Некоторые вопросы теории нормальных семейств мероморфных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ошкин, Игорь Борисович

• Ошкин, Игорь Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории нормальных семейств мероморфных функций»

Теория нормальных семейств мероморфных функций получила первоначальное развитие в работах П. Мощеля. Интерес к этой теории обусловливается ее разнообразными приложениями. Г. Жюлиа, А. Островский, К. Каратеодори, П. Фату и другие авторы применяли теорию нормальных семейств при исследовании распределения значений мероморфных функций, для изучения свойств конформных отображений, в теории функциональных уравнений /см. [14]/.

Основной задачей теории нормальных семейств, играющей важную роль в многочисленных приложениях теории, является задача получения различных признаков нормальности. Исследования в этом направлении часто определяются гипотезой А. Блока или - как ее иногда называют в современной литературе - эвристическим принципом в комплексном анализе. Согласно данному принципу всякое условие, достаточное для того, чтобы любая удовлетворяющая ему в комплексной плоскости (С мероморфная функция сводилась к постоянной, одновременно является достаточным для того, чтобы семейство удовлетворяющих ему в единичном круге I) мероморфных функций было нормально в л .

Этот принцип иллюстрируется многими примерами. Одни из подобных условий, такие как существование трех исключительных значений функции [14], равномерная ограниченность радиусов кругов на плоскости С , однолистно накрываемых голоморфной функцией [39], [20], известны давно. Некоторые условия нормальности в терминах распределения значений функции и ее производных получены в последнее время /см. [28*]/.

Значительным самостоятельным разделом стала выделившаяся из теории нормальных семейств теория нормальных функций. Изучение нормальных функций было начато работами К. Иосиды [41] и К. Носиро [34^. Современное состояние теории нормальных функций во многом определилось благодаря исследованиям 0. Лехто и К. Виртанена [30]. В этой теории можно выделить два направления, одно из которых изучает характеристические свойства нормальных функций, а другое - их граничное поведение. Нужно отметить, что некоторые результаты, первоначально полученные для нормальных функций, впоследствии переносились на нормальные семейства и занимали в теории нормальных семейств важное место /см. [31], [42}/.

Диссертационная работа состоит из двух частей. Исследования, вошедшие в первую часть непосредственно связаны с гипотезой А. Блока. Во второй части изучаются некоторые свойства нормальных функций. Каждая из частей разбита на три параграфа.

В § I доказывается критерий нормальности /лемма I/, который позволяет по семейству функций, если оно не является нормальным в круге 0 , строить в плоскости С непостоянную мероморфную функцию, в определенном смысле наследующую свойства функций этого семейства. Лемма I уточняет основной результат работы [42}. Ее доказательство восходит к работам [313 и [38]. Этот критерий носит вспомогательный характер и используется далее при доказательстве теоремы I.

В § 2 изучается задача, сформулированная в сборнике нерешенных проблем, опубликованном У. Хейманом [27] в 1967 году, - образуют ли нормальное семейство в ]) голоморфные функции ^ | , удовлетворяющие при фиксированном натуральном П. условию • ^ Ф 1 ?

Известно, что уравнение 4 имеет решение для любой непостоянной целой функции / ; случай П, > 2- рассмотрен в [2б|, случай - в [24]. Подчеркнем, что методы в работах [26] и [24] существенно различны.

Положительное решение указанной задачи при П } % было фактически известно [40]. Позднее в статье [25] была предложена общая схема для получения признаков нормальности семейств голоморфных функций в терминах распределения значений функции и ее производных. По этой схеме в статье £25] с помощью метода из работы [26*] был установлен ряд достаточных условий нормальности и в том числе повторен результат из [40]. Метод работы [24] не удавалось применить к семействам функций, и, более того, в статье [25] было высказано предположение, что этот метод недостаточно глубок и вероятно не может быть перенесен на семейства функций.

Теорема I, § 2, дает положительное решение сформулированной выше задачи для случая УЪ- { . В ее доказательстве в равной степени используются идеи работ [24] и [25].

Чтобы изложить содержание § 3, введем несколько обозначений. Пусть голоморфная функция I определена в области Риманову поверхность над плоскостью (Ь , на которую ^ отображает область Сг обозначим через Если функция \ мероморфна, то риманову поверхность, на которую ^ отображает свою область определения, естественно рассматривать над сферой В этом случае обозначим ее через R^(GL) .

Как уже отмечалось выше, для любой непостоянной целой функции { поверхность содержит однолистные круги сколь угодно большого радиуса, и, с другой стороны, семейство голоморфных в I) функций , У которых радиусы однолистных кругов на поверхностях Д ^ (С) ограничены постоянной, одной и той же для всех функций семейства, обязано быть нормальным в 0 . Условие нормальности, описываемое в § 3, выражается через ограничение на радиусы однолистных кругов на поверхности К ^ (-Л.). В связи с этим условием в § 3 исследуется также строение поверхностей К «(-О} функций,

Г * мероморфных в плоскости (Ь

Рассмотрим на поверхности (И) мероморфной функции , Сг , наибольший открытый однолистный круг с центром в точке К|(И), ^О^) , где %0сСг . Угол между радиусами сферы -Л, , проведенными в центр этого круга и какую-либо точку его границы, обозначим через <$|(20) . Если - точка ветвления поверхности Я^С-П^, то положим . Иначе говоря, величина есть или нуль, или точная верхняя грань тех чисел ск >0 , для каждого из которых существует область (т^ ^ , удовлетворяющая условиям:

1. ;

2. функция ^ однолистна в области ;

3. для любой точки имеем

Наконец, положим а(1, &) = ■

Пусть оС . где нижняя грань берется по всем мероморфным в комплексной плоскости непостоянным функциям. Пусть далее , о( > О , обозначает семейство мероморфных в D функций { $ } , удовлетворяющих условию Л D) - . Положим

Ар- Sup £ oL ! ^ нормально в J) | .

В теореме 2, § 3, установлено согласующееся с гипотезой А. Блока равенство Л^ = àp .

Постоянную , рассматривавшуюся в ряде работ, принято называть константой Блока для мероморфных функций. Из теоремы "о пяти островах" Л. Альфорса [ij следует, что

0 . Совсем недавно в статье [33J была получена оценка — . Эта оценка является также немедленным следствием работы [36], критерия нормальности Ф. Марти [32] и теоремы 2.

В теореме 2, кроме того, показано, что равенство Д л- достигается для некоторой мероморфной функции | . Заметим, что лучшую известную верхнюю оценку Д^. [33] доставляет функция Вейерштрасса, четыре вполне разветвленные значения которой соответствуют на сфере Римана вершинам правильного тетраэдра. В статье [33] высказана гипотеза, что

Доказываемая далее теорема 3, § 3, уточняет нижнюю оценку величины ¿Ц^С) в зависимости от роста числа точек локальной неоднолистности функции % в круге ЦРИ t —> оо , что можно рассматривать также как нижнюю оценку константы Блока для мероморфных функций при ограничении на алгебраическую разветвленность римановой поверхности. Из теоремы 3, в частности, снова следует оценка Д.^ >

Во второй части диссертационной работы удобно пользоваться общим определением.

Определение I. Пусть ^ и - области на комплексной плоскости С и 4 " , - семейство аналитических отображений области в область .

Мероморфная в области функция ^ называется

В -нормальной, если семейство функций нормально в области .

Обозначим группу конформных автоморфизмов единичного круга I) через /5^ .

Наиболее подробно $ -нормальные функции исследованы в случаях, когда = С и $ = ^ + : - в этом случае В -нормальные функции называются функциями Иосиды, и когда - &г~ Т) и $ ~ ¡Э^ , - 3-р~нормальные функции принято называть функциями, нормальными в смысле Лехто-Виртанена. Отметим также класс функций исключительных в смысле Жюлиа, то есть мероморфных функций ¡3 -нормальных при б^ = &г~ и ¡3 ^ ' ^ .

В статье [б] В.И. Гаврилов поставил задачу изучения свойств функций, порождающих нормальные семейства на непрерывных подгруппах группы . В этом направлении рассматривались

Т!

- и "Гр -нормальные функции [б], [ю], где

1 И 11 + а е г У ' ' обозначает гиперболическую подгруппу с двумя неподвижными точками 6 и - в и I с-а + ае и * ) 1

I в параболическую подгруппу с одной неподвижной точкой е .

Изучение свойств -нормальных (функций, как отмечено в обзоре [12], нередко шло по пути проверки наличия или отсутствия у них свойств ограниченных голоморфных функций. В §§ 4, 5 свойства Т^ - и ~Тр-нормальных функций рассматриваются в сравнении со свойствами $ -нормальных функций.

