Нелинейные конические и биконические излучатели и рассеиватели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.07, кандидат технических наук Белецкий, Андрей Анатольевич

• Белецкий, Андрей Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Белецкий, Андрей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ЗА

ДАЧИ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

1.1. Обзор литературы

1.1.1. Методы решения задач электродинамики и присутствии тел с нелинейными электродинамическими свойствами.

1.1.2. Задачи возбуждения и дифракции электромагнитных волн па конических и биконических поверхностях.

1.2. Общая постановка задачи и методы ее решения

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Общее решение задачи.

1.2.3. Постановка вспомогательной задачи.

1.3. Кольцевые азимутальные ними на идеально проводящем конусе

1.3.1. Постановка задачи

1.3.2. Решение задачи.

1.3.3. Нелинейные граничные условия.

1.4. Выводы.

2. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫХ ВОЛН IIA БЕСКОНЕЧНОМ КО

НУСЕ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

2.1. Постановка задачи.

2.2. Постановка вспомогательной задачи.

2.3. Решение вспомогательной задачи.

2.4. Возбуждение конуса с нелинейными электродинамическими свойствами витком азимутального магнитного тока с однородным распределением по азимуту.

2.-5. Результаты численных расчетов

2.5.1. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного юка от отношения частот возбуждения

2.5.2. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от угла раскрыта конуса у.

2.5.3. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от расположения нелинейной щели

2.5.4. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от расположения активных щелей

2.5.5. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного .магнитного тока от амплитуды тока стороннего источника

2.5.6. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от характеристик нелинейного контакта

2.С. Выводы.

3. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ПРИСУТСТВИИ БЕСКОНЕЧНОГО БИКОНУСА С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Общее решение задачи.

3.3. Возбуждение бесконечного идеально проводящего бпкопуса произвольным распределением сторонних источников.

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Общее решение задачи.

3.3.3. Функция Грина бесконечного идеально проводящего бпкопуса

3.4. Возбуждение бесконечного идеально проводящего бпкопуса элементарными излучателями.

3.4.1. Постановка задачи

3.4.2. Случай меридионального электрического диполя.

3.4.3. Случай азимутального .магнитного диполя

3.4.4. Другие ориентации излучателя.

•3.4.5. Проверка выполнения условия Мейкспера на вершине биконуса

3.4.6. Результаты численного исследования.

3.5. Возбуждение бесконечного идеально проводящего биконуса азимутальным витком электрического или магнитного тока, соосным с биконусом

3.5.1. Постановка задачи

3.5.2. Решение задачи для витка магнитного тока.

3.5.3. Решение задачи для витка электрического тока

•3.5.4. Результаты численного эксперимента.

3.6. Возбуждение бесконечного идеально проводящего биконуса с системой азимутальных пассивных щелей.

3.6.1. Постановка задачи

3.6.2. Общее решение задачи.

•3.6.3. Собственные и взаимные проводимости щелей па бикопуее.

3.6.4. Случай возбуждения биконуса витком магнитного тока.

•3.7. Возбуждение биконуса с системой нелинейных щелей витком магнитного тока.

3.8. Результаты численного эксперимента

•3.8.1. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от отношения частот возбуждения 145 3.8.2. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотностей поверхностных магнитных токов от угла раскрыва биконуса iVy при постоянном угле раскрыва первого конуса ух

•3.8.3. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от угла раскрыва 7: первого конуса при постоянном угле раскрыва биконуса Лу.

3.8.1. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от взаимного расположения нелинейных и активных щелей.

3.8.5. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от амплитуды тока стороннего источника

3.8.6. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от характеристик нелинейного контакта

3.9. Выводы.

4. ВОЗБУЖДЕНИЕ II ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОДЫ НА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ КОНУСЕ И ВИКО-НУСЕ СО СФЕРИЧЕСКИМ ДНОМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ.

4.1. Возбуждение и дифракция электромагнитных воли на конечном нелинейном конусе со сферическим дном

4.2. Возбуждение конечного идеально проводящего конуса со сферическим дном

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Решение задачи.

4.2.3. Возбуждение конечного конуса азимутальным элементарным магнитным излучателем

4.2.4. Результаты численных исследований.■.

4.3. Дифракция электромагнитных волн на конечном идеально проводящем конусе со сферическим дном.

4.3.1. Постановка и решение задачи.

4.3.2. Дифракция поля удаленного элементарного магнитного излучателя па конечном конусе.

4.3.3. Результаты численного эксперимента.

4.4. Численное исследование задачи возбуждения конечного нелинейного конуса со сферическим дном витком магнитного тока.

4.4.1. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от угла раскрыва конуса.

4.4.2. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от расположения нелинейной щели

4.4.3. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от амплитуды тока стороннего источника

4.4.4. Зависимости амплитуд спектральных составляющих плотности поверхностного магнитного тока от длины образующей конуса

4.5. Возбуждение и дифракция электромагнитных волн на конечном нелинейном бикопусе со сферическим дном.

4.6. Возбуждение и дифракция электромагнитных волн на конечном идеально проводящем бикопусе со сферическим дном.

4.6.1. Постановка задачи.

4.6.2. Решение задачи.

4.6.3. Возбуждение конечного бпконуса витком азимутального магнитного тока.

4.6.1. Результаты численного эксперимента.

4.7. Выводы. 2С

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные конические и биконические излучатели и рассеиватели»

Актуальность темы

Значительная часть проводимых сейчас в мире исследований в области электродинамики связана с исследованием поведения электромагнитного поля па структурах с нелинейными электродинамическими свойствами, в особенности с сосредоточенными или распределенными нелинейными нагрузками, и количество работ по этой тематике неуклонно возрастает. Подобные задачи возникают практически во всех областях современной радиотехники СВЧ: радиолокации, противорадиолокациоиной маскировки, информационной безопасности, системах радиосвязи, телекоммуникаций и передачи энергии. Большие преимущества может обеспечить использование нелинейных эффектов г, устройствах сверхбыстрой обработки информации, при создании новых типов антенных систем — антенн с нелинейной нагрузкой, ректенн. Очень важен также анализ вредных явлений, возникающих в связи с нелинейными свойствами реальных устройств. Это прежде всего проблема электромагнитной совместимости (ЭМС) радиоэлектронных систем, резко обострившаяся в последнее время из-за постоянного улучшения их характеристик: возрастания мощности, повышения чувствительности, расширения динамического и частотного диапазоне)]?, увеличения плотности размещения.

