Некоторые задачи термовибрационной конвекции в плоском и цилиндрическом слоях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Вольфсон, Дмитрий Наумович

• Вольфсон, Дмитрий Наумович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вольфсон, Дмитрий Наумович

СОДЕРЖАНИЕ

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В

ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

Введение

1.1. Постановка задачи

1.2. Галеркинская процедура

1.3. Результаты для триплета

1.4. Общие свойства многомодовой модели

1.5. Схема численного анализа многомодовой модели

1.6. Результаты численного анализа многомодовой модели

1.7. Анализ двух бифуркаций коразмерности 2

Заключение

2. ВИБРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ДВУМЯ БЕСКОНЕЧНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Введение

2.1. Уравнения и граничные условия

2.2. Вибрации с круговой поляризацией. Постановка задачи

2.3. Линейная задача устойчивости

2.4. Приближение узкого зазора между цилиндрами

2.5. Осесимметричное вторичное течение

Заключение

3. ТЕРМОВИБРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ДВУМЯ БЕСКОНЕЧНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Введение

3.1. Уравнения и граничные условия

3.2. Вибрации с круговой поляризацией. Постановка задачи

3.3. Линейная задача устойчивости

3.4. Приближение узкого зазора между цилиндрами

3.5. Узкий зазор. Монотонная неустойчивость

3.6. Узкий зазор. Колебательная неустойчивость

3.7. Узкий зазор. Модельные граничные условия

3.8. Узкий зазор. Численный линейный анализ

3.9. Конечный зазор. Численный линейный анализ

Заключение

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи термовибрационной конвекции в плоском и цилиндрическом слоях»

Введение

Рассматриваемая в этой главе задача относится к задачам классической вибрационной конвекции [1.1]. Основными эффектами, определяющими поведение системы, здесь являются конвекция, возникающая в поле силы тяжести из-за разности температур между различными частями границы, и вибрационное воздействие, проявляющееся через осредненный перенос неоднородно нагретой жидкости пульсациями скорости.

Отличительной чертой классической виброконвекции служит учет зависимости плотности от температуры только в массовых силах, как это делается в приближении Буссинеска при изучении конвекции в отсутствие вибраций.

Базовым понятием в рассматриваемой области является механическое квазиравновесие - состояние, в котором элемент жидкости пульсирует с частотой вибраций вблизи определенного положения, но в среднем покоится. В такой ситуации, даже в отсутствие поля силы тяжести, неоднородность температурного поля может вызвать движение, поскольку имеется специфический механизм осредненного распространения возмущения от одного элемента жидкости к другому.

Цепочка, приводящая к возможности среднего движения, такова. Разные элементы жидкости имеют разную среднюю температуру. Из-за эффекта объемного расширения они имеют так же и разную плотность и, следовательно, разные вибрационные ускорения. Таким образом, и поле пульсаций скорости является неоднородным. Температура в фиксированной точке пульсирует, поскольку в разные моменты времени в ней находятся элементы жидкости разной температуры. Пульсации ускорения и температуры происходят в фазе, так что в

среднем возникает эффективная архимедова сила, которая может заставить жидкость двигаться.

Исследования различных задач устойчивости квазиравновесия в отсутствие гравитации показывают, что порог неустойчивости может как понижаться, так и повышаться, - в зависимости от взаимной ориентации градиента температуры и оси вибраций. В некоторых случаях возможна и абсолютная стабилизация квазиравновесия .

В работе [1.2] был сделан линейный анализ устойчивости для симметричных граничных условий: прилипания - для скорости, идеально теплопроводных и теплоизолированных - для температуры и различных взаимных ориентаций градиента температуры и оси вибраций. Независимо от взаимной ориентации обнаружена монотонная неустойчивость.

Несимметричные граничные условия для температуры, напротив, обычно приводят к колебательной неустойчивости квазиравновесия, что продемонстрировано в работе в работе [1.3].

Продольные вибрации слоя с теплоизолированными границами приводят к появлению длинноволновой моды неустойчивости [1.4].

Обширная литература так же посвящена проблемам взаимодействия термогравитационного и термовибрационного механизмов неустойчивости. Например, работе [1.5] детально решены линейные задачи устойчивости квазиравновесий в наклонном слое жидкости для шестнадцати возможных комбинаций направлений градиента температуры и оси вибраций, каждый из которых имел одно из направлений: вертикальное, горизонтальное, продольное и перпендикулярное слою. Определены границы неустойчивости относительно плоских, спиральных и длинноволновых возмущений.

Результаты экспериментальных исследований вибрационной конвекции в горизонтальном плоском слое представлены в ряде работ среди которых упомянем [1.6,1.7]. Приведенные в цитируемых работах результаты опытов хорошо согласуются с теоретическими выводами относительно влияния термовиб-

рационного механизма. Эксперименты проводились с различными жидкостями - дистиллированной водой, этиловым спиртом и трансформаторным маслом. Границы слоев делались из металла, так что обеспечивалось хорошее приближение к модели изотермических границ. Как свидетельствуют эксперименты, кризис теплопроводного режима в горизонтальном плоском слое, подверженном вибрациям, связан с образованием двумерных конвективных структур типа валов, с осями, перпендикулярными направлению вибраций. В случае продольных вибраций образование валов наблюдалось и при нагреве сверху, то есть при устойчивой стратификации по плотности. Тем самым, подтверждалось, что неустойчивость обусловлена термовибрационным эффектом. В случае поперечных вибраций основным качественным результатом являлась полная стабилизация равновесия при достаточно интенсивных вибрациях.

