Некоторые вопросы динамики и устойчивости ударных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Еремин, Михаил Анатольевич

• Еремин, Михаил Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Еремин, Михаил Анатольевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Точечный взрыв в расширяющейся среде

2. Неустойчивость сферической аккреции на точечный гравитирующий объект

2.1. Неустойчивость безударной аккреции

2.2. Неустойчивость аккреции с ударной волной

2.3. Механизм неустойчивости аккреции с ударной волной

3. Неустойчивость фокусирующейся ударной волны

4. Неустойчивость ударной волны в среде с быстрой тепловой релаксацией

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы динамики и устойчивости ударных волн»

ВВЕДЕНИЕ

В последнее десятилетие изучение возникновения, распространения и неустойчивости ударных волн (УВ) является одним из важнейших направлений исследований современной астрофизики. Огромный интерес к данной тематике объясняется прежде всего той ролью, которую ударные волны играют в межзвездной или межгалактической среде. Исследование распространения ударных волн необходимо для понимания структуры и эволюции межзвездной среды. Несомненно, ударные волны в определенной степени оказывают влияние и на динамику газовой подсистемы Галактики в целом.

Существование ударных волн в межзвездной среде связано с тем, что характерная скорость макроскопического движения газа значительно превышает скорость звука в нем. Это, например, приводит к тому, что столкновения облаков между собой способны создать ударные волны. Ударные волны формируются в результате взрывных явлений, таких как взрывы сверхновых, коллективные взрывы сверхновых в ОВ ассоциациях или центральных частях активных галактик, а также при появлении течений в межзвездном газе, на границе областей межзвездного водорода Н I и Н И.

Спиральные и неправильные галактики содержат огромное число крупномасштабных межзвездных объектов - оболочек, проявляющихся в распределении нейтрального водорода. Эти структуры, обладающие достаточно сложным строением, впервые были обнаружены в Малом Магеллановом облаке, однако, позже было выяснено, что они содержатся в карликовых галактиках, галактиках Местной группы, в нашей и во многих других галактиках. Существуют многочисленные наблюдательные доказательства того, что расширяющиеся и сталкивающиеся оболочки нейтрального водорода, зачастую достигающие размера порядка несколько сотен парсек, способны инициировать звездообразование (см. обзор [39] и ссылки на цитированную там литературу).

Исследование остатков сверхновых, которые представляют собой наблюдательное проявление ударных волн, дает ценную информацию об энергии взрыва и свойствах межзвездной среды, в которой распространяются эти ударные волны. Сверхновые также ответственны за формирование горячих (те < 0.01 см-3, Т ~ 106 К) областей сильного разрежения в межзвездной среде - каверн, которые могут соединяться в долгоживущие коридоры, поддерживаемые новыми ударными волнами от сверхновых.

Остатки сверхновых являются источниками не только теплового излучения горячего газа в оптическом, ультрафиолетовом или рентгеновском диапазоне, но также и сильного радиоизлучения, имеющего синхротронную природу. Это означает, что частицы в остатках сверхновых достигают релятивистских энергий, а, следовательно, остатки сверхновых являются источниками космических лучей. Ударные волны от сверхновых, если они имеют достаточную интенсивность, наблюдаются в форме волокнистых туманностей, самые известные из которых - Крабовидная туманность и Кассиопея А, однако большая часть обнаруженных остатков сверхновых наблюдается только в радиодиапазоне. Наблюдения с большим разрешением в этой области частот показали, что остатки сверхновых, в основном, не обладают сферической симметрией, многие из них имеют неправильную сферическую или овальную структуру. В рентгеновском или оптическом диапазоне большинство остатков сверхновых состоит из мелких сгустков и волокон, и только небольшое их количество имеет оболочечную структуру в видимой части спектра. Взрывы сверхновых играют принципиальную роль в эволюции звездных населений, т.к. в процессе взрыва возможен синтез тяжелых элементов. Межзвездная среда, обогащаясь тяжелыми элементами, служит "материалом" из которого формируются звезды новых поколений и планетные системы.

Ударные волны также возникают в результате потери массы массивными звездами (красные или голубые гиганты, долгопериодические

цефеиды, звезды типа Вольфа-Райе), находящимися на последних стадиях своей эволюции, при движении в межзвездной среде сброшенных звездами оболочек, при вспышках на звездах (например, вспыхивающие звезды типа Т Тельца, переменные пульсирующие звезды) и т.д. Звезды типа Вольфа-Райе ("\У11), обладающие сильной потерей массы (Ю-4 -г- 1О~5М0/год) и скоростью ветра ~ 1000 км/с, образуют вокруг себя ударную волну. Эта ударная волна, распространяясь по невозмущенной среде и нагребая вещество, формирует кольцевую туманность. В отличие от остатков сверхновых, подобные оболочки имеют двух-

<~> 55 55

слоиную или, как иногда говорят, луковичную структуру, внешним слоем которой является ударная волна в туманности, а внутренним - ударная волна в звездном ветре. Источником свечения туманности является сама звезда, действие излучения которой в далекой ультрафиолетовой части спектра приводит к ионизации газа туманности.

Другим примером сверхзвукового движения газа, правда на этот раз в области неоднородного гравитационного потенциала, являются галактические ударные волны, проявляющиеся в виде тонкого слоя пыли на внутренней кромке рукавов спиральных галактик. Таким образом, предположение о существовании галактических ударных волн, высказанное в рамках теории спиральной волны плотности [57,98], имеет наблюдательное подтверждение [84]. Как известно, ударные волны являются волнами сжатия, поэтому в галактических ударных волнах должно происходить сильное сжатие облаков межзвездного газа, возможно, с последующим коллапсом и гравитационной фрагментацией облаков. В конечном итоге эти процессы должны завершаться звездообразованием. Действительно, явление концентрации молодых звезд и областей ионизированного водорода вдоль спиральных ветвей наблюдается во многих спиральных галактиках. Сжатие магнитного поля в галактических ударных волнах должно приводить к увеличению интенсивности синхр о тронного излучения из областей спиральных ветвей, что также подтверждается наблюдениями как в нашей, так и в других

галактиках.

Самые мощные взрывные явления в космическом пространстве, по-видимому, происходят в ядрах активных галактик и квазаров. Взрывы в таких объектах, обладающих сильным магнитным полем и вращением, сопряжены с сильным увеличением потока излучения и потока релятивистских частиц и приводят к формированию прямых выбросов, наблюдаемых в виде джетов во многих квазарах и активных галактиках.

Ударные волны также возникают при аккреции вещества на компактные объекты в результате столкновения аккрецирующего вещества с поверхностью звезды. Вещество, падая на поверхность, излучает энергию главным образом в рентгеновской части спектра. Таким образом, ударные волны рассматриваются в качестве эффективного механизма, способного преобразовывать гравитационную энергию падающего на компактный объект вещества в излучение. Численное моделирование показало, что ударные волны являются неотъемлемым элементом как дисковой [106,87,88,100,101,102], так и сферически симметричной аккреции на компактные объекты [67] . Структура аккреционного потока и эффективность аккреции в значительной степени зависят от углового момента падающего газа, магнитного поля и скорости движения звезды относительно окружающего газа. Неустойчивость ударных волн, образующихся при аккреции, установлена в целом ряде работ и именно с ней связывают квазипериодические осцилляции светимости, наблюдаемые в двойных системах или ядрах активных галактик.

