Нелинейная динамика пучка в антипротонном накопителе с высоким энергетическим разрешением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.20, кандидат физико-математических наук Чеченин, Алексей Николаевич

• Чеченин, Алексей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чеченин, Алексей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В АНТИПРОТОННОМ НАКОПИТЕЛЕ.

1.1. Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле циклического ускорителя.

1.1.1. Основные соотношения.

1.1.2. Система уравнений движения в гамильтоновой форме в криволинейной системе координат.

1.1.3. Уравнения невозмущенного движения в поперечном магнитном поле ускорителя.

1.1.4. Уравнения возмущенного движения в поперечном магнитном поле ускорителя.

1.2. Резонансная каноническая теория возмущений динамики заряженной частицы в циклическом ускорителе.

1.2.1 Гамильтониан возмущенного движения в переменных «действие-угол»

1.2.2 Гамильтониан возмущенного движения в первом и во втором порядках теории возмущений.

1.3. Уравнения движения заряда с учетом собственного кулоновского поля.

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ «РЕЗОНАНСНЫХ» МАГНИТООПТИЧЕСКИХ СТРУКТУР

2.1. Физические требования к магнитооптической структуре.

2.2. Общий вид дисперсионного уравнения для структуры с введенной суперпериодичностью.

2.3. Фундаментальная система решений дисперсионного уравнения для структуры с периодически изменяющимся градиентом.

2.4. Общее решение дисперсионного уравнения с периодически изменяющимися градиентом линз и кривизной орбиты.

2.5. Определение «резонансной» структуры и ее основные свойства

2.6. Коэффициент расширения орбиты в «резонансной» структуре с суперпериодической модуляцией градиентов линз и кривизны орбиты.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ НАКОПИТЕЛЬНОГО КОЛЬЦА HESR С КОНТРОЛИРУЕМЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ РАСШИРЕНИЯ ОРБИТЫ.

3.1. Построение магнитооптической структуры суперпериода.

3.2. Метод модуляции функции кривизны орбиты.

3.3. Метод модуляции функции градиентов линз.

3.4. Метод смешанной модуляции функций кривизны орбиты и градиентов линз.

3.5. Магнитооптическая структура арок и прямых участков.

3.6. Контролируемость коэффициента расширения орбиты и бетатронных частот.

3.7. Коррекция хроматичности.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ПУЧКА В АНТИПРОТОННОМ НАКОПИТЕЛЕ НА ВЫСОКИЕ ЭНЕРГИИ HESR.

4.1 Антипротонный накопитель с высоким энергетическим разрешением HESR.

4.1.1 Общая концепция накопителя HESR.

4.1.2 Особенности накопителя HESR и требования к рабочим режимам.

4.2 Нелинейная динамика пучка в магнитооптической структуре накопителя HESR.

4.2.1 Происхождение нелинейных эффектов.

4.2.2 Схема коррекции нелинейных возмущений, вносимых хроматическими секступолями в первом порядке теории возмущений

4.2.3 Схема октупольной коррекции нелинейных возмущений, вносимых хроматическими секступолями во втором порядке теории возмущений

4.2.4 Исследование нелинейного сдвига частот в окрестности секступольного резонанса 1/3 в первом порядке теории возмущений.

4.2.5 Критерий Нехорошева. Условия «квазиизохронизма».

4.3 Коррекция нелинейного сдвига частот с помощью схемы мультипольных корректоров.

4.3.1 Нелинейный сдвиг частот, вызванный ошибками систематического характера в магнитооптических элементах.

4.3.2 Влияние кулоновского поля электронного пучка на антипротонный пучок.