Результатам из § 4 необходимо предпослать следующее замечание. Понятие нормального семейства и затем нормальной функции естественным образом распространяются на непрерывные функции со значениями на сфере Римана -О. . На такие функции непосредственно обобщаются некоторые утверждения о меро-морфных нормальных функциях, что представляет интерес- особенно в тех случаях, когда точность этих утверждений иллю-- ■ стрируется на примерах: мероморфных функций. Доказываемые в § 4 теоремы 4, 5 и 5' формулируются для непрерывных функций со значениями в Л- .

В работе [211 было показано, что непрерывные ¿^-нормальные функции характеризуются возможностью их непрерывного продолжения на множество всех регулярных точек пространства максимальных идеалов ТЛ1 алгебры Н ограниченных голоморфных в ]) функций. Там же был указан пример меро-морфной -нормальной функции, не продолжающейся непрерывно ни в какие точки пространства , кроме регулярных. В § 4 определены подмножества и Р регулярных точек пространства Ж и доказано /теорема 4/, что непрерывные \-и т 0-нормальные функции и только они допус-И " кают непрерывное продолжение соответственно на множества Н^ и Рл . Затем в § 4 построены примеры Тц -.и Т® -нормальных функций, которые не могут быть непрерывно продолжены ни в какую точку пространства ТТЬ , лежащую соответственно вне множеств Hq и .

Отнесем функцию ^ к классу , если ^ является

Т^-нормальной при всех 0 , и к классу , если ^ является ~Гр-нормальной при всех G ,

С теоремой 4 и следующими за ней примерами интересно сопоставить теоремы 5 и 5», § 4, в которых доказано, что всякая непрерывная функция из класса ж* или 9х обязательно допускает непрерывное продолжение на множество большее, чем соответственно U H а или U р ,

В § 5 изучается граничное поведение функций из классов . Согласно лемме 5, § 5, в рассматриваемом случае для каждой функции ^ произвольная дуга на единичной окружности содержит такую дугу, что в некоторой ее окрестности рост сферической производной функции ограничен так же, как у -нормальных функций. Это .позволяет получить ряд граничных свойств, которые функции из классов Ж* и наследуют у /^-нормальных функций. Так /теорема 6,

§ 5/, непостоянная функция из класса db или не может иметь предела по последовательности дуг Кёбе; кроме того, для любой голоморфной функции из указанных классов множество точек, в которых она имеет асимптотические значения, плотно на единичной окружности.

Наконец известно что любая голоморфная -нормальная функция, ограниченная на произвольной Б -последовательности точек, ограничена в некоторой окрестности предельной дуги этой В -последовательности. Завершают § 5 примеры голоморфных функций из классов и iP , не обладающие отмеченным сейчас свойством.

Недавно Дж. Андерсон и Л. Рубель [18} ввели понятие абсолютно гипернормальной функции»

Определение 2. Пусть С^ и &г - области на комплексной плоскости (С и $ ~ \ * 4 - (?± &2 > - семейство аналитических отображений области &± в область • Мероморфная в области Сгг функция / называется $ -абсолютно гипернормальной /^-АГН/, если семейство функций нормально в области .

С помощью понятия абсолютной гипернормальности в работе [18] была дана новая характеристика класса функций Блока. Именно: класс функций Блока - это в точности класс /6^-АГН функций.

В работе [18] исследовался случай транзитивных семейств 5. Для таких семейств в [183 полУ46^ критерий абсолютной гипернормальности. Некоторые свойства -АГН функций установлены в [ю] в том случае, когда для любой точки множество ее образов несчетно. Теорема 7, § 6, содержит критерий /3 -абсолютной гипернормальности функции , обобщающий критерий из работы [18], в прйюложении, что для каждой точки найдется такое отображение

4 €¡5 , что функция ^ не обращается в нуль в точке и*) Отметим, что транзитивные семейства отображений и семейства, рассматривавшиеся в [ю], при очевидно, удовлетворяют этому пр^положению. Согласно теореме 7 функция » ^ ^ , является -АГН функцией в том и только том случае, если существуют комплекснозначная функция е ^ » и непрерывная неотрицательная функция МО), такие, что для любого отображения и любой точки ^ в Сг^ имеем {Ь(*» ) - (М) М*)) I ^ М (*).

В работе [18^показано, что всякая функция ^Л £ , входящая в приведенную оценку, обязана быть локально ограниченной в области Сг^ . Теорема 8, § 6, утверждает, что если для некоторого компактного подмножества кч области Сг± $ -АГК функция £ не ограничена на множестве ^^ ^(К), то функция р£ определяется единственным образом и голоморфна в области . Если при этом дополнительно и отображения семейства /3 образуют полугруппу относитель« но суперпозиции, то при любом 6 £ $ функция ^£ удовлетворяет соотношению

Для дискретной группы $ оно означает, что (Л^ является автоморфной формой первой степени. Последнее соотношение дает возможность найти вид функции /И» , например, для

-г~е -т-е р + ц - или I р -АГН: функции \ .

В заключение отметим, что результаты друтих авторов, цитируемые в настоящей работе, обозначены как предложения. С учетом необходимости они не всегда формулируются в наибольшей общности.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю В,И. Гаврилову, без постоянной поддержки которого эта работа не была бы написана.

ЧАС ТЪ I.

§ I. Критерий нормальности семейства мероморф-ных функций в точке.

Сформулируем сначала два хорошо известных утверждения, наиболее часто применяемых во всей работе.

Предложение I [32J. Семейство функций ^Г- i^J мероморф-ных в области Gr<=£ нормально в & тогда и только тогда, когда для любого компактного подмножества К области G- имеем

•SU.D ¿tcp I< ОО . геК 1

Пусть последовательность мероморфных функций >

Gr , локально равномерно сходится в области G- /то есть равномерно сходится на любом компактном подмножестве области Сг / к функции . Функция 4- либо мероморфна в & , либо [23].

Предложение 2. Пусть область &^ вместе со своим замыканием принадлежит области Ь- и

Тогда, начиная с некоторого номера, каждая функция $ принимает в области Gq значение CL с учетом кратности столько же раз,что и функция ^ .

Предложение 2, называемое теоремой Гурвица, в той или иной степени общности приводится в каждом учебном руководстве по теории функций комплексного переменного /см. [23*}/.

Будем говорить, что семейство функций j мероморфных в круге D асимптотически содержит функцию F(^) , » если существуют такие последовательности функций

Ш, ¿ef , точек {^пЗ, и чисел ,

Ь^О , что последовательность функций ,

Yrvty^fn&^Kty , локально равномерно сходится в С к функции Р . Если дополнительно последовательность стремится к некоторой точке £0é j) , то будем говорить, что семейство асимптотически содержит функцию F в точке .

Отметим, что если функция F(£) , ^ € С , асимптотически принадлежит семейству , то необходимо имеем 0 / /t —00 /.

В работе [42^было показано, что семейство функций меро-морфных в круге D не является нормальным в D тогда и только тогда, когда оно асимптотически содержит непостоянную мероморфную в С функцию. Из этого утверждения вместе с предложением 2 непосредственно следует, что всякое условие, наложенное на значения самой функции /но не ее производных/ и ведущее к утверждению о постоянстве функции, обязано быть достаточным условием нормальности семейства мероморфных функций в единичном круге.

Семейство мероморфных функций называется нормальным в некоторой точке своей области определения, если оно нормально в какой-либо окрестности этой точки.

Лемма I. Семейство функций ffj мероморфных в круге 2) не является нормальным в точке тогда и только тогда, когда оно асимптотически содержит в точке мероморфную функцию

FC^corwt-, sixg F*(£)= F*ío) = í.

Доказательство. Покажем необходимость условия леммы. В силу предложения I найдутся такие последовательности функций Uk], , и точек ¡l**] /*-><"/ и /к-*- 00 /. Положим к**; ясно, что /К —*-оо /в Для каждого /с определим точку , I^K^-^ol^^K» из условия

- I гк - го1) (V U-a fK%).

Очевидно, что ^^о и, кроме того, ^

V^K-ZoOCK4) > ('¿к-lzt-Zoi)fe) =[{¡(4)] f откуда

-IXk-ÍOD^CÍK) -^«x» //c—/I/

Положим í^ и V^/UV1^)- Зафиксируем произвольное число R>0 .В силу /I/ найдется такой номер к0(Я) , что при к >К(Ю и R имеем

K + tK ^ " ^д . Оценим в круге сферическую производную функции , К > k0(R). Учитывая выбор точки ^ , имеем r < (a UR V1

Снова в силу /I/ правая часть полученной оценки стремится к при к-^оо . На осно вании предложения I существует подпоследовательность функций V^k^ » локально равномерно сходящаяся в (С . Для функции ^^С , являющейся пределом последовательности ^ * справедлива оценка

Наконец поэтому /-1 не сводится к постоянной.

