Нелинейная динамика среды коссера и упругие ферромагнетики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Грекова, Елена Федоровна

• Грекова, Елена Федоровна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грекова, Елена Федоровна

Оглавление

Введение

1 Литературный обзор и постановка задачи

2 Основные уравнения среды Кельвина

2.1 Кинематика среды Кельвина

2.1.1 Трансляционные характеристики

2.1.2 Тензор поворота. Угловая скорость

2.1.3 Деформации среды Кельвина

2.2 Динамика среды Кельвина

2.2.1 Динамические характеристики тел-точек

2.2.2 Тензоры напряжений. Законы динамики Эйлера

2.3 Нелинейные определяющие уравнения среды

Коссера

2.4 Нелинейные определяющие уравнения среды

Кельвина

2.4.1 Полные системы мер деформации, содержащие зависимые функции. Определяющие уравнения

2.4.2 Полные системы независимых мер деформации. Определяющие уравнения

2.4.3 О гипотезе натурального состояния и выборе системы мер деформаций

2.4.4 Ограничения на тензоры напряжений в среде Кельвина

2.5 Линейные уравнения среды Кельвина

2.5.1 Линейные определяющие уравнения

2.5.2 Линейные уравнения динамики

2.6 Сводка основных уравнений среды Кельвина

3 Аналогия между средой Кельвина, оболочками и ферромагнетиками

3.1 Упругие оболочки и среда Кельвина

3.2 Ферромагнетики и среда Кельвина

3.2.1 Некоторые сведения о упругих непроводящих ферромагнетиках в состоянии магнитного насыщения

3.2.2 Аналогия закона баланса энергии для ферромагнетиков и среды Кельвина

3.2.3 Меры деформации и определяющие уравнения ферромагнетиков. Сравнение со средой Кельвина

3.2.4 Соответствие характеристик среды Кельвина и упругой непроводящей ферромагнитной сплошной среды в состоянии магнитного насыщения

3.2.5 Линейные уравнения

4 Волновые процессы

4.1 Спиновые волны в среде Кельвина

4.2 Магнитоакустический резонанс в анизотропном материале

5 Микроструктурный подход

5.1 Потенциальная энергия взаимодействия двух

удаленных тел

5.1.1 Конкретный вид пяти первых членов потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух твердых тел при R = const

5.1.2 Гравитационный момент

5.2 Ортотропный континуум вращающихся частиц

5.2.1 Дискретная модель. Гравитационный момент, действующий на частицу

5.2.2 Линеаризация уравнения движения частицы относительно стационарного вращения

5.2.3 Переход к континуальным уравнениям

5.3 Заключение

Выводы

Литература

А К построению полного набора интегралов системы (2.42)

А.1 Система 2li

А.2 Система 512

А.З Система 05

В Компоненты матрицы S (4.19)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная динамика среды коссера и упругие ферромагнетики»

Введение

Исходным объектом механики Ньютона является материальная точка. Однако для описания целого ряда явлений, видимо, необходим учет вращательных степеней свободы частиц, составляющих тела. В настоящий момент хорошо разработана теория, описывающая малые повороты частиц, в то время как во многих случаях представляется важным учет конечных поворотов, а точнее, динамических спинов частиц. В связи с этим представляется необходимым построить теорию нелинейной полярной среды, частицы которой могут вращаться с большими угловыми скоростями, не вызывая напряжений. Идея рассмотрения таких сред выдвигалась многими выдающимися учеными, начиная еще с прошлого века. Дюгем (1894), Э. и Ф. Коссера (1909) рассматривали континуум, частицы которого имели поворотные степени свободы. Однако в этих средах свободное вращение частиц не допускалось. Лорд Кельвин выдвигал концепцию среды, состоящей из гиростатов, которая сопротивлялась бы только угловым деформациям, но математически эта идея не была реализована.

В настоящее время разработана нелинейная теория двумерной полярной среды (П.А. Жилин [21], теория неклассических простых оболочек). Методы, используемые в этой теории, возможно применить для построения трехмерной теории полярной среды. Существенным отличием данной работы, однако, является рассмотрение среды, скорость вращения тел-точек которой весьма велика.

