Некоторые задачи динамики маятниковых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Буров, Александр Анатольевич

• Буров, Александр Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Буров, Александр Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. МЕТОД СИМВОЛИЧЕСКОЙ ЛЩАМИКИ.

§ I.I. Леммы о расщеплении сепаратрис

§ 1.2. Символическое описание траекторий

§ 1.3. Пример. Движение маятника с периодически колеблющейся точкой подвеса. Расщепление сепаратрис

§ 1.4. Пример продолжение . Символическое описание решений в окрестности гомоклиничес-кого контура. Их механическая интерпретация

§ 1.5. Исторический комментарий.

Глава 2. ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ СПУТНИКА В ПЛОСКОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Теорема о расщеплении сепаратрис.

§ 2.3. Символическое описание решений в окрестности грубого гомоклинического контура, их механическая интерпретация

Глава 3. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАЛОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВРАЩАЮЩЕГО МОМЕНТА.

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Теорема о расщеплении сепаратрис

§ 3.3. Символическое описание решений в окрестности грубого однообходного гомоклинического контура, их физическая интерпретация

Глава 4. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ДВУЗВЕННОГО ПЛОСКОГО

МАЯТНИКА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ.

§ 4.1. Постановка задачи.

§ 4.2. Возмущение стационарных решений.

§ 4.3. Понижение порядка системы уравнений движения по Уиттекеру. Теорема о расщеплении сепаратрис. Несуществование дополнительного интеграла

§ 4.4. Символическое описание решений в окрестности однообходного гомоклинического контура.

Их механическая интерпретация

§ 4.5. Переменные "действие - угол". Рождение периодических решений из резонансных торов невозмущенной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи динамики маятниковых систем»

Задачи динамики маятниковых систем являются традиционным объектом исследования теоретической механики. Их изучение восходит еще к Галилею, подметившему изохронность малых колебаний тела с неподвижной горизонтальной осью и предложившему абстрактную схему исследования этого явления - модель математического маятника [2б]. Изучением движения маятников занимались Декарт, Роберваль, Гюйгенс, Ньютон, Гук. Обобщив задачу о физическом маятнике, Леонард Эйлер положил начало исследованию движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Маятниковые механические системы очень разнообразны. К ним относятся маятник с периодически меняющейся длиной, маятник с вибрирующей точкой подвеса, составные маятники, маятники, содержащие упругие элементы. С точки зрения теории маятниковых систем естественно рассматривать, например, и задачу о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите. Большой вклад в исследование динамики маятников внесли отечественные ученые Н.Е.Жуковский, А.А.Андронов, П.Л.Капица, Н.Н.Боголюбов, А.Ю.Ишлииский, В.В.Румянцев и др.

Особенностью многих конкретных задач динамики маятников является сочетание простоты их физической постановки и сложности их решений. Описание этих сложных решений, а "также их механическая интерпретация являются актуальными задачами современной механики.

История изучения маятниковых систем дает характерный пример гармоничного сочетания теоретических и практических разработок. Так в работах Гюйгенса наряду с задачей создания часов была решена теоретическая задача о приведенной длине физического маятника, а также было открыто явление синхронизации. В наше время теоретическое изучение маятниковых систем тесно связано с их разнообразным применением во многих отраслях техники, с решением практических задач о движении космических объектов вокруг центра масс.

Как известно,сложное поведение решений гамильтоновых систем связано с отсутствием у них достаточного числа первых интегралов. Изучение вопроса о несуществовании дополнительных интегралов методом расщепления сепаратрис [5l] ,[3l] ,[37] позволяет прояснить природу сложной динамики системы, причем в случае пересечения сепаратрис удается провести качественное исследование некоторых классов траекторий методами символической динамики. В диссертации метод расщепления сепаратрис применяется для исследования трех задач динамики маятников: задачи о колебаниях спутника в плоскости эллиптической орбиты, задачи о движении математического маятника под действием слабого периодического вращающего момента, задачи о двузвенном плоском маятнике в однородном поле силы тяжести.