Достаточность. Пусть последовательность функций , Где » локально равномерно сходится в С к непостоянной мероморфной функции Для того, чтобы любое компактное подмножество плоскости (С , начиная с некоторого номера, содержалось в области определения каждой функции ^^ , с необходимостью имеем £^ 0 //г-^о/.

Выберем произвольную точку £0бС , в которой Тогда л™ т.) = >0, откуда

Остается заметить, что / и согласно предложению I семейство не является нормальным в точке . в ^

Замечание. Условием ви-р описывается класс

--^ес функций Иосиды /см. [41]/.

Лемма I уточняет результат из [42], поскольку известно [14], что семейство функций не является нормальным в ]) в том и только том случае, когда оно не является нормальным в некоторой точке . Лемма I оказалась полезной при изучении признаков нормальности, которые формулируются в виде условий на распределение значений функции и ее производных /см. § 2, теорема I/. Дополнительное ограничение на сферическую производную предельной функции F) , £ £ (С , не выделявшееся специально в [42], существенно используется при доказательстве теоремы 2, § 3.

Подчеркнем, что наша лемма I, как и результат из [42], появились на основе одного критерия ¿^-нормальности меро-морфной функции [31] .

§ 2. Признак нормальности семейства голоморфных функций.

В этом и следующем параграфах используются стандартные обозначения, общепринятые в теории распределения значений мероморфных функций,/см., например, [7], [17]/. Через А , В , , С- и С 4 в этом параграфе обозначаются некоторые постоянные, не обязательно одни и те же в разных оценках и не зависящие ни от какого изменяющегося параметра, входящего в эти оценки.

Нам необходима вспомогательная лемма.

Пусть функция голоморфна в круге Положим и-у'у, , ,

Лемма 2. Пусть , иг(о)ФО ,

Мо)-г^(0)~т(0)ф0 и , . Тогда

3т ^ §-) + у) + 2 ^ %) + где ,

0<г<Я .

Доказательство. Применим стандартный прием /см., например, [25]/, чтобы получить предварительную оценку роста характеристики /см. ниже оценку /7//. Начнем с равенства

Т(гф = т(г, 4 НАГ*, . /2/

Из свойств функции мСс ) получаем

Сч^К »^(Х + гпСг^), /з/

Согласно оценке, содержащейся во второй основной теореме Р. Неванлинны [7], [17], имеем

4/ пг(гра) + игСг, $ Ы±(1) + ,сс), где Л^Сг) - /У^ + ^ $(г,и) = , + пг (г,^) С.

Учитывая, что функция а голоморфна, и гТ(Х,а) - пгСг, а) - т. (х^)-йьЫоуЦ | 4, Ьь г> из /4/ получаем х^г^х^мг^^^Ц^Ус. /5/

Сопоставляя порядки нулей функций ^ и ц/ , имеем Наконец, из /2/, /3/, ^5/ и /6/ следует оценка

Обозначим через и А/% р + р , состаляющие , учитывающие соответственно только простце и только кратные нули функции ^ , засчитываемые, как и в /^(^Х), по одному разу.

Заметим, что по условию леммы и

ЗЬ! - ф 0 , поэтому справедливо установленное в

24] представление

Используем /8/, чтобы оценить .

Если функция ^ имеет простой нуль в некоторой точке, то в этой точке функции 1ь и /с- голоморфны и, следовательно, голоморфна Зк,'-Икк, # Тогда согласно /8/ в этой точке обращается в нуль функция Таким образом, имеем оценку

Ц^^^зЦ^ТГ^ /9/ тг*, эк'-2кЧгк) + &Мо)-г!м> оценим и ысг^к'-г^-тс) .

В силу того, ЧТО и имеем г $

Л-ЪУЪЫ^ + ууьСЪ^+С. П0/

Покажем, что функция 3 /г/-£ АЛ--/2/С- имеет полюса только в тех точках, в которых обращается в нуль функция V". Каждый полюс функции является полюсом функции Я или полюсом функции /с . При этом каждый полюс функции , очевидно, есть нуль функции , а полюса функции lc , как замечено в [24], могут появиться только в полюсах /ь- или в общих нулях £ и ^ , что в обоих случаях снова дает нуль функции V" . Отсюда, принимая во внимание, что полюса функций /t , 1ь и к- имеют порядок не выше второго, получаем

N(x> /II/

Ввиду того, что u'—гг и i ФО , оценка /II/ может быть продолжена

ZN(%} + /12/

Из /9/, /10/, /II/ и /12/ окончательно вытекает

Каждый кратный нуль функции ¿^ , очевидно, так же есть нуль функции 1Г , поэтому аналогично /II/ и /1&/получаем

Объединяя /13/ и /14/, приходим к оценке

Н(х, I") i т(*,!')+ mfc, I'^Kaft,^) О

Подставляя эту оценку в /7/, получаем требуемое неравенство. Лемма доказана.

Теперь можно доказать основное утверждение § 2. Теорема I. Семейство голоморфных в единичном круге функций, удовлетворяющих условию D , нормально в -D .

Доказательство. Нам нужно показать, что семейство г нормально в каждой точке . Легко видеть, что общий случай сводится к ^ = 0 > поэтому достаточно показать, что семейство нормально в точке £ - 0 .

Предположим противное.

Тогда на основании леммы I найдутся такие последовательности > , , где {урф, и {;п >0 , что последовательность функций локально равномерно сходится в С- к непостоянной (|гункции Сг(^), .В силу предложения 2 функция иг голоморфна. Пусть и- V' и к и и" и у и н •

Так как ¿(&2) , то 5и, как показано в 2 , [24], ЗН -2Н -№К&0 поэтому можно найти точку ^С , Б которой &(&)*<>, и

Положим , Ввиду ТОГО, ЧТО / П-^-оо /, МОЖНО считать, что все функции Н , определены в некотором круге Я . Заметим, что последовательность функций {Ч^ , Ч^Ф " ^пС^п^) » локально равномерно сходится в С- к функции .

I ч (^

Положим далее ^ , ^пг ^уг ^п » и Ясно, что о/ поэтому условие выбора точки позволяет считать, что и*к(0)*0 , ЗМп(0)-211%(0)-12клШО /пем/.

Следовательно, можно применить лемму 2 к Функции , где и .

Теперь нам потребуются два известных результата. Предложение 3./[25], лемма 8/. Пусть семейство функций Ф голоморфных в круге ¡¿1<К не является нормальным в точке £ = 0 . Тогда для любого числа , , и любого натурального найдутся число , » и постоянные А , & и С , при которых оценка тЛч + +С, /,< V выполнена для некоторого бесконечного подсемейства .

Предложение 4 / [25], лемма II/. Пусть

- семейство функций голоморфных в круге (¿(¿К и для любой функции порядок любого ее нуля не меньше р . Если для некоторого С^ , — * - ^ { , семейство ^ф нормально в точке £ = 0 , то семейство Ф также нормально в точке ^ = 0 ,

Согласно предложению 4 из нормальности семейства вытекает нормальность семейства и, следовательно, семейства , откуда в свою очередь вытекает нормальность семейства • Нетрудно видеть, например, из леммы I, что семейство в СИЛУ исходного преположения не является нормальным в точке у0 , поэтому и семейства и \Щг\ не могут быть нормальными в точке ¡е = 0 .Но тогда на основании предложения 3 из последовательности { З'лЛ можно выбрать подпоследовательность /обозначим ее снова через п^ /, для которой справедливы оценки

П. щр)А (г2,ип-0 + В & ^ + с, т (г,, 4 А и Т(ЧЪ)+ & ^Т^г; С, где ^ ^ ^ < <^ ^ ^ и Р< * рх не зависят от ^ •

Покажем, что в этих оценках можно заменить Т(^г>иа)» ТС^и^и на

Разберем случай с ТО^,*^) . Для упрощения записи опустим у- £ индекс а . Возьмем ^ 2 . Мы имеем ]

5 «

Далее 2. откуда п+ТСс3йг+м(с3, |-)+, |) + )+£ /17/

Кроме того,

А^ТСг^+б^тгр^ С, Л8/

Из /17/ и /18/ имеем

Т(гЪ7тг) ± + + с) + /19/ < 2 йгЛ^г*" Т(хг,у)+2.+ +

Согласно /16/ и /19/ получаем ю ^ * А № ТСгг0) + в /я/А ^ + С. /20/

2/3 3 1

Из элементарного неравенства Ах^х имеем в + вЛ^г, <В(+В) что вместе с /20/ дает нужную оценку.

Случай с разбирается аналогично, очевидно, можно заменить на "Т"(''Ъ2>цГ1)#

Таким образом, из оценки /15/ получаем

А + Е> V ^ + С + ^(о), где ^ и ^ , не зависят от Л .

