Нелинейное деформирование неоднородных элементов машиностроительных конструкций из резинометаллических материалов с учетом старения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Мирошкин, Кирилл Петрович

• Мирошкин, Кирилл Петрович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мирошкин, Кирилл Петрович

Содержание.

Введение.

Глава 1. Современное состояние проблемы.

Глава 2. Теоретические основы расчета нелинейной деформации гиперупругого амортизатора.

2.1. Основные соотношения нелинейной теории упругости.

Системы координат, применяемые в нелинейной теории упругости.

Метрические тензоры и градиенты места.

Меры и тензоры конечной деформации.

Тензоры деформации Коши и Альманси.

Инварианты тензоров конечной деформации Коши и Альманси.35 Преобразование элементарного объема и ориентированной площадки при переходе к актуальному состоянию.

Напряженное состояние. Тензоры напряжений Коши, Пиола и Кирхгофа.

2.2. Модели нелинейно-упругого материала.

Определяющие соотношения нелинейно-упругой среды.

Материал Сетха.

Модели Синьорини и Мурнагана сжимаемого нелинейно-упругого тела.

Модели резиноподбных материалов Блейтца-Ко и Ноулса

Стернберга.

Формулировка моделей несжимаемого нелинейно-упругого тела.

Модель несжимаемого материала Трелоара.

Модели Муни и Ривлина.

Материалы Бартенева-Хазановича и Черных-Шубиной.

Модели сжимаемых и пористых гиперупругих материалов.

2.3. Постановка краевых задач нелинейной механики гиперупругого тела.

Уравнения равновесия нелинейно-упругого тела.

Постановка краевых задач для нелинейно-упругого тела.

Потенциальная энергия нелинейно-упругого тела.

Вариационный принцип Лагранжа в нелинейной теории упругости.

Вариационный принцип Кастильяно.

Смешанные вариационные приципы Хеллингера-Рейсснера и Ху

Вашицу.

Глава 3. Исследование напряженно-деформированного состояния гиперупругих амортизаторов на модельных задачах.

3.1. Аналитические решения модельных задач нелинейной механики гиперупругого тела.

Основные подходы к решению краевых задач нелинейной теории упругости. Метод последовательных приближений.

Одноосное сжатие гиперупругого цилиндра.

Моделирование корректировки жесткости амортизатора путем изменения геометрии.

3.2. Конечно-элементное моделирование гиперупругого тела.

Построение конечно-элементной модели.

Решение нелинейной алгебраической задачи.

Осесимметричный конечный элемент.

Объемный конечный элемент.

Конечный элемент кинематической связи.

3.3. Конечно-элементное решение модельной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейное деформирование неоднородных элементов машиностроительных конструкций из резинометаллических материалов с учетом старения»

Данная диссертационная работа посвящена разработке методов восстановления характеристик резинометаллических амортизирующих элементов машиностроительных конструкций, подверженных старению в процессе эксплуатации. Предлагается понижение жесткостных характеристик амортизаторов, прошедших расчетный цикл эксплуатации, за счет изменения геометрии путем механического снятия слоя материала.

Актуальность темы.

Резинометаллические амортизаторы являются одними из наиболее широко распространенных типов амортизаторов, применяемых в современных машиностроительных конструкциях самого различного назначения. Основными преимуществами резинометаллических амортизаторов перед амортизаторами пружинного и рессорного типа, выполняемыми из металлических конструкционных материалов, являются:

- отсутствие коррозионного износа неметаллического конструкционного материала,

- минимум механической обработки и сборочных операций при изготовлении,

- в большинстве случаев - меньшая стоимость вследствие названных выше причин.

В то же время неметаллические амортизаторы при продолжительной эксплуатации в атмосфере, при наличии тех или иных воздействий (колебания температуры в широком диапазоне, содержание в атмосфере агрессивных веществ и др.) приводят к изменению физических свойств конструкционных материалов, а следовательно, отклонению механических характеристик амортизатора от предусмотренных конструкцией параметров. Кроме того, хранящиеся в складских условиях технические резины, как правило, тоже изменяют свойства. Как правило, при старении технических резин их физические константы изменяются в сторону большей жесткости. При этом замена амортизирующего элемента аналогичным новым амортизатором в ряде случаев оказывается невозможной или по ряду причин нецелесообразной. В этих случаях возникает необходимость восстановления проектных характеристик амортизатора путем той или иной обработки.