Существуют феноменологические теории трехмерных сплошных сред, частицы которых обладают не малым кинетическим моментом. Такие теории применяются для описания магнетиков (см., например, монографию Ж. Можена [33]). Кажется необходимым провести построение подобной теории шаг за шагом исходя из фундаментальных принципов механики. Проблема является актуальной прежде всего с точки зрения развития теории, но также может иметь и практические приложения, как все задачи механики электромагнитных сплошных сред.

В магнитных материалах намагниченность связана через гиромагнитное соотношение с кинетическим моментом материального объема среды. Магнитная индукция создает объемный момент, действующий на материальный объем. Таким образом, магнитный материал является полярной средой. Это дает возможность установить аналогию между нелинейной средой Коссера, частицы которой обладают большой скоростью собственного вращения, и упругими ферромагнетиками в состоянии магнитного насыщения. В рамках предложенной аналогии описывается наиболее общим образом взаимодействие угловых и трансляционных перемещений, что соответствует магнитоакустйческим явлениям в ферромагнетиках. Магнитоакустический резонанс весьма интересен не только с теоретической точки зрения, но и широко используется в технике. Кажется необходимым подробное исследование этого явления.

Феноменологический подход обладает тем преимуществом, что носит наиболее общий характер. Он не опирается на какие-либо предположения о конкретном типе взаимодействия частиц материала. Однако представляется интересным получить уравнения движения какой-либо конкретной, пусть и гипотетической среды, тела-точки которой обладают динамическим спином.

Сказанное выше позволяет сформулировать цели работы :

• построение нелинейной теории среды Коссера, частицы которой обладают динамическим спином (среды Кельвина)

• построение точной аналогии между основными уравнениями упругих непроводящих ферромагнетиков в состоянии магнитного насыщения и уравнениями среды Кельвина

• описание магнитоакустического резонанса и его аналога для среды Кельвина

• построение простейших микроструктурных моделей упругой полярной среды

В работе используются методы механики сплошных сред. Применяются как феноменологический, так и микроструктурный подходы. Все используемые методы опираются на законы баланса сил, баланса моментов и баланса энергии. Принцип материальной объективности удовлетворяется автоматически. Для получения конкретного вида тензоров упругих модулей среды применяется принцип Кюри-Неймана [34]. При записи законов механики и описании характеристик среды используется аппарат прямого тензорного исчисления.

Научная новизна работы состоит в построении теории полярной среды, частицы которой обладают не малым кинетическим моментом, в установлении аналогии между основными уравнениями непроводящих ферромагнетиков в состоянии насыщения и уравнениями нелинейной среды Коссера специального вида и в предложенном новом подходе к описанию магнитоакустического резонанса.

Автор глубоко благодарна научному руководителю проф. П. А. Жилину за неоценимую помощь на всех этапах работы над диссертацией, а также проф. Д.А. Индейцеву за постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Грекова, Елена Федоровна

Выводы

В работе построена нелинейная теория среды Кельвина. Получены различные варианты полных систем мер деформации, от которых может зависеть плотность внутренней энергии среды. Любая из этих систем содержит 14 независимых функций. Получены соответствующие нелинейные определяющие уравнения и уравнения динамики среды. Особо рассмотрен случай быстрого собственного вращения частиц.

Показана точная аналогия между основными уравнениями упругих непроводящих ферромагнетиков в состоянии магнитного насыщения и уравнениями рассматриваемой среды для случая быстрого собственного вращения частиц. Движение упругой подсистемы в ферромагнетике соответствует трансляционным перемещениям, а магнитной — угловым. Тензор обменных сил в ферромагнетике связан с тензором моментных напряжений, спин-решеточная релаксация — с антисимметричной частью тензора силовых напряжений. Используемый способ построения определяющих уравнений позволяет наиболее общим образом учесть взаимодействие магнитной и упругой подсистем как в общем нелинейном случае, так и для малых углов нутации. Для нелинейного случая необходимо учитывать зависимость внутренней энергии от меры деформации, определяемой и градиентом поворота, и градиентом перемещений. Для линейного (по углу нутации и перемещениям) случая необходимо учитывать "перекрестный" член в энергии деформации, зависящий от произведения Двух разных мер деформации — градиента поворота и градиента перемещений. Показано, что линейная теория не может полностью описать все механизмы взаимодействия волн трансляционной (упругой) и угловой (спиновой) подсистем.