В ситуации, когда вибрации совершаются в направлении, параллельном градиенту температуры, основным состоянием жидкости является собственно равновесие, а не квазиравновесие. Жидкость вибрирует как целое в лабораторной системе отсчета и покоится в системе отсчета, связанной с сосудом, в котором она находится (предполагается, что таковой должен быть, чтобы заставить жидкость вибрировать). Если возмущения температуры малы и градиент температуры в первом приближении можно считать параллельным направлению вибраций, то термовибрационный механизм оказывает стабилизирующее влияние. Достаточно сильные вибрации способны стабилизировать равновесие, что и наблюдалось в упомянутых выше экспериментах. При умеренных вибрациях, с увеличением числа Рэлея равновесие может стать неустойчивым, и в жидкости может установиться вторичное течение. Понятно, что это течение уже существенным образом исказит линейный профиль, имевшийся в состоянии равновесия, поле градиента температуры станет неоднородным и влияние термовибрационного механизма будет зависеть от структуры самого течения. Более того, если установившееся течение окажется нестационарным, например, периодическим, то в разные моменты времени влияние будет разным. Таким

образом, при изучении вторичных течений в задачах с параллельными равновесным градиентом температуры и осью вибраций следует ожидать нетривиальных нелинейных режимов.

Для описания сильно нелинейных режимов течения существует множество подходов. В случае двумерных течений основными альтернативами являются сеточный метод и метод Галеркина. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Поскольку в данном случае преимущества одного проявляют недостатки другого, ограничимся преимуществами каждого.

Первый метод удобен для детального выяснения структуры течения, нахождения стационарных решений, переходных режимов между ними [1.8]. Второй метод обычно ассоциируется с маломодовыми моделями, которые лишь качественным образом описывают состояния системы, зато позволяют понять причины бифуркаций, их последовательности, ведущие от порядка к хаосу (иногда обратно) [1.9].

Однако, в последнее время возрос интерес к изучению многомодовых систем, естественным образом сочетающих точность прямого численного метода и понятийный аппарат теории динамических систем.

К пионерским работам такого рода можно отнести исследование [1.10]. В этой работе было изучено влияние высокочастотных вибраций на нелинейные режимы термогравитационной конвекции в замкнутой области, подогреваемой снизу. Рассматривалась двумерная постановка задачи, область имела квадратное сечение. Все границы полагались твердыми; на нижней и верхней поддерживались постоянные температуры, на боковых стенках - равновесное (линейное) распределение. В качестве безразмерных параметров были выбраны число Рэлея, вибрационное число Рэлея и число Прандтля. Основное внимание уделялось определению возможных вторичных течений и областей их устойчивости. Задача решалась методом Галеркина с базисными функциями, составленными из полиномов Чебышева. В конечном счете, задача была сведена к отысканию стационарных состояний динамической системы, каждое уравнение

которой описывало динамику вклада определенной составляющей вторичного течения в общую картину. Вычисления производились для чисел Прандтля 0.02, 1.0 и 15.0. В общей сложности было обнаружено четыре качественно различных нетривиальных режима вибрационной конвекции, их можно классифицировать по симметрии, которой они обладают: инверсионная (точечная), отражения в горизонтальной плоскости, проходящей через центр квадрата, отражения в вертикальной плоскости, проходящей через центр квадрата, и несимметричное. При всех исследованных значениях числа Прандтля присутствуют области устойчивости решений первых двух типов, вторая пара решений становится устойчивой при числах Прандтля, больших единицы. Области устойчивости различных решений перекрываются, что заведомо приводит к зависимости решений от начальных условий.

В этой главе будут рассматриваться нелинейные режимы вибрационной конвекции в горизонтальном слое со свободными недеформируемыми границами под действием вертикальных вибраций (поскольку ось вибраций параллельна силе тяжести можно говорить о модуляции силы тяжести). Классическая геометрия задачи позволяет легко найти основное решение - равновесие, состояние в котором устанавливается линейное распределение температуры между границами слоя и жидкость покоится в системе координат, связанной со слоем. Известны также результаты линейного анализа устойчивости основного решения [1.20] и результаты нелинейного анализа на основе простейшей трехмодо-вой модели, полученной из уравнений вибрационной конвекции методом Га-леркина [1.18].

В последнем случае исследовалась картина бифуркаций, происходящих в системе при изменении управляющих параметров, в частности, возможные сценарии усложнения поведения: от тривиального решения, равновесия, до стохастических режимов.

Данная работа возникла из желания проверить, какие из обнаруженных ранее бифуркационных переходов "выживут" при увеличении числа рассматри-

ваемых мод. При этом предполагалось, что такое увеличение должно приближать получаемые результаты к решениям системы частных дифференциальных уравнений вибрационной конвекции.

Для наиболее последовательного решения этой задачи необходимо реализовать схему построения динамической системы произвольной размерности. Тогда, рассматривая системы с возрастающим числом мод, можно надеяться, что получаемые при этом бифуркационные диаграммы будут сходиться.

Дальнейшее изложение организовано следующим образом. В первом разделе приводится постановка задачи, обсуждается выбор безразмерных параметров. Во втором разделе определяется симметрия решений, которые будут рассматриваться, и описывается применение галеркинской процедуры. В третьем разделе, в целях дальнейшего сравнения с результатами исследования многомодо-вой системы, воспроизводится картина бифуркаций стационарных состояний для триплета [1.18]. В четвертом анализируются общие свойства бесконечномерной динамической системы и производится линейный анализ устойчивости состояния равновесия. В пятом, шестом и седьмом разделах описываются схема численного исследования многомодовой системы и полученная на ее основе диаграмма бифуркаций стационарных состояний.

