Некоторые пространственные задачи деформирования конструкций из анизотропных разносопротивляющихся материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Ходорович, Павел Юрьевич

• Ходорович, Павел Юрьевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Ходорович, Павел Юрьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 ОБЗОР МОДЕЛЕЙ МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К ВИДУ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

1.1 Предварительные замечания

1.2 Модели первой группы

1.3 Модели второй группы

1.4 Выводы по главе

2 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

2.1 Введение в главу

2.2 Закон деформирования

2.3 Определение констант разрешающих уравнений

2.4 Сравнение экспериментальных диаграмм деформирования различных материалов с теоретическими

2.5 Выводы по главе

3 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБЪЕМНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

3.1 Выбор метода решения поставленной задачи

3.2 Основы метода конечных элементов

3.3 Построение матрицы жесткости для расчета объёмных конструкций из анизотропных разносопротивляющихся материалов

3.4 Выводы по главе

4 РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ, ВЫПОЛНЕННЫХ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ

РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

4.1 Введение в главу

4.2 Алгоритм определения параметров напряженно-

деформированного состояния конструкций

4.3 Граничные условия

4.4 Рассматриваемые определяющие соотношения

4.5 Расчет цилиндрической оболочки №1

4.6 Расчет цилиндрической оболочки №2

4.7 Расчет сферической оболочки

4.8 Расчет слоистого полупространства

4.9 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ПРИЛОЖЕНИЕ Д - ТЕХНИЧЕСКИЕ АКТЫ ВНЕДРЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые пространственные задачи деформирования конструкций из анизотропных разносопротивляющихся материалов»

- 4 -ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Одной из основных задач современной механики деформируемого твердого тела является повышение точности определения параметров напряженно-деформированного состояния конструкций и их элементов, для этого необходимо как можно точнее учитывать реальные свойства материалов, из которых они изготовлены. А также особое значение имеют ресурсы, направленные на выполнение таких расчетов, и необходимый уровень подготовки инженера-расчетчика.

В работах [44, 93, 160, 166, 167, 172] приведены экспериментальные исследования, которые показывают, что механические характеристики многих материалов, применяемых в современных отраслях промышленности, таких как строительство, машиностроение и горное дело, проявляют чувствительность к виду напряженного состояния. К тому же значительная их часть (полимеры, стеклопластики, композиты, графиты) обладает структурной анизотропией. Такие материалы набирают все большую востребованность на рынке в виду целого ряда достоинств, таких как - повышенная химическая и коррозийная стойкость, достаточные показатели прочности и жесткости, возможность придания изделиям необходимую форму, пониженные показатели теплопроводности. Кроме того, исследования [23, 30, 31] говорят о том, что большинство нескальных грунтов обладают как анизотропией, так и чувствительностью к виду напряженного состояния. Основным недостатком таких объектов является отсутствие проверенных теорий расчета.

Анизотропные разносопротивляющиеся материалы широко используются для изготовления элементов толстостенных пространственных конструкций, таких как цилиндрические оболочки различных видов, оболочки положительной гауссовой кривизны, толстые диски, плиты и так далее.

В современной механике деформируемого твердого тела для определения параметров напряженно-деформированного состояния пластинчатых и оболочечных конструкций зачастую используются гипотезы о распределении этих параметров по толщине элемента (такие как теория тонких пластин и оболочек Кирхгофа-Лява, средней толщины С.П.Тимошенко, Э.Рейсснера и т.д.), в рамках предложенных подходов решались задачи, представленные в [8, 53, 87 - 92, 100, 106, 114, 170, 171] . Но, к сожалению, не все инженерные сооружения могут подходить под определение «тонких» или «средней толщины», поэтому автором предлагается построить решение прикладных задач на общей трехмерной теории упругости и использовать все компоненты тензоров напряжений и деформаций. Такой подход несет в себе существенное увеличение количества уравнений, но это компенсируется широким развитием вычислительной техники.

Подавляющая часть теорий деформирования

конструкционных материалов механики деформируемого твердого тела базируется на гипотезах существования однозначной связи между напряжениями и деформациями и

пропорциональности девиаторов двух соосных тензоров, но исследования показывают, что они не могут оценить параметры напряженно-деформированного состояния грунтов и

конструкционных материалов из материалов, обладающих

«неклассическими» свойствами с необходимым уровнем точности.

Особо следует отметить, что данные особенности проявляются при сложном напряженном состоянии, которое отличается от простого растяжения-сжатия.

Теория деформирования материалов, чувствительных к виду напряженного состояния зародилась в начале шестидесятых годов двадцатого века. За время ее развития был разработан ряд моделей для описания свойств разносопротивляющихся материалов, но все же большинство из них обладает существенными недостатками, так как базируются на отдельных грубых гипотезах, подходят не для всех материалов и имеют относительно высокие расхождения с опытными данными. Поэтому вопрос выбора определяющих соотношений стоит особо остро.

В настоящее время существует достаточно большое количество моделей описывающих свойства материалов с усложненными свойствами, но их практическое применение упирается в развитие численных методов и использование этих соотношений в расчетных программах, к тому же большинство из них имеют существенные ограничения в использовании.

Таким образом, для решения задач об определении напряженно-деформированного состояния различных

конструкций, например, оболочек различной конфигурации, плит или полупространств, выполненных из анизотропных материалов с усложненными свойствами, необходимо совершенствовать процедуры получения решения, так как существующие варианты методов решения задач механики деформируемого твердого тела не позволяют эффективно решать такие задачи.

Развитие вычислительной техники и увеличение мощности ЭВМ обусловили широкое внедрение в расчетную практику численных методов. Наиболее эффективным применительно для задач расчета напряженно-деформированного состояния конструкционных элементов широкой разновидности конструкций встречающихся в инженерной практике следует признать метод конечных элементов.

В настоящее время метод конечных элементов один из самых распространенных численных методов для решения задач механики деформируемого твердого тела, строительной механики, термодинамики, гидромеханики, электростатики и других областях где необходим прочностной и жесткостной расчет. Это обусловлено несколькими его преимуществами такими, как наглядная механическая интерпретация основных идей, возможность использования в инженерных расчетах, четко обоснованные вариационные принципы, лежащие в его основе, простота задания граничных и начальных условий, механических и температурных нагрузок, высокая степень автоматизации решения. Кроме того, вычислительная техника в настоящее время развилась настолько, что инженера уже не беспокоят размерности разрешающих уравнений, а также, метод обладает простой физической интерпретацией. В виду возможности повышения детализации конструкций (повышение количества конечных элементов в схеме, использование в одной схеме нескольких видов конечных элементов, повышение размерности задачи) существенно повышается точность итогового решения.

Таким образом, целью диссертационной работы является построение уравнений метода конечных элементов для учета напряженно-деформированного состояния пространственных

объемных конструкций и сооружений из анизотропных материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также иллюстрация работоспособности разработанных моделей решением ряда трехмерных прикладных задач с помощью метода конечных элементов.

Для этой цели выделены основные задачи:

1. На базе обзора определяющих соотношений деформирования анизотропных разносопротивляющихся сред, выбрать наиболее подходящую для решаемого класса задач.

2. На основе выбранных определяющих соотношений, используя положения общей трехмерной теории упругости, построить модель определения напряженно-деформированного состояния толстостенных конструкций с учетом чувствительности материала к виду напряженного состояния, на базе метода конечных элементов;

3. Построить матрицу жесткости трехмерного конечного элемента в форме тетраэдра и разработать алгоритм реализации предложенного метода на ЭВМ. Разработать компьютерную программу, основанную на предложенном алгоритме.

4. Решить ряд прикладных задач по деформированию толстых цилиндрических и сферических оболочек, произвести сравнение полученных параметров НДС с аналогичными, полученными на основе определяющих соотношений других известных авторов.