4.3.3 Нелинейный сдвиг частот, вызванный ошибками случайного характера.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная динамика пучка в антипротонном накопителе с высоким энергетическим разрешением»

Современный уровень научного познания мира во многом определяется достижениями физики элементарных частиц (ФЭЧ). При этом решение сопутствующих технических задач неизбежно сопровождается развитием наукоемких технологий, имеющих прикладное значение в различных отраслях промышленности (см., например, [1-4])- Основным инструментом исследований в ФЭЧ являются сложнейшие ускорительно-накопительные комплексы, предназначенные для проведения экспериментов с частицами высоких энергий. Самыми большими из них являются:

1) Большой Адронный Коллайдер LHC (CERN, Швейцария) на энергию протонов в системе центра масс 14ТэВ (выход на полную мощность предполагается в 2008 году) с проектной светимостью -1034 см "2 сек"1 и периметром 27 км [5];

2) сверхпроводящее инжекторное кольцо на энергию 150 ГэВ для протон-протонного и протон-антипротонного коллайдера Tevatron (FNAL, США) на энергии -1.8-1.9 ТэВ с достигнутой светимостью 2.4*1034 см"2 сек"1 (2006 год) и периметром -6.3 км [6];

3) коллайдер тяжелых релятивистских ионов RHIC (BNL, США) на ионы с энергией 100 ГэВ и протоны с энергией 250 ГэВ с проектируемой светимостью -1030 см"2 сек"1 и периметром ~3.8 км [7].

Как следует из приведенных параметров, все машины являются масштабными сооружениями. Их строительство и обслуживание весьма дорого и ощутимо даже в рамках бюджета одной страны. Это обстоятельство зачастую приводит к объединению усилий нескольких государств. Одним из подобных новых международных проектов является проект по исследованию антипротонов и ионов — Facility for Antiproton and Ion Research (FAIR, GSI, Германия), объединяющий порядка 17 стран участниц (2006 год), включая Россию [8].

Проект FAIR представляет собой большой ускорительно-накопительный комплекс, включающий 7 колец, сложную разветвленную систему транспортных каналов для проведения 8 разделенных экспериментальных программ. В совокупности в комплексе предусматривается получение интенсивных пучков редких изотопов, тяжелых релятивистских ионов, протонов и антипротонов для различных экспериментов. Основные направления исследований имеют обширную «географию» и затрагивают многие разделы физики. Это исследование сильных взаимодействий, кварк-глюонной плазмы, конфайнмента кварков и происхождения массы адронов в физике адронов; фазовых переходов в кварках, адронов при высоких плотностях в физике ядерной материи; структуры нестабильных ядер, ядерного синтеза в звездах, фундаментальных взаимодействий и симметрий в ядерной физике и астрофизике; состояния вещества при высоких плотностях, давлении и температурах в физике плазмы; квантовой электродинамики, взаимодействия ионов с веществом в атомной физике; исследование вопросов, касающихся ускорительной физики и прикладных наук. Одной из основных особенностей комплекса FAIR является одновременное управление разными типами пучков, что предоставляет возможность параллельного проведения экспериментов.

Наиболее сложным звеном проекта FAIR является антипротонное накопительное кольцо на высокую энергию High Energy Storage Ring (HESR, периметр -574 м) вместе с экспериментальной установкой PANDA (Antiproton Annihilations at Darmstadt) [8,9]. Программа исследований для установки PANDA включает несколько основных целей, касающихся, во-первых, изучения структуры адронов, проверки гипотезы о существовании глюболов с расчетом измерить их массы и другие характеристики [ 10, 11]. Во-вторых, эксперименты предусматривают проведение спектроскопии ряда редких распадов и прецизионной рентгеновской спектроскопии гиперядер. В-третьих, планируется исследование вопроса о нарушении СР-инвариантности [10, 12].

Сложность накопительного кольца HESR определяется требованиями к проведению экспериментов, а именно, необходимостью удерживать пучок антипротонов в течение времени порядка -3000+4000 секунд с энергией в диапазоне от 1.5 до 15 ГэВ и обеспечивать высокое качество его параметров. В кольце предусматриваются два режима работы со следующими основными параметрами пучка:

• режим высокого разрешения по энергии с разбросом по импульсам -10 "5 и

•5 1 Л 1 светимостью-2*10 см" сек";

32 2 1

• режим высокой светимости-2*10 см" сек" и разбросом по импульсам -10 "4.

Главной особенностью HESR является комбинация внутренней мишени в виде водородной струи (pellet-target) с системами электронного и стохастического охлаждения. Подобная структура создается впервые. Такой метод дает возможность после выключения внутренней мишени эффективно собирать рассеянные на мишени частицы в течение всего цикла, а также повторно использовать их в новом рабочем цикле. Это повышает интегральную светимость всей установки, что позволяет набирать необходимую экспериментальную статистику за разумный период времени.