Рассмотрен аналог магнитоакустического резонанса в рассматриваемой среде для случая малых углов нутации. Показано, что в общем случае для материалов с низкой симметрией могут иметь место магни-тоакустические резонансы, существование которых не предсказывается имеющимися теориями.

В качестве примера микроструктурной модели упругой полярной среды рассмотрена бесконечная кубическая решетка, в узлах которой закреплены взаимодействующие заданным образом тела-точки. Показано, что режим стационарного вращения тел-точек, при котором их оси совпадают с одной из осей решетки, неустойчив при гравитационном моментном взаимодействии.

5.3 Заключение

В данной главе была сделана простейшая попытка микроструктурного подхода. С целью моделирования взаимодействия тел-точек среды рассмотрены два твердых тела, любые две точки которых взаимодействуют по заданному закону (общему для всех точек данных тел), зависящему от расстояния между ними и масс ('зарядов и т.п.) данных точек. Предполагается, что расстояние между телами много больше их размеров. Получена формула для потенциальной энергии взаимодействия тел в виде ряда. Исследован случай гравитационного взаимодействия. Из данной формулы вытекает как частный случай известная формула для потенциала силы тяготения тела неправильной формы в удаленной точке. Для центрально-симметричных трансверсально-изотропных тел получены выражения для действующего между ними гравитационного момента. Рассмотрена кубическая решетка, в узлах которой закреплены своими центрами масс гравитационно взаимодействующие осесим-метричные тела. Написано уравнение движения отдельного тела-точки. Рассмотрены малые отклонения от режима стационарного собственного вращения тел-точек, при котором ось вращения совпадает с одной из осей решетки. Уравнения движения линеаризованы относительно данного режима. Совершен переход от дискретной модели к континуальной. Получены линейные уравнения динамики среды Кельвина конкретного вида в перемещениях. Рассматриваемый режим стационарного вращения в общем случае неустойчив, хотя гироскопический член в уравнениях увеличивает частотный диапазон возмущений, по отношению к которым система устойчива. Предполагается, что рассмотрение иного типа взаимодействия и учет трансляционных перемещений в системе могут качественно изменить результаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грекова, Елена Федоровна, 1999 год

Литература

[1] Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. — 1965.

— Т.2, №7.

[2] Богданов A.M., Кудинов М.В., Яблонский Д.А. К теории магнитных вихрей в легкоосных ферромагнетиках // ФТТ. — 1996. — Т.31, №10. — с. 99-104.

[3] Вучелъников В.Д., Бычков И.В., Шавров В.Г. Связанные спиновые и упругие волны в одноосных кристаллах со спиральной магнитной структурой во внешнем поле вдоль ее симметрии // ФММ. — 1988.

— Т.66, №2. — с. 222-226.

[4] Бучелъников В.Д., Бычков И.В., Шавров В.Г. Об аномально большом изменении скорости звука в ортоферрите эрбия // Письма в ЖЭТФ. — 1991. — Т.54, №8. — с. 467.

[5] Бучелъников В.Д., Никишин Ю.А. Нелинейное электромагнитное возбуждение продольного ультразвука в ферромагнетиках с доменной структурой // ФТТ. — 1996. — Т.38, №8. — с. 2516-2523.

[6] Гаврилов С.Н. Математическая модель среды Кельвина / Труды XXIII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" [22]. — с. 229-240.

[7] Ганн В. В. Связанные колебания в неоднородных магнитоупорядо-ченных кристаллах. — Харьков: ФТИ низких температур, 1993 (Автореф. на соискание степени д.ф.-м.н.). •

[8] Ганн В.В., Зазунов Л.Г. Магнитоакустический резонанс в ферромагнетиках с примесями // ФТТ. — 1973. — Т. 15, №3. — с. 671-675.

[9] Голдин Б.А., Котов Л.Н., Зарембо Л.К., Карпачев С.Н. Спин-фононные взаимодействия в кристаллах (ферритах). — Л.: Наука, 1991.

[10] Грекова Е.Ф. Моментные взаимодействия твердых тел / Труды XXIII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" [22]. — с. 218-228.

