of Commodity Contracts / F. Black // J. of Financial Economics. - 1976. - Vol. 3. - P. 167-179.

[33] Black, F. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M. Scholes // J. of Political Economy. - 1973. - Vol. 81. - P. 637-659.

[34] Board, J. The Effects of Trade Transparency in the London Stock Exchange: A Summary / J. Board, C. Sutcliffe. — Spec. Paper 67, Financial Markets Group, London School of Economics. — January, 1995. — 30 p.

[35] Bordag, L. A. On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model / L. A. Bordag. — Mathematical Control Theory and Finance / eds. A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra and M. R. Grossinho. — Springer, 2008. - P. 71-94.

[36] Bordag, L. A. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives / L. A. Bordag, A. Y. Chmakova // International J. of Theoretical and Applied Finance. - 2007. - Vol. 10, no. 1. - P. 1-21.

[37] Bordag, L. A. Pricing options in illiquid markets: Optimal systems, symmetry reductions and exact solutions / L. A. Bordag, A. Y. Chmakova // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2010. - Vol. 31, no. 2. - P. 90-99.

[38] Bordag, L. A. Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions / L. A. Bordag, R. Frey. — Chapter 3 in Nonlinear Models in Mathematical Finance: Research Trends in Option Pricing / ed. M. Ehrhardt. — Nova Science Publ., 2008. - P. 83-109.

[39] Bordag, L. A. Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions / L. A. Bordag, A. Mikaelyan // J. Letters in Mathematical Physics. - 2011. - Vol. 96, no. 1-3. - P. 191-207.

[40] Boyle, P. P. Options: A Monte Carlo approach / P. P. Boyle // Journal of Financial Economics. — 1977. — Vol. 4, iss. 3. — P. 323-338.

[41] Brennan, M. Finite Difference Methods and Jump Processes Arising in the Pricing of Contingent Claims: A Synthesis / M. Brennan, E. Schwartz // The Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1978. — Vol. 13, iss. 3. — P. 461-474.

[42] Brennan, M. Portfolio insurance and financial market equilibrium / M. Brennan, E. Schwartz // J. of Business. - 1989. - Vol. 62, no. 4. - P. 455-476.

[43] Broadie, M. Exact simulation of option greeks under stochastic volatility and jump diffusion models / M. Broadie, O. Kaya // Proceedings of the 36th conference on Winter simulation. — Washington, D.C., 2004.

[44] Capriotti, L. Fast Greeks by Algorithmic Differentiation. — Preprint 1, 2009. — http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1619626.

[45] Qetin, U. Liquidity risk and arbitrage pricing theory / U. Qetin, R. Jarrow, P. Protter // Finance and Stochastic. - 2004. - Vol. 8. - P. 311-341.

[46] Qetin, U. Modelling liquidity effects in discrete time / U. Qetin, L. C. Rogers // Mathematical Finance. - 2007. - Vol. 17. - P. 15-29.

[47] Chung, S.-L. The binomial Black — Scholes model and the Greeks / S.-L. Chung, M. Shackleton // The Journal of Futures Markets. - 2002. - Vol. 22, no. 2. -P. 143-153.

[48] Company, R. Numerical analysis and simulation of option pricing problems modeling illiquid markets / R. Company, L. Jodar, E. Ponsoda, C. Ballester // Computers & Mathematics with Applications — 2010. — Vol. 59, iss. 8. — P. 2904 2975.

[49] Company, R. Numerical solution of linear and nonlinear Black — Scholes option pricing equations / R. Company, E. Navarro, J. R. Pintos, E. Ponsoda // Computers & Mathematics with Applications — 2008. — Vol. 56, no. 3. — P. 813— 821.

[50] Cox, J. The valuating of options for alternative stochastic processes / J. Cox, S. Ross // J. of Financial Economics. — 1976. — Vol. 3. — P. 145-166.

[51] Cox, J. Option pricing: a simplified approach / J. Cox, S. Ross, M. Rubinstein // J. of Financial Economics. - 1979. - Vol. 7. - P. 229-263.

[52] Crank, J. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type / J. Crank, P. Nicolson // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1947. — Vol. 43, no. 1. — P. 50-67.