Сравнение HESR с тремя комплексами, упоминавшимися ранее, приводит к заключению о преимуществах этой машины в решении поставленных задач: во-первых, HESR имеет меньшие масштабы и во-вторых, обладает высокой интегральной светимостью за счет использования внутренней мишени. Таким образом, накопительное кольцо HESR составляет успешную альтернативу «большим» коллайдерам, например, при исследовании кварк-глюонных состояний.

С другой стороны, выход на запланированный режим работы в подобном ускорительно-накопительном кольце напрямую зависит от выполнения жестких требований к параметрам пучка. Отсюда при длительной эволюции частиц -109 оборотов следует учитывать вклад нелинейных эффектов высших порядков, поскольку даже малые нелинейные возмущения могут привести к нежелательным последствиям таким, как [13, 14]:

• росту эмиттанса и снижению светимости, связанным с взаимодействием частиц в пучке и на мишени;

• уменьшению динамической апертуры и потерям частиц вследствие пересечения структурных резонансов.

Таким образом, исследование нелинейной динамики заряженных частиц представляет собой актуальную проблему при сооружении HESR.

За восьмидесятилетнюю историю создания циклических ускорителей от первого циклотрона 1931 года постройки до современных ускорительно-накопительных комплексов была развита обширная теория ускорителей и по мере усложнения задач создана соответствующая база для исследования нелинейной динамики пучков заряженных частиц. Развитие нелинейной динамики связано с именами В.И. Арнольда, Н.Н. Боголюбова, Г.М. Заславского, Н.М. Крылова, Ю.А. Митропольского, Р.З. Сагдеева, Я.Г. Синая, Б.В. Чирикова. Существенный вклад в развитие вопросов нелинейной динамики пучков заряженных частиц внесли А.А. Коломенский, А.Н. Лебедев, A.J. Dragt, J. Irwin, A.J. Lichtenberg. В качестве литературы, затрагивающей данную тематику, можно указать на ряд общих теоретических и обзорных [13-19], а также специальных работ [16, 20-26] в совокупности с приведенной в них библиографией.

Как известно, самым распространенным методом описания движения заряженных частиц в электромагнитном поле циклического ускорителя является гамильтонов формализм [13, 16, 17]. Этот метод перенесен из общей теоретической механики. Эффективность его использования связана с хорошим соответствием между данными математической и физической моделями, а также с мощными методами исследования, развитыми в рамках самого формализма. При описании физического процесса гамильтоновыми уравнениями, обеспечивающими сохранение свойств симплектичности, существует ряд интегральных инвариантов, и один из них — шестимерный фазовый объем пучка (это утверждение известно как теорема Лиувилля) [27, 28]. Представление решения в фазовом пространстве имеет фундаментальное значение в физике ускорителей и позволяет ответить на важный вопрос о пределах изменения амплитуды бетатронных колебаний вблизи резонансов [13]. Благодаря разработанным в теоретической механике методам в рамках гамильтонова формализма возможна замена переменных с сохранением свойств каноничности уравнений, выделением резонансных и осреднением нерезонансных членов [29]. И наконец, все математические модели, допускающие определенные упрощения, непосредственно связаны с физическими приближениями в описании движения заряженных частиц в циклическом ускорителе [13].

Касаясь методов исследования динамики пучка заряженных частиц, в первую очередь следует отметить аппарат канонических преобразований, являющийся одним из важнейших подходов к интегрированию дифференциальных уравнений движения в гамильтоновой форме (см., например, [13, 16, 27, 29, 30]). Суть этого метода заключается в поиске подходящих канонических замен переменных, сводящих дифференциальные уравнения к полностью или частично интегрируемому случаю или к виду удобному для применения других методов. Здесь необходимо указать на приближенные методы теории возмущений (см., например, [28, 29, 31-33]), на методы качественного описания эволюции сложных систем в рамках КАМ-теории, нелинейной динамики, эрго-дической теории (см., например, [34-38]), на применение развитого аппарата современной теории групп и алгебр Ли при алгебраизации и численном моделировании динамических систем, обладающих теоретико-групповыми свойствами гамильтоновой механики (см., например, [20, 39-42]). Остается обратить внимание на особую значимость гамильтонова формализма при рассмотрении множества вопросов теории ускорителей, касающихся изучения нелинейных и резонансных явлений, сильно связанных колебаний, движения системы при адиабатически изменяющихся параметрах и т.д. [13-15].