[11] Грекова Е.Ф., Жилин П.А. Среда Кельвина и ферромагнетики: определяющие уравнения и волновые процессы / Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества [16]. — с. 87-90.

[12] Грекова Е.Ф., Жилин П. А. Непроводящие ферромагнетики и среда Кельвина: основные уравнения и волновые процессы / Зимняя Школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов. — Пермь, 1999. — с. 133.

[13] Дзялошинский И.Е. // ЖЭТФ. — 1964. — Т.46, №4. — с. 14201437.

[14] Ерофеев В.И. Синхронные взаимодействия продольных волн и волн вращения в нелинейно упругой среде Коссера // Акустический журнал. — 1994. — Т.40, №2. — с. 223.

[15] Ерофеев В.И., Ковалев С.И. Магнитоупругие солитоны / Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества [16]. — с. 183-188.

[16] Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества, под ред. Ерофеева В.И., Нижний Новгород, Издательство общества "Интелсервис", 1998.

[17] Жилин П.А. Механика деформируемых оснащенных поверхностей / Тр. IX Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. — Л.,

Судостроение, 1975. — с. 48-54.

[18] Жилин П. А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек / Механика и процессы управления. Сборник научных трудов. Труды ЛПИ №386. — СПб, Изд-во ЛПИ, 1985. — с. 88-95.

[19] Жилин П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. — Санкт-Петербург: СПбГТУ, 1992. — 87 с.

[20] Жилин П.А. Реальность и механика / Труды XXIII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" [22]. — с. 6-49.

[21] Жилин П.А., Алътенбах X. Теория упругих простых оболочек // Успехи механики. — 1988. — Т. 11, №4. — с. 107-147.

[22] Труды XXIII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", СПб, ИПМаш РАН, 1996.

[23] Кабыченков А.Ф., Шавров В.Г., Шевченко A.JI. Спиновые волны в одноосном слабом ферромагнетике; с продольной звуковой волной в плоскости базиса // ФТТ. — 1989. — Т.31, №7. — с. 193-202.

[24] Котелъникова E.H., Филатов С.К., Филиппова И.В. Кристаллохимия ротационных веществ (на примере парафинов) // Записки ВМО. — 1997. — №4. — с. 7-29.

[25] Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет внутреннего вращения // ФТТ. — 1963. — Т.5, №9. — с. 2591.

[26] Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

[27] Курант Р. Уравнения в частных производных. — М.: Мир, 1964. — 830 с.

[28] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. К теории дисперсии магнитной проницаемости в ферромагнитных телах // Физ. журнал. — 1935. — Т.8. — с. 153.

[29] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред / Теоретическая физика, т. VIII. — М.: Наука, 1992. — 664 с.

[30] Лоренц Г. Теории и модели эфира. — М., JI.: ОНТИ, 1936. — 232 с.

[31] Лурье А.И. Момент гравитационных сил, действующих на спутник // ПММ. — 1963. — Т.27, №2. — с. 377-378.

[32] Мицай Ю.Н., Фридман Ю.А. Магнитоупругие волны в сильно анизотропных легкоплоскостных ферромагнетиках // ФТТ. — 1990. — Т.32, №5. — с. 2316-2318.

[33] Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. — М.: Мир, 1991. — 560 с.

[34] Най Дж. Физические свойства кристаллов. — М.: Мир, 1967. — 386 с.

[35] Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.

[36] Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости.// ПММ. — 1964. — Т.28. — с. 401-408.

[37] Потапова С. А. Вариационные методы в динамике нелинейных ориентированных сред / Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества [16]. — с. 95-98.

[38] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. — М.: Мир, 1975. — 592 с.

[39] Филатов С.К., Котельникова E.H., Филиппова И.В. Новый смешанный тип ротационно-кристаллического состояния вещества на примере парафинов // Кристаллография. — 1997. — Т.42, №4. — с. 665-669.

[40] Штерн Т. Небесная механика. — М.: Наука, 1964.

[41] Brown W.F. Magnetoelastic interactions. — Springer-Verlag, New York, 1966.

[42] Cohen H., De Silva C.N. Theory of directed surfaces // Journal Math.

Phys. — 1966. — №7. — p. 960-966.

