Некоторые вопросы приближения кривых и оптимизация приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Мирпоччоев, Фуркат Маруфджонович

• Мирпоччоев, Фуркат Маруфджонович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Мирпоччоев, Фуркат Маруфджонович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Приближение кривых на классах функций, задаваемых модулями непрерывности

§1.1. Определение классов кривых. Исторический обзор

§1.2. Приближение кривых, заданных параметрическими

уравнениями на классе кривых Т"1^2

§1.3. Приближение кривых вписанными в них ломаными

на классе кривых у/^Т"1'"2

§1.4. Приложение оценки приближения кривых ломаными для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода

Глава II. Оптимизация приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций

§2.1. Наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций с ограниченным градиентом в норме

пространства Ь\

§2.2. Наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций с ограниченным градиентом в норме пространства Ь2

§2.3. Наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций и кривых, задаваемых модулями

непрерывности

§2.4. Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций

(<5; I)) и классов кривых ОТд{Ь)

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы приближения кривых и оптимизация приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода»

Введение

Общеизвестно, что при аппроксимации кривых более простыми функциями необходимо иметь их математическое описание. Кривые не всегда могут быть представлены явной функциональной зависимостью, а потому более общим способом аналитического задания кривых является параметрическое их представление в виде функций

х = (р(з), у = -0(5), 0 < в < Ь (0.0.1)

некоторого параметра я в координатной системе Оху. В том случае, когда параметрические уравнения кривых имеют сложный вид, естественно возникает задача гладкого приближения их более простыми кривыми с высокой точностью.

Для параметрически заданных кривых экстремальные задачи аппрокси-мационного характера изучены намного меньше, чем для явно задаваемых функций. Но все же некоторые вопросы аппроксимации параметрически заданных кривых изучались в работах Н.П.Корнейчука [15,16], В.Т.Мартынюка [20,21], Б.Сендова и В.А.Попова [37], Н.А.Назаренко [31,32], С.Б.Вакарчука [2-4,6], а также в известных монографиях Б.Сендова [38] и Ю.С.Завьялова, Б.И.Квасова, В.Л.Мирошниченко [11], где приведены порядковые оценки погрешности аппроксимации различными сплайнами. Поэтому естественно возникает экстремальная задача нахождения точных оценок аппроксимации параметрически заданных кривых в различных метриках на классах функций. В качестве аппарата приближения нами использованы интерполяционные ломаные. Одним из возможных приложений полученных результатов является отыскание точных оценок погрешности приближенного вычисления криволи-

нейного интеграла первого рода на классах функций и кривых.

Вопрос оптимизации погрешности приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода на заданных классах функций и кривых изучен значительно меньше. Сформулируем соответствующие экстремальные задачи в смысле С.М.Никольского [34] и А.Сарда [40].

Рассмотрим задачу приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода

лг

/ д(М)/(М)а8 = Ак/(Мк) + Длг(д; /; Г) (0.0.2)

Г к=1

в виде линейной комбинации нескольких значений подынтегральной функции /(Мк), Мк е Г, к = весовая функция д(М) > 0, М £ Г, Ак ~ произвольные числовые коэффициенты, /; Г) - погрешность квадратурной формулы. Ясно, что для достижения высокой точности вычислений при заданном N нужно возможно лучшим образом воспользоваться коэффициентами Ак и узлами Мк.

Через 0Т<д(Х/) обозначим класс кривых Г, лежащих в области <3 = {(ж, у) : х2(з) + у2 (в) < Ь]. Хорошо известно, что параметрические уравнения кривой Г е отнесенной к длине дуги я как параметру в прямоугольной системе координат Оху, имеют вид (0.0.1). Разобьем отрезок [0, £] точками 0<5х <52<---<5дг_1<злг<//на частичные промежутки [йАг-ьвА:] (к = 1,.ЛГ), причем точка вк € [0,1/] соответствует точке Мк € Г. С учетом параметрических уравнений (0.0.1) кривой Г квадратурную формулу (0.0.2) запишем в виде

Ьг

/ ч{х(8),у{зШх{8),у{з))й8 = X] Ак/(х{зк),у(8к)) + ВДЯ; /; Г). (0.0.3)

о к=1

Если обозначить через А = {Ак}^г - вектор коэффициентов, а через 5 = {эа;}^ - вектор узлов формулы (0.0.3), то становиться очевидно что

Пусть Ж = {/(х(з),у(з))} - некоторый класс функций, определенных и интегрируемых на кривой Г с параметрическими уравнениями (0.0.1). Тогда для функции / е Ж и каждой кривой Г € У1с}(Ь) остаток формулы (0.0.3)

имеет конкретное числовое значение, равное

l

n

Г) = / q(x(s),y(s))f{x(s),y(s))ds - ^TAkf(x(sk),y(sk)). о

Всюду далее мы предполагаем, что квадратурная формула (0.0.3) точна

на постоянных функций /(М) = const, что равносильно выполнению условия

L дг

J q(M)ds = J q(x(s),y(s))ds = J2Ak.