Вышеприведеннные примеры ярко показывают, что ударные волны обуславливают целый ряд физических явлений и поэтому не удивительно, что одной из важных проблем в астрофизике является проблема построения решений в виде ударных волн. Незаменимую помощь в решении этой проблемы оказывает теория подобия и размерности, основываясь на которой можно строить автомодельные решения в са-

мых различных областях физики. Теория подобия и размерности эффективно применяется к исследованию достаточно сложных явлений, например, турбулентности, диффузии вихрей в вязкой жидкости, сферической детонации и т.д. Эти явления зачастую зависят от большого количества параметров, некоторые из которых при определенных условиях можно считать несущественными. Рассмотрение только самых важных физических факторов иногда позволяет получить решение довольно интересных задач. Эта теория также значительно облегчает обработку результатов экпериментов. В течении длительного времени методы теории размерности и подобия были единственными методами построения автомодельных решений сложных задач, описываемых системой нелинейных уравнений в частных производных. Построение автомодельных решений основывается на свойствах физических систем

- их инвариантности по отношению к сжатиям и растяжениям.

Основой теории размерности является знаменитая П-теорема, согласно которой любое функциональное соотношение, независимое от системы единиц, между (те + 1) размерной переменной может быть выражено через комбинацию (те + 1 — к) безразмерных переменных, где к

- число параметров с независимыми размерностями [25].

Используя эту теорему, Седову в 1946 г. [24] удалось построить автомодельное решение задачи о точечном взрыве. Классическое автомодельное решение Седова применяется для описания целого ряда взрывных процессов, происходящих в межзвездной среде, например, для описания эволюции оболочки сверхновой на адиабатической стадии. Однако, автомодельный подход ограничен предположением о несущественности таких физических факторов, как излучение энергии за фронтом ударной волны, наличие противодавления и магнитных полей и т.д., которые, вообще говоря, оказывают влияние на динамику ударной волны и нарушают автомодельность задачи. В подобных ситуациях, как правило, приходится строить численное решение задачи или использовать различные полу аналитические методы. Следует от-

метить, что возможности общеупотребительных аналитических методов ограничены. Между тем, для построения точных аналитических решений можно использовать не только инвариантность относительно сжатий и растяжений, но также и другие свойства физических систем. Эти идеи были успешно реализованы в теории симметрий дифференциальных уравнений, с помощью которой можно строить разнообразные инвариантные решения. К сожалению, в астрофизике систематическое применение методов группового анализа дифференциальных уравнений пока еще не получило широкого распространения.

В первой главе настоящей диссертации построено аналитическое решение задачи о точечном взрыве в инерциально расширяющемся газе. Гомологичное расширение среды возникает в самых различных астрофизических ситуациях, например, при прорыве ударной волной степенной или экспоненциальной атмосферы сверхновой на стадии свободного разлета вещества, при распространении ударной волны внутри каверны, выдуваемой ветром пред сверхновой и т.д. (подробный список таких ситуаций приведен в гл. 1). Автомодельное решение этой задачи не может быть построено просто потому, что в задаче о точечном взрыве появляется дополнительный параметр, связанный с нестационарностью среды, который и разрушает автомодельность. Тем не менее, используя групповые методы дифференциальных уравнений нам удалось построить точное инвариантное решение этой задачи. Данное решение осуществляет непрерывную сшивку двух различных автомодельных асимптотик - событие, достаточно редко встречающееся в математической физике [1]. Полученные результаты обсуждаются в связи с возможными применениями в космологии.

Другой, не менее важной, чем построение решений в виде ударных волн, является проблема их устойчивости. Пионерской работой в данной области является исследование устойчивости плоской стационарной ударной волны в однородной среде, впервые выполненное Дьяковым в 1954 г. [6]. В этом случае задача об устойчивости допускает

решение в полностью аналитическом виде и сводится к анализу коэффициента отражения звука от поверхности фронта ударной волны, на основе которого делаются основные выводы об устойчивости течения. Дьяковым был установлен факт устойчивости плоской ударной волны относительно возмущений (гофрировки) поверхности разрыва.

Между тем, более сложные модели ударных волн должны учитывать, например, неоднородность среды или не стационарность самой ударной волны, поэтому в общем случае исследование устойчивости сводится к численному решению задачи Штурма-Лиувилля на конечном или полубесконечном интервале с соответствующими внешними и внутренними граничными условиями. Следовательно, на первый план выходят методы построения численных решений дифференциальных уравнений, которые основаны на конечноразностной аппроксимации производных. Широко используемым методом численного решения дифференциальных уравнений является метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности, однако, существуют и другие явные методы более высоких порядков или экстраполяционные методы, такие как метод Грэгга-Булирша-Штера [26], основным преимуществом которых является возможность управления порядком точности.

Попытки исследовать на устойчивость решение Седова предпринимались неоднократно, но впервые правильно полный линейный анализ устойчивости автомодельного решения Седова в однородной среде был дан в работе [103]. Ruy &¿ Vishniac показали, что ударная волна динамически неустойчива относительно косых возмущений в том случае, если основная масса вещества за фронтом ударной волны сосредоточена в достаточно узкой оболочке, или, что тоже самое, показатель адиабаты 7 < 1.2. Для реальных ударных волн это условие эквивалентно наличию эффективного охлаждения газа в зафронтовой области. Данный результат подтверждается как нелинейным численным моделированием [86], так и непосредственно экспериментом [63], в котором ударная волна создавалась в газовой камере путем бомбардировки фольги на-

но секундными импульсами излучения лазера высокой энергии. Если газовая камера наполнялась азотом, показатель адиабатичности которого 7 = 1.4, ударная волна оставалась сферической, а течение -устойчивым. Однако, если вместо азота использовался ксенон, обладающий сильным охлаждением с эффективным показателем адиабатичности 7 = 1.06, наблюдалось сильное искажение формы ударной волны. Нелинейное численное моделирование показывает, что вскоре после того, как тангенциальная компонента скорости сравняется с локальной скоростью звука, в зафронтовой области начнется формирование областей повышенной плотности с размерами порядка толщины самой оболочки. Возмущенный ударный фронт будет генерировать слабые пересекающиеся ударные волны, трансверсальные основному потоку, благодаря которым рост возмущений резко останавливается. Другими словами, на нелинейной стадии происходит насыщение неустойчивости. Следовательно, обнаруженная неустойчивость не может вызвать фрагментацию оболочки, а только способствует некоторому увеличению плотности вещества в ней. Такое поведение неустойчивости на нелинейных стадиях рассматривается в качестве одного из механизмов, способных объяснить филаментные структуры в остатках старых сверхновых или сверхновых среднего возраста, наблюдаемые в оптической области спектра.

В более общем случае среды со степенным распределением плотности р ос г~ш [61,104] вычисления показали, что при и> < З/7 течение динамически неустойчиво, а при З/7 < ш < (7 — 7)/(7 + 1) течение конвективно неустойчиво, причем в последнем случае инкременты неустойчивости растут с уменьшением длины волны возмущений. Следует отметить, что ранее на основе локального критерия Шварцшильда (справедливого, как известно, только для статической среды) теоретически предсказывалось существование конвективной неустойчивости [32], т.к. в области контактного разрыва для ударных волн с убывающей энтропией действительно реализуются условия для развития кон-

вективной неустойчивости. Результаты линейного анализа однозначно свидетельствуют в пользу конвективной неустойчивости - возмущения растут на внутреннем крае оболочки и убывают по направлению к ударному фронту. Исследование поведения неустойчивости на нелинейном режиме также подтверждает конвективную природу неустойчивости [47].