Два возможных метода восстановления характеристик технических резин - химический и механический. Задача химического метода - изменение микроструктуры материала с целью изменения его физических констант в сторону снижения жесткости. Применение механического метода предполагает уменьшение рабочих сечений амортизирующего элемента и, следовательно, снижение его жесткости на растяжение-сжатие при неизменных физических константах, соответствующих состаренному состоянию материала. В ряде случаев механический метод восстановления может оказаться более доступным или единственно возможным. Цель работы.

Целью данной работы является исследование деформированного состояния массивных резинометаллических амортизационных элементов конструкций при изменении их геометрических параметров и физических свойств материала для выработки рекомендаций по восстановлению проектных механических характеристик путем механической обработки снятием слоя материала.

Для реализации сформулированной цели поставлены следующие задачи:

1. Выбор модели технической резины как гиперупругого материала с различной степенью сжимаемости;

2. Построение трехмерных конечно-элементных модели резинометаллических амортизационных элементов конструкций различных типов;

3. Выбор и обоснование схемы нагружения конечно-элементной модели, наиболее точно соответствующей физическому эксперименту;

4. Проведение решений трехмерных задач теории упругости в геометрически и физически нелинейной постановке при различных геометрических параметрах объекта, моделирующих механическую обработку;

5. Выработка рекомендаций по модификации амортизаторов, прошедших полный срок эксплуатации, на основе полученных решений. Научная новизна работы.

Научная новизна работы заключается в рекомендациях по выбору метода и параметров механической обработки резинометаллических амортизаторов, прошедших полный срок эксплуатации, при изменении физических параметров материала в результате старения резин при внешних воздействиях.

Достоверность результатов работы.

Достоверность результатов работы обосновывается:

- применением апробированного аппарата математического моделирования гиперупругих конструкционных материалов:

- применением апробированного математического аппарата численного решения нелинейных краевых задач теории упругости и программного обеспечения;

- опорой на экспериментальные результаты, полученные при испытании эксплуатируемых амортизаторов.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность работы заключается в выработке рекомендаций по восстановлению проектных механических характеристик резинометаллических амортизаторов, изменяющихся в процессе эксплуатации за счет старения резиновых конструкционных материалов в процессе эксплуатации или длительного хранения. Обосновывается возможность дальнейшего применения амортизационных конструктивных элементов, прошедших полный срок эксплуатации или хранившихся в течение длительного времени, тем самым обеспечивается возможность эксплуатации машиностроительных конструкций при невозможности или нецелесообразности замены отработавших ресурс амортизаторов аналогичными новыми элементами.

Апробация работы.

Результаты работы апробированы на научно-практической конференции "Прогрессивные технологии для интенсивного развития отраслей социально-экономического комплекса" (Подольск, Институт экономики, 2004), XII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2006) и

Публикации по теме работы.

По теме работы в 2004-2006 г. опубликовано 3 печатные работы в журнале «Инженерная физика», сборнике «Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» и материалах Научно-практической конференции "Прогрессивные технологии для интенсивного развития отраслей социально-экономического комплекса".

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов и библиографического списка. Общий объем работы 145 страниц, в том числе 125 страниц машинописного текста, 20 страниц иллюстраций и 15 страниц списка литературы из 107 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Мирошкин, Кирилл Петрович

Основные результаты

С учетом полученных выше результатов тестирования конечно-элементной модели амортизатора предпринята попытка модификации модели амортизатора с целью снижения его интегральной жесткости на осевое сжатие при принятом характере нагружения.

Изменение геометрических параметров амортизатора с целью уменьшения жесткости осуществлялось путем варьирования толщины стенки амортизатора от исходной до Уг исходной путем снятия слоя материала с внутренней поверхности амортизатора. Произведен расчет на 10 шагах, включая исходное состояние.

Получены следующие результаты.

Геометрия образца амортизатора № 1, доработанного для понижения жесткости, приведена на рис. 4.18. При таком изменении геометрии амортизатора диаграмма деформирования имеет вид, приведенный на рис. 4.19. Соответствие исходной диаграмме деформирования достигается на начальном участке и при деформации, соответствующей смещению торца амортизатора порядка 40-42 мм.