Г О k=1

При фиксированном N > 1 через А обозначим множество векторов коэффициентов и узлов (А, 5), для которых формула (0.0.3) имеет смысл. Наибольшая погрешность, характеризующая точность приближенного вычисления (0.0.3) для всех функций f е Ж на, заданной кривой Г € 91<э(Ь) при фиксированных векторах коэффициентов и узлов (A, S), равна величине

RN(q, Ш- Г; A, S) = sup{|fíN(g-, /; Г; A, S)\ : / € Ж}.

Положим также

RN{q-, Ж] Шq(L); A, S) = sup{RN{q; Ж; Г; A, S) : Г е ЩЩ}.

Требуется найти величину

SN{q- Ж; 9Iq(L)) = mí{RN(q; 9Я; OTq(L); А, 5) : (А, 5) € А} (0.0.4)

и указать вектор (А*, 5*) € Л, на котором достигается точная нижняя грань в (0.0.4), то есть выполняется равенство

Ем{я- Ш1; Щ(Ь)) = Ш; А\ 5*).

Квадратурная формула (0.0.3) с векторами коэффициентов и узлов (Л*, 5*) дает наименьшую оценку погрешности и в этом смысле является наилучшей в смысле С.М.Никольского на классах функций Ш и кривых У1с}(Ь).

Аналогичным образом, если при фиксированном векторе узлов Б* = существует вектор коэффициентов А** = {А*к*}^= который

реализует нижнюю грань

Ем(Я]т;Щ{Ь),8*) = М{Нм(д;т-,Щ(Ьу,А,3*) : А е Л}, (0.0.5)

то квадратурная формула (0.0.3) называется наилучшей по коэффициентам на классах функций Ш и кривых 0^(Ь). Задачу (0.0.5) обычно называют задачей Сарда. Отметим, что для класса функций с ограниченным по норме пространством Ь-[ градиентом задача (0.0.4) решена С.Б.Вакарчуком [5]. Для некоторых классов функций, задаваемых модулями непрерывности, задача Сарда решена Д.С.Сангмамадовым [36]. Другие результаты нам неизвестны.

Диссертационная работа посвящена решению сформулированных выше задач для некоторых классов функций и классов кривых малой гладкости.

Основными целями данной работы является:

1. Найти точную оценку погрешности параметрически заданных кривых от вписанных в них ломаных на классах и И/(МЭ'р^мг в различных метриках.

2. Найти точную оценку погрешности некоторых конкретных квадратурных формул приближенного вычисления криволинейного интеграла на

классах функций ШР1 (г = 1,2,3) и классах кривых ТШиШ2 и JУ(1'1)TШl'u,2.

3. Найти наилучшие квадратурные формулы с весом для вычисления криволинейных интегралов первого рода для классов функций с ограниченным градиентом по норме пространства и Ь2.

4. Найти наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода для классов функций 9ЯЛ {г = 1,2,3) и кривых Т"1'"2.

5. Найти наилучшие квадратурные формулы для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода для классов функций с ограниченным по норме пространства Ьр, 1 < р < оо градиентом.

Полученные результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при оценке приближения поверхностей и приближенном вычислении многомерных криволинейных интегралов первого рода на классах функций малой гладкости.

Основные результаты диссертации обсуждались на ежегодных конференциях математических кафедр вузов Согдийской области (г.Худжанд, 2009 - 2012 гг.), на семинарах по вопросам теории приближения функций в Институте математики АН Республики Таджикистан, на международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и их приложений", (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.) в Институте математики АН Республики Таджикистан, на республиканской научно-теоритической конференции „Актуальные проблемы современной математики", посвященной 40-летию образования кафедры высшей математики ТНУ (г.Душанбе, 1-2 декабря 2011 г.) в Таджикском национальном университете, на международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функ-

ций"(г.Душанбе, 29-30 июня 2012г.) в Институте математики АН Республики Таджикистан, на международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее преподавания" посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (г.Худжанд, 28-29 июня 2014г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в десяти статьях [23-30,44,45], из которых две статьи выполнены в соавторстве с научным руководителем М.Ш.Шабозовым, которому принадлежат постановка задач и выбор метода доказательства.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 45 наименования и занимает 87 страницы машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Во введении приводится краткая характеристика изучаемой проблемы и основные результаты диссертационной работы. Приводим краткую характеристику работы с указанием основных результатов.

В первом параграфе первой главы приводятся исторический обзор, основные определения и обозначения общего характера, а также определение классов функций.

Всюду далее рассматриваются плоские кривые Г с параметрическими уравнениями (0.0.1), через М(х,у) := М(х(з),у(з)) будем обозначать точку кривой, соответствующую значению параметра я 6 [0,1/], координаты которой (х(з),у(з)) зависят от выбора прямоугольной системы координат хОу.

Хорошо известно, что если в каждой точке M(x(s),y(s)) кривой (0.0.1), при любом значении параметра s Е [0, L], существует касательная к кривой, то ее параметрические уравнения можно записать в виде

s s

x(s) = J cos6(t)dt + x(Q), y(s) = J sin 9{t)dt +у(0), 0 < s < L, o o

где 9(s) - угол, образованный этой касательной в точке (x(s),y{s)) с положительным направлением оси Ох. Обозначим через := Нш[О, L] - множество функций </?(£) £ С[0, L], удовлетворяющих условию

W) - <p(t")\ < uj(\t'-1"\), £',¿"e[o,L],

где u)(t) - заданный на отрезке [0, L] модуль непрерывности, то есть непрерывная неубывающая полуаддитивная на [О, L] функция, ¡¿(0) = 0. Через W^HU := 0,L] обозначим множество функций <p(t) G С(г>[0, Z,],

производные которых <p'(t) G Нш[0,Ь]. В соответствии с приведенными определениями классов Нш и дадим определение классов кривых.

