Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Ковалевская, Ксения Викторовна

• Ковалевская, Ксения Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ковалевская, Ксения Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

Общая характеристика работы.

Обзор литературы.

ГЛАВА 1. Влияние модуляции силы тяжести на устойчивость механического равновесия вязкоупругой жидкости в горизонтальном слое, подогреваемом снизу.

Постановка задачи.

Метод решения.

Результаты.

Случай низких частот модуляции.

Выводы.

ГЛАВА 2. Возникновение и нелинейные режимы конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости при подогреве снизу.

2.1. Свободные границы.

Постановка задачи.

Монотонная неустойчивость равновесия.

Колебательная неустойчивость равновесия.

2.2. Твердые границы.

Монотонная неустойчивость равновесия.

Колебательная неустойчивость равновесия.

Выводы.

ГЛАВА 3. Влияние модуляции силы тяжести на возникновение и нелинейные режимы конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости

Постановка задачи.

Метод решения.

Результаты.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести»

Актуальность работы. Изучение характеристик свободной конвекции является предметом многих теоретических и экспериментальных работ. Исследования по тепло- и массопереносу в неравномерно нагретых вязкоупругих средах представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения современных потребностей производства, связанных с переработкой, транспортировкой и хранением таких жидкостей. Как известно, закон течения вязкоупругих сред отличается от того, которому подчиняется течение ньютоновской жидкости, что в значительной степени меняет характеристики конвективного течения и теплопереноса в этих средах. Это обстоятельство необходимо учитывать при расчете технологических процессов с участием вязкоупругих сред.

Для оптимизации технологических процессов важно не только знание закономерностей возникновения и нелинейных режимов конвекции, но также умение управлять поведением жидкостей. В качестве одного из эффективных инструментов управления может быть использована модуляция параметров.

Как показывает анализ литературы, нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей и способы управления конвективными явлениями этих жидкостей изучены недостаточно.

Цели диссертационной работы: исследование влияния модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Олдройда; исследование характера возбуждения и нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости в статическом поле тяжести; исследование влияния модуляции силы тяжести на возникновение и нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости.

Автором представляется к защите: результаты исследования влияния модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости Олдройда в горизонтальном слое со свободными границами; результаты слабо-нелинейного анализа поведения жидкости Олдройда вблизи порога конвективной неустойчивости в подогреваемой снизу замкнутой полости со свободными границами, в статическом поле тяжести; результаты исследования слабонадкритических нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости со свободными границами, в статическом поле тяжести; результаты слабо-нелинейного анализа поведения жидкости Олдройда вблизи порога конвективной неустойчивости в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами, в статическом поле тяжести; результаты численного исследования нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами в статическом поле тяжести; результаты численного исследования влияния модуляции силы тяжести на линейную устойчивость равновесия жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами; результаты численного исследования влияния модуляции силы тяжести на нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами.

Достоверность результатов основывается на применении современных апробированных методов исследования; соответствии результатов данным, полученным предшественниками, соответствии результатам, получающимся в предельных случаях жидкостей Ньютона, Максвелла, статического поля силы тяжести; согласии результатов, полученных в рамках линейного, слабонелинейного и нелинейного подходов.

Научная новизна результатов: определены границы линейной устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Олдройда в модулированном поле тяжести; найдено, что запаздывание деформаций оказывает стабилизирующее воздействие; методами слабо-нелинейного анализа найдены границы, разделяющие области мягкого и жесткого возбуждения конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области в случаях свободных и твердых границ; с помощью конечномерной динамической системы исследованы слабонадкритические нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области со свободными границами; обнаружены и исследованы бифуркационные переходы пяти типов; численно исследованы нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами; обнаружен интервал реологических параметров, в котором амплитудная поверхность является неоднозначной, так что на плоскости параметров число Дебора - число Грасгофа имеются две линии складок, образующих сборку; определены границы линейной устойчивости равновесия и характеристики нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами в модулированном поле тяжести.

Практическая значимость работы: полученные в работе данные об условиях возникновения и нелинейных режимах конвекции вязкоупругих жидкостей могут быть использованы при оптимизации процессов химической и нефтяной промышленности. Данные о влиянии модуляции силы тяжести на конвективные движения вязкоупругой жидкости в горизонтальном слое и замкнутой полости при подогреве снизу могут быть использованы при разработке технологий управления тепло- и массообменом при хранении, транспортировке и переработке полимерных соединений.