[53] Cvitanic, J. Hedging and portfolio optimization under transaction costs: a martingale approach / J. Cvitanic, I. Karatzas // Mathematical Finance. — 1996. _ v0i. 6. _ P. 133^165.

[54] Derman, E. The illusions of dynamic replication / E. Derman, N. Taleb // Quantitative Finance. - 2005. - Vol. 5, no. 4. - P. 323-326.

[55] Duan, J. The GARCH option pricing model / J. Duan // Mathematical Finance. - 1995. - Vol. 5. - P. 13-32.

[56] Düring, B. Convergence of a high-order compact finite difference scheme for a nonlinear Black — Scholes equation / B. Düring, M. Fournie, A. Jüngel // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 2004. — Vol. 38, no. 2. - P. 359-369.

[57] Düring, B. High order compact finite difference schemes for a nonlinear Black — Scholes equation / B. Düring, M. Fournie, A. Jüngel // International Journal of Theoretical and Applied Finance. — 2003. — Vol. 6, no. 7. — P. 767-789.

[58] Emanuel, D. C. Further results on the constant elasticity of variance call option pricing model / D. C. Emanuel, J. D. MacBeth // The Journal of Financial and Quantitative Analysis. - 1982. - Vol. 17, no. 4. - P. 533-554.

[59] Föllmer, H. A microeconomic approach to diffusion models of stock prices / H. Föllmer, M. Schweizer // Mathematical Finance. — 1993. — Vol. 3, no. 1. — P. 1-23.

[60] Freidlin, M. Quasilinear parabolic equations and measures in functional spaces / M. Freidlin // Functional Analysis and Applications. — 1967. — Vol. 1, no. 3. — P. 237-240.

[61] Freidlin, M. Functional Integration and Partial Differential Equations / M. Freidlin. — Princeton: Princeton University Press, 1985.

[62] Frey, R. Market illiquidity as a source of model risk in dynamic hedging / R. Frey. — Model Risk / ed. R. Gibson. — London: Risk Publications, 2000. — P. 125-136.

[63] Frey, R. Perfect option replication for a large trader / R. Frey // Finance and Stochastics. - 1998. - Vol. 2. - P. 115-148.

[64] Frey, R. Risk management for derivatives in illiquid markets: a simulation study / R. Frey, P. Patie. — Advances in Finance and Stochastics / eds. K. Sandmann, P. Schönbucher. — Berlin: Springer, 2002.

[65] Frey, R. Market volatility and feedback effects from dynamic hedging / R. Frey, A. Stremme // Mathematical Finance. — 1997. — Vol. 7, no. 4. — P. 351-374.

[66] Gazizov, R. K. Lie symmetry analysis of differential equations in finance / R. K. Gazizov, N. H. Ibragimov // Nonlinear Dynamics. — 1998. — Vol. 17. — P. 387-407.

[67] Geske, R. Valuation by approximation: a comparison of alternative option valuation techniques / R. Geske, K. Shastri // The Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1985. — Vol. 20, no. 1. — P. 45-71.

[68] Grossman, S. An analysis of the implications for stock and futures price volatility of program trading and dynamic hedging strategies / S. Grossman // The Journal of Business. - 1998. - Vol. 61, no. 3. - P. 275-298.

[69] Gueant, O. Option pricing and hedging with execution costs and market impact / O. Gueant, J. Pu. — Preprint, April 2015. — http://arxiv.org/abs/1311.4342.

[70] Guerra, M. L. Option price sensitivities through fuzzy numbers / M. L. Guerra, L. Sorini, L. Stefanini // Computers & Mathematics with Applications. — 2011. — Vol. 61, no. 3. - P. 515-526.

[71] Guo, J. On the numerical solution of nonlinear option pricing equation in illiquid markets / J. Guo, W. Wang // Computers & Mathematics with Applications. — 2015. - Vol. 69, no. 2. - P. 117-133.

[72] Hager, C. Numerical techniques for the valuation of basket options and their Greeks // C. Hager, S. Hiieber, B. I. Wohlmuth // The Journal of Computational Finance. - 2010. - Vol. 13, no. 4. - P. 3-33.

[73] Haug, E. G. The Complete Guide to Option Pricing Formulas: 2nd ed. / E.G. Haug. — New York: McGraw-Hill Education, 2007. — 492 p.