Всюду далее через TWl'W2 :== TWl,W2[0, L] обозначим совокупность плоских гладких кривых {Г}, заданных параметрическими уравнениями (0.0.1), где x(s) € #Wl, y(s) € НШ2, u>i(t), W2(t) - заданные на [0, L] модули непрерывности. Аналогичным образом, через H/(1'1)Ta'1'W2 := H/(1,1)Ta;bW2[0) L] обозначим совокупность кривых {Г}, параметрические уравнения которых удовлетворяют условиям: x(s) Е W(1)#Wl, y(s) е WWHU2.

Для нахождения точной оценки погрешности квадратурной формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода в следующем пункте нам потребуются точные оценки погрешности аппроксимации кривых Г G 7~wbW2 (или Г е от вписанных в них ломаных

Tn с вершинами в точках = M(x(kh),y(kh)) 6 Г, к = 0,N; h — L/N, где L - длина кривой Г. В качестве меры близости кривой Г от ломаной Гм будем рассматривать следующие расстояния между произвольными точками Р = P(x(s'),y{s')) € Г, Q = Q0c(S"),y(s"))e Гдг, S',S"e[0,L]:

1) расстояние Минковского

Pi(P, Q) = max{|z(5') - x(s")|, - у(з")\};

2) евклидово расстояние

Pi(P, Q) = л/ОФ') - ;ф"))2 + (y(e') - у(О)2;

3) хэммингово расстояние

рз(Л Q) = \x(J) - x(s")I + |y(e') - ?/(/')!■

Через Шр обозначим класс функций f(x(s),y(s)), 0 < s < L, заданных и определенных на множестве кривых TWl,W2 (или W^T"1^2) и для любых двух точек P(x(s'), y(s')), Q(x(s"), y(s")) G Г, s', s" G [0, L] удовлетворяющих условию

If(x(s'),y(s')) - f(x(s"),y(s"))\ < p(P,Q),

где p(P, Q) - какое-нибудь расстояние между точками Р, Q £ М2.

Если р(Р, Q) - некоторое расстояние между точками Р, Q G М2, то расстояние между кривыми

= ^ и = ^ (0 < s < L),

I 2/1 = 4>2{s) t У2 = ^2(5)

определяем как верхнюю грань

p(r,g)= sup {p(P(<pi(s),<p2(s)), Q(Ms),Ms)))- Per,QeG}, (о.о.б)

0<s<L

где точки Р = P(ip\(s), <f2(s)), Q = Q(ipi(s), ^(-s)) соответствуют одному и тому же значению параметра s. Расстояние (0.0.6) в общем зависит от способа параметризации, но можно и указать расстояние, не зависимое от способа задания кривых. Таковым является, например, хаусдорфово расстояние, которое вводится следующим образом. Если, например, Р2{Р, Q) - евклидово расстояние между точками P,Q Е R2, то под хаусдорфовым расстоянием между кривыми Г, G С М2 понимают величину

Р2,н{Г, G) = max{sup inf р2{Р, Q), sup inf р2(Р, Q)}.

perqeg qegpe1

Аналогично вводятся хаусдорфовы расстояния /^^(Г, G) и ¿^(Г, G) соответственно для расстояний Минковского и Хэмминга.

Очевидно, что для кривых Г и G, определенных параметрическими уравнениями в (0.0.1), при любом способе параметризации выполняется неравенство /\я(Г, G) < /?г(Г, G), г = 1,2,3.

Пусть Ад/- = {sk : 0 < s\ < S2 < ■■■ < sn < L} - произвольное разбиение отрезка [0, L] и для координатных функций кривых Г, G Е TWl,UJ2 выполнены равенства

<Pi(sk) = М^к), г = 1, 2; к = l^N. (0.0.7)

Условие (0.0.7) означает, что кривые Г, G Е ТШиШ2 пересекаются в N точках sk разбиения Ддт отрезка [0, Ь]. Таким образом, если обозначить P{s) P(ipi(s),(p2(s)) Е Г, Q(s) := Q(-01 (5),^2(5)) EG- точки, определяемые одними и теми же значениями параметра s, то точки

P{sk) := P(pi(sk),<p2{sk)) и Q(sk) := Q{$\(sk), ifa(sk)), k = l,N

совпадают. Очевидно, что в этом случае любое из перечисленных выше расстояний между кривыми зависит от разбиения Ддг. Если /э(Г, G; AN) - какое-

нибудь расстояние между заданными кривыми Г, О € Т^1^2, для которых выполняются равенства (0.0.7), то требуется найти величину

Ыр^Т*1**', Ллг) = Ызир{р(Г, С; Ддг) : Г, в € 7""1'"2}.

Длг Длг

Полагаем также Ад/- '• '•= в® = (2& — 1)Ь/(2ДГ), А; = 1, ЛГ.