Впервые задачи исследования структур с нелинейными электродинамическими свойствами возникли в связи с обнаружением в середине прошлого века эффекта нелинейного рассеяния (ЭНР) ЭМВ. ЭНР заключается в том. что при облучении ЭМ11 объектов с нелинейными электродинамическими свойствами спектр рассеянного поля обогащается по сравнению со спектром падающего поля различными комбинационными частотами. К примеру, если спектр падающего поля содержит только одну частоту jj. то спектр рассеянного поля будет содержать составляющие на частотах то. п = 0,1. .

Изначально ЭНР был зафиксирован в структурах с контактами тина «металл-диэлектрик-металл» и «метал.т-июлятор-металл». которые чаще всего возникают в местах клепаных и сварных соединений [1]. стыковых и фланцевых сочленений линии передач [2. 3, 1] и приводят к появлению туннельного эффекта. 'Затем на практике1 начали использоваться полезные1 свойства ЭНР: были созданы ректеппы [5]. антенны с умножением чае-тты, смесительные; и активные ФАР |6|. Для этоге; в конструкцию сио-пиальио вводились нелинейные1 э. кгмечггы. Вмес те1 с т(;м. появление1 подобных устройств» отрицательным образом сказалось на ЭМС радиоэлектронных упройств. Уже сейчас 9-я (121.5 МГц) п 18-я (243 МГц) гармоники несущей частоты 13.5 МГц. используемой в телевизионном вещании, создают помехи в работе международной спутниковой системы спаоечшя COSPAS/SARSAT |7|.

Более глубокого исследования задач возбуждения и рассеяния на телах с нелинейными электродинамическими свойствами требует также интенсивно развивающееся сейчас направление нелинейной радиолокации, где в качестве информационного сигнала об объекте используется рассеянное поле на гармониках частоты облучения, возникающее из-за наличия па облучаемом теле тех или иных нелинейных контактов [9]. Использование нелинейной радиолокации позволяет решить ряд практически важных задач. для которых традиционные методы оказываются малоэффективными. Это. прежде всего, задача обнаружения малозаметных объектов (например, летательных аппаратов, созданных по технологии Stealth |10]) или в условиях сильных фоновых отражений [11| и обратная ей задача радиолокационной маскировки |12]. Применение нелинейной радиолокации эффективно также в качестве сродства обеспечения безопасности в области утечки информации [13]. для выявления источников иитермодуляционных помех |14|, для обнаружения скрытых объектов |15].

Очень перспективным направлением исследований являются сейчас системы передачи энергии СВЧ-лучом. Уже появились практические разработки таких систем, предназначенные для питания энергией летательных и космических аппаратом [16|. Для извлечения энергии из принимаемых СВЧ колебаний и преобразования ее в постоянный ток предназначена ректенпа. От ее технических характеристик в большой мере зависит энергетическая и экономическая эффективность такого способа передачи энергии. Кроме полезное! функции, ректенна представляет собой источник паразитного излучения на гармониках и оказывает существенное влияние на электромагнитную, а зачастую п экологическую, обстановку в месте своего расположения.

В современной СВЧ-технике часто возникает необходимость проводить измерения ЭМП 15 широких диапазонах "частот [17]. При этом используется аппаратура (детекторы, СВЧ-усилители и др.). построенная с применением различных полупроводниковых приборов, работающих в нелинейном режиме. Кроме этого, в таких измерениях могут существовать и другие источники ЭМП на гармониках, например, нелинейные контакты в измерительных линиях передач. Поэтому учет ЭНР весьма важен и в этой области.

Большое1 внимание сейчас уделяется вопросам создания фазированных антенных решеток на основе элементов с нелинейными электродинамическими свойствами |18] . Это позволит, с одной стороны, проводить обработку принимаемою сигнала прямо в антенне (смешивать с сигналами гетеродина, умножать частоту сигнала, усиливать его непосредственно па СВЧ). С другой стороны, используя при излучении несколько сигналов разных частот, можно добиться, например, сканирования луча при помощи изменения частоты сигналов.

При разработке устройств, содержащих нелинейные СВЧ-устройства (генераторы. смесители, модуляторы и т.д.). традиционно используется низкочастотный метод эквивалентных схем. При этом постепенное усложнение моделей для учета все более тонких свойств нелинейных приборов па СВЧ существенно увеличивает сложность решения и вместе с тем не позволяет в полной мере учесть «полевой» характер взаимодействий в сложных электродинамических структурах. Поэтому и в данной области возникла необходимость разработки методов анализа нелинейных взаимодействий на СВЧ. Еще более перспективным представляется разработка гибридных и монолитных СВЧ модулей, выполняющих одновременно несколько функций: антенны, смесителя, детектора и др. на основе строгого подхода к анализу нелинейных явлений в этих устройствах.

Как видно из изложенного выше. ЭНР часто встречается как вредное явление и широко используется на практике как полезное. Тем не менее его исследование отличается большой сложностью, громоздкостью и громадной вычислительной емкостью. В настоящее вре.мя появилась возможность проведения численных экспериментов огромной сложности, однако теоретические методы анализа нелинейных эффектов оказались к этому не готовы. Абсолютное большинство из них разрабатывалось для решения частных задач и не допускает обобщения и систематического подхода к изучению ЭНР.