5. Решить задачу о давлении на ограниченное полупространство, состоящее из слоев анизотропных разносопротивляющихся материалов, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой на заданном прямоугольном участке поверхности, произвести сравнение полученных параметров НДС

с аналогичными, полученными на основе определяющих соотношений других известных авторов.

6. Произвести как количественный, так и качественный анализ полученных результатов, а также обобщить полученные данные в виде рекомендаций к расчёту конструкций из анизотропных материалов, чьи механические характеристики зависят от вида напряженного состояния.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

1. Матрица жесткости объемного конечного элемента в форме тетраэдра с компонентами, учитывающими анизотропию и усложненный характер деформирования материала конструкций;

2. Уравнения метода конечных элементов для определения НДС толстостенных объемных конструкций из анизотропных материалов чувствительных к виду напряженного состояния;

3. Вариант алгоритма решения задачи об определении НДС конструкций с учетом физической нелинейности работы материала и его программная реализация;

4. Результаты расчетов, демонстрирующие количественные эффекты НДС при использовании предлагаемой модели для расчета объемных конструкций из ортотропных материалов чувствительных к виду напряженного состояния.

Практическая и теоретическая значимость заключается в следующих результатах:

- построены уравнения метода конечных элементов для массивных конструкций из анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния;

- разработана программа для расчета объемных конструкций из анизотропных разносопротивляющихся материалов;

- предложенные уравнения могут быть усовершенствованы с учетом возможных свойств, не приведенных в диссертации (таких, как пластичность и вязкость);

- возможность использовать результаты в учебном процессе студентов, обучающихся по направлению «Строительство» и «Механика деформируемого твердого тела»;

- программное обеспечение может использоваться для поверочных расчетов строительных конструкций и машиностроительных изделий.

Объект исследования - толстостенные цилиндрические и сферические оболочки, загруженные равномерно-распределенной вертикальной нагрузкой с учетом таких свойств материала как разносопротивляемость и анизотропия. Ограниченное

полупространство, нагруженное равномерно распределенной нагрузкой на заданном прямоугольном участке поверхности, состоящее из слоев анизотропных разносопротивляющихся материалов.

Предмет исследования - новые количественные и качественные оценки параметров напряженно-деформированного состояния толстостенных цилиндрических оболочек, а также слоистого полупространства из анизотропных материалов со свойствами, чувствительными к виду напряженно-

деформированного состояния.

Методология и методы исследования, применяемые в диссертационном исследовании:

- общепризнанные фундаментальные гипотезы трехмерной теории упругости, которые основаны на базовых принципах механики деформируемого твердого тела;

- метод конечных элементов для построения дискретной расчетной модели и проведения деформационного расчета;

- метод «переменных параметров упругости», предложенный И.А. Биргером.

Достоверность представленнвж научных положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов с использованием численных методов широко апробированных не только в научно-исследовательских, но и инженерных кругах, на основе ключевых уравнений механики деформируемого твердого тела. Модель, принятая для описания деформирования материала, чьи свойства зависят от вида напряженного состояния, с большей точностью по сравнению с известными теориями соответствует имеющимся экспериментальным данными и является свободной от неподтвержденных гипотез и противоречий.

При решении задач об определении параметров напряженно-деформированного состояния массивных

конструкций, выполненных из анизотропных

разносопротивляющихся материалов, использовался полный набор компонент тензоров напряжений и деформаций. В процессе решения выполнялась проверка сходимости метода конечных элементов, а полученные параметры НДС сравнивались с аналогичными, полученными на базе других распространенных теорий деформирования материалов с «усложненными» свойствами, а также на базе классической теорией анизотропии.

- 12 -

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях:

- на Х^-й -ХУ11-й Международной конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (г. Тула, ТулГУ, 2013-2016 г.г.);

- на 10-й Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики «Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики» (г. Тула, ТулГУ, 2014 г.);

- на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, ТулГУ, 2013; 2014; 2015 г.);

- на VII-й - У111-й Молодёжной научно-практической конференции студентов «Молодёжные инновации» (г. Тула, ТулГУ, 2014; 2015 г.);

- на VII-IX Магистерской НТК (г. Тула, ТулГУ, 20122014 г.);

- на II Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы механики в современном строительстве» (г. Пенза, 2014 г.);

- на 10 и 12 Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики (г. Тула, 2014; 2016 г.).

По результатам всех перечисленных конференций опубликованы тезисы и полные тексты докладов.

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и пяти приложений.

В первом разделе диссертации приводится обзор экспериментальных данных деформирования различных анизотропных разносопротивляющихся материалов,

анализируются основные направления в разработке соотношений между напряжениями и деформациями для анизотропных материалов со свойствами, зависящими от вида напряженного состояния. Кроме того, приводится обзор методов моделирования напряженно-деформированного состояния

трехмерных тел.

Во втором разделе рассматривается построение модели определяющих соотношений А.А. Трещева [119, 122, 133, 140, 142,] для анизотропных разносопротивляющихся материалов в рамках подхода нормированных напряжений разработанном Н.М. Матченко, А.А. Трещевым. Приведены определяющие соотношения для различных структурно анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, описывающих их деформирование. Рассмотрены основные частные случаи анизотропных материалов. Показаны принципы определения констант конституционных соотношений. Приведено сравнение экспериментальных данных по деформированию различных материалов с результатами, полученными с использованием различных моделей, для доказательства лучшей

согласованности рассмотренной модели определяющих соотношений с опытными данными.

В третьем разделе диссертации на базе стандартного конечного элемента в виде тетраэдра с тремя степенями свободы в узле строится матрица жесткости для анизотропных разносопротивляющихся материалов.

В четвертом разделе диссертации предложен алгоритм решения прикладных задач по определению напряженно-

деформированного состояния объемных конструкций из анизотропных разносопротивляющихся материалов. Для иллюстрации предложенного алгоритма приводится решение нескольких характерных задач, таких как цилиндрические и сферические толстые оболочки, а также задача о давлении на полупространство.

Заключение содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных

исследований.

В приложениях приведены результаты решения задач в графической форме, а также технические акты внедрения.

По материалам диссертации автором опубликованы исследования в работах [103 - 105, 108 - 112, 118, 124 -128, 130, 132, 139, 143, 147 - 156, 173].

- 15 -

1 ОБЗОР МОДЕЛЕЙ МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К ВИДУ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

1.1 Предварительные замечания

К настоящему времени предложен целый ряд моделей, в которых на основании тех или иных гипотез строились определяющие соотношения для анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Все это многообразие можно разделить на две группы в зависимости от способа описания деформирования этих сред.

Для первой группы характерен тезис о том, что механические характеристики напрямую зависят от знаков напряжений или деформаций, возникающих при деформировании. Эта группа характеризуется кусочной формой энергетических поверхностей. В рамках данной группы предложены определяющие соотношения следующих авторов: С.А. Амбарцумяна и А.А. Хачатряна [1 - 7], Ф. Таббадора [174, 175], Р.М. Джонса и Д.А.Р. Нельсона [160 - 166], К.В. Берта и Д.Н. Реди [158, 159, 167 - 169], А.А. Доко и О.А. Одиноковой [35]. В рамках второй группы, для описания свойств разносопротивляющегося материала, авторами предложено использовать некоторые функции вида напряженного состояния, от которых зависит жесткость материала. Даная группа представлена моделями А.В. Березина и П.Л. Пономарева, А.А. Золочевского [37 - 48], Е.В. Ломакина [60 - 67], [11 - 22, 91, 92], К.Ф. Комкова [56 - 58], С.А. Капустина и С.Ю. Лихачевой [54], Н.М. Матченко и А.А. Трещева [68 - 7 6]. В качестве характеристик напряженного состояния разными авторами было предложено использовать

фазовый инвариант, параметр жесткости напряженного состояния, эквивалентное напряжение, нормированные напряжения.

