Нелинейная волновая динамика и прочность тонкостенных стержней, испытывающих влияние депланации поперечных сечений при кручении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Лампси Борис Борисович

• Лампси Борис Борисович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Лампси Борис Борисович

Введение

Глава I. Математические модели, описывающие распространение крутильных волн в стержне и их линейное обобщение

1.1. Теория кручения Кулона

1.2. Теория кручения Сен-Венана

1.3. Теория стесненного кручения

1.4. Уравнения крутильных колебаний в тонкостенных стержнях

1.4.1. Теория Тимошенко

1.4.2. Теория В.З. Власова

1.4.3. Теория В.И. Сливкера

1.4. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний стержня с

учетом нелинейности и депланации поперечного сечения стержня... 28 Глава II. Нелинейные стационарные крутильные волны в

стержнях

2.1. Волновые процессы в тонкостенном стержне при учете квадратичной нелинейности

2.2. Волновые процессы в тонкостенном стержне при учете кубической нелинейности

2.3. Волновые процессы в тонкостенном стержне при одновременном учете квадратичной и кубической нелинейности

Глава III. Напряженное состояние упругого тонкостенного

стержня

3.1. Развитие теории расчета тонкостенных стержней

3.2. Полусдвиговая теория В.И. Сливкера

3.3. Общий случай действия системы сил на тонкостенный стержень

3.4. Общие сведения о тонкостенных стержнях

3.5. Кручение тонкостенных стержней открытого и закрытого про-

филей

3.5.1. Кручение стержней открытого профиля

3.5.2. Кручение тонкостенных стержней закрытого профиля

3.6. Влияние эксцентриситета приложения нагрузки

3.7. Напряженное состояние в стенке составной балки с учетом местного кручения и локальной нагрузки

3.8. Пример расчета составной балки с учетом местного кручения и

локальной нагрузки от мостового крана

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная волновая динамика и прочность тонкостенных стержней, испытывающих влияние депланации поперечных сечений при кручении»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время стремительно развивающиеся техника и технологии требуют новых, более точных методов расчета, наряду с этим широко распространяется изучение волновых процессов. Полученные результаты исследований имеют широкую область применения: от контроля материалов и изделий при их производстве до строительства зданий, сооружений, объектов машиностроения, металлургии, нефтехимии. Среди многообразия изделий металлургической, машиностроительной, нефтедобывающей, других отраслей промышленности имеется широкая номенклатура протяженных объектов, длина которых превосходит поперечные размеры в сто и более раз. К таким объектам можно отнести прутковый прокат различного сечения, насосно-компрессорные, газовые и нефтяные трубы, железнодорожные рельсы, стальные тросы, проволоку, пружины и другую продукцию.

Для неразрушающего контроля протяженных объектов в России и за рубежом все чаще используются не методы, основанные на изучении поведения лабораторных образцов, а волноводные (wave guided) методы, основанные на использовании продольных, изгибных и крутильных нормальных волн. В основе акустического воздействия на объект контроля и напряженно-деформированного состояния лежат поля одной природы, поэтому оценка технического состояния металлоконструкций акустическим методом является наиболее достоверной. Использование при волноводном контроле продольной стержневой моды волны По-хгаммера в области минимальной дисперсии скорости (для прутков) и нулевой крутильной волны (для труб) позволяет «прозвучивать» достаточно протяженные объекты - длиной в несколько сотен метров, обеспечивает высокую чувствительность к дефектам по всему сечению объекта.

Недостаточное количество работ по исследованию закономерностей распространения нормальных волн в протяженных объектах, их взаимодействия с дефектами, отсутствие научно-обоснованных технических решений по разработке эффективных высокочувствительных преобразователей, обоснованию новых ин-

формативных параметров является одной из причин, сдерживающих создание и внедрение надежных и эффективных методов бесконтактного акустического контроля линейно-протяженных объектов.

Волновая теория также применима и в строительстве при моделировании и расчетах зданий и сооружений повышенной этажности на динамические воздействия. Конструктивные схемы современных жилых и общественных зданий повышенной этажности (крупнопанельных, каркасно-панельных и монолитных) могут быть представлены пространственной моделью тонкостенного составного стержня. Теория тонкостенных составных стержней применяется для расчетов зданий повышенной этажности как на горизонтальные и вертикальные статические нагрузки, так и на сейсмические воздействия. При проектировании решаются задачи свободных продольно-поперечных колебаний тонкостенного составного стержня.

Таким образом, за основные направления применения волновой теории можно выделить расчеты при конструировании и методы неразрушающего контроля конструкций и материалов.

Диссертационная работа проводилась по программе ФНИ Государственных академий наук на 2013-2020гг. (Раздел 3 «Технические науки». Подраздел 30 «Методы анализа и синтеза многофункциональных механизмов и машин для перспективных технологий и новых человеко-машинных комплексов. Динамические и виброакустические процессы в технике»). По теме 0055-20140002, № госрегистрации 01201458047. Развитие теории нелинейной волновой динамики и виброакустики машин и ее приложение к анализу устойчивости распределенных механических систем с высокоскоростными движущимися нагрузками, созданию методов и средств диагностики конструкций на ранних стадиях повреждения и разработке высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты машин (Научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.). При поддержке гранта Российского научного фонда «Динамика и устойчивость систем «грунт - рельсовая направляющая - высокоскоростной движущийся объект» с учетом эффектов излучения волн и накопления повреждений в

материалах конструкций» (РНФ №14-19-01637 (конкурс «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»); руководитель: профессор Ерофеев В.И.).

Цель работы: состоит в развитии нелинейной волновой динамики и прочности тонкостенных стержней, испытывающих влияние депланации их поперечных сечений при кручении.

В соответствии с изложенной целью в работе поставлены и решены следующие задачи:

-построение математической модели, позволяющей описывать распространение крутильной волны в тонкостенном стержне с учетом геометрической и физической нелинейности, а также депланации, то есть выхода поперечного сечения из первоначального плоского состояния.

-изучение дисперсионных и нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении крутильных волн в упругих стержнях.

-разработка методик расчета тонкостенных стержней с учетом местного кручения.

-оценка влияния эксцентриситета приложения нагрузки на напряженно-деформированное состояние упругого тонкостенного стержня.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Предложена математическая модель, позволяющая описать распространение крутильной волны в тонкостенном стержне. Модель включает в себя геометрическую и физическую упругие нелинейности, а также депланацию. В этой модели связь между углом закручивания стержня и мерой депланации не постулируется, как в большинстве известных моделей, а находится в процессе решения задачи. Определено, что депланация, которая вызывает появление дисперсии фазовой скорости крутильной волны, приводит еще к появлению характерной для интенсивных продольных колебаний квадратичной нелинейности, не встречавшейся прежде в математических моделях, описывающих крутильные колебания.