Другой интересной моделью нестационарной ударной волны, часто используемой для качественного описания выхода ударной волны на поверхность звезды или прорыва ударной волной галактического фонтана, является модель ударной волны, ускоряющейся в неоднородной среде с экспоненциально убывающей плотностью. Течение за фронтом такой ударной волны самоподобно и описывается автомодельным решением 2-го рода, построенным Райзером [23]. На факт неустойчивости ускоряющихся ударных волн, распространяющихся в среде с убывающей плотностью, впервые указали Л.Э. Гуревич и A.A. Румянцев [5], поэтому ожидалось, что ударная волна в экспоненциальной атмосфере будет неустойчива. Детальный линейный анализ устойчивости [46], а также нелинейное моделирование [83] полностью подтвердили это предположение. Предсказание неустойчивости ускоряющихся ударных волн основывалось на "кинематических" соображениях - опережение у выступающих участков фронта будет нарастать, а у отставших от фронта участков, наоборот, будет нарастать отставание, что и приводит к неустойчивости. Действительно, в длинноволновом пределе различные участки фронта не "чувствуют" друг друга и подобное рассмотрение полностью справедливо, однако, оно не работает для средних или коротких длин волн, поэтому физика неустойчивости ударной волны не совсем ясна.

В вышеперечисленных примерах, к которым можно причислить и неустойчивость ударной волны в гравитационном поле галактического спирального рукава [77], рассматривалась неустойчивость адиабатических ударных волн, которая обусловлена чисто гидродинамически-

ми причинами. Однако, наличие радиативных потерь в среде может приводить к специфическому типу неустойчивости - колебательной неустойчивости радиативных ударных волн, при которой фронт ударной волны совершает колебания относительно положения своего равновесия. Эта неустойчивость впервые была обнаружена в работе [80], в которой рассматривалась аккреция на белые карлики. В случае если скорость охлаждения имеет степенной вид Л ос р2Та, ударная волна становится неустойчивой для а < 1.6. Позже Chevalier h, Immamura выполнили линейный анализ устойчивости радиативных ударных волн и показали, что подобная неустойчивость имеет место при а < 0.8 и может возникать на обертонах [48]. Учет косых возмущений приводит к расширению области неустойчивости а < 1 [36]. В этой работе было также установлено, что наиболее неустойчивыми являются возмущения с длиной волны, сравнимой с характерной длиной тепловой релаксации. Неустойчивости ударных волн могут способствовать и другие факторы, например, магнитное поле [22,30], силы самогравитации [115] и т.д.

Как уже отмечалось, ударные волны возникают в результате аккреции вещества на гравитирующие объекты. При описании сферически симметричной аккреции часто используют классическую модель Bondi [40], в которой рассматривается стационарная аккреция покоящегося на бесконечности вещества с пренебрежимо малым угловым моментом. Эта модель допускает существование нескольких режимов аккреции, один из которых, т.н. критический, является дозвуковым на больших расстояниях и сверхзвуковым вблизи аккретора, а переход через звуковую точку осуществляется непрерывным образом. Другой режим - субкритический - дозвуковой всюду в области потока, неоднозначно определятся через скорость звука и плотность газа на бесконечности, т.е. субкритический режим содержит бесконечное семейство решений и может реализовываться различными способами. Предполагается, что всякая нестационарная аккреция с пренебрежимо малым угловым моментом и произвольными начальными условиями асимпто-

тически будет описываться стационарным решением Bondi. До сих пор отбор решений до конца не понятен, хотя ранее высказывалось предположение об отборе критического решения [40], что косвенно подтверждается численным моделированием [99].

В случае критического режима в принципе возможно формирование стоячей ударной волны во внутренней части сверхзвукового потока. Таким образом, сферическая аккреция может носить стационарный характер с УВ. В ряде работ существование такой стоячей УВ (см., например, [44]) принимается как данное, хотя механизм ее формирования остается невыясненным. Кроме того, исследование устойчивости безударной аккреции Bondi во времени, выполненное в [60], показывает, что оба режима течения абсолютно устойчивы.

В первой части второй главы мы показываем, что сферически симметричная аккреция пространственно неустойчива по отношению к внешним возмущениям, падающих на источник гравитационного поля. Таким образом, мы предлагаем механизм образования УВ за счет чисто гидродинамических причин без привлечения дополнительных факторов, таких как магнитное поле [3]. Вопросы устойчивости стоячей УВ, возникающей при сферической аккреции, рассматриваются во второй части настоящей главы. До сих пор исследование устойчивости УВ в аккреционных потоках проводилось в других постановках [90-93,67], в такой постановке задача ранее не рассматривалась. Физика обнаруженной неустойчивости сферической УВ изучается основе анализа поведения коэффициента отражения звука от поверхности фронта, обобщенного в рамках ВКБ-приближения на случай неоднородной среды. Такой анализ развивается нами для волн с комплексными амплитудами и комплексными частотами в третьей части второй главы.

Как было указано выше, ускоряющиеся ударные волны, как правило, неустойчивы [5,46]. В третьей главе диссертации рассматривается вопрос об устойчивости фокусирующейся ударной волны (т.н. течение Гуцерлея [64,15]). Распространение такой ударной волны в покоящей-

ся однородной среде описывается автомодельным решением ГУдерлея с иррациональным показателем автомодельности. В этой главе приведено полное численное решение задачи на собственные значения для течения Гудерлея, а также обсуждаются возможные астрофизические применения полученных результатов.

На структуру и динамику ударной волны, распространяющейся в межзвездном газе, значительное влияние оказывают радиативные процессы - потери энергии на излучение и нагрев фоновым космическим излучением. Многочисленные исследования показывают, что радиативные ударные волны неустойчивы [80,48,36, 59]. Следует особо подчеркнуть, что во всех этих работах нагрев межзвездной среды (например, космическими лучами или излучением горячих ОВ звезд) не учитывался. Подобный подход полностью оправдан, если предметом рассмотрения является сильная ударная волна, для которой скорость нагрева значительно меньше скорости охлаждения (ударная волна, образующаяся при аккреции на компактные объекты, ударная волна в остатках сверхновых). Между тем, в целом ряде физических ситуаций, например, при исследовании галактической ударной волны, пренебрегать нагревом межзвездной среды нельзя. Так, в крупномасштабных ударных волнах характерные динамические времена превышают время установления теплового равновесия [18]. Следовательно, состояние газа в любой момент времени мало отличается от равновесного и можно считать, что среда обладает быстрой тепловой релаксацией. В [75] была показана возможность описания такой среды баротропным уравнением состояния р = ре{р) ~ р1е, где 0 < 7е < 1. В четвертой главе настоящей диссертации рассматривается вопрос устойчивости плоской ударной волны в среде с быстрой тепловой релаксацией.

Результаты, представленные в диссертации, являются оригинальными и получены впервые.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Динамика ударной волны в гомологично инерциально расши-

ряющейся среде на малых временах описывается решением Седова, а на поздних стадиях она определяется общим расширением среды, т.е. ударная волна в системе отсчета, связанной с веществом, асимптотически останавливается, а профиль скорости при I —>■ оо стремится к гомологичному.

2. Сферически симметричная аккреция, описываемая классическим решением Бонди, как в случае критического, так и субкритического режима, пространственно неустойчива относительно нерадиальных возмущений, т.е. относительные возмущения параметров течения неограниченно растут при г —> 0. Причина неустойчивости заключается в том, что возмущения приводят к появлению ненулевого углового момента у аккрецирующего вещества, который блокирует падение вещества на гравитирующий объект.

3. Стоячая ударная волна, возникающая при сферической аккреции на точечный гравитирующий объект, является неустойчивой. Основная причина неустойчивости - спонтанное излучение звука поверхностью фронта.