Одним из основных результатов второго параграфа является Теорема 1.2.1. Каковы бы ни были модули непрерывности и/г(£) (г = 1,2; 0 < t < Ь), справедливы равенства

д ^

= 2 • р\^н^Ти>1,Ы2\ Адг) = 2 • шах ,о;2 | ,

Адг

= 2 ■ Д„) = 2 ■ ^ГЩТ^Щ,

ш^ОТ"«; Дат) = Д„) =

дуу

Зафиксируем разбиение отрезка [0,1/]:

<5дг := {0 = < 5х < ... < 5'дг = £}, Ик = вк-1, к = 1, N (0.0.8)

и обозначим через /(Г, <5дг) - ломаную, совпадающую с кривой Г в точках Мк = М(х(зк),у(8к)), к = 0, М, линейную между точками интерполяции. В случае равномерного разбиения вк = кЬ/Ы, к — 0, ./V вместо 1(Г,6м) будем писать /дг(Г). Очевидно, что разбиением (0.0.8) кривую Г разобьем

на N частей точками Мк = М(х(зк),у(зк)) и, соединив последовательно точки Мо, М\,..., Мдг отрезками прямых, получим ломаную /(Г, вписанную в Г. Параметрические звенья ломаной, стягивающей дугу МкМк+1 (к = О, N — 1), имеют вид

£(з) = хк + КЦ1^ - зк) • (хк+1 - хк),

У{в) =Ук + ~ вк) • {Ук+1 ~ Ук),

где зк < 5 < зк+1, = зк+1 - в*, ж* = х(зк),ук = уМ- При этом предполагается, что точки Р(х(з),у(з)) Е МкМк+1 и (^(¿(з), ?/(з)) Е МкМк+1 соответствуют одному и тому же значению параметра я Е [зк, в^-ц].

Всюду далее множество всех плоских кривых, параметрические уравнения которых непрерывны или непрерывно дифференцируемы на [0,1;], обозначим через ОТ/,. Если р(Г, /(Г, 5дг)) - какое-нибудь расстояние между заданной кривой Г С Оа /(Г; 6дг) - вписанная в нее ломаная, то требуется найти величину

= 1п£8ир{р(Г;/(Г;ад) : Г Е ЗД.

дм ОДГ

В принятых обозначениях имеет место следующая

Теорема 1.2.2. Справедливы равенства

ЫР1(Т^1(Т-6М)) =Р1(Т^-,1м(Г)) = тах|ы1 } ,

Мръ^^тб»)) = Рз(Т-1^;/лг(Г)) = I* (А) + ^ (А) .

В третьем параграфе первой главы изучаются приближения кривых вписанных в них ломаными на классе кривых И/(МЭ-рл,^. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.3.1. Пусть (г = 1,2)— выпуклые на [0,Ь] модули непрерывности. Тогда имеют место равенства

ь/ы

сИ,

1(Г, ад) = \ | J ил (£) ¿1

\ * /Ь/Н

= 1 [ шах {а* (*), «*(*)}■

/ ¿/ЛГ

и

/

1,/лг

о о

Если же о^(£) (г = 1,2) - произвольные модули непрерывности, то

имеют место равенства

в,

ь/ы

0

6»,

¿/ЛГ \

тГргС^Г-^^СГ.ад) = ^ { | / И

<и

+

/

¿/лг

т£ /(Г, ЗД) = ^р J (Ш1 (*) + (0)Л,

о

где (2/3) < < 1.

Четвертый параграф первой главы посвящен приложению оценки приближения кривых ломаными для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода, а именно, требуется вычислить верхнюю грань

погрешности на классах функций ШРг (г = 1,2,3) и кривых для квад-

ратурной формулы прямоугольников, имеющей вид ь н

| /Оф), уШз = А £ / (х , У (НЙГ*)) + Г).

° (0.0.9)

Используя технику доказательства теоремы 1.2.2, приходим к следующему утверждению.

Теорема 1.4.1. Для точной оценки погрешности квадратурной формулы прямоугольников (0.0.3) с фиксированными векторами коэффициентов = {Л® : А\ = Ь/Ы}ь=1 и векторами узлов = (4 : 4 = (2к ~ 1)ь/(2М)}к=1 на классах функций Ш?Рг (г = 1,2,3) и кривых ТШ1>Ш2 справедливы равенства

Ь/(2М)

Длг(Ш1рг;71"1'Ы2;Л°,5°) = 2ДГ J тах{ил^),и2(1)}(И,

о

ЬЦ2М)

Ялт(ШгР2; Т"1'"2; 5°) = 2Ы ^ у/шЦг) +

о

Ь/(2М)

Ялг(Ш1рз; Т^1^2; 5°) = 27У J (^(¿) +

о

Рассмотрим теперь применение теоремы 1.3.1 к вопросу нахождения точной оценки погрешности квадратурной формулы следующего вида ь ы

I Пх{8),уШз = / (х ,у (0.0.10)

о к~1

Теорема 1.4.2. Для оценки погрешности формулы (0.0.10) с векторами коэффициентов А* = : = Ь/ЛГ}£=1 и узлов 5* = : = кЬ/Ы}^

на классах функций ШРг (г = 1,2,3) и кривых W^^T"1^2 справедливы равенства

l/n

RN{mpi-W^T"^2-,A\S*) = j J max{u;i(£),W2(i)№

о

l/n

ЯлКЯЯр,; W(1'1)Tb,1'W2; А\ S*) = j J yjul(t)+uil(t)dt,

о

l/n

Rn№P3; w^T**»] A\S*) = j J (ых(£) + u2(t))dt,

о

zdeu>i(t) (г = 1, 2) - произвольные выпуклые на [О, L] модули непрерывности.

