Некоторые задачи теории дифференциальных игр с векторным критерием качества тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Борисенко, Михаил Всеволодович

• Борисенко, Михаил Всеволодович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Борисенко, Михаил Всеволодович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВЕКТОРНЫЕ ГАРАНТИРОВАННЫЕ ОЦЕНКИ В МНОГОШАГОВЫХ ИГРАХ.

§ I. Векторные гарантированные оценки и их свойства

§ 2. Некоторые свойства множества всех гарантированных оценок игры.

§ 3. Примеры.

§ 4. Об одной минимаксной задаче векторной оптимизации

ГЛАВА П. ВЕКТОРНЫЕ ГАРАНТИРОВАННЫЕ ОЦЕНКИ В КВАЗШ1&

НЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ.

§ I. Гарантированные оценки для обусловленных игр

§ 2. Гарантированные оценки для правильных игр

§ 3. Некоторые способы построения множества гарантированных оценок для обусловленных игр, не являющихся правильными.

§ 4. Примеры.

ГЛАВА Ш. МН0ЖЕСТВЕНН03НАЧНЫЕ ГАРАНТИРОВАННЫЕ ОЦЕНКИ

§ I. Определение множественнозначных гарантированных оценок и их свойства.

§ 2. Некоторые методы получения оптимальных по Парето гарантированных оценок

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи теории дифференциальных игр с векторным критерием качества»

Краткая аннотация -работы. В диссертации изучаются антагонистические игры с векторным критерием качества. Рассматриваются два класса игр: многошаговые игры с конечным числом ходов и дифференциальные игры с фиксированной продолжительностью и терминальной платой. За небольшим исключением содержание работы представляют новые результаты, полученные диссертантом.

Основные положения, выносимые на защиту, формулируются следующим образом.

1. Разработаны эффективные методы построения множества векторных гарантированных оценок в многошаговых и квазилинейных дифференциальных игрих двух игроков с векторным критерием качества, изучены некоторые свойства этих гарантированных оценок.

2. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности по Слейтеру в одной задаче на векторный минимакс, исследована сходимость сеточного метода решения задачи оптимизации по Слейтеру.

3. Изучены свойства множественнозначных гарантированных оценок, получены необходимые и достаточные условия их оптимальности по Парето и Слейтеру.

4. Рассмотрена линейная дифференциальная игра двух игроков с неполной информацией игрока-союзника об управлении игрока-противника. Предложены приближенные методы построения оптимального гарантированного выигрыша игрока-союзника для скалярного критерия качества и множества всех векторных гарантированных оценок игры для векторного критерия качества.

Краткий обзор результатов по теории игр с векторным критерием качества

Теория оптимизации векторного критерия качества является важным разделом современной теории принятия решений. Проблема оптимизации векторного критерия первоначально возникла в связи с необходимостью решения некоторых задач из сферы планирования и организации производства, позднее она быстро распространилась на динамические системы управления.

Первая формулировка проблемы оптимизации по многим критериям была выдвинута еще в 1898 году в книге экономиста Парето [9б] , однако, в течение более, чем полувека, эта проблема существенного развития не получила. Только.» в 1944 году в фундаментальной книге фон Неймана и Моргенштерна [4l] , посвященной вопросам математической экономики, были заложены основы теории принятия решений в системах с несколькими противоречивыми критериями. В 60-х годах начинается активное изучение многокритериальных задач. Появляется ряд работ в области оптимизации динамических систем с векторным критерием качества [86,95] , а также посвященных определению необходимых условий существования оптимальных решений задач многокритериальной оптимизации в конечномерных и топологических пространствах [87,88).Проблема векторной оптимизации получила широкое развитие в 70-х - 80-х годах. Обзору полученных результатов посвящен ряд работ, например [4,9,63,73,74].

Остановимся более подробно на результатах, тесно связанных с тематикой диссертации.

Одним из интенсивно развивающихся разделов теории векторной оптимизации являются дифференциальные игры с векторным критерием качества. Систематическое исследование дифференциальных игр началось в 50-х годах нашего столетия. Одним из первых трудов в этой области была монография Р.Айзекса [i] , в которой были получены интересные результаты. Дальнейшее развитие теория дифференциальных игр получила в трудах советских и зарубежных ученых [ 5,8,20-22,25,26,29-31,34,35,42-46,48-53,59-63,65,70 76,77,93,94,97,98,100,101 ] .