Члены Т^О) » N , ограничены сверху в совокупности, так как а/ 1^(0)1 Ф(у1+С ; б/ в силу соотношения ЬГ1М-1г(—5- Ц(%,+ ¡п. и*. имеем Ц и'Л(о) гп и.'п(о) и (У и '(&) С в/ -¿п. 6г.

Окончательно получаем

ТСч^л^ Л +£> & тфь,+С, где ^^ Ъ1< и у?, , не зависят от .

Отсюда /см., например, ^253/ заключаем, что /21/ где < Я и р1 , не зависят от И. .

Ввиду оценки /И, с. 54/ из /21/ следует равномерная ограниченность всех функций М » а значит и всех функций ^ , пеМ 9 в некоторой окрестности точки £ = 0 , что противоречит исходному предположению. Теорема доказана.

Отметим, что метод,использованный в [25] для получения равномерной оценки "начального члена", то есть члена типа нашем

О/, в^лучае неприменим вообще или, по крайней мере, очень Зп. сложен.

§ 3. О кругах однолистности мероморфных функций. Во введении были определены постоянные дс = где нижняя грань берется по всем мероморфным функциям

Лд)- 5и.|) |о( ^ нормально в ])} .

В связи с гипотезой А. Блока было.бы естественно ожидать, что при любом о( ^ семейство ^ нормально в I) Связь между постоянными Д^ и устанавливается в следующей теореме.

Теорема 2. Дс - . Существует мероморфная функция С , для которой Замечание, Метод доказательства второй части теоремы 2 аналогичен методу из работы [37], в которой строилась экстремальная функция Блока.

Предварительно докажем лемму.

Рассмотрим последовательность мероморфных функций { . Пусть для каждого М- функция определена в области

Сг^ С- €>, причем любое компактное подмножество К некоторой области с С начиная с некоторого номера, принадлежит каждой области & .

Лемма 3. Если последовательность функций ^ ^^ локально равномерно сходится в области (? к функции ^(Х) то п. - оо

Доказательство. Случай очевиден, поэтому пусть Д(££-)>0 . Возьмем произвольное число ,

О < <¿1 < А^С-) , и найдем точку & , в которой

Пусть далее <кл < с(г< . Область & СИ) ^ г(1) содержит односвязную область такую, что ь- , однолистна в и для любой точки имеем

Аналогично определим область в- через о(я . Ввиду соотношения с^ ^ ^^о) замыкание области принадлежит области Функция 1 однолистна в Сг , поэтому в силу предложения 2, начиная с некоторого номера, каждая функция ^ однолистна в (г1^ . При £ £ ^ ^ имеем г. откуда п, —»-со т/г

Следовательно, и, так как <кл выбиралось произвольно, приходим к нужному неравенству.

Доказательство теоремы 2. Если <к > Л , то семейство ^ не является нормальным в I) и по лемме I существуют такие последовательности , и » рДе что последовательность Функций {^гь} » ^ = локально равномерно сходится в С* к некоторой функции , По лемме 3 имеем

Д(Р с) * ^иг где ' > ^ . Легко видеть, что дО'п.^Ь Л

Следовательно, д с 4 д , С) А Л п>1>) « •

Таким образом, для любого числа , с( > Д^ , имеем откуда Д^^Д^. Пусть теперь с( >А^ , Тогда найдется мероморфная функция рф соП/>£ 9 удовлетворяющая условию Выберем произвольную точку 6 С , в которой Р*(%о)>0 , Для любого числа ^>0 функция ^6 ^ » принадлежит семейству ^ .

Кроме того, откуда

Ъ*(0) ¡Ъ-^оо /.

Согласно предложению I семейство ^ не является нормальным в D , что влечет с( ^ Д^. Следовательно, А^^Д^ .

Учитывая, что ранее было доказано противоположное неравенство, имеем Л€ - Д^ .

Как показано выше, в силу лемм I и 3 для всякого числа oi > Ajj существует такая мероморфная функция , что Л (Fdy<E)¿:ol , причем Slc р i ъ FT(0)=i

Возьмем последовательность чисел » o(n-^¿\/л —5"е*э /. По предложению I из последовательности функций можно выбрать подпоследовательность, локально равномерно сходящуюся в С к функции F(^) , . Функция г не равна тождественно постоянной, так как

F*(0)= Ьлп Ff (о) = i.

П -roo o(av

В то же время в силу леммы 3 и равенства Д^ - Ар имеем поэтому A(F\,<D) = Д^ .

Теорема доказана полностью.

В точности так, как определялись постоянные Д^ и Д^ , определим постоянные А0^ и Д^ , наложив дополнительно на рассматриваемые функции условие локальной однолистности: где нижняя грань берется по всем мероморфным в С локально однолистным функциям, и

Др - { нормально в D } , где - семейство мероморфных в D локально однолистных функций , удовлетворяющих условию деры.

В силу предложения 2 равномерно сходящаяся в некоторой области последовательность локально однолистных функций имеет в качестве предела локально однолистную или постоянную функцию, поэтому все рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 3 и теоремы 2, остаются справедливыми, если на функции наложено условие локальной однолистности. Таким образом, имеет место равенство Д^ = Д^ . Из работы [36] и предложения I непосредственно вытекает, что А]}*, и, следовательно, Д ^ = ^ . Точное значение постоянной А°€ впервые было найдено в работе [35] /см. также [ЗЗ]/.

Доказываемая ниже теорема 3 уточняет нижнюю оценку величины Д(£<С) мероморфной функции ф соил/ , при ограничении на рост числа точек локальной неоднолистности функции в круге при а—.

Нам потребуется лемма.

Лемма 4. Пусть 1Л(£) , Ь >,0 , - положительная локально абсолютно непрерывная неубывающая функция и , Ь>0 , - неотрицательная локально интегрируемая функция. Тогда для любого множества Е [о, о°) конечной меры справедливо неравенство

Доказательство. Зафиксируем множество конечной меры. Для произвольных чисел А и Ъ , О^А^В , положим г/, х ¡и М)и(-к)сИ Г (А в) а ***с'

•"а ее ЫЕ '

Покажем сначала, что

Лж г (0,т) ^ Ьлк IslI^ML . /22/

T-+OQ Т Т

Достаточно рассмотреть случай -Eiwi 1(0^Г) > 0 . Возьмем

-р -—ОО произвольное число о( , 0 < </ < -шъ / (0}Т) t Пусть Т4=0 , если 1(0 Т~)>d для всех Т">0 , и Si>cpIiOj)^} в противном случае. Тогда для всех Т~>Т, имеем

Г(т<, TW. Зафиксируем произвольное число Т2 , » и для всех t е (о положим

Ч> (t > = и. (tT, + М-т)Т2) {^(tT, ^ f

Функция ¥ не убывает и ограничена в интервале (0,1) ; кроме того, для любого (0,4) имеем Л

I f(T)cir>0. X

Согласно [ie] /упражнение 399/ имеем

I Y(t)4-(TJ Z(L£(t)-d) dt > О. о т,

В силу выбора получаем т-+оо T-Ti т-^оо Т откуда ввиду выбора о^ имеет место /22/. Докажем далее, что

I(о,Т) ~ && 1(0,Т). /23/

Т-> оо

Для этого достаточно показать, что для любого числа Т\>0 и любого £ >0 найдется такое число Е } , что

Положим Т/=Ьи^{Т:Т>Т, . Интервал (ТЪТ/) , возможно вырожденный, принадлежит множеству /Г , поэтому

- 1(0}~Г^) . Остается заметить, что функция I (0, ~Г) непрерывна по Т и пересечение сколь угодно малой окрестности точки Т!/ с множеством Е не пусто.

Отметим, что соотношения /22/ и /23/ справедливы для произвольного измеримого множества Е • Пусть я о

Предположим, что утверждение леммы не выполняется. Тогда найдутся такие числа ¿>0 и Т| > О , что

4 У(Ь) } £ >Т< , /24/

По условию леммы существует такое Та > 0 , что для всех имеем

ГиС^АС^ + ( иСЫ-Ь. /25/

0 0 Г ^

Ввиду /25/ для любого Т ^ ^^^ ?Т2), проинтегрировав

24/ от Т^ до Т , получаем е + О 1 ы(МЬ

Из последней оценки следует

Ьаг)Ги(Ыи { ГиС*)^, г ■'т4 тч ¥ 'о

0 + 1 к где = -г-^т" < 1 , откуда е + £

-йт 1(Т<,Т) /26/

Ясно, что г&т КТ1?Т)= 1(0Т) } и в силу /26/ получаем

1(0,Т)>0. /27/ ооД"^ £Г

С другой стороны, учитывая /22/ и конечность меры £~ , имеем т 1(0,т)=0, т -¿-¿о что ввиду /23/ и /27/ приводит к противоречию.

