Нелинейность Толмена в теории капиллярных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Долгих, Антон Владимирович

• Долгих, Антон Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Долгих, Антон Владимирович

Введение

1 Обзор литературы

2 Размерная зависимость поверхностной энергии кластеров с плотной упаковкой

3 Капиллярные волны с нелинейностью Толмена

3.1. Капиллярные волны в отсутствии нелинейности Толмена

3.2. Природа нелинейности Толмена.

3.3. Капиллярные волны бесконечно малой амплитуды с нелинейностью Толмена.

3.4. Капиллярные волны конечной амплитуды с учетом нелинейностью Толмена

3.4.1. Капиллярные волны конечной амплитуды в отсутствии нелинейности Толмена (¿) = 0).

3.4.2. Асимптотическое решение для предельного случая

3.4.3. Численное решение и его анализ

4 Микроскопическая теория капиллярных волн с нелинейностью Толмена

4.1. Статистический подход к описанию капиллярных волн на поверхности раздела жидкость-пар.

4.2. Расчет толщины переходного слоя с учетом нелинейности Толмена в приближении капиллярных волн малой амплитуды

4.3. Экспериментальное измерение толщины переходного слоя жидкость-пар.

4.4. Квантование капиллярных волн как задача квантовой гидродинамики

А Усреднение гамильтониана рипплон-фононного взаимодействия

В Иллюстрации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейность Толмена в теории капиллярных волн»

Актуальность темы. Изучение структуры, фазовых переходов и свойств поверхностей является важной и интересной задачей, поскольку поверхности, будучи двумерными системами, обладают свойствами, отсутствующими в трехмерном мире. Динамической и энергетической характеристикой поверхности является поверхностное натяжение. Эта величина обуславливает протекание многих физических явлений: смачивания, коагуляции, катализа, нуклеации, капиллярной конденсации и многих других. Само поверхностное натяжение зависит от различных факторов, например, температуры, потенциала межмолекулярного взаимодействия, радиуса кривизны поверхности. И если первые два фактора являются хорошо изученными и кажутся достаточно естественными, то зависимость от кривизны далеко не самоочевидна. Явным образом эта зависимость была получена почти шестьдесят лет назад, но несмотря на это привлекает к себе внимание исследователей и в настоящее время. Это объясняется тем, что учет размерной зависимости поверхностного натяжения становится необходим при решении различных практических и фундаментальных задач. Например, в теории нуклеации главным параметром является критический размер зародыша, который может возникать в системе. Размеры этого зародыша определяются величиной поверхностной энергии, которая при малых размерах зародыша становится достаточно резкой функцией его кривизны. Учет размерного фактора важен и при исследовании тепловых флуктуаций на поверхности жидкости. В многочисленных экспериментальных и теоретических работах было показано, что эти флуктуации хорошо описываются суперпозицией капиллярных волн и дают значительный вклад в толщину переходного слоя жидкость-пар. Исследование свойств и строения межфазной границы жидкость-пар является одной из центральных задач физики конденсированных сред. Важнейшая характеристика тепловых флуктуаций на поверхности жидкости - их спектр, так как именно свойствами спектра определяется отклик системы на внешнее воздействие (например, облучение электромагнитным излучением). Принимая во внимание, что длины волн флуктуаций очень малы, можно ожидать, что размерные поправки к дисперсионному соотношению будут иметь значительную величину.

При переходе к квантовой картине тепловых флуктуаций, оказывается, что кванты капиллярных волн, рипплоны1, удовлетворяют статистике Бозе-Эйнштейна. Следовательно, капиллярно-волновые флуктуации на поверхности жидкости образуют двумерный Бозе-газ. Известно, что в пространственно ограниченном двумерном Бозе-газе возможно образование когерентных состояний. В связи с этим представляет интерес исследование системы двумерных рипплонов с целью выявления возможности образования такого состояния. Такая задача носит фундаментальный характер, а ее актуальность связана с тем, что число доступных для экспериментального исследования двумерных бозонных систем сильно ограничено, а рипплоны являются объектом, техника экспериментального исследования которого хорошо развита.

Цель работы

1. Расчет волнового профиля и дисперсионного соотношения для капиллярных волн с учетом нелинейности Толмена.