В диссертации существенно используются идеи 1-го прямого метода Л.С.Понтрягина [бо] , разработанного первоначально для решения задач преследования в линейных дифференциальных играх. На основе принципа дискриминации убегающего Л.С.Понтрягиным разработаны эффективные методы построения стратегий преследования, получены оценки времени преследования. Позднее 1-й метод Л.С.Понтрягина был распространен М.С.Никольским [42] и П.Б. Гусятниковым [l7] на нелинейный случай. М.С. Никольский применил идеи этого метода, обычно используемого в задачах преследования-убегания, к играм двух игроков с фиксированным временем и терминальной платой [43-45].

Для доказательства некоторых утверждений диссертации используются результаты теории дифференциальных игр в формализации Н.Н.Красовского [29,зо] , в частности, теория стабильных мостов и теорема об альтернативе.

Заметим, что подходы Л.С.Понтрягина и Н.Н.Красовского в настоящее время успешно применяются в играх с векторным критерием качества, например [5,20-22,25,50,74]; обзору бескоалиционных и кооперативных дифференциальных игр посвящены работы [73,74].

Разностным аналогом дифференциальных игр являются многошаговые игры. Многошаговым играм с векторным критерием качества посвящен ряд работ. В работе [89] с помощью метода множителей Лагранка получены необходимые условия оптимальности по Па-рето стратегий игроков. Необходимым условиям оптимальности типа принципа максимума Л.С.Понтрягина посвящены работы [б4,9о] . В [91] предложен подход для отыскания С-ядра в многошаговых процессах, в [57] приведены необходимые условия существования лексикографически оптимального решения для многошаговой игры. Многошаговые игры со скалярным критерием качества изучались в монографиях Ю.Б. Гврмейера [ll,12] , В.В.Федорова [75] « В частности, в [75] получены необходимые условия оптимальности для последовательных максиминов с распадающимися переменными.

Важным вопросом в решении задач векторной оптимизации (в том числе и игр с векторным критерием качества) является определение принципов оптимальности решения. Существуют различные подходы к определению этих принципов [74] . Один из таких способов - это свертывание функции выигрыша в один критерий [54] , а затем решение задачи определения оптимальных решений, минимизируя (или максимизируя) полученный обобщенный критерий,применяя соответствующий аппарат для задач со скалярным критерием; такой подход часто используется при определении оптимальности по Парето, Слейтеру, среднеквадратичного решения и т.д. Различным способам скаляризации функции выигрыша в задачах векторной оптимизации посвящены работы [9,11,14,15,54,69]и другие.

Другой путь: с помощью характеристической функции игры найти "хороший" дележ для всех игроков, т.е. удовлетворяющий той или иной концепции оптимальности. Это могут быть элементы С-яд-ра, Н-М решения, вектор Шепли и другие.

Новый подход к отысканию решений кооперативных дифференциальных игр предложен Л.А.Петросяном [50-5з] . Важным требованием к принципам оптимальности при этом подходе является требование к их устойчивости. В [50] для нетрансферабельных выигрышей введен .аналог характеристической функции, используемой в теории Неймана-Моргенштерна [41] . В соответствии с принципом оптимальности, основанном на построенных характеристических множествах, вводится понятие устойчивости в решении игр с нетрансферабельными выигрышами. В [5l] идея устойчивости распространена на кооперативные дифференциальные игры с трансфе-рабельными выигрышами.

Одним из разделов теории кооперативных игр являются антагонистические игры двух игроков с векторным критерием качества .В диссертации изучается следующая игра:

Имеется два игрока: игрок-союзник (игрок I) и игрок-против

Л А ник (игрок П). Пусть X ; Y - множества допустимых стратегий а v игроков I и П соответственно. Качество пары стратегий х^ л л л и ^ <== Y оценивается уп, -мерным векторным критерием качества 4>(х,у)- . • ? Ywt&j)) .Задача игрока I, выбирая свою стратегию X е. X , сделать значения ^

А Л u-iyhb , поменьше; игрок П, выбирая свою стратегию у , препятствует ему. Игра рассматривается с точки зрения игрока I.

Важным направлением исследований в области антагонистических игр с векторным критерием качества является разработка принципов предпочтения игрока-союзника и на их основе формулировка векторных аналогов минимакса.