Публикации. Результаты исследований, представленные в диссертации, опубликованы в 12 печатных работах [1]-[12] - из них 5 статей (2 статьи в российских журналах, входящих в перечень ВАК, одна статья в сборнике научных трудов и 2 статьи в сборниках трудов конференций) и 7 тезисов докладов на конференциях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференциях: конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», 2005, 2006, 2007, 2008, Пермь, Россия;

Межвузовская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края», 2008, Пермь, Россия;

15-я и 17-я Зимние школы по механике сплошных сред, 2007, 2011, Пермь, Россия;

Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XV научной школы «Нелинейные волны-2010», 2010, Нижний Новгород, Россия;

4-я Всероссийская конференция с международным участием «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», 2011, Новосибирск, Россия.

Содержание и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографического списка, включающего 125 наименований. Работа изложена на 124 листах машинописного текста, содержит 46 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ковалевская, Ксения Викторовна

Выводы

Исследовано влияние синусоидальной модуляции силы тяжести на возникновение и нелинейные режимы тепловой конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости. Определены пороговые значения управляющих параметров для одно- и двухвихревого режимов. Найдено, что модуляция силы тяжести расширяет диапазон параметров, в котором двухвихревые структуры являются наиболее опасными. В зависимости от значений параметров развитие неустойчивости может быть связано с синхронными, субгармоническими или квазипериодическими возмущениями. Получены изолинии течений и компонент тензора напряжений для разных режимов конвекции. Исследованы характеристики надкритических режимов конвекции. Установлено, что конвективное движение может возбуждаться как мягко, так и жестко. Модуляция силы тяжести в исследуемой области параметров не меняет характер возбуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Определены границы линейной устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Олдройда в модулированном поле тяжести; найдено, что запаздывание деформаций оказывает стабилизирующее воздействие.

2. Методами слабо-нелинейного анализа найдены границы, разделяющие области мягкого и жесткого возбуждения конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области в случаях свободных и твердых границ.

3. С помощью конечномерной динамической системы исследованы слабонадкритические нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области со свободными границами; обнаружены и исследованы бифуркационные переходы пяти типов.

4. Численно исследованы нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами. Обнаружен интервал реологических параметров, в котором амплитудная поверхность является неоднозначной, так что на плоскости параметров число Дебора - число Грасгофа имеются две линии складок, образующих сборку.

5. Определены границы линейной устойчивости равновесия жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами в модулированном поле тяжести.

6. Численно исследовано влияние модуляции силы тяжести на нелинейные режимы конвекции вязкоупругой жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ковалевская, Ксения Викторовна, 2011 год

1. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Конвекция упруговязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Тезисы докладов конференции молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь, 2006. С. 25

2. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия упруговязкой жидкости в горизонтальном слое, подогреваемом снизу// Межвузовский сборник научных трудов «Гидродинамика». 2007. №16. С. 118-128

3. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на возникновение конвекции упруговязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемого снизу// Тезисы докладов 15 Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 2007. Ч. 2. С. 160

4. Любимов Д.В., Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Бифуркации в задаче тепловой конвекции упруговязкой жидкости в подогреваемой снизу замкнутой области со свободными границами// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т 19. №3. С. 16-25

5. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Возникновение и нелинейные режимы конвекции упруговязкой жидкости в замкнутой полости при подогреве снизу// Изв. РАН. МЖГ. 2011. №6. С. 16-26

6. Гарифуллин Ф.А. Механика неньютоновских жидкостей. Казань: Фэн. 1998,416 с.

7. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир. 1964. 216 с.

8. Bingam Е.С. Fluidity and plasticity. New York: McGraw-Hill. 1922. 440 p.

9. Ostwald W. Non-Newtonian effects in some general elasticoviscous liquids// Kolloid. Z. 1925. V. 36. P. 99-101

10. Reiner M. Deformation and flow. London: Lewis. 1949. 346 p.

11. Pryce-Jones J. Studies in thixotropy// Kolloid Zeit. 1952. V. 126. P. 96-122

12. Freundlich H., Julisberger F. Quicksand as a thixotropic system// Trans. Faraday Soc. 1935. V. 31. P. 920-944

13. Huilgol R.R., Phan-Thien R. Fluids mechanics of viscoelasticity: General principles, constitutive modeling, analytical and numerical techniques of rheological equations of state. Amsterdam: Elsevier. 1977. 429 p.

14. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of polymeric of liquids. V. 1: Fluid Mechanics. New York: John Wiley and Sons. 1987. 584 p.

15. Скульский О.И., Аристов С.Н. Механика аномально вязких жидкостей. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2003. 156 с.

16. Truesdel С., Noll W. The nonlinear field theories of Mechanics. Berlin: Springer-Verlag. 1965. 387 p.

17. Bernstein В., Kearslet E.A., Zapas L.J. A study of stress relaxation with finite strain// J. Trans Soc. Rheol. 1963. V. 7. P. 391-410

18. Tanner R.I., Simmons J.M. Combined simple and sinusoidal shearing elastic liquids// Chem. Engin. Sci. 1967. V. 22. P. 1803-1815

19. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases// Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1867. V. CLVII. P. 49-88

20. Schofield R.K., Scott-Blair G.W. The relationship between viscosity, elasticity and plastic strength of soft materials as illustrated by some mechanical properties of flour dough. I// Proc. Roy. Soc. Lond. 1932. V. 138. P. 707-719

21. Astarita G., Marucci G. Principles of non-Newtonian fluid mechanics. UK: McGraw-Hill Book. 1974. 289 p.

22. Jeffreys H. The Earth// Cambridge University Press. 1924. 265 p.

23. Keunings R., Bousfield D.W., Analysis of Surface Tension Driven Leveling in Horizontal Viscoelastic Films// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1987. V. 22. P. 219

24. Oldroyd J.G. The effect of interfacial stabilizing films on the elastic and viscous properties of emulsions// Proc. R. Soc. London. 1953. Ser. A 218. P. 122132

25. Шульман З.П., Ковалев Я.Н., Зальцгендлер А. Реофизика конгломератных материалов. Минск: Наука и техника. Минск: Наука и техника. 1978. 240 с.

26. Schofield R.K., Scott-Blair G.W. The relationship between viscosity, elasticity and plastic strength of soft materials as illustrated by some mechanical properties of flour dough. IV// Proc. Roy. Soc. Lond. 1937. V. 160. P. 87-94

27. Рейнер M. Реология. Москва: Наука. 1965. 224 с.

28. Benard Н. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Rev. Gen. Sci. Pure Appl. 1900. V. 11. P. 1261-1268

29. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en regime permanent//Ann. Chim. Phys. 1901. V. 23. I. 7. P. 62

30. Lord Rayleigh. On the convection currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the underside// Phil. Mag. 1916. V. 32. P. 529-546

31. Schluter A., Lortz D. and Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection//J. Fluid Mech. 1965. V. 23.1. 1. P. 129

32. Palm E. Nonlinear thermal convection// Annual Rev. Fluid Mech. 1975. V. 7. P. 39-61

33. Chandrassekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford University Press, Oxford, 1961

34. Drazin P.G. and Reid W.H. Hydrodynamic stability, Cambridge University Press, Cambridge, 1981

35. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Москва: Наука, 1972. 392 с.

36. Сорокин B.C. Вариационный метод в теории конвекции// ПММ. 1953. Т. 17. № 1. С. 39-48

37. Green Т. Oscillating convection in an elastoviscous liquid// Phys. of Fluids 1968, V. 11, №7. pp.1410-1412

38. Vest C.V., Arpaci V.S. Overstability of a viscoelastic fluid layer heated from below // J.Fluid Mech. 1969. V.36. Part 3. P.613-623

39. Takashima M. Thermal instability in viscoelastic fluid layer// I. Journal of the Physical Society of Japan. 1972. V. 33. № 2. P. 511-518.