В виду широкой разновидности конструкционных анизотропных разносопротивляющихся материалов во всех инженерных областях современности, необходимо выбрать определяющие соотношения, наиболее общие и более точно описывающие указанные свойства, поэтому подход к построению таких соотношений должен быть физичным и соответствовать проведенным экспериментам с достаточно высоким уровнем точности. Поэтому далее в рамках диссертационной работы рассматриваются работы авторов, внесших значительный вклад в развитие данной области науки.

1.2 Модели первой группы

Модель С.А. Амбарцумяна, А.А. Хачатряна

В работах [1-7] предлагается простейший вариант описания деформирования разносопротивляющихся материалов, при котором в пределах малых упругих деформаций устанавливаются кусочно-линейные связи между главными напряжениями и главными деформациями. В данной теории матрица податливости скачком меняет свои значения при изменении знака главного напряжения, перед которым элемент этой матрицы является сомножителем.

Для данной теории характерно разделение конструкции на области относительно знаков главных напряжений. В области первого рода знаки главных напряжений совпадают, а определяющие соотношения выглядят как (1.1, 1.2), а область второго рода характеризуется разными знаками главных

напряжений, для нее определяющие соотношения выглядят как (1.3, 1.4).

При о1 > 0 , о2 > 0 , о3 > 0 :

е11 = Ь+11°1 + Ь+12°2 + Ь+13°3

е = Ь1 о + Ь1 о + Ь1 о

^33 ^13^1 23 2 -^33^3

(1.1)

При о1 < 0 , о2 < 0 , о3 < 0 :

е1±= Ь-1о + Ь-2о2 + Ь-13о3 , е22 = Ь-2о2 + Ь-22о2 + Ь-23о3 ,

е33 = Ь13о1 + Ь23о 2 + Ь23о 3 •

При о1 > 0 , о2 > 0 , о3 < 0 :

е1±= Ь1 о + Ь+2 о2 + Ь-3 о3 , е22=Ь+2 о1+Ь122 о2+Ь23 о3 , е = Ь1 о + Ь1 о + Ь1 о .

33 13 1 23 2 33 3

При о1 > 0 , о2 < 0 , о3 < 0 : е11=Ь+11 о1+Ь1РоР + Ь13о3 , е??=Ь+1?о1+Ь1?о?+Ь~3о3 ,

е33 Ь13о1 + Ь23о 2 + Ь23о 3 *

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Коэффициенты податливостей Ь1 и Ь1 можно выразить через механические характеристики на растяжение и сжатие: Ь+11=1/Е+11, Ь21=1/Е21 , = ^/Е^ , Ь1о=1у1/Еи ,1 Ф ^ . (1.5)

Из приведенных выше соотношений видно, что для областей первого рода (1.1, 1.2) справедлив классический закон Гука для анизотропных материалов, где в качестве механических характеристик используются соответствующие характеристики на растяжение или сжатие. Для того чтобы корректно использовать данные соотношения необходимо заранее разделить конструкцию на области с определенными знаками главных напряжений и для каждой из них вычислять

коэффициенты деформаций Ь± .

В связи с симметрией матрицы податливости для областей второго рода на механические характеристики E^,

Vи E^, v-. накладываются ограничения:

v+./E+ =v- /E- (1.6)

ij 1 ji' j v '

В связи с ограничениями (1.6), а также с необходимостью заранее знать распределение главных напряжений по областям конструкции ограничивается не только класс рассматриваемых материалов, но и возможных задач.

Модель Ф. Табаддора В работах [174, 175] Ф. Табаддор, в рамках подхода, предложенного С.А. Амбарцумяном А.А. Хачатряном, при рассмотрении закона связи между напряжениями и деформациями получил единое представление закона упругости при любых знаках главных напряжений. Это стало возможно благодаря использованию функции U(x), которая может принимать одно из двух фиксированных значений U(x) = 0 , при х<0 и U(x) = 1 при x>0 . Однако принципиальных отличий между моделями Табаддора и Амбарцумяна-Хачатряна нет, то есть присутствует ограничения вида (1.6) и для определения функции U(x) по-прежнему необходимо знать распределение главных напряжений в конструкции.

Модель Р.М. Джонса, Д.А.Р. Нельсона Р.М. Джонс и Д.А.Р. Нельсон в работах [160 - 166] рассмотрели плоское напряженное состояние разномодульного отротропного материала. Главные оси p и q совпадали с главными осями напряжений. Соотношения между деформациями и напряжениями имеют вид:

р — Б + Б рда

рр Бц Ор -Г 912 Одг

£д — БрдОр + Бр2Од , (1-7)

У рд — Б61 Ор + Б62 О д г

В случае, если главные оси напряжений не совпадают с главными осями деформаций в недиагональные элементы матрицы податливости вводятся весовые коэффициенты к и к :

при Ор >0 и Од >0: Брд — Брд, при Ор <0 и Од <0:Брд — БрУсГ

при ор > 0 и Од < 0: Брд — Брд, Б% — к^ + к ^

орд _ орд орд — орд орд _ орд

°22 о22сГ °61 Б61t' °62 °62сг

при О р < 0 и Од > 0: Б1 — Б^ Б% — к рБ™ + кдБрд,

орд — орд орд — орд орд — орд

о22 о 22tг °61 —о61с' °62 —

(1.8)

(1.9)

(1.10) (1.11)

Ог

62^

+ ' кд +

О О О О

р я р я

где кр =

В качестве весовых коэффициентов можно использовать и другие функции, а окончательный их вид необходимо определить по результатам специальных экспериментов [164] . Из соотношений видно, что матрица податливостей симметрична, поэтому данная теория свободна от искусственных ограничений на механические характеристики материала. В зависимости от изменения напряженного состояния элементы матрицы податливости меняется

непрерывно,

что

выгодно

отличает

эту

теорию

от

рассмотренных ранее. Для элемента матрицы податливости Брд необходимо использовать выражение, зависящее от главных напряжений по двум направлениям, то есть, если

ор > 0, од < 0 , то Брдд — крБр^ + кдБрдСс, где кр и кд зависят от

О

р

и О

ч •

Следует заметить, что недиагональные элементы

матрицы податливости не могут зависеть более чем от пары

главных напряжений. Например, элемент матрицы Spq зависит

от знака ар, то есть

при ар > 0: Spq — Spqt, при ар < 0: Spq — Spqc, так как второе

напряжение является нулевым. Элемент Spq определяется таким же способом.

Элементы матрицы податливости в координатах главных осей материала (ш, п) находятся согласно выражений (1.8 -

1.11), но для определения элементов Smnt (1/Gm¡t) и Smnc

(1/С%?с) необходимо проводить испытания на растяжение и сжатие по осям, направленным под углом 45° к главным осям материала, а искомые элементы матрицы податливости можно определить по формуле:

1 4

^тл _ 1 4

6 6^ 45

Gmлt Et

^ 1 + 1 2 ■Утл ^

ЕЕ Е

V Emmt Eллt Emmt У

(1.12)

Для нахождения Smnc используется формула, аналогичная (1.12).