Во второй главе диссертации рассматриваются оптимизация приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых малой гладкости.

В первом параграфе второй главы решена задача Колмогорова-Никольского для класса И^1'1^ := D) - функций /(М) = /(ж, у),

у которых почти всюду в области Q существуют частные производные df/dx, df/dy и удовлетворяют условию

L/

||grad/(x,y)||Li(Q) = J

о

Имеет место следующая

l

ËL îe + ^L

дх ds ду ds

ds < D.

Теорема 2.1.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.3) наилуч

шая для классов функций ТУ}1'1^ и кривых ОТд(Ь) является формула ь к

I д(х(з),у(з))/(х(з),у(з^з = /(*(**), у(зк)) +

к=1

(0.0.11)

Li

где -F(O) = J q(x(t),y(t))dt и узлы sk определяются из системы уравнений

2N - 2к + 1

При этом для погрешности формулы (0.0.11) на классах

и УХс}(Ь)

справедлива точная оценка

ь

Из общего вида квадратурной формулы (0.0.11) видно, что эта формула с равными коэффициентами, что облегчает ее применение в практических целях. Из доказанной теоремы 2.1.1 вытекает

Следствие 2.1.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.11) с весовой функцией д(х(з), у (в)) = 5-7, 0 < 7 < 1 наилучшей для классов функций и кривых 91<э(1/) является формула

I Д:ф),г/(з))^ = ^

о

n

si (1 - 7)^

('((V)L)"'J)"^ (0012)

При этом точная оценка погрешности оптимальной квадратурной формулы (0.0.12) на классе функций И^1'1^ и классе кривых 01(5(1/) равна

eN wr\ щщ) = о < 7 < 1.

Следствие 2.1.2. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.11) с ве-

7Г5

совой функцией q(x(s),y(s)) = sin—, 0 < s < L наилучшей для классов

функций И^1'1^ и кривых OXg(L) является формула

J

l n

sin ^f(x(s), y(s))ds = ^ ¿ /(*(4), 2/(4)) + ^(Sin /; Г), (0.0.13)

o fc=1

L / 2/г — 1

где узлы s*k = — arceos --——J , k = 1, N, a x = x(s), y = y(s) - параметрические уравнения кривой Г. При этом для погрешности квадратурной формулы (0.0.13) на классах функций И^1'1^ и кривых OTg(L) справедлива точная оценка

DL

7ГЛГ'

В втором параграфе второй главы найдены наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций с ограниченным градиентом по норме пространства Ь2.

Пусть задан класс 1У2(1,1) := Ь2{Я\ О), £> > 0 функции /(М) =

/(х, у), у которых почти всюду в области существуют частные производные д//дх, д//ду и выполняется неравенство 11 §;га,с1 /"(а;, у)| |ь2(<Э) —

Справедлива следующая

Теорема 2.2.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.3) при д(х(з),у(з)) = 1 и фиксированных векторах узлов 5* = : з*к = наилучшей по коэффициентом в смысле Сарда

является формула

I ь V-1 г .../ч*-1)^

п - ■ - /г=1

+2(М-1)ПХ{Ь)'У{Ь)) + Длг(/; П (0-°Л4)

При этом для погрешности квадратурной формулы (0.0.14) на всем классе

функций Ж2(1Д) и классе кривых У1с}(Ь) справедлива оценка

Теорема 2.2.2. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.3) с весовой функцией 9(^(5), у(й)) = 5 и фиксированным вектором узлов 3* — '• Я/с = | наилучшей по коэффициентам в смысле Сарда является формула

/. • /<*).*»* - ^ ■ В* - и/ (- +

о к~1

+ (Н^ ~ (6(А^-21р) ' /№)'у{Ь)) + /; Г)- (0-0Л5)

При этом для погрешности квадратурной формулы (0.0.15) на всем классе функций И^1'1^ и классе кривых 0справедлива оценка

В третьем параграфе второй главы найдены наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности. В предположении, что кривая Г Е Т"1^2, а функция / Е где рг - расстояния, определенные в параграфе 1.2, решены задачи Сарда и Никольского для квадратурной формулы (0.0.3) и произвольной интегрируемой весовой функции д(а:(5), у (в)) > 0 на отрезке [0, Ь].