2. Расчет поверхностной энергии и длины Толмена для кластеров с плотной упаковкой.

3. Установление возможности образования когерентных состояний рипплонов на поверхности жидкости.

Квант капиллярных волн, по аналогии с фононом - квантом акустических волн.

Научная новизна работы.

• Впервые получены волновой профиль и дисперсионное соотношение капиллярных волн с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения.

• Впервые дана оценка толщины переходного слоя жидкость-пар с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения.

• Рассчитана поверхностная энергия кластеров с плотной упаковкой с учетом размерных поправок.

• Показано, что на поверхности жидкости возможно образование когерентных состояний рипплонов.

На защиту выносятся.

1. Математическая модель распространения капиллярных волн конечной амплитуды по поверхности идеальной жидкости с учетом нелинейности Толмена.

2. Теоретический метод расчета толщины переходного слоя жидкость-пар с учетом нелинейности Толмена.

3. Теоретический метод расчета поверхностной энергии кластеров с плотной упаковкой с учетом размерных поправок.

4. Теоретический метод расчета волновой функции когерентных состояний рипплонов на поверхности жидкости.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ в форме статей и тезисов докладов. Из них 4 статьи, 3 в журналах перечня ВАК.

Плановый характер работы. Работа выполнена согласно тематическом планам НИР Воронежского госуниверситета, проводимых по заданию федерального агенства по образованию, 0120.0602133 ("Исследование нелинейных явлений в малоатомных системах и наноструктурах непертурбативными методами"), 0120.0405470 ("Исследование распространения звука в нелинейных и нестационарных средах"). Работа поддержана грантами 03-02-96400-р2003цчра "Моделирование формирования нанорельефа с учетом нелинейности Толмена"(РФФИ), CRDF и Министерства Образования РФ (# VZ-0-10-0)

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: V международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), семинар НОЦ Воронежского госуниверситета (Воронеж, 2003), международной конференции "Ломоносов - 2006"(Москва, 2006), международной конференции "Frontiers of nonlinear рИузшБ'ЧНижний Новгород, 2007).

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Долгих, Антон Владимирович

Заключение

Сформулируем основные результаты исследований, изложенных в диссертации:

1. На основании характера зависимости поверхностной энергии кластеров с плотной упаковкой от радиуса кластера рассчитан аналог длины Толмена 6Е для поверхностной энергии. Найденные значения 6е близки к результатам, полученным на основании расчета поверхностной энергии кластеров в жидкости. Такая близость значений обращает на себя внимание, если учесть, что эти расчеты опирались на совершенно различные модели и различные условия задачи. Имеющая место, несмотря на эти различия, близость значений 5е может рассматриваться как свидетельство общих, универсальных закономерностей зависимости поверхностной энергии от размера тела и кривизны поверхности.

2. В работе построена теория капиллярных волн на поверхности жидкости с учетом нелинейности Толмена. Сформулированная краевая задача о капиллярных волнах с нелинейностью Толмена допускает аналитическое решение в виде ряда теории возмущений только в двух предельных случаях: для волн малой амплитуды А и случая А6 1. Решение краевой задачи для волн конечной амплитуды было найдено численно. Результаты, полученные с помощью теории возмущений и путем численного решения, совпадают в пределах точности расчета. Это позволяет сделать вывод, что использованный численный алгоритм работает правильно. Получены волновые профили и дисперсионное соотношение для капиллярных волн с учетом нелинейности Толмена. Нелинейность Толмена слабо изменяет волновой профиль. Тем не менее, для деформаций профиля выполняется следующее правило: для 6 > 0 долины еолновых профилей расширяются, а "гребни"становятся уже. Для 6 < 0 деформации носят противоположный характер. Описанные деформации становятся более выраженными для волн с большей амплитудой. Скорость волны является возрастающей функцией 6 и, в отличие от волнового профиля, скорость волны существенно изменяется в зависимости от 5 даже при относительно небольшой амплитуде волны.