[43] Cosserat E. et F. Théorie des corps deformables. — Hermann, Paris, 1909.

[44] De Borst R. Simulation of strain localization: a reappraisal of the Cosserat continuum // Engineering computations. — 1991. — vol. 8, №4. — p. 317.

[45] De Borst R., Sluys L.J. Localization in a Cosserat continuum under static and dynamic loading conditions // Computer methods in applied mechanics and engineering. — 1991. — vol. 90. — p. 805.

[46] Diepolder W., Mannl V., Lippmann H. The Cosserat continuum, a model for grain rotation in metals? // International Journal of Plasticity. — 1991. — vol. 7, №4. — p. 313.

[47] Dietshce A., Willarn K. Boundary effects in elasto-plastic Cosserat continua // International journal of solids and structures. — 1997. — vol. 34, №7. — p. 877.

[48] Erbay S§uhubi E.S. Nonlinear wave propagation in micropolar media — I. The general theory // International Journal of Engineering Science. — 1989. — vol. 27, №8. — p. 895-914.

[49] Erbay S., §uhubi E.S. Nonlinear wave propagation in micropolar media

— II // International Journal of Engineering Science. — 1989. — vol. 27, №8. — p. 915-919.

[50] Ericksen J.L. The simplest problems for an elastic Cosserat surface // Journal of Elasticity. — 1973. — №2. — p. 101-107.

[51] Ericksen J.L., Truesdell C.A. Exact theory of stress and strain in rods and shells // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1958. — №1. — p. 259-323.

[52] Eringen A.C. Theory of micropolar plates // Z. Angew. Math. Phys.

— 1967. — vol. 18. — p. 12-30.

[53] Eringen A.C., §uhubi E.S. Nonlinear theory of micro-elastic solids // International Journal of Engineering Science. — 1964. — vol. 2.

[54] Eringen A.C., Maugin G.A. Electrodynamics of Continua. — Springer-Verlag, New York, 1990.

[55] Erofeev V.I. Microstructured solids. Mathematical models and wave processes analysis. — Intelservice, Nizhny Novgorod, 1996.

[56] Filatov S.K., Kotelnikova E.N., Rastorgueva I.E. On the dynamic and static nature of "rotary" crystals: examples from normal paraffines // Zs. Kristallogr. — 1991. — vol. 194. — p. 253-260.

[57] Fomethe A., Maugin G.A. Material forces in thermoelastic ferromag-nets // Continuum Mech. Thermodyn.. — 1996. — №8. — p. 275-292.

[58] Green A.E., Naghdi P.M. Micropolar and director theories of plate // Quart. J. Mech. Appl. Math. — 1965. — vol. 20. — p. 183-199.

[59] Green A.E., Naghdi P.M. The linear theory of an elastic Cosserat plate // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1967. — vol. 63. — p. 537-550.

[60] Green A.E., Naghdi P.M. The linear elastic Cosserat surface and shell theory // International Journal of Solid Structures. — 1968. — №4.

— p. 585-592.

[61] Green A.E., Naghdi P.M. On superposed small deformations of an elastic Cosserat surface // Journal of Elasticity. — 1971. — №1. — p. 1-17.

[62] Green A.E., Naghdi P.M., Oshorn R.B. Theory of an elastic-plastic Cosserat surface // International Journal of Solid Structures. — 1968.

— №4. — p. 907-927.

[63] Green A.E., Naghdi P.M., Rivlin R.S. Directors and multipolar displacements in continuum mechanics // International Journal of Engineering Science. — 1965. — №2. — p. 611-620.

[64] Green A.E., Naghdi P.M., Wainwright W.L. A general theory of Cosserat surfaces // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1965. — №20. — p. 287-308.

[65] Green A.E., Naghdi P.M., Weener M.L. Linear theory of Cosserat

surfaces and elastic plates of variable thickness // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1971. — vol. 69. — p. 227-254.

[66] Grekova E. Nonlinear constitutive equations of polar medium consisting of rotating particles / In Proc. XXIV Summer School "Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems". — St. Petersburg, IPME RAS, 1997. — p. 249-255.

[67] Grekova E. Continuum of rotating particles / In ZAMM Supplement 1 for Proceedings of GAMM-97. — 1998. — p. 413-414.