Показано, что в тонкостенном стержне, совершающем интенсивные крутильные колебания, могут формироваться локализованные в пространстве несинусоидальные волны деформации.

Разработаны и апробированы оригинальные методики определения угла закручивания, функции депланации и бимомента при кручении тонкостенных составных стержней.

Практическая значимость работы состоит в возможности создания различных методов бесконтактного акустического контроля линейно-протяженных объектов, основанных на использовании продольных, изгибных и крутильных нормальных волн. Внедрение научно-обоснованных технических решений по разработке эффективных высокочувствительных преобразователей, обоснованию новых информативных параметров по исследованию закономерностей распространения нормальных волн в протяженных объектах, их взаимодействия с дефектами. Разработка методик по расчету стержневых элементов с учетом местного кручения, вызванного эксцентриситетом приложения нагрузки.

Методы исследования. В процессе исследования использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- математическая модель, описывающая крутильные колебания прямолинейного упругого стержня, обладающего депланацией поперечного сечения, геометрической и физической нелинейностями.

- результаты исследования дисперсионных и нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении крутильных волн в тонкостенном упругом стержне.

- методика определения функции угла закручивания и функции депланации на примере стержня двутаврового поперечного сечения, загруженного вертикальной сосредоточенной силой, приложенной с эксцентриситетом.

- методика определения величины бимомента, а также анализ влияния нормальной компоненты напряжения на общую проверку прочности при различных эксцентриситетах приложения нагрузки и учете местного кручения от силы поперечного торможения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Всероссийской научно-методической конференции «Современные проблемы механики и ее преподавание в вузе», посвященной 100-летию со дня рождения профессора Н.В. Бутенина (Санкт-Петербург, Военно-космическая академия им. А.Ф.Можайского, 2014 г.); Всероссийской конференции «Проблемы прочности, динамики и ресурса», посвященной 95-летию со дня рождения А.Г. Угодчикова и 40-летию Научно-исследовательского института механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (Нижний Новгород, 16-19 ноября, 2015г.); XVIII Международном симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» - DYVIS-2015 (Москва-Бекасово, ИМАШ РАН, 1723 мая 2015 г.); LVII Международной конференции «Актуальные проблемы прочности» (г. Севастополь, СевГУ, 24-27 мая 2016г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 научных работ, 5 из которых - статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, сформулированы основные цели, задачи и положения, выносимые на защиту, определена практическая значимость работы.

В первой главе излагаются гипотезы, положенные в основу построения математических моделей, используемых для изучения крутильных колебаний стержней, а также для изучения распространения крутильных волн. Модели базируются на технической теории кручения и уточняющей ее теории стесненного

кручения. Технические теории включают в себя модели Кулона и Сен-Венана, уточняющие - модели Тимошенко и Власова. Кручение называют стесненным, если депланация неоднородна вдоль стержня. По теориям Тимошенко и Власова депланация пропорциональна относительному углу закручивания, что приводит к дисперсии, то есть зависимости фазовой скорости крутильной волны от ее частоты.

Особое внимание уделяется анализу уточняющей теории, предложенной В. И. Сливкером в 2005 году, в которой связь между углом закручивания и мерой депланации не постулируется, как в теориях Тимошенко и Власова, а определяется в процессе решения задачи.

В диссертации модель Сливкера В.И. обобщается на случай учета геометрической и физической нелинейностей.

Вторая глава посвящена изучению нелинейных стационарных крутильных волн, распространяющихся в стержнях. На формирование таких волн влияют два фактора: нелинейность и дисперсия. Нелинейность приводит к зарождению в спектре волны новых гармоник, что способствует появлению в движущемся профиле волны резких перепадов. Дисперсия же наоборот, сглаживает перепады из-за различия в фазовых скоростях гармонических составляющих волны. К формированию стационарных волн, которые распространяются с постоянной скоростью без изменения формы, может привести совместное действие этих факторов.

Третья глава посвящена исследованию напряженного состояния составной балки с учетом местного кручения и локальной нагрузки.

В этой главе в рамках полусдвиговой теории В. И. Сливкера выведены дифференциальные уравнения функции угла закручивания и функции деплана-ции. Вычислены эти величины и их производные. На примере двутавровой балки проиллюстрирован характер распределения величины бимомента по длине балки и его зависимость от величины эксцентриситета.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

ГЛАВА 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ И ИХ НЕЛИНЕЙНОЕ ОБОБЩЕНИЕ

Крутильные волны, наряду с продольными и изгибными волнами, играют большую роль в формировании вибрационных полей строительных конструкций. На технической теории кручения и уточняющей ее теории стесненного кручения базируются математические модели, используемые для изучения крутильных колебаний стержней, а также для изучения распространения крутильных волн. Технические теории включают в себя модели Кулона и Сен-Венана, уточняющие -модели Тимошенко и Власова [2,18,24].

Анализируя дисперсионные свойства наиболее важных одноволновых и двухволновых приближенных теорий крутильных колебаний, можно выделить основные этапы развития.

1.1. Теория кручения Кулона

В основе теории Ш. О. Кулона [76], который одним из первых провел серию экспериментов по кручению и установил ряд закономерностей об их деформации, лежат предпосылки о недеформируемости поперечного сечения и об отсутствии смещений вдоль продольной оси стержня. На основании этого он предположил, что при кручении стержня его сечения поворачиваются, как жесткие площадки в своей плоскости, скользя друг по другу. Перемещения точек стержня, которые соответствуют этим гипотезам можно записать в виде:

щ{х,у,г,Ь) = ув(х,Ь), где: х - продольная координата, в - угол поворота сечения. Компоненты тензора напряжений, отличные от нуля определяются по (1.2)

их(х,у,г,0 = 0; иу(х,у,г,Ь) = -гв(х,Ь);

(1.1)

дв

дв

(1.2)

где: G - модуль сдвига.

Тогда потенциальную энергию деформации можно записать:

I I

=2?/ И +^^=\с1г\ ®ах- (1,з)

О 5

Используя принцип наименьшего действия [134], получим уравнение Кулона

д2в д2в

и граничные условия:

дв

1) аг — = 0 при х = 0 и х = I; 2) 0 = 0 при х = 0 и х = I (1-5) дх

Левая часть первых граничных условий (1.5) представляет собой крутящий момент Мх, то есть:

дв

МХ = С1Г-- , (1.6)

где: 1Г - полярный момент инерции, который согласно теории Кулона пропорционален крутильной жесткости стержня.