Можно показать, что представленная модель приводит к разным модулям сдвига при касательных напряжениях разного знака, действующих на площадках под углом 45° к главным направлениям материала. Это свойство, очевидно, согласуется с известным фактом различной прочности композиционных материалов на сдвиг при касательных напряжениях разного знака. Чтобы показать, что улучшенная модель действительно обладает рассматриваемым свойством, разберем случаи «положительного» и «отрицательного» касательных напряжений, действующих на площадках под углом 45° к главным направлениям материала. Для случая «положительного»

касательного напряжения податливости в главных осях напряжений записываются в виде:

11 11t 12 12t 12c ^

qpq=qmn qpq=n qpq=n S22 S22c' S 61 0' S62 0-

На площадке, образующей угол 45° с главными осями

напряжений и с главными направлениями материала, действуют

чисто касательные напряжения. При этом:

S6 5 = S11 + S25 ~ 2S15 • (1-14 )

Заметим, что Spq в (1.13) отсутствует. Модуль сдвига

65

есть величина, обратная S25, и его можно выразить через

qmn . Sij •

q65 _ /Qmn Qmn _ Qmn _ Qmn i , Ilex

St ~(S11t + S22c ~ S12t ~ S12c) • (1.15)

В случае «отрицательного» касательного напряжения податливости в главных осях напряженного состояния имеют вид:

opq — qmn npq _ п г /Qmn , Qmn ,

S11 ~ S11c' S12 ~ 0-5(S12t ^ S12c) ,л лгх

(1.16)

opq _ qmn qpq _ n qpq _ n

S22 ~ S22t'S61 ~ 0' S62 ~ 0ш

Отсюда получим:

65 mn mn mn mn

Sc ~(S11c + S22t ~ S12t ~ S12c) • (1-17)

65 65

Наконец, из сравнения S1 и S2 видно, что модель Р.М. Джонса - Д.А.Р. Нельсона приводит к значениям модуля сдвига, зависящим от знака касательного напряжения, действующего на площадке под углом 45° к главным направлениям материала.

Таким образом, показано, что описываемая модель удовлетворяет условиям симметрии матрицы, зависимости от двух главных напряжений.

Модель К.В. Берта, Д.Н. Редди К.В. Берта и Д.Н. Редди в работах предложили способ описания деформирования волокнистых или армированных материалов, у которых жесткость волокон выше жесткости связующего. Авторами выдвинута гипотеза о том, что для анизотропного армированного материала компоненты матрицы податливости зависят от знака нормальных напряжений в направлении, перпендикулярному направлению волокон, то есть если это напряжение сжимающее, используется одна матрица податливости, а если растягивающее - другая. Соотношения можно записать в следующем виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ходорович, Павел Юрьевич, 2018 год

- 113 -СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амбарцумян, С.А. К разномодульной теории упругости [Текст] / С.А. Амбарцумян, А.А. Хачатрян // Инж. журнал МТТ. - 1966. - № 6. - с. 64-67.

2. Амбарцумян, С.А. Об одной модели наследственно-упругого тела, разносопротивляющегося растяжению и сжатию [Текст]/ С.А. Амбарцумян // ПММ. - 1971. - Т. 35. - Вып. 1.

- С. 49-60.

3. Амбарцумян, С.А. Общая теория анизотропных оболочек [Текст] / С.А. Амбарцумян - М.: Наука, 1974. - 446 с.

4. Амбарцумян, С.А. Основные уравнения и соотношения разномодульной теории упругости анизотропного тела [Текст] / С.А. Амбарцумян // Изв. АН СССР. МТТ, 1969. - № 3. - С. 51-61.

5. Амбарцумян, С.А. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию [Текст]/ С.А. Амбарцумян, А.А. Хачатрян // Инж. журнал МТТ, 1966. - № 2. - с.4 4-53.

6. Амбарцумян, С.А. Разномодульная теория упругости [Текст] / С.А. Амбарцумян - М.: Наука, 1982. - 320 с.

7. Амбарцумян, С.А. Теория анизотропных пластин: прочность, устойчивость, колебания [Текст]/ С.А. Амбарцумян

- М.: Наука, 1967. 266 с.

8. Бажанов, В.Л. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. Учеб. пособие для вузов / В.Л. Бажанов, И.И. Гольденблат. - М.: «Высшая школа», 1970. - C. 408 с ил.

9. Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст] / Н.С

Бахвалов. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука».- 1975. - С. 632.

10. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. - М.: Высш. Школа. - 1968. - С. 512.

11. Березин, А.В. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел [Текст] / А.В. Березин. - М.: Наука.- 1990.

12. Березин, А.В. Деформирование и разрушение дилатирующих разносопротивляющихся материалов [Текст] /

A.В. Березин, Д.А. Сахнов // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 20-24 августа 2015 года. с. 455-455.

13. Березин, А.В. Деформируемость и разрушение изотропных графитовых материалов [Текст] / А.В. Березин,

B.И. Строков, В.Н. Баранов // Конструкционные материалы на основе углерода. - М.: Металлургия, 1976. - Вып. П. - С. 102-110.

14. Березин, А.В. Механика разрушения дилатирующих разномодульных сред [Текст] / А.В. Березин // Пробл. машиностроения и надежности машин. - 1997. № 1. с. 59-70.

15. Березин, А.В. О законах деформирования разномодульных дилатирующих сред / А.В. Березин // Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. -2007. - № 2. - с. 70-72.

16. Березин, А.В. Применение углепластиковых композиционных материалов в агрегатах планера гражданских самолетов ПАО «Туполев» [Текст] / А.В. Березин, М.Р. Абдулин, О.А. Дельбирдиева, М.И. Алексейчик // Проблемы машиностроения и автоматизации. - Национальный институт

авиационных технологий. - 2016. - Номер 3 - с. 4-9.

17. Березин, А.В. Проблемы механики разрушения дилатирующих разносопротивляющихся сред [Текст] / А.В. Березин // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: Изд-во Сибирского отделения РАН, 2014 - Т. 55, № 1(323). с. 23-26.

18. Березин, А.В. Сопротивление деформированию и разрушению изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния [Текст] / А.В. Березин Е.В. Ломакин, В.И. Строков, В.Н. Барабанов // Проблемы прочности. - 1979. - № 2. - с. 60-65.

19. Березин, А.В. Трещины в разносопротивляющихся дилатирующих материалах [Текст] / А.В. Березин // Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 2011. с. 304307.

20. Березин, А.В. Трещины поперечного и продольного сдвига в разномодульных дилатирующих средах [Текст] / А. В. Березин, П. Л. Пономарев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 2002. № 3. с. 127-135

21. Березин, А.В. Экспериментальное вычисление функций разномодульности в модели трастропной среды [Текст] / А.В. Березин, П.Л. Пономарев // Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 2001. - № 6. - с. 83-91.

22. Березин, И.С. Методы вычислений: в 2 т. Т. 1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литры, 1959. - С. 464.

23. Бугров, А.К. Анизотропные грунты и основания сооружений [Текст] / А.К. Бугров, А.И. Голубев. — СПб.: Недра, 1993. — 245 с.

инженеров-строителей) [Текст] / П.М. Варвак, А.Ф. Рябова. -Киев: «Буд1вельник». - 1971. - С. 418.

25. Варнак, П.М. Метод конечных элементов: Учеб. пособие для вузов [Текст] / Под ред. П.М. Варвака. — Киев: В ища школа. Головное изд-во, 1981.— 176 с.

26. Васильев, Н.В. Моделирование напряженно-деформированного состояния гибких слоистых пластин из анизотропных разносопротивпяющихся материалов с учетом геометрической нелинейности [Текст] / Н.В. Васильев, А.А. Трещев, В.Г. Теличко // Известия Тул-ГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. Тула: Изд-воТулГУ, 2011.-с. 541-547.

27. Васильев, Н.В. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной гибкой пластины из анизотропного разнсопротивляющегося материала с учетом больших прогибов [Текст] / Н.В. Васильев, А.А. Трещев // Строительная механика и расчет сооружений. Научно-технический журнал №6{239). М.: ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко, 2011. - с. 42-48.

28. Васильев, Н.В. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной гибкой пластины из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом больших прогибов [Текст] / Н.В. Васильев, А.А. Трещев // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012.-с. 179-188.

29. Вольмир, А.С. Гибкие пластинки и оболочки [Текст] / А.С. Вольмир. - ГИТТЛ, М, 1956.

30. Вялов, С.С. Вопросы теории деформируемости связанных грунтов [Текст] / С.С. Вялов // Основания, фундаменты и механика фунтов. - 1966. - №3. - с. 1-4.

учеб. пособие для строительных вузов. [Текст] / С.С. Вялов.

- М.: Высш. школа, 1978.- 447 с.

32. Гольденвейзер, А.Л. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин [Текст] / А.Л. Гольденвейзер // Изв. АН. МТТ. - 1997. - № 3. - с. 134-149.