В диссертации для исследования нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе используется гамильтонов формализм и аппарат канонических преобразований в совокупности с методами теории возмущений и принципом усреднения. На основе результатов этих исследований разработана магнитооптическая структура ускорительно-накопительного кольца HESR, принятая к реализации.

Целью диссертационной работы является исследование нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе HESR и разработка его магнитооптической структуры, отвечающей требованиям минимизации вклада нелинейных эффектов посредством их полной и частичной взаимной компенсации.

Указанная цель достигается решением следующих основных задач:

• Первой задачей является построение математической модели нелинейной динамической системы, пучка заряженных частиц в циклическом ускорителе, и разработка метода изучения вклада нелинейностей с учетом большого времени жизни пучка в ускорителе.

• В качестве второй задачи предлагается разработка математического аппарата для построения «резонансных» магнитооптических структур, позволяющей сформулировать общие требования к структуре ускорителя с возможностью изменять критическую энергию в широком диапазоне значений.

• Разработка «резонансной» магнитооптической структуры для ускорительно-накопительного кольца HESR в рамках современного международного проекта FAIR рассматривается в качестве третьей задачи диссертации.

• К четвертой задаче относится исследование нелинейной динамики пучка в проектируемом ускорительно-накопительном кольце HESR на основе построенных моделей и проведения вычислительных экспериментов, а также разработка методики последовательного учета нелинейных эффектов с предложением конкретных схем их минимизации.

Основными методами исследования являются методы математического и компьютерного моделирования и численного эксперимента. Адекватность математической модели изучаемого физического объекта, пучка заряженных частиц, движущегося в электромагнитных полях накопителя (ускорителя), подтверждается как накопленными теоретическими знаниями, так и опытом реализации подобных сложнейших технических устройств. Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент являются неотъемлемой частью конструирования современной ускорительной техники, существенно снижая стоимость проектов и временные затраты.

Практическая ценность связана с использованием результатов работы при проектировании ускорительно-накопительного кольца HESR в проекте FAIR [ 8], в основу конструкции которого положена разработанная теория «резонансных» магнитооптических структур. Исследование нелинейной динамики показало эффективность применения подобной структуры для высокоинтенсивных ускорительно-накопительных колец и в значительной степени гарантировало возможность подавления различных нелинейных эффектов высших порядков. Результаты исследования могут быть также применены при разработке новых и модификации существующих ускорителей с большим временем жизни пучка.

Структура диссертации представляется в следующем виде: диссертация изложена на 145 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 82 наименования. Диссертация включает 44 рисунка и 4 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника», Чеченин, Алексей Николаевич

Заключение

В диссертации разработана магнитооптическая структура антипротонного накопителя HESR с высоким энергетическим разрешением с учетом большого времени жизни пучка. Основные результаты можно сформулировать следующим образом:

1) предложен новый численно-аналитический подход к исследованию нелинейной динамики заряженных частиц в ускорителях с большим временем жизни пучка;

2) получены аналитические выражения для коэффициента расширения орбит и дисперсионной функции, позволяющие конструировать «резонансные» магнитооптические структуры нового класса без прохождения частиц через критическую энергию;

3) исследованы различные методы регулирования коэффициента расширения орбит в широком диапазоне значений на основе полученных аналитических решений;

4) разработана новая магнитооптическая структура для ускорительно-накопительного кольца HESR в рамках международного проекта FAIR, с применением одновременной и резонансной суперпериодической модуляции функций градиентов линз и кривизны орбиты;

5) исследованы нелинейные эффекты в разработанной магнитооптической структуре накопителя HESR, связанные с наличием в оптике мультиполей высокого порядка, и предложны способы их коррекции, позволяющие достичь максимального значения динамической апертуры;

6) предложена новая схема взаимной компенсации секступольных нелинейных эффектов, рассмотренных в первом порядке теории возмущений;

7) сформулирован критерий требований к октупольной коррекции нелинейного секступольного сдвига частоты, рассмотренного во втором порядке теории возмущений;

8) проведено численное моделирование различных нелинейных эффектов высших порядков с помощью существующего программного обеспечения и вновь разработанных программных модулей и осуществлена проверка действия системы мультипольной коррекции в ускорительно-накопительном кольце HESR;

9) исследовано влияние пространственного заряда электронного пучка на антипротонный пучок в процессе электронного охлаждения.