40. Sokolov M.and Tanner R.I. Convective stability of a general viscoelastic fluid heated from below, Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 534

41. Eltayeb I.A. Nonlinear thermal convection in elastoviscous layer heated from below// Proc. R. Soc. bond. 1977. A 356. P. 161-176

42. Kolkka R.W. and Ierley G.R. On the convected linear stability of a viscoelastic Oldroyd В fluid heated from below// J. Non-Newt. Fluid. Mech. 1987. V. 25. P. 209-237

43. Martinez-Mardones J. ., Perez-Garcia C. Linear instability in viscoelastic fluid convection// J. Phys. Condens. Matter. 1990. V. 2. № 5. P. 1281-1290

44. Боярченко В.И., Штессель Э.А. О конвективной неустойчивости вязкоупругой жидкости в поле сил тяжести// Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 5. С. 180-182

45. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Влияние границ на возникновение конвекции в слое упруго-вязкой жидкости// Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума по теории механической переработки полимерных материалов. Пермь. 1976. С. 36

46. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Конвективная неустойчивость слоя упруговязкой жидкости, с учетом теплопроводности границ// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1976. № 5. С. 110-114

47. Pérez-Reyes I., Dávalos-Orozco L.A. Effect of thermal conductivity and thickness of the walls in the convection of a viscoelastic Maxwell fluid layer// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2011. V. 54.1. 23-24. P. 5020-5029

48. Kolodner P. Oscillatory convection in viscoelastic DNA suspension// J. Non-Newt. Fluid. Mech. 1998. V. 75.1. 2-3. P. 167-192

49. Гарифуллин Ф.А. Возникновение конвекции и теплообмен в плоских слоях неньютоновских жидкостей. Казань: Фэн, 1994. - 208 с.

50. Garifullin F.A., Sapporow F.I., Reher Е.О. Influence of viscoelastic properties on the cellular convection within a horizontal layer// Plaste Und Kautshuk. 1982. V. 29. P. 594-596

51. Dávalos-Orozco L.A., Vázquez Luis E. Natural convection of a viscoelastic fluid with deformable free surface// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 1999. V. 85,1. 2-3. P. 257-271

52. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М. Мир. 1981. 638 с.

53. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Конвективная неустойчивость системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела. Изв. РАН. МЖГ. 1996. №2. С. 32-39

54. Sekhar, G.N. and Jayalatha, G. Elastic effects on Rayleigh-Bénard convection in liquids with temperature-dependent viscosity// Int. J. of Thermal Sciences. 2010. V. 49. P. 67-79

55. Hamabata H. Overstability of a viscoelastic liquid layer with internal heat generation// Int. J. Heat and Mass Transfer. 1986. V. 29. I. 4. P. 645-647

56. Park H.M., Ryu D.H. Nonlinear convective stability problems of viscoelastic fluids in finite domains// Rheol Acta. 2002. V. 41. P. 427-440

57. Park H.M., Ryu D.H. Hopf bifurcation in thermal convection of viscoelastic fluids within finite domains// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2001. V. 101. P. 1-19

58. Park H.M., Park K.S. Rayleigh-Benard convection of viscoelastic fluids in arbitrary finite domains// International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004. V. 47. P. 2251-2259

59. Park H.M., Shin K.S., Sohn H.S. Numerical simulation of thermal convection of viscoelastic fluids using the grid-by-grid inversion method// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2009. V. 52.1. 21-22. P. 4851-4861

60. Kaloni P.N. Lou J.X. On the stability of thermally driven shear flow of an Oldroyd-B fluid heated from below// J. of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 2002. V. 107.1. 1-3. P. 97-110

61. Мызников B.M. О спектре декрементов возмущений стационарного адвективного движения вязкой жидкости, вызываемого продольным градиентом температуры// Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость УНЦ АН СССР. 1979. С. 29-35

62. Мызников В.М. О форме возмущений плоскопараллельного конвективного движения в горизонтальном слое// Гидродинамика. Пермь: Пермский пед. ин-т. 1974. Вып. 7. С. 33-42

63. Gozum D. Arpaci V.S. Natural convection of viscoelastic fluids in a vertical slot// J. of Fluid Mech. 1974. V. 64. P. 439-448

64. Takashima M. The stability of natural convection in a vertical layer of viscoelastic liquid// Fluid Dynamics Research. 1993. V. 11.1. 4. P. 139-152

65. Park H.M., Ryu D.H. Nonlinear convective stability problems of viscoelastic fluids in finite domains// Rheol Acta. 2002. V. 41. P. 427-440

66. Park H.M., Ryu D.H. Hopf bifurcation in thermal convection of viscoelastic fluids within finite domains// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2001. V. 101. P. 1-19

67. Park H.M., Park K.S. Rayleigh-Benard convection of viscoelastic fluids in arbitrary finite domains// International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004. V. 47. P. 2251-2259

68. Park H.M., Shin K.S., Sohn H.S. Numerical simulation of thermal convection of viscoelastic fluids using the grid-by-grid inversion method// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2009. V. 52.1. 21-22. P. 4851-4861

69. Rosenblat S. Thermal convection in a viscoelastic liquid// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1986. V. 21. P.201

70. Park H.M., Lee H.S. Nonlinear hydrodynamic stability of viscoelastic fluids heated from below// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1995. V. 60. P. 1-26

71. Park H.M., Lee H.S. Hopf bifurcations of viscoelastic fluids heated from below// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1996. V. 66. P. 1-34.