Задачи о движении маятников встречаются в самых различных разделах механики, в частности, в небесной механике. Одной из таких задач является задача Лагранка о среднем движении перигелиев планет. В первом приближении теории возмущений, когда можно пренебречь квадратами эксцентриситетов орбит планет по сравнению с самими эксцентриситетами, эволюция положения перигелия орбиты описывается формулой

Этим же соотношением описывается движение точки А^ - подвижного конца а -звенного плоского маятника AQ. А , конец AQ которого закреплен, а звенья A^J^,, р = п. длины вращаются с постоянной абсолютной угловой скоростью 2/fi 'Х р. В случае, когда частоты \,., рационально-независимы, среднее движение находится по формуле

II а-Пр^ГрЫ

Если рационально зависимы, то среднее движение существует [8б], но является, вообще говоря, разрывной функцией начальных фаз. На практике известны лишь рациональные приближения частот и возникает естественный вопрос, приводит ли уточнение приближений рационально-независимых частот к уточнению значения среднего движения. Следуя методу работы в диссертации на этот вопрос дан положительный ответ. Одной из причин сложного поведения траекторий динамических систем, порожденных дифференцируемыми отображениями, является расщепление и пересечение сепаратрис - инвариантных асимптотических поверхностей гиперболических неподвижных точек. В диссертации доказан аналог теоремы Пуанкаре о расщеплении сепаратрис [45J,[з7J для аналитических диффеоморфизмов плоскости на себя, близких к интегрируемым.

О структуре диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Буров, Александр Анатольевич

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты диссертации.

1. Б задаче о плоских колебаниях спутника на слабоэллиптической орбите доказано несуществование нетривиального аналитического интеграла в случае, когда ось вращения спутника не является осью динамической симметрии. Проведено качественное исследование решений уравнений движения, расположенных в окрестности трансверсально пересекающихся сепаратрис.

2. В задаче о движении математического маятника под действием малого периодического вращающего момента доказано несуществование нетривиального аналитического интеграла. Методом символической динамики исследован класс решений уравнений движения, находящихся в окрестности однообходного гомоклини-ческого контура, дана их механическая интерпретация.

3. Исследован вопрос о неинтегрируемости уравнений движения двузвенного плоского маятника в поле силы тяжести. Методами малого параметра в рассматриваемой задаче доказано существование некоторых классов периодических движений. Поведение решений в окрестности трансверсально пересекающихся сепаратрис исследовано методом символической динамики.

4. Рассмотрена задача Лагранжа о среднем движении перигелиев. Дан положительный ответ на вопрос, приводит ли уточнение значений приближений рационально-независимых частот к уточнению величины среднего движения.

5. Доказан аналог теоремы Пуанкаре о расщеплении сепаратрис для аналитических диффеоморфизмов плоскости на себя, близких к интегрируемым.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Буров, Александр Анатольевич, 1984 год

1. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. 1. Квазислучайные диффеоморфизмы. - Матем.сб., 1968, т.76, вып.1,с. 72-134.

2. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. П. Одномерные колебания в периодически возмущаемом поле. Матем. сб., 1968, т.77, вып.4, с.545-601.

3. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. III. Квазислучайные колебания одномерных осцилляторов. Матем.сб., 1969, т.78, вып.1, с.3-50.

4. Алексеев В.М. Символическая динамика. Одиннадцатая математическая школа. - Киев: Изд. ин-та математики АН УССР, 1976, с.5-210.

5. Алексеев В.М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика. Успехи мат.наук, 1981, т.36, вып.4,с. 61-76.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1979. 432 с.

7. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. Докл. АН СССР, 1964, т.156, $ I,с.9-12.

8. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. В сб. "Искусственные спутники Земли".-М.: Изд-во АН СССР, 1958, вып.1, с.25/43.

9. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 308 с.

10. Ю.Белецкий В.В. Либрация спутника на эллиптической орбите. -В сб. "Искусственные спутники Земли". М.: Изд-во АН СССР, 1963, вып.16, с.46-56.