Теорема 3. Пусть ^ - непостоянная мероморфная в комплексной плоскости функция. Если где В - некоторое множество конечной логарифмической меры, то

Доказательство. Пусть область

Сг), г 0 , состоит из точек круга 12^^ за исключением точек, в которых принимает кратные значения. Пусть далее

-'о о о обозначают соответственно длину границы и площадь образа области G-Ct) на поверхности . Как показано в [i], вне некоторого множества d о<э) конечной логарифмической меры выполнена оценка L(l) {¿>(1)} fc-^o /. Из того, что и %

J0 aeCL CL€£L в силу леммы 4 следует, что вне множества Е VE-i лежит последовательность чисел {t^ > ^j, /j- —^^ /, удовлетворяющая условию

Согласно [2"] /с. 23, теорема 2.4.1 при к-М / имеем 4- Л (fGCi)) > <ш%-^ /28/ где - характеристика области . Число точек в круге , в которых -f принимает кратные значения, не превосходит » поэтому i - и, следовательно, aeSl 7 у

Подставим последнюю оценку в /28/ и устремим £ к бесконечности. Учитывая, что 1*(Ъ£)~д{¡¡(Ъ^ I£ /, получаем требуемое неравенство. Теорема доказана.

Предположим, что сумма дефектных значений функции ^ больше или равна сС , где сС^.2 . Тогда в силу второй основной теоремы Р. Неванлинны [7], условие теоремы 3 выполнено с в = 2-сС . Таким образом, справедливо

Следствие. Если сумма дефектных значений мероморфной функции ф сОПьЬ , , не меньше с( , где с1<1 , ъо

Теорема 3 уточняется, если всякое кратное значение функции ^ имеет порядок не меньше р . В этом случае в обозначениях из доказательства теоремы 3 имеет место оценка которая позволяет получить неравенство

Нужно отметить, что это неравенство с @ = £ можно доказать с помощью метода из работы

36] /см. [33] /.

В силу второй основной теоремы Р. Неванлинны для любой мероморфной функции , условие теоремы 3 выполнено с 0 - & , а в случае локально однолистной функции ^ оно, очевидно, выполнено с 0 ~ 0 , поэтому теорема 3 содержит оценки "з и Д^ £ ^т .

Основные результаты первой части опубликованы в работах автора 2* и 4*.

Ч А СТ Ь II.

§ 4, 0 поведении функций, нормальных относительно непрерывных подгрупп, в точках пространства макси

Ноо

В этом параграфе используются известные результаты о строении пространства максимальных идеалов 'УУС алгебры И /для ссылок см. [21] /. Напомним только, что существует естественное гомеоморфное вложение круга I) в с сохранением аналитической структуры [8}, позволяющее рассматривать функции в I) как функции, определенные на соответствующем подмножестве пространства /У№

Для произвольного числа Ъ > О и произвольной точки ¿¿I) положим . При любом г>0

С $ область Д^СО3 М Л) инвариантна относительно

И -1<а<<

-гв любого преобразования из группы | ^ и область

Др(х)= ^ ил<„®(оС=1>г) инвариантна относительно любого преобразования из группы . Каждая область Д0иОО ограничена двумя гиперциклами, проходящими через точки е.1 и -е16 , а каждая область ограничена двумя орициклами, касающимися единичнои окружности в точке О Предложение 5 [б], [ю]. Мероморфная функция I, ф • I 0 является Тц -нормальной /соотв. 1 р -нормальной/ тогда и только тогда, когда для любого *С>0 имеем иф < 00

2€Д0И(Т>) соотв.

SLOP в-lzh < ОО /а

Регулярную точку U.€ 71ft \Z) отнесем к множеству Hq /соотв. /, если при некотором t>0 точка СО лежит в замыкании в топологии иг множества /соотв. в Н Ар(г) /.

Замечание. Все утверждения в §§ 4, 5 доказываются только для Т9Н -нормальных функций. Доказательства соответствующих утверждений для ~Гр -нормальных функций проводятся

-в

Л | вполне аналогично.

Теорема 4. Непрерывная функция ^ является Тм -нор

-г 9 мальной функцией /соотв. I р -нормальной/ тогда и только тогда когда ее можно непрерывно продолжить на множество HQ /соотв. р0 /.

Доказательство теоремы 4 проводится по схеме, предложенной в [21] , и опирается на следующие утверждения.

Лемма 5 /ср. [29] /. Непрерывная функция является Т9Н -нормальной / Тр -нормальной/ в том и только том случае , если для любого %>0 она равномерно (d,lP) -непрерывна в области /Д0р(Ъ) /.

Лемма 5 немедленно следует из теоремы Арцела [9]. Для произвольного множества X ^ D через К обозначим множество лежащих вне D регулярных точек пространства TTt , принадлежащих замыканию )(

Предложение 6 / [2l], теорема 3/. Пусть X и Y подмножества J) . Пересечение X и 1 не пусто в том и только том случае, если для любого Ъ о <ъ<i , и любого £ >0 найдутся такие точки Х€ X и Y , что х|>г , |у|>г и бЧх;(р<е.

Доказательство теоремы 4. Для непрерывной функции ^ и точки и, е Цф положим а {(упд) , где V пробегает все окрестности точки Ц. и %(\[(\Ъ) обозначает замыкание множества ^(УП В) . Множество не пусто как пересечение центрированной системы компактов [9].

Пусть £ - непрерывная Т^ -нормальная функция. Предположим, что множество СС^и) содержит хотя бы две точки и Ь/^ , где При некотором 1> О точка Ы лежит в замыкании множества . В каждой окрестности V" точки и. выберем такие точки и , что % и Р^у)^)*^ . С некоторого момента направленности и I лежат в

Дв (Ъ-М) , так как в противном случае существовала бы наб правленность, сходящаяся к И и лежащая вне , что невозможно в силу предложения 6. Согласно лемме 5 существует такое число £ > 0 , что для любых точек ^ъ^ А^ХН) , ¿(^^я)4-" , имеем * Снова в силу предложения 6 найдутся такие точки и ^г^-К^у} » что и . Приходим к противоречию: ^ -V

3 3 3 •

Таким образом, при Ц € Нд множество состоит из одной точки. Определим функцию £ на множестве полагая ¿¿Б , и 4(ц)=С(£и) , 1ЛбН$ .

Если функция ^ не является непрерывной в некоторой точке а £ Нф , то для некоторого числа £ >0 в каждой окрестности точки И можно выбрать такую точку

-л

Цу-вУоНд, ЧТО } С другой стороны, ДЛЯ каждой точки 1ЛЛГ ввиду вырожденности множества Цу) о \ £, найдется точка € У^З) , для которой Р(£(/ку)/< ¿г.

Тогда имеем направленность у} , сходящуюся к М" , и ?($"), }сиу))-г- /М> |, что противоречит вырожденности множества . Следовательно, функция ^ непрерывна на ]) ^ Ид

Обратно. Если непрерывная функция £ не является

Т0 -нормальной, то по лемме 5 при некотором ^>0 в Д^ОО лежат последовательности точек и , удовлетворяющие условию / и где 6 не зависит от /1 .На основании предложения б некоторая регулярная точка ¿-С лежит в замыкании каждой из последовательностей и ^ .

Тогда множество СС^р14-) содержит по крайней мере две различные точки и, следовательно, функция / не может быть непрерывно продолжена в точку Сс Теорема доказана.

Теорема 4 точна в том смысле, что существуют мероморфные Тн - и Тр -нормальные функции, не допускающие непрерывного продолжения ни в какую точку, лежащую соответственно вне множеств Н^ и Рф . Построим мероморфную нормальную функцию, обладающую указанным свойством.

Зафиксируем отличное от тождественного преобразование . Пусть I обозначает дискретную группу, порожденную преобразованием . Пусть далее область является фундаментальной областью для Г . Выберем в Сг две непересекающиеся последовательности точек » не имеющие предельных точек в ]) и обладающие тем свойством, что для всякого числа <5 >0 при некотором область Сг содержится в каждом из множеств римановой по

1С верхности -Щ-1 последовательностям и соответствуют последовательности точек { и , не имеющие предельных точек на ])/п . На поверхности В/р существует мероморфная функция , нули и полюса которой в точности совпадают соответственно с и \ Г^]*

Отсюда следует, что существует автоморфная относительно Г мероморфная в I) функция , множества нулей и полюсов которой суть и

Для некоторого числа Ч^ > 0 каждое из множеств и ©Со д И у содержит весь круг ]) , откуда

ОС € X 1 всякая точка из /7ГС , не являющаяся регулярной, лежит в замыкании каждого из множеств X и У . Следовательно, функция ^ не может быть непрерывно продолжена ни в одну такую точку.