3. С учетом зависимость поверхностного натяжения от радиуса кривизны поверхности, рассчитана среднеквадратичная амплитуда капиллярно-волновых флуктуаций, то есть толщина переходного слоя жидкость-пар. Оказалось, что для некоторых жидкостей (метанол) значения толщины переходного слоя, рассчитанные с учетом нелинейности Толмена, согласуются с экспериментальными значениями толщины лучше, чем аналогичные значения полученные, без учета нелинейности Толмена. Однако не для всех жидкостей учет нелинейности приводит к улучшению согласия с экспериментом. Это, по-видимому, связано с тем, что при расчете поверхностного натяжения требуется учитывать также специфические свойства межмолекулярного потенциала конкретной жидкости.

4. Показано, что в системе рипплонов на поверхности жидкости возможно образование когерентного состояния. Существование когерентной фазы возможно только в ограниченной пространственной области. Это условие связано с фундаментальными свойствами двумерного бозонного газа, которым и является газ рипплонов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Долгих, Антон Владимирович, 2007 год

1. Бор, Н. Избранные научные труды / Н. Бор. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. — 584 с.

2. Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. / Е. М. Лифшиц, JI. П. Питаевский. — 3-е, доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978.— Т. V. Статистическая физика, ч. 1.

3. Tolman, R. С. The effect of droplet size on surface tension / R. C. Tolman // Journal of Chemical Physics. — 1949. — Vol. 17. — Pp. 333 337.

4. Blokhuis, E. Fluctuation route to the bending rigidity / E. Blokhuis, J. Groenewold, D. Bedeaux 11 Molecular Physics.— 1999. — Vol. 96. — Pp. 397-406.

5. Molecular dynamics of the surface tension of a drop / M. J. P. Nijmeijer, C. Bruin, A. B. van Woerkom et al. // Journal of Chemical Physics. 1992. - Vol. 96. - Pp. 565 - 576.

6. Haye, M. J. Molecular dynamics study of the curvature correction to the surface tension / M. J. Haye, C. Bruin // Journal of Chemical Physics. 1994. - Vol. 100. - Pp. 556 - 559.

7. Zhukhovitskii, D. I. Molecular dynamics study of cluster evolution in supersaturated vapor / D. I. Zhukhovitskii // Journal of Chemical Physics. 1995. - Vol. 103. - Pp. 9401 - 9403.

8. Zakharov, V. Surface tension of water droplets A molecular dynamics study of model and size dependencies / V. Zakharov, E. Brodskaya, A. Laaksonen // Journal of Chemical Physics. — 1997. — Vol. 107. — Pp. 10675-10683.

9. Zhukhovitskii, D. I. Structural transition in hot small clusters / D. I. Zhukhovitskii 11 Journal of Chemical Physics. — 1999.— Vol. 110.- Pp. 7770 7778.

10. The Tolman length: is it positive or negative? / Y. A. Lei, T. Bykov, S. Yoo, X. C. Zeng // Journal of American Chemical Society.— 2005.-Vol. 127.-Pp. 15346-15347.

11. Blokhuis, E. Pressure tensor of a spherical interface / E. Blokhuis, D. Bedeaux // Journal of Chemical Physics.— 1992.— Vol. 97.— Pp. 3576-3586.

12. Blokhuis, E. Derivation of microscopic expressions for the rigidity constants of a simple liquid—vapor interface / E. Blokhuis, D. Bedeaux // Physica A. 1992. - Vol. 184. - Pp. 42-70.

13. Computer simulation of a gas-liquid surface. Part 1 / G. Chapela, G. Saville, S. Thompson, J. Rowlinson // Journal of Chemical Society, Faraday Transaction. 1977. - Vol. 2. - Pp. 1133-1144.

14. Tail corrections to the surface tension of a Lennard-Jones liquid-vapour interface / E. Blokhuis, D. Bedeaux, C. Holcomb, J. Zollweg // Molecular Physics. 1995. - Vol. 85. - Pp. 665-669.

15. Atkins, K. R. Liquid Helium Films / K. R. Atkins // Physical Review1953,- Vol. 92.- Pp. 1571-1572.

16. Ismail, Л. Capillary waves at the liquid-vapcr interface and the surface tension of water / A. Ismail, G. Grest, M. Stevens // Journal of Chemical Physics. 2006. - Vol. 125. - Pp. 014702-1-014702-10.