Теорема 2.3.1. Пусть {зк}к=0 (0 < йо < 51 < • • • < < Ь) - произвольная система узлов из промежутка [0,Ь] и коэффициенты квадратурной

формулы (0.0.3) имеют вид

0к+1

А*к= I я(х(з),у(*)№, к = (0-0.16)

где сто = 0, сгк — (зк-\ + /2, к = 1, ТУ, сгдг+1 = Ь. Тогда справедливы равенства

ДГ °к+1

= [ <?0ФЫ*)) тах{ил(\з-зк\),и;2(\з-зк\)}с1з,

I

ДГ <Тк+1

адд;9ЯР2;7= { д(х(з),у(з)) - зк\)+и%{\з - зк\)<1з,

к=° *к

дг

I__л V

/г=0 „

Теорема 2.3.2. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.3) с весовой функцией д(ж(5),у(й)) > 0, фиксированными узлами 0 < ^о < < з2... <

йдг-! < 5дт < Ь и произвольными коэффициентами Ак, к = О, А/", наилучшей квадратурной формулой на классах функций (г = 1,2,3) и классе кривых ТШиШ2 является формула с коэффициентами

°к+1

Лк= I Я(ф),у(з))с1з, к = 0,ЛГ,

<*к

и наилучшей оценкой остатка, равной

\Ак)

n °к+1

I__п </

и* 9ЯР2; Т"1'"2; Л, 5) - ^(д; Т^2; Л*, 5) = И*}

дг сг*:+1

/__п «/

Ы Ям(д; Ш1Рз; Т^2; А, 5) = ВДд;аЛ„; Т^2; Л*, 5)

М*}

дг

Теорема 2.3.3. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.3) с весовой функцией д(х(з), у(з)) > 0 наилучшими формулами на классах функций (г = 1,2,3) и классе кривых 7~Ы1,и'2 являются формулы, узлы которых 0 < 5о < 51 < ••■ < 5л/-1 < 5дт — обращают в минимум соответственно выражения

ДГ 1

I__п «/

ДГ

^(«0,51, ...,влг) = ^ / 90Ф)>2/(в)) - + - Я/ь!)^,

/__<л <>

к=0 „ Ок

&к+1

с коэффициентами

"2+1

4= I д(х{з),у{8))с1з, Л = 0ГлГ,

где аЦ = О, <7% = (Ц-г + к — 1, /V, 0дг+1 — Ь, и наилучшие оценки

остатка соответственно равны

n ^

/__п V

к=0 к

ДГ *+!

I__л «/

а;=0

ДГ

Теорема 2.3.4. Пусть д(х(з),у(з)) = 1. Тогда на классах функций ШРг (г = 1,2,3) м классе кривых Т^1^2 наилучшая квадратурная формула (0.0.3) имеет вид

о к~°

(0.0.17)

При этом наилучшая оценка остатка формулы (0.0.17) на указанных классах функций и кривых имеет вид

Ь/2(ЛГ+1)

£м(ШР1-ТШ1'Ш2)=2(М+ 1) ! тах{и1{з),ы2{з)}(1з,

о

Ь/2(ЛЧ-1)

гм{ШР2-Т^2) = 2{И + 1) У у]и>1{з)+и1{з)(1з,

о

Ь/2{Ы+\)

£м(ШРз-Т**») = 2{И + 1) I Ыз) + и2(з))с1з.

о

В конце данного параграфа рассмотрены наиболее часто встречающиеся в приложениях наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами. Имеет место следующая

Теорема 2.3.5. Пусть д{х{з), у{з)) > 0 - произвольная интегрируемая функция. Тогда на классах функций <^ЯРг (г = 1,2,3) и классах кривых ТШх,Ш2 наилучшая по коэффициентам при фиксированном векторе узлов Б* = : = кЬ/М^={) является формула, коэффициенты которой

определяются равенствами

<?к+1

А°к = I д(х(з),у(з))с1з: к = МГ,

СГк

где а0 = 0, ак = (2к - 1)Ь/2ЛГ, к = Т^, = Ь.

При этом точные оценки остаток на указанных классах функций и кривых имеют вид

Ь/{ 2ЛГ)

ШР1; Т"1'"2; в*) = ^ {<?(:ф), у(з)) + д(х(Ь - з), у(Ь - з))+

о

N-1 .

+ Е [я {х (¿*), у (5+)) + д (х (О, у (5**))] \ тах {ал (в), ы2(з)} с1з, к=1 )

Ь/{ 2ЛГ)

Пм(д; ШР2;ТГ) = ^ {<?0ф), у(5)) + д{х{Ь - з),у(Ь - з))+

о

N-1 . -

+ Е [9 (О. 3/ С5*)) + Я (О. У (О)] > + и*(3№>

Ь/(2М)

Я^д- 9ЯРз; 5*) = ^ |9(х(5), у(з)) + - - *))+

о

N-1 -ч

+1> (**)' у (О) + я (* (О, (О)] М*) +

Л=1 ^

■ч * к до. ^

Из этой теоремы, в частности, при г/(в)) = 1 получаем следующий

наилучший вектор коэффициентов

и наилучшие остатки, соответственно равные

Ь/{2М)

Ям^Ш^Т'^Б*) = 2ЛГ J тах^в),^)}^,

о

Ь/(2ЛГ)

Ялг(1; 5*) = 2ЛГ J у/ш*(8) + ^(з)^,

о

£/(2ЛГ)

Ялт^^Т^Я*) = 2АГ J (ил(з) +

о

Если же д(х(з), у (в)) — 5 , то наилучший вектор коэффициентов имеет

вид

а наилучшие остатки, соответственно, равны

Ь/{ 2ЛГ)

о

£/(2ЛГ)

ЯлК«; Т"1'"2; £*) = J +

о

= ЫЬ ^ (ил(в) + Ш2(а))Ж

о

В последнем заключительном параграфе второй главы рассматривается задача отыскания наилучших квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода для классов функций Ьр{С2\ Б), 1 < р < оо - функций /(ж, у), у которых в области (3 существует частные производные д//дх, д//ду, и удовлетворяют условию

\\&аА/(х,у)\\1р{Я) = | J

\о

ь

^ + ^у

дх с1в ду с1з

< Г>.