Для произвольной регулярной точки И возьмем направленность ^ £ у } , ^2 , сходящуюся к и . Для каждой точки ¿у выберем из множеств X и У ближайшие к ней точки ОС у и ^у • Заметим, что для любого X > О направленность ) £у } с некоторого момента лежит вне Д^нСО » так как в противном случае существовала бы направленность {¿у} , —> и , лежащая при некотором г'>0 в А^С"*/) , что противоречит выбору точки и Поэтому в силу построения множеств X и У имеем и уЦу^^О» На основании [21]/лемма 6/ получаем Ху —, ^у ^ . Таким образом, в любой окрестности точки и, функция принимает два значения

0 и и, очевидно, не продолжается непрерывно в такую точку.

Наконец, для всякого числа найдется такое число г{>0 , что и А 1(1) . откуда Г

Г-оо и согласно предложению 5 £ является Тц -нормальной функцией.

-Т-в

Мероморфная I р -нормальная функция, допускающая непрерывное продолжение в точности на множество Рл , строит ится вполне аналогично.

Из теоремы 4 нетрудно получить, что непрерывная функция ^ принадлежит классу /соотв. в том и только том случае, если она непрерывно продолжается на множество и н„ соотв. и РА /. Однако, как утверждает-0^О<1ь у о<.0<гт1 17 ся в теоремах 5 и 5», не существует не только мероморфных, но даже непрерывных функций в классах к* и J , допускающих непрерывное продолжение в точности на множества и и гЛ соответственно. Обозначим через множество регулярных точек в слое пространства ТТЬ над точкой . Ясно, что

Теорема 5. Пусть непрерывная функция £ принадлежит классу . Тогда на единичной окружности лежит такое остаточное множество

А=А(Я типа , что функция | непрерывно продолжается на множество множество Сгф I) Ьд^ содержит точку , в которую ^ не допускает непрерывного продолжения.

Замечание. Множество А ввиду того, что

Н д ^ У ^в+К 9 вмес,ге с каждой точкой содержит точку .

Теорема 5». Пусть непрерывная функция принадлежит классу . Тогда на единичной окружности лежит такое остаточное множество А - А(^) типа О, что функция / непрерывно продолжается на множество/ V (тЛ^к У РЛ I

0 Ал *:е"'в£А и для любого У , е т п. , множество содержит точку, в которую ^ не допускает непрерывного продолжения.

Доказательство теоремы 5. Зафиксируем число 2 >0 . Для каждого 0 и натурального У1 положим

Пусть далее

Ясно, что значения функций , N , в каждой точке не возрастают с ростом П , ив силу леммы 5 для всех УЬ имеем ¥>,($)-() . Нетрудно видеть, что каждая функг—гоо п ция V7 полунепрерывна снизу, а функция Ч* полунепрерывна сверху. Покажем, что множество А - {в6, удовлетворяет всем требуемым условиям.

Предположим сначала, что существует регулярная точка 1А€ £ У » в которую ^ не продолжается непрерывно. Тогда найдутся направленности , 5 и ,

V , сходящиеся к и , такие, что —^ ^ и где Ж^^г) . в силу предложения б из этих направленностей можно выбрать пару сколь угодно О близких точек и , лежащих в Дн00 при дГ сколь угодно близкой к 0 . Следовательно, в любой

1Гееуд»Р"ка«!И

ЕЖЯГ.ОТЕКЛ

I СССР | окрестности точки в для любого натурального N нда-дутся такая точка д' и такой номер п.>М , что .

Таким образом, для любого П имеем ^{¿т ^(в')^ »

С л / /\ откуда .

Пусть теперь Ч/(0)~£>0 , В этом случае для любого натурального П имеем -&т Ь и можно выбрать две в'—"О п последовательности точек {¿Щ , п> -У » стремящиеся одновременно к в или к - & и удовлетворяющие условиям /п-****3 /9 .В силу предложения 6 существует регулярная точка и€ 6-ф О , лежащая в замыкании каждой из последовательностей [х^] и • Очевидно, что не продолжаете я непрерывно в точку и .

Продолжив в точки множества и (Оги& и Н \ » нетрудно, как и в теореме 4, показать, что продолженная функция непрерывна.

Множество А имеет тип , так как функция V оо | :л 1 полунепрерывна сверху и А - Л 4в : 4;(0)<-т:К

К'

Наконец, если дополнение к Д является множеством второй категории, то найдется такое натуральное К0 , что множество (9 • ^(в)^ ^ ^ плотно в некотором интервале (ф-Ь^г) . Тогда в этом интервале плотны открытые множества {е : , 1геN , а множества {&: ^(в)^ замкнуты и поэтому нигде не плотны в интервале }0г) • Следовательно, интервал С^,^) не может содержаться в объединении V ^(Ф^тг^П , что противоречит условию П ; ^п-С©^ - Ф > вытекающему из соотношения

§ 5. Граничные свойства мероморфных функций чр* ф* из классов Ли-'

Напомним два понятия из теории предельных множеств. Последовательность жорданоязых дуг ^ , I) , называется последовательностью дуг Кёбе, сходящейся к граничной ДУГе если

Хп с {* • П {2: 0г£а<ал^2 < ? где произвольная последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю, и существуют такие последовательности точек , » и » , что

Говорят, что комплекснозначная функция имеет асимптотическое значение в точке В , если для некоторой непрерывной кривой ¿("О6.2) /0 - ¿</ /, существует конечный или бесконечный предел

Известно, что если для произвольной мероморфной нормальной функции имеем где " последовательность дуг Кёбе, сходящаяся к некоторой граничной дуге уЙ^я) > то 0 [з], [19]. Известно также, что каждая голоморфная Др -нормальная функция содержится в классе Мак-Лейна, то есть имеет асимптотическое значение в каждой точке некоторого множества, плотного на единичной окружности [з], [19]. В этом параграфе будет показано, что мероморфные функции из классов и $ сохраняют сформулированные выше свойства -нормальных функций.

Для этого воспользуемся следующей простой леммой, доказательство которой опирается на известный в теории предельных множеств прием.

Лемма 6. Пусть мероморфная функция ^ принадлежит классу Н* /соотв. р* Тогда для произвольного числа 0 любой интервал содержит такой интервал у^г ) , что

I 1 ' н ■> соотв.

Доказательство. Зафиксируем число и интервал

17^2.) » Согласно предложению 5 для любого 0 получаем

Далее имеем

АК^е-.ссенк}; следовательно, при некотором к0 множество плотно в некотором интервале С. • ИнтеРвал искомый, так как ^ денСО с и д* (г).

Теорема 6. Если для мероморфной функции <И1 /соотв. / имеем где ~ последовательность дуг Кёбе, сходящаяся к некоторой дуге ¡¡(01,0г) »то • Если Функция Ж* соотв. •А/ голоморфна, то она принадлежит классу Мак-Лейна.

Доказательство. Зафиксируем произвольную мероморфную функцию Ж* и произвольную дугу уСО^уО^) . На основании леммы 6 для данного 1>0 интервал (0-(>вц) содержит такой интервал бХу^} , "что где Сг - . У Пусть Ч5 обозначает некоторое в «2. конформное взаимно однозначное отображение крута Д) на односвязнута область & . /Для ¿Р* область и дд(г) не обязательно односвязна, но содержит односвязную область , граница которой включает в себя дугу По теореме Каратеодори

23],

§ 343, отображение Ч7 продолжается до гомеоморфизма замкнутых областей В и б . Положим =■ /(Г (2)), • В силу леммы Шварца-Пика

23], § 286, имеем l<fte)l , i откуда

Таким образом, Cj, - /2^-нормальная функция. Через обозначим прообраз дуги oU) при отображении ¥ .

Предположим теперь, что

CiAYV (such 1= О, где ~ последовательность дуг Кёбе, сходящаяся к дуге

• Прообразы дуг ^ > К- б IV , при отображении ^ содержат последовательность дуг Кёбе > л, сходящуюся к дуге . Ясно, что

Лллпп. (sum |а(*)|)=0

П-*оо <г и, так как - ^-нормальная функция имеем 0 ; следовательно, = 0 . Первое свойство установлено.

Пусть теперь голоморфна. В этом случае голоморфна

-нормальная функция . Но тогда имеет асимптотическое значение в некоторой точке е"* ^^W/joijJ)» а (■ имеет асимптотическое значение в точке ffe^) £ jJ) .

Так как ~ произвольная дуга, то ^ имеет асимптотическое значение в каждой точке некоторого множества, плотного на единичной окружности. Теорема доказана полностью.