Во многих работах [19,44,85,92] качество стратегии игрока-союзника принято оценивать векторным критерием

Д Л

Стратегия X7 s X считается не хуже стратегии * х"^Х ,если F^Cx')^ Антагонистическим играм с таким отношением предпочтения и связанным с ним понятием гарантированного результата посвящен ряд работ, например, в работах [57,99] исследуются методологические аспекты применения отношения предпочтения вышеуказанного вида; в [19] для многошаговых игр строится множество всех гарантированных выигрышей в виде, аналогичном последовательному минимаксу, в [44] исследуется один класс дифференциальных игр с векторным критерием качества, для которого в условиях применимости 1-го прямого метода Л.С.Понтрягина строятся эффективные методы получения гарантированных оценок.

0днако,как замечено В.В.Подиновским [55] , отношение предпочтения по критерию вида F(x) имеет существенные недостатки. В этой же работе предложен способ оценки . качества стратегии хеХ игрока-союзника множеством VTx,Y) , по мнению автора, более соответствующий интуитивному представлению о рациональном выборе.

Играм с многозначными функциями выигрыша посвящены также работы [20,22] . в них предложен принцип оптимальности, основанный на оценке стратегии игрока-союзника множеством. С помощью формализации дифференциальных игр Н.Н.Красовского получены достаточные условия оптимальности и равновесности решений.

В работах [б,7] на основе идей векторного минимакса из [78] вводится понятие седловой точки по выпуклому конусу lAi . В случае если JL - неотрицательный октант пространства & , в [б] для одной специальной задачи доказано существование седловой точки. В [7] производятся некоторые обобщения понятий седловой точки по конусу JL, . В [Хб] получено необходимое условие равновесности для общих А, - выпу

А Л кло-вогнутых игр в нормальной форме <XxY.I> в случае,когда да X ? Y задаются операторными включениями.

Проблемам двойственности в задачах векторной оптимизации посвящены статья [бб] и глава 4 из [58] .

Вопросами операторного минимакса с приложениями к задаче межорбитального перелета занимался И.А.Корниенко. Им введены отношение частичного порядка для подмножеств нормированного пространства и определение операторного минимакса в смысле этого порядка; распространена на оператор максимума теорема Дубовиц-кого-Милютина об общем виде необходимых условий экстремума, найдена структура конуса направлений убывания оператора максимума.

Результаты были применены к задаче межорбитального перелета, при наличии возмущений [27,28]

Другие вопросы векторного минимакса рассматривались, например, в [2,16,19,33 ,37,66]

В теории игр с векторным критерием качества часто возникают некорректные задачи. Основополагающие результаты в теории некорректных задач были получены в работах А.Н.Тихонова [72] и М.М.Лаврентьева [32]

Диссертация состоит из настоящего введения, четырех глав (II параграфов) и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Борисенко, Михаил Всеволодович, 1984 год

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. - М.: Мир, 1967. -480 с.

2. Блекуэлл Д. Аналог теоремы о минимаксе для векторных выигрышей. В сб.: Матричные игры. М.: Физматгиз, 1961, с.156--166.

3. Бондарева О.Н.,Вилков В.Б. и др. Обзор советских работ по теории кооперативных игр. В кн.: Исследование операций и статистическое моделирование. - JI., 1977, вып.4, с.81-126.

4. Борисов В.И. Проблемы векторной оптимизации В сб.: Исследование операций. М.: Наука, 1972, с.72-91.

5. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения.-М.:Сов.радио, 1980. -303 с.

6. Варга 3. Антагонистические дифференциальные игры с векторными функциями выигрыша.-ВИНИТИ, № 2511-77, Деп.от 23.06. 1977, 26 с.

7. Варга 3. Об одной кооперативной игре преследования -убегания. Вест.Моск.ун-та, сер.выч.мат.и киб.1979, № I,с.51-57.

8. Вахрамеев С.А. Теорема об альтернативе для нестационарной дифференциальной игры сближения уклонения. - Прикладная математика и механика, 1978, Ш 6, с.1123-1126.

9. Вилкас Э.И. Многоцелевая оптимизация. В сб.:Мат.методы в соц.науках. Вильнюс, 1976, вып.7,с.17-67.

10. Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр. Успехи мат.наук, 1970, т.25, № 2, с.81-140.

11. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций.-М. :Наука, 1971. 384 с.

12. Гермейер Ю.Б.Игры с непротивоположными интересамигМ.: Наука, 1976. 328 с.

13. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1970. - 118 с.

14. Гороховик В.В. К проблеме векторной оптимизации. -Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1972, № 6, с.63-74.

15. Гороховик В.В. Условия слабой эффективности в конечномерных задачах векторной оптимизации. Ин-т мат.АН БССР, Препринт № 12(12), Минск, 1976. - 19 с.

16. Гусев М.И.,Куржанский А.Б. О ситуациях равновесия в многокритериальных игровых задачах. Докл. АН СССР, 1976, т.229, № 6, с.1295-1298.

17. Гусятников П.Б. Об одном классе нелинейных дифференциальных игр.-В сб.: Теория оптимальных решений. Киев: ИЕС АН УССР, 1969, вып .X, с .3-11.

18. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс, -М.:Наука, 1972. 368 с.

19. Ерошов С.А. Об играх двух лиц с полной информацией и векторной функцией выигрыша. В сб.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. М. Изд-во Моск.,ун-та, 1979, с.99-105.

20. Жуковский В.И.,Молоствов B.C. Оптимальность по Парето позиционных управлений. Тезисы докладов Всес.конф.'Динамичес-кое управление". Свердловск, 1979, с.99-101.

21. Жуковский В.И.,Молоствов B.C. Об оптимальности по Паре-то в кооперативных дифференциальных играх с многозначными целевыми функционалами. В сб.: Математические методы в теории систем. М.: ВНИИСИ, 1980, с.96-108.

22. Жуковский В.И.,Молоствов B.C. Ситуации равновесия виграх с многозначными функциями выигрыша.-Б сб.:Динамические игровые системы. М.:ВНИИСМ, 1981, вып.4,с.47-66.

23. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.-М.:Наука, I97V480 с.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.Б. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

25. Кононенко А.Ф. О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических дифференциальных играх. ДАН СССР, 1976, т.231, Из 2, с.285-288.

26. Кононенко А.Ф. Структура оптимальной стратегии в динамических управляемых системах. Журн.вычисл.мат. и мат.физ., 1980, т.20, № 5, C.II05-III6.

27. Корниенко И.А. Некоторые вопросы теории операт. орного минимакса с приложением к задаче о межорбитальном перелете. Автореферат канд.диссертации,'-Казань, КАИ, 1974.

28. Корниенко И.А. Достаточные условия оптимальности управления по векторной целевой функции и выбор эффективного решения.-Тр.Казан.авиац.ин-та, 1974, вып.161, с.55-60.

29. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. - 420 с.

30. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. - 456 с.

31. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности.-М.: Наука, 1977. 390 с.

32. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шиманский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.-М.: Наука,1980. -286 с.

33. Лебедев В.Н. Вогнуто-выпуклые игры и теория двойственности. В сб.: Теория игр. Ереван, Изд-во АН Арм.ССР, 1973,с.225-229.

34. Мищенко Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр. Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1971, № 5, с.3-9.

35. Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры. Докл. АН СССР, 1967, т.174, № I, с.27-29.

36. Молодцов Д.А. Регуляризация множества точек Парето. -Журн.вычисл.мат.и мат.физ.,1978,т.18,№ 3,с.597-602.

37. Морозов В.В. О смешанных стратегиях в игре с векторной функцией выигрыша.-Ш Всес. конф. по иссл.операций. Тезисы доклада. Горький, Горьковский ун-т, 1978, с.210-211.

38. Морозов В.В. Смешанные стратегии в игре с векторным выигрышем. Вест. Моск.ун-та, сер.выч. мат.и киб.,1978, № 4,с.44-49.

39. Морозов В.В. О выпуклых решениях кооперативных игр. -Вест.Моск.ун-та,сер.выч.мат.и киб.,1983, 1 4, с.55-57.

40. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Гостехиздат, 1957.—552 с.

41. Нейман Дж.Ф.,Моргенщтерн 0.Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. - 708 с.

42. Никольский М.С. Линеализуемые объекты и их применение в дифференциальных играх преследования. Докл. АН СССР, 1972, т.205, № 4, с.964-971.

43. Никольский М.С. О некоторых дифференциальных играх с фиксированным временем. Докл. АН СССР, 1978, т.240,№ 2,с.272--275.

44. Никольский М.С. О гарантированных оценках в дифференциальных играх с векторным критерием качества и фиксированным временем. Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1980, № 2,с.37-43.