Задача возбуждения биконической поверхности является самой «старой» задачей электродинамики. Г.Герц в своих опытах, результатом которых стало открытие им электромагнитных волн, использовал излучатель в форме, в современных терминах. бпконпческого симметричного вибратора. С развитием' электродинамической науки оказалось, что структуры в форме конических и биконических поверхностей обладают рядом полезных свойств, что делает их весьма удобными для практики. Так. известно их применение в системах телекоммуникации, навигации [23. 24]. для космической связи [19]- [22|. Конические, бикопичеекие и. как частный случай, дискоконусные антенны и рассенвателп являются предметом постоянного внимания со стороны специалистов по антенной технике, что выражается в большом количестве статей и патентов (в частности. [29| |38|). посвященных их разработке, расчету или усовершенствованию.

При использовании конуса (биконуса) в качестве излучателя ЭМВ прежде всего следует отметить ого широкополосность. недостижимую для других видов излучателей (цилиндрических вибраторов, сфероидов, и др.). Конические поверхности достаточно технологичны, для них легко обеспечить требуемую -точность изготовления. Наконец, с теоретической точки зрения поверхность конуса является одной из координатных поверхностей ССК. что упрощает постановку н решение соответствующих электродинамических задач.

С другой стороны, современные1 объекты техники имеют в своем составе множество конических поверхностен, и при их радиолокации встает задача о дифракции ЭМВ на конусе. На практике1 при изготовлении конусов в местах стыков металлических деталей образуются естественные контакты с нелинейными электродинамическими свойствами, а это есть задача нелинейной дифракции, рассматриваемой в данной работе.

Таким образом, представляется весьма актуальным исследование на основе общего подхода задач возбуждения и дифракции ЭМВ на телах конической и бикониче-ской формы с нелинейными электродинамическими свойствами.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка методики решения задач возбуждения и дифракции ЭМВ на телах конической и биконической формы с нелинейными электродинамическими свойствами, применение ее к исследованию задач возбуждения и дифракции ЭМВ на бесконечном и конечном со сферическим дном конусе и бикоиусе кругового поперечного сечения с системой нелинейных азимутальных щелей и получение новых знании о структуре спектров возбуждаемых и рассеянных электромагнитных полей.

3 ад а ч и 11 с с л едо в а 1 г и я

Задачами исследования являются:

• постановка задачи возбуждения (дифракции) ЭМВ па идеально проводящем теле произвольной гладкой формы с системой узких щелей на поверхности, между кромкам которых существуют контакты с нелинейными электродинамическими свойствами и определения ее формального решения:

• применение общего решения к задаче для конической поверхности с системой азимутальных щелей с нелинейными контактами:

• постановка и решение вспомогательных задач: возбуждение бесконечного идеально проводящего биконуса: возбуждение и дифракция па конечных идеально проводящих конусе и бикоиусе со сферическим дном. Численное исследование электродинамических характеристик таких систем:

• постановка и решение задач возбуждения и дифракции на идеально проводящих бесконечных конусе и бикоиусе и конечных со сферическим дном конусе п бикону-се с системой нелинейных азимутальных щелей, между кромками которых образованы контак ты с нелинейными электродинамическими свойствами, произвольным распределением сторонних источников. Численное исследование электродинамических характеристик таких систем для случая бпгармонического возбуждения, в частности спектральной структуры электромагнитных полей.

Научная новизна и практическая ценность

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

• впервые поставлены и решены задачи возбуждения и дифракции на идеально проводящих бесконечных конусе и биконусе и конечных со сферическим дном конусе и биконусе с системой нелинейных азимутальных щелей, между кромками которых образованы контакты с нелинейными электродинамическими свойствами, произвольным распределением сторонних источников. Полученные аналитические выражения применены для численного анализа электродинамических характеристик таких систем:

• впервые поставлена задача возбуждения бесконечного идеально проводящего кругового аксиального биконуса с произвольными углами раскрыва поверхностей произвольным распределением сторонних источников и получено ее строгое электродинамическое решение. Получена функция Грима задачи для бесконечного идеально проводящего бикопуса. Решение применено для проведения расчетов электродинамических характеристик системы:

• предложена п применена к проведению численного эксперимента методика решения задач возбуждения (дифракции) на конечных конусе и биконусе со сферическим дном произвольным распределением сторонних источников,.

Практ ическая ценность проведенного исследования подтверждается тем. что на основе всех полученных в диссертационной работе решений элект родинамических задач разработаны и реализованы способы численного моделирования важных для практического применения устройств, таких как:

• нелинейные излучатели, рассеивате.тн. ректенны на основе конечных со сферическим дном конуса и бикопуса:

• биконическая (в том числе широко используемая дискоконусная) антенна, возбуждаемая произвольным образом, биконический рассеиватель с произвольными углами раскрыва поверхностей и другие устройства на основе конуса или бикопуса.

Результаты исследования использованы в поисковой НИР «Шаль», проводимой согласно постановлению Правительства РФ. г б НИР .У" 11451 [103]. Л'" 11051 4 [109]. проводившимися в соответствии с тематическим планом Таганрогского государственного радиотехнического университета, а также в учебном процессе кафедры АиРПУ ТРТУ

Достоверность и апробация диссертационной работы

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в применении математических моделей конструкций, неоднократно использованных в работах различных авторов и прошедших экспериментальную проверку на адекватность физическим процессам, использовании строгих методов решения электродинамических задач (метод собственных функций, метод частичных областей, метод интегральных уравнений).

Результаты исследований неоднократно докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях, а также на научно-практических и студенческих конференциях Таганрогского государствен ного радиотехнического университета. в том числе:

• 10-я Международная Крымская Микроволновая конференция (КрыМиКо) "СВЧ-техиика и телекоммуникационные технологии". Севастополь, Украина, 2000;

• 2000 International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET), Kharkov, Ukraine:

• XI Всероссийская школа-конференция по дифракции и распространению волн. Москва, 1998:

• LI\ Научная сессия РНТОРЭС им.Л.С.Попова, посвященная Дню радио. Москва. 1999:

• Всероссийская конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» ИРЭМВ-2001. Таганрог. 2001:

• Всероссийская конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн», Таганрог. 1999:

• 3-я, 1-я и о-я Всероссийские научные конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления», Таганрог. 1996. 1998, 2000:

• Всероссийская научная конференция студен тов и аспирантов «Радиоэлектроника, микроэлектроника, системы связи и управления». Таганрог, 1997.