В заключение автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, Ю.В. Сеничеву за продуманную постановку задач, высококачественное руководство работой, организацию вокруг себя дружного коллектива и постоянное человеческое внимание.

Автор выражает большую признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук С.Н. Андрианову за плодотворное научное влияние в процессе работы над диссертацией и всегда своевременную поддержку.

Автор благодарит доктора естественных наук Рудольфа Майера (Rudolf Maier) за многочисленные полезные обсуждения и поддержку работы.

Автор благодарит кандидата физико-математических наук Н.Е. Васюхина за многочисленные полезные обсуждения результатов работы, а также всех сотрудников факультета ПМ-ПУ СПбГУ, принявших участие в обсуждении вопросов, затронутых в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чеченин, Алексей Николаевич, 2007 год

1. The Home Page of The CERN laboratory. CERN, 2007. http://public.web.cern.ch/public/.

2. The Home Page of The Brookhaven National Laboratory. BNL, 2007. http://www.bnl.gov/world/.

3. The Home Page of OakRidge National Laboratory. ORNL, 2007. http://www.ornl. gov/.

4. Accelerator Physics, Technology and Applications. Selected Lectures of OCPA International Accelerator School 2002. Editors: A.W. Chao, H.O. Moser, Z. Zhao. -Singapore, World Scientific Publishing Co., 2004. p. 640.

5. The Home Page of The Large Hadron Collider. CERN, 2007. http: //lhc. web. cern. ch/lhc/.

6. The Home Page of The Tevatron Collider. FNAL, 2007. http://www-bdnew.fnal.gov/tevatron/.

7. The Home Page of The Relativistic Heavy Ion Collider. BNL, 2007. http ://www.bnl. gov/rhic/.

8. An International Accelerator Facility for Beams of Ions and Antiprotons. Conceptual Design Report. Darmstadt: GSI, Nov. 2001. - p. 695. http://www.gsi.de/GSI-Future/cdr/.

9. The Home Page of PANDA experiment at HESR of FAIR project. -GSI, 2007. http ://www-panda. gsi.de/auto/home.htm.

10. КейнГ. Современная физика элементарных частиц. М.: УРСС, 1990. -360 с. (Kane G. Modern Elementary Particle Physics.)1.. Morningstar C.J., Peardon M. Glueball Spectrum from an Anisotropic Lattice Study // Phys. Rev. D 60 034509, 1999. p. 13.

11. Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий. М.: УРСС, 1991. -432 с. (Perkins D. Introduction to High Energy Physics.)

12. Коломенский А.А. и Лебедев А.Н., Теория циклический ускорителей. -М.: Физматгиз, 1962. 352 с.

13. ЛихтенбергА. Динамика частиц в фазовом пространстве. М.: Атомиздат, 1972. - 304 с. (Lichtenberg A. J. Phase-space Dynamics of particles.)

14. Брук Г., Циклические ускорители заряженных частиц. Введение в теорию. М.: Атомиздат, 1970. - 312 с. (BruckH., Accelerateurs circulaires de particules.)

15. BengtssonJ., Non-linear transverse dynamics for storage rings with applications to the low-energy antiproton ring (LEAR) at CERN. // Yellow Report, Vol. 88-05, Geneva: CERN, 1988. p. 142.

16. Bengtsson J., Irwin J. Analytical Calculations of Smear and Tune Shift. // SSC Technical Report, Vol. 232, 1990. Superconducting Super Collider Lab., Dallas, TX (USA).-p. 59.

17. SchochA. Theory of linear and non-linear perturbations of betatron oscillations in alternating gradient synchrotrons. // Yellow Report, Vol. 57-21, Geneva: CERN, 1958.-p. 153.