4. Предложено обобщение коэффициента отражения звука от поверхности фронта ударной волны на случай неоднородной среды и волн с комплексными амплитудами. Частотный анализ коэффициента отражения аналитически позволяет предсказывать неустойчивость ударной волны в том случае, если генератором неустойчивости является сам ударный фронт.

5. Фокусирующаяся ударная волна, распространяющаяся в однородной среде, неустойчива относительно возмущений поверхности разрыва. Неустойчивость обусловлена излучением ударным фронтом растущих во времени звуковых колебаний.

6. Плоская ударная волна в среде с быстрой тепловой релаксацией устойчива по отношению к длинноволновым возмущениям поверхности разрыва и всегда излучает нейтральные звуковые колебания. В случае, если кривая теплового равновесия имеет характерный Ван-дер-

Ваальсов вид, спонтанное излучение звука возможно только для чисел Маха, превышающих некоторое критическое значение.

Апробация.

Материалы настоящей диссертации докладывались на международной конференции "Современные проблемы в астрофизике" (Москва, 1996), 3-й межвузовской научно-практической конференции студентов и молодых ученых Волгоградской области (Волгоград, 1996), XXV Всесоюзной студенческой конференции "Физика Космоса" (Свердловская обл., Коуровская АО, 1997), Pacific Rim Conference on Stellar Astrophysics (Гонконг, Китай, 1997), а также на научных семинарах ПИИФ РГУ (Ростов-на-Дону, 1997) и кафедры теоретической физики Волгоградского государственного университета (Волгоград, 1994-1997). Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в работах:

1. Еремин М.А., Коваленко И.Г., Лукин Д.В. Устойчивость ударной волны в среде с быстрой тепловой релаксацией. //Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1996. Вып. 1. С. 95-100.

2. Eremin М.А. Instability of spherical accretion with a shock wave onto a point mass. //Astron. Astrophys. Transact. 1998. V. 17.

3. Eremin M.A., Kovalenko I.G., Lukin D.V. Over-reflection and instability of shock waves in inhomogenious medium. //Astron. Astrophys. Transact. 1998. V. 17.

4. Eremin M.A., Kovalenko I.G. A point explosion in a freely expanding medium. //Astron. Astrophys. 1998. V. 335. P. 370-378.

5. Kovalenko I.G., Eremin M.A. Instability of spherical accretion - I: shock-free Bondi accretion. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1998. V. 298. No. 3. P. 861-871.

6. Eremin M.A., Kovalenko I.G. Instability of spherical accretion with a shock onto a compact object //ASP Conference Series. 1998. V. 138. P. 93-96.

7. Еремин M.A. Неустойчивость фокусирующейся ударной волны. //Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1998. Вып. 3. С. 94-101.

1. ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ

Классическое автомодельное решение Седова задачи о точечном взрыве [24,112] является отправной точкой для описания взрывных процессов, происходящих в различных астрофизических системах. С такой точки зрения могут быть рассмотрены вспышки сверхновых, коллективные взрывы сверхновых в ОВ-ассоциациях, взрывы первичных галактических объектов и сверхмассивных звезд в ранней Вселенной и т.д. Автомодельность, известная задолго до 1946 г., в тот период времени наиболее ярко демонстрировала возможность нахождения точного аналитического решения сложных гидродинамических задач, описываемых системой нелинейных уравнений в частных производных. Автомодельность использует некоторые свойства симметрий физических систем, а именно, их инвариантность по отношению к сжатиям и растяжениям. Благодаря этому факту имеется замечательная возможность построения точных решений нелинейных задач. Исключение степеней свободы, инвариантных относительно преобразований сжатия и растяжения, позволяет понизить размерность задачи и исследовать редуцированную задачу с помощью простых и более доступных средств.

Автомодельность задачи Седова обусловлена тем, что число размерных параметров задачи в точности равно четырем и это позволяет получить решение в виде единственной комбинации независимых переменных и размерных параметров с рациональным показателем автомо-дельности. Позднее было выяснено, что автомодельность также может возникать и в тех случаях, когда размерный анализ непременим. Так, в целом ряде задач показатель автомодельности может быть иррациональным [7,64]. Эти два случая сегодня различают как автомодельность первого и второго рода соответственно.

Замечательный успех автомодельности вдохновлял и продолжает вдохновлять исследователей искать решения в автомодельной форме во всевозможных ситуациях. Во многих задачах автомодельность возни-

кает естественным образом и обусловлена самой физикой явления. В таких задачах число существенных физических факторов в точности равно требуемуму минимуму. В этом случае автомодельные решения отражают общие, универсальные закономерности в поведении физических систем, проявляющихся либо на промежуточных1, либо на конечных стадиях эволюции астрофизических систем2.

Однако в гораздно большем числе ситуаций количество параметров задачи превышает требуемый минимум и построение автомодельного решения, вообще говоря, невозможно без наложения на эти "лишние" параметры некоторых специальных условий. В последнем случае автомодельные решения описывают очень частные ситуации, которые могут реализоваться только при специально приготовленных начальных, граничных или каких-либо других условиях. Тем не менее, огромное количество работ предполагает наличие автомодельности априорно, тем самым исскуственно накладывая дополнительные условия на параметры задачи только для того, чтобы получить аналитическое или полуаналитическое решение. Подобный подход, несомненно, демонстрирует популярность и вместе с тем ограниченность доступных аналитических методов.

Автомодельный подход является, пожалуй, единственным широко известным систематическим методом поиска точных нестационарных решений в виде УВ. В реальных условиях на динамику ударной волны оказывают влияние многочисленные факторы, не учитываемые при построении автомодельных решений: излучение энергии за фронтом ударной волны, неоднородность среды, наличие ненулевого давления пе-

1 адиабатическая стадия разлета сверхновой [25], адиабатическая УВ в экспоненциальной атмосфере [23,62], адиабатическое взаимодействие УВ, возникающей при взрыве сверхновой, с окружающей оболочкой

[45,89], УВ в неоднородной среде с испаряющимися облаками [51,118]

2 космологические УВ [71,34,79], космологические волны детонации

[35,73]

ред фронтом УВ, магнитные поля и многие другие, которые нарушают автомодельность задачи. В подобных ситуациях для поиска нестационарных решений обычно используют различные приближенные аналитические или полу аналитические методы, такие как метод Компанейца [11], метод секторной аппроксимации [81], приближение тонкой оболочки [28], приближение для моментов [96] (thin shell moment approximation по английской терминологии), различные комбинации этих методов [74] и разнообразные численные методы. Между тем, существует более мощный и более общий метод аналитического построения решений -групповой анализ дифференциальных уравнений, который включает в себя автомодельность как один из частных случаев. Этот метод реализует те же самые идеи о понижении размерности систем дифференциальных уравнений, но позволяет использовать более разнообразные симметрии, а не только простую инвариантность относительно сжатий и растяжений. Если построение автомодельных решений частично основывается на интуиции, то групповой анализ дает прямой алгоритм поиска симметрий и соответствующих им инвариантных решений. Подобный метод успешно применяется во многих областях физики от теории поля до прикладной гидродинамики, но к сожалению, не получил широкого распространения в астрофизике.

Одним из важных факторов, определяющих динамику ударной волны, является нестационарность среды, на фоне которой происходит взрыв. В настоящей главе построено точное инвариантное решение задачи о точечном взрыве в инерциально расширяющемся газе. Гомологичное расширение среды возникает в различных ситуациях. Перечислим некоторые из них.