Уравнение (1.4) имеет второй порядок точности по координате х, поэтому описывает только одну крутильную волну. Дисперсия этой волны представляет собой дисперсию сдвиговой волны в безграничной среде

о ры2 9 к2 = = к? . (1.7)

Для реального стержня она совпадает с низкочастотной дисперсией первой крутильной волны только при условии, что поперечное сечение стержня будет круговым или кольцевым. Именно с такими стержнями Ш. О. Кулон проводил свои исследования. Для стержней с более сложным поперечным сечением дисперсия (1.7) является заниженной, поэтому следует использовать аналогичное уравнение, предложенное Сен-Венаном.

1.2. Теория кручения Сен-Венана

Одним из наиболее значимых вкладов в развитие теории кручения стержней сделал Б. Сен-Венан. Результаты, полученные Сен-Венаном и изложенные в тру-

дах "Мемуары о кручении призмы" [71], вошли практически во все учебники по теории упругости, начиная с изданной в 1862 году книги немецкого ученого Клебша "Теория упругости твердых тел".

Сен-Венан впервые, исходя из математической постановки, получил точное решение задачи о кручении призматических стержней произвольного профиля. Построив свою теорию, он решил ряд конкретных задач для стержней с эллиптическим и прямоугольным сечениями, провел большую серию расчетов по определению жесткости при кручении и распределению касательных напряжений, что необходимо для исследования их прочности. В частности, для квадратного сечения он показал, что, жесткость при кручении, соответствующая построенной им теории, в 0,843 раза меньше той, что, получается, по гипотезе плоских сечений. И хотя полученные им решения справедливы лишь при "свободном" ("чистом") кручении стержней, современные приближенные теории крутильных колебаний в той или иной мере их используют, а все расчеты, связанные с кручением призматических стержней, производятся по формулам, полученным Сен-Венаном.

Изучая работу призматического стержня под действием статически приложенных к концам стержня крутящих моментов, равных по величине и противоположных по направлению, Сен-Венан предполагал, что кручение стержня складывается из двух составляющих:

- кручения по Кулону (отсутствие искривления поперечного сечения);

- однородных по всей длине продольных смещений сечений.

Однородность продольных смещений (депланаций) сечений является отличительной особенностью теории свободного кручения Сен-Венана.

Продольные перемещения, соответствующие этим гипотезам можно записать:

их(х,у,г) = ф1(у,г);

иу (х, у, г) = -гв (х, 0 ; (1.8)

щ(х,у,г) = ув(х,0.

Касательные напряжения, отличные от нуля, как и в теории Кулона, имеют

вид:

дв\ дв\

Подставив выражения для касательных напряжений (1.9) в уравнения статического равновесия системы [50], получим уравнения, которым должны удовлетворять неизвестные функции:

а2?! , а2?, э^и ав(х)

= + = ° = ~ = соп(1Л0)

Анализируя (1.10) можно утверждать, что при чистом кручении угол закручивания б линейно меняется с продольной координатой х, а относительный угол б' = дв/дх постоянный по длине стержня. Тогда на основании этого выражения для перемещений (1.8) и напряжений (1.9) можно записать:

их(х,у,г) = 9'ф(у,г); оху = Сб' —

иу(х,у,г) =—в'хг; охг = Сб' + у) ; (1.11)

Щ(х,у,г) = б'ху; = о"уу = = о"у2 = 0,

где: ф(у,г) = ф1(у,г)/6' - функция кручения.

Так как функция кручения ф(у,г) отличается от функции ф±(у,г) только постоянным множителем б', то она так же является гармонической, то есть:

Д<р(у,Ю = 0. (1.12)

Граничное условие на контуре 5 должно выражать отсутствие действия внешних сил на боковых гранях стержня, то есть

ехп = 0, (1.13)

где: п - нормаль к контуру 5.

Преобразуем условие (1.13) с помощью подстановки в него (1.11), получим:

°хп = °ху ^(П,у) + =

д<р д<р = — cos(n, у) — г cos(n, у) + — cos(n, г) + у cos(n, г) = 0. (1.14)

Из выражения (1.14) следует граничное условие для функции кручения ф(у,г) на контуре 5:

д<р

—— = г соз(п, у) — у соз(п, г). дп

(1.15)

На математическом уровне говорят, что совокупность дифференциального уравнения (1.12) и краевого условия (1.15) аналогична постановке задачи К. Неймана для уравнения Лапласа. Это позволяет получить точное решение задачи на свободное кручение. Такое решение найдено с точностью до постоянной Фо, которая равна продольному перемещению стержня как целого. Если для случая кручения ее принять равной нулю, то на функцию кручения должны быть наложены условия:

в

(р(у,г)(1у аг = 0

(1.16)

Для нахождения связи между крутящим моментом Мх и углом закручивания в необходимо в выражение для крутящего момента

Мх = II (уохг — гаху) &у

подставить выражения для напряжений (1.11)

дв

х дх

1г

I

'д(г(р) д(у(р)\

(1.17)

дв

= С,Х-, (1.18)

где: 1Х - момент инерции чистого кручения.

Сравнивая выражения для крутящего момента Мх (1.18) с аналогичным выражением (1.6) теории Кулона можно сделать вывод, что из-за наличия продольных перемещений (депланации сечений), жесткость стержня определяется не полярным моментом инерции 1Г, а моментом инерции чистого кручения 1Х. Причем величина момента инерции чистого кручения меньше, чем величина полярного, а разность между ними становится тем больше, чем больше форма поперечного

сечения стержня отличается от форм круговой или кольцевой. Равенство моментов инерции возможно лишь в случае, когда депланация сечения будет отсутствовать.

1.3.Теория стесненного кручения

Кручение принято называть стесненным, если депланация по длине стержня переменная. Ярким примером, приводимым многими авторами, является стержень произвольного (некруглого) поперечного сечения, защемленный одним концом. К свободному концу стержня приложен крутящий момент или пара сил. (см. рис. 1.1).

В этом случае депланация в закрепленной части сечения будет равна нулю, а на свободном конце отлична от нуля. Такая неоднородная депланация приводит к возникновению нормальных продольных напряжений, которые в свою очередь вызывают в поперечных сечениях появление дополнительных касательных напряжений с отличным от нуля крутящим моментом. Очевидно, что при стесненном кручении связь между крутящим моментом и углом закручивания более сложная по сравнению со свободным кручением.

Рис 1.1.

Большой вклад в развитие теории стесненного кручения внес С. П. Тимошенко [77]. Он рассмотрел кручение стержня двутаврового профиля и вывел выражение для крутящего момента, которое помимо напряжений свободного кручения учитывает эффект депланации, то есть напряжений, возникающих от изгиба полок двутавра.