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим горизонтальный плоский слой жидкости, подогреваемый снизу. Слой находится в поле силы тяжести и совершает гармонические колебания в вертикальном направлении. Будем полагать, что частота колебаний со много больше, чем характерные гидродинамические частоты: (й » v/h2» h2 (h - толщина слоя, %- теплопроводность жидкости, v = ri/p0- кинематическая вязкость, определенная по динамической вязкости г|и характерной плотности

жидкости р0). Амплитуду колебаний а будем считать малой по сравнению с

характерным размером задачи Ъ: а «И.

Будем также полагать, что жидкость изотермически несжимаема, что можно делать, если характерный размер задачи мал по сравнению с длиной звуковой волны:

Будем далее считать границы слоя свободными и недеформируемыми. Это, в частности, означает, что в отсутствии нагрева жидкость двигалась бы как твердое тело в лабораторной системе координат и покоилась бы в системе координат, связанной со слоем. Таким образом, в данной постановке неоднородность пульсационного поля скорости возникает только из-за неизотермичности, то есть имеет место классическая вибрационная конвекция [1.11].

Предположения, сделанные выше, дают возможность различать два характерных временных масштаба: осцилляционный (1/ш) и диссипативный (к2 / гили к2 /%). Это позволяет выделить осциллирующие и осредненные составляющие динамических переменных, описывающих движение жидкости, и, используя метод многих масштабов, получить уравнения для осредненных полей.

Уравнения вибрационной конвекции записываются для осредненных и пуль-сационных полей, в системе координат, связанной со слоем. Они описывают движение жидкости в сосуде, совершающем высокочастотные поступательные вибрации, и имеют следующий вид [1.12]: й, +(й-У)и = -Ур/р0 +уА й + §рт +

(1.1.1)

V • Я = О,

Ух й = УГ х п,

Т(+(й-У)Т = ХАТ,

где введены следующие обозначения:

(1.1.2)

(1.1.3)

(1.1.4)

(1.1.5)

й,р,Т - осредненные поля скорости, давления и температуры соответственно;

Й- соленоидальная часть поля Тп, пропорциональная амплитуде пульсаци-онной составляющей скорости;

п - единичный вектор, задающий направление вибраций;

(3 - коэффициент температурного расширения; вектор ускорения свободного падения.

Выберем в качестве единиц измерения длины -к, времени - к2 / %, скорости - %/к, давления - р%2 /к2, температуры - ®/Яа, где ©- разность температур между нижней и верхней границами слоя, & Яа = g$®k2 / - число Рэлея. В безразмерной форме уравнения (1.1.1-1.1.5) примут вид (для безразмерных переменных сохраняем прежние обозначения):

и,+(й-У)и = -Ур + РгАи + РгТу + ' { 7 у г (1.1.6)

У-м = 0, (1.1.7)

У-й = 0, (1.1.8)

V хй = УГхй, (1.1.9)

Т(+(й-У)Т = АТ (1.1.10)

В системе (1.1.6-1.1.10) кроме числа Рэлея присутствуют еще два безразмер-

^ /___2 Л2 ..2

ных параметра: Рг = \>/%- число Прандтля и £> = —Рг

2

асо

V

ё у

у

—— - вибрацией к

онный параметр. Ограничим рассмотрение двумерными движениями и поместим декартову систему координат (х,г) в вертикальном сечении слоя, направив ось х вдоль слоя (рис.1).

I

л

х

Т=0

Рис. 1.1. Геометрия задачи

Сформулируем граничные условия для уравнений (1.1.6-1.1.10). Поскольку границы предполагаются свободными и недеформируемыми, на осредненную скорость необходимо наложить условия непротекания и отсутствия касательных напряжений. Амплитуда пульсационной составляющей, входит в уравнения под знаком первой производной, так что для нее достаточно поставить одно условие - непротекания. Температура на границах поддерживается постоянной. Таким образом, приходим к следующим граничным условиям:

Т1-0=*"> Т1=1=0> (1ЛЛ2) где вектора осредненной скорости и амплитуды пульсаций скорости (#) расписаны покомпонентно: й = (их,и2), м> = (м?х,м>2). Здесь и далее для обозначения частных производных мы используем обозначения: — = дх,~ = д2, — = д1.

дх дг

Задача (1.1.6-1.1.10) вместе с граничными условиями (1.1.11-1.1.12) допускает стационарное решение, отвечающее механическому равновесию (теплопроводному режиму):

и0= 0, (1.1.13)

и>0=0, (1.1.14)

Т0 =Яа( \-г), (1.1.15)

р0 =Яа(2-г2 /2) (1.1.16)

Сформулируем задачу устойчивости равновесия в терминах функций тока. Для этого определим возмущения основного решения:

их=~д2цг, и2=дху, (1.1.17)

м>х -~Кад2ц>, ы2 =Кадх(р, (1.1.18)

Г = Г0+3 (1.1.19)

Подставляя выражения (1.1.17-1.1.19) в уравнения (1.1.6-1.1.10) и исключая давление, приходим к следующей нелинейной постановке задачи о возмущениях равновесного состояния:

а,Д\|/ + J(\\fЛцf) = РгОКа^(дх($>,&) - РгОКа2д2ху +

+ Рг11адх& + сА2 \|/ (1-1.20)

+ = + (1.1.21) = (1.1.22) где использовано обозначение:3(а,Ь) = (дха)(д2Ь)-(дхЬ)(д2а). Граничные условия (1.1.11-1.1.12) в терминах функций тока принимают следующий вид:

»1.0., =°> П.1.24)

Обсудим некоторые свойства системы (1.1.20-1.1.24). Прежде всего, отметим, что уравнения, которые будут изучаться, содержат как частный случай при И = 0 (в отсутствие вибраций), хорошо изученные уравнения двумерной конвекции Рэлея-Бенара [1.13]. Это позволяет производить эффективное сравнение результатов. Кроме того, для задачи Рэлея-Бенара хорошо известны диапазоны параметров, в которых конвективное движение остается двумерным [1.14]. Исследования будут производиться именно в этой области параметров, без захода за границы устойчивости двумерной конвекции.