Основные результаты исследования опубликованы г» 20 работах [101]-[120|.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения:

• решение задач возбуждения и дифракции на идеально проводящих бесконечных конусе и биконусс и конечных со сферическим дном конусе и биконусе с системой нелинейных азимутальных щелей, между кромками которых образованы контакты с нелинейными электродинамическими свойствами;

• основные закономерности формирования спектрального состава ЭМП в задачах возбуждения и дифракции па конических и бикопических поверхностях с нелинейными электродинамическими свойствами:

• решение задачи возбуждении бесконечного идеально проводящего кругового аксиального биконуса с произвольными углами раекрыва поверхностей произвольным распределением сторонних источников, функция Грина такой задачи, в том числе особенности реализации расчетных алгоритмов.

Обзор диссертационной работы

Работа состоит из введения, четырех разделов основного текста, заключения и т I с г ы р е х приложений.

В первом разделе проведен обзор литерачуры по методам решения задач электродинамики в присутствии тел с нелинейными электродинамическими свойствами и задачам возбуждения и дифракции электромагнитных волн па конических и бикопических поверхностях. Осуществлен выбор методов исследования задач в дайной работе. Поставлена общая задача возбуждения идеально проводящего гладкого тела произвольной формы с нелинейными электродинамическими свойствами. Получено ее формальное решение, которое применено затем к анализу конических тел с азимутальными нелинейными щелями. Сформулированы нелинейные граничные условия для контактов на азимутальных нелинейных щелях па конусе.

Во втором разделе поставлена задача возбуждения бесконечного идеально проводящего конуса с системой нелинейных азимутальных щелей, между кромками которых образованы контакты с нелинейными электродинамическими свойствами, произвольным распределением сторонних источников. Полученное решение применено к анализу задачи возбуждения конуса кольцами азимутального магнитного тока с однородным распределением тока по кольцу в случае бигармонического возбуждения. Проведен расчет электродинамических характеристик системы для ряда значений параметров задачи, сделаны соответствующие выводы. Основные результаты, полученные во втором разделе, изложены в работах |101, 102. 103, 101. 105. 106. 107, 109].

Третий раздел посвящен анализу задачи возбуждения бесконечного идеально проводящего биконуса с произвольными углами раекрыва с системой нелинейных азимутальных щелей, между кромками которых образованы контакты с нелинейными электродинамическими свойствами, произвольным распределением сторонних источников. Поставлена и решена вспомогательная задача возбуждения бесконечного идеально проводящего биконуса произвольным распределением сторонних источников. Получена функция Грина такой задачи. Подробно проанализированы случаи возбуждения биконуса элементарными электрическим и магнитным излучателями и витками электрического и магнитного токов с произвольным распределением тока по витку. Рассмотрена задача возбуждения биконуса с системой азимутальных импедаисных щелей. Решение нелинейной задачи применено к анализу задачи бигармонического возбуждения биконуса кольцами азимутальных магнитных токов с однородным распределением тока по кольцу. Проведен расчет электродинамических характеристик системы для ряда значений параметров задачи, сделаны соответствующие выводы. Полученные в этом разделе результаты освещены в работах [108: 109: 110, 111, 112, 113, 114, 116, 117, 118, 119|.

В четвертом разделе рассматриваются задачи возбуждения конечных идеально проводящих конуса и биконуса со сферическим дном с системой нелинейных азимутальных щелей, между кромками которых образованы контакты с нелинейными электродинамическими свойствами, произвольным распределением сторонних источников. Предложена методика, использующая метод частичных областей и результаты решения задач для бесконечных конических и биконических поверхностей, позволяющая получить решение соответствующей данному случаю веномога гельной задачи. Приводятся примеры применения данной методики к задачам возбуждения и дифракции на конечных телах, проведен численный анализ полученного решения. Сделаны соответствующие выводы. Некоторые результаты четвертого раздела изложены в работе1 [115].

В заключении приведены общие выводы по проделанной работе.

Приложение П1 посвящено определению векторных собственных функций задачи для бесконечного идеально проводящего биконуса с произвольными углами раскрыва поверхностей. В приложении 11*2 доказана ортогональность найденной системы функций. Приложение ПЗ содержит справочные сведения по свойствам используемых в работе специальных функций, а также ряд общих часто используемых при выкладках соотношений. Наконец, в приложении 114 рассматриваются вопросы проведения численных расчетов по полученным в работе аналитическим соотношениям.

Благодарности

Прежде всего хочу поблагодарить своего сына Антона: его терпение в те моменты. когда я был занят работой над диссертацией и пе мог уделить ему доста точно внимания, было поистине безграничным. Нельзя переоценить ту помощь и поддержку, которую оказывали мне все это время мои родные и близкие. Исключительно благодаря им я не только взялся за этот труд, по и довел его до конца. Особую признательность и искреннюю благодарность выражаю своему научному руководителю Борису Михай

Заключение диссертации по теме «Антенны, СВЧ устройства и их технологии», Белецкий, Андрей Анатольевич

4.7. Выводы

В настоящем разделе осуществлен переход от задач для конических и бикони-чеокпх тел бесконечной протяженности к телам конечной формы со сферическим дном. Такие задачи имеют гораздо большее значение для практики. Основную трудность при решении задач для конечных тел представляет задача нахождения вспомогательных полей, которая решена здесь методом частичных областей. К сожалению, особенностью применения этого метода в данном случае является громоздкость получаемого решения, что вынуждает применять для исследования численные .методы. По поскольку анализ решений нелинейных задач также производится численно, использование метода частичных областей практически не затруднено.

Поставлена и решена задача возбуждения произвольным распределением сторонних токов конечного идеально проводящего конуса со сферическим дном, на поверхности которого образована система узких азимутальных щелей с нелинейными электродинамическими свойствами.