11. Белецкий В.В. О либрации спутника. В сб. "Искусственные спутники Земли" - М.: Изд-во АН СССР, 1959, вып.3,с.13-31.

12. Болотин С.В., Козлов В.В. Либрации в системах со многими степенями свободы. Прикл. мат. и мех., 1978, т.44,вып.2, с.245-250.

13. Болотин С.В., Козлов В.В. Об асимптотических решениях уравнений динамики. Вестн. МГУ. Мат., мех.,1980,№ 4,с.84-89.

14. Боль П. Избранные труды. Рига: "Зинатне",1974. - 517 с.

15. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Мир, 1979, - 248 с.

16. Брадистилов Г. Положение системы трех последовательно соединенных маятников, находящихся в одной плоскости, при ее периодическом движении вокруг положения устойчивого равновесия. Прикл. мат. и мех., 1955, т.19, вып.1, с.ПЗ-118.

17. Брадистилов Г. Положение тройного математического маятника в плоскости при его периодическом и асимптотическом движениях вокруг положения равновесия. Прикл.мат. и мех.,1955, т.19, вып.4, с.185-192.

18. Бурбаки Н. Общая топология. Кн.З. М.:Наука, 1975. -408 с.

19. Буров А.А. К задаче Лагранжа о среднем движении перигелиев. Прикл.мат. и мех., 1984, т.48, вып.4, с.675-677.

20. Буров А.А. Неинтегрируемость уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите. Вестн. МГУ. Мат.,мех., 1984, № I, с.71-73.

21. Буров А.А. 0 движении одномерного осциллятора в поле с периодическим потенциалом. Вестн.МГУ. Мат., мех., - 1984, № 3, с.63-65.

22. Буров А.А. 0 колебаниях спутника на эллиптической орбите.-Космич.исследования, 1984, т.22, вып.1, с.132-133.

23. Буров А. А. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о двузвенном плоском маятнике в поле силы тяжести.-Москва, 1983, 7 с. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ АН СССР 7 декабря 1983 г., & 6626-83).

24. Гадионенко А.Я. Резонансные колебания и вращения маятника с вибрирующей точкой подвеса. Укр.матем.ж., 1966, т.18, « 2, с.102-106.

25. Гайдуков Е.В. Асимптотические геодезические на римановом многообразии, негомеоморфном сфере. Докл. АН СССР,1966, т.169, № 5, с.999-1001.

26. Галилей Г. Сочинения. T.I. М.-Л.: Гостехиздат, 1934.696 с.

27. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор. В кн.: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980, с.284-293.

28. Дубошин Г.Н. О дифференциальных уравнениях поступательно-вращательного движения взаимно-притягивающих тел. Астрон. ж., 1958, т.35, 2, с.265-276.

29. Зейферт Г. Трельфалль В. Топология. М.-Л.; Гостехиздат, 1938. - 400 с.

30. Зиглин С.Л. Неинтегр1фуемость задачи о движении четырех точечных вихрей. Докл. АН СССР, 1979, т.250, №6, с. 12961300.

31. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела. Труды ММО, 1980, т.41, с.287-303.

32. Златоустов В.В., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжев-ский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты. Космич.исследования, 1964, т.2,вып.5, с.657-666.

33. Златоустов В.А., Сазонов В.В., Сарычев В.А. Вынужденные периодические колебания математического маятника. Прикл. мат. и мех., 1979, т.43, вып.2, с.250-261.

34. Златоустов В.А., Сазонов В.В., Сарычев В.А. Вынужденные субгармонические колебания математического маятника. -Прикл,мат. и мех., 1981, т.45, вып. I, с.52-62.

35. Илиев И. 0 линейных интегралах голономной механической системы. Прикл. мат. и мех., 1970, т.34, вып.4, с.751-755.

36. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса. Журн. экспер. и теор.физ., 1951,т.21, Л 5, с.588-597.

37. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильто-новой механике. Успехи мат.наук, 1983, т.38, вып. I,с. 3-67.

38. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980. - 232 с.

39. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. Докл. АН СССР, 1982, т.266, & 6, с.1298-1300.

40. Козлов В.В. 0 колебаниях одномерных систем с периодическим потенциалом. Вестн. МГУ. Мат., мех., 1980, № 6,с.104-107.

41. Козлов В.В. Периодические колебания составного маятника. -Прикл. мат. и мех., 1980, т.44, вып.2, с.238-244.

42. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис возмущенной задачи Эйле-ра-Пуансо. Вестн. МГУ, Мат., мех., 1976, № 6, с.88-91.

43. Ламб Г. Теоретическая механика. Т.2. Динамика. М.-Л.: 0НТИ, 1935. - 312 с.

44. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос-техиздат, 1956. - 632 с.

45. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях. Труды ММО, 1963, т.12, с.3-52.

46. Морозов А.Д., Шильников Л.П. К математической теории синхронизации колебаний. Докл. АН СССР, 1975, т.223, № 6,с. 1340-1343.

47. Морозов А.Д. О полном качественном исследовании уравнений Дгаффинга, Дифф.уравнения, 1976, т.12, № 2, с.241-255.

48. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472 с.

49. Неймарк Ю.И. О движениях, близких и двоякоасимптотическим движениям. Докл. АН СССР, 1967, т.172, Jfc 5, с.1021-1024.

50. Неймарк Ю.И. Символические динамики, порождаемые гомоклини-ческими структурами. Дифф. уравнения, 1976, т. 12, № 2,с. 256-262.

51. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. T.I. - М.: Наука, 1971. - 771 е.; Т.2. - М.: Наука, 1972. - 999 с.

52. Пуанкаре А. 0 проблеме трех тел и об уравнениях динамики.-В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. Т.2. М.: Наука,1972. - 999с.

53. Раус Дж. Динамика системы твердых тел. Т.2. М.: Наука, 1983. - 544 с.

54. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. -В кн.: Итоги науки и техники. Исследования космического пространства, Т.Н. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978. - 224 с.

55. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Несимметричныепериодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. Космич. исследования, 1980, т.18, вып.1, с.3-10.

56. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости .эллиптической орбиты. Космич. исследования, 1979, т.17, вып.2, с.190-207.

57. Сарычев В.А., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. М., 1975, - 76с. (Препринт / Ин-т прикл.матем. АН СССР, № 48 ).

58. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. Космич. исследования, 1977, т.15, вып.6, с.809-834.

59. Синай Я.Г. Гиббсовские меры в эргодической теории. Успехи мат.наук, 1972, т.27, вып.4, с.21-64.

60. Синай Я.Г. Марковские разбиения и "У-диффеоморфизмы. -Функц.ан. и его прилож., 1968, т.2, вып.1, с.64-84.

61. Синай Я.Г. Построение марковских разбиений. Функц. ан. и его прилож., 1968, т.2, вып.З, с.70-80.

62. Скалак Р., Яримович М. Субгармонические колебания маятника.- Сб.перев. Механика, 1961, № 6, с.31-40.

63. Смейл С. Диффеоморфизмы со многими периодическими точками.- Сб.перев. Математика, 1967, т.II, № 4, с. 88-100.

64. Сумбатов А.С. Об интегрируемости уравнения Гамильтона-Яко-би в обобщенных координатах. Приклад.мат. и мех., 1982, т.46, вып.1, с.13-19.

65. Торжевский А.П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите. Космич.исследования, 1964, т.2, вып.5, с. 667-678.

66. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика.-М.-Л. :0НТЙД937.-500с.- 129

67. Уиттекер Е.Т., Ватсон Дк.Н. Курс современного анализа. Т.2. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

68. Хайнбокел Дж., Страбл Р.А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений, обладающих симметрией. Сб. дерев. Механика, 1966, № I, с.3-17.

69. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс. Журн. вычисл.мат. и мат.физики, 1963, т.З, № 3, с.474-483.