[74] Haug, E. G. Option traders use (very) sophisticated heuristics, never the Black — Scholes — Merton formula / E. G. Haug, N. N. Taleb // J. of Economic Behavior and Organization. — 2011. — Vol. 77, no. 2. — P. 97-106.

[75] Heider, P. Numerical methods for non-linear Black — Scholes equations / P. Heider // Applied Mathematical Finance. - 2010. - Vol. 17, no. 1. - P. 59-81.

[76] Hull, J. C. The pricing of options on assets with stochastic volatilities / J. C. Hull, A. White // The J. of Finance. - 1987. - Vol. 42. - P. 281-300.

[77] Hull, J. C. Valuing derivative securities using the explicit finite difference method / J. C. Hull, A. White // The Journal of Financial and Quantitative Analysis. - 1990. - Vol. 25, no. 1. - P. 87-100.

[78] Jandacka, M. On the risk-adjusted pricing-methodology-based valuation of vanilla options and explanation of the volatility smile / M. Jandacka, D. Sevcovic //J. of Applied Mathematics. - 2005. - Vol. 3. - P. 253-258.

[79] Jarrow, R. A. Derivative securities markets, market manipulation and option pricing theory / R. A. Jarrow // J. of Financial and Quantitative Analysis. — 1994. _ v0i. 29. - P. 241-261.

[80] Jeannin, M. A transform approach to compute prices and Greeks of barrier options driven by a class of Levy processes / M. Jeannin, M. Pistorius // Quantitative Finance. - 2009. - Vol. 10, no. 6. - P. 629-644.

[81] Kou, S. A jump diffusion model for option pricing / S. Kou // Management Science. - 2002. - Vol. 48. - P. 1086-1101.

[82] Leland, H. E. Option pricing and replication with transactions costs / H. E. Leland // The J. of Finance. - 1985. - Vol. 40. - P. 1283-1301.

[83] Liu, H. Option pricing with an illiquid underlying asset market / H. Liu, J. Yong // J. of Economic Dynamics and Control. — 2005. — Vol. 29, no. 12. — P. 2125-2156.

[84] Madan, D. B. The variance gamma process and option pricing / D. B. Madan, P. P. Carr, E. C. Chang // European Finance Review. — 1998. — Vol. 2, no. 1. — P. 79-105.

[85] McKean, H. A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations / H. McKean // Proceedings of Natural Academy of Sciences of USA. — 1966. - Vol. 59, no. 6. - P. 1907-1911.

[86] Merton, R. C. Theory of rational option pricing / R. C. Merton // Bell Journal of Economics and Management Science. — 1973. — No. 4. — P. 141-183.

[87] Merton, R. C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous / R. C. Merton // Journal of Financial Economics. — 1976. — Vol. 3, no. 1-2. — P. 125-144.

[88] Mikaelyan, A. Analytical Study of the Schonbucher — Wilmott Model of the Feedback Effect in Illiquid Markets: Master's thesis in financial mathematics / A. Mikaelyan. — Halmstad: Halmstad University, 2009. — viii+67 p.

[89] Patsiuk, O. Symmetry reduction and exact solutions of the non-linear Black — Scholes equation / O. Patsiuk, S. Kovalenko // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2018. — Vol. 62. — P. 164-173.

[90] Peters, E. Chaos and Order in the Capital Markets: a New View of Cycles, Prices, and Market Volatility: 2nd ed. / E. Peters. — New York: John Wiley & Sons, 1996. - 274 p.

[91] Platen, E. On feedback effects from hedging derivatives / E. Platen, M. Schweizer // Mathematical Finance. - 1998. - Vol. 8. - P. 67-84.

[92] Pooley, D. M. Numerical convergence properties of option pricing PDEs with uncertain volatility / D. M. Pooley, P. Forsyth, K. R. Vetzal // IMA Journal of Numerical Analysis. - 2003. - Vol. 23, no. 2. - P. 241-267.

[93] Pricing financial derivatives with neural networks / M. J. Morelli, G. Montagna, O. Nicrosini, M. Treccani, M. Farina, P. Amato // Physica A. — 2004. — Vol. 338. - P. 160-165.

[94] Samuelson, P. A. Rational theory of warrant pricing / P. A. Samuelson // Industrial Management Review. — 1965. — Vol. 6. — P. 13-31.