Приведем основной результат четвертого параграфа. Теорема 2.4.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.3) с весовой функцией д(х(з),у(з)) = 1 для приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода на классе функций И^1'1^, 1 < р < оо и классе кривых ОТд(Ь) наилучшей является квадратурная формула

/

к—1

(0.0.18)

где х = ж(з),у = у(в) - параметрические уравнения кривой Т,Ь - ее длина. При этом для погрешности формулы (0.0.18) справедлива точная оценка

Глава I

ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ, НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ

§1.1. Определение классов кривых. Исторический обзор.

В этой главе будем изучать вопрос о точной оценке погрешности приближения плоских кривых Г, заданных параметрическими уравнениями

Г : х = ф), у = ф(з), 0 < в < Ь, (1.1.1)

причем предполагается, что функции ^(й) и гр(з) на отрезке [О, Ь] являются непрерывными, либо непрерывно-дифференцируемыми. Общеизвестно, что при работе с кривыми нужно иметь их математическое описание в виде конкретных формул. Однако кривые не всегда можно задавать в виде явной функциональной зависимости вида у = /(х). Поэтому более общим способом задания кривых является параметрическое задание их координат в виде (1.1.1) некоторого параметра в в координатной системе 0ху. Когда функции <р(з) и ф(з) имеют сложный аналитический вид, возникает задача их гладкого приближения с высокой степенью точности. Аппроксимации параметрически заданных кривых (1.1.1) в различных метриках рассматривались в известных монографиях Бл.Сендова [38], Б.С.Завьялова, Б.И.Квасова, В.Л.Мирошниченко [11], а также в работах В.Т.Мартынюка [20, 21], Н.А.Назаренко [31,32], С.Б.Вакарчука [2-4,6], Бл.Сендова и В.А.Попова [37], В.А.Скороспелова [39], Н.П.Корнейчука [15,16]. Тем не менее, экстремальные задачи аппроксимационного характера для параметрически заданных кривых и поверхностей исследованы значительно меньше, чем для явно

задаваемых функций.

Здесь мы решим экстремальную задачу отклонения параметрически заданных кривых от вписанных в них ломаных на классах кривых, параметрические уравнение которых непрерывны и модуль непрерывности которых мажорируется заданными модулями непрерывности.

Всюду далее будем рассматривать кривые {Г} с параметрическими уравнениями (1.1.1), у которых функции <£>(з) и яр(з) для любых двух точек в', в" € [О, Ь] удовлетворяют неравенствам

где и>г(д) (г = 1,2) - заданные для 0 < 5 < Ь модули непрерывности, то есть полуаддитивные, монотонно неубывающие функции такие, что с*(0) = 0, (г = 1,2). Класс всех таких кривых в дальнейшем будем обозначать через

Аналогичным образом, через

цг( 1,1)/ря,ыз ц

обозначим класс кривых {Г}, параметрические уравнения которых (р(в) и ф^в) на отрезке [О, Ь] непрерывно-дифференцируемы и их производные <р'(з)

и ф'(з) для любых двух точек в', в" € [О, Ь] удовлетворяют неравенствам

-

\ф\з')-ф'{з")\<Ш2{\з' ~з"\).

Отметим, что в перечисленных выше работах [2-4,6], [20,21], [31,32] рассматривался вопрос о приближении параметрически заданных кривыми

сплайн-кривых. В работах В.Т.Мартынюка [20,21] и Н.А.Назаренко [31,32] найдены точные оценки отклонения кривых от параметрических эрмитовых сплайнов в хаусдорфовой метрике. В остальных известных нам работах получены порядковые оценки погрешности приближения. Ряд точных оценок приближения плоских параметрически заданных кривых ломаными, параметрическими эрмитовыми сплайнами нечетных порядков в хаусдорфовой метрике (см., например, [7]), а также полиномиальными параметрическими кривыми найдены в работах [2-4,6]. Нами в этой главе получены точные оценки приближения параметрически заданных кривых вписанными в них ломаными линиями для классов кривых ТШг'Ш2 и . Полученные

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мирпоччоев, Фуркат Маруфджонович, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.:Наука, 1975, 632 с.

2. Вакарчук С.Б. О приближении гладких кривых ломаными // Геометрическая теория функций и топология. Киев:Ин-т математики АН УССР. 1981. С.15-19.

3. Вакарчук С. Б. О приближении плоских параметрически заданных кривых ломаными //В кн.: Моногенные функции и отображения. Киев:Ин-т математики АН УССР. 1982. С.107-113.

4. Вакарчук С. Б. О приближении кривых, заданных в параметрическом виде, при помощи сплайн-кривых // Укр. матем. журнал. 1983. Т.35, №3. С.352-355.

5. Вакарчук С.Б. Оптимальная формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Укр. матем. журнал. 1986. Т.38, №5. С.643-645.

6. Вакарчук С. Б. Точные константы приближения плоских кривых полиномиальными кривыми и ломаными // Известия вузов. Математика. 1988. №2. С.14-19.