Во-вторых, отметим, что существует несколько способов обезразмеривания системы (1.1.1-1.1.5). Выбор, сделанный нами, основан на двух обстоятельствах.

Первое: при таком способе переменные, описывающие конвекцию Рэлея-Бенара, в широком диапазоне демонстрируют слабую зависимость от числа Прандтля и, напротив, чувствительны к изменению числа Рэлея. На этом основании дальнейшее изложение, в основном, ведется для фиксированного значения числа Прандтля (Рг = 6.8).

Второе: даже в рамках выбранных единиц измерения остается свобода в выборе безразмерного параметра, содержащего характеристики вибраций, амплитуду и частоту. Легко видеть, что вибрационный параметр И везде входит в уравнения вместе с квадратом числа Рэлея. Это означает, что вместо пары параметров (В,Яа) можно использовать пару (,Яа), где

Ка = Яа2В = _ вибрационное число Рэлея. Однако такой выбор

смешивает вибрационное и тепловое воздействие на систему, поэтому интерпретация собственно вибрационного влияния становится затруднительной.

1.2 Галеркинская процедура

Обсудим сначала свойства симметрии рассматриваемой задачи. Уравнения (1.1.20-1.1.22) инвариантны относительно преобразований отражения в плоскостях, перпендикулярных осям координат:

Кроме того, уравнения инвариантны относительно трансляций вдоль осей:

а* * -» -х, (у, я ср; ,

а2 :2 -» -г, (у, <р) -> (-у,-(р)

(1.2.1) (1.2.2)

т х(а): х->х + а, ц>) (Ч|/, д, у), т 2(а): г^г + а, (у, <р) (у, ц>),

(1.2.3)

(1.2.4)

где а е .

Рассматривается слой, бесконечный вдоль х, поэтому естественно предположить, что возникающие конвективные структуры будут периодичны вдоль этой оси. Обозначим период конвективных структур как Ь, тогда соответствующее горизонтальное волновое число будет к = 2к / Ь. В силу периодичности теперь можно ограничиться изучением поведения жидкости в конвективной ячейке {(х,г),х е [0,2 / к], г е [0,\] }. Наше предположение сужает трансляционную симметрию вдоль х, и вместо непрерывного преобразования (1.2.3) получаем дискретное:

I:х^х + 2/к, (Ч|/,а,<р;->(Ч|/А<р;. (1.2.5)

Преобразование / переводит любое решение уравнений (1.1.20-1.1.22) само в себя, тем самым определяя периодичность конвективных структур. Сами эти структуры, очевидно, уже не будут удовлетворять свойствам симметрии (1.2.31.2.4), в том смысле, что последние выполнялись при любых х,а иг.

Конвекция, возникающая в слое вблизи порога неустойчивости теплопроводного режима, нарушает симметрию, определяемую совместным действием операторов ох и тх. Ей на смену приходит симметрия отражения в вертикальной плоскости х = 1/к, проходящей через центр конвективной ячейки и разделяющей конвективные валы разного направления вращения:

ау : х->х +1/к, х->-х, (у,<р) (1.2.6)

Заметим, что двукратное применение оператора сту эквивалентно действию /.

Как свидетельствуют результаты линейного анализа устойчивости равновесия в слое с одинаковыми условиями на нижней и верхней границах, опасные возмущения являются симметричными относительно плоскости г = 1/2 [1.9]. Кроме того, соответствующие поля \|/ и ср симметричны, а & антисимметрично относительно плоскостей х = {\/2к,Ъ/2к}. Это означает, что валы, появляющиеся при малой надкритичности, обладают свойством точечной симметрии относительно своих центров (х,г) = {(\/2к,\/2),(Ъ/2кХ/2)}\

р:

+1/2

2 -» -г

, (1.2.7)

у —т ~т х / J —;г —^

При удалении от порога устойчивости равновесия могут реализовываться решения нарушающие симметрию (1.2.6), равно как и не подчиняющиеся свойствам отражения относительно центров валов - каждому в отдельности. Известно, напротив, что в отсутствие вибраций решения уравнений конвекции Рэлея-Бенара, удовлетворяющие точечной симметрии (1.2.7) играют основную роль в широком диапазоне параметров. В дальнейшем мы предполагается, что аналогичная ситуация имеет место и в случае вибрационной конвекции.

Тем самым остаются за рамками изучения решения, нарушающие обе симметрии (1.2.6-1.2.7). Совместный кризис последних приводит, как известно, к появлению решений типа бегущих валов [1.17]. Не будем также рассматривать решения нарушающие симметрию (1.2.6) и сохраняющие при этом симметрию (1.2.7). Это, в свою очередь, исключает из анализа, например, такие структуры, в которых формы валов разного направления вращения различны.