[95] Schdnbucher, P. The feedback-effect of hedging in illiquid markets / P. Schonbucher, P. Wilmott // SIAM J. on Applied Mathematics. - 2000. -Vol. 61. - P. 232-272.

[96] Sircar, R. Generalized Black — Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies / R. Sircar, G. Papanicolaou // Applied Mathematical Finance. - 1998. - Vol. 5, no. 1. - P. 45-82.

Публикации автора диссертации

[97] Fedorov, V. E. Invariant solutions for nonlinear models of illiquid markets / V. E. Fedorov, M. M. Dyshaev // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2018. - doi: 10.1002/mma.4772

[98] Федоров, В. E. Симметрии и точные решения одного нелинейного уравнения ценообразования опционов / В. Е. Федоров, М. М. Дышаев // Уфим. мат. жури. - 2017. - Т. 9, № 1. - С. 29-41.

[99] Дышаев, М. М. О некоторых моделях ценообразования опционов на неликвидных рынках / М. М. Дышаев // Челяб. физ.-мат. журн. — 2017. — Т. 2, вып. i ...................... Q 18^29.

[100] Дышаев, М. М. Симметрийный анализ и точные решения одной нелинейной модели теории финансовых рынков / М. М. Дышаев, В. Е. Федоров // Мат. заметки Сев.-Вост. федер. ун-та. — 2016. — Т. 23, № 1 (89). — С. 28-45.

[101] Fedorov, V. Е. Group classification for a general nonlinear model of option pricing / V. E. Fedorov, M. M. Dyshaev // Ural Mathematical J. — 2016. — Vol. 2, no. 2. - P. 37-44.

[102] Дышаев M. M. Моделирование эффектов обратной связи при ценообразовании маржируемых опционов на Московской Бирже / М. М. Дышаев, В. Е. Федоров, А. С. Авилович, Д. А. Плетнев // Челяб. физ.-мат. журн. — 2018. — Т. 3, вып. 4. - С. 379-394. - DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13401.

[103] Дышаев М. М. Представление торговых сигналов на основе адаптивной скользящей средней Кауфмана в виде системы линейных неравенств / М. М. Дышаев, И. М. Соколинская // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Вычисл. математика и информатика. — 2013. — Т. 2, № 4. — С. 103-108.

[104] Дышаев, М. М. Групповой анализ одного нелинейного обобщения уравнения Блэка — Шоулза / М. М. Дышаев // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 3. - С. 7-14.

[105] Дышаев, М. М. Инвариантные решения уравнения Сиркара — Папанико-лау / М. М. Дышаев, В. Е. Федоров // Современные методы теории краевых задач : материалы Междунар. конф. Воронеж, весенн. мат. шк. «Понтрягин-ские чтения — XXVII» (3-9 мая 2016 г.). — Воронеж: Издат. дом ВГУ, 2016. — С. 92-93.

[106] Дышаев, М. М. Групповая классификация одной нелинейной модели теории финансовых рынков / М. М. Дышаев, В. Е. Федоров // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XVII Междунар. науч. конф. / Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2016. - Вып. 17. - С. 131-133.

[107] Федоров, В. Е. Групповая классификация и точные решения уравнения Шён-бухера — Уилмотта / В. Е. Федоров, М. М. Дышаев // Уфимск. мат. конф. с

междунар. участием : сб. тез. докл. (г. Уфа, 27-30 сентября 2016 г.). — Уфа: РИЦ Баш ГУ, 2016. - С. 167-168.

[108] Fedorov, V. Е. Group classification and invariant solutions for a nonlinear model of financial market theory /V. E. Fedorov, M. M.Dyshaev // Systems Analysis : Modelling and Control / Abstracts of the International Conference in memory of Academician Arkady Kryazhimskiy, Ekaterinburg, 3-8 October, 2016. — P. 42-44.

[109] Дышаев, M. M. Численное решение нелинейных уравнений типа Блэка — Шоулза с учетом эффектов обратной связи, возникающих из-за неликвидности рынка // Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения: сб. тез. докл. Междунар. конф. (г. Уфа, 12-16 марта 2018 г.) / отв. ред. Р. Н. Гарифуллин. — Уфа: Изд-во БГПУ, 2018. — С. 34-35.