72. Brand H.R., Zielinska B.J.A. Tricritical codimension-2 point near the onset of convection in viscoelastic liquids// Physical Review Letters. 1986. V. 57. № 25. P. 3167-3170

73. Khayat R. E. Chaos and overstability in the thermal convection of viscoelastic fluids// J. Non-Newt. Fluid Mech. 1994. V. 53. P. 227-255

74. Khayat R. E. Nonlinear overstability in the thermal convection of viscoelastic Fluids// J. Non-Newt. Fluid Mech. 1995. V.58. P. 331-356

75. Khayat E.R. Fluid elacticity and the transition to chaos in thermal convection//Phys. Rev. E. 1995. V. 51. № 1. P. 380-399

76. Abu-Ramadan E., Hay J. M., Khayt R. E. Characterization of chaotic thermal convection of viscoelastic fluids// J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 2003. V. 115.

77. Li Z., Khayat E.R. Three-dimensional thermal convection of viscoelastic fluids// Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 066305

78. Li Z. and Khayat R. E. Finite-amplitude thermal convection of viscoelastic fluids//J. Fluid Mech. 2005. V. 529. P. 221-251

79. Li Z., Khayat E.R. Pattern formation in viscoelastic thermal convection// Computational Fluid Dynamics 2004. 2006. Part. XX. P. 845-846

80. Martinez-Mardones J., Perez-Garcia C. Bifurcation analysis and amplitude equations for viscoelastic convective fluids// Physics and astronomy. 1992. V. 14. P. 961-975 1

81. Martinez-Mardones J., Tiemann R., Zeller W. and Perez-Garcia^C. Amplitude equations for' viscoelastic convective fluids// Instabilities and Nonequilibrium Structures IV. Mathematics and Its Applications. 1993. V. 267. Part II. P. 317-324

82. Martinez-Mardones J., Tiemann R., Zeller W., Perez-Garcia C. Amplitude equation in polymeric fluid convection// Int. J. Bifurcation Chaos. 1994. V. 4 P.

83. Martinez-Mardones J., Tiemann R., Zeller W. Convection in Oldroyd-B fluid amplitude equation// Chaos Solitons Fractals. 1995. V.6. P. 341-345

84. Martinez-Mardones J., Tiemann R., Walgraef D., Zeller W. Amplitude equations and pattern selection in viscoelastic convection// Physical Review E. 1996. V. 54. №2. P. 1478-14881. P. 79-1131347-1351

85. Anand К. Numerical simulation of oscillatory Rayleigh-B6nard convection in a viscoelastic liquid// Technical Report. C-MMACS National Aerospace Laboratories, Bangalore, India. 2001

86. Renardy M., Renardy Y. Pattern selection in the Benard problem for a viscoelastic fluid// ZAMP. 1992. V. 43. P. 154-180

87. Крапивина E.H., Любимова Т.П. Нелинейные режимы конвекции упруго-вязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 4. С.5-11.

88. Kaloni P.N., Lou J.X. Nonlinear convection of viscoelastic fluid with inclined temperature gradient// Continuum Mech. Thermodyn. 2005. V. 17. P. 1727

89. Семакин И.Г. Нелинейная конвекция вязкоупругой жидкости// Процессы тепло- и массопереноса вязкой жидкости : Сб. науч. трудов. 1986. С. 41

90. Тарунин Е.Л. Тепловая конвекция в прямоугольной полости, подогреваемой сбоку//Гидродинамика. Пермь. 1970. Вып. 2. С. 163-175

91. Тарунин Е.Л., Шайдуров В.Г., Шарифулин А.Н. Экспериментальное и численное исследование устойчивости замкнутого конвективного пограничного слоя// Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. 1979. С. 3-16