Сделанные выше предположения предоставят возможность в численном исследовании многомодовой системы (см. разделы 1.5-1.7) ограничится рассмотрением решений, удовлетворяющих граничным условиям (1.1.23-1.1.24), симметрии отражения (1.2.6) и точечной симметрии (1.2.7) (условие периодичности выполняется при этом автоматически).

Представим поля \|/ и в в виде следующих разложений по пространственным базисным функциям:

Мр мр

х, г ) = ^ ^ атп (г) ят( пктх) %т), (1.2.8)

771=1 П-1

м, ы,

^(Х,2) = ^^ьтп0)со8( пктх) Бт( 7хт ). (1.2.9)

771—0 77=1

Разложение для амплитуды пульсационной скорости ф находим, подставляя (1.2.9) в уравнение (1.1.22). Получаемое разложение для ф автоматически удовлетворяет граничным условиям (1.1.23):

м^ъ ( km Л

Ф(x,z) = 2_,2lbmn(t) -— sin(nkmx)sin(imz). (1.2.10)

t^ltt \%(к m +n ))

В разложениях (1.2.8-1.2.10) учтены пока только граничные условия (1.1.23) и симметрия отражения (1.2.6). Для того, чтобы рассматриваемые решения, удовлетворяли точечной симметрии (1.2.7), необходимо наложить дополнительное условие на возможные комбинации индексов тип. Действуя оператором р на функциональные ряды (1.2.8-1.2.10), находим, что точечной симметрией обладают моды атп, Ътп с четной суммой индексов. Соответствующее правило отбора выглядит следующим образом:

(m + n)modl = \ => атп =Ьтп =0. (1.2.11)

В работах по конвекции индексное выражение (1.2.11) точечной симметрии (1.2.7) обычно называют симметрией спектральной четности (spectral parity symmetry) [1.14, 1.23].

Подставляя (1.2.8-1.2.10) в (1.1.20-1.1.21) и проецируя уравнения на базисные функции в области С{(x,z),x е [0,1/к],z е /"ОД]}, переходим от уравнений в частных производных к обыкновенным автономным дифференциальным уравнениям для амплитуд amn(t) и bmn(t), зависящих только от времени. Амплитуды amn(t) и bmn(t) определяют вклад соответствующей моды в общее движение и распределение температуры. Моды температуры Ь0п описывают

вертикальную стратификацию температуры и ответственны за подкачку энергии за счет подогрева (остаются при усреднении (1.2.9) по х). Чем больше индекс моды, тем более тонкую структуру она описывает. В случае, когда Мр = Nр = Mt = Nt = оо, поля \|/ и & оказываются разложены в ряд по полному ортогональному базису, и имеет место бесконечномерная система дифференциальных уравнений. В численных расчетах ряды (1.2.8-1.2.10) приходится обрывать на некоторых значениях М N ,Mt,Nt. При этом успех ( в смысле

близости к решениям бесконечномерной системы) определяется выбором этих чисел.

Интегралы, возникающие при проецировании на базисные функции, можно вычислить для произвольных т,п, что позволяет анализировать бесконечномерную динамическую систему (см. раздел 1.4). В силу ортогональности базисных функций уравнения для амплитуд оказываются автоматически разрешенными относительно производных:

Х, = АуХ]+Ву1Х]Х1. (1.2.12)

Здесь производится суммирование по "немым" индексам; вектор Х1 составлен из амплитуд amn(t) и bmn(t), расположенных в определенном порядке, точка над X. означает дифференцирование по времени; матричные элементы зависят от параметров задачи: Ау = А..(Яа, Д Рг,к), Ву1 = 2? /Яа,В,Рг,к); матрица ВЦ1 симметрична по индексам у и /. Численное исследование динамической системы (1.2.12) представлено в разделе 1.5, пока же обратимся к простейшей нелинейной модели, описывающей вибрационную конвекцию.

1.3 Результаты для триплета

Простейшая нелинейная модель вибрационной конвекции в плоском слое может быть получена применением описанной выше галеркинской процедуры и учитывает три моды: ап, Ьп и Ь02. Изменениями масштабов амплитуд, времени и параметров ее можно привести к следующему виду: X = -РгХ + РггУ(\ + РггЧП,

¥ = -¥ + Х-Хг, (1.3.1)

¿ = Х7-Ь1,

27л;4

где <3 = 0/(4/9%4), г - Яа/Яас , Яас=—-— определяет границу устойчивости теплопроводного режима в отсутствие вибраций (д, =0) [1.19]; геомет-

рический параметр Ъ определяется через волновое число (Ь = 4/(1 + к2); переменные X, У,2 соответствуют модам ап,Ьп,Ь02.

Система (1.3.1) была детально изучена в ряде работ [1.18, 1.19] и др. Для дальнейшего сравнения с результатами численного исследования многомодо-вой системы приведем здесь вкратце полученную в этих работах картину бифуркаций стационарных состояний.

Сначала отметим, что триплет (1.3.1) обладает следующими общими свойствами:

- постоянство на фазовом пространстве дивергенции фазового потока,

- диссипативность,

- инвариантность по отношению к преобразованию: (X, У, 2) —» (-Х-У, 2).

При (1 = 0 триплет (1.3.1) переходит в триплет Лоренца. Как и последний, при всех значениях параметров система (1.3.1) обладает стационарным решением О = (0,0,0), соответствующим механическому равновесию. Граница монотонной устойчивости решения О определяется соотношением (Рис. 1.2, кривая 1):

а = \/г-\/г2 (1.3.2)

Область устойчивости О по отношению к конечным возмущениям состоит из двух частей:

{(г,с!):г<г_ = (\-^\-Ы)/2а,0<а<\/А}[}{(г,а):а>\/\г>0}.