Для определения вспомогательного поля поставлена и решена методом частичных областей вспомогательная задача определения электромагнитного поля, создаваемого в присутствии конечного конуса со сферическим дном без нелинейных щелей произвольным распределением сторонних источников, расположенных либо вблизи вершины конуса (задача возбуждения), либо удаленных на значительное расстояние от конуса (задача дифракции). На основе общего решения получены решения задач возбуждения конечного конуса элементарным магнитным излучателем и дифракции ноля удаленного ЭМИ на конечном конусе. Проведен численный анализ диаграмм направленности излучаемого (для случая возбуждения) и рассеянного (для случая дифракции) полей.

Проведен численный анализ полученного решения нелинейной задачи для случая одной нелинейной щели и возбуждения в виде бигармонпческого азимутального однородного витка магнитного тока, расположенного на поверхности конуса.

Как оказалось в результате проведенных исследований, сделанные для случая бесконечной конической поверхности в подразд. 2.6 выводы верны и в случае конечного конуса. Кроме этого, наблюдаются также следующие особенности поведения рассматриваемых характеристик:

• сушествую'1 «аномальные» зависимости амплитуд спектральных, составляющих плотности поверхностного тока от угла раскрыва конуса 7. проявляющиеся только при характерных для рассматриваемой задачи значениях длины образующей конуса и и заключающиеся в том. что с ростом л значения амплитуд токов возрастают а не стремячся к пулю, как это имеет место в остальных случаях. Для рассмотренной в подразд. 4.4 задачи подобные зависимости проявляются при а = = 0.5Л:

• в отличие от бесконечного конуса, наличие в данном случае «границы» приводит к тому, что наклон зависимостей амплитуд токов спектральных составляющих от амплитуды тока в стороннем источнике; оказывается более крутым и выражается нецелым числом. Физически это можно объяснить тем. что та часть анергии ЭМП. которая в, бесконечном случае переносилась полем вдоль поверхности конуса па бесконечность, при наличии границы отражается от псе и остается в пределах ограничивающей конус сферы;

• в остальных случаях, как правило, значение длины образующей конуса оказывает достаточно слабое влияние на рассматриваемые характеристики. Наиболее яг,по это показывает ход зависимостей амплитуд спектральных составляющих плот

266 ности поверхностного магнитного тока на нелинейной щели от значения а (см. рис. 4.73 и 4.74).

По аналогии с рассмотренной задачей для конечного конуса, поставлена и решена задача возбуждения и дифракции ЭМВ, создаваемых произвольным распределением сторонних источников, на конечном аксиальном идеально проводящем биконусе со сферическим дном, па поверхности которого создана система азимутальных щелей с нелинейными электродинамическими свойствами.

Задача определения вспомогательного поля решена непосредственно для общего случая расположения сторонних источников (за исключением точек, принадлежащих сфере, ограничивающей бнконус). Для случая возбуждения конечного биконуса без нелинейных щелей витком азимутального стороннего магнитного тока проведен численный анализ полученного решения.

При переходе к неоднородному по азимуту случаю резко возрастает порядок решаемых систем нелинейных уравнений, поскольку поверхность каждой щели приходится разбивал, на некоторое количество секторов с однородным распределением тока внутри каждого сектора (при этом повышение точности решения задачи достигается за счет увеличения счетного времени). Кроме того, численное решение вспомогательной задачи дифракции поля ЭМИ на конечном идеально проводящем конусе зачастую оказы вается не\ стойч п вым.

Таким образом, в данном разделе получено ала. штическое решение задач возбуждения и дифракции ЭМВ на конечных идеально проводящих конусе и биконусе со сферическим дном с системой нелинейных азпмуталышх щелей. Численные исследования проведены для задачи возбуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе на основе единого подхода поставлены и решены следующие задачи возбуждения и дифракции ЭМВ па телах с нелинейными электродинамическими свойствами:

• возбуждение ЭМВ произвольным распределением сторонних источников в присутствии бесконечного кругового идеально проводящего конуса с системой узких азиму тальных щелей на поверхности, между кромками которых существуют контакты с нелинейными электродинамическими свойствами;

• возбуждение ЭМВ произвольным распределением сторонних источников в присутствии бесконечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса с произвольными углами раскрыва поверхностей с системой узких азимутальных щелей, расположенных па поверхности биконуса. между кромками которых существуют контакты с нелинейными электродинамическими свойствами;

• возбуждение ЭМВ произвольным распределением сторонних источников в присутствии конечного кругового идеально проводящего конуса со сферическим дном с системой узких азимутальных щелей на поверхности, между кромками которых существуют контакты с нелинейными электродинамическими свойствами. В случае расположения сторонних источников вдали от конуса, рассмотренная задача является в том числе задачей дифракции ЭМВ па конусе;

• возбуждение ЭМВ произвольным распределением сторонних источников в, присутствии конечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса со сферическим дном с произвольными углами раскрыва поверхностей с системой узких азимутальных щелей, расположенных на поверхности биконуса. между кромками которых существуют' контакты с нелинейными электродинамическими свойствами. В случае расположения сторонних источников на большом расстоянии от биконуса. данная задача является в том числе задачей дифракции ЭМВ на конечном конусе.

Кроме этого, поставлена более общая задача, возбуждения идеально проводящего гладкою тела произвольной формы с нелинейными электродинамическими свойствами про и ;во.тьным распределением сторонних источников. При помощи метода интегральных соотношений для векторов напряженности электрического п магнитного полей получ(чю ее общее решение, которое затем применено к задачам для конических и бпконических поверхностей с узкими азимутальными щелями на их поверхности.

Нелинейные электродинамические свойства контактов заданы в виде нелинейной зависимости мгновенной плотности линейного электрического тока через контакт от: мгновенного напряжения па нем. Ее использование позволяет сформулировать нелинейные граничные условия для плотностей поверхностного электрического и магнитного токов на поверхности контактов. В результате искомые векторы напряженностей электрического и магнитного полей выражаются в виде алгебраических соотношений, содержащих неизвестные плотности поверхностных магнитных токов на поверхностях щелях с нелинейными электродинамическими свойствами. Последние определяются как решения соответствующих систем нелинейных алгебраических уравнений.