33. Григолюк, Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай. - М.: Наука, Физматгиз, 1997. - 272 с.

34. Демидов, С.П. Теория упругости: Учебник для вузов [Текст] / С.П. Демидов. - М.: «Высш. школа», 1979. — С. 432.

35. Доко, А.А. Использование древесины в строительных конструкциях с учетом разносопротивления растяжению-сжатию [Текст]/ А.А. Доко, О.А. Одинокова // Новые идеи нового века: материалы международной научной конференции ФАД ТОГУ.

- 2017. - Т.3. - с. 247-251.

36. Доннел, Л.Г. Балки, пластины и оболочки [Текст] / Л.Г. Доннел - М.: Наука, 1984. - 440 с.

37. Золочевский, A.A. К тензорной связи в теориях упругости и пластичности анизотропных композитных материалов различносопротивляющихся растяжению и сжатию [Текст] / A.A. Золочевский // Механика композитных материалов. - 1985. - № 1. - с. 53-58.

38. Золочевский, A.A. К теории пластичности материалов различносопротивляющихся растяжению и сжатию [Текст] / А.А. Золочевский // Изв. вузов. Машиностроение. - 1986. - № 6. -с. 13-16.

39. Золочевский, A.A. Направления и развития моделей и методов расчета нелинейного деформирования тел и элементов машиностроительных конструкций [Текст] / А.А. Золочевский,

О.К. Склепус // Изв. вузов. Машиностроение, 1987. - №5. -С. 7-10.

40. Золочевский, A.A. Напряженно-деформированное состояние в анизотропных оболочках из разномодульных композитных материалов [Текст] / А.А. Золочевский // Механика композитных материалов. - 1986. - № 1. - с. 166168.

41. Золочевский, A.A. Определяющие уравнения и некоторые задачи разномодульной теории упругости анизотропных материалов [Текст] / А.А. Золочевский // ПМТФ.

- 1985. - № 4. - с. 131-138.

42. Золочевский, A.A. Расчет анизотропных оболочек из разномодульных материалов при неосесимметричном нагружении [Текст] / А.А. Золочевский, В.Н. Кузнецов // Динамика и прочность тяжелых машин. - Днепропетровск:ДГУ, 1989. - №4.

- с. 140-144.

43. Золочевский, A.A. Расчет составных анизотропных оболочек, выполненных из разномодульных материалов [Текст] / А.А. Золочевский // Динамика и прочность тяжелых машин. -Днепропетровск: ДГУ, 1987. - С. 115-120.

44. Золочевский, A.A. Соотношения разномодульной теории упругости анизотропных материалов на основе трех смешанных инвариантов [Текст] / А.А. Золочевский // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа, 1987. -Вып. 46. - с. 85-8 9.

45. Золочевский, A.A. Численные расчеты анизотропных оболочек из разномодульных композитных материалов [Текст] / А.А. Золочевский // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа, 1986. - Вып. 44. - с. 11-17.

анизотропии при ползучести [Текст] / А.А. Золочевский, О.К. Морачковский // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа, 1984. - Вып. 39. - с. 3-9.

47. Золочевский, А.А. О соотношениях теории упругости анизотропных разномодульных материалов [Текст] / А.А. Золочевский // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа, 1981. - Вып. 34. - С. 3-8.

48. Золочевский, А.А. Об учете разносопротивляемости в теории ползучести изотропных и анизотропных материалов [Текст] / А.А. Золочевский // ПМТФ. - 1982. - № 4. - С. 813.

49. Зубчанинов, В.Г. Моделирование процессов упругопластического деформирования материалов по многозвенным кусочно-ломаным прямолинейным траекториям [Текст] / В.Г. Зубчанинов, А.А. Алексеев, В.И. Гультяев // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 3. -с. 203-215.

50. Зубчанинов, В.Г. Расчет процессов сложного деформирования материалов по многозвенным ломаным траекториям [Текст] / В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков, В.В. Гараников // Известия вузов. Строительство. - 1998. - № 9. - с. 9-15.

51. Зубчанинов, В.Г. Экспериментальные исследования механических свойств конструкционных материалов при сложном нагружении [Текст] / В.Г. Зубчанинов, В.И. Гультяев, А.А. Алексеев, Е.Г. Алексеева, В.Н. Ведерников // Строительство и землеустройство: проблемы и перспективы развития: сборник трудов II Международной заочной научно-практической конференции, г. Тверь, 20 марта 2017 г. / под общ. ред.

А.А. Артемьева, Е.Г. Алексеевой. Тверь: Тверской государственный технический университет.- 2017. - с. 14-18.

52. Ильин, В.П. Численные методы решения задач строительной механики [Текст] / В.П. Ильин, В.В. Карпов, А.М. Масленников. - Минск.: Высшая школа, 1990.- 349с.

53. Канду, В.В. Численный анализ вынужденных колебаний нелинейных пластинок в вязкоупругой среде при наличии внутреннего резонанса 1:1:2 [Текст] / В.В. Канду, М.В. Шитикова, Ю.А. Россихин // X всероссийская конференция по механике деформируемого твердого тела. - Самара - 18-22 сентября 2017 г. - Т.2. - С. 10-12.

54. Капустин, С. А. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов с периодически повторяющейся структурой [Текст] / С.А. Капустин, С.Ю. Лихачева. - Н.Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2012. 96 с.

55. Клованич, С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики [Текст] / С.Ф. Клованич. - Библиотека журнала "Св1т геотехн1ки", 9-ый выпуск. - Запорожье: Издательство журнала "Св1т геотехн1ки", 2009. - 400 с. : ил. — Библиогр. в конце кн. — ISBN 978-966-7732-72-2

56. Комков, К.Ф. О разрыхлении пластичного композита при активной нагрузке и влияние его на деформационные и прочностные свойства [Электроный журнал] / К.Ф. Комков, А.Н. Еремичев // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2015. № 09. с. 279-297.

57. Комков, К.Ф. Особенности упругих свойств высоконаполненных полимерных материалов[Текст] / К.Ф. Комков // Вестник московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: машиностроение. 2008.

- Т.3. - С.3-13

58. Комков, К.Ф. О тензорной нелинейности сред, проявляющих существенное различие в сопротивлении растяжению и сжатию [Электронный журнал] / К.Ф. Комков // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2013. № 10. с. 451-482.

59. Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела [Текст] / С.Г. Лехницкий. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977.- 416 с.

60. Ломакин, Е.В. Определяющие соотношения механики разномодульных сред [Текст] / Е.В. Ломакин. - М., 1980. -64 с.

61. Ломакин, Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния [Текст] / Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. -1980. - № 4. - С. 92-99.

62. Ломакин, Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульного тела [Текст] / Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. - № 2. -с. 42-45.

63. Ломакин, Е.В. Поперечный изгиб разномодульных пластин [Текст] / Е.В. Ломакин, Г.О. Гаспарян // Механика композитных материалов, 1984. - № 1. - с. 67-73.

64. Ломакин, Е.В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред [Текст] / Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ.- 1991. - с. 66-75.

65. Ломакин, Е.В. Разномодульность композитных материалов [Текст] / Е.В. Ломакин // Механика композитных материалов. - 1981. - № 1. - с. 23-29.

66. Ломакин, Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния [Текст] / Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. - 1983. - №3. - С. 63-69.

67. Ломакин, Е.В. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела / Е.В. Ломакин, Ю.Н. Работнов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1978. - № 6. - С. 29-34.

68. Матченко, Н.М. Вариант построения уравнений разномодульной теории упругости [Текст] / Н.М. Матченко, Л.А. Шерешевский, Н.А. Легнау // ТулПИ. - Тула, 1981. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.05.81, № 2352-81.

69. Матченко, Н.М. К описанию свойств разносопротвляемости изотропных материалов [Текст]/ Н.М. Матченко, А.А. Трещев // Прикладные задачи механики сплошных сред. - Воронеж: ВГУ, 1999. - С. 176-183.