18. Чириков Б.В. Нелинейный резонанс. Учебное пособие. Новосибирск, НГУ, 1977. - 82 с.

19. Чириков Б.В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Учебное пособие. Новосибирск, НГУ, 1978. - 80 с.

20. Brown K.L. A Second-Order Magnetic Optical Achromat // Report SLAC-PUB-2257, SLAC, Stanford University, February 1979. p. 32. 25] Peggs S.G., Talman R.M. Nonlinear Problems in Accelerator Physics // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1986.36. - P. 287-325.

21. Dragt A .J., Neri F., Rangarajan G., et al. Lie Algebraic Treatment of Linear and Nonlinear Beam Dynamics // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1988.38. P. 455-496. 27] Ландау Л.Д. и Лившиц E.M., Механика. - М.: Наука, 1988. - 216 с.

22. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.-432 с.

23. Арнольд В.И., Козлов В.В., НейштадтА.И. Математические аспекты классической и небесной механики. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.З. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М., 1985. 5-304 с.

24. Бутенин Н.В., Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. -264 с.

25. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.:Наука, 1958. - 408 с.

26. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. -М.: Наука, 1979. 319 с. (G.E.O. Giacaglia, Perturbation Methods in Non-Linear Systems.)

27. Найфе A.X. Методы возмущений. M.: Мир, 1976. - 455 с. (Nayfeh А.Н. Perturbation Methods.)

28. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.-272 с.

29. Чеченин A.H. Нелинейная динамика заряженных частиц в накопительном кольце и методы компенсации влияния высших порядков магнитного поля. // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 10 (Прикладная Математика), выпуск 4, 2007. с. 76-89.

30. The Home Page of MAPLE 10 Program (and other versions). Waterloo Maple Inc., 2007. http://maplesoft.com/.

31. Сеничев Ю.В., Чеченин A.H. Теория «резонансных» магнитооптических структур для синхротронов с комплексной критической энергией // ЖЭТФ, том 132, выпуск 5 (11), 2007. с. 1127-1138.

32. CourantE.D., Snyder H.S. Theory of the Alternating-Gradient Synchrotron. // Annals of Physics, Vol. 281, Issues 1-2, 2000 P. 360-408.

33. Johnsen K. Transition // Proceedings, CERN Accelerator School, CERN 85-19, Vol.1, 1985.-P. 178-194.

34. Laclare J. L. Coasting Beam Longitudinal and Transverse Coherent Instabilities // Proceedings, CERN Accelerator School, CERN 94-01, Vol. 1, 1994. -P. 349-408.

35. Teng L. C. Particle Accelerator, 4, 81, 1972.

36. MoriY. Beam Optics and Dynamics Issues for Synchrotron Design of the Japanese Hadron Project. // ICFA Beam Dynamics Newsletter, No. 11, 1996. p. 12. http://icfa-usa.jlab.org/archive/newsletter/icfa bd nl 11 .pdf

37. Ischi Y., Machida S., Mori, Shibuya S. Lattice Design of JHF Synchrotron. // Proceeding of Asia Particle Accelerator Conference, 2002. http://hadron.kek.jp/ihf/apac98/5D002.pdf.

38. The Home Page of «MAD-Х» Program. CERN, Accelerators and Beam Physics Group, 2007. http://mad.web.cern.ch/mad/.

39. ChecheninA., Senichev Yu., VasyukhinN. The Regular and Random Multi-Pole Errors Influence on the HESR Dynamic Aperture. // Proceedings of РАС 2007, Albuquerque. P. 3949-3951.

40. The Home Page of UAL Programs (Unified Accelerator Libraries). BNL, 2007. http://www.ual.bnl.gov.

41. Ландау Л.Д., Лившиц E.M., Теория поля. М.: Наука, 1988. - 512 с. 71] Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. - М.: Атомиздат, 1979.- 224 с.

42. Владимирский В.В., Тарасов Е.К. Некоторые вопросы теории циклических ускорителей. М.: Изд-во АН СССР, 1955.

43. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1976. 576 с. (Kamke Е. Differential Gleichungen Losungsmethoden und Losungen.)

44. Капчинский И.М. Теория линейных резонансных ускорителей. М.: Энергоиздат, 1982. - 240 с.