Деформированное состояние образца амортизатора № 1, доработанного для понижения жесткости, показано на рис. 4.20, напряженное состояние - на рис.4.21.

Геометрия образца амортизатора № 2, доработанного для понижения жесткости, приведена на рис. 4.22. При таком изменении геометрии амортизатора диаграмма деформирования имеет вид, приведенный на рис. 4.23. Соответствие исходной диаграмме деформирования достигается на начальном участке и при деформации, соответствующей смещению торца амортизатора порядка 37-40 мм. Деформированное состояние амортизатора образца амортизатора № 1, доработанного для понижения жесткости, показано на рис. 4.24, напряженное состояние - на рис.4.25.

У i in

H t->

177.5 н-►

121

4-► m

Рис. 4.18(a) in X

72

Рис. 4.18(6)

Рис. 4.19. Средняя силовая характеристика образца амортизатора №1 - исходное состояние (экспериментальные данные): сплошная линия, квадратные маркеры - при моделировании старения в течение 16 лет (экспериментальные данные): сплошная линия, круглые маркеры - геометрически нелинейное конечно-элементное моделирование амортизатора, модифицированного снятием внутреннего слоя материала треугольные маркеры)

•0.00162 ■0Ш602 •0.00821 •0 0114 ■0.0146 ■00178 0.021 •0 0242 •0.0274 •0.0306 •01Ш8

ЖЧ •00497 г

•y

Output Set: Case 1 Time Deframed№0592) Total Contour Td Translation

Рис. 4.20. Деформированое состояние модели доработанного образца амортизатора № 1 (осевое перемещение)

VI L7 С1 tlMf Wtnn 9&97S38. 9018356. 8338875 7659333 6979911 63Q0429. 5620948 4941466 4261984 35825113

16*094

Рис. 4.21. Напряженное состояние модели доработанного образца амортизатора № I (средние напряжения по фон Мизесу) 2

-у

Output Set: Case 1 Time 0.859375 Defomied(9,0592] Total Translation Contour. Solid Von Mises Stress о\

U) -J ю ON

45

Рис. 4.23. Средняя силовая характеристика образца амортизатора № 2 - исходное состояние (экспериментальные данные): сплошная линия, квадратные маркеры - при моделировании старения в течение 16 лет (экспериментальные данные): сплошная линия, круглые маркеры - геометрически нелинейное конечно-элементное моделирование амортизатора, модифицированного снятием внутреннего слоя материала треугольные маркеры)

ОООtiS

-000203

•0.0 0527 ■000852 •00118 •0015

0.0133 •0.0215 ■О 0248 ■0.028 •0.0312 -0,8345

Ш.Ш? г

Output Set: Case 1 Time Deformedtt0625): Total Contour: TjTranslation

Рис. 4.24. Деформированое состояние модели доработанного амортизатора образца амортизатора № 2 (осевое перемещение)

V1 L6 С1

ЩЯЩЩ^ГЩШ

Л- 4 ■ ъ ч ' -г '- . ' ■ ' • ■ • '. • '. . ' f *TV. /V,.! РН щ. -ш-. . ■. - •

• Г- • • / ,. *

- ' 1 ' . К I .,1 , - • •

Output Set: Case 1 Time 1 Delofmed(£L0625) TOta] Translation Contour. Solid Von Mrses Stress

Ю2Ж-95 7786252 7242809 6639366 6155323 5E1248C. 6069037 4525594 3382151 3438706 2895265.

Рис. 4.25. Напряженное состояние модели доработанного образца амортизатора №2 (средние напряжения по фон Мизесу)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для исследования особенностей существенно нелинейного деформирования неоднородных амортизирующих элементов машиностроительных конструкций из гиперупругих материалов разработаны и развиты адекватные математические модели и численные методы, позволяющие путем модификации геометрических параметров восстанавливать исходную жесткость амортизаторов, изменившуюся в результате старения материала, при сохранении требуемой прочности.

2. Построено аналитическое решение задачи об однородной деформации сжатия цилиндра осевой силой в рамках одноконстантной линейной модели Трелоара несжимаемого гиперупругого материала (нео-гукова среда) и на его основе получено новое соотношение между коэффициентами изменения константы материала и диаметром цилиндра, обеспечивающее постоянство сжимающей силы.