45. Никольский М.С. Об одном классе дифференциальных игр с фиксированным временем. Сообщения АН Груз.ССР,1980,т.99,2, с.293-296.

46. Никольский М.С. Нестационарные линейные дифференциальные игры. I. Кибернетика, 1970, № 6, с.25-31.

47. Ногин В.Д. К задаче векторной оптимизации многошаговых процессов принятия решений. В сб.: Динамические модели процессов принятия решений. Владивосток, 1976, c.III-116.

48. Петросян Л .А. Дифференциальные игры на выживание со многими участниками. Докл. АН СССР, 1965, т.161, № 2, с.285-287.

49. Петросян Л.А. Игры преследования с "линией жизни".-Вестник ЛГУ, сер.мат.,мех.,астр.,1967,№ 13,с.76-85.

50. Петросян Л.А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками. Вестник ЛГУ, сер.мат.,мех.,астр. 1977, № 19, с.46-52.

51. Петросян Л.А.,Данилов Н.Н. Устойчивость решений в неантагонистических дифференциальных играх с трансферобельными выигрышами. Вестник ЛГУ, сер.мат.,мех.,астр.,1979, № 1,с.52--59.

52. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. -Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1977, 224 с.

53. Петросян Л.А., Томский. Динамические игры и их приложения. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1982. - 252 с.

54. Подиновский В.В. Методы многокритериальной оптимизации. Труды ВИА им.Дзержинского, М., I97E. 119 с.

55. Подиновский В.В. Принцип гарантированного результата для частичных отношений предпочтения. Журн.вычисл.мат. и мат. физ., 1979, т.19, № 6, с.1436-1450.

56. Подиновский В.В. Общие антагонистические игры. Журн. вычисл.мат.и мат.физ.,1981,т.21,№ 5,c.II40-II53.

57. Подиновский В.В.,Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям^.:Сов.радио, 1975. 192 с.

58. Подиновский В.В.,Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.-М. :Наука, 1982. 254 с.

59. Понтрягин Л.С. К теории дифференциальных игр. Успехи мат.наук, 1965, т.21, № 4, с.219-274.

60. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх.I. -Докл.АН СССР, 1967, т.174, № 6, с.1278-1280.

61. Понтрягин А.С. О линейных дифференциальных играх. П.-Докл.АН СССР, 1967, т.175, № 4, с.764-766.

62. Понтрягин Л.С. Линейная дифференциальная игра убегания. Докл.АН СССР, 1970, т.191, № 2,0.283-285.

63. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх. Дифференциальные уравнения, 1971, т.7, № 3, с.436-445.

64. Продан Н.В.,Чеботару И.С. О необходимых условиях оптимальности в играх с непротивоположными и противоположными интересами. В сб.: Исследования по алгебре,мат.анализу и их прил. Мат.науки. Кишинев, 1977, с.104-109.

65. Пшеничный Б.Н. О линейных дифференциальных играх. -Кибернетика, 1968, № I, с.47-53.

66. Розен В.В. Общие теоремы о достижимости иминимаксе в позиционных играх. В сб.: Матем.модели и методы в социально-эк ономич.ис сл. Новосибирск, Ин-т экономики и организации производства, 1968, с.64-70.

67. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.-М.: Мир, 1973. 470 с.

68. Салуквадзе М.Е. Об оптимизации векторных функционалов. I. Программирование оптимальных траекторий. Автоматика и телемеханика, 1971, № 8, с.5-15.

69. Салуквадзе М.Е. Задачи векторной оптимизации в теории управления. Тбилиси: Мецниереба,1975. - 202 с.

70. Сатимов Н.Ю. 0 задаче убегания в линейных дифференциальных играх. Изв.АН СССР. Техн.кибернетика, 1972, № 6,с.35--39.

71. Современное состояние теории исследования операций. Под ред.Н.Н.Моисеева. М.: Наука, 1979. - 464 с.

72. Тихонов А.Н.,Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1979. 285 с.

73. Тынянский Н.Т.,Жуковский В.И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой ( Бескоалиционный вариант). Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер.мат.анализ«М.,1977,т.15,с.199-266.

74. Тынянский Н.Т., Жуковский В.И. Дифференциальные игрыс ненулевой суммой (Кооперативный вариант). Итоги науки и тех-ники.ВИНИТИ. Сер.мат.анализ.М.,1979,т.17,с.3-112.