Таким образом, при в, > 1/4 единственным устойчивым решением является тривиальное - достаточно сильное вибрационное воздействие полностью подавляет конвекцию.

Кроме тривиального, в системе (1.3.1) есть еще две пары стационарных решений. Решения рождаются парами в силу инвариантности системы относительно одновременной смены знаков X и 7, что есть следствие точечной симметрии.

Первая пара С12 ответвляется от О через вилочную бифуркацию на кривой

г —г_(с1) = (\- а/1 - 4с!)/2с1 (нижняя ветвь кривой 1 на Рис. 1.2). Эти решения соответствуют устойчивому режиму вибрационной конвекции. При увеличении числа Рэлея Си испытывают бифуркацию Хопфа (Рис. 1.2, кривая 2) и становятся неустойчивыми. Причем, как видно из Рис.2, порог колебательной устойчивости существенно понижается с увеличением вибрационного параметра.

0.00

0.10

0.20

а

0.30

Рис. 1.2. Бифуркационная диаграмма стационарных решений системы (\.Ъ.\.)(Ь = %/Ъ,Рг = . 1 - кривая вилочной бифуркации, на нижней ветви рождаются решения С12, на верхней - $х2 \ 2 -кривая бифуркации Хопфа решений С12; 3 -кривая касательной бифуркации (слияния решений С12 и 2). По осям отложены масштабированное число Рэлея г и вибрационный параметр ё (см 3.1.)

Вторая пара ответвляется от О через вилочную бифуркацию на кривой

г = г+ (с!) = (1 + л/1 - 4с/) / 2с1 (верхняя ветвь кривой 1 на Рис. 1.2). Решения 2

сразу рождаются неустойчивыми и остаются таковыми во всей области своего существования.

Правее кривой г = г+(с1), при увеличении вибрационного параметра с1, решения С12и БХ2 сближаются и при с1 = 1/4 попарно сливаются и исчезают посредством касательной бифуркации (Рис. 1.2, линия 3).

На кривой бифуркации Хопфа стационарных решений С12 от теряющих при

этом устойчивость решений ответвляются предельные циклы. Характер ветвления был изучен сначала численно [1.18], а потом аналитически [1.21] с помощью вычисления первой ляпуновской величины Ьх. Оказалось, что зависимость Ьг(с1) существенно зависит от значений числа Прандтля.

В случае Рг = 6.8, изображенном на Рис. 1.2, Ьх > 0 вдоль всей кривой 3. При

этом производная от действительной части опасного инкремента по г на этой кривой отлична от нуля. Это означает, что данная граница является опасной в смысле [1.13]. При переходе через границу неустойчивый цикл, существовавший ниже порога, стягивается кС12и исчезает. При этом изображающая точка

в фазовом пространстве неминуемо уходит в далекую область. Иначе говоря, с С, 2 происходит обратная бифуркация Хопфа.

1.4 Общие свойства многомодовой модели

Применяя галеркинскую процедуру к уравнениям (1.1.20-1.1.24) на основе

рядов (1.2.1-1.2.3), приходим к следующей динамической системе:

В В3

а.. = -саа.+РгКа^Ь.. - РгШ(а2 -Ч-Ъ.. +

У У У V 2 У

а. а.

У У

| Мр Ыр Мр Мр

40С&. т=1 „=1 М=1 N=1

(1-4.1)

РгИЯа2 А А А А, Н2г

—¡—ЕШ^^р

__ Г У и Р Л/ ^ ¡тМ ^ ]пЫ У /V Р т ^ ¡Мт ^ уМ )}>

У

/ = 1..М , / = 1. .Ж

р' •> р

4 =

I МР Мр и(

+уЗм^МЛ (1-4.2)

4с,,. т=1 /7=1 М=0#=1

/ = 0..М„ У = иУ,

где использованы обозначения:

^ ¡тМ ттг-М

^ЧтМ = + 5/,777-М + 87,М-777 > (1.4.3)

8,-,771М +8гМ_т,

_ 12, / = 0 ^ [1, г > О

а на рассматриваемые моды пока не наложено условие спектральной четности (1.2.11).

Начнем с общих свойств системы (1.4.1-1.4.2), справедливых для любых

- можно найти дивергенцию фазового потока, она оказывается постоянной и отрицательной, так что система (1.4.1-4.2) диссипативна:

МР МР Йп м> Г)Ь МР МР М' и<

о-«)

,=1 Оау ,-=0 7=1 ООу /=1 у=1 1=0 7=1

(нелинейные члены дают нулевой вклад в дивергенцию).

- при всех значения параметров существует тривиальное решение О = (0,...,0), отвечающее равновесию.

При £> = 0 система уравнений (1.4.1-1.4.2) описывает двумерную конвекцию в горизонтальном плоском слое и совпадает с системой, изучавшейся в [1.13].

Линеаризуя систему (1.4.1-1.4.2) вблизи решения О, получаем следующие уравнения:

ß ß3

ä.=-Pra..a.. + PrRa—b. -PrDRa1 -Ч-Ь..,

ct.. y al (1.4.5)

i = l..M„, 7 = 1JV,.

b = —a.b. + ß.fl...

* !/ !7 H, !/' (14 6)

i = O..Mt, j = \..Nt.