70. Матченко, Н.М. К решению разрешающих дифференциальных уравнений изгиба разномодульных пластин [Текст]/ Н.М. Матченко, А.А. Трещев // Дифференциал, уравнения и приклад, задачи. - Тула: ТулПИ, 1985. - С. 95102.

71. Матченко, Н.М. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах [Текст] / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Инж. журн. МТТ. - 1968. - № 6. - С. 108-110.

72. Матченко, Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 2. Нелинейные соотношения [Текст] / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников, А.А. Трещев // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 4. - С. 87-95.

73. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов [Текст] / Н.М. Матченко,

А.А. Трещев. - Прикладные задачи теории упругости. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2004. - 211 с.

74. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения / Н.М. Матченко, А.А. Трещев. - Тула: ТулГУ, 2000. - 149 с.

75. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Прикладные задачи теории упругости [Текст] / Н.М. Матченко, А.А. Трещёв // Прикладные задачи теории упругости. - М.;Тула: РААСН; ТулГУ, 2004. - 211 с.

76. Матченко, Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки [Текст] / Н.М. Матченко, А.А. Трещев. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2005. - 187 с.

77. Матченко, Н.М. Учет влияния вида напряженного состояния на упругие и пластические состояния начально изотропных деформируемых сред [Текст] / Н.М. Матченко, А.А. Трещев // Тезисы докладов Международного научно-технического симпозиума, «Моделирование и критерии подобия в процессах развитого пластического формоизменения». -Орел: ОПТУ, 1996. - С.11-12.

78. Мкртчан, Дж.З. Расчет полого цилиндра, изготовленого материала [Текст] / Дж.З. Мкртчан // Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1969. - Т. 22. - № 4. - с. 39-46.

79. Мкртчан, Р.Е. Большие упругие деформации несжимаемого материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия [Текст] / Р.Е. Мкртчан // Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1972. - Т. 25. - № 1. - с. 28-41.

80. Мкртчан, Р.Е. О соотношениях плоской задачи изотропного материала, разносопротивляющегося деформациям

растяжения и сжатия [Текст]/ Р.Е. Мкртчан // Изв. АН Арм. ССР. Механика. - 1983. - Т. 36. - №2. - с. 26-36.

81. Мкртчан, Р.Е. Об одной модели материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия [Текст] / Р.Е. Мкртчан // Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1970.

- Т. 23. - № 5. - с. 37-47.

82. Мкртчан, Р.Е. Закон упругости слоистого материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия [Текст] / Р.Е. Мкртчан // Механика полимеров. - 1978. - №2.

- С. 199-203.

83. Муштари, Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек [Текст] / Х.М. Муштари, К.З. Галимов. - Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

84. Молчанов, И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости [Текст] / И.Н. Молчанов. - Киев: Наукова думка, 197 9. - 315 с.

85. Новацкий, В.В. Теория упругости [Текст] / В.В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

86. Новожилов, В.В. Теория упругости [Текст] / В.В. Новожилов. - Л.: Судпромгиз, 1958.-370 с.

87. Огибалов, П.М. Оболочки и пластины [Текст] / П.М. Огибалов, Колтунов М.А. - М.: МГУ, 1969. 695 с.

88. Пачулия, В.Ш. Чистый изгиб прямоугольных пластин из нелинейного материала [Текст] / В.Ш. Пачулия, А.А. Трещев // Механика сплошных сред. - Тбилиси: ГПИ, 1986. -№6. - С. 97-99.

89. Петров, В.В. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругого разносопротивляющегося растяжению и сжатию материала [Текст] / В.В. Петров, А.Ф. Макеев, И.Г. Овчинников // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -

1980. - №8. - С. 42-47.

90. Петров, В.В. Расчет пластинок и пологих оболочек из нелинейно - упругого материала [Текст] / В.В. Петров, И.Г. Овчинников, В.И. Ярославский. — Саратов: СГУ, 1976. -133 с.

91. Пономарев, Б.В. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругих материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие [Текст] / Б.В.Пономарев // ПМ. - 1968. - Т. 4. - Вып. 2. -С. 2 0-2 7.

92. Пономарев, Б.В. Средний изгиб прямоугольных пластин из материалов, не следующих закону Гука [Текст] / Б.В.Пономарев // Сб. тр. МИСИ. - М. - 1967. - №54. - с. 7582.

93. Розе, А.В. Трехармированные тканные материалы [Текст] / А.В. Розе, И.Г. Жигун, М.Н. Душин // Механика полимеров.- 197 0.- №3. - с. 471-47 6.

94. Ромашин, Д.А. Изгиб круглых пластин из ортотропного нелинейного разносопротивляющегося материала [Текст] / Д.А. Ромашин // Материалы всероссийской научной конф. «Молодые исследователи регионам». Вологда: ВоГТУ,2011.Т.1 — с. 219-220.

95. Самсоненко, Г.И. Изгиб прямоугольных тонких пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов при термомеханическом загружении [Текст] / Г.И. Самсоненко // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. - №1. - с. 231-237.

96. Самсоненко, Г.И. Термоупругий изгиб кольцевых пластин средней толщины из ортотропных разносопротивляющихся материалов [Текст] / Г.И. Самсоненко, А.А. Трещёв // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула:

Изд-во ТулГУ, 2012. - №1. - с. 238-244.

97. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Пер. с английского А.А. Шестакова; под ред. д-ра физ.-мат. наук Б.Е. Победри. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

98. Секулович, М. Метод конечных элементов [Текст] / Пер. с серб. Ю.Н. Зуева; под ред. В.Ш. Барбакадзе. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.

99. Судакова, И.А. Обобщение закона упругости для анизотропных материалов [Текст] / И.А. Судакова, A.A. Трещев // Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" Тула: ТулГУ, 2000.- с.110-111.

100. Тамуров, Н.Г. Основные уравнения теории разномодульных оболочек [Текст] / Н.Г. Тамуров, Г.В. Туровцев // Прочность и надежность технических устройств. -Киев: Наукова думка, 1981. - С. 68-75.

101. Теличко, В.Г. Гибридный конечный элемент для расчета плит и оболочек с усложненными свойствами [Текст] / В.Г. Теличко, А.А. Трещев // Известия вузов. Строительство / №5. 2003. - Новосибирск, НГАСУ, 2003. - с. 17-23.

102. Теличко, В.Г. Гибридный конечный элемент для расчета пространственных конструкций с усложненными свойствами [Текст] / В.Г. Теличко, А.А. Трещев // Сборник научных трудов XXXII Всероссийской научно-технической конференции: «Актуальные проблемы современного строительства». - Пенза: Изд-во ПГАСА, 2003. Ч.2. Строительные конструкции. - с. 138-143.

103. Теличко, В.Г. Задача об определении НДС шарнирно опертой плиты из графита ATJ-S [Текст] / В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // VIII-я региональная молодёжная научно-

практическая конференция Тульского государственного университета «Молодёжные инновации»: сборник докладов под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Ядыкина Е. А.: В 3 ч. Ч. II. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 104-105.

104. Теличко, В.Г. К расчету грунтовых оснований с помощью МКЭ [Текст] / В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Сборник материалов XVI Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. С. 126-127.

105. Теличко, В.Г. К расчету оснований методом конечных элементов [Текст] / В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Известия ТулГУ. Технические науки. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2014. Вып. 11: в 2 ч. Ч. 1. С. 341-347.

10 6. Теличко, В.Г. Модификация гибридных конечных элементов для моделирования изгиба плит средней толщины / В.Г. Теличко// Сборник тезисов докладов Международного студенческого форума: «Образование, наука, производство». -Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2003. Ч.3. - С. 140-141.