Из второй части теоремы 6 в силу /теорема 9/ вытекает

Следствие. Пусть голоморфная функция ^ принадлежит классу

Ж* или классу . Если sop «*э on. где {^п.} " последовательность дуг Кёбе, сходящаяся к дуге и постоянная С не зависит от It , то для любой точки имеем

-^•JiooUC. г

Напомним, что В -последовательностью точек, сходящейся к граничной дуге \(Q<ty $2) , называется последовательность точек , liKl —/к —/, лежащая на некоторой последовательности дуг Кёбе > сходящейся к дуге » и удовлетворяющая условию $Lup 6осп Цг| d( % , < •

Известно, что для голоморфных ¿¿¡^ -нормальных функций аналог следствия из теоремы 6 остается справедливым, если потребовать ограниченности функций только на $ -последовательности точек £4]. С другой стороны, в классах ЗЕ и

ЦР*~ существуют голоморфные функции, ограниченные на & -последовательности точек, но не ограниченные ни в какой окрестности предельной дуги этой В -последовательности.

Укажем соответствующие примеры.

Зафиксируем произвольное число 1 > О . Области ДцОт-) и Д°р(г) состоят из точек единичного круга, лежащих на расстоянии меньшем *Ь в метрике оС ё от диаметра 6- 4,1) и орицикла соответственно. В силу этого существует В -последовательность точек , сходящаяся, например, к дуге я) и лежащая вне каждой из областей д°н(г) и .

Пусть Е(иг) , ге-вС , - непостоянная целая функция, ограниченная вне полуполосы П ~ С^

17], с. 126. Положим к(г)= Е(С1Т рМ=Е(о гх егг+1 / . е4г4\' где , и с^алс^^-^ .

Полуполоса П является образом области Др(г)П : >0}при отображении + % и образом области при отображении т^ . Отсюда следует, что каждая функция 1ь и э /-¿с р ограничена на В -последовательности и, кроме того, функция К, принадлежит классу че* , а функция ч у принадлежит классу »У . В то же время //? О)/-00 ^ ^ —/ и р(*)1 ~ 00 •

§ 6. Критерий абсолютной гипернормальности.

Пусть и - области на комплексной плоскости , - семейство аналитических отображений области в область и ^ - мероморфная в области функция. Как отмечено во введении, о семействе $ предполагается, что для любой точки ¿£€6% существует отображение 6в , для которого . Кроме того, мы будем считать выполненным естественное условие

Будем говорить, что голоморфная функция обладает свойством /А/, если существуют комплекснозначная функция , , и непрерывная неотрицательная функция М ОО , ££ такие, что для любого отображения 4 6 и любой точки £ 6 Ог^ справедлива оценка С-50Е» Ь'(Х) - ^ М (2), /29/ и свойством /Б/, если для любого компактного подмножества К области Сг. функция % ограничена на множестве

Теорема 7. Любая 3 -АШ функция ^ голоморфна. Голоморфная функция ^ является $ -АГБ функцией тогда и только тогда, когда она обладает свойством /А/.

Доказательство. Пусть ^ - произвольная $ -АГН функция. Предположим, что ^ имеет полюс в некоторой точке ЬГо*0г2. Пусть » • Ввиду определения абсолютной гипернормальности имеем Последовательность функций , » (4 * = £ принадлежит семейству } однако из этой последовательности, очевидно, нельзя выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся в какой-либо окрестности точки Получено противоречие. Таким образом, функция <Р голоморфна в (ту .

Покажем теперь, что произвольная голоморфная $ -АГН функция обладает свойством /А/.

В силу предложения I существует такая непрерывная неотрицательная функция М^ОО , , что для любой функции аЬзсооЦзф имеем Зафиксируем отображения и положим где иб^ и + 0 . Пусть далее

Мы имеем откуда при ^ ~ и. получаем а^исц))^)^^^))^»!^ /зо/

В дальнейших рассуждениях выделим два случая.

Предположим сначала, что функция ^ обладает свойством /Б/. Из оценки /30/ получаем

Ввиду исходного предположения о семействе £ существует такая непрерывная положительная функция №.(£) , } что для любой точки и^О} найдется отображение 6и€$ , удовлетворяющее условию

Сопоставите каждой точке и- € Сг фиксированное отображение удовлетворяющее указанному условию. Полагая в /31/

V** и , получаем - 1) ^ /32/ где М;, Ы = Так как функция | обладает свойством /Б/, то существует такая непрерывная неотрицательная функция М^С^) , » что для любого отображения -4 6 имеем

Следовательно, из /32/ получаем где причем в качестве можно взять любое отображение 3 £ ^

Пусть теперь функция ^ не обладает свойством /Б/. Тогда найдутся компактное подмножество К области и последовательности точек ^цД , ^^К , и отображений

Им такие, что ^(¿^Ое,^ —> «*>

П>-+со /. Последовательность функций ^об^} как содержащаяся в аМсоогЬ^ф нормальна в области Сгу

Поэтому, совершив при необходимости переход*к подпоследовательности, будем считать, что последовательность локально равномерно сходится в бу и /П. /. Отсюда имеем дг—>оо /г—

В силу голоморфности каждой функции » М , из предложения 2 в любой точке ^ £ получаем

Подставляя в оценку /30/ отображения » имеем '1 +±\ .

Ли«» ^с«» I 1 млу«лШ«#33/

Отсюда , устремляя \/Уь и ^ к бесконечности, заключаем, что существует конечный предел м ^^-е^ Рсьмна*) /34/

1 + {(Лп.М) ' '

Заменив далее в /33/ на произвольное отображение и переходя к пределу при П-^-оо , в точках ц€ ^ , в которых

0 , приходим к оценке /29/. Наконец, для произвольной точки £0€ Сг, можно найти такое отображение , что £$0 • Тогда, как уже доказано, в некоторой окрестности точки справедлива при 4 = оценка /29/, из которой вытекает неравенство

Правая часть последнего неравенства ограничена в некоторой окрестности точки . Следовательно, функция Цл^ , входящая в оценку /29/, локально ограничена в области .

По непрерывности отсюда следует, что оценка /29/ справедлива для любого отображения также в тех точках осе где

Остается показать достаточность свойства /А/. Это следует из предложения I, так как для любой функции п ^ =21. /о^ , имеем п. I а К11 амл/*))12

К=' где функции М и, как показано выше, локально ограничены в области

Замечание. Отдельные части доказательства теоремы 7 взяты из работ [18], [п] .

Мы видели, что функция обязана быть локально ограниченной в области . Более сильные условия на функцию {Ц^ получаются, если -АГН функция ^ не обладает свойством /Б/,

Теорема 8. Пусть 0 -АГН функция ^ не обладает свойством /Б/. Тогда функция ^ определена единственным образом и голоморфна. Если дополнительно (?л - и отображения семейства образуют полугруппу относительно суперпозиции, то для любого отображения 56 $ функция удовлетворяет соотношению

Доказательство. Как видно из доказательства теоремы 7, в рассматриваемом случае существует такая последовательность отображений = {¿^ , что последовательность функций локально равномерно сходится в области Су к бесконечности. Кроме того, с помощью любой последовательности отображений » удовлетворяющей в каждой точке условию

00 /П.-+-СО функция ^ может быть определена по формуле /34/. В то же время из оценки /29/ в виде ¿¿СО . - М(г) где $^ , получаем, что функция (Ц £ обязана удовлетворять /34/. Это означает единственность функции ¡(А^ .

Покажем, что ¡и^ голоморфна в Су . Зафиксируем произвольную точку £ и рассмотрим в области последовательность функций » а (*\ Л ^ а

З^Тмя ' л '' лх

Применяя сначала неравенство а. < ¿г у / х >0 ,

0 / и далее в силу /29/, имеем у 2

4 f I | ^

1 (МСо+!«Ц .

Согласно предложению I из этой оценки следует, что последовательность [ $ пЛ содержит подпоследовательность ' локально равномерно сходящуюся в области Так как на любом компактном подмножестве К области 0гА для всех достаточно больших п функция не обращается в нуль, голоморфна и ^^(Л?)- 1 , то по предложению 2 последовательность сходится к голоморфной функции , , не обращающейся в нуль в области Су . Остается заметить только, что

Пусть теперь =• и отображения семейства 0 образуют полугруппу относительно суперпозиции. Зафиксируем произвольное отображение 6 6 ¡5! . Для каждого П. положим 5^6?)= . Тогда и для любой точки ^ € 6у имеем

П /, откуда ^ П^Шкт = ,

Следствие. Если -АГН функция ^ не обладает свойством/Б/, то где се£ . Если Тр-АГН функция ^ не обладает свойством /Б/, то сС^-Л) , гдн С€С .

-рО

Доказательство. Применяя теорему 8, для I н -АГН фикции ^ получаем

-рО и для I р -АГН функции С^. получаем

OL-tL)Z-CL \ ,. ч2 / л

-^iT^rnfi у ft-A+az) -oo<a<~

Остается положить 3? О и продолжить исследуемые функции в единичный круг соответственно с диаметра и орицикла =■ \

Отметим, что для любого числа с € (С существуют T^j -ATE функция -f и Тр-АГН, функция Q , не обладающие свойством /Б/, для которых A4e>fe)z и

-Z u^(Z) =r 2) .В качестве таких функций можно взять, например, бП= ехр / £ } > если . если , и = ехр{стЬъ} , если JmCfQ , fte^JL- , если ГУ/иС^ .