3. При конечно-элементном моделировании одноосного сжатия гиперупругого цилиндра на основе линейной модели Трелоара для однородной деформации установлено, что численное решение задачи сходится к аналитическому на интервале деформации до (30ч-35)%. При больших деформациях численное решение превышает аналитическое, что обусловлено излишней жесткостью, вносимой одноконстантной моделью материала и проявляющейся при заметном уплощении конечных элементов в области больших деформаций.

4. Проведено исследование сходимости разработанных трехмерных конечно-элементных моделей амортизаторов и установлено, что сходимость численного решения к точному в рамках осесимметричной задачи достигается для дискретной модели с числом узлов, равным 20 вдоль образующей и 10 вдоль радиуса цилиндра.

5. Исследована зависимость радиуса цилиндра от константы нео-гукова материала при увеличении жесткости материала до 200% для случая постоянной сжимающей силы и установлено, что погрешность численного решения относительно аналитического не превышает 1,8% - при 30%-ой деформации и 4,7% - при 35%-ой деформации сжатия.

6. Обоснованность и достоверность разработанных и развитых в диссертации трехмерных конечно-элементных математических моделей для исследования процессов деформирования массивных амортизаторов в существенно нелинейной области при значительном формоизменении начальной геометрии подтверждена сопоставлением с известными теоретическими и экспериментальными данными.

7. Практическая реализация разработанных математических моделей нелинейного деформирования неоднородных амортизаторов на персональных ЭВМ позволила выработать практические рекомендации по снижению интегральной жесткости следующих типов амортизаторов:

- амортизатор в виде усеченного полого конуса с повышенной в результате старения жесткостью материала, описываемого нео-гуковой моделью;

- пирамидальный амортизатор с повышенной в результате старения жесткостью материала, описываемого моделью Муни-Ривлина.

Для обоих типов амортизаторов путем пошагового уменьшения площади поперечного сечения снятием слоя материала с внутренней стороны определены оптимальные модификации геометрии, обеспечивающие восстановление исходной интегральной жесткости амортизатора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мирошкин, Кирилл Петрович, 2007 год

1. Адамов А.А. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях Прочн., пластич. и вязкоупругость матер, и конструкций. Свердловск. 1986, с. 3-5. Рус.

2. Адамов А.А. Об одном преобразовании соотношений напряжение-деформация для изотропных гиперупругих несжимаемых материалов при конечных деформациях Мат. моделир. систем и процессов. 2001, N 9, с. 6-9, 202. Библ. 5. Рус.; рез. англ.

3. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М: Стройиздат, 1982. 448 с

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М: Наука, 1975. 324 с

5. Белянкова Т.И., Филиппова JJ.M. Статические контактные задачи для тел с начальными напряжениями Механика контактных взаимодействий. М.: Физматлит. 2001, с. 234-242. Библ. 36. Рус.

6. Болдырев А.П., Кеглин Б.Г. Расчет и проектирование амортизаторов удара подвижного состава М.: Машиностроение-1. 2004, 198 е., ил. Библ. 38. Рус.

7. Бондарь В.Д. Осесимметрические решения в нелинейных моделях несжимаемого упругого материала Динам, сплош. среды (Новосибирск). 1987, N80, с. 23-30. Рус.

8. Бондарь В. Д. Плоская деформация слабосжимаемых материалов в нелинейной теории упругости Динам, сплош. среды (Новосибирск). 1988, N 87, с. 34-44. Рус.

9. Бондарь В. Д. О конечных плоских деформациях несжимаемого упругого материала Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1990, N 2, с. 155-164. Рус.

10. Бондарь В.Д. Нелинейная антиплоская деформация упругого тела Прикл. мех. и техн. физ. 2001. 42, N 2, с. 171 -179. Библ. 11. Рус.

11. Бригадное И. А. О вариационной постановке краевых задач гиперупругости для некоторых материалов Сев.-Зап. заоч. политехи, ин-т. JL. 1991, 12 е. Библ. 11 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 07.06.91, N 2409-В91

12. Броеко Г.Л., Ткаченко J1.B. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно упругих тел при конечных деформациях Вестн. МГУ. Сер. 1. 1993, N 4, с. 45-49. Рус.

13. Васндзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М: Мир, 1987; 542 с

14. Виницкий JJ.E., Евсеева Л.Г., Раков КМ. Приближенная оценка деформируемости резиновых амортизаторов при сжатии Вестн. ВНИИ ж.-д. трансп. 1992, N 8, с. 27-30. Рус.

15. Галинская О.О., Цыплаков О.Г., Цян Хунюань, Ся Юйхун, Ао Хунжуй. Амортизатор кольцевой Пат. 2259504 Россия, МПК 7 F 16 F 7/12. N 2003116166/11; Заявл. 22.05.2003; Опубл. 27.08.2005. Рус.

16. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М: Мир, 1984. 428 с

17. Гаврилов А.Н., Гонца В.Ф. Вариант алгоритма МКЭ при расчете тонкослойных резинометаллических элементов-пакетов ВОПР. ДИНАМ. И ПРОЧН. 1990, N 52, с. 100-115. Рус.

18. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: «ДАС», 2001. 300с144

19. Голованов A.M., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенны хконструкций. М: Физ-матлит, 2006. 392 с

20. Голуб Г.Н., Дырда В.И., Мазнецова А.В., Мажаров М.В. Расчеты слоистых резинометаллических виброизоляторов Ин-т геотехн. мех. АН УССР. Днепропетровск. 1989, 11 е., ил. Библ. 9 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 22.11.89, N6987-B89

21. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. М: Физматлит, 2000.

22. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М: Наука, 1988. 232 с

23. Дегтярь В.Г., Дмитриев В.Г., Калашников С.Т. Мирошкин К.П., Моск-витин Г.В. Исследование напряженно-деформированного состояния несжимаемых гиперупругих тел в трехмерной постановке. Мат. XII145

24. Межд. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Ярополец, 2006, с. 82 88.

25. Дмитриев В.Г., Мирошкии К.П. Нелинейное деформирование неоднородных амортизирующих элементов машиностроительных конструкций из гиперупругих материалов. Инженерная физика. № 2, 2007, с. 4 - 7.

26. Дохляк Б.М., Киричевский В.В. Термомеханика конструкций из эластомеров при циклическом нагружении на основе конечноэлементной модели Пробл. прочн. 1989, N 10, с. 74-82. Рус.

27. Дымников С.И. Вариационная постановка задач расчета тонкослойных резинометаллических упругих элементов Прикл. мех. (Киев). 1987. 23, N9, с. 128-130. Рус.

28. Дымников С. И. Упрощенная постановка физически нелинейных задач расчета тонкослойных резинометаллических упругих элементов Прикл. мех. (Киев). 1988. 24, N 9, с. 89-96. Рус.

29. Дымников С.И. Сдвиговая жесткость сжатых резиновых элементов амортизаторов и шарниров Вопр. динам, и прочн. (Рига). 1985, N 46, с. 9-24. Рус.

30. Дымников С.И., Эрдманис А.Г. Исследование разброса усилия сжатия конического амортизатора большого хода ВОПР. ДИНАМ. И ПРОЧН. 1990, N52, с. 40-51. Рус.

31. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975.544 с

32. Зубов JI.M., Краснов А.Ю. Особенности поведения нелинейно-упругого шара, нагруженного внутренним давлением Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н. 2006, N 1, с. 30-34, 110. Библ. 5. Рус.; рез. англ.

33. Комар Д.В., Свистков A.JI., Шадрин В.В. Моделирование гистерезис-ных явлений при нагружении резин Высокомолекул. соед. 2003. 45, N 4, с. 692-696, 2 ил. Библ. 12. Рус.; рез. англ.

34. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических амортизаторов. М: Машиностроение, 1976.232 с

35. Лозовой С. Б., Молдаваиов С. Ю., Фролов Н.Н. Методика и алгоритм определения структурно-механических параметров эластомеров. Кубан. гос. технол. ун-т. Краснодар. 2000, 15 е., ил. Библ. 10 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 07.08.2000, N 2191-В00

36. Лурье A.M. Нелинейная теория упругости. -М: Наука, 1980.512 с

37. Мальков В.М. Статический расчет многослойных резинометаллических элементов с плоскими слоями Прикл. пробл. прочн. и пластич. Числ.моделир. физ.-мех. процессов: Всес. межвуз. сб. Горький. 1989, с. 48-53. Рус.