Не менее важной задачей при решении поставленных задач в конических и би-коиических областях методом интегральных уравнений является определение вспомогательных полей. Известно |96] решение задачи возбуждения бесконечного кругового идеально проводящего коиуса элементарным магнитным излучателем, ориентированным вдоль ортов ССК. В работе поставлены и решены следующие соответствующие сформулированным выше основным нелинейным задачам вспомогательные задачи:

• возбуждение бесконечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса с произвольными углами раекрыва поверхностей элементарным магнитным излучателем. ориентированным вдоль ортов используемой при решении задачи системы координат:

• возбуждение конечного кругового идеально проводящего конуса со сферическим дном элементарным магнитным излучателем, расположенным внутри сферы с центром в начале координат и радиусом, совпадающим с длиной образующей конуса, и ориентированным вдоль ортов используемой при решении задачи системы координат; а также дифракция на конечном круговом идеально проводящем конусе со сферическим дном ЭМП. создаваемого элементарным магнитным излучателем. расположенным вне сферы с центром в начале координат и радиусом, совпадающим с длиной образующей конуса, и ориентированным вдоль ортов используемой при решении задачи системы координат;

• возбуждение конечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса со сферическим дном с произвольными углами раекрыва поверхностей элементарным магнитным излучате.тем, расположенным внутри сферы с центром в начале координат и радиусом, совпадающим с длиной образующей конуса, и ориентированным вдоль ортов, используемой при решении задачи системы координат: а также дифракция па конечном круговом аксиальном идеально проводящем бико-нусе со сферическим дном с произвольными углами раекрыва поверхностей ЭМП. создаваемого элементарным магнитным излучателем, расположенным вне сферы с центром в начале координат и радиусом, совпа,дающи.у1 с длиной образующей конуса, и ориентированным вдоль ортов используемой при решении задачи системы координат.

В работе показано, что решения описанных вспомогательных задач могут быть получены из решения более общих задач возбуждения рассматриваемых тел произвольным распределением сторонних источников. Замена элементарного магнитного излучателя на источник в виде произвольного распределения сторонних токов практически не усложняет решение вспомогательных задач, зато значительно расширяет круг практического применения результатов. В работе на основе общего решения задачи возбуждения бесконечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса произволв-ным распределением сторонних источников получены также следующие результаты:

• определена функция Грина бесконечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса;

• решена задача возбуждения бесконечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса элементарными электрическим и магнитным излучателями, ориентированными вдоль ортов ССК:

• решена задача возбуждения бесконечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса азнмутальпы.м витком электрического или магнитного тока. соосного с бпконуеом:

• решена задача возбуждения бесконечного кругового аксиального идеально проводящего биконуса с системой азимутальных импсдаисиых щелей, найдены выражения для собственных и взаимных проводимостей щелей на биконусе.

Кроме этого, на основе решения задач возбуждения и дифракции ЭШ'1, созданного произвольным распределением сторопиих источников, на конечных идеально проводящих конусе и биконусе получены соответствующие решения для источников в виде элементарного магнитного излучателя и витка азимутального магнитного тока.

Решение вспомогательных задач для бесконечных тел проведено при помощи метода собственных векторных функций в виде разложения в бесконечные ряды по собственным числам задач. При решении задач для конечных тел используется метод частичных областей.

Для большинства решенных в работе; задач проведено их численное моделирование. Исключение составляют задачи для конечных тел с нелииейпыми электродинамическими свойствами, в которых численный эксперимент был проведен только для случая возбуждения конечного конуса элементарным магнитным излучателем. Препятствием к их численном}' анализу послужила, в осиовиоуг значительная размерность получающихся систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, а также другие объективные ограничения используемых алгоритмов и оборудования, подрооно оосу-жденные в приложении П4.

Все результаты численных расчетов подробно проанализированы, выявлены основные закономерности поведения рассматриваемых зависимостей, на основе полученных сведений сформулированы основные выводы и рекомендации по достгокению требуемых характеристик рассматриваемых нелинейных электродинамических систем.

Требуют обсуждения результаты численных исследований задачи возбуждения бесконечного биконуса с системой азимутальных импедансных щелей. Необходимо рассмотреть более важные для практики аналогичные задачи для конечного конуса и биконуса. Требуется уделить больше внимания анализу результатов решения задач возбуждения и дифракции ЭМВ на конечных конусе и бикоиусе.

Для нелинейных задач список перспективных направлений исследований еще шире. В частности, он включает в себя:

• численный анализ задач для сред с комплексным коэффициентом распространения (сред с потерями). Существенных препятствий к проведению такого рода исследований нет:

• рассмотрение нелинейных контактов с частотной дисперсией:

• учет возможного напряжения смещения, поданного па нелинейные контакты (то есть, фактически, магнитного тока пулевой частоты):

• распространение нелинейных граничных условий па случай стороннего возбуждения. заданного в виде непрерывного спектра частот:

• рассмотрение задач для широких (paciфеделенных) нелинейных контактов:

• решение задач для щелей, произвольно расположенных на поверхности конуса или биконуса. в том числе, для конечных тел, на поверхности сферического дна;

• рассмотрение усеченных конусов и биконусов. в том числе с плоским верхним и или нижним основанием, .либо с выпуклым сферическим закруглением сверху:

• формулирование решений нелинейных задач в виде интегральных соотношений и системы нелинейных интегральных уравнений и последующее численное исследование полученных решений.

За исключением первых двух пунктов, остальные направления требуют проведения дополнительных теоретических нсследоватшй, которые зачастую оказываются .достаточно сложными.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Белецкий, Андрей Анатольевич, 2002 год

1. Хай га В. Паразитные сигналы, генерируемые в больших рефлекторных антеннах вследствие туннелировапия электронов. // ТИИЭР, 1975. Т.62. Xй 2. С.67-74.