Основные результаты второй части содержатся в работах автора I* и 3*".

ЛИТЕРАТУРА

1. Альфорс Л. К теории поверхностей наложения. - Успехи матем. наук, 1939, вып. У1, 222-250.

2. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Л.: Наука, 1980. 288 с.

3. ГаЕрилов В.И. 0 множестве угловых граничных значений нормальных мероморфных функций. - ДАН СССР, 1961, т. 141, Jê 3, 525-526.

4. Гаврилов В.И. Пределы по непрерывным кривым и последовательностям точек нормальных мероморфных и обобщенных мероморфных в единичном круге функций. - Вестник Моск. ун-та, Сер. мат., мех., 1964, № 2, 30-36.

5. Гаврилов В.Pl. Нормальные функции и почти периодические функции. - ДАН СССР, 1978, т. 240, В 4, 768-770.

6. Гаврилое В.И., Буркова Е.Ф. 0 мероморфных функциях, порождающих нормальные семейства на подгруппах автоморфизмов единичного круга. - ДАН СССР, 1979, т. 245, В 6, 1293-1296.

7. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 с.

8. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЙП, 1963. 312 с.

9. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

10. Лёвшина Г.Д. 0 мероморфных функциях, нормальных и гипернормальных относительно подгрупп конформных автоморфизмов единичного круга. - ДАН СССР, 1980, т. 252, й 3, 539-542.

11. Лёвшина Г.Д. Функциональные свойства и граничное поведение липшецевых пространств голоморфных функций: Дис. канд. физ.-мат. наук. - М., 1981. 74 л.

12. Ловатер А. Граничное поведение аналитических функций. - В сб. Итоги науки ж техники. Математический анализ, т. 10, 1973, 99-259.

13. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.: Мир, 1966, 102 с.

14. Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. M.-JL: ОНТИ, 1936. 240 с.

15. Форстер 0. РиманоЕЫ поверхности. М.: Мир, 1980. 248 с.

16. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ГИШ1, 1948. 456 с.

17. Хейман У.К. Мероморфные функции. М.: Мир, 1966. 288 с.

18. АпЛеЪбоп J.M.у Ruie€ L.A. ИЩэеъгъоъгпа^ meto-nwzpkic functions . - HöLLiion. J. Math., , ¿^ jf 3 ? 301-309.

19. Beuge mM F., £>eUeß W. Koeße cLtcb ancl Fatou point6 of п~огта£ funciion/>. — Comment Molk. HeEvet'vci; 1961 y v. 36, jf 1 ? 9-1$.

20. Bßcck A. Leb thioiemeb dt M. VcLÜ-xorv 6ux teb fonc.tioh.-S entiebe.*, ei tkeo^uz, de uuiifoirrvL -JatLon.- Ana. Fclc. £cl . Ifrilv. TouCouSe, 4926,$et. % h. 44, jfI, j~2Z.

21. Brown L.y &att{kuyc P.M. Beka-v-lcufc of те-гютогр/ис functions on the maximal ldea£ spcue of Mlcki^an MclUl.J., W17 v. 18, У4, 365-371.

22. Ca.ta.tkeodoty С• Theory of -fucnctionA of a, comfiex IrauctUe, 1r. 7. Neur- Хогк : Cheß&ea- PußC. Company) 195S. 304 p.

23. CcLTcttkeodoxy C. Theory of fcuu>£con*> of cl lomfyfex , ir. J. tfeur-Yotk : Cke£sect Pcl8£.

Company ? 195^1. 220 p.

24. Cíccnle I. O/r a "te^uit of Haymctn. - I. London Math. Soc.j /967 ^ , 389-392.

25. Dtatin D. Moimaf fami£ie¿ and the Nevaniinna theoxy. - Ada. Math., /969, v.-1227 j/3-4, 231-263.

26. Hayman IV. H. PlcatcL iklCulcs of mvtomotfi/iLc fundíon-s cuvci thebt- cLetlircdív-es. — Atta. of Maik. /959, v. YO, W i, 9-¿12.

27. Haymcun №K. Reseaick PtoßBems in Function Tkeozy. London'. flik£one Pxeó6, 56p.

28. Kit Yuncf-Jising . Sut -feó {clmÍC&¿ ttctmxtBes de fondionz rne'cOMCKphe-i . - Selenita Sínica.,

29. Lappari P Some %<z$u.(d$ ort kaA.ynonLc no'tm.aC {unetiora,. - Math. 1965, v. 90, /55-159.

30. Lehlo 0. y Vltlanen. K. I. ßoundetSe/uaviou^ and twuna£ fundionó. - fleta Math1957,

31. LokuwdeJL /4.1, Pommezenke C. On. rwXmaC tneiorrLoipliLc ^unjttüoni. -Ann,, Acad. Sei. Fenn., et. M, 1973^550 ; 1-/2.

32. Mazty. F. Recherche*, 4uX Ice ^epevotdion de$ IklC&u/ls cL ? une fondion, mézohrotphe. - Ann. Fac. Sei. Vniv. Toulouse, $&i.3, m\, v: 15j V3, Wb-261.

33. MirtcLa C.D. B(ocL cvndcuLÜ fot futidiom. - Maik. Z., 1982, v. Mi, y<p 23-92.

34. hlo4k'ü*u> K. Conlxißidioni to ike tkeori¿ of meto-rnotpliic ^LLhxüoni in tíie und cíicPe. — J. Fac . Sei.

Hokkcudo Univ.? 493?, v.¥, 449-459.

35. Pesch£ E. Üéei unveizweujée konfotrn ABBifdungrn. - Ódeizeick Akad. iVtSl. Maih- Hcdux. Kf. S¿zuny^ex, 1976, Bd. 4Sf, Mí. Z, H. íy 55~n.

36. Pomme.'cenke C. 8¿¿¿matQ& -fo'c /ictma^ rn.o.'corrwtphu fundíon*. - Atrn. Acad, £>c¿. FennS^-AI, 49 tXne, 4-i O.

37. RoÜnson R.M. Mock functions. - Duke Maih. l7 493S, v-,2, 453-459.

38. RuriX} DX. Jj locad fotm of IcLfDpari'j fíve poLní tfieotem fot noímcLÍ ficnciloni. - M¿cfviq<xn Maih. J.p 1916, K 23, W2? 144-145.

39. VciElton &. Rechexchei óui theoteme de H. Pica%cí. - Ann. £cc£e Notm., $ei.3, 4921,1.3*, 383-4Z9.

40. Yancj Lo, Ckctnq Kuan-heo. Recke>edze<!> cl noimccCUé des fcunoMeó de Jo/zctLoru aruxty-iityuei a dei -íhxE&uu ryiuC{¿p&!>. — ficüniia. Sínica. , /965, ir. 44, 425$- 42 f 4.

41. Yoslda. K. On cl cé¡x6ó of metomotp>h¿c {ur^ctioni. - Ptoc. Pfiy*.- Mcctk. Soc. Jap.y Se*. 3, 49Í4, v. 46, Jf3, 221-Z35.

42. ¿aCcmari h. A keui'iAlic pt,LrLclp£e in com-p£ex furvctLon tfiecx,y. - Arrien. Maik. Mordkty, 4945y v. 92, 2i3-8lh

Работы автора по теме диссертации.

1. Ошкин И.Б. О непрерывном продолжении функций, нормальных на подгруппах, в точки пространства максимальных идеалов

Ноо - ДАН СССР, 1981, т. 259, № 6, 1306-1308. у.

2. Ошкин И.Б. Об одном признаке нормальности семейств голоморфных функций. - Успехи матем. наук, 1982, т. 37, вып. 2, 221-222. у

3. Ошкин Й.Б. Об абсолютно гипернормальных функциях. Москва, 1981, - 12 с. - рукопись депонирована в ВИНИТИ № 3148-82 Деп. от 21.06.82 г.

4^" Ошкин И.Б. О кругах однолистности мероморфных функций. -Вестник Моск. ун-та. Мат., Мех., 1983, Р I, 22-24.

Оглавление.

Введение . 3

Часть I.

§ I. Критерий нормальности семейства мероморфных функций в точке . 13

§ 2. Признак нормальности семейства голоморфных функций 17

§ 3. О кругах однолистности мероморфных функций. В5

Часть II.

§ 4. О поведении функций, нормальных относительно непрерывных подгрупп, в точках пространства максимальных идеалов алгебры . 35

§ 5. Граничные свойства мероморфных функций из классов

Ж* и 9*.!. 43

§ 6. Критерий абсолютной гипернормальности . 48

Литература. 56