17. Triezenberg, D. Fluctuation theory of surface tension / D. Triezenberg, R. Zwanzig // Physical Review Letters.— 1972. — Vol. 28.- Pp. 1183-1185.

18. Weeks, J. Implications of the Triezenberg-Zwanzig surface tension formula for models of interface structure / J. Weeks, W. van Saarlos // Journal of Physical Chemistry. 1989. - Vol. 93. - Pp. 6969-6975.

19. Evans, R. Density functional in the theory of nonuniform liquids / R. Evans // Fundamentals of Inhomogeneous Fluids / Ed. by D. Henderson. New York: CRC, 1992.- Pp. 85-175.

20. Bykov, Т. V. A patching model for surface tension and the Tolman length / Т. V. Bykov, X. C. Zeng // Journal of Chemical Physics. — 1999.-Vol. 111.-Pp. 3705-3713.

21. Mikhin, К. V. Formation of the Ps bubble in liquid media / К. V. Mikhin, S. V. Stepanov, V. M. Byakov // Radiation Physics and Chemistry. 2003. - Vol. 68. - Pp. 415-417.

22. Byakov, V. M. Microscopic surface tension of liquids with curved free boundary studied by positron annihilation / V. M. Byakov, S. V. Stepanov // Radiation Physics and Chemistry. — 2000. — Vol. 58,- Pp. 687-692.

23. Nakanishi, H. Positron and Positronium Chemistry / H. Nakanishi, Y. C. Jean. Amsterdam: Elseveir, 1988. - Vol. 58. - Pp. 687-692.

24. Зон, Б. А. Эффект Толмена в физике капиллярных явлений / Б. А. Зон, Д. JI. Дорофеев, А. В. Долгих // Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах: Материалы семинаров науч.-образоват. центра. — 2003. — С. 217-221.

25. Жуховицкий, Д. И. Позитрониевые микрополости в жидкостях / Д. И. Жуховицкий // Коллоидный журнал. — 2005. — Т. 67. — С. 790 799.

26. Жуховицкий, Д. И. Исследование микроструктуры межфазной поверхности жидкость-газ методом молекулфрной динамики / Д. И. Жуховицкий // ЖЭТФ. 2002. - Т. 121. - С. 396-405.

27. Ландау, JI. Д. Теоретическая' физика: учебное пособие в 10 т. / Л, Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 4-е, стер. изд. — М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. VI. Гидродинамика. — 733 с.

28. Dolgikh, А. V. Tolman's nonlinearity of capillary waves / A. V. Dolgikh, D. A. Dorofeev, B. A. Zon // Physical Review E. — 2003.- Vol. 67.- Pp. 056311-1-056311-5.

29. Мандельштам, JI. И. Полное собрание трудов / Л. И. Мандельштам. Л.: АН СССР, 1948. - Т. I. - 352 с.

30. Diffusing light photography of containerless ripple turbulence (in microgravity) / W. B. Wright, S. J. Putterman, W. M. Duval, T. P. Jacobson // Conference and Exhibit on International Space Station Utilization. 1997.- Vol. 107,- Pp. 10675-10683.

31. Aarts, D. G. A. L. Direct visual observation of thermal capillary waves / D. G. A. L. Aarts, M. Schmidt, H. N. W. Lekkerkerker // Science. 2004. - Vol. 304. - Pp. 847 - 850.

32. Sides, S. Capillary waves at liquid-vapor interfaces: A molecular dynamics simulation / S. Sides, G. Grest, M.-D. Lacasse // Physical Review E. 1999. - Vol. 60. - Pp. 6708-6713.

33. Buff, F. P. Interfacial density profile for fluids in the critical region / F. P. Buff, R. A. Lovett, F. H. Stillinger // Physical Review Letters. — 1965.- Vol. 15.- Pp. 621-623.

34. Widom, A. Ripple theory of surface tension in superfluid helium / A. Widom // Physical Review A. 1970. - Vol. 1. - P. 216.

35. Cole, M. W. Width of the surface layer of liquid 4He / M. W. Cole // Physical Review A. 1970. - Vol. 1. - Pp. 1838-1840.

36. Биррелл, H. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени / Н. Биррелл, П. Девис; Под ред. . А. Смородинского. — М: Мир, 1984.- 356 с.