2. Bavrak М. Benson F.A. Intermodulation Product from Nonlinearities in Transmission Line and Connector at Microwave Frequencies. // Proc. IEE. 1975. V.122. X® 4. PP.361367.

3. Вернигоров LLC. Харин В.Б. Влияние антенн о-фидерного тракта нелинейного объекта на дальность обнаружения в нелинейной локации. Радиотехника и электроника, 1997. Т,12. № 12. С.1447-1451.

4. Якунин Б.С. Барилович O.I1. Влияние продуктов нелинейности на параметры РРЛ. //' Электросвязь. 1975. № 7. С.34-36.

5. Fujino Yoslnvuki. Fujit a. Masaharu. Development of a High-Efficiency Rectenna for Wireless Power Transmission Application to Microwave-Powered Airship Experiment. ' J. Cominun. Pes. Lab. 1996. A".43. Л» 3. PP.367-371.

6. Шпфрин Я.С. Лучапнпов A.II. Посохов А.С. Нелинейные аффекты в активных фазированных антенных решетках. ; ' Радиотехника и электроника. 1994. Т.39. .М 7. С.1095 1106.

7. Middlton ,J. The Effects of Harmonic Radiation from Digital Picture Processing Equipment on International Distress Services. У Iя1 Int. Conf. on EMC. 1986. England. P.237-240.

8. Козлов А.П. Кувылин A.II. Особенности радиолокационной системы обнаружения "нелинейных объектов". // Теория и практика применения и совершенствование радиоэлектронных систем FA. — М. 1985. С.3-8.

9. Нелинейная радиолокация: принцип действия, область применения, приборы и системы. Системы безопасности, связи и телекоммуникаций. 1995. А 6. С.52-54.

10. Бочкарев A.M. Долгов М.Н. Радиолокация малозаметных летательных аппаратов. Зарубежная радиоэлектроника. 1989. А' 2. С.3-17.

11. Harger R.O. Harmonic Radar Systems for Xear-Ground in-Folliage Nonlinear Scattered. IEEE Trans. Aerosp. and Electron. Syst. 1976. Y.AES-12. A 2. P.230-245

12. Михайлов Г.Д. Анализ отражения радиоволн от активной плоскослоистой среды. // Радиотехника и электроника. 1989. Т.34. № 6. С.1135 4142.

13. Верпигоров H.G. Нелинейный локатор — эффективное средство обеспечения безопасности в области утечки информации. // Защита информации, 1996. 1. С.67-69.

14. Watson A.W.D. Improvements in the Suppression of External Xonlinearities ("Rusty Bolt "Effect) which Affect Naval Radio System. ,// IEEE Int. Symp. on Electrom. Compat,. Washington, Aug. 20 22, 1983. P.157 160.

15. Лоуэнхар К. Детекторы для обнаружения оружия. // Электроника. 1970. Т.43. № 20. С.45-46.

16. Kanda M. Standart Probes for Electromagnetie Field Measurements. '. IEEE Trans. Antennas and Propng. 1993. \'.ll. .7- 10. PP.1319 1364.

17. Ключник А.В., Ма.такшннов Н.П. Тюльиаков В.И. Нелинейные микропо.тосковые антенны, у/ Proc. of 9th Intern. Crimean Microwave Conf. CriMiCo:99. 13-46 Sept. 1999, Sebastopol. Crimea, Ukraine. PP.209-211.

18. Bolle D.YI. MorgHiistern M.D. Monopole and conic antennas on spherical vehicles. /7 IEEE Trans. AP. 1969. Y.17. .Y 4. P.477 484.

19. Brown A.K. Milne K. Foster P.P. A null-steering system for low cost, low G/T maritime mobile sattelite cornmnmcations. 4th Int. Conf. Ant. and Prop.: Dig. L. N.Y. 1985. P.300-303.

20. Barbero J. Fernandez M.J. Fonteeha J.L., Gonzalez A. Hermanz M. Martin P.C., Taltavull J. Hemispherical coverage antennas for sattelitc mobile comnmnications. /, Proc. Int.Symp. AP.: Tokyo. 1985. Y.l. P.341-314.

21. Kumar A. Hightly shaped beam telemetry antenna for the ERS-l satellite1. IEE Proc., 1987. Y.H131. Да 1. P.106 108.

22. Ramsdale P.A. Anleunas for communications. 7 IEEE Commun. Mag. 1981. Y.19.5. P.28-36.

23. Austin В.A. Wire antennas for tactical high frequency communications. Part 1. •7 Electron. 1986. Y.3. Л* 6. PP.17. IS. 20.

24. Панкратов С.Г. Биконичсская антенна как источник образцовых импульсных электромагнитных полей. // Измерит, техника. 1981. X5 6. РР.56-58.

25. Бузинов B.C. Иванов П.Е., Исхакова Н.Н. Исследование точности конструкции конусов для образцовых биконических антенн. // Исслед. в обл. прециз. радио-техн. измероиий. — М., 1987. С.150- 152.

26. Пат. 4719699 США, МКИ В26Г 13/00. Reference antennas for emission detection. / Cv.Dash. I.Straus.

27. Кобак В.О. Радиолокационные отражатели. — Мл Сов. радио.1975. 248 с.

28. Smith С.Е. Butler С.М., IJinashankar K.R. Characteristics of a wire biconical antenna. // Microwave .. 1979. V.22. № 9. P.37-10.

29. Crimes D.M. Biconical receiving antenna. J. Math. Phys. 1982. Y.23. .M 5. P.897-9.1.4.

30. Kawakarni ft. Sato G. Broad-band characteristics of rotatioually symmetric antennas and thin wire constructs. / IEEE Trans. AP. 1987. Y.35. .V I. P.26-32.

31. A.c. 1215154 СССР. MKII HOI Q 13 04. Вибраторная антенна. ' В.Г.Гофмап. Г.А.Ерохип. B.C.Омаров.

32. Пат. 1502100 Англия. МКИ HOI Q 19 10, HOI Q 1/08. Improvements in or relating to di,scone. .).Edwards.