70. Чешанков Б.И. О субгармонических колебаниях маятника. -Прикл.мат. и мех., 1971, т.35, вып.2, с.343-348.

71. Чешанков Б.И. Резонансные колебания специального двойного маятника. Прикл. мат. и мех., 1969, т.33, вып.6, с.1112-III8.

72. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. - 628 с.

73. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус. Матем. сб., 1970, т.81, вып.1, с. 92-103.

74. Шильников Л.П. 0 существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса. Докл. АН СССР, 1967, т.172,№ I, с.54-57.

75. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа. Матем. сб., 1967, т.74, вып.З, с.378-397.

76. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. В кн.: Мараден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980, с.284-290.

77. Birkhoff G.D. Nouvelles reoherches sur les systemes dynami-ques. In Birkhoff G.D, Collected mathematical papers.Vol. 2» - N.-Y«s American mathematical society, 1950• - 984 p*

78. Bradistilov G., Boyadjiev G. Existenz periodischer Bewegun-gen eines n-fachen Pendels im Falle, dees einige Wurzeln seiner charakteristischen Gleihung ein Vielfaches einer anderen sind. ZAMM, 1959» Bd. 39, № 7-8, S.284-290.

79. Bradistilov G. Ober periodische Bewegungen des n-fachen Pendels. Math. Ann., 1939, Bd. 116, № 4, S. 602-609.

80. Bradistilov G. Gber periodische und asymptotische Losungen beim n-fachen Pendel in der Ebene. Math. Ann., 1938,1. Bd. 116, № 2, S. 181-203.

81. Cartwright M.L. Forced-oscillations in nonlinear systems. Contributions to the theory of nonlinear oscillations. -Ann. Math. Studies, 1950, v.20, pp. 149-241.

82. Cushman R. Examples of nonintegrable analytic Hamiltonian vector fields with no small denominators. Trans. Am. Math. Soc., 1978, v.238, pp. 45-55.

83. Hadamard J. Les surfaces a courbures opposees et leur lig-nes geodesiques. J. Math', pur. appl.t 1898, v.4, 27-73.

84. Hill G.Y/. On the part of the mean motions of the sun and moon. Acta Math., 1886, v.VIII, pp. 1-36.

85. Ince E.L. Researches into characteristic Numbers of the Mathiew Equation. Proc. of the Royal Soc. of Edinburgh, 1931-32, XLVII, pp. 355-433.

86. Mendes R.V., Duarte J.T. Arcs of discrete dynamics and constants of motion. Lett, in Math* Phys., 1982, v.6, H° 2, pp. 249-252.

87. Morse M., Hedlund G.A. Symbolic dynamics. I. Am. J. Math., 1938, v.60, № 4, pp. 815-866.

88. Morse M., Hedlund G.A. Symbolic dynamics. II. Am. J. Math., 1940, v.62, № 1, pp. 1-42.

89. Moser J. Stable and Random Motions in Dynamical Systems. -Princetone: Princetone University Press, 1973. 198 p.

90. Moser J. The analytical invariants of an area preserving mapping near a hyperbolic point. Comm. Pure Appl. Math., 1956, v. 9, № 4, pp. 673-692.

91. Struble R.A. On the oscillations of a pendulum under parametric excitation. Quart. Appl. Math., 1965, v.22, № 4» pp. 157-159.

92. Struble R.A. Oscillations of a pendulum under parametric excitation. Quart. Appl, Math., 1963, v.21, N° 2, pp. 121-131.

93. Tisserand P. Traite de mechanique celeste. Tome II. Theorie de la figure des corps celestes et de leur mouvement de rotation. Paris: Gauthier - Villars, 1891. - 552 p.

94. Troger H. Heteroklinische Punkte und das Pendel mit periodisch erregtem Aufhangepunkt. ZAMM, 1979, Bd. 59» № 5» S. 158-160,99* Weyl H, Mean Motion I* Am. J. Math., 1938, v. 60, pp. 889-896.

95. Weyl H, Mean Motion II. Am, J. Math., 1939, v. 61, № 1, pp. 143-148.