37. Capillary waves on the surface of simple liquids measured by X-ray reflectivity / A. Braslau, P. S. Pershan, G. Swislow et al. // Physical Review A. 1988. - Vol. 38. - Pp. 2457-2470.

38. Mora, S. X-Ray synchrotron study of liquid-vapor interfaces at short length scales: effect of long-range forces and bending energies / S. Mora, J. Daillant, K. Mecke // Physical Review Letters. — 2003. — Vol. 90.- Pp. 216101-1-216101-4.

39. Френкель, . И. Кинетическая теория жидкостей / . И. Френкель.— М: Изд-во АН СССР, 1945. 424 с.

40. Фольмер, М. Кинетика образования новой фазы / М. Фольмер. — М: Наука, 1986.- 208 с.

41. Жуховицкий, Д. И. Энергетические характеристики поверхности малых кластеров / Д. И. Жуховицкий // Журнал физической химии.- 2001.-Т. 75,- С. 1157-1166.

42. Electrohydrodynamic phenomena on the explosive-emission liquid-metal cathode / L. M. Baskin, A. V. Batrakov, S. A. Popov,

43. D. I. Proskurovsky // IEEE transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. 1995.- Vol. 2.- Pp. 231-236.

44. Microcapillary waves on liquid electrodes in high electric fields /

45. A. L. Kovalev, L. M. Baskin, G. I. Fursey, L. A. Schorchin // IEEE transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. — 1995. — Vol. 2.- Pp. 288-291.

46. Zon, B. A. On electrohydrostatic instability of liquid metal /

47. B. A. Zon 11 Physics Letters A. 2001. - Vol. 292. - Pp. 203-206.

48. Reduction in the surface energy of liquid interfaces at short length scales / C. Fradin, A. Braslau, D. Luzet et al. // Nature. — 2000. — Vol. 403.- Pp. 871-874.

49. Елецкий, А. В. Углеродные нанотрубки / А. В. Елецкий 11 Успехи физических наук. — 1997. — Т. 167. — С. 945 972.

50. Смирнов, Б. М. Кластеры с плотной упаковкой и заполненными оболочками / Б. М. Смирнов // Успехи физических наук. — 1993.-Т. 163.-С. 29 56.

51. Сретенский, Л. Н. Теория волновых движений жидкости / JI. Н. Сретенский.— 2-е, перераб. и доп. изд.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.— 816 с.

52. Седов, JI. И. Механика сплошных сред / JI. И. Седов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — Т. 2. — 536 с.

53. Милн-Томсон, Л. М. Теоретическая гидродинамика / JI. М. Милн-Томсон; Под ред. Н. Н. Моисеева. — М: Мир, 1964. — 655 с.

54. Giessen, А. Е. v. Mean field curvature corrections to the surface tension / A. E. v. Giessen, E. M. Blokhuis, D. J. Bukman // Journal of Chemical Physics. 1998. - Vol. 108. - Pp. 1148-1156.

55. Helfrich, W. Elastic properties of lipid bilayers. Theory and possible experiments / W. Helfrich // Zeitschrift fur Naturforschung C. — 1973.-Vol. 28.-Pp. 693 703.

56. Дубровин, Б. А. Современная геометрия: методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. — 4-е, испр. и доп. изд. М: Эдиториал УРСС, 1998. - Т. 1. - 336 с.

57. Schwartz, L. W. Numerical solution of the exact equations for capillary gravity waves / L. W. Schwartz, J.-V. Vanden-Broeck // Journal of Fluid Mechanics. 1979.- Vol. 95.- Pp. 119-139.

58. Highly nonlinear standing water waves with small capillary effect / W. W. Schultz, J.-M. Vanden-Broeck, L. Jiang, M. Perlin // Journal of Fluid Mechanics. 1998. - Vol. 369. - Pp. 253 - 272.

59. Crapper, G. D. An exact solution for progressive capillary wave of arbitrary amplitude / G. D. Crapper 11 Journal of Fluid Mechanics. — 1957.-Vol. 2.- Pp. 532 540.

60. Wehausen, J. V. Surface waves / J. V. Wehausen, E. V. Laitone // Encyclopedia of Physics.— New York: Springer Verlag, 1960.— Vol. IX.- Pp. 446-778.

