Некоторые задачи синтеза оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Лизунова, Нина Александровна

• Лизунова, Нина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лизунова, Нина Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Синтез, управления в минимаксной задаче с фазовыми ограничениями

§1. Постановка задачи*

§2. Нахождение программного управления

2.1.Необходимое условие минимума,.

2.2.Метод последовательных приближений

2.3.Численная реализация метода.

§3. Решение задачи параметрической оптимизации с ограничениями. . . 36;

3.1.Нахождение; производных функции, заданной на решениях системы дифференциальных уравнений.

3.2.Метод экстремального базиса.

3.3.Минимизация максимума линейных функций при линейных ограничениях.

ГЛАВА, 2. Необходимое условие- оптимальности в задаче минимизации функции максимума-, на-, решениях разрывной системы

§4. Постановка, задачи.

§5. Доопределение правой, части системы на поверхности разрыва.*.5Е

§6., Дифференцируемость по параметру решения разрывной: системы.

§7. Необходимое условие минимума.

ГЛАВА. 3. Минимизация ударного спектра амортизаторам при ограничении на его ход.

§8. Постановка, задачи.

§9. Исследование; предельных возможностей системы амортизации.

9.1.Сведение задачи амортизации к конечномерной минимаксной задаче.

9.2. Описание. программы.

9.3.Результаты расчетов.

§10. Параметрическая оптимизация.ГГО

10.1.Выбор структуры управляющей функции.ПО

10.2. Описание программы

10.3.Результаты расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи синтеза оптимального управления»

Настоящая диссертационная работа.посвящена изучению задач оптимального управления с функционалом качества типа максимум., В работе рассматривается система de = i(i,x,u.tp) , xtf0)= Х0. (L) rp

Здесь ¿¿[to^T], 4<Г -фиксированы, х^ос.0] а^-вектор фазовых переменных,., и=(и0)) .,и.(г>)-управляющий вектор,, р(т)) -вектор параметров, р £ Р , где Р -замкнутое ограниченное множество, : кусочно-непрерывна.по и непрерывна вместе с jx ju (i^up). г -мерная вектор-функция и Ii) предполагается кусочно-непрерывной на и при всех teltjl удовлетворяющей ограничению и. V с Ez,. Множество таких функций обозначим через . U . При заданных U.GÜ t ре Р система

I.) определяет решение х (i,t^tp). Пусть качество системы оценивается функционалами ((¿>р) r rncocc wL (i} ос. а, (¿,р)), С е где функции ifc (ijOc) непрерывны по t и непрерывно дифференцируемы по ос, . Ставится задача:, при фиксированном ре Р найти (¿*£ U такое.,, что

1t (и*; p)=mcn 7/af) при усЛовии &(и*,р)<0. (2) не U .

Задачу (2) назовем, программной задачей, управление -программным управлением. Положим У± J.

Задача (2) является минимаксной задачей оптимального управления с фазовыми ограничениями. В настоящее время получены необходимые условия оптимальности и разработаны численные; методы для широкого, класса задач с недифференцируемым функционалом, В работе [24] , например,, рассматривается задача минимизации по т функционала. • тсис / /0 (ос,и,

УеА % при ограничениях к (х(4о),х(Т))*0, и И) е Сги.

Здесь ^ -постоянный вектор из Л ,/I с £3 -компакт, /С прерывно дифференцируемая функция ¿п переменных размерности /V ^ Ипу и(^) -ограниченная измеримая функция размерности т. со значениями из (ги. , функции непрерывны вместе с г/озс ■/х &и)по совокупности переменных. Используя технику А.Я.Дубовицкого и А.А.Милютина /29], авторы получают необходимое условие минимума в данной задаче.

В.В.Альсевичем [г] выводится необходимое условие; оптимальности в задаче минимизации функционала 3(и)= пхнс уеУ на траекториях п -мерной системы X = ¿(х^^у), Яо,

В работах Т.К.Виноградовой, В.Ф.Демьянова [16-18,28] исследовались функционалы вида

Т рт а£ оИ9 3(и)-- тси£ / д . (3) 0<1

Требовалось минимизировать эти функционалы по и при ¿2 ¿(сс^и^) у ос(о).- сс0; где 2Г-компакт., Бшш получены необходимые условия экстремума, с использованием классических,, игольчатых и пакетных вариаций управления. Функционалы вида (3) рассматривались также в. /бв].

В.В.Величенко [х&] решает задачу минимизации по тШ^Х/ функционала-. и[1о,Т] при заданных граничных условиях. Полученные результаты используются в задаче о минимуме максимальной перегрузки.

Методы решения задач управления с недифференцируемым функционалом, .основанные; на идеях метода, линеаризации,, излагаются в монографии [52]., Ю.Г.Евтушенко [зо] разрабатывается подход к решению задач оптимального управления, основанный на идеях нелинейного программирования. Численные методы в задачах оптимального управления рассматриваются в [34,35].