1) Разлет остатка сверхновой II типа первые ~ 105 лет происходит внутри разреженной каверны, выдуваемой ветром предсверхновой. Расширение газа каверны не является инерциальным (v ~ 3r/5i), т.к. вещество ветра замедляется, затрачивая энергию на разгон внешних слоев межзвездного газа, нагребаемых ветром [117]. Динамика УВ

внутри разреженной каверны изучалась численно в нескольких раоо-тах [52,49].

2) Более ранней стадией взрыва сверхновой является стадия свободного разлета вещества звезды. Она начинается с того момента, когда ударная волна, выйдя из внутренних областей звезды на ее поверхность, "прорывает" атмосферу звезды и ее вещество начинает свободно расширяться в околозвездную среду, плотность которой на много порядков меньше плотности самой звезды, т.е. практически в пустоту. В [4,105] показано, что "прорыв" ударной волной атмосферы со степенным убывающим распределением плотности сопровождается свободным гомологичным расширением вещества (у = г/{) за фронтом ударной волны и степенным распределением плотности, которое в сферическом случае имеет вид: р ~ (£/г)п/£3 [50]. Для сверхновых I типа принимается п = 5.4 -г 8 [53], для сверхновых II типа п = 9 -т- 13 [72], а согласно численным расчетам для ЭК 1987А п ~ 9.6 [31]. Гомологичное расширение остатков звезды продолжается много дней после взрыва, до тех пор, пока масса нагребаемого вещества не станет равной по порядку массе выброса. В течение всего этого времени возможно возникновение вторичных взрывов внутри остатка.

Бурный интерес к исследованиям ранних стадий разлета остатка сверхновой объясняется возможностью непосредственного наблюдения этих стадий, как в случае сверхновой БК 1987А в Магеллановом облаке [31].

3) Гомологичное инерциальное расширение вещества за фронтом ударной волны происходит не только при прорыве степенной, но и экспоненциальной атмосферы [23,62]. Такая возможность реализуется в случае последовательности вспышек сверхновых, сосредоточенных в ОВ-ассоциациях [42,17]. При этом формируется крупномасштабная оболочка, т.н. каверна, имеющая размеры, сравнимые с толщиной газового диска галактики (^о ~ 200 пк). Каверна расширяется преимущественно в направлении от плоскости диска в сторону убывания

плотности межзвездного газа, распределенного по экпоненциальному (р ~ ехр(—2/2:0), где г - высота над плоскостью диска) или гауссовско-му закону. Поскольку расширение в сторону больших г происходит с ускорением, каверна вытягивается в вертикальном направлении и "прорывает" экспоненциальную атмосферу за конечное время, выбрасывая вещество из плоскости диска на большие высоты в галактическое гало [114,85,69,113]. Данное явление получило название "галактического фонтана" и считается основным механизмом поступления газа в газовое гало [108,94]. Подобные крупномасштабные оболочки наблюдаются как в нашей, так и во внешних галактиках [17].

4) Согласно теории взрывного образования галактик [95,70], крупномасштабная ячеистая структура Вселенной сформировалась в результате серии взрывов первичных объектов, таких как сверхмассивные звезды и первые галактики в ранней Вселенной. Эволюция космологических ударных волн происходит на фоне расширяющейся Вселенной, причем закон расширения имеет вид: V = 2г/Ш в случае плоской Вселенной с критической плотностью, в которой гравитационная энергия в точности компенсируется кинетической, и и ~ г/1 на больших временах для открытой Вселенной с пренебрежимо малой гравитацией. Хотя наблюдения со спутника СОВЕ скорее опровергают взрывной сценарий, нежели подтверждают его [82], развитая теория [71,34] может быть важной для описания индивидуальных взрывных явлений в межгалактической среде.

Астрофизические УВ, распространяющиеся в свободно расширяющейся среде, составляют немалую долю в вышеприведенном списке, а именно: УВ на стадии свободного разлета сверхновой и случай открытой Вселенной с пренебрежимо малой гравитацией. Изучение динамики УВ в свободно расширяющейся среде было предметом численного [65], аналитического автомодельного [71,34] и приближенного [96] анализов, главным образом в космологическом контексте. Отличительной чертой динамики является факт постепенного замедления УВ, так что

на поздних временах УВ асимптотически движется вместе с расширяющимся фоном.

Ограничимся рассмотрением негравитирующего инерциально расширяющегося газа, что соответствует моделям, перечисленным в п.п. 2,3. В рамках принятого нами подхода не может быть построено решение для замедляющегося фона (п.1). Космологические модели (п.4) должны учитывать влияние гравитации - это составляет предмет исследования отдельной задачи.

1. Модель

В решении задачи о точечном взрыве используем модель идеального политропного газа с показателем адиабаты 7. Система уравнений п-мерной гидродинамики в пренебрежении эффектами вязкости имеет вид [15]:

^ + сИу(ру) = 0, (1.1)

5 + = (1.2) дт)

+ (уУ> + тр ¿м V = 0, (1.3)

где V, р, р - скорость, плотность и давление среды соответственно. Предположим, что невозмущенная среда свободно расширяется по закону:

Момент времени £ = —¿о соответствует началу расширения. Пусть в момент времени £ = 0 в некоторой точке среды происходит взрыв, при котором мгновенно выделяется энергия Ео и формируется сферически симметричная ударная волна. Целью данной главы является изучение эволюции сильной ударной волны и структуры течения за ее фронтом в условиях, когда волна движется по свободно расширяющейся среде.

Рассмотрим случай среды со степенным распределением плотности. Также предполагаем, что масса, выброшенная источником взрыва пренебрежима мала по сравнению с массой нагребаемого вещества.

Решение Седова для сильного точечного взрыва на неподвижном фоне со степенным распределением плотности

Ро = Ро(г) ос г~ш и пренебрежимо малым давлением

Ро = О

автомо дельно, что совершенно естественно, так как динамика У В в этом случае однозначно определяется через четыре размерных параметра: t, г, ро и Е0. В частности, положение фронта УВ Rs выражается через три другие переменные степенным образом:

Rs = const(E0/p0J1/5*2/5 ос г2/(5""). (1.5)

В случае свободно расширяющейся среды распределение плотности имеет вид:

Ро = />о(М)=(^) ^ji, (1.6)

где А - константа с размерностью МЬШ~3Т3~Ш. Очевидно, что при свободном разлете вещества автомодельное решение не может быть построено, так как наряду с параметрами t,Eo,po, характеризующими закон расширения фронта ударной волны Rs(t) появляется дополнительный размерный параметр t0, который не позволяет однозначно связать Rs и t из соображений размерности. Тем не менее, точное решение задачи, которое уже не является автомодельным, все же может быть найдено с использованием методов группового анализа [20,21].

2. Построение инвариантного решения

Известно, что система п - мерных уравнений гидродинамики при произвольном показателе адиабаты 7 допускает группу точечных сим-метрий, зависящую от 4 + п(п + 3)/2 параметров и задаваемую следующими инфинитезимальными операторами [20]:

х - а (1.7)

х - 9 ОХг (1.8)

у - хз д д.* д | уз д гз дх1 дх$ Эу1 г 9 (1.9)

у - * д | д г дх{ сМ' (1.10)

(1.11)

(1.12)

У д м д (1.13)

где = 1,2,...,те. Эти операторы образуют линейное пространство с определенными свойствами (коммутатор любой пары операторов может быть выражен через линейную комбинацию всего набора операторов), которое называется алгеброй Ли.