61. Stokes, G. G. Mathematical and Physical papers / G. G. Stokes. — Cambridge University Press, 1880. — Vol. 1.

62. Levi-Civita, T. Détermination rigoureuse des ondes permanentes d'empieur finie / T. Levi-Civita // Mathematica Annalen.— 1925.— Vol. 93.- Pp. 264-314.

63. Некрасов, A. И. Точная теория волн установившегося вида / А. И. Некрасов. М.: АН СССР, 1951.- 95 с.

64. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: в 4 т. / В. И. Смирнов. — 10-е, стер. изд. — М: Наука. Физматлит, 1974. — Т. 3, 4.1. — 323 с.

65. Quarteroni, A. Numerical mathematics / A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri. — New York: Springer-Verlag, 2000. — 654 pp.

66. Джеффрис, Г. Методы математической физики. Вып. 3 / Г. Джефф-рис, Б. Свирлс; Под ред. В. Н. Жаркова. — М: Мир, 1970. — 344 с.

67. Rowlinson, J. S. Translation of J. D. van der Waals "Structure and thermodynamics of the liquid-vapor interface" / J. S. Rowlinson // Journal of Statistical Physics. 1979. - Vol. 20. - Pp. 197-200.

68. Weeks, J. Structure and thermodynamics of the liquid-vapor interface / J. Weeks // Journal of Chemical Physics.— 1977. — Vol. 67,-Pp. 3106-3121.

69. Bedeaux, D. Correlation functions in the capillary wave model of the liquid-vapor interface / D. Bedeaux, J. Weeks // Journal of Chemical Physics. 1985. - Vol. 82. - Pp. 972-979.

70. Mecke, K. Effective Hamiltonian for liquid-vapor interfaces / K. Mecke, S. Dietrich // Physical Review E. 1999.- Vol. 59.-Pp. 6766 - 6784.

71. Surface structure of liquid metals and the effect of capillary waves: X-ray studies on liquid indium / H. Tostmann, E. DiMasi, P. S. Pershan et al. // Physical Review В.- 1999.- Vol. 59.-Pp. 783-791.

72. X-Ray measurements of noncapillary spatial fluctuations from a liquid surface / M. Fukuto, R. K. Heilmann, P. S. Pershan et al. // Physical Review Letters. 1998. - Oct. - Vol. 81, no. 16.- Pp. 3455-3458.

73. Wavelength dependence of liquid-vapor interfacial tension of Ga / L. Dongxu, Y. Bin, L. Binhua et al. // Physical Review Letters. — 2004.- Vol. 92.- Pp. 136102-1-136102-4.

74. Wertheim, M. Correlations in the liquid-vapor interface / M. Wertheim // Journal of Chemical Physics. — 1976.— Vol. 65.— Pp. 2377-2381.

75. Evans, R. The role of capillary wave fluctuations in determing the liquid-vapour interface / R. Evans 11 Molecular Physics. — 1981.— Vol. 42.- Pp. 1169-1196.

76. John, M. The origin of surface waves / M. John, R. Desai, J. Dahler 11 Journal of Chemical Physics. — 1978. — Vol. 68. — Pp. 5615-5625.

77. Goldstone, J. The origin of surface waves / J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg // Physical Review. 1962. - Vol. 127. - Pp. 965-970.

78. Bernstein, J. Spontaneous symmetry breaking, gauge theories, the Higgs mechanism and all that / J. Bernstein // Reviews of modern physics. 1974. - Vol. 46. - Pp. 7-48.

79. Kohn, W. Two kinds of bosons and bose condensates / W. Kohn, D. Sherrington // Reviews of modern physics. — 1970. — Vol. 42. — Pp. 1-11.

80. Bardeen, J. Theory of superconductivity / J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer // Physical Review. 1957. - Vol. 108. - Pp. 11751204.

81. Боголюбов, H. Собрание научных трудов в 12 т. / Н. Боголюбов. — М.: Наука, 2006. — Т. VI. Равновесная статистическая меаника. — 519 с.

82. X-ray and neutron scattering from rough surfaces / S. K. Sinha, E. B. Sirota, S. Garoff, H. B. Stanley // Physical Review B. 1988. -Vol. 38.- Pp. 2297-2311.