75. Федоров В.В. Численные методы максимина.-М.:Наука, 1979. 280 с.

76. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска -М.:Наука,1976. 270 с,

77. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б.Оптимальное управление при случайных возмущенияхтМ.:Наука, 1978. 351 с.

78. Зрроу К.Дж.,Гурвиц Л.Ддзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию. Изд-во иностр.лит-ры,М., 1962. - 334 с.

79. Борисенко М.В. Об одной минимаксной задаче векторной оптимизации. В сб.Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. М.:Изд-во Моск.ун-та,1980, с.58-60.

80. Борисенко М.В. О гарантированных оценках в многошаговых играх с векторным критерием .-ВИНИТИ, № 2571-80, Деп.от 24.06.1980. 21 с.

81. Борисенко М.В. О гарантированных оценках в дифференциальных играх с векторным критерием качестватВИНйТИ,® 3572-81,Деп. от 17.07.81. 37 о.

82. Борисенко М.В. Об одной линейной дифференциальной игре с неполной информацией. В сб.Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. М.: Мзд-во Моск.ун-та,1981, с.75--77.

83. Ъси CtonAcc uf, 0. у MackE. С&шрЬъсшъиС т1шм1-хаашъ iamaxas ist&t&t itcixuacl оюиьлм^ in, -ilnijxkL^mALoVbodL ^fnxxb^. — H. ТПмМъ. ЖлХ. W Jlflyl., У 96? , ЯГ. , OT£ , p. /03—12.4.

84. Ъси CUMJUX, jf'O . ? P&iccCkE. C&^tAMhjui УУЩгшьС--bodww UWvcU/L VixtVbicL Ub tusiAAJLi^^Uo^Zc^t- SpcoceA-.— ШаМь . fa^ C&dJ^&t. Ли/ ymA- : jfocuL. Pnjj^. з p,шогышг

85. Ъ&(шаЛ J. S&mjL /yi^wtu^ &f п&пл&тоcotvuzA- . — 'Xac,yfc. MbteA. C&fnpov£<,13¥5~, l*, p.

86. KeuyUbit Я. О^ь- ficvuJb optinuat oU^Uis^vZ fob- olшШМмг SAJyktt IEEE АЛмксйЬ.V9?3 > AC-18 0 jfZ, p. .

87. Or. р i^Us P.L, Jj^xotoi^h^tt^lCb^oi C&hjL Cmft^j Ub cb^Lcunyic hvuMivuAznZcL {УьШлмлЛ, . У. Optthu^ , Же^^ cuu>t Jpp^. J1., jfs~9 p.

88. МЛ&п, US. 1. QM, Out UAL $pUrni&£rfCvu,J&b PbCLttuxul Sryvtww, ZteAtyn,.

89. EE %ешЛAuMw<va£ . С&иМ., JSC AC-3 р.ИЗ-Ш.

90. РсииЛо ЧУ, С&илль d' MMu^.etc.-^СсшЛсиъил. , Леи,jt, 18SG .97. St*Юь Л. VS. у Kjo уС. ^ш^ь oU^juwAtieJt- У. Qptisnifr. Цкшь^ (ШсС Jlppt^iU3 , 1Г.З ,jJb у р- <124-2.04.- 124 98. к, .X . C^Umtucu -f^b РсииЛо optoncUtfyСшЛ Jppl.7 V.3,jft9 p. 33£- %3S,

91. Sfavcutt fi . JlpplCcoJUAMA.uMXcty th&iA^ . In, : Ъми-шьч /п&селил. . Ы-.fhuutt r. .m, > c&evnm, (г, /г. силл ъемпл, к.х. jsm/ tfivk,VSUty силЛ Шпл, , 495"^.

92. Т. X. , Gr. СылМ&Ь ^fxxJit.pfbepuvtit^ C^j^uM^l усиплА.- <7. СшЯ, Jlppb. , 437-0, 1Г. Q , jfz , p. 91-НЪ.101.qLms^KoMm^ ^t/iaxitUAJZA- cuu>t S^MjJiAJVuUt's,-«у. ЗАлму cLPbd J9HJif. 48, JJ*4 5 p. 443-140.

93. X. Л. Ор&МаМЛу амМ, PbOVL- Syt&MuLpwfQ+vъеилдл, CAaJmluu , IEEE Эъеоил. AJfonat.ms9 m-2 , jj± , p.S3-eo.