Другими словами, существование группы симметрий системы уравнений (1.1)-(1.3) означает инвариантность этой системы относительно инфинитезимальных преобразований, задаваемых (1.7)-(1.13). Следует отметить, что группа обычно определяет глобальные преобразования, задаваемые конечными алгебраическими уравнениями. В случае конечных преобразований отыскание групп симметрий является достаточно сложной задачей, так как эта процедура связана с решением нелинейных уравнений. Несомненно, иметь дело с инфинитизи-мальными преобразованиями более удобно, поскольку они сводятся к

линейным определяющим уравнениям, которые всегда разрешимы. На этой стадии естественно появление алгебры, определяющей структуру группы в малом. Группа Ли и ее алгебра тесно связаны друг с другом, так что по группе можно восстановить алгебру и наоборот. В дальнейшем не делается различия между ними, за исключением тех случаев, где это необходимо.

Каждое преобразование, задаваемое операторами (1.7)-(1.13), имеет определенный физический смысл. Например, операторы (1.7)-(1.8) описывают инвариантность системы (1.1)-(1.3) относительно сдвигов во времени и пространстве, операторы (1.9) соответствуют инвариантности относительно вращений, операторы (1.10) представляют собой преобразования Галилея. Преобразования, задаваемые операторами (1.7)-(1.13), позволяют строить частные решения, некоторые из которых нам уже известны, и что более важно, строить новые классы частных, так называемых инвариантных решений, отражающие соответствующие свойства уравнений. Инвариантное решение, соответствующее оператору Хо, является стационарным, решение, инвариантное относительно вращений, - сферически симметричным и т.д. Автомодельные решения всегда представляют собой инвариантные решения, отвечающие операторам сжатия-растяжения [20]. В нашем случае существуют три оператора сжатия-растяжения - Z\,Z2•¡Zг■¡ которые отражают возможность масштабирования физических независимых и зависимых переменных. Благодаря линейности алгебры, любая линейная комбинация операторов так лее принадлежит этой алгебре. Это означает, что в более общем случае можно построить суперпозицию всех 4 + п(п + 3)/2 операторов с4-|-п(тг + 3)/2 — 1 произвольной константной и, таким образом, получим (4 + п(п + 3)/2 — 1)-параметрический класс частных инвариантных решений.

При 7 = {п + 2)/п происходит расширение группы - к (1.7)-(1.13)

добавляется оператор, впервые найденный Овсянниковым [19]:

=4+ +(*' ~ ^ ~ п{% - +(1Л4)

которому соответствует инвариантное решение, описывающее асимптотически свободный разлет вещества [8].

Очевидно, интересующее нас решение для точечного взрыва на расширяющемся фоне на ранних стадиях £ ~ 0 (£ <С ¿о) должно совпадать с автомодельным решением Седова, так как на таких коротких временах волна еще не успевает "почувствовать" расширение среды. Се-довское решение может быть построено как инвариантное решение, соответствующее некоторой суперпозиции операторов Z\, Z^¿•l С другой стороны, на поздних стадиях ¿о)? когда интенсивность ударной волны ослабевает, естественно ожидать, что вещество за фронтом волны расширяется в основном благодаря общему расширению среды, поэтому отыскиваемое решение должно соответствовать оператору Х+. Обе асимптотики должны непрерывно сшиваться на промежуточных временах. Указанному сценарию может удовлетворить инвариантное решение, отвечающее линейной комбинации операторов Х+, Zl, Z2, Zz'.

г = х+ + аг1 + ьг2 + (1.15)

где постоянные а, 6, с определим ниже из характера задачи. Исследование структуры оператора Z показывает, что наше предположение может оказаться правильным, так как коэффициетны Х+ пропорциональны I или х1 и при £ « 0 и хг « 0 вклад Х+ в Z мал. На больших временах, наоборот, его вклад является определяющим. Напомним, что оператор (1.14) существует только при 7 = (п + 2)/п. В дальнейшем полагаем п = 3, 7 = 5/3, что соответствует одноатомному идеальному газу.

Нас интересует сферически симметричное решение. В сфериче-

ской системе координат оператор Z принимает вид:

Z = (i2 + (a + 6)i)^ + r(a + i)|;+

+ (г -tv-bv)— + р(2Ъ + с - 3t)— +р(с - Ы) — .

Данному оператору отвечают инвариантные решения вида

аЛ

(1.16)

г =

а + Ъ

Р = (t + а + Ь)-(За+2г>+с)/аг(2Ы-с)/аЛ^Л^

а + Ь

г

V = -t

1 +

t + a + b

(V(X) - 1)

5 р

c2s = ^ = r2r2(t + a + Ъ)~2(а + b)2Z{\), о p

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

где Л - новая безразмерная инвариантная переменная, а - постоянная с размерностью длины, которая будет определена ниже, с3 - адиабатическая скорость звука, ?7(А), -К(А), Z(_X) - безразмерные функции А. Для того, чтобы построеное решение совпадало с решением Седова на ранних временах 0 < t <С ¿о? необходимо положить

2

а =

5 — си

to,

и 3 ~

Ь= --tQ,

5 — ш

6

5 — ш

с =

to-

Выражения (1.17)-(1.20) преобразовываются к виду:

r = a-t 2/(5-«)(i + io)(S-a,)/(6-«)j to

р =

¿+¿0

{t + t0y

г

V = -t

1 +

t

c2s =

r

t + to

to N

3Д(А)

V1 т i-oy

° (V(A)-l)

t2 \t + t0

Z( A).

(1.21) (1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

(1.27)

Переменная Л выступает в роли независимой инвариантой переменной. Как и в решении Седова полагаем, что области, охваченной ударной волной, соответствует интервал Ао < Л < 1, причем правая граница интервала достигается на фронте ударной волны (г = Rs)^ Ао - либо положительная константа (если решение имеет вид оболочки), либо ноль (в случае если решение простирается до центра симметрии). Параметр а определяем таким образом, что А = 1 при г = В,8.

Подставляя (1.24)-(1.27) в уравнения гидродинамики (1.1)-(1.3), записанные в сферической системе координат, получим редуцированную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для R,V,Z (штрихом обозначено дифференцирование по А):

полностью совпадающую с системой уравнений Седова [25].

Это не удивительно, так как на малых временах t ~ 0 выражения (1.24)-(1.27) в точности совпадают с найденными в [25], следовательно, редуцированная система (1.28)-(1.30) также должна совпадать с уравнениями Седова. А поскольку редуцированная система не зависит от t, то она должна сохранять свой вид в любой момент времени t > 0, в том числе и тогда, когда подстановки (1.24)-(1.27) уже не совпадают с автомодельными подстановками Седова.

Граничные условия на фронте определяются из стандартных законов сохранения для сильной УВ и имеют вид:

(1.28)

А

p0(v0 - Rs) = рг(уг - Rs), po(vQ - Rs)2 = _pi + - Rs) 28

2

(1.31)

(1.32)

2Л ' 2- ' (1'33)

где индексом " 1" обозначены величины за ударным фронтом. Скорость движения фронта можно определить, дифференцируя (1.24) по

времени и полагая Л = 1:

= ( г--г + ---:-— 1 -Я.«-

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Еремин, Михаил Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение коротко сформулируем основные результаты, полученные автором и представленные в диссертации:

1. Инвариантное решение в виде ударной волны, описывающее точечный взрыв в гомологично инерциально расширяющейся среде, на ранних стадиях совпадает с решением Седова, а на поздних соответствует свободному расширению вещества. Другими словами, при л "л t —» оо ударная волна оказывается вмороженной в вещество и динамика течения определяется в основном общим расширением среды. В тоже время профили плотности и давления остаются самоподобными в любой момент времени, а решение всегда представляет собой сильную ударную волну.