92. Watts, А. В., Bodine, J. Н., Ribe, N. М. Observations of flexure and the geological evolution of the Pacific Basin//Nature. 1980. V. 283. P. 532-537

93. Podlachikov, Yu. Yu., Lenardic A., Yuen D. A., Quareni F. Dynamical consequences of stress focussing for different rheologies: Earth and Venus perspectives//EOS Trans. AGU. 1993. V. 74. P. 598

94. Harder H. Numerical simulation of thermal convection with Maxwellian viscoelasticity// J. Non-Newtonian Fluid Mechanics. V. 39. P. 67-88

95. Melosh H.J. Dynamic support of the outer rise// Geophys. Res. Lett. 1978. V. 5. P. 321-324

96. Gurnis M., Eloy C., Zhong S. Free-surface formulation of mantle convection II. Implications for subduction zone observables// Geophys. J. Int. 1996. V. 127. P. 719-727

97. Moresi L., Dufour F., Muhlhaus H. Mantle convection modeling with viscoelastic/brittle lithosphere: Numerical methodology and plate tectonic modeling//Pure and Applied Geophysics. 2002. V. 159. № 10. P.2335-2356

98. Davis S.H. The stability of time-periodic flows// Annual Review of Fluid Mechanics. 1976. V. 8. P. 57-74

99. Venezian G., Effects of modulation on the onset of thermal convection// J. Fluid. Mech. 1969. V. 35. P. 243-254

100. Rosenblat S. and Herbert D.M. Low-frequency modulation of thermal instability// J.Fluid. Mech. 1970. V. 43. P. 385-398

101. Rosenblat S. and Tanaka G.A. Modulation of thermal convection instability// Phys. Fluids. 1971. V. 14. P. 1319-1322

102. Yih C.-S. and Li C.-H. Instability of unsteady flows or configurations 2. Convective instability. Journal of Fluid Mech. 1972. V. 54. P. 143-152

103. Finucane R.G. and Kelly R.E. Onset of instability in a fluid layer heated sinusoidally from below// Int. J. Of Heat and Mass Transfer. 1976. V. 19. P. 71-85

104. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Юрков Ю.С. О конвективной устойчивости при наличии периодически меняющегося параметра// ПММ. 1970. №34. С. 470

105. Маркман Г.С., Юдович В.И. Численное исследование возникновения конвекции в слое жидкости под действием периодических по времени внешних сил //Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. №3. С. 81-86

106. Маркман Г.С., Юдович В.И. Возникновение конвекционных режимов двойного периода в периодическом поле внешних сил// ПМТФ. 1972. №6. С. 65-70

107. Gresho P.M. and Sani R.L. The effects of gravity modulation on the stability of a heated fluid layer// J. of Fluid Mech. 1970. V. 40. P. 783-806

108. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции в условиях периодической модуляции внешней силы// Гидродинамика. Пермь: Пермский ун-т. 1971. Вып. 3. С.75-96

109. Yang W.M. Stability of viscoelastic fluids in a modulated gravitational field// Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V. 40. №.6. P. 1401-1410.

110. Крапивина E.H., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости// Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Пермский ун-т, 1998, с.182-194.

111. Onyegegbu S.O. Overstability of a Viscoelastic Fluid Layer Oscillating in a Vertical Periodic Motion and Heated From Below// Journal of Applied Mechanics. 1979. V.46.1. 2. P. 454-456

112. Крапивина E.H., Любимова Т.П. Тепловая конвекция жидкости Максвелла в замкнутой полости, подогреваемой снизу, при модуляции силы тяжести// Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Пермский ун-т. 2001. Вып.2. С.157-173.

113. Siddheshwar P.G., Sekhar G.N. and Jayalatha G. Effect of time-periodic vertical oscillations of the Rayleigh-Benard system on nonlinear convection in viscoelastic liquids//J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2010. V. 165, P. 1412-1418

114. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С. Влияние шума на возникновение конвекции в модулированном поле тяжести. Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 6. С. 30-37

115. Крапивина Е.Н, рук. Любимова Т.П. Возникновение и надкритические режимы конвекции вязкоупругих жидкостей в слоях и замкнутых полостях, диссертация. 2005

116. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут.ун-та. 1990. 228с.

117. Любимова Т.П. О конвективных движениях неньютоновской жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. №2. С.181-184