107. Теличко, В.Г. Плоский треугольный гибридный конечный элемент для расчета оболочечных конструкций с усложненными свойствами [Текст] / В.Г. Теличко, А.А. Трещев // Сборник материалов III Международной научно-технической конференции: «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: ИПП «Тульский полиграфист», 2002. - с. 69-70.

108. Теличко, В.Г. Построение уравнений метода конечных элементов для определения НДС пространственных объемных конструкций [Текст] / В.Г. Теличко, А.А. Цуканов, П.Ю. Ходорович // Сборник материалов XV Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной

индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 118-119.

10 9. Теличко, В.Г. Применение модифицированных КЭ для расчета дорожных одежд [Текст] / В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Сборник материалов XVII Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. С. 187-188.

110. Теличко, В.Г. Расчет сферической оболочки из анизотропного графита с использованием МКЭ [Текст] / В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики. 10-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. Материалы конференции. Т. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 49-54.

111. Теличко, В.Г. Расчет цилиндрических оболочек покрытий из разносопротивляющихся материалов [Текст] / В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович, И.М. Кораблин // Сборник материалов XVI Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. С. 127-129.

112. Теличко, В.Г. Расчет цилиндрической оболочки из нелинейного анизотропного материала методом конечных элементов [Текст] / В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович, А.Н. Царев // Сборник материалов XIV Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 160-161.

113. Тимошенко, С.П. Курс теории упругости [Текст] / С.П. Тимошенко. - Киев: Наукова думка, 1972. - 501 с.

114. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войнвский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

115. Тимошенко, С.П. Сопротивление материалов [Текст] / С.П. Тимошенко. - М.;Л.:Гостехтеориздат, 1946.- 456 с.

116. Толоконников, Л.А. Механика деформируемого твердого тела [Текст] / Л.А. Толоконников. - М.: Высшая шкала, 1979. - 318 с.

117. Толоконников, Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях [Текст] / Л.А. Толоконников // ПММ. - 1957. - Т. 21. - Вып. 6. - с. 815-822.

118. Трещев, А.А. Моделирование напряженно-деформированного состояния толстых цилиндрических оболочек из материалов с усложненными свойствами [Текст] / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Materials Physics and Mechanics. 2014. Vol. 21. No 1. - С. 38 - 50.

119. Трещев, А.А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопротивляющихся материалов [Текст]/ А.А. Трещев; Москва - Тула: РААСН - ТулГУ. 2007. - 160с.

120. Трещев, А.А. Большие прогибы круглой пластины из квазилинейного материала [Текст] / А.А. Трещев // 2-я Всесоюз. конф. по нелинейной теории упругости: Тез. докл. -Фрунзе: Изд-во ИЛИМ, 1985. - С. 47.

121. Трещев, А.А. Вариант деформирования конструкционных материалов с усложненными свойствами [Текст] / А.А. Трещев // Теория, технология, оборудование и автоматизация обработки металлов давлением и резанием. -Тула: Изд-во ТулГУ, 1999. - Вып. 1 - С. 6 6-7 3.

122. Трещев, А.А. Вариант описания деформирования упругих слабо нелинейных разносопротивляющихся сред [Текст]/ А.А. Трещев; ТулПИ. - Тула, 1986. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.04.86, №2241-В 86.

теории изгиба разномодульных пластин [Текст] / А.А. Трещев // Актуал. пробл. механики оболочек. - Казань: Изд-во КИСИ, 1985. - С. 219.

124. Трещев, А.А. Деформирование сферической оболочки из ортотропного графита с использованием МКЭ [Текст] / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики. 12-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. Материалы конференции. Т. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. С. 417-423.

125. Трещев, А.А. Задача о давлении на полупространство из анизотропного разносопротивляющегося материала [Текст] / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Сборник трудов конференции «Фундаментальные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий» в 2 частях. 2013, Издательство: Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева (Чебоксары), 2013. С. 250-258.

126. Трещев, А.А. Задача о плоском напряженном состоянии для пластинки с эллиптическим отверстием, выполненной из нелинейно ортотропных материалов [Текст] / А.А. Трещев, А.В. Морозова, П.Ю. Ходорович // Сборник материалов XIV Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 148-149.

127. Трещев, А.А. К задаче о давление на грунтовое основание [Текст] / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Вестник отделения строительных наук РААСН. -

М.: РААСН-МГСУ. - 2014. - Вып. 18. - С. 95 - 99.

128. Трещев, А.А. К расчету объемных конструкций из анизотропных разносопротивляющихся материалов методом конечных элементов [Текст] / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 90-летию со дня рождения профессора Л.А. Толоконникова - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2013. - С. 483-490.

129. Трещев, А.А. К расчету пластин из конструкционных графитов [Текст] / А.А. Трещев // Механика и прикладная математика. - Тула: Приокск. кн. изд-во, 1989. - с. 93-98.

130. Трещев, А.А. Конечно-элементная модель расчета пространственных конструкций из материалов с усложненными свойствами [Текст] / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, А.Н. Царев, П.Ю. Ходорович // Известия ТулГУ. Технические науки. -Тула: Изд-во ТулГУ. - 2012. Вып. 10. - С. 106-115.

131. Трещев, А.А. Конечные прогибы пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния [Текст] / А.А. Трещев // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: ТулПИ, 1986. - с. 76-81.

132. Трещев, А.А. Моделирование сферической оболочки из разносопротивляющегося графита 3D конечными элементами [Текст] / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, А.Н. Царев, П.Ю. Ходорович // Вестник ЧГПУ им. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - Чебоксары: ФГБОУ ВПО "ЧГПУ им. Яковлева", 2013. - № 4 (14). С. 62-72.

133. Трещев, А.А. О единственности решения задач теории упругости для анизотропных разносопротивляющихся сред [Текст]/ А.А. Трещев; ТулПИ. - Тула, 1992. - 7 с. -

Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, № 1887-В92

134. Трещев, А.А. О единственности решения задач теории упругости разносопротивляющихся сред / А.А. Трещев, С.А. Воронова // ТулПИ. - Тула, 1987 - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.03.87, № 2040-В87.

135. Трещев, А.А. О соотношениях теории упругости для изотропного разномодульного тела [Текст] / А.А. Трещев, Н.М. Матченко // ТПИ. - Тула, 1982. - 4 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.82, № 2056-82.

136. Трещев, А.А. О точности квазилинейной и нелинейной аппроксимации деформирования разносопротивляющихся сред [Текст] / А.А. Трещев; ТулПИ. -Тула, 1992 - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.07.92, №2181-В 92.

137. Трещев, А.А. Определение напряженно-деформированного состояния графитовых пластин [Текст] / А.А. Трещев // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: ТулПИ, 1990. - с. 83-89.

138. Трещев, А.А. Поперечный изгиб прямоугольных пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния [Текст] / А.А. Трещев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1988. - № 1. - С. 25-29.

139. Трещев, А.А. Расчет цилиндрических оболочек покрытий транспортных сооружений из материалов с усложненными свойствами [Текст] / А.А. Трещев, В.Г. Теличко, П.Ю. Ходорович // Транспортное строительство. 2014. №9. С. 24-27

140. Трещев, А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения [Текст]/ А.А. Трещев; Москва -

Тула: РААСН - ТулГУ, 2008. - 2 64с.

141. Трещев, А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки [Текст] / А.А. Трещев, Н.М. Матченко. - Москва -Тула: РААСН - ТулГУ. 2005. - 186с.

142. Трещев, А.А. Уравнения упругости для анизотропных разносопротивляющихся материалов [Текст]/ А.А. Трещев, Н.М. Матченко; Москва - Тула: РААСН - ТулГУ, 2005. - 186с.

143. Трещев, А.А. Учет анизотропии и разносопртивляемости при определении параметров НДС многослойного полупространства [Текст] / А.А. Трещев, П.Ю. Ходорович, В.Г. Теличко // Фундаментальные проблемы техники и технологии - Орел: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Орловский государственный университет им. И.С. Тургенева. - 2018 № 1 (327) 2018. - С. 4-13.