2. Аккреционное течение, описываемое решением Bondi, пространственно неустойчиво относительно косых возмущений. В случае чисто радиальных возмущений оба режима аккреции (критический и субкритический) абсолютно устойчивы. Неустойчивость связана с появлением ненулевого углового момента у вещества, который препятствует его падению на точечный источник гравитационного поля и способствует разрушению сферической геометрии течения. Наибольшей скоростью роста обладают возмущения тангенциальной скорости. Обнаруженная неустойчивость может весьма эффективно термализовать течение.

3. Неустойчивость ударной волны, возникающей при аккреции на точечный гравитирующий объект, связана главным образом с локальной неустойчивостью фронта ударной волны. Неустойчивость существует при любом расстоянии между звуковой точкой и ударной волной, а также для любого показателя адиабаты 1 < 7 < 5/3. Наибольшие инкременты соответствуют чисто радиальным возмущениям. С ростом расстояния между звуковой точкой и ударной волной фронт становится неустойчивым относительно косых возмущений с / = 1,2,3,4.

4. Исследование коэффициента отражения звука от фронта, обобщенного на случай неоднородного потока в рамках ВКБ-приближения, позволяет предсказывать возможную неустойчивость ударной волны, вызванную самим фронтом, без выполнения детального линейного анализа устойчивости и вскрыть механизм неустойчивости. Эффективность разработанного алгоритма показана на примере двух моделей ударных волн (ударная волна, возникающая при сферической аккреции и фокусирующаяся ударная волна), для которых факт существования неустойчивости подтверждается решением задачи Штурма-Лиувилля.

5. Фокусирующаяся ударная волна, движущаяся с ускорением в среде с постоянной плотностью, неустойчива относительно гофрировки поверхности фронта. Найденная неустойчивость наиболее сильно проявляется относительно радиальных возмущений. С ростом орбитального волнового числа инкременты уменьшаются и в коротковолновом пределе течение становится устойчивым. Основной причиной неустойчивости является спонтанное излучение звука поверхностью фронта, а не резонансное взаимодействие в потоке.

6. Исследование устойчивости плоской ударной волны в среде с быстрой тепловой релаксацией с учетом охлаждения за счет высвечивания и нагрева фоновым излучением показывает, что ударная волна устойчива по отношению к возмущениям с длиной волны, превышающей характерный масштаб релаксации и неограниченно долго излучает нейтральные звуковые колебания. Если ударная волна переводит газ из разреженной теплой фазы в плотную холодную фазу, т.е. кривая теплового равновесия имеет характерный Ван-дер-Ваальсов вид, то спонтанное излучение звука происходит только в том случае, когда число Маха натекающего газа превосходит некоторое критическое значение.

Данные результаты являются оригинальными и получены впервые.

Благодарности. Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю И.Г. Коваленко за постановки задач и многочисленные обсуждения результатов. Я считаю необходимым особо поблагодарить Е.А. Агеева, оказавшего мне помощь в редактировании рукописи. Эта работа не состоялась бы без постоянной поддержки моих родителей - Анатолия Петровича и Валентины Михайловны Ереминых.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Еремин, Михаил Анатольевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Варенблагпт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. - Л.: Гидр оме теоиз дат, 1978.

2. Берман В.Г., Марочник Л,С., Мишуров Ю.Н., Сучков A.A., Тимо-иин П.Н. //Астрон. журн. 1986. Т. 63. С. 31.

3. Бисноватый-Коган Г.С., Сюняев P.A. //Астрон. Журн. 1971. Т. 48. С. 881.

4. Ганделъмаи Г.М., Фраик-Каменецкий Д.А. //Докл. Акад. Наук СССР. 1956. Т. 167. С. 811.

5. Гуревич Л.Э., Румянцев A.A. //Астрон. журн. 1969. Т.46. С. 1158.

6. Дьяков С.П. //Журн. Экспер. Теор. Физ. 1954. Т. 27. С. 288.

7. Зельдович Я.В., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных явлений - М.: Наука, 1966.

8. Ибрагимов Н.Х. Групповые преобразования в математической физике. - М.: Наука, 1983.

9. Иорданский C.B. //Прикл. Мат. Мех. 1957. Т. 33. С. 465.

10. Каплан С.А., Пикелънер C.B. Физика межзвездной среды. - М.: Наука, 1979.

И. Компанеец A.C. //Докл. Акад. Наук СССР. 1960. Т. 130. С. 1001.

12. Конторович В.М. //Журн. Эксп. Теор. Физ. 1957. Т. 33. С. 1525.

13. Космическая газодинамика. - М.: Наука, 1972.

14. Кузнецов Н.М. //Успехи Физ. Наук. 1989. Т. 159. С. 493.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Наука, 1989.

17. Лозинская Т.А. Сверхновые звезды и звездный ветер: Взаимодействие с газом Галактики. - М.: Наука, 1986.

18. Марочник Л.С., Сучков A.A. Галактика. - М.: Наука, 1984.

19. Овсянников Л.В. //Докл. Акад. Наук СССР. 1958. Т. 118. С. 439.

20. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. - Новосибирск: изд. СО АН СССР, 1962.

21. О леер П. Д. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям - М.: Мир, 1989

22. Пименов С.Ф. //Письма в Астрон. Журн. 1995. Т. 21. С. 394.

23. Райзер Ю.П. //Журн. Прикл. Мат. Теор. Физ. 1964. Т. 4. С. 49.

24. Седов Л.И. //Прикл. Мат. Мех. 1946. Т. 10. С. 241.

25. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1981.

26. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: Мир, 1990.

27. Чернин А.Д. //Письма в Астрон. журн. 1997. Т. 23. С. 3.

28. Черный Г.Г. //Докл. Акад. Наук СССР. 1957. Т. 112. С. 213.

29. Шапиро С.Л., Тъюколски С.А. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды. - М.: Мир, 1985.

30. Эделъман М.А. //Астрофиз. 1989. Т. 31. С. 579.

31. Arnett W.D. //Astrophys. J. 1989. V. 331. P. 377.

32. Bandiera R. //Astron. Astrophys. 1984. V. 139. P. 368.

33. Begelman M.C. //Astron. Astrophys. 1978. V. 70. P. 583.

34. Bertschinger E. //Astrophys. J. 1983. V. 268. P. 17.

35. Bertschinger E. //Astrophys. J. 1985. V. 295. P. 1.

36. Bertschinger E. //Astrophys. J. 1986. V. 304. P. 154.

37. Beskin V.S., Pidoptigora Yu. //Zh. Eksper. Teor. Phys. 1995. V. 107. P. 1025.; //JEPT. 1995. V. 80. P. 575.

38. Bisnovatyi-Kogan G.S., Kazhdan Ya.M., Klypin A.A., Lutskii A.E., Shakura N.I. // Sov. Astrophys. 1979. V. 23. P. 201.