В основе инженерной теории стесненного кручения лежат гипотезы: а) поперечное сечение стержня в своей плоскости не искажается в процессе деформации; б) депланация стержня пропорциональна относительному углу закручивания. Таким образом, основное отличие данной теории от теории Сен-Венана заключается в том, что угол закручивания в является произвольной функцией продольной координаты х и времени t. Математически это можно записать:

дв

их(х,у,г,,Ь)=— (г, Ь) ф(у,г); ох

иу(х,у,2,,г) = -2в(х,г); (1.19)

щ(х,у,г,,Ь) = ув(х,Ь); где функция кручения ф(у,г) удовлетворяет условию (1.12) и граничным условиям (1.15). Кроме этого полагается, что из-за тонкостенности стержня поперечные напряжения ауу и а22 равны нулю.

Согласно закона Гука, компоненты тензора напряжений запишутся:

д2в дв (дер \ дв (дер \

охх = Е-^ср, аху = С-(—-2), ^ = + ^ = 0 ,

тогда выражение для потенциальной энергии стержня будет иметь вид:

1 Г /дв\2 1 С (д26\2 ^ = + (120)

О о

В выражении (1.20) первое слагаемое представляет собой потенциальную энергию деформации сдвига, а второе - энергию продольных деформаций, вызывающих неоднородную депланацию, которая пропорциональна величине, называемой моментом депланации:

/ф = Ц 4>г(у,г))а.у (к. (1.21)

5

Если записать вариацию потенциальной энергии (1.20), получим: Г/ д4в д2в\ ( дв д3в\ ,

О

д2в дв .

В выражении (1.22) второе слагаемое в правой части представляет собой работу двух крутящих моментов Мх8\о, которые приложены по концам стержня, то есть при х = 0, Г. Следовательно, связь между крутящим моментом Мх и углом закручивания в выразится:

дв д3в Мх = с,х- — Е,,-з . (1.23)

Полученная Тимошенко формула (1.23) отличается от формулы Кулона (1.18) наличием второго слагаемого, которое пропорционально третьей производной угла закручивания в.

Последнее слагаемое в выражении (1.22) для потенциальной энергии представляет собой энергию Вх8\^, передаваемую на стержень обобщенной силой, приложенной по его концам и названной позже Власовым [15] бимоментом:

д2в

Вх= Е^ . а24)

Эта величина равна работе продольных сил на перемещениях их вдоль продольной оси:

дв [Г

Вх$ = охх8их ¿у . (1.25)

На основании этого можно сделать вывод, что кручение может быть вызвано не только крутящим моментом, но и бимоментом. Если в качестве примера рассмотреть стержень двутаврового сечения, по краям полок которого приложены четыре одинаковые силы Р (рис.1.2 а), образующие пары, то эти пары, приложен-

ные к полкам, будут вызывать изгиб в разные стороны (рис.1.2 б), что будет эквивалентно кручению. Другими словами момент, создаваемый двумя парами сил, будет представлять собой бимомент (1.24).

Рис. 1.2.

1.4. Уравнения крутильных колебаний в тонкостенных

стержнях

1.4.1. Теория С.П. Тимошенко

Как отмечалось выше, в том случае если депланация неоднородна по длине стержня, то кручение называют стесненным. Основное отличие теории Тимошенко от теории Сен-Венана заключается в том, что угол кручения в (х, Ь) является производной функцией продольной координаты х и времени t.

Для вывода дифференциального уравнения, описывающего крутильные колебания тонкостенного стержня, запишем выражение для кинетической энергии, соответствующее перемещениям (1.19):

-ИВ

О 5 I

ди

■х

дь

+

'ди

■у

дь

+

ди2 ~дъ

dx dS —

Г/дв\* 1 Г( д2в V

Р1Ч Ы ах + 2р1*) \дх^дГ2) ах

(1.26)

Дифференциальное уравнение Сен-Венана получается, если в выражениях для потенциальной энергии деформации (1.20), в выражении вариации потенциальной энергии (1.22) и в выражении для кинетической энергии (1.26) положить равной нулю энергию депланации:

д2в д2в

Полученное уравнение (1.27) отличается от уравнения Кулона (1.4) величиной жесткости на кручение.

Если в выражениях для потенциальной энергии деформации (1.20) и в выражении вариации потенциальной энергии (1.22) учесть потенциальную энергию депланации, а в выражении для кинетической энергии (1.26) не учитывать соответствующий член, то получим следующее уравнение:

д2в д4в д2в

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением крутильных колебаний теории Тимошенко [21].

Представим вращение поперечного сечения стержня в виде гармонической волны:

В(х,€) = 60е1(ш*~кх) . (1.29)

Тогда, после подстановки в (1.28) и преобразований, получим дисперсионное уравнение:

ахк2 + Е1(рк4 — р1го)2 = 0 . (1.30)

Согласно (1.30) частота ы и волновое число к связаны соотношением:

ш = с5к

с21

й

1+"^2 , (1.31)

\Е

где: С0 = /--скорость распространения продольных волн в стержне;

Ст = I--скорость распространения сдвиговых волн;

Р

^ —

N

а

X

р1г

скорость распространения крутильных волн в стержне.

Таким образом, крутильные волны обладают дисперсией. Их фазовая скорость определяется по формуле:

Уф— -—С

к

N

1 +

с2!

С21

(1.32)

а

На рис. (1.4 а, б) на примере двутавровой балки, далее рассматриваемой в главе 3 и обладающей геометрическими характеристиками (рис. 1.3), показан график зависимости частоты ш и фазовой скорости Уф от волнового числа к в коротковолновом (к —> от) и длинноволновом (к —> 0) диапазонах.

ЧО 00

о о

ЧО

ЧО 00

Е — 206,01 ГПа, V — 0,3, р — 7850 кг/м3, С — 79,23 ГПа

м6,/г— 73814,124 Рис. 1.3. Поперечное сечение стержня

1а — 49,53 см4, — 3129911,458 см6,/г — 73814,124 см4, \д — 32323 см4.

Для коротковолнового диапазона частота и фазовая скорость определятся:

ш =

N

1г1

к

ф = Г = со

N

1а

для длинноволнового:

а)

4000

3000

2000

1000

О

ш = с5к, Уф =

б)

-=с5 .

/

+

/

] /у'з - 2

я т —'

^ф 1000

800-

600

400

3

200-

к о

(1.33)

(1.34)

У/

/

Г

1

^ /

/ ■ 2 -----

0 - 4

к

Рис.1.4

а) Дисперсионная кривая: 1,2,3 - угловая частота по формулам (1.31), (1.33) и (1.34) соответственно; б) Зависимость фазовой скорости от волнового числа:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лампси Борис Борисович, 2018 год

Литература

1. Александров, А. В. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин ; под ред. А. В. Александрова. - 3-е изд. исп. - Москва : Высш. шк., 2003. - 560 с. : ил.