38. Москвин В.Г. Использование метода конечных элементов для статических и динамических расчетов машин, оборудования и аппаратуры: 8.0.22.1.1.6 Вестн. МЭИ. 1994, N 3, с. 71-77, 121. Рус.; рез. англ.

39. Мошев В.В. Структурные модели эластомерных композитов Моделир. процессов деформир. и разруш. тверд, тел. Свердловск. 1987, с. 4-13. Рус

40. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М: Мир, 1976. 464 с

41. Пацко H.JI. К расчету напряженно-деформированного состояния осе-симметричных резинометаллических амортизаторов. Прикл. мех. (Киев). 1994. 30, N 1, с. 18-25. Рус.

42. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. -М: Физматлит, 2006. 272 с

43. Прасникова С.С. О синтезе полого резинометаллического амортизатора вращения Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1993, N 5, с. 63-67. Рус.

44. Савинов Ю.Г. К описанию динамических характеристик наполненной резины с использованием реологических моделей Ленингр. политехи, ин-т. Л. 1987, 13 е., ил. Библ. 8 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ N 2354-В87 1.4.87

45. Самарский А.А. Теория разностных схем. М: Наука, 1983

46. Солодовников В.Н. К теории деформирования изотропных гиперупругих тел Прикл. мех. и техн. физ. 2004. 45, N 1, с. 99-106. Библ. 12. Рус.

47. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. М: Мир, 1977. 350 с

48. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.512 с

49. Филиппова Л.М., Цветков А.Н., Чебаков М.И. Взаимодействие жесткого бандажа с предварительно напряженным упругим конечным цилиндром Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1991, N 5, с. 51-56. Рус.

50. Филиппова Л.М., Чебаков М.И. Контактная задача для предварительно напряженного конечного цилиндра Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1988, N2, с. 62-69. Рус.

51. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 400 с. Рус.

52. Anifantis N.K., Kakavas Р.А. Эффективные модули гиперупругой пористой среды при больших деформациях. Effective moduli of hyperelastic porous media at large deformation Acta mech. 2003. 160, N 3-4, c. 127-147. Англ.

53. Attard M.M. Задача изотропной гиперупругости при конечных деформациях. Finite strain-isotropic hyperelasticity Int. J. Solids and Struct. 2003. 40, N 17, c. 4353-4378. Англ.

54. Crisfield M.A., Crisfield M.A. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures: Advanced Topics, John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, 1997

55. Hill James M. Обзор частных решений конечной упругости и их применение. A review of partial solutions of finite elasticity and their applications Int. J. Non-Linear Mech. 2001. 36, N 3, c. 447-463. Библ. 20. Англ.

56. Hill James M., Lee Alexander I. Совместное сжатие и кручение круговых цилиндрических резиновых прокладок. Combined compression and torsion of circular cylindrical pads of rubber J. Mech. and Phys. Solids. 1989. 37, N 2, c. 175-190. Англ.

57. Hill James M., Lee Alexander I. Неполная трехмерная деформация для упругого материала Муни. Partial three dimensional deformations for the perfectly elastic Mooney material ZAMP. 1989. 40, N 1, с. 128-132. Англ.

58. Phan-Thien N., Walsh W.P. О плоской конечной деформации упругого клина. On the finite deformation of a two-dimensional elastic wedge Z. Angew. Math, und Mech. 1988. 68, N 9, c. 417-421. Англ.; рез. нем., рус.

59. Tangorra Giorgio. Нелинейность и гистерезис резины. Методологический анализ. La non-linearita е l'isteresi nella gomma: un contributo me-todologico Ind. gomma. 1987. 31, N l,c. 13-16, 55. Ит.

60. Zidi M. Азимутальный сдвиг и кручение сжимаемой гиперупругой и предварительно напряженной трубы. Azimuthal shearing and torsion of a compressible hyperelastic and prestressed tube Int. J. Non-Linear Mech. 2000. 35, N 2, c. 201-209. Библ. 11. Англ.

61. MSC/Nastran 2001 User Manual, MSC.Software Corporation, LA,USA, 2001