Из (1.4.5-1.4.6) следует, что "резервуарные" моды температуры с г = 0, не оказывают влияния на зарождение конвекции, поскольку ß0 = 0, a0j >0.

Далее, матрица линеаризации вблизи О имеет блочно-диагональный вид, при этом сцепленными оказываются моды функции тока и температуры с одинаковыми индексами.

Условие Рауса-Гурвица [1.23] для границы монотонной устойчивости записывается следующим образом:

det А = 0, где

А =

r ß ß2 л -Pra. PrRa^-(\-DRa^~)

(1.4.7)

P, -а.

Раскрывая определитель, находим уравнение границы:

4

а„ а,.,.

DRa2+ = (1.4.8)

Р? Р-

В отсутствие вибраций (1.4.8) принимает вид:

С4=ТГ 4(i2k2+j2) ß? к2Г

Ram = Ra(i, j, к) = ~f = { 2 J y , (1.4.9)

где индексы i и j нумеруют различные ветви нейтральной поверхности.

Минимизация зависимости (1.4.9) по волновому числу приводит к хорошо известному результату [ 1.20]:

Rac = min[Ra(г, j,k)] = 21 % 7 , кс =4--, (1.4.10)

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Вольфсон, Дмитрий Наумович

Заключение

В третьей главе:

- исследовано влияние пульсационного транспорта и вибрационной силы на осредненное течение вязкой слабо неизотермической жидкости в зазоре между двумя бесконечными цилиндрами с разными температурами, из которых внешний покоится, а внутренний совершает вибрации с круговой поляризацией без смены ориентации;

- численно решена линейная задача устойчивости основного среднего течения, генерируемого шлихтинговским механизмом,

- определены опасные значения параметров и тип соответствующих возмущений;

- в пределе узкого зазора между цилиндрами детально исследованы механизмы, порождающие монотонную и колебательную неустойчивости, получены асимптотические оценки характеристик опасных возмущений.

В качестве перспектив дальнейшего исследования отметим следующие задачи:

- слабонелинейный анализ вблизи порога неустойчивости основного решения, в отличие от изотермической постановки второй главы следует ожидать нетривиальных бифуркационных переходов, сопровождаемых сменой типа неустойчивости)

- исследование трехмерных (неосесимметричных) вторичных течений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вольфсон, Дмитрий Наумович, 1998 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

К главе 1.

1.1. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на порог зарождения конвекции. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, 5, с. 51-55

1.2. Gershuni G.Z., Zhuhovitskii Е.М., 1981, Convective instability of a fluid in a vibrational field under conditions of weightlessness, Fluid Dyn., 16, pp. 498-504

1.3. Braverman L., Oron A., 1994, On the oscillatory instability of a fluid layer in a high frequency vibrational field in weightlessness, Eur.J. Mech., B/Fluids, 13, 115128.

1.4. Крылов Д.Г. Конвективная неустойчивость слоя жидкости в вибрационном поле для общего случая температурных граничных условий. Конвективные течения, ПЛИ, Пермь, 1991.

1.5. Demin V.A., Gershuni G.Z., Verkholantsev I.V. Mechanical quasi-equilibrium and thermovibrational convective instability in an inclined fluid layer// Int. J. Heat Mass Transfer, 1996, v. 39, № 9, pp. 1979-1991.

1.6. Заварыкин М.П., Зорин C.B., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вибрационной тепловой конвекции. III, Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепло-массообмену в невесомости. Тезисы. Черноголовка, 1984, с. 34-36.

1.7. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. О термоконвективной неустойчивости в вибрационном поле. Доклады АН СССР, 1988, 299(2), с. 309312

1.8. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Издательство Иркутского университета. 1990.

1.9. Шустер Детерминированный хаос. М. Мир, 1988.

1.10. Гельфгат А.Ю. Развитие и неустойчивость стационарных конвективных течении в квадратной области, подогреваемой снизу в поле вертикальных вибраций. Известия АН СССР, МЖГ, 1991,2, с. 9-18

1.11. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations// Eur.J.Mech, B/Fluids. 1995, Vol. 14, pp. 439-458.

1.12. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Непомнящий А.А.. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989, с. 109-118.

1.13. Veronis G. Large-amplitude Benard convection//J.Fluid.Mech. 1966. Vol. 26. P. 49-68.

1.14. Curry J.H., Hering J.R., Loncaric J., Orszag S.A. Order and disorder in two-and three-dimensional Benard convection// J.FluidMech. 1984. Vol. 147. P. 1-38.

1.15. Clever R.M., Busse F.H. Transition to time-dependent convection// J.FluidMech. 1974. Vol. 65, part 4. P. 625-645.

1.16. Rucklidge A.M. Chaos in magnetoconvection// Nonlinearity. Vol. 7. 1994. P. 1565-1591.

1.17. Rucklidge A.M., Matthews P.C. Analysis of the shearing instability in nonlinear convection and magnetoconvection// Nonlinearity. Vol. 9. 1996. P.311-351

1.18. Закс M.A., Любимов Д.В., Чернатынский В.И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции// Известия АН СССР. ФАО. 1982. С. 312314

1.19. Lyubimov D.V., Zaks М.А. Two Mechanisms of Transition to Chaos in Finite-Dimensional Models of Convection// Physica 9D. 1983. P.52-64.

1.20. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972.

1.21. Вольфсон Д.Н. Дипломная работа. Руководитель: Любимов Д.В. Перм. ун-т. 1994.

1.22. McLaughlin J.B., Orszag S.A. Transition from periodic to chaotic thermal convection//J.FluidMech. 1982. Vol 122. P. 123-142.