2. Артоболевский, И. И. Введение в акустическую динамику машин / И. И. Артоболевский, Ю. И. Бобровницкий, М. Д. Генкин. - Москва: Наука, 1979. -296 с.

3. Альпако, А. А. Напряженное состояние стенок сварных подкрановых балок / А. А. Альпако // Бюллетень технической информации / Гипролеспром. -1957. - №8 (25).

4. Ахмедов, Н. К. Распространение крутильных волн в радиально-слоистом цилиндрическом волноводе / Н. К. Ахмедов // Механика твердого тела. - 2008. - № 2. - С. 114-123.

5. Ахметов, Н. К. Крутильные колебания и волны в слоистом цилиндре / Н. К. Ахметов, Ю. А. Устинов // Механика твердого тела. - 1991. - № 2. - С. 9298.

6. Бейлин, Е. А. Элементы теории кручения тонкостенных стержней произвольного профиля / Е. А. Бейлин. - Санкт-Петербург : СПбГАСУ, 2003. -113 с.

7. Бейлин, Е. А. О влиянии упругих депланационных связей и деформируемости профиля в тонкостенных криволинейных стержнях на изгибно-крутильные формы колебаний и потери устойчивости / Е. А. Бейлин // Расчет пространственных конструкций. - Москва, 1969. - Вып. 12. - С. 201-216.

8. Броуде, Б. М. Распределение сосредоточенного давления в стальных балках / Б. М. Броуде. - Москва : Госстройиздат, 1950. - 84 с.

9. Броуде, Б. М. Предельное состояние стальных балок / Б. М. Броуде. -Москва : Госстройиздат, 1953. - 216 с.

10. Бычков, Д. В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций / Д. В. Бычков. - Москва : Госстройиздат, 1962. - 476 с.

11. Бычков, Д. В. Кручение металлических балок / Д. В. Бычков, А. К. Мрощинский. - Москва : Стройиздат, 1944. - 260 с.

12. Бычков, Д. В. Расчет балочных и рамных стержневых систем из тонкостенных элементов / Д. В. Бычков. - Москва : Стройиздат, 1948. - 208 с.

13. Бычков, Д. В. Совместное действие изгиба и кручения в металлических балках / Д. В. Бычков. - Москва : Стройиздат, 1940. - 134 с.

14. Власов, В. З. Избранные труды. Т. 2 / В. З. Власов. - Москва : Изд-во АН СССР, 1955. - 392 с.

15. Власов, В. З. Тонкостенные упругие стержни (прочность, устойчивость, колебания) / В. З. Власов. - Москва : Стройиздат, 1940. - 276 с.

16. Власов, В. З. Тонкостенные упругие стержни / В. З. Власов. - Москва : Физматгиз, 1959. - 568 с.

17. Ведяйкина О. И. Распространение и взаимодействие интенсивных из-гибных и изгибно-крутильных волн в элементах конструкций : дис. ... канд. физ.-мат. наук / О. И. Ведяйкина. - Саратов, 2013. - 110 с.

18. Вибрации в технике : справочник. В 6 т. Т. 1 / под ред. В. В. Болотина.

- Москва : Машиностроение, 1999. - 504 с.

19. Грюнберг, Н. Я. Изгиб и кручение тонкостенных криволинейных стержней / Н. Я. Грюнберг // Труды лаборатории строительной механики центральной научно-исследовательского института подземного строительства. - Москва, 1949. - С. 130-157.

20. Гуркова, М. А. Кручение тонкостенного стержня открытого и замкнутого профиля и автоматизация процесса расчета : дис. ... канд. техн. наук / М. А. Гуркова. - Москва, 2000. - 168 с.

21. Дженелидзе, Г. Ю. Статика упругих тонкостенных стержней / Г. Ю. Дженелидзе, Я. Г. Пановко. - Москва : Гостехиздат, 1948. - 208 с.

22. Дьяков, С. Ф. Дисперсия крутильной волны, распространяющаяся в тонкостенном стержне / С. Ф. Дьяков, В. В. Лалин // Науковедение. - 2013. - № 5.

- С. 1-10.

23. Дьяков, С. Ф. Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней : дис. ... канд. техн. наук / С. Ф. Дьяков. - Санкт-Петербург, 2013. - 147 с.

24. Ерофеев, В. И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диспансия. Нелинейность / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Н. П. Семирикова. - Москва : Физматлит, 2002. - 208 с.

25. Ерофеев, В. И. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках : обзор / В. И. Ерофеев, Н. В. Клюева // Акустический журнал. - 2002. - Т. 48, № 6. - С. 725-740.

26. Ерофеев, В. И. Изгибно-крутильные, продольно-изгибные и продольно-крутильные волны в стержнях / В. И. Ерофеев // Вестник научно-технического развития. - 2012. - Т. 5. - С. 3-18.

27. Ерофеев, В. И. Интенсивные продольно-крутильные волны в стержне / В. И. Ерофеев, А. С. Зинченко, В. В. Кажаев // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2011. - Т. 6. - С. 24-27.

28. Ерофеев, В. И. Интенсивные изгибно-крутильные волны в упругом стержне / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, О. И. Орехова // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2012. - Т. 1. - С. 11-15.

29. Ерофеев, В. И. Дисперсия изгибно-крутильной волны, распространяющейся в балке / В. И. Ерофеев, О. И. Орехова // Приволжский научный журнал / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Нижний Новгород, 2011. - № 2. - С. 715 ; № 3. - С. 20-26.

30. Ерофеев, В. И. Нелинейные волны в упругих телах с пространственной дисперсией : монография / В. И. Ерофеев, А. И. Потапов, И. Н. Солдатов / Горьк. гос. ун-т. - Горький, 1986. - 224 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.07.86, № 5440-В86.

31. Ерофеев, В. И. Интенсивные изгибные и крутильные волны в упругом стержне / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, О. И. Орехова // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2012. - № 1. - С. 11-15.

32. Ерофеев, В. И. Нелинейные крутильные и изгибно-крутильные волны в стержнях / В. И. Ерофеев, О. И. Орехова // LAP LAMBERT Academic Publising. -Saarbrucken (Deutschland), 2012. - 137 с.

33. Ерофеев, В. И. Дисперсия крутильных и изгибных волн, распространяющихся в закрученных стержнях / В. И. Ерофеев, О. И. Орехова // Вестник Волжской государственной академии водного транспорта. - Нижний Новгород, 2012. - № 30. - С. 74-86.