7. Великин В. Л. Точные приближения эрмитовыми сплайнами на классах дифференцируемых функций // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1973.37.№1, С.165-185.

8. Вороновская Е.В. Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С.Н. Бренштейна // ДАН СССР. Сер. А. 1932.

С. 79-85.

9. Гиршович Ю.М. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-мат.наук. 1975. Т.24. №1, С.121-123.

10. Завьялов Ю.С. Применение вычислительных систем для решения сложных задач проектирования в машиностроении // Вычисл. системы (Новосибирск). 1970. №38, С.3-22.

11. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.:Наука. 1980. 352 с.

12. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.:Наука. 1976. 320 с.

13. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.:Наука. 1984. 352 с.

14. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.:Наука. 1987. 424 с.

15. Корнейчук Н.П. Об оптимальном кодировании вектор-функций // Укр. матем. журнал. 1988. Т.40, №6. С.737-743.

16. Корнейчук Н.П. Приближение и оптимальное кодирование гладких плоских кривых // Укр. матем. журнал. 1989. Т.41, №4. С.492-499.

17. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967, 500 с.

18. Лебедь Г. К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Матем. заметки, 1968, т.З, в.5,

с.577-586.

19. Малоземов В.Н. Об отклонении ломаных // Вестник ЛГУ, серия матем. и мех., 1966. №7. в.2. с.150-153

20. Мартынюк В. Т. О приближении ломаными кривых, заданных параметрическими уравнениями, в хаусдорфовой метрике // Укр. матем. журнал. 1976. Т.28, №1. С.87-92.

21. Мартынюк В. Т. Некоторые вопросы приближения линий и поверхностей // Теория приближения функций. М:Наука. 1987. С.282-283

22. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. М.:Гостехиздат. 1953. 527 с.

23. Мирпоччоев Ф.М. Наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для некоторых классов функций // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2010, №3(140), С.7-12.

24. Мирпоччоев Ф.М. О приближении гладких параметрически заданных кривых ломаными // ДАН РТ. 2011. Т.54, №12. С.963-968.

25. Мирпоччоев Ф.М. Об оценках квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода. Материалы республиканской научно-теоритической конференции „Актуальные проблемы современной математики" посвященной 40-летию образования кафедры высшей математики ТНУ (г.Душанбе, 1-2 декабря 2011 г.), С.52-56.

26. Мирпоччоев Ф.М. О приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода // ДАН РТ. 2012. Т.55, №5. С.359-365.

27. Мирпоччоев Ф.М. К вопросу об оценках квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах кривых, задаваемых модулями непрерывности // ДАН РТ. 2012. Т.55, №6. С.448-454.

28. Мирпоччоев Ф.М. Приближение кривых и их применение в задаче приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода. Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций" посвященной 60-летию академика Шабозова М.Ш. (г.Душанбе, 29-30 июня 2012г.), С. 187-193.

29. Мирпоччоев Ф.М. Приближение гладких плоских кривых и их применение в задаче приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода // Известия ТулГУ. Естественные науки 2013 год, №1. С. 13-27.

30. Мирпоччоев Ф.М. Наилучшие квадратурные формулы с весом для криволинейных интегралов на некоторых классов функций и кривых. Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее преподавания" посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (г.Худжанд, 28-29 июня 2014 г.), С.75-78.

31. Назаренко H.A. О приближении плоских кривых параметрическими эрмитовыми сплайнами // Укр. мат. журнал. 1979, Т.31, №2, С.201-205.

32. Назаренко H.A. О локальном восстановлении кривых с помощью пара-

метрических сплайнов // Геометрическая теория функций и топология. Киев:Ин-т математики АН УССР. 1981. С.55-62.

33. Натансон И. Б. Конструктивная теория функций. - M.-jl, 1949

34. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979, 256 с.

35. Пинскер И.Ш., Трунов В.Г., Шакин В.В. Опознавание параметризуемых рукописных знаков // Опознавание и описание линий. М.:Наука. 1972. С.101-107.

36. Сангмамадов Д. С. Оптимальная формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для классов функций и кривых, определяемых модулями непрерывности // ДАН РТ. 2011. Т.54, №10. С.801-806.

37. Сендов Бл., Попов В.А. Аппроксимация кривых в плоскости полиномиальными кривыми // Докл. Болгарской АН. 1970. Т.23 №6, С.639-642.

38. Сендов Бл. Хаусдорфовые приближения. София: Изд-во Болгарской АН. 1979. 372 с.

39. Скороспелое В.А. Кубическая сплайн-интерполяция как средство приближения пространственных кривых // Вычисл. системы (Новосибирск). 1978. №75, С.36-44.

40. Sard A. Best approximate integration formulas, best approximate formulas // American J. of Math.- 1949.- LXXI - P. 80-91

41. Тихомиров B.M. Некоторые вопросы теории приближений. М.:Изд-во Моск. ун-та, 1976, 304 с.

42. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. М.:Гостехиздат. 1952. 343 с.

43. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С. С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // ДАН РТ, 1998, т.41, N10, С.69-75.

44. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. Оптимизация приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // ДАН РТ. 2010. Т.53, №6. С.415-419.

45. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. О приближении кривых и их применении в задаче численного интегрирования криволинейных интегралов первого рода // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2011, №4(145), С.7-16.