1.23. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука. 1984. С.21

1.24. Moore D.R., Weiss N.O. Two-dimensional Rayleigh-Benard convection// J.FluidMech. 1973. Vol 58. P. 289-312.

1.25. Numerical Recipes in Fortran 77. Section 9. http://nr.harvard.edu/nr/

1.26. Programm CONLES. http://gams.nist.gov

1.27. Kubichek M., Marek M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures. Springer-Verlag. 1983.

1.28. Rheinboldt W.C., John Burkardt. DPCON, 6.1. The University of Pittsburgh, USA, 1991.

1.29. Kuznetsov Y. Elements of Applied Bifurcation Theory. Springer-Verlag. New York. 1995.

1.30. Kuznetsov Y. Explicit normal form coefficients for all codim 2 bifurcations of equilibria in ODEs// Report MAS-R9730. October 31. 1997.

1.31. Nayfeh A.H. Introduction to perturbation techniques. Ed. John Wiley & Sons. 1981.

1.32. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления// ВИНИТИ. 1986. Т. 5. С.31-35.

К главе 2

2.1. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves.// Trans. Camb. Phil. Soc., 1847, 8, pp. 441-455.

2.2. Schlichting H. Berechnung ebener periodisher Grenzschichtstromungen// Phys. Z., 33(1932), p.327

2.3. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves// Phil. Trans. Roy. Soc., London, 1953, Vol. 245, pp. 545-581.

2.4. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in the boundary layer at a free oscillatory surface// J. Fluid. Mech., 1960, 8, pp. 293-306

2.5. Schlichting, H. Boundary Layer Theory, McGraw Hill, 6th edn, 1966. pp.441445.

2.6. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. О параметрическом возбуждении конвективной устойчивости// ПММ, 1963, 27 N5, 779

2.7. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции// Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, N5, с.65

2.8. Gershuni G.Z., Zhukhovitsky E.M. Vibration-Induced Thermal Convection in Weightlessness//Fluid Mech. Soviet Res., 1986, 15, pp. 95-119.

2.9. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations// Eur. J. Mech., B/Fluids, 1995, 14(4), pp. 439-458

2.10. G.Z. Gershuni & D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, p.254.

2.11. Nayfeh A.H. Introduction to Perturbation Techniques. Wiley, New York, 1981.

2.12. Batchelor G.K., An Introduction to Fluid Dynamics. Cambrige University Press, 1970.

2.13. G. loss, M. Adelmeyer. Topics in Bifurcation Theory and Applications. World Scientific, 1992. P 91.

2.14. Brenier В., Bontoux P., Roux В., 1986, Comparaison des methodes Tau-Chebyshev et Galerkin dans l'etude de stabilité des mouvement de convection naturelle. Problèmes des valeurs propres parasites// J. Mec. Th. et Appl., 5, pp. 95119.

2.15. Nagata M. Bifurcations in Couette flow between almost co-rotating cylinders// J. Fluid. Mech., 1986, 188, 585-598.

2.16. Reid W.H., Harris D.L. Streamlines in Benard convection cells// Phys Fluids, 1959, 2,716-726

2.17. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux В., Volfson D.N. Vibrational Flows in the Gap Between Two Infinite Cylinders// Eur. J. Mech., 1997, B/Fluids, 16, N5, pp.705-724.

2.18. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux В., Volfson D.N. Stability of Couette-Taylor Flow Generated by the Schlichting Mechanism. 10th International Couette-Taylor Workshop. Paris, France. 1997. pp.113-115

К главе 3

3.1. Козлов В.Г. О вибрационной тепловой конвекции в сосуде совершающем высокочастотные качательные вибрации// Известия АН СССР, МЖГ, 1988, 3, с. 138-144

3.2. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Ру Б., Черепанов А.А. Течение, индуцированное колеблющейся нагретой сферой//МЖГ, 1,1996, с. 31-39

3.3. Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р., Roux В. Mechanisms of vibrational control of heat transfer in a liquid bridge// Int. J. Heat Mass Transfer. 1997, Vol.40, pp. 4031-4042.

3.4. G.Z. Gershuni & D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, pp.322-331

3.5. G.Z. Gershuni & D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, p.254

3.6. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations// Eur. J. Mech., B/Fluids, 1995, 14(4), pp. 439-458

3.7. Schlichting, H. Boundary Layer Theory, McGraw Hill, 6th edn, 1966. pp.441445.

3.8. Batchelor G.K., An Introduction to Fluid Dynamics. Cambrige University Press, 1970.

3.9. G.Z. Gershuni & D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, pp.261-292

3.10. Brenier В., Bontoux P., Roux В., 1986, Comparaison des methodes Tau-Chebyshev et Galerkin dans l'etude de stabilité des mouvement de convection

naturelle. Problèmes des valeurs propres parasites// J. Mec. Th. et Appi, 5, pp. 95119.

3.11. G. loss, M. Adelmeyer. Topics in Bifurcation Theory and Applications. World Scientific, 1992. P 91.

3.12. Kubichek M., Marek M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipàtive Structures. Springer-Verlag. 1983.

3.13. Rheinboldt W.C., John Burkardt. DPCON, 6.1. The University of Pittsburgh, USA, 1991.

3.14. Г.З. Гершуни, E.M. Жуховицкий. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. M. Наука, 1972. С.221

3.15. D.A. Nield. The THermohaline Rayleigh-Jeffreys Problem// J. Fluid. Mech. 1967, Vol.29, part 3, pp. 545-558.