[68] Grekova E., Zhilin P. Ferromagnets and Kelvin's medium: basic equations and magnetoacoustic resonance. To appear in Proc. XXV-XXVI Summer Schools "Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems", vol. 1, St. Petersburg, 1999.

[69] Grioli G. Elasticita asimetrica // Ann. di Math, pura ed appl. — 1960. — vol. 4, №50.

[70] Gunther W. Analoge systeme von Schalengleichungen // Ing.-Arch. — 1961. — vol. 30. — p. 160-186.

[71] Hawkes T.D., Graine R.E. Modelling the creep of a pipe weld using Cosserat theory // Journal of engineering mathematics. — 1995. — vol. 29, №6. — p. 517.

[72] Jasiuk I., Ostoja-Starzewski M. Planar Cosserat elasticity of materials with holes and intrusions // Applied mechanics reviews. — 1995. — vol. 48, №11. — p. 2.

[73] Jasiuk I., Ostoja-Starzewski M. Stress invariance in planar Cosserat elasticity // Proceedings of the Royal Society of London. — 1995. — vol. 451, №1942. — p. 453.

[74] Kaplunov J.D., Lippmann H. Elastic-plastic torsion of a Cosserat-type rod // Acta mechanica. — 1995. — vol. 113. — p. 53.

[75] Limat.L. Effets orientationnels dans le cisaillement d'un milieu granulaire ou hétérogène: description micropolaire // C. R. Acad. Sc., Paris.

— 1997.

[76] Lippmann H. Cosserat plasticity and plastic spin // Applied mechanics reviews. — 1995. — vol. 48, №11. — p. 1.

[77] Maugin G.A., Eringen A.C. Deformable magnetically saturated media

— I — Constitutive theory // J. Math. Phys. —■ 1972. — №13. — p. 1334-1347.

[78] Maugin G.A., Eringen A.C. Deformable magnetically saturated media

— I — Field equations //J. Math. Phys. — 1972. — №13. — p. 143-155.

[79] Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural vibrations of isotropic elastic plates // Journal of Applied Mechanics. — 1951. — vol. 18. — p. 31-38.

[80] Mindlin R.D., Tiersten H.F. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1962. — vol. 11, №5.

[81] Papamichos E. Buckling of layered elastic media: A Cosserat-continuum approach and its validation // International journal for numerical and analytical methods in geomechanics. — 1990. — vol. 14, №7. — p. 473.

[82] Saczuk J. A variational approach to the Cosserat-like continuum // International journal of engineering science. — 1993. — vol. 31, №11.

— p. 1475.

[83] Sandru N. On some problems of the linear theory of the asymmetric elasticity // International Journal of Engineering Science. — 1966. — vol. 4, №1.

[84] Simmonds J.G., Danielson D.A. Nonlinear shell theory with finite rotation vector // Proc. Kon. Ned. Wet. — 1970. — vol. 73. — p. 460-478.

[85] Simmonds J.G., Danielson D.A. Nonlinear shell theory with finite rotation and stress-function vectors // Journal of Applied Mechanics.

— 1972. — №39. — p. 1085-1090. . [86] Tejchman J. Behaviour of a granular medium in a silo - Cosserat approach // Archives of civil engineering. — 1993. — vol. 39, №1. —

[87] Tiersten H.F. Coupled magnetomechanical equations for magnetically saturated insulators //J. Math. Phys. — 1964. — №5. — p. 12981318. '

[88] Tiersten H.F. Variational principle for saturated magnetoelastic insulators //J. Math. Phys. — 1965. — №6. — p. 779-787.

[89] Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1962. — vol. 11, №5.

[90] Vardoulakis I., Unterreiner P. Interfacial localisation in simple shear tests on a granular medium modelled as Cosserat continuum // Mechanics of Geomaterials Interfaces. — 1995.

[91] Zhilin P.A. Mechanics of deformable Cosserat surfaces // International Journal of Solid Structures. — 1976. — vol. 12. — p. 635-648,

[92] Zhilin P.A. A new approach to the analysis of free rotations of rigid bodies // ZAMM. — 1996. — vol. 76, №4. — p. 187-204.

p. 7.