Полученные в работах этого направления результаты позволяют находить программное, управление, то есть управляющую функцию, зависящую только от времени. Поскольку программное' управление никак не реагирует на отклонение; фазовых координат от заданной траектории, желательно, чтобы управление, являлось функцией времени и фазовых координат, то есть строилось в форме, синтеза. В литературе встречаются различные определения синтеза управления. В работе [21] синтезом управления называется любой алгоритм вычисления оптимального управления в конкретной задаче. При этом управление;может строиться как в форме обратной связи, так и в форме программного. Наиболее часто [б,33, 41,44] под задачей синтеза понимается нахождение управляющей функции, зависящей от времени и фазовых координат и обеспечивающей оптимальность любой фазовой траектории системы, удовлетворяющей уравнениям движения с произвольными начальными условиями. Б постановке ¿19] произвольным помимо начальных условий считается внешнее воздействие на систему.

Б данной работе, под синтезом управления, как это принято при решении инженерных задач(см.»например,[в]), понимается нахождение управляющей функции, зависящей от времени и фазовых координат и- обеспечивающей минимальное значение критерию качества при фиксированных начальных условиях движения. В качестве множества допустимых управлений рассматривается параметрическое: семейство функций, и задача оптимального управления сводиться к задаче параметрической оптимизации. Такой подход позволяет применять к решению задач управления с недифференцируемым функционалом методы,; разработанные для решения конечномерных не>-гладких задач В.Ф.Демьяновым, В.Н.Малоземовым [20,27], Ю.М.Ермольевым, Н.З.Шором , Б.Н.Пшеничным, Ю.Н.Данилиным [46,47] и другими авторами.

При задании в качестве управления функции, разрывной на некоторой поверхности, получаем задачу, минимизации функции максимума на решениях системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Вопросам параметрической оптимизации разрывных систем посвящены работы [2,3,,45,54]. В [аь] исследуется дифференцируемость по начальным значениям решения системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. В ["54] эти результаты обобщаются на тот случай, когда разрывным является также и само решение. В работах [2,з] рассматривается задача минимизации по параметрам и/ и функционала

7Ы, 4)= Ф (*&<), на решениях сс (I) краевой задачи х -.¿(х.иг), А° (*&),

ЗдесьФ- скалярная, , к , к - векторные функции аргументов ос. в Вл » ъ^е Ет со значениями в Еп ,Еп , Е^ соответственно. Предполагается, что функции , непрерывно дифференцируемы по х , иг , функция { непрерывна вместе с производными /д, , всюду, кроме гладкого многообразия р (ое} и) ^ О , где допускаются конечные; разрывы ее значений, "4 — фиксированный момент времени, г<т , если ¿^ задано, гйт. , если ^ не; задано. В этой задаче получены необходимые условия оптимальности.

Задаче оптимального управления с разрывными правыми частями посвящены работы В.А.Троицкого [49,50]. Автор исследовал ее методами вариационного^ исчисления. Обобщение результатов В.А.Троицкого на случай, когда допускаются разрывы фазовых координат , получено в [ 15].

Исследование разрывной задачи оптимального, управления на основе принципа максимума- Л.С.Понтрягина, было проведено вначале В.В.Величенко ¡12,13] , а затем, и; другими авторами: [11,32,40, 48]. Во всех этих работах предполагается, что фазовая траектория пересекает поверхность разрыва. Дальнейшее обобщение полученных ранее результатов проведено в [4,5,37], где выводятся необходимые условия оптимальности в том случае, когда траектория касается поверхности разрыва или скользит по ней. Разрывным задачам оптимального, управления посвящены работы [56,57,60].

Важное:; место в оптимизационных задачах механики занимают задачи противоударной, амортизации, одна из которых рассмотрена в диссертации. В литературе известны два постановки задачи а предельных возможностях амортизации. Для простейшей расчетной модели амортизируемого объекта, движущегося поступательно и прямолинейно, в первой из, них (В.В.Турецкий [22,23], А.А.Перво-званский [42]) требуется найти ограниченно© по модулю программ- ■ ное управление иШЫи.о7 (4) где Li0 -допустимая перегрузка объекта, доставляющее минимум наибольшему относительному: смещению объекта,, то есть функционалу:

I- тсоос /ос (6)1. (5)

Здесь x(é) -текущая координата объекта, определяемая из уравнения

X = <ГШ- иЮ , х[о)-~ Хо} x(o)=xoj где <f(6) -заданное внешнее: воздействие.

Б постановке второго типа (Б.Д.Манойленко, Ю.Л.Рутман [зэ]) функционал (5) и ограничение (4) меняются местами: требуется найти управление с минимальной нормой :

UL0 = tnOLOd /(¿(6)1, -6 обеспечивающее движение объекта с отклонениями, не превышающими заданной величины d , то есть при /я? Ц)\ й CL.

В работе [э] исследуется задача синтеза оптимального управления в постановке первого типа при ударных воздействиях. В [iо] эта задача решается заданием управления как линейной функции фазовых координат и параметра и нахождением оптимальных значений параметра. Метод параметрической оптимизации в амортизационных системах рассматривается в работах /59,6lJ. Задачам синтеза управления в постановке первого типа посвящены также работы [7,38,51].

В этих постановках амортизируемый объект предполагается твердым телом. Отказ от этого предположения приводит к постановке, рассмотренной в данной работе.

Диссертация состоит из введения,, трех глав, приложения и списка литературы.