83. X-ray-scattering study of capillary-wave fluctuations at a liquid surface / M. Sanyal, S. K. Sinha, K. G. Huang, B. M. Ocko // Physical Review Letters. 1991. - Vol. 66. - Pp. 628-631.

84. Heilmann, R. K. Quenching of capillary waves in composite wetting films from a binary vapor: An X-ray reflectivity study / R. K. Heilmann, M. Fukuto, P. S. Pershan // Physical Review B. — 2001.- Vol. 63.- Pp. 205405-1-205405-16.

85. X-ray study of the liquid potassium surface: structure and capillary wave excitations / O. Shpyrko, P. Huber, A. Grigoriev et al. // Physical Review B. 2003. - Vol. 67. - Pp. 115405-1-115405-7.

86. Surface Roughness of Water Measured by X-Ray Reflectivity / A. Braslau, M. Deutsch, P. S. Pershan et al. // Physical Review Letters. 1985,- Vol. 54. - Pp. 114-117.

87. Thermal diffuse x-ray-scattering studies of the water-vapor interface / D. K. Schwartz, M. L. Schlossman, E. H. Kawamoto et al. // Physical Review A. 1990. - Vol. 41. - Pp. 5687-5690.

88. Kayser, R. Effect of capillary waves on surface tension / R. Kayser // Physical Review A. 1986. - Vol. 33. - Pp. 1948 - 1958.

89. Saarn, W. F. Damping of Rippions in Superfluid 4He at T = 0 / W. F. Saarn // Physical Review A. 1973,- Vol. 8.- Pp. 19181920.

90. Saarn, W. F. Quantization of the hydrodynamic modes in superfluid 4He with a free surface / W. F. Saarn // Physical Review B. — 1975. — Vol. 12.- Pp. 163-168.

91. Reynolds, M. W. Energy transfer between ripplons and phonons in liquid helium at low temperatures / M. W. Reynolds, I. D. Setija, G. V. Shlyapnikov // Physical Review B.- 1992.- Vol. 46.-Pp. 575-577.

92. Saarn, W. F. Excitations and thermodynamics for liquid-helium films / W. F. Saarn, M. W. Cole 11 Physical Review B. 1975. — Vol. 11.— Pp. 1086-1105.

93. Roche, P. Interpretation of the low damping of subthermal capillary waves (ripplons) on superfluid 4He / P. Roche, M. Roger, F. I. B. Williams // Physical Review B.- 1996.- Vol. 53.-Pp. 2225-2228.

94. Hohenberg, P. C. Existence of long-range order in one and two dimensions / P. C. Hohenberg // Physical Review.— 1967.— Vol. 158,- Pp. 383-386.

95. Андо, Т. Электронные свойства двумерных систем / Т. Андо, А. Фаулер, О. Стерн; Под ред. Ю. В. Шмарцева. — М: Мир, 1985. — 416 с.

96. Хакен, X. Квантовополевая теория твердого тела / X. Хакен; Под ред. Г. С. Жданова. — М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 341 с.

97. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. / JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- Т. I. Механика. 215 с.

98. Марч, Н. Проблема многих тел в квантовой механике / Н. Марч, У. Янг, С. Сампантхар; Под ред. Ю. В. Зубарева, Н. М. Плакиды. — М: Мир, 1969.-496 с.

99. Lee, Т. D. The motion of slow electrons in polar crystal / T. D. Lee, F. E. Low, D. Pines // Physical Review.- 1953.- Vol. 90.-Pp. 297-302.

100. Glauber, R. Coherent and incoherent states of the radiation field / R. Glauber // Physical Review.- 1963.- Vol. 131,- Pp. 27662788.

101. Лифшиц, E. M. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат, лит., 1978. — Т. IX. Статистическая физика, ч. 2. — 448 с.

102. Давыдов, А. С. Физика твердого тела / А. С. Давыдов. — М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.— 639 с.

103. Timofeev, V. В. Collective state of the Bose gas of interacting dipolar excitons / V. B. Timofeev, A. V. Gorbunov // Journal of Applied Physics. 2007. - Vol. 101. - Pp. 081708-1-081708-5.