34. Ерофеев, В. И. Математическая модель упругого тонкостенного стержня, совершающего крутильные колебания при наличии нелинейности и де-планации / В. И. Ерофеев, Б. Б. Лампси // Приволжский научный журнал / Ниже-гор. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Нижний Новгород, 2014. - № 2. - С. 14-17.

35. Ерофеев, В. И. Нелинейная стационарная крутильная волна в стержне / В. И. Ерофеев, В. Н. Комаров, Б. Б. Лампси // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2015. - № 4. - С.35-39.

36. Ерофеев, В. И. Влияние упругой нелинейности и депланации на параметры крутильной волны, распространяющейся в тонкостенном стержне / В. И. Ерофеев, Б. Б. Лампси // Проблемы прочности и пластичности. - 2015. - Т. 77, № 2. - С. 191-197.

37. Erofeev, V. I. Nonlinear stationary flexural-torsional waves in an elastic rod / V. I. Erofeev, B. B. Lampsi, N. N. Verichev // Materials Physics and Mechanics. -2016. - Vol. 28, № 1/2. - P. 77-80. (индексируется в базах данных Web of Science, Scopus).

38. Ерофеев, В. И., Юдников С.Г., Лампси Б.Б. Напряженное состояние в стенке составной балки с учетом местного кручения и локальной нагрузки / В. И. Ерофеев, С. Г. Юдников, Б. Б. Лампси // Приволжский научный журнал / Ниже-гор. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Нижний Новгород, 2017. - № 3.

39. Ерофеев, В. И. Нелинейная математическая модель упругого стержня, совершающего крутильные колебания, учитывающая депланацию поперечного сечения / В. И. Ерофеев, Б. Б. Лампси // Вестник научно-технического развития. -2014. - № 4 (80). - С. 12-15.

40. Ерофеев, В. И. Крутильные колебания упругого тонкостенного стержня при наличии нелинейности и депланации / В. И. Ерофеев, Б. Б. Лампси // XVIII Международный симпозиум «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» - DYVIS-2015 : сб. тр. (Москва-Бекасово, 17-23 мая 2015 г.). - Москва, 2015.

- С. 121-127.

41. Ерофеев, В. И. Крутильные нелинейные стационарные волны в стержне / В. И. Ерофеев, Б. Б. Лампси // Прикладная механика и технологии машиностроения : сб. науч. тр. - Нижний Новгород, 2015. - № 1(24). - С. 173-193.

42. Ерофеев, В. И. Влияние депланации на распространение интенсивной крутильной волны в стержне / В. И. Ерофеев, Б. Б. Лампси // Современные проблемы механики и ее преподавание в вузе : тр. Всерос. науч.-метод. конф., по-свящ. 100-летию со дня рождения проф. Н. В. Бутенина. - Санкт-Петербург, 2015.

- Т. 1. - С. 167-171.

43. Иванков, О. Ф. К вопросу расчета на местный изгиб стенок подкрановых балок в случаях, когда рельс сдвинут с оси стенки балки / О. Ф. Иванков, В. П. Хлебородов // Сборник докладов совещания по крановым конструкциям / ОИ-ОЗТ ВНИИПТМАШ. - Москва, 1966.

44. Кан, С. Н. Прочность замкнутых открытых цилиндрических оболочек / С. Н. Кан // Расчет пространственных конструкций. - Москва, 1961. - Вып. 6. -С. 213-249.

45. Ковлягин, А. М. Прочность стальных двутавровых балок при изгибе и местном кручении : дис. ... канд. техн. наук / А. М. Ковлягин ; Нижегор. гос. ар-хитектур.-строит. ун-т. - Нижний Новгород, 2001. - 146 с.

46. Кругленко, И. В. Изгиб и стесненное кручение тонкостенных стержней произвольного поперечного сечения : автореф. дис. ... канд. техн. наук / И. В. Кругленко. - Ленинград, 1988. - 17 с.

47. Кругленко, И. В. Изгиб и кручение тонкостенных стержней произвольного поперечного сечения / И. В. Кругленко / Ленингр. инж.-строит. ин-т. -Ленинград, 1988. -13 с. : ил. - Деп. во Всерос. ин-т науч. и техн. информ. 05.04.88., № 2595-В88.

48. Кравченко, И. Т. Теория волновых процессов / И. Т. Кравченко. - Изд. 3. - Москва : Либроком, 2011. - 240 с.

49. Курочкина, Е. В. Влияние ребер жесткости на напряженное состояние металлических балок : автореф. дис. ... канд. техн. наук / Е. В. Курочкина ; Горьк. инж.-строит. ин-т им. В. П. Чкалова. - Горький, 1974. - 24 с.

50. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости / Ландау Л. Д., Лиф-шиц Е. М. - Москва : Наука, 1965.

51. Лампси, Б. Б. Металлические тонкостенные несущие конструкции при локальных нагрузках / Б. Б. Лампси. - Москва : Стройиздат, 1979. - 270 с.

52. Лампси, Б. Б. Тонкостенные металлические конструкции как системы плоских полос [Рукопись] / Б. Б. Лампси. - Горький, 1980. - 34 с. - Деп. в ЦИ-НИС. - № 165-80.

53. Лампси, Б. Б. Об учете влияния ребер жесткости на напряженное состояние металлических балок / Б. Б. Лампси, Е. В. Курочкина // Труды / Горьк. инж.-строит. ин-т им. В. П. Чкалова. - Горький, 1970. - Вып. 57. - С. 29-37.

54. Лампси, Б. Б. Прочность металлических конструкций / Б. Б. Лампси. -Москва : Стройиздат, 1987. - 280 с. : ил.

55. Лампси, Б. Б. Оценка влияния особенностей конструкции и нагрузки на напряженное состояние и прочность ездовых поясов систем типа подкраново-подстропильных ферм : дис. ... канд. техн. наук / Б. Б. Лампси. - Горький, 1983. -220 с.

56. Лампси, Б. Б. Усиление стальных ферм покрытия путем изменения геометрии формы / Б. Б. Лампси, С. Г. Юдников, Б. Б. Лампси // Вестник Волжского регионального отделения : сб. науч. тр. / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Нижний Новгород, 2015. - Вып. 18. - С. 100-102.

57. Лампси, Б. Б. Математическая модель тонкостенного стержня, совершающего крутильные колебания, с учетом упругой нелинейности и депланации / Б. Б. Лампси // Актуальные проблемы прочности : сб. тез. докл. LVII Междунар. конф. (Севастополь, 24-27 мая 2016 г.). - Севастополь, 2016. - С. 177.

58. Лампси, Б. Б. Сравнительный анализ действительной работы подкрановых балок коробчатого и двутаврового сечений / Б. Б. Лампси, В. С. Ширманов // Архитектура и строительство - 2000 : тез. докл. науч.-техн. конф. Ч. 4. Экспериментальные и теоретические исследования строительных конструкций / Ниже-гор. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Нижний Новгород, 2000. - С. 34-35.