33. Пат. 3618107 CI 11A, MKII HOI Q 13 00. Broadband cliscone antenna having auxiliary cone. / W.M.S.)anos.

34. Пат. 3641578 США, МКП HOI О 1 18. IIOI О 13 00. Discone antenna. W.M.Spa-nos. M.S.Polgar.

35. Пят. 4225869 США. МКИ HOI 013 0 1. Multistat bicone antenna. D.R .Eohrmann.37. liar. 4608572 США, MKII HOI Q 1 18. Broad-band antenna having frequency-independent. lowloss ground plane. f.B.Blaknev. D.D.Connell.

36. Пат. 547687 Австралия. .MKH HOI О 9 28. IIOI Q 19 13. Biconical antenna.1. C.Y.Bnnny.39lie. шпепные ->. к'ктромагнитные волны Мл Мир. 1983. 312 е. ил.1. Пер. с англ.1. Под ред. П.Ус.тепги

37. Kanda M. Analitical and Numerical Technique for Analysing an Electrically Short Dipole with Nonlinear Load /7 IEEE Trans. Antennas and Propag. — 1980. Y.AP-28. № 1. P. 71-78.

38. Smith .J.L. Maia P.P. A Method for Prediction Intermodulation Product Levels ' ' IEEE Int. Symp. on Electrom. Compat. Boston, Aug. 20-22. 1985. P.408-410.

39. Tromp L.D. Rudko M. Rusty Bolt EMC Specification Based on Nonlinear System Identification // IEEE Int. Symp. on Electrom. Compat. Boston, Aug. 20-22, 1985. P.419-425.

40. Jain V.K., McClellan Т.Е. Kenneally D.J. Stable Compensation of Nonlinear Communication Systems // IEEE Int. Symp. on Electrom. Compat. Boston. Aug. 20-22. 1985. P.339-107.

41. Fleming M.A. Millins F.IL, Watson A.W.D. Harmonic Radar Detection System // In Proc. of IEE International Conference Radar 77. London. Oct. 1977. P.552-554.

42. Scliuman H.k. Time-Domain Scattering from Nonlinear Loaded Wire , IEEE Trans. Antennas and Propag., 1974. V.AP-22. 4. P.61 I 617.

43. Sayre E.P. Harrincton R.F. Time-Domain Radiation and Scattering by Thin Wire

44. Appl. Sci. Res., 1972. V.26. P.715.47. 11(тейншлейгер В.В. Нелинейное рассеяние радиоволн металлическими объектами

45. Успехи физических пау к. 19S4. 1.111. Вын.1. С. 131-115.-18. Kanda М. Analyzing Short Dipoles with Nonlinear Loads // Microwaves and RE, 1983. N" 1. P.74 77.

46. Мясежпиков P.С. Мухина M.M. Сельский А.Г. Штейншлейгер В.Б. Исследова-ннс полуволнового вибратора, содержащего нелинейный контакт // Радиотехникаи электроника. 1978. Т.23. Вып.12. С.2625-2628.

47. Крылов LI.IL. Боголюбов Н.Н. Новые методы нелинейной механики и их применение к изучению работы современных генераторов. — М.: Гостехиздат. 1934.

48. Liu Т.К. Tesche FAI. Analysis of Antennas and Scatterers with Nonlinear Loads

49. EE Trans. Antennas and Propag., 1976. Y.AP-24. Л» 2. P.I31-139.

50. Martin R.O. Morentc J.A. Salinas A. Application of the Monopulse Technique* to a Planar Array of Nonlinear Loaded Straight-Wire Coupled Antennas IEEE Trans. Electrornag. Сотр. 1987. Y.EMC-29. .Y 2. P. 169 172.

51. Naldy C., Zich R. Fillicorv Analysis of Nonlinearlv Loaded Antennas and Scatterers // In: 10th Eur. Microwave Conf. Warsza.va. 1980. S(4enoak. s.a. P.485-489.

52. Nallrla M.S. Vlack J. A Picccwise Harmonic Balance Technique for Determination of Periodic Response of Nonlinear Systems // IEEE, 1976. V.CAS-23. As 2. P.85 91.

53. Merewetlrer D.E. Ezell Т.К. The Interaction of Cylindrical Posts and Radiation-Induced Electric Field Pulses in Ionized Media // IEEE Trans. Nuel. Sci., 1971. V.NS-21. № 1. P. 4-13.

54. Balir A.J. Theorv of Scattering from Xonlinearly Loaded Aperture IE HE Trans. Antennas and Propag., 1980. Y.AP-28. .Y 6. P.840-815.

55. Вайиштейн Л.А. Электромагнитные полны. — M.: Сов.радио. 1957. — -186 е. ил.

56. Меицер Дж.Р. Дифракция и рассеяние радиоволн. Пер. с англ. М.: Сов.радио, 1958. 148 с.

57. Eelsen L.B. Backscattering from wide-angle and narrow-angle cones. J. Appl. Phys. 1955. V.26. .Y 2. P. 138-151.

58. Eelsen L.B. Plane-wave scattering by small-angle cones. IRE Trans. AP. 1957. A".5. .Y 1. P.121-129.

59. Eelsen L.B. Asymptotic expansion of the defractecl wave for a semi-infinite cone. // IRE Trans. AP., 1957. V.5. .Y 4. P.402-401.

60. Ландсберг IP.4. Рассеяние плоской волны металлическим конусом вблизи его оси симметрии. Радиотехника и электроника. 1979. 4'.24. .Y 5. С.886-896.

61. Felsen L.B. Alternative field representations in region bounded by spheres, cones and planes. / IRE Trans. AP. 1957. Y.5. .Y I. P.109 421.

62. Fels(>n L.B. Radiation from ring sources in the presence of a .semi-infinite cone. IRE Trans. AP., 1959. Y.7. Y 2. P.I68-180.

63. Pridiriore-Browii D.C. Stewart E. Radiation from slot antennas он cones. IEEE Trans. AP. 1972. Y.20. Y- 1. P.36-39.68.