39. Bisnovatyi-Kogan G.S., Silich S.A. //Rev. Mod. Phys. 1995. V. 67. P. 661.

40. Bondi H. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1952. V. 112. P. 195.

41. Bondi H., Hoyle F. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1944. V. 104. P. 273.

42. Bruhweiler F. С., Gull Т.К., Kafatos М., Sofia S. //Astrophys. J. 1980. V. 238. P. L27.

43. Cammerer M., Shchekinov Yu. //Astron. and Astrophys. 1994. V. 283. P. 845.

44. Chang K.M., Ostriker J.P. //Astrophys. J. 1985. V. 288. P. 428.

45. Chevalier R.A. //Astrophys. J. 1982. V. 258. P. 790.

46. Chevalier R.A. //Astrophys. J. 1990. V.359. P.463

47. Chevalier R.A., Blondin J.M., Emmering R.T. //Astrophys. J. 1992. V. 392. P. 118.

48. Chevalier R.A., Imamura J.N. //Astrophys. J. 1982. V. 261. P. 543.

49. Chevalier R.A., Liang E.P. //Astrophys. J. 1989. V. 344. P. 332.

50. Chevalier R.A., Soker N. //Astrophys. J. 1989. V. 341. P. 867.

51. Chieze J.P., Lazareff B. //Astron. Astrophys. 1981. V. 95. P. 194.

52. Ciotti L., D'Ercole A. //Astron. Astrophys. 1989. V. 215. P. 347.

53. Colgate S.A., McKee C. //Astrophys. J. 1969. V. 157. P. 623.

54. Eremin M.A., Kovalenko I.G., Lukin D.V. jfAstron. Astrophys. Transact. 1998. V.17. принято к публикации

55. Erpenbeck J.J. //Phys. Fluids. 1962. V. 5. P. 1181.

56. Franco J., Miller W. W., Arthur S. J., Tenorio-Tagle G., Terlevich R. //Astrophys. J. 1994. V. 435. P. 805.

57. Fujimoto M. //Syrnp. IAU No. 29. P. 587.

58. Fukue J. //Publ. Astron. Soc. Jpn. 1987. V. 39. P. 309.

59. Gaetz T.J., Edgar J., Chevalier R.A. //Astrophys. J. 1988. V. 329. P. 927.

60. Garlick A.R. //Astron. Astrophys. 1979. V. 73. P. 171.

61. Goodman J. //Astrophys. J. 1990. V. 358. P. 214.

62. Grover R., Hardy J.W. //Astrophys. J. 1966. V. 143. P. 48.

63. Grun J., Stamper J., Manka C., Resnick J., Burris R., Crawford J., Ripin B.H. //Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 2738.

64. Guderley G. //Luftfahrtforschung. 1942. В.19. P.32.

65. Hausman M.A., Olson D.W., Roth B.J). //Astrophys. J. 1983. V. 270. P. 351.

66. Hoffman G.L., Salpeter E.E., Wasserman I. //Astrophys. J. 1983. V. 268. P. 527.

67. Houck J.C., Chevalier R.A. //Astrophys. J. 1992. V. 395. P. 592.

68. Hunt R. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1971. V. 154. P. 141.

69. Igumentshchev I.V., Shustov B.M., Tutukov A. V. //Astron. Astrophys. 1990. V. 234. P. 396.

70. Ikeuchi S. //Publ. Astron. Soc. Pacific. 1981. V. 33. P. 211.

71. Ikeuchi S., Tomisaka K., Ostriker J.P. //Astrophys. J. 1983. V. 265. P. 583.

72. Jones E.M., Smith B.W., Straka W.C. //Astrophys. J. 1981. V. 249. P. 185.

73. Kazhdan Ya.M. //Sov. Astrophys. 1986. V. 30. P. 261.

74. Koo B.-C., McKee C.F. //Astrophys. J. 1990. V. 354. P. 513.

75. Kovalenko I.G., Levy V. V. //Publ. Astron. Soc. Pacific. 1994. V. 66. P. 127.

76. Kovalenko I.G., Levy V. V. //Astron. Astrophys. 1992. V. 264. P. 406.

77. Kovalenko I. G., Lukin D. V. //Astron. Astrophys. 1998. in preparation

78. Kovalenko IShchekinov Yu. //Astron. and Astrophys. Transact. V. 1. P. 129.

79. Kovalenko I.G., Sokolov P.A. //Astron. Astrophys. 1993. V. 270. P. 1.

80. Langer S.H., Chanmugam G., Shaviv G. //Astrophys. J. 1981. V. 245. P. L23.

81. Laumbach D.D., Probstein R.F. //J. Fluid Mech. 1969. V. 35. P. 53.

82. Levin J. J., Freese K., Spergel D.N. //Astrophys. J. 1992. V. 389. P. 464.

83. Luo D., Chevalier R.A //Astrophys. J. 1994. V. 435. P. 815.

84. Lynds B.T. //Symp. IAU. 1970. No 38. P.26.

85. MacLow M., McCray R. //Astrophys. J. 1988. V. 324. P. 776.

86. MacLow M., Norman M.L. //Astrophys. J. 1993. V. 407. P. 207.

87. Molteni D., Lanzafame G., Chakrabarti S.K. //Astrophys. J. 1994. V. 425. P. 161.

88. Molteni D., Sponholz H., Chakrabarti S.K. //Astrophys. J. 1994. V. 457. P. 805.

89. Nadyozhin D.K. //Ap&SS. 1985. V. 112. P. 225.

90. NakayamaK. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1992. V. 259. P. 259.

91. Nakayama K. //Publ. Astron. Soc. Jpn. 1993. V. 45. P. 167.

92. NakayamaK. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1994. V. 270. P. 871.

93. Nobuta K, Hanawa T. //Publ. Astron. Soc. Jpn. 1994. V. 46. P. 257.

94. Norman C. A., Ikeuchi S. //Astrophys. J. 1989. V. 345. P. 372.

95. Ostriker J.P., Cowie L.L. //Astrophys. J. 1981. V. 243. P. L127.

96. Ostriker J.P., McKee C.F. //Rev. Modern. Physics. 1988. V. 60. P. 1.

97. Petterson J.A., Silk J., Ostriker J.P. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1980. V. 191. P. 571.

98. Roberts W.W. //Astrophys. J. 1969. V. 158. P.123.

99. Ruffert M. //Astrophys. J. 1994. V. 427. P. 342.

100. Ruffert M., Arnett D. //Astrophys. J. 1994. V. 427. P. 351.

101. Ryu D., Brown G.L., Ostriker J.P., Loeb A. //Astrophys. J. 1995. V. 452. P. 364.

102. Ryu D., Chakrabarti S.K., Molteni D. //Astrophys. J. 1997. V. 474. P. 378.

103. Ryu D., Vishniac E.T. //Astrophys. J. 1987. V. 313. P. 820.

104. Ryu D., Vishniac E.T. //Astrophys. J. 1991. V. 368. P. 411.

105. Sakurai A. //Comm. Pure Appl. Math. 1960. V. 13. P. 353.

106. Sawada K., Matsuda T., Hachisu I. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1986. V.219. P.75.

107. Scott H.A., Lovelace R.V. //Astrophys. J. 1982. V. 252. P. 765.

108. Shapiro P.R., Field G. B. //Astrophys. J. 1976. V. 205. P. 762.

109. Shapiro S.L. //Astrophys. J. 1973. V. 180. P. 531.

110. Shapiro S.L., Salpeter E.E. //Astrophys. J. 1975. V. 198. P. 671.

111. Shvartsman V.F. //Sov. Astrophys. 1971. V. 15. P. 377.

112. Taylor G.I. //Proc. Roy. Soc. London 1950. V. A 201. P. 175.

113. Tenorio-Tagle G., Rozyczka M., Bodenheimer P. //Astron. Astrophys. 1990. V. 237. P. 207.

114. Tomisaka K., Ikeuchi S. //Publ. Astron. Soc. Jpn. 1986. V. 38. P. 697.

115. Vishniac E.T. //Astrophys. J. 1983. V. 274. P. 152.

116. Vishniac E.T., Ryu D. //Astrophys. J. 1989. V. 337. P. 917.

117. Weaver R., McCray R., Castor J., Shapiro P., Moore R. //Astrophys. J. 1977. V. 218. P. 377.

118. White R.L., Long K.S. //Astrophys. J. 1991. V. 373. P. 543.