59. Лампси, Б. Б. Нормальные напряжения при изгибе в стержне с двухсвязным поперечным сечением / Б. Б. Лампси, В. С. Ширманов / Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных конструкций сложной формы : тез. док. Междунар. науч.-техн. конф. - Москва, 2000. - С. 83-84.

60. Лампси, Б. Б. Учет кручения в стальных балках составного сечения при воздействии локальных нагрузок / Б. Б. Лампси, В. С. Ширманов, А. М. Ков-лягин // Аннотация докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. - Екатеринбург, 2001.

61. Ланда, П. С. Нелинейные колебания и волны / П. С. Ланда. - Изд. 2, испр. и доп. - Москва : Либроком, 2010. - 552 с.

62. Лужин, О. В. Об одной аналогии в теориях стесненного кручения тонкостенных стержней / О. В. Лужин // Строительная механика и расчет сооружений. - 1960. - Т. 4. - С. 13-14.

63. Лужин, О. В. Кручение тонкостенных стержней комбинированного поперечного сечения / О. В. Лужин // Проблемы расчета пространственных конструкций / Моск. инж.-строит. ин-т. - 1980. - С. 79-89.

64. Любаров, Б. И. Кручение тонкостенных стержней открыто-закрытого профиля / Б. И. Любаров // Исследования по строительным конструкциям. - Ленинград, 1972. - С. 92-98.

65. Москалев, Н. С. Приближенный метод определения напряжений в стенке подкрановой балки от действия местной крутящей нагрузки / Н. С. Москалев // Научные доклады высшей школы. Строительство. - 1958. - № 3. - С. 167172.

66. Мурашов, С. А. Распространение крутильных волн в линейно-протяженных объектах с продольными дефектами : автореф. дис. ... канд. техн. наук / С. А. Мурашов ; Ижев. гос. техн. ун-т. - Ижевск, 2011. - 24 с.

67. Неразрушающий контроль : справочник. В 7 т. Т. 3. Ультразвуковой контроль / И. Н. Ермолов, Ю. В. Ланге ; под ред. В. В. Клюева. - Москва : Машиностроение, 2004. - 864 с.

68. Один, И. М. К расчету напряжений в стенках подкрановых балок от смещения рельса / И. М. Один // Промышленное строительство. - 1962. - № 3. -С. 58-60.

69. Орехова, О. И. Дисперсия изгибной и крутильной волн в балках цилиндрической формы / О. И. Орехова // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. - 2011. - № 4 (2). - С. 262-263.

70. Петрова, И. Г. Крутильные колебания тонкостенных стержней с частично замкнутым контуром / И. Г. Петрова // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. - Ленинград, 1989. - С. 13-17.

71. Сен-Венан, Б. Мемуар о кручении призм / Б. Сен-Венан. - Москва : Гос. изд-во физ.-матем. лит., 1961. - 519 с.

72. Серов, А. В. Особенности генерации крутильной волны удвоенной частоты в упругом стержне / А. В. Серов // Прикладная механика и технологии машиностроения : сб. науч. тр. / Нижегор. фил. ин-та машиноведения им. А. А. Благонравова. - Нижний Новгород, 2007. - №1 (10). - С. 32-37.

73. Серов, А. В. Крутильные волны конечной амплитуды в упругом стержне / А. В. Серов // XIII Нижегородская сессия молодых ученых. Технические науки : материалы докл. - Нижний Новгород, 2008. - С. 77.

74. Сливкер, В. И. Строительная механика. Вариационные основы : учеб. пособие / В. И. Сливкер. - Москва : Изд-во Ассоц. строит. вузов, 2005. - 736 с.

75. Стальные конструкции : СП 16.13330.2011 : актуализированная ред. СНиП 11-23-81* : дата введ. в д. 20.05.11 / Минстрой России. - Москва, 2016. - 174 с. - (Свод правил).

76. Тимошенко, С. П. История науки о сопротивлении материалов / С. П. Тимошенко. - Москва : Гостехиздат, 1957. - 536 с.

77. Тимошенко, С. П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки / С. П. Тимошенко // Изв. С.- Петербургского политехнического института. - 1905-1906. - Т.4-5 - С. вып. 3-4 вып. 1-4.

78. Уманский, А. А. Изгиб и кручение тонкостенных авиа конструкций / А. А. Уманский. - Москва : Оборонгиз, 1939. - 112 с.

79. Уманский, А. А. О нормальных напряжениях при кручении крыла самолета / А. А. Уманский // Техника воздушного флота. - 1940. - № 12. - С. 48-65.

80. Урбан, И.В. Общая форма расчета на стесненное кручение тонкостенных открытых и закрытых профилей : труды / И.В. Урбан // МЭМИИТ. вып.62, Москва, 1953.

81. Урбан, И.В. Теория изгибного кручения тонкостенных конструкций открытого и закрытого профиля / И.В. Урбан // МЭМИИТ, Москва, 1950.

82. Урбан, И.В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций / И.В. Урбан. - Москва : Трансжелдориздат,1955. - 192 с.

83. Чалков, Г. В. Напряжения в стенках подкрановых балок повышенного ресурса при местном кручении верхнего пояса : дис. ... канд. техн. наук / Г. В. Чалков. - Новосибирск, 2012. - 186 с.

84. Шапиро, Г. А. Местные напряжения в стенке подкрановой балки при внецентренной нагрузке / Г. А. Шапиро // Строительная механика и расчет сооружений. - 1959. - № 5. - С. 29-35.

85. XIth European Conference on Non-Destructive Testing. October 6 - 10, 2014, Prague, Czech Republic. Conference Proceedings // The e-Journal of Nondestructive Testing. - 2014. - Vol. 19. - No 12.

86. Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. О нелинейных одномерных волнах в пластинах // Пробл. динамики взаимодействия деформир. сред. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1990, с. 50-52.

87. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. Изгибные стационарные волны в стержнях при нелинейном законе упругости //Украинский матем. журнал. 1981. Т. 33. № 4. С. 493-498.

88. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. Нелинейные продольно-поперечные стационарные волны в упругих стержнях // Сб. Матем. физика, № 30, Киев: Наукова думка, 1981, С. 41-48.

89. Вакуленко С.А., Молотков И.А., Островский Л.А., Сутин А.М. Нелинейные продольные волны в упругих стержнях // Волны и дифракция, VIII Всес. симп. По дифракции и распространению волн. Т. 99.- М.,1981, с. 107-110.

90. Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов А.М., Семенова И.В., Со-куринская Е.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом теле // ЖТФ, 1988, Т. 58, № 10, с. 2040-2047.

91. Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов А.М., Семенова И.В., Со-куринская Е.В. Об экспериментах по распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ, 1995, Т. 21, Вып.11, с. 42-46.

92. Дрейден Г.В., Порубов А.В., Самсонов А.М., Семенова И.В. Генерация и наблюдение солитона продольной деформации в пластине. // Письма в ЖТФ, 1996, Т. 22, Вып.21, с. 61-68.

93. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. № 4. с.35-47.

94. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стержне Миндлина-Германа // Прикладная механика и технологии машиностроения. / Сб. науч. трудов. Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 1998, с. 85-95.

95. Ерофеев В.И., Потапов А.И.. Нелинейные модели продольных колебаний стержней // Гидроаэромеханика и теория упругости / Всес. межвуз. сб. Днепропетровск : ДГУ. 1984, вып. 32, с.78-82.

96. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках. - Саратов, 1999.

97. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М.: Наука. 1961. 777с.

98. Кившарь Ю.С., Сыркин Е.С. Сдвиговые солитоны в упругой пластине // Акустич. журнал, 1991, Т.37, Вып.1, с. 104-109.

99. Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержнях конечной длины // Акустич. журнал, 1983, Т. 29, Вып.4, с. 515-520.

100. Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелинейно-упругим закреплением // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980, № 6, с. 178-183.

101. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях // Интерференционные волны в слоистых средах. 1. Зап. науч. семин. ЛОМИ, Т. 99.- Л.: Наука,1980, с. 64-73.

102. Мягков Н.Н. О динамической локализации деформации в разупроч-няющемся стержне // Механ. композиц. матер. и констр., 199, Т. 5, № 3, с. 28-32.

103. Островский Л.А., Сутин А.М. Нелинейные упругие волны в стержнях // ПММ, 1977, Т. 41, Вып. 3, с. 531-537.

104. Порубов А.В., Самсонов А.М.. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ, Т.19, Вып.12, с. 26-29.

105. Потапов А.И., Семерикова Н.П. Нелинейные продольные волны в стержнях с учетом взаимодействия полей деформации и температуры // ПМТФ, 1988, № 1, с. 57-61.

106. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине.// Акустический журнал. 1984. Т.30. В.6. с. 819-822.

107. Рыбак С.А., Скрынников Ю.И. Уединенная волна в тонком стержне постоянной кривизны // Акустич. журнал, 1990, Т. 36, № 4, с. 730-732.

108. Самсонов А.М. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения. // ДАН СССР, 1984, Т.277, № 2, с. 332-335.

109. Самсонов А.М., Сокуринская Е.В. О возможности возбуждения соли-тона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне // ЖТФ, 1988, Т. 58, Вып. 8, с. 1632-1634.

110. Самсонов А.М., Сокуринская Е.В. Солитоны продольного смещения в неоднородном нелинейно-упругом стержне. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1985, № 983, с.1-44.

111. Самсонов А.М., Сокуринская Е.В. Солитоны продольной деформации в нелинейно-упругих стержнях // Теория распространения волн в упругих и упру-гопластических средах. Новосибирск: ИГД СО АН СССР, 1987, с.28-32.

112. Самсонов А.М., Сокуринская Е.В. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне // ПММ, 1987, Т. 51, Вып. 3, с. 483488.

113. Сокуринская Е.В. Некоторые точные решения задачи о нелинейных упругих волнах в пластине. // Письма в ЖТФ, 1994, Т.20, Вып.3, с. 36-41.

114. Шенявский Л.А. Влияние геометрической нелинейности на волны, распространяющиеся в свободной тонкой пластине // ПММ, 1979, Вып.6, Т.43, с. 1089-1094.

115. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: Наука, 1981.

116. Abramian A.K., Indejtsev D.A., Vakulenko S.A. Wave localization in hy-droelastic systems // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. № 61. pp 1-20.

117. Clarcson P.A., LeVeque R.J., Saxton R. Solitary wave interaction in elastic rods // Stud. Appl. Math., 1986, V. 75, № 2, pp. 95-122.

118. Kovriguine D.A., Potapov A.I. Nonlinear waves in elastic bar // Eur. J. Mech. A. / Solids, 1996. V. 15, pp. 1049-1075.

119. Nakamura A. Soliton formation process calculated for longitudinal sound waves in solid bar // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международного симпозиума по нелинейной акустике. Ч.1. Новосибирск. 1987. с. 378- 382.

120. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods // J. of Math and Phys. Sciences. 1970, v.4, pp.64-73.

121. Nariboli G.A., Sedov A. Burgers's-Korteweg-de Vries equation for viscoe-lastic rods and plates // J. Math. Anal. And Appl.,1970, v.32, № 3, pp.661-667.

122. Porubov I.V., Samsonov A.M., Velarde M.G., Bukhanovsky A.V. Strain solitary waves in an elastic rod embedded in another elastic external medium with sliding // Phys.Rev. E, 1998, V.58, i3, pp.3854-3864.

123. Rudnick I., Wu J., Wheatley J., Putterman S. Flexural waves envelope solitons in a metallic cylindrical thin shell. // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международ. симп. по нелин. акустике. Ч.2.-Новосибирск, 1987, с. 208212.

124. Samsonov A.M., Dreiden G.V., Porubov I.V., Semenova I..V. Longitudinal strain soliton focusing in a narrowing nonlinearly elastic rod // Phys.Rev. B, 1998, V.57, № 10, pp.5778-5787.

125. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1984, V. 76, № 3, pp. 871-879.

126. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S., Scovgaard O. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1987, V. 81, № 6, pp. 17181722.

127. Порубов А.В. Локализация нелинейных волн деформации. М.: Физ-матлит, 2009. 208 с.

128. Киселев В.В., Долгих Д.В. Нелинейно-упругие узоры из вмятин на поверхностях нагруженных пластин и оболочек. М.: Физматлит, 2012. 164 с.

129. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Нелинейные локализованные продольные волны в пластине, находящейся в произвольно ориентированном магнитном поле // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т.5, № 1. С.79-84.

130. Блинкова А.Ю., Блинков Ю.А., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними, с учетом рассеяния энергии // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т.6, № 3. С.336-345.

131. Ерофеев В.И., Кажаев В.В. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в стержне // Вычислительная механика сплошных сред. 2017. Т.10, № 2. С.127-136.

132. Бочкарев А.В., Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Уединенные волны в неоднородной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с упругой средой // Акустический журнал. 2017. Т.63, № 2. С.145-151.

133. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили - Москва : Гос. изд-во физ.-матем. лит., 1966. - 708 с. : ил.