144. Трещев, A.A. Изгиб круглых пластин из ортотропного нелинейного разносопротивляющегося материала [Текст] / A.A. Трещев, Д.А. Ромашин // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2 011. с. 494-502.

14 5. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры [Текст] / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. - М.; Л.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963. - 734 с.

14 6. Хачатрян, А.А. Чистый изгиб прямоугольной пластинки, изготовленной из разномодульного материала [Текст]/ А.А. Хачатрян // Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1972. - Т. 25. - №1. - С. 15-27 .

147. Ходорович, П.Ю. Конечно-элементная модель деформирования грунтовых оснований [Текст] / П.Ю. Ходорович

// VIII-я региональная молодёжная научно-практическая конфе-ренция Тульского государственного университета «Молодёжные инновации»: сборник докладов под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Ядыкина Е. А.: В 3 ч. Ч. II. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 105-106.

148. Ходорович, П.Ю. Плоское напряженное состояние толстостенного кольца из разномодульного изотропного материала [Текст] / П.Ю. Ходорович // Сборник материалов XVII Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. С. 221222.

14 9. Ходорович, П.Ю. Плоское напряженное состояние толстостенного кольца, выполненного из разномодульного изотропного материала [Текст] / П.Ю. Ходорович, Н.В. Моськина // IX-я магистерская научно-техническая конференция: доклады статей, часть первая / — Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. — С. 192—193.

150. Ходорович, П.Ю. Применение метода конечных элементов для расчета параметров НДС толстой сферической оболочки из анизотропного разносопротивляющегося графита [Текст] // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 430-435.

151. Ходорович, П.Ю. Применение объемных КЭ для решения задачи о давлении на грунтовое основание [Текст] / П.Ю. Ходорович // Сборник материалов XV Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 117-118.

152. Ходорович, П.Ю. Расчет НДС толстой сферической оболочки из анизотропного разносопротивляющегося материала

[Текст] / П.Ю. Ходорович // VIII-я магистерская научно-техническая конференция: доклады статей, часть первая / — Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. — С. 96—97.

153. Ходорович, П.Ю. Решение задачи об определении НДС толстостенного кольца из разномодульного изотропного материала [Текст] / П.Ю. Ходорович // Сборник материалов XV Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 116117.

154. Ходорович, П.Ю. Трехмерная конечно-элементная модель для определения НДС толстых цилиндрических оболочек из анизотропных разносопротивляющихся материалов // VII-я молодёжная научно-практическая конференция Тульского государственного университета «Молодёжные инновации»: сборник докладов под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Е. А. Ядыкина. В 3 ч. Ч. II. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. — С. 82-83.

155. Ходорович, П.Ю. Трехмерная конечно-элементная модель для определения НДС толстых цилиндрических оболочек из разносопротивляющихся материалов [Текст] / П.Ю. Ходорович // VII-я молодёжная научно-практическая конференция Тульского государственного университета «Молодёжные инновации»: сборник докладов под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Е. А. Ядыкина. В 3 ч. Ч. II. — Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2013. — С. 82-83.

156. Ходорович, П.Ю. Трехмерная конечно-элементная модель для определения пространственных конструкций из анизотропных разносопротивляющихся материалов [Текст] / П.Ю. Ходорович // VII-я магистерская научно-техническая конференция: доклады статей, часть первая / Под научной

редакцией д-ра техн. наук, проф. Ядыкина Е.А. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. — С. 86—87.

157. Читинский, Д.С. Комплекс конструктивных противокарстовых мероприятий на основе ПСПК системы «МАРХИ» [Текст] / Д.С. Читинский, П.Ю. Ходорович // Сборник материалов XVI Международной НТК «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. С. 162-164.

158. Bert, C.W. Bending of Thick Rectanqular Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials [Text] / C.W. Bert, J.N. Reddy, W.C. Chao // AIAA Journal. - 1981. - Vol. 19. - № 10. - P. 1342-1349.

159. Bert, C.W. Micromechanics of the different elastic behavior of filamentary composite in tension and compression [Text] / C.W. Bert // Mechanics of bimodulus materials. - New York: ASME, 1979. - P. 17-28.

160. Jones, R.M. A Nonsystemmetric Compliance Matrix Approach to Notlinear Multimodulus Ortotropic Materials

[Text] / R.M. Jones // AIAA Journal, 1977. - Vol. 15. - № 10. -P. 1436-1443.

161. Jones, R.M. Further characteristics of a nonlinear material model for ATJ-S Graphite / R.M. Jones, D.A.R. Nelson [Text] // Journal Composit Materials, 1975. -Vol. 9. - № 7. - P. 251-265.

162. Jones, R.M. Material for nonlinear Deformation [Text] / R.M. Jones, D.A.R. Nelson // AIAA Journal. - 1976. - Vol. 14. - № 6. - P. 709-716.

163. Jones, R.M. Buckling os stiffened multilayered circular shells with different ortotropic moduli in tensione and compression [Text] / R.M. Jones // AIAA

Journal. - 1977. - Vol. 15. - № 10. - P. 1436-1443.

164. Jones, R.M. Modeling nonlinear deformation of carbon-carbon composite materials [Text] / R.M. Jones // AIAA Journal. - 1980. - Vol. 18. - № 8. - P. 995-1001.

165. Jones, R.M. Stress-strain relations for materials with different moduli in tension and compression [Text] / R.M. Jones // AIAA Journal, 1977. - Vol. 15. - № 1. - P. 16-25.

166. Jones, R.M. Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite [Text] / R.M. Jones, D.A.R. Nelson // AIAA Journal. - 1976. - Vol. 14. - № 10. - P. 1427-1435.

167. Reddy, J.N. On the behovior of plates laminated of bimodulis composite materials [Text] / J.N. Reddy, C.W. Bert // ZAMM. - 1982. - Vol. 62. - № 6. - P. 213-219.

168. Reddy, J.N. Theories and computational models for composit laminates [Text] / J.N. Reddy, D.H. Robbins // Appl. Mech. Rev, 1994. - Vol. 47. - № 6, - Pt. 1. - P. 2135.

169. Reddy, J.N. Thermal bending of think rectangular plates of bimodulis composite materials [Text] / J.N. Reddy, C.W. Bert, Y.S. Hsu, V.C. Reddy // Journal Mach. eng. sci. - 1980. - Vol. 22. - № 6. - P. 297-304.

170. Rossikhin, Yu.A. Comparative analysis of two problems of the impact interaction of rigid and viscoelastic spherical shells [Text] / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, Manh Duong Tuan // International journal of mechanics. - 2017. - Т.11. - P. 58-63.

171. Rossikhin, Yu.A. Impact response of a nonlinear viscoelastic auxetic doubly curved shallow shell [Text] /

- 138 -

Yu.A. Rossikhin, A. Krusser, M.V. Shitikova // 24th international congress on sound and vibration, icsv 2017. -London, UK - P. 1-8.

172. Schmueser, D.W. Nonlinear stress-strain and strength response of axisymmetric bimodulus composite material shells [Text] / D.W.Schmueser // AIAA Journal. -1983. - Vol. 21. -№12. - P. 1742 - 1747.

173. Shafigullin, L.N. The stress-strain state of layered orthotropic conditional halfspace taking into account different resistanoe [Text] / L.N. Shafigullin A.A. Treschev, P.Y. Hodorovich, V.T. Erofeev // Revista Publicando, 4 No 13. (2). 2017, ISSN 1390-9304. - С. 109127.

174. Tabaddor, F. Constitutive equations for bimodulus elastic materials [Text] / F. Tabaddor // AIAA Journal. -1972. - Vol. 10. - № 4. - P. 516-518.

175. Tabaddor, F. Two-dimensional bi-linear orthotropic elastic materials [Text] / F. Tabaddor // Journal of Composite Materials, 1969. - Vol. 3. - Oct. - P. 725-727.